Estimação de potência em tempo real utilizando a transformada wavelet

UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO

Estimação de Potência em Tempo Real

Utilizando a Transformada Wavelet

Denis Keuton Alves

Orientador: Prof. Dr. Flavio Bezerra Costa

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.

Seção de Informação e Referência

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Alves, Denis Keuton.

Estimação de potência em tempo real utilizando a transformada wavelet / Denis Keuton Alves. - Natal, RN, 2015.

85 f.

Orientador: Flavio Bezerra Costa.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica e de Computação) - Univer-sidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Potência ativa - Dissertação. 2. Potência reativa - Dissertação. 3. Potência aparente - Dissertação. 4. Qualidade de energia - Dissertação. 5. Transformada

wavelet - Dissertação. I. Costa, Flavio Bezerra. II. Título.

Utilizando a Transformada Wavelet

Denis Keuton Alves

Agradeço a Deus, pela oportunidade de concluir o mestrado em engenharia elétrica, que nos momentos difíceis sempre ajudou e me deu forças.

Aos meus pais, Vicente Alves da Silva e Maria das Graças de Oliveira Alves que mesmo estando distante, ajudaram-me, dando forças nos momentos de dificuldades, sempre ori-entando e mostrando o caminho certo. Agradeço também ao meu irmão, Daniel Kennedy Alves que sempre esteve ao meu lado.

Ao meu orientador, professor Flávio Bezerra Costa, pela dedicação e orientação necessá-ria para idealização desse trabalho.

Aos amigos, Cecilio Martins de Sousa Neto, Rodrigo Prado de Medeiros, Sâmara de Ca-valcante Paiva, Ernano Arrais, Thiago de Oliveira Alves Rocha, Rodrigo Lopes Barreto, Franklin Hebert Silva do Nascimento, Jonas Damasceno Batista de Araújo e João Tiago Loureiro Sousa Campos pela participação direta ou indireta no desenvolvimento desse trabalho.

Resumo

A monitoração das grandezas elétricas em sistemas elétricos de potência tem como objetivo promover a confiabilidade, bem como a qualidade da energia elétrica distribuída. Diante disso, propõe-se nessa dissertação um estudo sobre uma nova teoria de potência baseada na transformada wavelet para estimação em tempo real dos valores RMS da ten-são e corrente e alguns valores de potências, tais como: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência. A estimação adequada dos valores RMS e das po-tências são importante para diversas aplicações, como por exemplo: projetos e análise de sistemas de energia, dispositivos de compensação para melhorar a qualidade da energia elétrica e instrumentos de medição de energia. Os resultados de simulação e experimen-tais obtidos pelo método proposto baseado na transformada wavelet discreta redundante foram comparados por meio do padrão IEEE 1459-2010, apresentando resultados equiva-lentes. O método proposto apresentou bom desempenho para wavelets mães curtas, o que o torna viável para aplicações em tempo real.

The goal of the power monitoring in electrical power systems is to promote the relia-blility as well as the quality of electrical power.Therefore, this dissertation proposes a new theory of power based on wavelet transform for real-time estimation of RMS voltages and currents, and some power amounts, such as active power, reactive power, apparent power, and power factor. The appropriate estimation the of RMS and power values is important for many applications, such as: design and analysis of power systems, compensation de-vices for improving power quality, and instruments for energy measuring. Simulation and experimental results obtained through the proposed Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform-based method were compared with the IEEE Standard 1459-2010, presenting equivalent results. The proposed method presented good performance for compact mother wavelet, which is in accordance with real-time applications.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras ii

Lista de Tabelas iv

Lista de Símbolos vi

Lista de Abreviaturas ix

1 Introdução 1

1.1 Relevância do Tema . . . 1

1.2 Motivação . . . 3

1.3 Objetivos . . . 3

1.4 Contribuições . . . 4

1.5 Metodologia . . . 4

1.6 Organização do Trabalho . . . 5

2 Estado da Arte 6 2.1 Teorias de Potência . . . 6

2.2 Teorias de Potência Baseada na Transformada Wavelet . . . 9

2.3 Resumo da Revisão Bibliográfica . . . 12

3 Definições de Potências Elétricas 14 3.1 Potência Instantânea em Condições Senoidais . . . 14

3.1.1 Fasor e Impedância Complexa . . . 17

3.1.2 Potência Complexa e Fator de Potência . . . 19

3.2 Definições de Potências em Condições Distorcidas . . . 20

3.2.1 Definição de Potência Proposto por Budeanu (1927) . . . 20

3.2.2 Definição de Potência Proposta por Fryze (1932) . . . 24

3.2.3 Definição de Potência Proposta pelo IEEE (2010) . . . 25

3.3 Resumo . . . 32

4.1.1 Processo de Decomposição da TWD . . . 33

4.1.2 Filtros Wavelet e Escala da TWD . . . 36

4.1.3 Processo de Reconstrução da TWD . . . 37

4.1.4 TWD em Representação Matricial . . . 39

4.2 Transformada Wavelet Discreta Redundante e Análise Multiresolução . . 44

4.2.1 TWDR em Forma Matricial . . . 46

4.3 Cálculo dos Coeficientes Escala e Wavelet em Tempo Real . . . . 49

4.4 Resumo . . . 50

5 Método Proposto 51 5.1 Cálculo do Valor RMS da Tensão e Corrente . . . 51

5.2 Estimação de Potência Ativa, Reativa, Aparente e Fator de Potência . . . 56

5.3 Taxa de Amostragem . . . 59

5.4 Resumo . . . 61

6 Resultados de Simulação e Experimentais 62 6.1 Resultados de Simulação Utilizando Sinais Sintéticos . . . 62

6.2 Resultados Experimentais . . . 63

6.2.1 Cargas Lineares . . . 64

6.2.2 Escolha da Wavelet Mãe . . . . 70

6.2.3 Carga Não-Linear . . . 71

7 Conclusões e Trabalhos Futuros 75 7.1 Conclusões Gerais . . . 75

7.2 Trabalhos Futuros . . . 76

Referências Bibliográficas 77

A Resultados Obtidos do Osciloscópio 81

Lista de Figuras

3.1 Fonte senoidal e circuito linear passivo. . . 14

3.2 Conceitos convencionais de potência: (a) formas de onda de tensão e cor-rente; (b) parcelas de potência ativa, reativa e instantânea. . . 16

3.3 Representação fasorial de uma senoide. . . 17

3.4 Relação entre fasores de tensão e corrente. . . 18

3.5 Representação das potências utilizando o triângulo de potência. . . 19

3.6 Sinais analíticos: (a) tensão e corrente instantânea; (b) potência instantânea. 23 4.1 Diagrama de blocos para dois níveis de resolução da TWD. . . 34

4.2 Decomposição de um sinal no primeiro nível de resolução da TWD: (a) sinal original x0; (b) coeficientes escala; (c) coeficientes wavelet. . . . 36

4.3 Diagrama de bloco para reconstrução da TWD. . . 39

4.4 Diagrama de bloco da TWDR. . . 45

4.5 Decomposição de um sinal no primeiro nível de resolução da TWDR: (a) sinal original x0; (b) coeficientes escala; (c) coeficientes wavelet. . . . 45

5.1 Circuito resistivo. . . 51

5.2 Estimação em tempo real do valor RMS de um sinal de corrente utilizando os coeficientes escala e wavelet da TWDR, no primeiro nível de resolução. 54 5.3 Estimação em tempo real da potência ativa utilizando os coeficientes es-cala e wavelet da TWDR, no primeiro nível de resolução. . . . 57

6.1 Diagrama genérico dos elementos do sistema experimental para o circuito monofásico composto por cargas lineares. . . 65

