Simulação e avaliação do comportamento dinâmico de frutos do cafeeiro na derriça

(1)

FÁBIO LÚCIO SANTOS

SIMULAÇÃO E AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO

DINÂMICO DE FRUTOS DO CAFEEIRO NA DERRIÇA

Tese apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Agrícola, para obtenção do título de Doctor Scientiae.

VIÇOSA

(2)

FÁBIO LÚCIO SANTOS

SIMULAÇÃO E AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO

DINÂMICO DE FRUTOS DO CAFEEIRO NA DERRIÇA

Tese apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Agrícola, para obtenção do título de Doctor Scientiae.

APROVADA: 28 de janeiro de 2008.

Prof. Francisco de Assis de Carvalho Pinto

(Co-orientador)

Prof. Joseph Kalil Khoury Junior

Prof. Márcio Arêdes Martins Prof. Nilson Salvador

(3)

“Disciplina é liberdade; compaixão é fortaleza; ter bondade é ter coragem”

(4)

À minha esposa Valquíria.

Aos meus pais, Sérgio Camilo e Maria de Lourdes.

Ao meu irmão, Luís Sérgio.

Aos meus avós, Nazaré de Oliveira e Mo-Phodes Siervuli.

Ao meu avô José Neves dos Santos (in memoriam).

A todos familiares e amigos.

(5)

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo dom da vida.

Aos meus familiares pelo suporte e confiança.

Ao Prof. Daniel Marçal de Queiroz, pela orientação, pela confiança e,

sobretudo, pela amizade.

À Universidade Federal de Viçosa e ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Agrícola, pela oportunidade de realização do curso.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

pela concessão da bolsa de estudos.

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e

ao Consórcio Brasileiro de Pesquisa e Desenvolvimento do Café (CBP & D café) pelo

suporte financeiro.

Aos professores Francisco de Assis de Carvalho Pinto, Nerilson Terra Santos e

Ricardo Capúcio de Resende pelo auxílio ao longo da realização do trabalho, pela

disponibilidade e pela amizade.

A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia

Agrícola que, de alguma forma, ajudaram na realização desse trabalho.

Aos amigos de laboratório , Alisson, Alcir, Andréia, Antônio, Bruno, Diogo,

Élder, Douglas, Fabiane, Francelino, Geice, Gérson, Gislaine, João Cléber, Kelisson,

Leonardo, Mário, Murilo, Paula, Renato, Ronaldo, Selma, Wagner, Walter e Willian.

Em especial, ao amigo Enrique, pela disponibilidade, ajuda, paciência e,

principalmente, pela sincera amizade.

Ao professor Antônio Tavares da Costa Júnior, da Universidade Federal

Fluminense, pela disponibilidade, auxílio e suporte com o sistema operacional Linux e,

principalmente, pela amizade.

A todos os professores e funcionários do Curso de Engenharia Mecânica, da

Universidade Estadual de Maringá, pelo apoio e confiança.

(6)

BIOGRAFIA

FÁBIO LÚCIO SANTOS, filho de Sérgio Camilo dos Santos e Maria de

Lourdes Santos, nasceu em Lavras, estado de Minas Gerais, no dia 24 de dezembro de

1979.

Em janeiro de 2003, concluiu o curso de Engenharia Agrícola na Universidade

Federal de Lavras.

Em fevereiro de 2003, iniciou o Curso de Mestrado em Engenharia Mecânica,

área de concentração em Projeto Mecânico, na Universidade Federal de Minas Gerais,

defendendo a dissertação em fevereiro de 2005.

Em março de 2005, iniciou o Curso de Doutorado em Engenharia Agrícola,

área de concentração em Mecanização Agrícola, na Universidade Federal de Viçosa,

submetendo-se à defesa em janeiro de 2008.

Em setembro de 2006, foi contratado como professor assistente, no Curso de

(7)

SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS ...ix

LISTA DE FIGURAS ...xiv

NOMENCLATURA ...xvii

RESUMO ...xxii

ABSTRACT...xxiv

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ...1

1.1. Introdução...1

1.2. Objetivos ...3

1.3. Justificativas ...4

1.4. Disposição do Trabalho...4

1.5. Referências Bibliográficas ...5

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS ...7

2.2. Método de Elementos finitos...8

2.2.1. Geração de Malhas ...9

2.2.2. Desenvolvimento das Matrizes Elemento ...11

CAPÍTULO 3 – FREQÜÊNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA FRUTO-PEDÚNCULO ...23

3.2. Revisão Bibliográfica ...25

3.2.1. Colheita por Vibrações Mecânicas ...25

3.2.2. Formulação do Problema de Autovalores e Autovetores ...28

(8)

Método de Jacobi Generalizado...34

Redução de Guyan ...37

Método do Subespaço ...40

3.3. Material e Métodos...41

3.3.1. Determinação das Propriedades Geométricas, Físicas e Inerciais do Sistema ...42

3.3.2. Geração de Malhas ...44

3.3.3. Modelagem por Elementos Finitos...46

3.3.4. Solução do Problema de Autovalor ...47

3.3.5. Fluxograma do Programa ...47

3.3.6. Validação do Modelo de Tridimensional em Elementos Finitos...48

3.4. Resultados e Discussão ...50

3.4.1. Propriedades Geométricas, Físicas e Inerciais do Sistema...50

3.4.2. Validação do Modelo Tridimensional em Elementos Finitos ...53

3.4.3. Determinação das Freqüências Naturais e Modos de Vibração do Sistema ...54

3.5. Conclusões...59

CAPÍTULO 4 – ESTUDO DAS TENSÕES NO SISTEMA FRUTO-PEDÚNCULO ...63

4.2.1. Colheita por Vibrações Mecânicas ...64

4.2.2. Discretização Numérica...66

Método da Diferença Central...67

Método de Newmark Beta ...70

Método da Superposição Modal ...71

4.2.3. Análise de Tensão de um Sistema ...73

4.3.1. Determinação das Propriedades Geométricas, Físicas e Inerciais do Sistema ...76

(9)

4.3.4. Fluxograma do Programa ...82

4.4.1. Propriedades Geométricas, Físicas e Inerciais do Sistema...86

4.4.3. Resposta Transiente e Estudo de Tensões no Sistema Fruto-pedúnculo ...90

CAPÍTULO 5 – ENSAIOS DE DERRIÇA ...100

5.3.1. Ensaios de Derriça – Máquina Vibradora...104

5.3.2. Ensaios de Derriça – Delineamento Experimental ...106

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES...132

(10)

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Fases e etapas que constituem a técnica de elementos finitos...9

Tabela 3.1 – Módulos de elasticidade empregados para determinação das

freqüências naturais e modos de vibração dos sistemas

fruto-pedúnculo ...44

Tabela 3.2 – Dimensões médias da geometria padrão do sistema

fruto-pedúnculo empregada na determinação das freqüência naturais e

modos de vibração ...45

Tabela 3.3 – Características do sistema empregado na validação do modelo

tridimensional em elementos finitos...49

Tabela 3.4 – Constante empregada para a determinação das freqüências

naturais de uma viga engastada ...50

Tabela 3.5 – Dimensões médias obtidas para os pedúnculos dos frutos de café

para as variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...50

Tabela 3.6 – Dimensões médias obtidas para os frutos de café para as

variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...51

Tabela 3.7 – Massa média obtida para os frutos de café para as variedades

Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...52

Tabela 3.8 – Volume médio obtido para os frutos de café para as variedades

Catuaí Vermelho e Mundo Novo em cada grau de maturação...52

Tabela 3.9 – Massa específica média determinada para os frutos de café para

as variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...52

Tabela 3.10 – Comparação entre a solução do modelo em elementos finitos

tridimensional proposto e a solução analítica unidimensional

obtidas para o sistema de validação...53

Tabela 3.12 – Freqüências naturais obtidas, por elementos finitos, para o

sistema fruto-pedúnculo para a variedade Catuaí Vermelho...54

(11)

