Códigos metacíclicos

(1)

C´

odigos metac´ıclicos

Samir Assuena

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Doutor em Ciˆ

encias

Programa: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Francisco C´esar Polcino Milies

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro do CNPq

(2)

C´

odigos metac´ıclicos

Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao

final da tese devidamente corrigida

e defendida por Samir Assuena

e aprovada pela Comiss˜ao Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Francisco C´esar Polcino Milies (orientador) IME-USP

• Prof. Dr. Raul Antonio Ferraz IME-USP

• Profa_{. Dr}a_{. Ana Cristina Vieira} _UFMG

• Prof. Dr. Thierry Petit Lob˜ao UFBA

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por ter me dado for¸ca para vencer mais este desafio da minha vida

mas tamb´em por ter me dado os maiores presentes da minha vida meus filhos Mateus

e Larissa.

Agrade¸co minha esposa Elis por todo amor, carinho, compreens˜ao e apoio ao longo

de todos esses anos.

Agrade¸co aos meus pais, Jo˜ao Alberto e Virg´ınia, por tudo que fizeram por mim e

pelos meus irm˜aos.

Agrade¸co aos meus irm˜aos, Jorge e Vin´ıcius e suas respectivas esposas, pela

con-fian¸ca e apoio.

Agrade¸co a toda minha fam´ılia tios, tias, primos e primas.

Agrade¸co ao meu sogro, Eliseu, `a minha sogra, Dona Telma.

Agrade¸co aos meus cunhados Edilson e Edmilson e suas esposas Monise e Fabiana.

Agrade¸co a UFSCar pela minha forma¸c˜ao, ao Prof. Daniel Vendrscolo e aos amigos

das turmas de 2000 e 2001.

Agrade¸co ao Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da USP, principalmente ao Prof.

César Polcino Milies pela orienta¸cão e pela pessoa extraordinária que é.

Agrade¸co ao Instituto Mau´a de Tecnologia e aos professores Thiago, Anderson,

Samira, Marilda, Marim, Ivanildo, Jones, Muller, Paulo, Ana, Airton e Ivete.

Agrade¸co aos eternos amigos: Bet˜ao, Zuaneti, Bigode, Lˆe, Tica, Ricardo, Felippe e

suas respectivas esposas e ainda a todos os outros amigos da CEC.!!!!

(4)

Resumo

Neste trabalho, consideramos ´algebras de grupo semi-simplesFqGde grupos metac´ıclicos

n˜ao abelianos que cindem sobre corpos finitos. Inicialmente, damos condi¸c˜oes para que

o n´umero de componentes simples da ´algebraFqGseja minimal e encontramos os

idem-potentes centrais primitivos quando a ordem do grupo ´e igual a pm_ℓn_{, onde} _p _e _ℓ _s˜ao

números primos distintos. Posteriomente, obtemos condi¸cões necessárias e suficientes

para que o n´umero de componentes simples da ´algebra FqG seja minimal no caso em

que a ordem do grupo ´e igual a 2n. Finalmente, quando G=Dpm, o grupo diedral de

ordem 2pm_{, obtemos duas decomposi¸c˜oes da ´algebra} _F

qDpm como soma direta de

ide-ais `a esquerda minimide-ais, calculamos suas dimens˜oes e pesos e mostramos que, em uma

destas decomposi¸cões, os códigos à esquerda minimais não são equivalentes a códigos

abelianos, dando uma resposta afirmativa para uma conjectura formulada por Sabin e

Lomonaco em 1995.

Palavras-chave: C´odigos Metac´ıclicos, Idempotentes Primitivos, Grupos Metac´ıclicos n˜ao Abelianos.

(5)

Abstract

We consider semisimple group algebras FqG of non abelian split metacyclic groups

over a finite field. First we give necessary and suficiente conditions for them to have a

minimal number of simple components and find the primitive central idempotents of

FqG in the case when the order G is equals pmℓn, where p and ℓ are different prime

numbers. Then, we consider the special case when the order of G is 2n. Finally,

when G = Dpm the dihedral group of order 2pm, we obtain two decomposition of the

algebra into direct sum of minimal left ideals, compute their dimensions and weights.

We show that one of these decompositions gives raise to minimal codes that are not

combinatorially equivalent to abelian codes giving an affirmative answer to a conjecture

formulated by Sabin and Lomonaco in 1995.

Keywords: Metacyclic Codes, Primitive Idempotens, Non Abelian Metacy-clic Groups.

(6)

Sum´

ario

1 Preliminares 5

1.1 Grupos Metac´ıclicos . . . 5

1.2 An´eis de Grupos . . . 6

1.3 C´odigos Corretores de Erros . . . 11

2 Algebras de Grupos Metac´ıclicos sobre Corpos Finitos´ 14

2.1 N´umero de componentes simples . . . 14

2.2 Idempotentes Centrais Primitivos . . . 21

3 Algebras de Grupo de Alguns Grupos Metac´ıclicos Particulares´ 25

3.1 Resultados Preliminares . . . 25

3.2 A Estrutura da ´Algebra . . . 30

4 C´odigos sobre Grupos Metac´ıclicos 42

4.1 Aspectos Gerais . . . 42

4.2 C´odigos Diedrais de Comprimento 2pm _{. . . .} ₄₇

4.3 Uma fam´ılia de exemplos . . . 62

5 Conclus˜oes 65

Referˆencias Bibliogr´aficas 66

(7)

Introdu¸

c˜

ao

A Teoria dos C´odigos Corretores de Erros teve in´ıcio com o trabalho de Richard

Ham-ming intitulado Error Detecting and Error Correcting Codes. Desde então, esta teoria vem sendo aplicada em várias áreas de outras ciências (tais como Engenharia Elétrica,

Computa¸c˜ao, etc), em telefonia, em DVD, entre outras.