6.2 Sinais aquisitados, estimação de valores RMS da tensão e corrente e al-guns valores de potências para o circuito do tipo RC: (a) tensão; (b) cor-rente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa; (f) potência aparente; (g) potência reativa; (h) fator de potência. . . 67

rente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa; (f) potência aparente; (g) potência reativa; (h) fator de potência. . . 68 6.4 Sinais aquisitados, estimação de valores RMS da tensão e corrente e

al-guns valores de potências para o circuito do tipo RLC: (a) tensão; (b) corrente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa; (f) potên-cia aparente; (g) potênpotên-cia reativa; (h) fator de potênpotên-cia. . . 69 6.5 Efeito da wavelet mãe: (a) potência reativa usando db(4) e db(10); (b)

potência reativa usando db(4) e db(20). . . 70 6.6 Diagrama geral dos elementos do sistema experimental do circuito

trifá-sico composto por uma carga não-linear. . . 72 6.7 Sinais aquisitados, estimação de valores RMS da tensão e corrente e

al-guns valores de potências para o circuito composto por uma carga não-linear: (a) tensão; (b) corrente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa; (f) potência aparente; (g) potência reativa; (h) fator de po-tência. . . 73

A.1 Resultados experimentais da estimação de valores RMS da tensão e cor-rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RC. . . 81 A.2 Resultados experimentais da estimação de valores RMS da tensão e

cor-rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RL. . . 82 A.3 Resultados experimentais da estimação de valores RMS da tensão e

cor-rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RLC. . . 82 A.4 Resultados experimentais da estimação de valores RMS da tensão e

Lista de Tabelas

2.1 Resumo da revisão bibliográfica. . . 12

5.1 Operações em ponto flutuante utilizando diferentes wavelets mãe. . . . . 55 5.2 Espectro de frequência para uma decomposição em cinco níveis

utili-zando uma fs=6420 Hz. . . 60

6.1 Desempenho do método proposto para estimação de potências usando di-ferentes wavelets mãe. . . . 63 6.2 Parâmetros utilizados nos testes experimentais. . . 65 6.3 Resultados obtidos por meio do osciloscópio, padrão IEEE e pelo método

proposto para o circuito com cargas lineares. . . 66 6.4 Valor médio para diferentes wavelets mãe. . . . 71 6.5 Resultados obtidos por meio do osciloscópio, padrão IEEE e pelo método

proposto do circuito trifásico composto por uma carga não-linear. . . 72

B.1 Filtros escala com quatro, dez e vinte coeficientes. . . 84 B.2 Filtros wavelet com quatro, dez e vinte coeficientes. . . . 85

A1 Matriz com os coeficientes do filtro escala no primeiro nível de

resolu-ção da TWD.

A2 Matriz com os coeficientes do filtro escala no segundo nível de

resolu-ção da TWD.

aj Coeficientes de aproximação no nível de resolução j.

B1 Matriz com os coeficientes do filtro wavelet no primeiro nível de

reso-lução da TWD.

B2 Matriz com os coeficientes do filtro wavelet no segundo nível de

reso-lução da TWD.

DB Potência de distorção.

DeI, DeV Potência trifásica de distorção da corrente e tensão, respectivamente.

DH Potência monofásica de distorção harmônica.

DI Potência monofásica de distorção da corrente.

dj Coeficientes de detalhes no nível de resolução j.

DV Potência monofásica de distorção da tensão.

f1 Frequência fundamental.

FP, FP1e F P₁+ Fator de potência, fator de potência fundamental e fator de potência

fundamental de sequência positiva.

fs Frequência de amostragem.

g Coeficientes de decomposição do filtro escala da TWD.

Ge Condutância equivalente.

h Coeficientes de decomposição do filtro wavelet da TWD.

i, i1e i+₁ Corrente instantânea, corrente instantânea fundamental e corrente

ins-tantânea fundamental de sequência positiva.

Ia1, Ib1 e Ic1 Correntes RMS de fase da componente fundamental.

Iah, Ibh e Ich Correntes RMS fase das componentes harmônicas.

Ie1e IeH Correntes equivalentes fundamental e harmônica.

I_ℑ Corrente RMS relacionado à parte imaginária do fasor.

Ij Representa o valor RMS da corrente no nível de resolução j.

Ij0 Representa o valor RMS da corrente no nível de resolução j0.

Imax Valor de pico da corrente.

iqe Iq Corrente instantânea não ativa e corrente RMS não ativa.

I_ℜ Corrente RMS relacionado à parte real do fasor.

i_ωe I_ω Corrente instantânea ativa e corrente RMS ativa.

jmax Número máximo de decomposições (níveis de resolução) de um sinal.

j j₋ésimo nível de resolução.

kt Número de amostras de um sinal.

L Número de amostras dos filtros escala e wavelet.

Mj Vetor de coeficientes escala no j−ésimo nível de resolução.

N Número de amostras equivalente a um ciclo na frequência fundamental

Nj Vetor de coeficientes wavelet no j−ésimo nível de resolução.

p Potência instantânea.

P Potência ativa.

P1 Potência ativa fundamental.

P13φ Potência ativa fundamental trifásica.

P₁+ Potência ativa fundamental de sequência positiva.

Pa, Pbe Pc Potências de fase.

PH Potência ativa dos harmônicos.

Pjoe Pj Representam o valor da potência ativa da menor banda de frequência j0

e das bandas de frequência superiores ou igual ao nível de resolução j0,

respectivamente.

Pq, Ps e Pω Representam potência reativa, aparente e ativa proposto por Fryze.

Q, Q1, Q13φ Potência reativa, potência reativa fundamental, potência reativa

trifá-sica.

Q+₁ Potência reativa fundamental de sequência positiva.

S, S1, S13φ Potência aparente, potência aparente fundamental, potência aparente

trifásica.

S+₁ Potência aparente fundamental de sequência positiva.

SeH Potência aparente harmônica equivalente.

SeN Potência aparente não fundamental equivalente.

SH Potência aparente harmônica.

SU 1 Potência aparente fundamental de desbalanço.

sv,j0 Coeficientes escala da tensão no nível de resolução j0.

T HDeV e T HDeI Distorção harmônica total equivalente para a tensão e distorção harmô-nica total equivalente para a corrente.

T HDve T HDi Distorção harmônica total para a tensão e distorção harmônica total para a corrente.

v, v1e v+1 Tensão instantânea, tensão instantânea fundamental e tensão

instantâ-nea fundamental de sequência positiva.

Va1, Vb1 e Vc1 Tensões RMS de fase da componente fundamental.

Vab, Vbce Vca Tensões RMS de linha das componentes harmônicas.

Vah, Vbh e Vch Tensões RMS fase das componentes harmônicas.

V_ℑ Tensão RMS relacionado à parte imaginária do fasor.

Vj Representa o valor RMS da tensão no nível de resolução j.

Vj0 Representa o valor RMS da tensão no nível de resolução j0.

Vmax Valor de pico da tensão.

V_ℜ Tensão RMS relacionado à parte real do fasor.

x0 Sinal teste usado para ilustrar algumas propriedades dos coeficientes

escala e wavelet.

Z Impedância complexa.

α+

1 Ângulo de fase da tensão de sequência positiva.

αah,αbh eαch ângulos de fase da tensão em qualquer ordem harmônica h.

β+

1 Ângulo de fase da corrente de sequência positiva.

βah,βbheβch ângulos de fase da corrente em qualquer ordem harmônica h.

θ1eθ+1 Ângulo de deslocamento entre a tensão e corrente da componente

fun-damental e de sequência postiva.

βh Ângulo de deslocamento entre a tensão e corrente das componentes harmônicas.

λ Fator de potência proposto por Fryze.

ωi,j0 Coeficientes wavelet da corrente no nível de resolução j0. ωj Coeficiente wavelet no nível de resolução j.

ˇ

ωj Coeficiente wavelet com sobre-amostragem no nível de resolução j.