Tabela 3.14 – Intervalo determinado entre as freqüências naturais associada

aos modos de vibração, em Hertz, obtidas para os frutos cereja e

verde para as variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...55

Tabela 4.1 – Módulos de elasticidade empregados para a simulação do

comportamento dos sistemas fruto-pedúnculo submetidos a

vibrações mecânicas ...77

Tabela 4.2 – Dimensões médias da geometria padrão do sistema

fruto-pedúnculo empregada na análise do comportamento dinâmico

do sistema ...78

Tabela 4.3 – Freqüências naturais do sistema fruto-pedúnculo para a

variedade Catuaí Vermelho e para os graus de maturação verde e

cereja...82

Tabela 4.4 – Freqüências naturais do sistema fruto-pedúnculo para a

variedade Mundo Novo e para os graus de maturação verde e

cereja...82

Tabela 4.5 – Dimensões médias obtidas para os pedúnculos dos frutos de café

para as variedades estudadas nos graus de maturação verde e

cereja...86

Tabela 4.6 – Dimensões médias obtidas para os frutos de café para as

variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo para os graus de

maturação verde e cereja ...87

Tabela 4.7 – Massa média obtida para os frutos de café para as variedades

Tabela 4.8 – Volume médio obtido para os frutos de café para as variedades

Tabela 4.9 – Massa específica média determinada para os frutos de café para

as variedades Catuaí Vermelho e Mundo Novo ...88

Tabela 4.10 – Deslocamento “pico-a-pico” obtidos para o sistemas

fruto-pedúnculo com base em ensaios de vibração realizados em

laboratório...89

Tabela 4.11 – Comparativo entre os valores médios experimentais de

deslocamentos “pico-a-pico” e valores simulados

(12)

Tabela 4.12 – Tensões equivalentes de Von Mises obtidas para a região de

união entre o fruto e o pedúnculo para a variedade Catuaí

Vermelho e para os graus de maturação verde e cereja...91

união entre o fruto e o pedúnculo para a variedade Mundo Novo

e para os graus de maturação verde e cereja...92

união entre o fruto e o pedúnculo para as variedades Catuaí

Vermelho e Mundo Novo e para os graus de maturação verde e

cereja...93

Tabela 5.1 – Sistemas de colheita ...101

Tabela 5.2 – Características técnicas da máquina vibradora eletromagnética ...105

Tabela 5.3 – Níveis avaliados nos testes de vibração para determinação da

eficiência de derriça...107

Tabela 5.4 – Níveis avaliados nos testes de vibração para determinação da

eficiência de derriça...107

Tabela 5.5 – Análise de variância para a eficiência de derriça de ramos

coletados na variedade Catuaí Vermelho ...109

Tabela 5.6 – Resultados obtidos da análise de variância do desdobramento da

interação entre os fatores freqüência e grau de maturação com

relação à eficiência de derriça em ramos da variedade Catuaí

Vermelho ...110

Tabela 5.7 – Média da eficiência de derriça em função da freqüência de

excitação e do grau de maturação para ramos coletados da

variedade Catuaí Vermelho ...111

Tabela 5.8 – Resultados da análise de regressão para estudar o efeito da

freqüência de vibração em diferentes graus de maturação de

frutos na eficiência de derriça de ramos coletados da variedade

Catuaí Vermelho...111

Tabela 5.9 – Análise de variância para a eficiência de derriça de ramos

coletados da variedade Mundo Novo ...113

(13)

relação à eficiência de derriça em ramos da variedade Mundo

Novo ...113

excitação e do grau de maturação para ramos coletados da

variedade Mundo Novo ...114

freqüência de vibração em diferentes graus de maturação de

frutos na eficiência de derriça de ramos coletados da variedade

Mundo Novo...114

amplitude em diferentes graus de maturação de frutos na

eficiência de derriça de ramos coletados da variedade Mundo

Novo ...116

interação entre os fatores amplitude e grau de maturação com

relação a eficiência de derriça em ramos da variedade Mundo

Novo ...118

Tabela 5.15 – Médias para eficiência de derriça em função da amplitude de

excitação e do grau de maturação dos frutos para a variedade

Mundo Novo...118

interação entre os fatores freqüência e nº de frutos por

pedúnculo com relação a eficiência de derriça em ramos da

excitação e do nº de frutos por pedúnculo em ramos coletados da

freqüência de vibração considerando o número de frutos por

pedúnculo na eficiência de derriça de ramos coletados da

Tabela 5.19 – Resultado da análise de regressão para estudar o efeito da

(14)

Tabela 5.20 – Análise de variância para eficiência de derriça de ramos

coletados da variedade Catuaí Vermelho ...123

Tabela 5.21 – Análise de variância para eficiência de derriça de ramos

coletados da variedade Mundo Novo ...124

Tabela 5.22 – Análise de regressão para eficiência de derriça de frutos cereja

para a variedade Catuaí Vermelho considerando freqüência e

amplitude ...124

Tabela 5.23 – Análise de regressão para eficiência de derriça de frutos cereja

para a variedade Mundo Novo considerando freqüência e

(15)

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Representação geométrica de elementos tetraédricos e

hexaédricos. ...10

Figura 2.2 – Representação geométrica de elementos tetraédricos e hexaédricos de ordem superior. ...10

Figura 2.3 – Representação geométrica de um elemento tetraédrico genérico...12

Figura 3.1 – Imagem sistema fruto-pedúnculo. ...42

Figura 3.2 – Representação das principais dimensões empregadas na geometria padrão, em que: Dp = diâmetro do pedúnculo; Cp = comprimento do pedúnculo; Cf = comprimento do fruto e De = diâmetro equatorial do fruto. ...45

Figura 3.3 – Malha emprega na determinação das propriedades modais do sistema fruto-pedúnculo. ...46

Figura 3.3 – Fluxograma do programa computacional elaborado. ...48

Figura 3.4 – Pontos de simulação empregados na determinação das propriedades modais do sistema fruto-pedúnculo. ...56

Figura 3.5 – Modo de vibração pendular do sistema fruto-pedúnculo. ...57

Figura 3.6 – Modo de vibração de torção do sistema fruto-pedúnculo. ...58

Figura 3.7 – Modo de vibração em contra-fase do sistema fruto-pedúnculo...59

Figura 4.1 – Representação das principais dimensões empregadas na geometria padrão em que: Dp = diâmetro do pedúnculo; Cp = comprimento do pedúnculo; Cf = comprimento do fruto e De = diâmetro equatorial do fruto. ...78

Figura 4.2 – Malha empregada na determinação das tensões no sistema fruto-pedúnculo durante o procedimento de derriça...79

Figura 4.2 – Fluxograma do programa computacional elaborado para análise transiente de sistemas. ...83