Basicamente, o objetivo da Teoria de C´odigos Corretores de Erros ´e transmitir

mensagens atrav´es de um canal de uma maneira segura, de tal forma que o c´odigo

seja capaz de detectar e corrigir o maior n´umero poss´ıvel de erros que possam ocorrer

durante tal transmiss˜ao.

Para tanto, tomamos um conjunto finito A com q elementos o qual chamamos de alfabeto. Uma palavra de comprimento n em A ´e uma n-upla (v0, v1,· · · , vn−1).

Um código de comprimento n sobre A é um subconjunto próprio C do produto cartesiano An_{, para algum}_n _≥_1.

Dadosx= (x0, x1,· · · , xn−1) ey= (y0, y1,· · · , yn−1) duas palavras deAn, definimos

a distˆancia de Hamming entre xe y como

d(x, y) =|{i, xi 6=yi, 0≤i≤n−1}|.

Sendo assim, definimos a distˆancia m´ınima de um c´odigo C como

d(C) =min {d(x, y)|x, y ∈ C, x6=y}.

(8)

3

Se tomarmos A como sendo Fq, o corpo finito com q elementos, ent˜ao Fn q ´e um

Fq-espa¸co vetorial. Os Fq-subespa¸cos de Fn

q são chamados códigos lineares. Dentre os códigos lineares, existe uma classe muito importante de códigos chamados códigos c´ıclicos. Mais explicitamente, um código linear diz-sec´ıclico se

(c0, c1,· · · , cn−1)∈ C ⇒(cn−1, c0,· · · , cn−2)∈ C.

Sejam Cn =hg, gn= 1io grupo c´ıclico de ordem n e FqCn a álgebra do grupo Cn sobre Fq. Prova-se que a imagem de um código c´ıclico através da fun¸cão

ψ :Fn

q −→FqCn

(x0,· · · , xn−1)7−→Pn_i₌₀−1xigi

é um ideal de FqCn. Sendo assim, define-se um código de grupo como um ideal da álgebraFqG com G um grupo finito.

Um grupo G diz-se metac´ıclico se G contém um subgrupo normal H c´ıclico tal que o grupo G/H também é c´ıclico. Pode-se provar que G, sendo metac´ıclico finito,

possui a seguinte apresenta¸c˜ao

G=ha, b|am _{= 1}_{, b}n ₌_as_{, bab}−1 ₌_ai_i

onde a e b são tais que H =hai e G/H =hbHi. Quando s =m, dizemos que Gé um grupo metac´ıclico que cinde e, neste caso,Gé o produto semi-direto G=hai⋊hbi.

O estudo dos c´odigos metac´ıclicos desenvolveu-se atrav´es dos seguintes trabalhos

• R. E. Sabin,On Row-Cyclic Codes with Algebraic Structure , Designs, Codes and Cryptography, 4, 145-155 (1994)

• R. E. Sabin, S. J. Lomonaco, Metacyclic Error-Correcting Codes, AAECC 6 (1995) 191-210.

(9)

4

No artigo Metacyclic Error-Correcting Codes, Sabin e Lomonaco introduziram a no¸cão deequivalência combinatorial que é uma bije¸cão entre álgebras de grupos obtida pela extensão linear de uma bije¸cão entre dois grupos finitos de mesma ordem. Mais

detalhadamente, sejamGeGdois grupos finitos de mesma ordem e Fum corpo, sejam

FG eFG suas correspondentes ´algebras de grupo, uma equivalˆencia combinatorial

´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais φ : FG −→ FG induzido por uma bije¸c˜ao

φ : G−→ G. Os c´odigos C ⊂FG e C ⊂b FG s˜ao combinatorialmente equivalentes

se existe uma equivalˆencia combinatorial φ : FG−→FG tal que φ(C) = Cb.

No caso em que G é um grupo metac´ıclico, tal que mdc(q,|G|) = 1, a álgebra de grupo FqG é semissimples, Sabin e Lomonaco, usando Teoria de Representa¸cões

de Grupos, mostraram que c´odigos em FqG, gerados por idempotentes centrais s˜ao

combinatorialmente equivalentes a c´odigos abelianos. Isso motivou a procura de c´odigos

minimais `a esquerda da ´algebraFqG.

No cap´ıtulo 1, apresentamos as no¸c˜oes preliminares que ser˜ao utilizadas ao longo

deste trabalho.