Lista de Abreviaturas

AM Análise multiresolução.

ANEEL Agência nacional de energia elétrica. CA Corrente alternada.

EMPT Electromagnetic transient program.

FFT Fast Fourier transform.

IEEE Institute of electrical and electronic engineers.

LED Light emitting diode.

LEPER Laboratório de eletrônica de potência e energias renováveis. QE Qualidade de energia.

RMS Root mean square.

SI Sistema internacional.

SWT Stationary wavelet transform.

TF Transformada de Fourier. TW Transformada wavelet.

TWD Transformada wavelet discreta.

TWDR Transformada wavelet discreta redundante. TWP Transformada wavelet packet.

UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Introdução

1.1

Relevância do Tema

No final do século XIX, os sistemas elétricos de potência: geração, transmissão e dis-tribuição passaram a ser baseados nas definições apresentadas por Tesla (sistema trifásico com tensões senoidais defasadas de 120◦ e com frequência constante). Com o advento das fontes de tensões senoidais, o sistema elétrico de potência é considerado mais efici-ente e eficaz quando a correfici-ente na carga está em fase com a fonte de tensão. Diante disso, surgem os conceitos de potência ativa (energia média transferida por um sistema ou con-sumida em um circuito) e de potência reativa que relaciona-se com a potência ativa por meio do fator de potência (STEINMETZ, 1897).

Concomitantemente, os conceitos de fator de potência e potência aparente foram cria-dos (STEINMETZ, 1897). A potência aparente é obtida pela soma fasorial das potências ativa e reativa. O fator de potência é a razão entre a potência ativa e a potência aparente. Um fator de potência elevado proporciona um melhor aproveitamento do uso da energia, reduzindo as perdas e as quedas de tensões nas instalações elétricas.

Até poucas décadas atrás, as cargas elétricas eram praticamente lineares e drenavam correntes senoidais por meio de fontes senoidais. Dessa forma, a teoria convencional de potência baseadas nas definições de potência ativa, potência reativa e potência aparente foram suficientes para projetos e análises dos sistemas elétricos de potência. No entanto, em condições não senoidais, algumas quantidades de potência baseados nas definições tradicionais podem fornecer interpretações questionáveis (LYON, 1920; BUCHHOLZ, 1922). A partir da década de 1920, alguns trabalhos contendo definições de potências sob condições não senoidais foram publicados, sendo as abordagens mais importantes propostas por Budeanu (1927), cujas definições são realizados no domínio da frequência, e por Fryze (1932) em que as definições são baseadas no domínio do tempo.

lâm-CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

padas de descargas, sistemas de controle industrial microprocessados, dentre outros) que o sistema elétrico vem sofrendo com acentuadas distorções harmônicas. Estas distorções causam alguns efeitos indesejáveis, tais como: sobreaquecimento nos enrolamentos e di-minuição de vida útil nos motores de indução, aumento de temperatura em cabos elétricos, redução do fator potência, aumento de perdas nos enrolamentos dos transformadores, etc. Com isso, definições de potências que englobem situações com transitórios e condições não senoidais são necessárias e pertinentes diante desse novo cenário de cargas.

Os primeiros trabalhos que abordaram a compensação de reativos em sistemas de energia elétricos foram propostos por Erlicki e Emanuel-eigeles (1968), Sasaki e Ma-chida (1971), Fukao, Iida e Miyairi (1972). No entanto, foram Akagi, Kanazawa e Nabae (1983) que publicaram uma das principais teorias de potências voltadas para projeto de compensadores para potência reativa e de distorção. Este assunto é de extremo interesse e importância para as concessionárias e consumidores, uma vez que está relacionado com a eficiência dos sistemas elétricos de potência, assim como a tarifação de energia elétrica. A partir Akagi, Kanazawa e Nabae (1983) diversas teorias de potência têm sido apre-sentadas para resolver problemas em situações não senoidais, sobretudo, nas últimas três décadas. No entanto, estas teorias ainda estão em discussões e cada uma delas apresentam suas características e peculiaridades com vantagens e desvantagens, dependendo do tipo da aplicação.

Nesse contexto, para que um sistema de transmissão e distribuição de energia elé-trica seja eficiente, faz-se necessário realizar um estudo das várias propostas de teorias de potências desenvolvidas no decorrer dos últimos anos, bem como a escolha ou aprimora-mento daquela que mais se adapte às várias aplicações que uma teoria de potência possa proporcionar, ou seja, uma teoria de potência generalizada e suficientemente abrangente, voltada para a nova realidade dos sistemas elétricos, com ênfase em projetos, análise, controle, compensação de reativos e tarifação de energia elétrica.

A presença de harmônicas nos sistemas elétricos influência na medição de grandezas elétricas, tais como: os valores tensões e correntes eficazes. Dessa forma, compreender com clareza os efeitos e as consequências que são provocados pelas formas não senoi-dais é um assunto relevante e necessário. Os instrumentos convencionais de medição, de tensão, de corrente e de potências são projetados e construídos para uma leitura de sinais puramente senoidais. Na presença de componentes harmônicas de tensão ou de corrente, as leituras desses equipamentos podem apresentar erros comprometendo a medição de energia elétrica.

as formulações apresentadas não são apropriadas para aplicações em tempo real.

Propõe-se nessa dissertação um estudo sobre a teoria de potência baseada na trans-formada wavelet (TW) para estimação em tempo real de alguns valores de potências, tais como: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência. A estima-ção correta e em tempo real dessas potências é importante para diversas aplicações, como por exemplo: projetos e análise de sistemas de energia, dispositivos de compensação para melhorar a qualidade da energia elétrica e instrumentos de medição de energia.

1.2

Motivação

A monitoração das grandezas elétricas em sistemas elétricos de potência tem como objetivo promover a confiabilidade, bem como a qualidade de energia elétrica distribuída. Assim, o grau de confiabilidade e da qualidade de energia estão diretamente relacionados com os equipamentos de monitoração (medição, controle, proteção, etc). Contudo, esses equipamentos podem fornecer interpretações duvidosas diante de variações e distorções da tensão e corrente, que, além de grandes incômodos e prejuízos aos consumidores, podem gerar perdas econômicas ao prestador do serviço, com reflexo tarifário posterior ANEEL (2009). Diante disso, destaca-se a necessidade de desenvolver instrumentos de medição e monitoração de energia por meio de uma teoria de potência mais geral, cujas definições e equacionamentos sejam adequadas para realidade das instalações elétricas atualmente, além de serem suficientes para as mais diversas situações que o sistema possa apresentar.

A principal motivação deste trabalho é a necessidade de uma teoria de potência ge-neralizada, ampla e de acordo com as mais variadas aplicações para o setor elétrico, ou seja, que não se limite apenas para aplicações de instrumentos de medição de energia ou eletrônica de potência. Outra motivação importante deste trabalho fundamentou-se na aplicação de técnicas de processamento digitais, nos quais por meio de processadores e micro controladores são capazes de realizar cálculos complexos em tempo real.

1.3

Objetivos

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4

Dentre os objetivos específicos deste trabalho destacam-se:

• Desenvolver, matematicamente, as equações de potência ativa, reativa, aparente e fator de potência baseada na transformada wavelet discreta redundante (TWDR) para aplicações em tempo real.

• Implementação do método proposto em dSPACE.

• Avaliar experimentalmente o desempenho do método proposto. • Analisar os efeitos das wavelets mães.

• Comparar a estimação de potência baseada nas wavelets com técnicas convencio-nais e um dispositivo comercial.

1.4

Contribuições

A principal contribuição foi desenvolver uma nova teoria de potência baseada na TWDR para estimação em tempo real de alguns valores de potências, tais como: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência.

Com relação às publicações dos resultados da dissertação, um artigo com o título “Power Measurement Using the Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform” foi pu-blicado no IEEE/IAS INDUSCON 2014.