(16)

Figura 4.4 – Estrutura desenvolvida para fixação dos ramos plagiotrópicos de

café. ...85

Figura 4.5 – Deslocamento (“pico-a-pico”) do sistema fruto-pedúnculo

durante o ensaio de derriça: (a) deslocamento máximo à

esquerda, (b) sistema estático e (c) deslocamento máximo à

direita. ...89

Figura 4.6 – Tensão equivalente de Von Mises obtida para o sistema

fruto-pedúnculo submetido a uma freqüência de 26,67 Hz e amplitude

de 15 mm para a variedade Catuaí Vermelho no grau de

maturação verde...94

de 15 mm para a variedade Catuaí Vermelho no grau de

maturação cereja. ...94

de 15 mm para a variedade Mundo Novo no grau de maturação

verde. ...95

de 15 mm para a variedade Mundo Novo no grau de maturação

cereja...95

Figura 4.10 – Evolução da distribuição de tensões ao longo do sistema

fruto-pedúnculo. ...96

Figura 5.1 – Sistema empregado nos ensaios de derriça: (a) gerador de sinais,

(b) amplificador e (c) máquina vibradora...105

Figura 5.2 – Estrutura desenvolvida para fixação do ramo de café. ...106

Figura 5.3 – Efeito da freqüência sob a eficiência de derriça nos diferentes

graus de maturação para a variedade Catuaí Vermelho. ...112

Figura 5.4 – Efeito da freqüência de vibração sob a eficiência de derriça nos

diferentes graus de maturação para a Variedade Mundo Novo...116

Figura 5.5 – Efeito da amplitude de vibração sob a eficiência de derriça nos

(17)

Figura 5.6 – Efeito da freqüência de vibração sob a eficiência de derriça para

diferentes números de frutos por pedúnculo para a variedade

Mundo Novo...121

Figura 5.7 – Efeito da freqüência de vibração sob a eficiência de derriça para

diferentes direções de vibração para a variedade Mundo Novo...122

Figura 5.8 – Superfície de resposta para variedade Catuaí Vermelho. ...126

Figura 5.9 – Superfície de resposta para variedade Mundo Novo. ...126

Figura 5.10 – Cortes na superfície de resposta para a eficiência de derriça em

função da freqüência de vibração para cada nível de amplitude

da variedade Catuaí Vermelho. ...127

Figura 5.11 – Cortes na superfície de respostas para eficiência de derriça em

função da freqüência de vibração para cada nível de amplitude

(18)

NOMENCLATURA

CAPÍTULO 2

ai coeficiente baseado nas coordenadas dos “nós”

bi coeficiente baseado nas coordenadas dos “nós”

[B] matriz elemento de deslocamentos nodais;

c coeficiente de amortecimento, N.s/m

ci coeficiente baseado nas coordenadas dos “nós”

[C] matriz amortecimento

di coeficiente baseado nas coordenadas dos “nós”

[D] matriz material

E modulo de elasticidade, N/m2 '(.)

f função transformada – coordenadas locais

[J] matriz Jacobiana

(.)

J determinante da matriz Jacobiana

[K] matriz rigidez

Li função de forma

[L] matriz operadores diferenciais

[M] matriz massa

[N] matriz função de interpolação

NG número de pontos de Gauss

U deslocamento nodal

V deslocamento nodal

V volume do elemento tetraédrico, m3

w deslocamento nodal

W fator peso de Gauss

µ coeficiente de Poisson

(19)

ρ massa específica do material, kg/m3 α expoente da função de forma L1

β expoente da função de forma L2

{ }

ε vetor de deformações

δ expoente da função de forma L4 γ expoente da função de forma L3

j

η pontos de integração de Gauss

i

ξ pontos de integração de Gauss

k

ζ pontos de integração de Gauss

CAPÍTULO 3

A área da seção transversal da viga, m2 E módulo de elasticidade, N/m2

'

[D_k] matriz de autovalores

I momento de inércia

l comprimento da viga, m

m massa do sistema, kg

m

m massa média dos frutos, kg

[M] matriz massa, kg

MG matriz massa reduzida

k rigidez do sistema, N/m

[ ]K matriz rigidez

KG matriz rigidez reduzida

[R_k] matriz de rotação

( )

R λ matriz reduzida

p índice para grau de liberdade primário

s índice para grau de liberdade secundário

s fator de tolerância.

t tempo, s.

(20)

m

V volume médio dos frutos, m3

α função da matriz de rotação método de Jacobi

i

β constante relativa a i-ésima freqüência natural

{ }

φ i autovetor associado a i-ésima freqüência natural γ função da matriz de rotação método de Jacobi

i k

λ i-ésimo autovalor do sistema na iteração k

[ ]

λ autovalores do sistema ρ massa específica do material, kg/m3

m

ρ massa específica média, kg/m3 υ deslocamento do sistema, m

{ }

υ&& vetor aceleração, m/s2

i

ω i-ésima freqüência natural do sistema, rad/s

CAPÍTULO 4

A amplitude de vibração, m

[ ]

C matriz amortecimento

[D] matriz material ou módulo

E módulo de elasticidade, N/m2

n

F força variável ao longo do tempo, N

{

F t( )

}

vetor de carregamentos externos

[ ]

K matriz rigidez

m massa do fruto, kg

[ ]

M matriz massa

t intervalo de tempo, s

Tn menor período de vibração do sistema de dimensão n

u deslocamento nodal

v deslocamento nodal

w deslocamento nodal

(21)

β parâmetro para controle do método de Newmark

{ }

ε vetor de deformações

tc t

∆ intervalo de tempo crítico

[ ]

φ matriz de autovetores

µ coeficiente de Poisson

{ }

Λ vetor com as amplitudes modais

e

σ tensão equivalente de Von Mises, MPa

xx

σ tensões normais na direção x, MPa

yy

σ tensões normais na direção y, MPa

zz

σ tensões normais na direção z, MPa

xy

τ

tensão de cisalhamento, MPa

xy

τ tensão de cisalhamento, MPa

yz

τ tensão de cisalhamento, MPa

{ }

υ vetor deslocamento

{ }

υ& vetor velocidade

{ }

υ&& vetor aceleração

ω freqüência de vibração aplicada, rad/s

i

ω i-ésima freqüência natural do sistema

i

ξ razão de amortecimento para o i-ésimo autovetor

CAPÍTULO 5

A amplitude, mm

Ed eficiência de derriça, %

Ed-ce eficiência de derriça para o graus de maturação cereja

Ed-l eficiência de derriça na direção de vibração longitudinal

Ed-pa eficiência de derriça para o grau de maturação passa

Ed-t eficiência de derriça na direções de vibração transversal

(22)

Ed-vo eficiência de derriça para o grau de maturação verdoengo

Ed-1f eficiência de derriça para um fruto por pedúnculo

Ed-2f eficiência de derriça para dois frutos por pedúnculo

(23)

RESUMO

SANTOS, Fábio Lúcio, D.Sc., Universidade Federal de Viçosa, janeiro de 2008. Simulação e avaliação do comportamento dinâmico de frutos do cafeeiro na derriça. Orientador: Daniel Marçal de Queiroz. Co-orientadores: Francisco de Assis de Carvalho Pinto, Nerilson Terra Santos e Ricardo Capúcio de Resende.