1.5

Metodologia

Este trabalho foi realizado conforme a seguinte metodologia:

• Revisão bibliográfica das principais teorias de potências elétricas, dando-se ên-fase às definições de potências convencionais baseadas no domínio do tempo e/ou frequência, bem como definições de potência baseada na TW.

• Estudo da fundamentação teórica dos principais conceitos clássicos de potências utilizados na atualidades, envolvendo condições senoidais e não senoidais.

• Estudo da fundamentação teórica da TW, com ênfase nas versões discretas da TWD e TWDR.

• Desenvolvimento matemático das equações para estimação da potencia ativa, rea-tiva, aparente e fator de potência baseada na TWDR.

• Análise em tempo real para estimação de potências em uma plataforma experimen-tal.

1.6

Organização do Trabalho

A dissertação está organizada da seguinte maneira:

1. O capítulo 1 abordou os objetivos e as motivações para elaboração deste trabalho, assim como um resumo das principais teorias de potências.

2. No capítulo 2 é apresentado um levantamento do estado da arte, destacando-se as várias propostas da teoria de potência tanto no domínio do tempo quanto no domí-nio da frequência.

3. No capítulo 3 traz a fundamentação das principais definições de potência para situ-ações senoidais e não senoidais, bem como as formulsitu-ações e equacionamentos. 4. No capítulo 4 é apresentado a fundamentação teórica da transformada wavelet,

destacando-se as versões discretas da TWD e TWDR. Além disso, são abordados os algoritmos baseado na análise em multiresolução e os cálculos dos coeficientes escala e wavelet.

5. No capítulo 5 é apresentado o procedimento para estimação de alguns valores de potências, tais como: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência, utilizando uma abordagem recursiva da TWDR para aplicações em tempo real.

6. No capítulo 6 são apresentados os resultados de simulação e experimentais obtidos para estimação de potências baseado no algoritmo recursivo da TWDR em tempo real.

Capítulo 2

Estado da Arte

Apresenta-se neste capítulo um levantamento do estado da arte das principais teorias de potências elétricas, dando-se ênfase as definições e equacionamentos das teorias con-vencionais de potência realizados no domínio do tempo e/ou frequência. Além disso, apresenta-se também o estado da arte da transformada wavelet aplicada na estimação de potências.

2.1

Teorias de Potência

Os primeiros estudos encontrados na literatura contendo informações sobre os concei-tos da teoria de potência remetem aos anos de 1880. A partir desta data, diversas ideias foram discutidas e debatidas na comunidade científica. Shallenberger (1895) propôs um método simples e eficiente para medição de energia elétrica em corrente alternada cujo objetivo era indicar, registrar e gravar a energia real transmitida por correntes alternadas. O método proposto é aplicado para medição em sistemas de fases múltiplas, assim como, para sistemas monofásicos.

Uma das principais abordagens de potências sob condições não senoidais foi intro-duzida por Budeanu (1927) no domínio da frequência. Assim, tensões e correntes são expressas por meio de séries de Fourier. Bastante contestado, suas definições apresenta-ram alguns equívocos, principalmente com relação ao significado físico das formulações matemáticas da potência reativa e potência de distorção que do ponto de vista da teo-ria de potência são duvidosas e podem levar a erros de interpretação em alguns casos. Além disso, a implementação prática de sua teoria é uma tarefa complexa em situações de distorções harmônicas.

Fryze (1932) propôs uma nova interpretação para as definições de potências em situ-ações não senoidais, sendo que suas análises, diferentemente de Budeanu, são baseadas no domínio do tempo. Uma das principais contribuições das definições de Fryze foi a decomposição da corrente em duas parcelas: uma parcela correspondente à corrente ativa e uma outra que corresponde à corrente não ativa (termo residual), introduzindo o con-ceito de ortogonalidade. A corrente ativa é obtida por meio da condutância equivalente do sistema (FILIPSKI, 1980). Contudo, o método apresenta algumas desvantagens, já que reúne todos os distúrbios na parcela de corrente residual, não permitindo um estudo mais aprofundado e específico de alguns problemas inerentes ao sistema elétrico, além disso, não explora os circuitos polifásicos.

Erlicki e Emanuel-eigeles (1968) publicaram trabalhos apresentando um novo método para estimação de potência reativa e potência de distorção, isto porque a utilização de ele-mentos não lineares, tais como: retificadores, amplificadores magnéticos e transistores de potência vinha se intensificando cada vez mais no sistema elétrico. Assim, suas defini-ções nortearam o princípio básico para compensação de potência reativa, sendo realizado por meio da interligação adequada de elementos não-lineares semelhantes. No entanto, Shepherd e Zakikhani (1972) concluíram que as formulações e equacionamentos mate-máticos desenvolvidos para a compensação de potência reativa baseada na estimação de potências reativa e de distorção representavam um valor arbitrário, sem significado fí-sico. Diante disso, os autores propuseram uma expressão alternativa para potência reativa fundamentada cientificamente.

CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE 8

com isso, a energia reativa fundamental em regime permanente, além de algumas corren-tes harmônicas. No entanto, essa teoria apresenta limitação na compensação de distúrbios Czarnecki (2009, 2010), já que a compensação só pode ser atendida se as tensões no ponto de acoplamento comum forem senoidais e equilibradas.

Impulsionados pelos fenômenos relacionados com as distorções harmônicas e seus efeitos sobre o sistema elétrico, o working group on power system harmonic e colabora-dores do IEEE (1985) publicaram trabalhos com o objetivo de estabelecer uma base sólida para o estudo e controle de harmônicas do sistema elétrico, sendo introduzidos, os con-ceitos de fator de distorção de tensão e fator de distorção de corrente. Destacam-se ainda, no final dos anos 80, os trabalhos Czarnecki (1985, 1987), Slonim e Wyk (1988), sendo basicamente extensões ou modificações das definições proposta por Budeanu (1927) e Fryze (1932).

A partir dos anos 1990 iniciaram-se novamente abordagens importantes sobre teorias de potências elétricas. Rossetto e Tenti (1992) propuseram novos conceitos para as defi-nições de potências e correntes instantâneas, tendo como motivação principal o desenvol-vimento de compensadores para potências reativas e harmônicas. Contudo, as definições propostas por Rossetto e Tenti (1992) devem atender dois requisitos básicos: as fontes de tensões devem ser ideais (sem perdas) e a norma dos vetores de tensões deve ser zero em qualquer instante de tempo. Como vantagens, a teoria proposta permite utilizar os valo-res instantâneos de normas de vetovalo-res para obter componentes de potência ativa, reativa e aparente. No entanto, o método apresenta algumas limitações, uma vez que as formas de ondas das tensões e correntes não são puramente senoidais e simétricas em condições normais de operação.

Willems (1992) propõe uma nova reformulação para as definições de potências in-troduzidos por Akagi, Kanazawa e Nabae (1984), porém, sem realizar o cálculo das po-tências reais e imaginárias e transformações de eixos ou qualquer limitação quanto ao número de fases dos sinais de tensões e correntes. Willems (1992) decompõe as correntes instantâneas em duas componentes, ativa e reativa (não ativa). A componente de corrente instantânea ativa é proporcional à tensão e corresponde a potência instantânea, ao passo que a componente reativa não contribui para transferência de potência. Contudo, o método proposto não faz nenhuma associação com as componentes fundamentais, harmônicas e de sequencia positiva, negativa e zero.

necessita de transformações de eixos, uma vez que utiliza-se de definições de produtos escalares e vetoriais, para fundamentar a base matemática da teoria. Porém, a falta de associação das componentes de potências com os fenômenos físicos que as originam, tais como: as grandezas elétricas (tensão e corrente) ainda são consideradas como limitação do método.