A colheita pode ser considerada uma das operações mais importantes nos

sistemas de produção de café devido ao seu elevado custo e ao impacto que tem na

qualidade do produto. Para reduzir os custos de produção, tem-se buscado formas de

mecanizar essa operação. As máquinas de colheita de café geralmente derriçam os

frutos por meio de vibrações mecânicas e impacto. Portanto, o estudo do

comportamento dinâmico dos sistemas fruto-pedúnculo dos frutos do cafeeiro é

fundamental para o desenvolvimento de máquinas adequadas a este tipo de prática. Este

trabalho foi desenvolvido com o objetivo de estudar o comportamento dinâmico de

sistemas fruto-pedúnculo do cafeeiro. Para tal foi empregado um modelo tridimensional

em elementos finitos baseado na teoria da elasticidade linear. Todos os programas

computacionais desenvolvidos foram implementados em linguagem FORTRAN 90. A

primeira parte do trabalho baseou-se no desenvolvimento e implementação do modelo

de elementos finitos. As características geométricas, físicas e inerciais do sistema foram

determinadas experimentalmente para a variedade Catuaí Vermelho e Mundo Novo

considerando diferentes graus de maturação. Um programa computacional foi

desenvolvido para a determinação das freqüências naturais e modos de vibração dos

sistemas fruto-pedúnculo para ambas as variedades estudadas e para os diferentes graus

de maturação considerados. Adicionalmente, foi realizado um estudo das tensões

geradas no sistema fruto-pedúnculo durante o processo de vibração. Para o estudo do

comportamento dinâmico do sistema, durante o procedimento de colheita, foram

determinadas as tensões equivalentes de von Mises. Ambos os modelos propostos foram

validados com base em metodologias específicas para cada caso. Na segunda parte do

trabalho foram realizados testes experimentais em uma máquina vibradora

(24)

derriça dos frutos do cafeeiro. Os fatores avaliados foram: a freqüência (13,33 a 26,67

Hz), amplitude (7,5 a 15,0 mm), direção de vibração (transversal ou longitudinal), grau

de maturação dos frutos (verde, verdoengo, cereja e passa), número de frutos por

pedúnculo (um e dois frutos) e comprimento dos ramos plagiotrópicos (5, 10 e 15 cm).

Foram executados dois experimentos para as variedades Catuaí Vermelho e Mundo

Novo: o primeiro com o objetivo de avaliar o efeito dos fatores de forma pontual (um e

dois frutos por pedúnculo) durante o processo de vibração sob a eficiência de derriça; o

segundo com o objetivo de avaliar a eficiência de derriça para os ramos com frutos

cereja sob o efeito de diferentes freqüências e amplitudes de vibração. A partir da

análise das características modais usando elementos finitos concluiu-se que, para a

variedade Catuaí Vermelho as três primeiras freqüências naturais obtidas foram de

23,21; 57,66 e 295,69 Hz para frutos verdes, de 21,81; 53,58 e 275,81 Hz para frutos

verdoengos e de 19,86; 50,37 e 254,18 Hz para frutos cerejas. Para a variedade Mundo

Novo as freqüências naturais obtidas foram de 23,17; 59,87 e 300,59 Hz para frutos

verdes, de 23,62; 55,63 e 292,79 Hz para frutos verdoengos e de 20,56; 49,57 e 257,44

Hz para frutos cerejas. A partir da análise de tensões foram determinados 23,75 e 13,36

MPa de tensão máxima na união entre o fruto e o pedúnculo para a variedade Catuaí

Vermelho e 34,67 e 19,50 MPa para a variedade Mundo Novo nos graus de maturação

verde e cereja, respectivamente, considerando uma freqüência de vibração de 26,67 Hz

e uma amplitude de 15,0 mm. A partir dos resultados experimentais, verificou-se que a

eficiência de derriça de frutos do cafeeiro está diretamente relacionada aos fatores

freqüência e amplitude de vibração. A freqüência de 26,67 Hz apresentou uma melhor

eficiência de derriça para todos os graus de maturação e variedades. As freqüências

entre 23,33 e 26,67 Hz e amplitudes variando entre 12,5 e 15,0 mm tenderam a

(25)

ABSTRACT

SANTOS, Fábio Lúcio, D.Sc., Universidade Federal de Viçosa, January, 2008. Simulation and evaluation of the dynamic behavior of the coffee fruits during harvesting. Advisor: Daniel Marçal de Queiroz. Co-Advisers: Francisco de Assis de Carvalho Pinto, Nerilson Terra Santos and Ricardo Capúcio de Resende.

Harvesting procedure can be considered one of the most important operations

in coffee production systems due the high cost and impact on quality of the product. To

reduce production costs, the producers have looked for ways to mechanize this

operation. Coffee harvesting machines, generally, uses mechanical vibrations and

impact to detach the fruits from the plants. Therefore, the dynamic behavior study of the

coffee fruit-stem systems is fundamental to design adequate harvesting machines for

this specific task. The objective of this work was to study the dynamic behavior of the

coffee fruit-stem systems. It was used a three-dimensional finite element numerical

model base on linear elasticity theory. All computational programs were developed in

FORTRAN 90 programming language. The first part of this work was based on

developing and implementation of the finite element model. Geometric, physical and

inertial characteristics were experimental determined for Catuaí Vermelho e Mundo

Novo varieties considering different ripeness stages. A computational program was

developed to determine the coffee fruit-stem natural frequencies and mode shapes for

both varieties and ripeness stages in this work. Another computer program was

developed to calculate the stresses generated in coffee fruit-stem system during the

vibration process. Equivalent von Mises stresses were determine to study the dynamic

behavior of the system during harvesting procedure. Both proposed models were

validated according specific methodologies developed for each case. In the second part

of this work, experimental tests were carried out using an electromagnetic shaker, to

determine the effect of several factors in coffee harvesting efficiency. The evaluated

factors were: frequency (13.33 to 26.67 Hz), amplitude (7.5 to 15.0 mm), direction of

vibration (transversal and longitudinal), ripeness stage (green, half-ripe, ripe, over

(26)

cm). Two experiments were performed for Catuaí Vermelho and Mundo Novo varieties:

the main goal of the first experiment was to evaluate the localized effect (one and two

fruits per stem) of the factors related to harvesting efficiency during the vibration

process; the goal of the second experiment was to evaluate the frequency and amplitude

effect in harvesting efficiency in branches with ripe fruits. From the modal analysis

using finite element technique for Catuaí Vermelho variety, the first three natural

frequencies were 23.21, 57.66 and 295.69 Hz for green fruits; 21.81, 53.58 e 275.81 Hz

for half-ripe fruits and 19.86, 50.37 e 254.18 Hz for ripe fruits. Natural frequencies

determined for Mundo Novo variety were 23.17, 59.87 and 300.59 Hz for green fruits;

23.62, 55.63 and 292.79 Hz for half-ripe fruits and 20.56, 49.57 and 257.44 Hz for ripe

fruits. From the stress analysis performed using the finite element technique, the stresses

in the region of union between the fruit and stem determined were 23.75 and 13.36 MPa

for Catuaí Vermelho and 34.67 e 19.50 MPa for Mundo Novo variety for green and ripe

fruits, respectively, these results were obtained using a frequency of vibration of 26.67