O padrão IEEE (2000), substituído, posteriormente, pelo padrão IEEE (2010), fornece definições de potência elétrica para quantificar o fluxo de energia elétrica em circuitos monofásicos e trifásicos sob condições senoidais, não senoidais, equilibradas e desequi-libradas. Em relação às definições em condições senoidais, o padrão IEEE (2010) não apresenta e/ou acrescenta nenhum questionamento. Porém, sob condições não senoidais o padrão IEEE (2010) apresenta alguns conceitos novos, tais como: separação da potência ativa em duas parcelas distintas (potência ativa fundamental e potência ativa harmônica); definições de potência reativa fundamental, consequentemente, potência aparente funda-mental; potência não ativa conhecida na literatura como potência fictícia, tornando mais fácil a compreensão dos fenômenos físicos. No entanto, o padrão IEEE (2010) não faz nenhuma referência as definições de potência reativa para as frequências de ordem supe-riores à da fundamental.

2.2

Teorias de Potência Baseada na Transformada

Wave-let

Yoon e Devaney (1998) foram os primeiros a utilizar TW para medição de potência, sendo apresentado um estudo teórico para o cálculo de potência e valores eficazes RMS (do inglês, root mean square) utilizando a TWD. O método baseia-se na decomposição dos sinais originais de tensão e corrente em sub-bandas, ou níveis wavelets, derivados a partir da sequência simultânea de amostras de tensão e corrente utilizando uma base orto-normal comum aplicada sobre cada ciclo do sistema de potência. A avaliação do método é feita por meio do estudo de sinais simulados e da análise de dados provenientes de um sistema de potência industrial real. Os resultados obtidos dos testes foram equivalentes as aplicações que utilizam a transformada de Fourier (TF), apresentando como vantagem um esforço computacional menor que a TF. No entanto, os autores não relatam qual(is) famílias wavelet bem como qual(is) wavelet mães foram utilizadas nos testes, assim como quais são os seus efeitos.

peri-CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE 10

odicidade e da perda de visão temporal. Yoon e Devaney (2000) utilizaram mais uma vez a TW com o objetivo de estimar potência reativa. De acordo com o algoritmo proposto, a estimação da potência reativa é realizada por meio da aplicação da TW às amostras do sinal de corrente e do sinal de tensão em quadratura (deslocamento de 90o). O método foi avaliado considerando dois exemplos em regime permanente. O primeiro deles é derivado de um sinal analítico, enquanto o segundo é derivado da simulação em um programa do tipo EMTP (do inglês, electro-magnetic transient program). Os resultados das simulações indicaram valores muitos próximos dos reais, com pequenas taxas de erros.

O algoritmo baseado na TWD não permite estimar valores eficazes e de potências de componentes harmônicas individuais, isto porque para um nível mais elevado de decom-posições, a banda de frequência torna-se mais larga, com isso, as bandas de frequência nos níveis mais altos contém mais componentes harmônicas que aqueles com níveis mais baixos. Para superar essa limitação, Hamid, Mardiana e Kawasaki (2002) propuseram um novo algoritmo baseado na transformada wavelet packet (TWP) para medição de po-tência e valores eficazes. O método da TWP fundamenta-se na decomposição dos sinais de tensão e corrente em um conjunto de componentes harmônicas com a mesma largura de frequência, estimando potências e valores eficazes de cada componente harmônica. O método é bastante preciso, porém, aplicações práticas em tempo real não são avaliadas.

Driesen e Belmans (2003) ampliaram os conceitos para o cálculo da potência reativa, apresentando duas abordagens alternativas. A primeira abordagem utiliza um desloca-mento de tempo entre os coeficientes wavelets para obter a quadratura entre os sinais tensão e corrente que é necessária para o cálculo da potência reativa, já a segunda baseia-se na divisão ou projeção da corrente em duas componentes: ativa e reativa, baseia-sendo esta última empregada para determinar a potência reativa. Driesen e Belmans (2003) apresen-taram também um novo método para estimação de potências utilizando a transformada

wavelet complexa que, além de estimar valores instantâneos de tensão e corrente, fornece

também informações instantâneas de ângulos de fase. No entanto, a abordagem para o cálculo da potência reativa utilizando deslocamento dos coeficientes wavelets ocasionam atrasos significativos, podendo inviabilizar aplicações práticas em tempo real.

co-eficientes da wavelet mãe aumenta. No entanto, em aplicações em tempo real, cuja carga computacional é um parâmetro essencial, wavelets mãe longas podem ser um problema.

Morsi e El-Hawary (2008b) propuseram uma nova perspectiva para estimar potências baseadas no padrão IEEE usando a transformada wavelet discreta redundante (TWDR), também conhecida como transformada wavelet estacionária (SWT, do inglês stationary

wavelet transform). A TWDR não realiza a operação de subamostragem por dois nas

amostras do sinal, sendo uma transformada invariante no tempo, mantendo, com isso, as características de tempo e frequência ao longo de todos os níveis de decomposição. A avaliação do método é realizada por meio de diversos estudos de casos, sendo o enfoque principal os distúrbios de qualidade da energia elétrica. Os casos estudados apresentaram resultados coerentes e com boa taxa de acerto na estimação das potências. Contudo, o problema da escolha da wavelet mãe, bem como o uso de wavelets mães longas ainda estão presentes no método. Além disso, a formulação apresentada não é adequada para aplicações em tempo real.

A TW é capaz de representar com precisão as formas de onda de sinais não esta-cionários em diversas aplicações. Morsi e El-Hawary (2009) apresentaram uma nova abordagem para o cálculo e medição das potências ativa, reativa e aparente sob condi-ções não estacionárias utilizando a TWP. A TWP é uma generalização do conceito da TWD, em que a resolução do tempo-frequência pode ser realizada de acordo com com o sinal. A decomposição da TWP é realizada por meio do algoritmo recursivo da TWD, utilizando uma etapa adicional, isto porque a decomposição também é realizada sobre os coeficientes wavelets. O método proposto é avaliado com exemplos numéricos e compa-rado com o padrão do IEEE 1459-2000. Os resultados obtidos indicaram que para formas de ondas estacionárias o método do IEEE 1459-2000 baseado na transformada rápida de Fourier (do inglês, fast Fourier transform - FFT) apresentou resultados mais precisos do que a TWP. Contudo, os melhores resultados obtidos utilizando o método proposto foi alcançando com a wavelet mãe da família Daubechies, com 86 coeficientes, cujo esforço computacional pode deixar de ser umas das vantagens se comparadas à FT.

CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE 12

o esforço computacional.

2.3

Resumo da Revisão Bibliográfica

Na Tabela 2.1 é apresentado um resumo das principais abordagens da teoria de po-tência realizados no domínio do tempo e/ou frequência, classificando-as em duas partes: abordagens cujas definições e equacionamentos são realizados no domínio da frequência e daquelas definidas no domínio do tempo. Detalhes da técnica empregada nos métodos, bem como o processo de validação (simulação ou experimental) também são destacados.

Tabela 2.1: Resumo da revisão bibliográfica.