Hz and amplitude of 15.0 mm. From the experimental work, it was obtained that the

frequency of 26.67 Hz presented the highest harvesting efficiency for both studied

varieties and for all ripeness stages. Frequencies in the range of the 23.33 to 26.67 Hz

and amplitudes in the ranges of 12.5 to 15.0 mm presented highest harvesting efficiency

(27)

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO

O Brasil é o maior produtor mundial de café, sendo que o estado de Minas

Gerais possui posição de destaque no cenário nacional, com cerca de 42% do total de

café produzido no país (MATIELLO et. al., 2002). Contudo, um dos principais

problemas enfrentados pela cafeicultura brasileira é o aspecto qualitativo do café. O

café é um produto cujo preço de mercado está associado a parâmetros de qualidade,

variando de forma significativa em função de sua qualidade, a qual pode estar

relacionada aos tratos culturais, a colheita, ao pré-processamento e ao beneficiamento

empregado no seu ciclo de produção. Segundo FILGUEIRAS (2001), as perdas

financeiras relacionadas à qualidade podem variar de 10 a 20% quanto ao aspecto do

produto, 40% em função da bebida e até 60% para café de mau aspecto e apresentando

bebida ruim.

Dentre as operações realizadas durante o ciclo de produção do café, a colheita

se destaca como uma das mais complexas em virtude de fatores como a arquitetura da

planta e a desuniformidade de maturação dos frutos. A colheita do café pode ser descrita

em três etapas: a primeira etapa refere-se a derriça ou catação, a segunda é composta

pela varrição e pelo recolhimento e a terceira, a abanação dos frutos. Durante a fase de

derriça, a árvore pode ser colhida de uma única vez ou de forma seletiva, em que

somente os frutos maduros são colhidos (SOUZA, 2004).

Segundo CORTEZ (2001), a colheita pode ser considerada a operação mais

onerosa relacionada à produção do café, devido ao fato desta exigir um grande

contingente de mão-de-obra e, também, por estar relacionada ao índice de qualidade

elevado exigido para a comercialização do produto.

Segundo SILVA (2001), a colheita mecanizada pode ser considerada como um

importante fator na redução de custos de produção do café, uma vez que a redução dos

custos é diretamente proporcional ao nível de mecanização empregado na execução das

operações. Além disso, com relação à qualidade final do café, estudos realizados por

CARVALHO JUNIOR et al. (2003) indicaram não existir diferenças significativas entre

(28)

trabalho avaliadas diferentes variações do sistema de colheita, dentre as quais pode-se

destacar a manual, semi-mecanizada e mecanizada.

A derriça total dos frutos presentes na planta pode proporcionar perda de

qualidade da bebida do café, caso não sejam tomadas providências no sentido de isolar

os frutos em cada estádio de maturação e de eliminar as impurezas de colheita, seja na

fase relativa à pós-colheita ou mesmo durante a fase de beneficiamento do produto

(CORTEZ, 2001).

A colheita mecanizada dos frutos do cafeeiro tem sido realizada por meio de

vibrações mecânicas. A partir da associação de fatores como freqüência e amplitude de

vibração, pode-se transferir energia vibracional suficiente para o desprendimento dos

frutos. Desta forma, a partir do conhecimento das propriedades modais do sistema

fruto-pedúnculo, pode-se empregar níveis de freqüência e amplitude adequados para a

realização da colheita seletiva dos frutos.

No entanto, vários fatores podem influenciar o sucesso do processo de

mecanização e o desenvolvimento de máquinas para colheita seletiva do café, por meio

de vibrações mecânicas. Dentre estes fatores, destaca-se a grande variabilidade existente

entre as variedades, a qual pode ser representada pela estrutura, forma e tamanho das

plantas (SRIVASTAVA et al., 1996). Devido a esse grande número de fatores e à

complexidade do problema, torna-se importante o uso de técnicas de modelagem

matemática para que uma análise mais detalhada de sistemas de colheita possa ser

realizada.

O processo de modelagem matemática consiste da utilização de ferramentas

matemáticas, as quais possibilitam a compreensão do comportamento e da dinâmica de

determinados sistemas físicos. Assim, a modelagem matemática e a simulação da

dinâmica de um sistema tornam-se ferramentas essenciais para a geração de cenários os

quais se pretende estudar (SOUZA, 2004). Desta forma, a técnica numérica de

elementos finitos surge como uma versátil ferramenta para a solução de modelos

matemáticos de sistemas físicos, possibilitando rápidas análises e simulações de

sistemas com elevado grau de confiabilidade. Segundo HUEBNER et al. (2001), a

modelagem tridimensional em elementos finitos permite a análise e solução de

complexos problemas de engenharia, por possibilitar a utilização de um maior número

de graus de liberdade na representação dos sistemas físicos.

(29)

verificar a viabilidade técnica e econômica de um determinado projeto, além de

possibilitar a identificação de problemas antes de sua ocorrência. Portanto, a

modelagem matemática e a simulação sistemas podem ser aplicadas no aprimoramento

e otimização de máquinas empregadas na colheita do café, bem como no estudo do

comportamento dinâmico desses sistemas durante o procedimento de colheita por

vibrações mecânicas.

1.2. OBJETIVOS

Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de analisar o comportamento

dinâmico do sistema fruto-pedúnculo durante o processo de derriça dos frutos do

cafeeiro, a partir de modelos tridimensionais solucionados a partir do método de

elementos finitos e, também, por meio de ensaios laboratoriais de derriça por vibrações

mecânicas.

Os objetivos específicos deste trabalho foram:

- determinar as propriedades físicas, geométricas e inerciais dos sistemas

fruto-pedúnculo em diferentes estádios de maturação;

- desenvolver modelos tridimensionais fundamentados na teoria da elasticidade

linear, empregando a técnica de elementos finitos para a simulação da derriça e

determinação das propriedades modais do sistema fruto-pedúnculo;

- validar o modelo implementado, comparando os valores experimentais obtidos

com os valores simulados;

- analisar o processo de derriça, com base no modelo implementado, por meio da

distribuição das tensões atuantes no sistema fruto-pedúnculo durante este

procedimento;

- realizar ensaios laboratoriais do procedimento de derriça dos frutos do cafeeiro,

considerando diferentes graus de maturação, freqüências, amplitudes e direções

(30)

1.3. JUSTIFICATIVAS

O Brasil é o maior produtor mundial de café e o estado de Minas Gerais possui

significativa contribuição nesta produção. Considerando a importância que o processo

de colheita tem no custo de produção e na qualidade final do café, a relevância deste

trabalho apóia-se na contribuição para a construção de uma base teórica consistente,

sobre o comportamento dinâmico do sistema fruto-pedúnculo dos frutos do cafeeiro.

Uma vez que o estudo e o entendimento desses sistemas, é fundamental para o projeto

de máquinas otimizadas e eficientes, destinadas à colheita do café.

Contudo, o modelo matemático tridimensional desenvolvido e implementado

em elementos finitos, caracteriza uma contribuição para a solução de problemas de

engenharia, os quais envolvam a determinação de características modais (freqüências

naturais e modos de vibração) de um determinado sistema, bem como, a realização de

análises transientes e determinação das tensões atuantes neste sistema.

1.4. DISPOSIÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho foi dividido em seis capítulos. Nesta seção é apresentada uma

breve descrição dos tópicos abordados em cada capítulo.