Referência Técnica empregada Validação

Simulado Experimental

Budeanu (1927) Fourier -

-Fryze (1932) Domínio do tempo -

-Erlicki e Emanuel-eigeles (1968) Fourier √ -Shepherd e Zakikhani (1972) Fourier √ -Akagi, Kanazawa e Nabae (1984) Domínio do tempo -

-IEEE (1985) Fourier -

-Czarnecki (1987) Fourier √

-Rossetto e Tenti (1992) Domínio do tempo √ -Willems (1992) Domínio do tempo - -Peng e Lai (1996) Domínio do tempo √

-Yoon e Devaney (1998) TWD √

-Padrão IEEE 1459-2000 (2000) Fourier √

-Yoon e Devaney (2000) TWD √

-Hamid, Mardiana e Kawasaki (2002) TWP √

-Driesen e Belmans (2003) TWD √

-Morsi e El-Hawary (2007a, 2007b) Fourier, TWD √ -Morsi e El-Hawary (2008b) Fourier, TWD, TWDR √

-Morsi e El-Hawary (2009) FFT, TWP √

-Padrão IEEE 1459-2010 (2010) Fourier √

-Morsi et al. (2011) TWP √

Capítulo 3

Definições de Potências Elétricas

Diversos conceitos de potências têm sido propostos para analisar sistemas e circui-tos elétricos em situações não senoidais. Diante disso, neste capítulo será apresentada uma explanação das principais teorias de potências, considerando inicialmente tensões e correntes senoidais com cargas lineares e equilibradas. Em seguida, os conceitos de po-tências serão estendidos para os casos nas quais as formas de ondas da tensão e corrente são assimétricas e distorcidas, abordando as definições e equacionamentos mais utiliza-das na atualidade para condições não senoidais (BUDEANU, 1927; FRYZE, 1932; IEEE, 2010).

3.1

Potência Instantânea em Condições Senoidais

As definições de potência em sistemas elétricos monofásicos sob condições senoidais estão bem consolidadas, não havendo divergências entre os resultados obtidos nas análises realizadas no domínio do tempo e frequência.

Um sistema monofásico ideal com uma fonte de tensão senoidal e um elemento linear passivo é ilustrado na Figura 3.1. A potência instantânea p(t)absorvida por este elemento passivo é determinada pelo produto da tensão instantânea v(t) pela corrente instantânea

i(t).

Fonte senoidal Circuito linear

passivo

v t+( )

-i t( )

Em condições senoidais, considere a tensão e a corrente nos terminais do circuito representadas por:

v(t) =Vmaxsen(ωt), (3.1)

i(t) =Imaxsen(ωt+ϕ), (3.2)

em que Vmax e Imax representam os valores de pico de tensão e corrente, respectivamente;

ϕé o ângulo de fase da corrente em relação à referência (tensão);ωt é a frequência angular dada em rad/s.

A potência instantânea absorvida pelo circuito é dada por:

p(t) =v(t)i(t), (3.3)

e substituindo as equações (3.1) e (3.2) na equação (3.3), obtém-se:

p(t) =Vmaxsen(ωt)Imaxsen(ωt+ϕ), (3.4)

que também pode ser expressa como:

p(t) =2V Isen(ωt)sen(ωt+ϕ), (3.5)

em que

V =V_√max

2 , I=

Imax √

2, (3.6)

V e I são os valores eficazes ou RMS da tensão e corrente, respectivamente. Aplicando a

identidade trigonométrica:

senAsenB= 1

2[cos(A−B)−cos(A+B)], (3.7)

tem-se que:

p(t) = 1

2[2V I cos(ϕ)−2V I cos(2ωt−ϕ)], =V I cos(ϕ)₋V I cos(2ωt₋ϕ),

=V I cos(ϕ)₋V I cos(ϕ)cos(2ωt)₋V Isen(ϕ)sen(2ωt),

=V I cos(ϕ)[1₋cos(2ωt)]

| {z }

(I)

−V Isen(ϕ)sen(2ωt)

| {z }

(II)

, (3.8)

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 16

• Na parte I: existe uma componente que oscila em torno do valor médio igual V I cos(ϕ) e com o dobro da frequência da rede. Esta componente nunca se torna negativa, isto porque −π

2 rad≤ϕ≤

π

2rad;

• Na parte II: existe uma componente de valor médio nulo com valor de pico V Isen(ϕ) e também oscila com o dobro da frequência da rede.

O valor médio da parte I é definida como potência ativa (P) e sua unidade para a medição no sistema internacional (SI) é o Watt (W ). A potência reativa (Q) é definida como o valor de pico da parte II e sua unidade para a medição no SI é dada em Var (volt-ampère reativo).

Na Figura 3.2 são ilustrados as componentes de potência ativa, reativa e instantânea referente a uma corrente senoidal que está atrasada da tensão emϕ= π

3rad. De acordo com a equação (3.8) e a Figura 3.2, a potência instantânea varia com o tempo e, portanto, não é unidirecional e constante, isto porque a potência ora está fluindo em um sentido, fornecimento energia (área A), ora em outro sentido, está devolvendo energia a fonte de alimentação (área B).

0

φ

v t( )

i t( )

0

B

A P[1-cos(2ωt)] -Qsen(2ωt)

p(t)

Q

P

(a)

(b)

A soma dos quadrados das duas componentes (ativa e reativa) resulta em outra variável de energia que é comumente utilizada para definir potência em equipamentos elétricos:

P2+Q2=V2I2cos2(ϕ) +V2I2sen2(ϕ),

=V2I2[cos2(ϕ) +sen2(ϕ)],

= (V I)2, (3.9)

no qual produto V I é conhecido como potência aparente (S) cuja unidade no SI é VA (Volt-Ampère).

3.1.1

Fasor e Impedância Complexa

Um movimento circular uniforme de um ponto pode ser representado por meio de suas projeções em um plano cartesiano formando uma senoide. Similarmente, uma senoide pode ser representada pelas projeções de seus pontos como um ponto girando em um movimento circular uniforme, conforme ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3: Representação fasorial de uma senoide.

De acordo com a Figura 3.3, é possível representar qualquer ponto de uma senoide por um vetor com módulo constante e igual ao valor de pico (Vp) da senoide e frequên-cia angular constante ω e proporcional a frequência do sinal. Este vetor é denominado fasor, e é comumente utilizado para representar sinais senoidais de tensão e corrente para simplificar as análises em sistemas elétricos.

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 18

dos fasores correspondentes no plano complexo:

˙

V =V6 θ_v, (3.10)

˙

I=I6 θ_i, (3.11)

em que ˙V e ˙I representam um número complexo,6 θ_v e6 θ_i representam os ângulos de fase no instante de referência em t =0 da tensão e corrente, respectivamente. As tensões e correntes fasorias também podem ser representadas na forma retangular:

˙

V =V_ℜ+jV_ℑ, V_ℜ=V cos(θv) e V_ℑ=V sen(θv), (3.12)

˙

I=I_ℜ+jI_ℑ, I_ℜ=I cos(θi) e V_ℑ=Isen(θi), (3.13)

em que j=√₋1, V_ℜe I_ℜsão as partes reais de ˙V e ˙I, respectivamente. V_ℑ e I_ℑ corres-pondem as partes imaginárias.

Na Figura 3.4 são apresentadas duas formas de ondas (tensão e corrente) em função do tempo, assim como a representação fasorial.

v(ωt)

ωt i(ωt)

φ φ

I V

.

.

ωt

ℜ ℑ

Figura 3.4: Relação entre fasores de tensão e corrente.

O ângulo de deslocamentoϕentre ˙V e ˙I é dado porϕ=θv−θi. Assim, considerando a tensão e corrente senoidais, é possível introduzir o conceito de impedância. Por exemplo, em circuito elétrico, a relação entre o fasor de tensão e corrente é denominada impedância complexa (Z), dada por:

Z=V˙ ˙

3.1.2

Potência Complexa e Fator de Potência

Considere as formas fasorias das equações (3.10) e (3.11) da tensão v(t)e corrente

i(t), respectivamente. A potência complexa é definida pelo produto de ˙V pelo conjugado

complexo de ˙I, dado por:

S=V ˙˙I∗= (V6 θ_v)(I6 ₋θ_{i) =}

P

z }| {

V I cos(θv−θi)

| {z }

ϕ +

Q

z }| {

jV Isen(θv−θi)

| {z }

ϕ

, (3.15)

no qual o módulo da potência complexa_|S_|é igual a potência aparente definida na equação (3.9), conforme:

|S_|=

q

[V I cos(θv−θi)]2+ [V Isen(θv−θi)]2=S=V I, (3.16) em que cos(ϕ)é igual a razão entre potência ativa e potência aparente e é conhecida como Fator de Potência (F P):

F P=cos(ϕ) =V I cosϕ

V I =

P

S. (3.17)

O FP também pode ser definido como sendo a relação entre a potência ativa e a raiz quadrada da soma dos quadrados das potências ativa e reativa, podendo ser calculado por:

F P= p P

P2_+Q2. (3.18)

Os conceitos de F P e potência complexa podem ainda ser interpretados graficamente utilizando o triângulo de potências, conforme ilustrado na Figura 3.5.