No capítulo 2, é apresentada a formulação teórica em elementos finitos, a qual

se baseia na obtenção das matrizes massa e rigidez para elementos de geometria

tetraédrica que foram empregadas na discretização do domínio do sistema estudado,

constituído pela geometria do sistema fruto-pedúnculo. Também, neste capítulo, é

apresentada uma revisão bibliográfica sobre a geração e as principais características de

malhas empregadas em análises por elementos finitos, a qual pode ser tratada como um

fator fundamental para a convergência numérica do método.

No capítulo 3, é apresentada uma revisão sobre os principais métodos de

determinação e solução de problemas de autovalor. Também é apresentada a

discretização do sistema fruto-pedúnculo e a associação das matrizes local em matrizes

massa e rigidez globais. Estas matrizes permitiram a determinação das freqüências

naturais e dos modos de vibração do sistema, a partir da solução do sistema pelo método

(31)

ressaltando os aspectos das características modais do sistema fruto-pedúnculo, bem

como, sua importância para o entendimento e desenvolvimento de sistemas de derriça.

Uma revisão bibliográfica sobre métodos de integração numérica, empregados

na análise transiente de sistemas fruto-pedúnculo é apresentada no capítulo 4. Os

resultados obtidos a partir do método de integração numérica de Newmark permitiram a

determinação das tensões geradas durante o processo de derriça por vibrações

mecânicas, sendo estes resultados importantes para o projeto de máquinas adaptadas a

colheita do café.

No capítulo 5, é apresentada uma metodologia de ensaios de derriça realizados

em laboratório. Neste capítulo, o efeito de fatores como freqüência, amplitude e direção

de vibração foram avaliados, bem como, o efeito do grau de maturação e do

comprimento dos ramos plagiotrópicos sobre a eficiência de derriça dos frutos do

cafeeiro. Os resultados apresentados caracterizaram a importância da associação

adequada de fatores como freqüência e amplitude de vibração na derriça de frutos do

cafeeiro.

Finalmente, no capítulo 6, é apresentada uma visão geral do trabalho, o qual foi

exposto e descrito detalhadamente nos capítulos anteriores, bem como, uma conclusão

geral sobre os resultados obtidos em cada capítulo abordado neste trabalho.

1.5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARVALHO JÚNIOR, C.; BORÉM, F. M.; PEREIRA, R. G. F. A.; SILVA, F. M. Influência de diferentes sistemas de colheita na qualidade do café (Coffea arabica L.).

Revista Ciência e Agrotecnologia, v.27, n. 5, p. 1089-1096, 2003.

CORTEZ, J. G. Efeito de espécies e cultivares e do processamento agrícola e

industrial nas características da bebida no café. Piracicaba, SP: ESALQ. 2001. 71p.

Tese de doutorado.

FILGUEIRAS, W. H. Modelagem da planta de café por elementos finitos para

estudos de colheita por vibração. Viçosa, MG: UFV. 2001. 81p. Dissertação de

Mestrado.

HUEBNER, K. H.; DEWHIRST, D. L.; SMITH, D. E.; BYRON, T. G. The finite

element method for engineers. Fourth edition. New York, EUA. John Wiley & Sons,

(32)

MATIELLO, J. B.; SANTINATO, R.; GARCIA, A. W. R.; ALMEIDA, S. R.; FERNANDES, D. R. Cultura de café no Brasil: Novo manual de recomendações. Rio de Janeiro, RJ: MAPA/PROCAFÉ, 2002. 387p.

SILVA, F. M. Colheita do café mecanizada e semi-mecanizada. Lavras, MG: UFLA. 2001. 88p. Boletim de Extensão.

SOUZA, C. M. A. Desenvolvimento e modelagem de sistemas de derriça e de

abanação de frutos do cafeeiro. Viçosa, MG: UFV. 2004. 123p. Tese de Doutorado.

SRIVASTAVA, A. K.; GOERING, C. E.; ROHRBACH, R. P. Engineering principles

of agricultural machines. Michigan: ASAE. 601p., 1996.

(33)

CAPÍTULO 2 – SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS

2.1. INTRODUÇÃO

Os fenômenos naturais, de uma forma geral, podem ser descritos

empregando-se equações algébricas ou diferenciais. Segundo REDDY (1993), o estudo de sistemas

físicos envolve duas tarefas principais, a formulação e a análise do modelo matemático

desenvolvido para modelar o sistema ou fenômeno.

A modelagem matemática de sistemas físicos requer a aplicação de leis

fundamentais, as quais auxiliam a determinação das equações, comumente diferenciais,

que regem o comportamento de um sistema. Basicamente, o desenvolvimento de

modelos matemáticos tem como objetivo a descrição do comportamento e do

funcionamento de um sistema.

A solução do modelo matemático permite calcular as características do sistema

ou processo modelado. Contudo, com o advento do computador, simulações numéricas

têm sido cada vez mais utilizadas, o que possibilita o estudo e análise de sistemas mais

complexos. Dentre os vários métodos numéricos existentes, destaca-se o método de

elementos finitos. O método de elementos finitos pode ser definido como uma técnica

de análise numérica empregada na obtenção de soluções aproximadas de equações

diferenciais, ou modelos matemáticos, que regem o comportamento de um sistema

físico (REDDY, 1993; HUEBNER et al., 2001; ZIENKIEWICZ et al., 2005).

A análise por elementos finitos tem sido cada vez mais empregada na solução

de uma série de problemas de engenharia, como problemas de vibrações mecânicas em

estruturas, análise de tensões, transferência de calor, mecânica dos fluidos, entre outras

aplicações (SEGERLIND, 1984; REDDY, 1993; HUEBNER et al., 2001).

YUNG e FRIDLEY (1975) empregaram a técnica de elementos finitos no

estudo da resposta de uma planta, bem como de alguns de seus subsistemas, submetidos

a vibrações livres e forçadas. Os resultados permitiram o estudo dinâmico desse sistema

a partir da determinação de suas freqüências naturais, além de um maior entendimento

desse sistema durante o processo de vibração.

FILGUEIRAS (2001) desenvolveu um modelo para prever a dinâmica de uma

(34)

programa computacional ANSYS. Foram determinadas as freqüências naturais e os

modos de vibração da planta, além de alguns de seus subsistemas, como o tronco e os

galhos.

Segundo SOUZA (2004), as técnicas de modelagem matemática e de

simulação têm sido utilizadas no aprimoramento e otimização de máquinas empregadas

na colheita de café, principalmente devido à complexidade apresentada no

desenvolvimento de tal processo. Com a utilização de modelagem matemática e a

simulação de sistemas, é possível reduzir custos em avaliações, verificar a viabilidade

técnica e econômica de um determinado projeto, além de possibilitar a identificação de

problemas em potencial antes da sua ocorrência (WINSTON; 1994).

Este capítulo tem como objetivo apresentar, de uma maneira formal, a base

teórica empregada no desenvolvimento da técnica de elementos finitos. Na próxima

seção, será descrito o funcionamento da técnica, bem como, a formulação para a

obtenção das matrizes massa, rigidez e amortecimento, considerando um modelo

tridimensional baseado na teoria da elasticidade linear. Também serão abordados alguns

aspectos sobre a geração de malhas, a qual compõe uma etapa fundamental para o êxito

da técnica.

2.2. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

A análise por elementos finitos pode ser dividida em três fases:

pré-processamento, análise e pós-processamento. Em cada fase existem etapas fundamentais

a serem cumpridas. Na Tabela 2.1 são apresentadas as principais etapas realizadas em

cada fase para o desenvolvimento do método.

Segundo REDDY (1993), o método de elementos finitos permite a solução de

problemas com geometrias complexas e a utilização de diferentes materiais ou

propriedades em um mesmo domínio. Essa característica torna a técnica viável para a

solução de uma grande parcela dos problemas de engenharia. Entretanto, a convergência

do método de elementos finitos depende da discretização do sistema a ser analisado.

Portanto, na fase de pré-processamento, a geração da malha (discretização de um

(35)

Tabela 2.1 – Fases e etapas que constituem a técnica de elementos finitos

Fases Descrição Etapas

Discretização do contínuo

Pré-processamento

Definição das características do

modelo e das propriedades dos

materiais que o constituem

Aplicação das propriedades dos

materiais

Determinação das matrizes elemento

Montagem das matrizes globais

Aplicação das condições de contorno Análise Geração e solução das equações

Solução do sistema de equações

Determinação de parâmetros

adicionais importantes ao sistema Pós-processamento

Os resultados são expressos na forma

de gráficos, tabelas, ou na forma de

animações _{Apresentação dos resultados}

2.2.1. Geração de Malhas

A geração de malhas computacionais é um importante passo para a

discretização de sistemas empregados em simulações numéricas e análises de problemas

de engenharia. Segundo CHENG (2006), uma malha pode ser definida como partição ou

discretização de um domínio em elementos poliédricos de simples geometria, sendo

estes quadriláteros e triângulos empregados na geração de malhas bidimensionais e

tetraedros e hexaedros empregados na geração de malhas tridimensionais.

As malhas podem ser divididas em estruturadas e não estruturadas. Malhas

estruturadas são malhas localmente ortogonais, obedecendo a um sistema coordenado

(norte, sul, leste, oeste) e, usualmente, empregam elementos quadrilaterais para malhas

bidimensionais e hexaédricos para malhas tridimensionais. Malhas não estruturadas são

malhas não ortogonais, desta forma, requerem informações sobre a conectividade entre

os elementos. Usualmente, as malhas não estruturadas são constituídas por triângulos na

geração de malhas bidimensionais e tetraedros para malhas tridimensionais

(ZIENKIEWICZ et al., 2005).

Malhas estruturadas possuem limitações quanto à complexidade geométrica do

domínio a ser discretizado. Desta forma, a utilização de malhas não estruturadas é mais

adequada na solução da maioria dos problemas de engenharia, uma vez que este tipo de

malha apresenta poucas restrições com relação à complexidade geométrica dos

(36)

acordo com ZIENKIEWICZ et al. (2005), existem vários algoritmos empregados na

geração de malhas não estruturadas, dentre os quais destacam-se a triangulação de

Delaunay e o método da frente de avanço.

Na Figura 2.1 são apresentados os elementos tridimensionais tetraédricos e

hexaédricos. Segundo HUEBNER et al. (2001), o elemento tridimensional mais

simples, empregado na geração de malhas tridimensionais, é o elemento tetraédrico com

quatro nós, os quais referem-se a interseção entre segmentos de retas que compõem os

elementos.

Figura 2.1 – Representação geométrica de elementos tetraédricos e hexaédricos.

Na Figura 2.2 são apresentados os elementos tetraédricos e hexaédricos de

ordem superior, esses elementos são obtidos a partir da adição de nós intermediários.

Esses nós adicionais alteram as funções de interpolação empregadas, as quais serão

compostas por polinômios de interpolação de ordem superior.

Figura 2.2 – Representação geométrica de elementos tetraédricos e hexaédricos de ordem superior.

A utilização de elementos finitos tridimensionais produz considerável melhora

nos resultados obtidos para a modelagem de determinados problemas de engenharia, por

possibilitar a utilização de um maior número de graus de liberdade na representação dos

sistemas físicos (HUEBNER et al., 2001; ZIENKIEWICZ et al., 2005). No entanto, de

acordo com REDDY (1993), a discretização de um sistema ou partes de um sistema

(37)

com exatidão. Portanto, em alguns casos, técnicas de refinamento e suavização devem

ser utilizadas para se aumentar a qualidade da malha empregada na análise por

elementos finitos.

Existem várias técnicas que podem ser empregadas para verificação da

qualidade de uma malha (LO, 1985; LO, 1989; EL-HAMALAWI, 2000). Usualmente

estas técnicas se baseiam na razão de aspecto da malha, a qual está associada a

topologia dos elementos.

A qualidade de uma malha pode influenciar a análise por elementos finitos,

uma vez que elementos altamente distorcidos (não regulares) podem afetar a

convergência e a precisão da resposta desta técnica numérica (EL-HAMALAWI, 2000).

Portanto, a utilização de um gerador de malhas eficiente e que gere elementos com boa

razão de aspecto é imprescindível para a eficácia do método. Existem diversos

programas computacionais para a geração de malhas, os quais podem ser comerciais ou

mesmo de domínio público.

Na seção seguinte será apresentada a formulação e o desenvolvimento

matemático para a obtenção das matrizes elemento para a massa, rigidez e

amortecimento de um sistema.

2.2.2. Desenvolvimento das Matrizes Elemento

Nesta seção será apresentada uma formulação teórica para a obtenção das

(38)

z

y

x

(x

1

, y

1

, z

1

)

(x

3

, y

3

, z

3

)

(x

4

, y

4

, z

4

)

(x

2

, y

2

, z

2

)

1

2

4

3

Figura 2.3 – Representação geométrica de um elemento tetraédrico genérico.

O elemento tetraédrico, conforme apresentado na Figura 2.3, apresenta três

graus de liberdade para cada um de seus nós. Logo, o campo de deslocamento do

elemento pode ser obtido a partir da interpolação linear entre seus nós. Os

deslocamentos nodais podem ser obtidos por meio da equação (2.1).

1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , , )

( , , )

u x y z L u L u L u L u

v x y z L v L v L v L v

w x y z L w L w L w L w

+ + +

   

  ₌ ₊ ₊ ₊ 

 _{ } _

 _{ } ₊ ₊ ₊ _

   

(2.1)

em que,

u, v e w = deslocamentos nodais;

Li = coordenada de área calculada pela equação:

1

( )

6

i i i i i

L a b x c y d z V

= + + + i = 1, 2, 3, 4;

V = volume do elemento tetraédrico, m3;

ai, bi, ci e di = coeficientes que dependem das coordenadas dos nós que compõem o

elemento.

O volume do elemento tetraédrico (V) pode ser calculado com base na equação

(39)

equação, uma vez que tais coeficientes, referem-se ao determinante da matriz de

co-fatores associada aos mesmos.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

1

1 1

1 6

1

x y z

V

x y z

= (2.2)

em que,

xi, yi, e zi = coordenadas do nó i do elemento (e).

A matriz rigidez [K](e), para o elemento tetraédrico pode ser determinada a partir da relação entre a matriz de deslocamentos nodais [B](e) e a matriz material ou matriz módulo [D](e) relativo ao sistema analisado, de acordo com a equação (2.3).