ℑ

S _jQ

P ℜ

φ

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 20

O FP varia entre zero e um, e indica a eficiência do uso da energia. Um FP elevado indica uma alta eficiência e, do contrário, um baixo FP indica uma baixa eficiência ener-gética. Para uma carga puramente resistiva, a tensão e corrente estão em fase e, portanto,

θv−θi =0 com fator de potência unitário. Para uma carga puramente reativa tem-se

θv−θi=±90o, que resulta em um FP=0. Neste caso específico, a potência média é zero com FP atrasado ou adiantado. Portanto, quando a corrente está atrasada da tensão o

FP é dito indutivo ou atrasado e quando a corrente está adiantada da tensão o FP é dito

capacitivo ou adiantado.

Os conceitos da teoria de potência discutido até aqui não são válidos para situações não senoidais, podendo levar a interpretações equivocadas, principalmente no que se re-fere a componente de potência reativa e aparente. Portanto, as próximas seções deste capítulo serão discutidas as definições de potências sob condições não senoidais.

3.2

Definições de Potências em Condições Distorcidas

Existem diversas teorias para a definição de potência sob condições não senoidais. Cada uma dessas definições possuem vantagens e desvantagens referente aos tipos de aplicações. Na literatura, é comum dividir estas definições por domínios de abordagem: uma baseada no domínio da frequência, e a outra no domínio do tempo. O principal objetivo dado à apresentação destas definições é fornecer uma base teórica, na qual se possa observar as diferentes teorias propostas por cada autor, identificando dessa forma as semelhanças e diferenças entre elas.

3.2.1

Definição de Potência Proposto por Budeanu (1927)

O método proposto por Budeanu (1927) para cálculo de potências utiliza uma aborda-gem baseada no domínio da frequência, ou seja, tensões e correntes senoidais são decom-postas por meio da série de Fourier. Este método ainda é bastante difundido e amplamente utilizado por diversos segmentos relacionados a área de sistemas elétricos.

Segundo Budeanu (1927), o valor RMS de V e I podem ser calculados como:

V =

s

1

T

Z T

0

v2_(t)dt=

s _∞

∑

V_h2, (3.19)

I=

s

1

T

Z T

0

i2_(t)dt=

s _∞

∑

em que h_∈N

∗_{, T é o período em uma dada frequência e, V}

he Ihcorrespondem aos valores RMS da componente harmônica h da tensão e corrente, respectivamente.

A partir do produto entre os valores eficazes da tensão e corrente harmônicas, Budeanu (1927) definiu os conceitos de potência aparente, ativa e reativa como seguem:

S=V I, (3.21)

P= ∞

∑

Ph= ∞

∑

VhIhcos(ϕh), (3.22)

Q= ∞

∑

Qh= ∞

∑

VhIhsen(ϕh), (3.23)

sendo o ânguloϕha defasagem entre tensões e correntes das componentes harmônicas h. Com o objetivo de melhor caracterizar as perdas de qualidade e condicionamento de energia elétrica sob condições não senoidais, Budeanu (1927) também introduziu uma outra quantidade de potência, conhecida como potência de distorção (DB), definida como:

DB=

p

S2_−P2_−Q2_{. (3.24)}

Essas definições apresentam algumas inconsistências referentes as potências reativa e de distorção. De acordo com a equação (3.23), o cálculo da potência reativa não faz nenhuma referência ao produto cruzado entre a tensão e corrente harmônicas para dife-rentes frequências. Além disso, a definição da potência de distorção dada pela equação (3.24) não fornece um sentido físico claro, uma vez que DB não parte diretamente dos sinais reais das tensões e correntes. Outra desvantagem dessa teoria é que por se tratar de definições de potência no domínio da frequência por meio da série de Fourier, inferi-se que as aplicações envolvam apenas análiinferi-ses em regime permanente, ou inferi-seja, exigem periodicidade dos sinais de tensão e corrente (MARAFAO, 2004).

Para exemplificar, considere um sinal analítico v(t) =sen(2π60t)na qual a forma de onda da tensão é puramente senoidal com frequência fundamental ( f1=60 Hz),

forne-cendo as seguintes correntes:

a) ia(t) =sen(2π60t₋π/6), carga linear;

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 22

No caso(a), a componente fundamental da tensão e da corrente possuem os mesmos valores. Portanto, os valores de potência ativa e reativa calculados a partir das equações (3.22) e (3.23) são:

P= ∞

∑

VhIhcos(ϕh) = 1 √ 2 1 √ 2cos π 6

=0,4330. (3.25)

Q= ∞

∑

VhIhsen(ϕh) = 1 √ 2 1 √ 2sen π 6

=0,4330. (3.26)

O valor RMS da tensão e corrente no caso(a) são iguais a _√1

2 =0,7071. No caso (b), a corrente possui 1a_{e 11}a_{harmônicas, cujo valor RMS é dado por:}

I= s 1 T Z T 0

i2(t)dt=

s _∞

∑

I_h2=

s 1 √ 2 2 +

0,1 √

2

2

=0,7106. (3.27)

No caso(b)foi adicionado uma corrente harmônica de 10% do valor da componente fundamental, gerando um aumento de 0,5% na potência aparente, que dificilmente seria detectado por instrumentos convencionais de medição de potência. Diante disso, tais instrumentos de medição baseados em valores RMS da tensão e corrente no domínio da frequência poderão apresentar erros de leitura provocados não somente pelo conteúdo da harmônica de corrente, mas também por desequilíbrios e distorções das formas de ondas de tensões e correntes.

Na Figura 3.6 ilustra-se as formas de ondas da tensão e das correntes, além da potência instantânea nos dois casos. A harmônica adicionada no caso (b)provocou um aumento de 9,36% no valor de pico da potência instantânea, evoluindo de 0,9327 pu para 1,02 pu. Entretanto, essa harmônica não produziu nenhum efeito sobre as potências ativa e reativa, definidas de acordo com as equações (3.22) e (3.23).

O método proposto por Budeanu (1927), mesmo apresentando inconsistências, ainda é o mais aceito e difundido na área de sistemas de potência. Tal utilização é justificada de-vido terem sido realizadas simplificações no método (considerando apenas componentes de frequência fundamental). Dessa forma, as equações (3.21), (3.22) e (3.23) tornam-se:

p t( )

p t( )

b a

2 2

1

-1

-2 -3 0 3

1

-1 0

0 0

0,2 0,2

0,4 0,4

0,6 0,6

0,8 0,8

1 1

i t( )

v t( )

i ta( )

b

T

ensão e corrente (pu)

Potência

instantânea (pu)

Tempo (s)

Tempo (s) (a)

(b)

Figura 3.6: Sinais analíticos: (a) tensão e corrente instantânea; (b) potência instantânea.

P1=V1I1cos(ϕ1), (3.29)

Q1=V1I1sen(ϕ1). (3.30)

Neste caso DB é reduzida a zero e, portanto, a ideia do triângulo de potências é reto-mada (vide Figura 3.5).