( ) ( ) ( )

[ ]K e =([ ] ) [ ][ ]B e T D B eV (2.3)

em que,

[B](e) = matriz de deslocamentos nodais; [D](e) = matriz material;

V = volume do elemento.

A matriz [B](e), correspondentes aos deslocamentos nodais e as deformações, é dada pela equação (2.4), a qual relaciona a matriz com os operadores diferenciais e a

matriz função de interpolação.

( )

[ ]_B e =[ ][ ]_{L N} _(2.4)

em que,

(40)

0 0 0

[ ] 0 0 0

0 0 0

T

x y z

L

y x z

z x y

∂ ∂ ∂  _∂ _∂ _∂     ∂ ∂ ∂  =  _∂ _∂ _∂     ∂ ∂ ∂   _∂ _∂ _∂      ;

[N] = matriz função de interpolação representada por:

1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0

[ ] 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

L L L L

N L L L L

L L L L

    =       .

Logo, a matriz [B](e) pode ser escrita na forma diferencial ou em função dos coeficientes ai, bi, ci e di, os quais dependem das coordenadas dos nós que compõem o

elemento tetraédrico, conforme apresentado nas equações (2.5) e (2.6), respectivamente.

3

1 2 4

3

1 2 4

3

1 2 4

( )

3 3

1 1 2 2 4 4

3 3

1 1 2 2 4 4

1 1 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

[ ]

0 0 0 0

0 0

e

N

N N N

x x x x

N

N N N

y y y y

N

N N N

z z z z

B

N N

N N N N N N

y x y x y x y x

N N

N N N N N N

z x z x z x z x

N N N N

z y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = _∂ _∂ _∂ _∂ _∂ _∂ _∂ _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ 0 3 3 0 4 4

N N N N

y z y z y

                             _∂ _∂ _∂ _∂    ∂ ∂ ∂ ∂     (2.5)

1 2 3 4

( )

1 1 2 2 3 3 4 4

0 0 0 0 0 0 0 0

1 [ ]

0 0 0 0

6

0 0 0 0

e

b b b b

c c c c

d d d d

B

c b c b c b c b

V

d b d b d b d b

d c d c d c d c

        =             (2.6)

(41)

um material homogêneo e isotrópico, a partir das relações existentes entre deformação e

tensão, conforme a equação (2.7).

{ }

σ =

[ ]{ }

D ε (2.7)

em que,

{ }

σ = vetor de tensões;

{ }

ε = vetor de deformações.

A equação (2.8) refere-se a matriz módulo, a qual pode ser obtida com base no

módulo de elasticidade e no coeficiente de Poisson do material.

1 0 0 0

[ ]

0 0 0 (1 2 ) / 2 0 0

(1 )(1 2 )

0 0 0 0 (1 2 ) / 2 0

0 0 0 0 0 (1 2 ) / 2

E D

µ µ µ

µ µ µ µ µ −    ₋     −  = _ _ − + − _ _  −    −     (2.8) em que,

E = modulo de elasticidade, N/m2; µ = coeficiente de Poisson.

Ao empregar a matriz material ou matriz módulo [D] para a determinação da

matriz rigidez [K](e), assume-se que as características elásticas do corpo ou sistema são homogêneas e isotrópicas. Características elásticas homogêneas implicam que qualquer

quantidade volumétrica elementar do corpo possui as mesmas propriedades físicas de

qualquer outra parcela volumétrica deste mesmo corpo. Por outro lado, características

elásticas isotrópicas, significam que as propriedades físicas do material são as mesmas

em qualquer direção (HUEBNER et al., 2001).

(42)

(ao longo do volume composto pelo elemento) realizada a partir da função de forma [N]

para o elemento tetraédrico específico.

( )

[ ]e _e [ ] [ ]T V

M =

∫

ρ N N dV (2.9)

em que,

ρ = massa específica do material, kg/m3.

De forma similar a matriz massa [M](e), a matriz amortecimento [C](e) pode ser obtida a partir da equação (2.10).

[ ]

( )

[ ] [ ]

( )

e

e T

V

C =

∫

c N N dV (2.10)

em que,

c = coeficiente de amortecimento, N.s/m.

Para o sistema de coordenadas empregado, pode-se obter a solução exata para

as integrais (2.9) e (2.10) a partir da equação (2.11).

1 2 3 4

! ! ! 6

( 3)

e

V L L L L dV V

α β γ δ α β δ

α β γ δ

=

+ + + +

∫

(2.11)

em que,

α, β, γ e δ = expoentes de L1, L2, L3 e L4.

O desenvolvimento exposto acima emprega as coordenadas naturais do sistema

(L1, L2, L3 e L4). Entretanto, para a geração de elementos isoparamétricos, deve-se realizar a transformação de coordenadas naturais para as coordenadas locais (ξ, η, ζ ).

Elementos isoparamétricos empregam funções de interpolação de ordem superior com o

(43)

redução do número de elementos empregado na discretização destas geometrias

(SEGERLIND, 1984; HUEBNER et al., 2001; ZIENKIEWICZ et al., 2005).

Desta forma, no procedimento de transformação de coordenadas deve-se

escrever as expressões ∂N_i/∂x, ∂N_i/∂y e ∂N_i/∂z em termos de

ξ

,

η

e

ζ

, por meio da regra da cadeia, conforme as equações (2.12).

i i i i

N N x N y N z

x y z

N N x N y N z

x y z

N N x N y N z

x y z

ξ ξ ξ ξ

η η η η

ζ ζ ζ ζ

∂ ₌∂ ∂ ₊∂ ∂ ₊∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ₌∂ ∂ ₊∂ ∂ ₊∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ₌∂ ∂ ₊∂ ∂ ₊∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.12)

As equações (2.12) podem ser escritas na forma matricial, conforme

apresentado na equação (2.13).

i _i

i i

N x y z _N

x

N x y z N

y

N x y z N

z

ξ ξ ξ ξ

η η η η

ζ ζ ζ

ζ ∂  ∂ ∂ ∂ __∂ _ _∂  _∂ _∂ _∂ _{ }_∂ _    _{ } _ ∂  ₌ ∂ ∂ ∂ ∂  _∂  __∂ _∂ _∂ _ _∂       ∂  ∂ ∂ ∂ ∂  _∂  _∂ _∂ _∂ _ _∂ _     (2.13)

A equação (2.13) relaciona a transformação das coordenadas naturais em

coordenadas locais, a partir da definição de uma matriz Jacobiana [J], a qual tem como

função realizar tal transformação. Na equação (2.14) é apresentada a matriz Jacobiana

[J] definida para a transformação de coordenadas tridimensionais.

[ ]

x y z

J

x y z

ξ ξ ξ

η η η

ζ ζ ζ

(44)

Entretanto, quando se utiliza coordenadas locais, as funções a serem integradas

podem se tornar complexas a ponto de não se obter as soluções exatas. Desta forma, é

necessária a utilização de métodos numéricos para a determinação das matrizes

elementos para a massa [M](e), rigidez [K](e) e amortecimento [C](e) do sistema. Segundo ZIENKIEWICZ et al. (2005), para determinação das matrizes elemento deve-se

empregar o método numérico de integração de Gauss-Legendre.

O método de Gauss-Legendre para a integração numérica pode ser descrito

pela equação (2.15).

1 1 1

1 1 1 '( , , ) ( , , )

'( , , ) ( , , ) NG NG NG

i j k i j k i j k i j k