Outras simplificações muito utilizadas foram realizadas para sistemas polifásicos e equilibrados. Com isso, os valores de P, Q e S, para sistemas trifásicos tornam-se:

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 24

Q13φ=V1 f aseI1sen(ϕ1), (3.33)

em que as equações (3.28)-(3.33) foram bastante utilizadas até poucas décadas atrás, quando as cargas elétricas eram praticamente lineares e drenavam correntes senoidais. Atualmente, estas simplificações estão deixando de ser usadas, uma vez que as distorções harmônicas na corrente e/ou na tensão estão cada vez mais presentes na rede elétrica.

3.2.2

Definição de Potência Proposta por Fryze (1932)

A teoria de potência proposta por Fryze (1932) utiliza uma abordagem no domínio do tempo, não necessitando, por sua vez, da decomposição dos sinais de tensões e cor-rentes em suas componentes harmônicas. Esta teoria decompõe a corrente i(t)em duas parcelas: a parte ativa (i_ω) e a parte reativa ou não ativa (iq), introduzindo o conceito de ortogonalidade,

i(t) =i_ω+iq. (3.34)

Em consequência da ortogonalidade das correntes, o produto escalar entre elas é igual a zero e, dessa forma, a equação (3.34) pode ser reescrita em termos de valores RMS:

1

T

Z T

0

i_ωiqdt=0⇔I2=Iω2+Iq2. (3.35) De modo original, a corrente ativa é obtida por meio da condutância equivalente(Ge) e, portanto, corresponde à parcela que transfere efetivamente potência para a carga, dada por:

i_ω= P

V2v=Gev, (3.36)

a parte restante é conhecida como termo residual do sistema elétrico:

iq=i(t)−iω. (3.37)

A partir de sinais periódicos de forma de onda qualquer, Fryze (1932) propôs algumas definições de potências baseada no valor eficaz da tensão e corrente. A definição de potência ativa(P_ω)é definida como sendo:

P_ω=

s

1

T

Z T

0

p(t)dt=

s

1

T

Z T

0

em que I_ωé o valor RMS da parte ativa da corrente.

Com base nos valores RMS da tensão, corrente e da definição de P_ω, tem-se a definição de outras quantidades de potências, tais como:

Potência aparente(Ps):

Ps=V I. (3.39)

Fator de potência ativo (λ):

λ= Pω

Ps =Pω

V I. (3.40)

Potência reativa(Pq):

Pq=

q P2

s −Pω2 =V Iq, (3.41)

em que Iqé o valor RMS da parte reativa da corrente.

A potência ativa definida de acordo com a equação (3.38) é equivalente a equação (3.29). A potência aparente calculada por meio das equações (3.39) e (3.21) também são equivalentes. Diante disso, não existe diferença entre a potência ativa e aparente definida por Fryze (1932) no domínio do tempo e Budeanu (1927) no domínio da frequência.

Fryze (1932) demonstrou que o fator de potência alcança valor máximo(λ=1) se, e somente se, a corrente instantânea é proporcional à tensão instantânea. Em qualquer outro caso,λ<1 Watanabe, Akagi e Aredes (2007).

Apesar da teoria de Fryze (1932) introduzir o conceito de ortogonalidade entre as parcelas de corrente ativa e não ativa, o método apresenta algumas desvantagens, tais como: inclusão de todos os distúrbios de corrente na parcela iq, não permitindo, dessa forma, um estudo mais aprofundado e específico de alguns problemas inerentes ao sistema elétrico. Além disso, o método pode gerar algumas imprecisões, como por exemplo, no cálculo deλque é realizado depois dos cálculos das potências ativa e reativa. Então, erros provenientes dos cálculos de Ps e Pω podem ser propagados (FILIPSKI; LABAJ, 1992).

3.2.3

Definição de Potência Proposta pelo IEEE (2010)

O Grupo de Trabalho do IEEE para Situações Não Senoidais, (do inglês, IEEE

Wor-king Group on Nonsinusoidal Situations) propuseram novas definições de potências, sendo

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 26

As definições de potência ativa, reativa, aparente e fator de potência em sistemas com tensões e correntes senoidais estão bem estabelecidas e aceitas por engenheiros e profis-sionais da área de sistema de potência e, portanto, foram definidas no inicio do presente capítulo, dispensando comentários adicionais.

Em relação as definições de potências sob condições não senoidais, o padrão traz algumas definições interessantes, como por exemplo, a separação das parcelas fundamen-tais de potência de sequência positiva das demais componentes de potência, fundamen-tais como: potências não ativas e potências não fundamentais.

A) Sistema Monofásico com Formas de Ondas não Senoidais

Para um sistema monofásico sob condições não senoidais em regime permanente, as tensões e correntes instantâneas podem ser separadas em duas parcelas distintas:

v(t) =v1+vH e i(t) =i1+iH, (3.42) em que

v1=

p

2V1sen(ωt−α1), (3.43)

i1=

p

2I1sen(ωt−β1), (3.44)

vH=V0+

√ 2

∑

h6=1

Vhsen(hωt−αh), (3.45)

iH=I0+

√ 2

∑

h6=1

I_hsen(hωt₋β_h), (3.46)

em que v1 e i1 representam as componentes referentes à frequência fundamental do

sis-tema(f1=50 ou 60 Hz), enquanto que vHe iH representam as componentes harmônicas;

α1eβ1representam os ângulos de fase da tensão e corrente da componente fundamental,

ao passo que αh e βh representam os ângulos de fase da tensão e corrente das compo-nentes harmônicas; V0 e I0 correspondem as componentes contínua do sinal de tensão e

corrente, respectivamente.

As componentes V0 e I0 raramente estão presentes no sistema elétrico e geralmente

(3.45) e (3.46) tornam-se:

vH= √

2

∑

Vhsen(hωt−αh), (3.47)

iH= √

2

∑

Ihsen(hωt−βh). (3.48)

As equações (3.42), (3.47) e (3.48) também podem ser reescritas em termos de valores RMS como seguem:

V2=V2₁+V2_H e V2_H =

∑

V2_h, (3.49)

I2=I2₁+I2_H e I2_H=

∑

I2_h. (3.50)

A.1) Distorção Harmônica Total (THD)

Com base nos valores RMS fundamentais e harmônicas, a distorção harmônica total de tensão(T HDv)e a distorção harmônica total de corrente(T HDi), são definidas como:

T HDv=

VH

V1

e T HDi=

IH

I1

. (3.51)

A.2) Potência ativa

A potência ativa é definida como:

P=P1+PH, (3.52)

P1=V1I1cosθ1 e PH=

∑

VhIhcosθh, (3.53)

em que P1é a potência ativa fundamental, PH é a potência ativa harmônica,θ1representa

o ângulo de fase fundamental eθ_hrepresenta o ângulo de fase da harmônica.

A.3) Potência reativa fundamental

A potência reativa fundamental(Q1)é definida como:

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 28

A.4) Potência aparente

A potência aparente fundamental(S1)é definida como:

S1=V1I1, S1=

q

P2₁+Q2₁. (3.55)

A potência de distorção da corrente(DI), a potência de distorção da tensão(DV)e a potência aparente harmônica(SH)são definidas, por:

DI =V1IH, DV =VHI1, SH =VHIH. (3.56) A potência de distorção harmônica(DH)é definida como:

DH=

q

S2_H−P2_H. (3.57)

A potência aparente total(S)é definida como:

S2= (VI)2=S2₁+D2_I +D2_V+S2_H. (3.58) A potência aparente não fundamental(SN)é definida como:

S2_N =D2_I +D_V2+S2_H. (3.59) A potência não ativa (N)1é definida como:

N=pS2₋P2. (3.60)

A.5) Fator de Potência

A relação entre P1e S1é conhecida como fator de potência fundamental(FP1), sendo

definida como:

FP1=cosθ1=

P1

S1

. (3.61)

O fator de potência total(FP)é dado pela relação:

FP= P

S. (3.62)