No cap´ıtulo 2, consideramos álgebras de grupos metac´ıclicos não abelianos que cindem sobre corpos finitos e encontramos uma condi¸cão necessária para que a álgebra

FqGtenha n´umero m´ınimo de componentes simples. Isto acontece quando as ´algebras

FqG e QG tˆem o mesmo n´umero de componentes simples. Finalizamos este cap´ıtulo

obtendo os idempotentes centrais primitivos da ´algebra FqG, no caso em que |G| =

pm_ℓn_{, sendo}_p _e _ℓ _n´_{umeros primos.}

No cap´ıtulo 3, apresentamos uma extens˜ao do [4, Teorema 3.3] feito para grupos

diedrais.

No cap´ıtulo 4, conhecendo os idempotentes centrais primitivos da ´algebra FqDpm,

onde Dpm é o grupo diedral de ordem pm, obtivemos duas decomposi¸cões da álgebra

FqDpm como soma direta de ideais `a esquerda minimais, sendo que, em uma destas

de-composi¸cões, tais ideais minimais são combinatorialmente equivalentes a códigos

(10)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Grupos Metac´ıclicos

Defini¸cão 1.1.1. Um grupo G diz-se metac´ıclico se G contém um subgrupo normal H c´ıclico tal que o grupo G/H também é c´ıclico.

Exemplos de grupos metac´ıclicos s˜ao os grupo diedrais e os grupos cujos subgrupos

de Sylow s˜ao c´ıclicos ([18, Teorema 10.1.10]).

Seja G um grupo metac´ıclico finito, escrevendo H = hai, seu subgrupo normal de ordem m, eG/H =hbHi, podemos provar que G possui a seguinte apresenta¸c˜ao

G=ha, b|am _{= 1}_{, b}n ₌_as_{, bab}−1 ₌_ai_i

onde n ´e|G/H|. Al´em disto, os inteiros n, m, s, ise relacionam da seguinte maneira

s|m, m|s(i−1) , i < m, mdc(i, m) = 1.

Quando s =m, dizemos que G´e um grupo metac´ıclico que cinde e, neste caso, G

´e o produto semi-diretoG=hai⋊hbi.

Teorema 1.1.2. [2, Teorema 47.10] Seja G um grupo metac´ıclico com apresenta¸c˜ao acima. Seu subgrupo comutador G′ _{´e c´ıclico, gerado por} _ai−1_{. Consequentemente,}

|G′_|₌_m/mdc₍_{m, i}₋₁₎_.

(11)

1.2 An´eis de Grupos 6

Teorema 1.1.3. [10, Lema 2.1] Se G = hai⋊hbi com o(a) = m e o(b) = n, ent˜ao o expoente de G ´e:

exp(G) =mmc(m, n).

1.2 An´

eis de Grupos

SejamR um anel com unidade eGum grupo. Denotamos porRG o conjunto de todas

as combina¸c˜oes lineares formais

α=X g∈G

agg

onde ag ∈R e somente um n´umero finito de coeficientes ag ´e diferente de zero. Neste sentido, todas as somas podem ser consideradas finitas, mesmo quando os ´ındices do

somat´orio percorrem um conjunto infinito.

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja α =X g∈G

agg um elemento de RG. Definimos o suporte de α

como sendo o conjunto dos elementos g ∈ G tal que ag 6= 0 em α =

X

g∈G

agg. Mais

formalmente,

supp(α) ={g ∈G|ag 6= 0}. (1.1)

Dois elementos α = X g∈G

agg e β =

X

g∈G

bgg, pertencentes a RG, s˜ao iguais se e

somente seag =bg para todo g ∈G. Dados dois elementos α = X

g∈G

agg e β =

X

g∈G

bgg, pertencentes a RG, definimos a

soma e o produto de α eβ da seguinte maneira:

α+β= X g∈G

agg

!

+ X

g∈G

bgg

!

=X

g∈G

(12)

αβ = X

g,h∈G

(agbh)(gh). (1.3)

Verifica-se facilmente que o conjunto RG, munido das opera¸c˜oes de soma e produto

definidas em (1.2) e (1.3) ´e um anel com unidade. Al´em disso, podemos definir uma

multiplica¸c˜ao de elementos de RG por elementos de R, de tal forma que RG seja um

R-módulo e, seR for um anel comutativo,RG seja umaR-álgebra. Tal multiplica¸cão

´e definida por

λ X

g∈G

agg

!

=X

g∈G

(λag)g. (1.4)

Defini¸cão 1.2.2. O conjunto RG, com as opera¸cões definidas acima, é chamadoanel de grupo de G sobre R. Se R é comutativo, RG é também chamado de álgebra de grupo de G sobre R.

Considere a fun¸c˜aoi:G→RGdefinida pori(x) = X g∈G

agg ondeax = 1 eag = 0 se

g 6=x. Tal fun¸cão é uma imersão deG em RG; portanto podemos considerar G como um subconjunto de RG e dizer que Gé uma base de RG sobre R.

Por outro lado, a fun¸c˜ao ν : R → RG dada por ν(r) = X g∈G

agg onde a1G = r e

ag = 0 se g 6= 1G ´e um monomorfismo de an´eis. Logo R pode ser considerado como um subanel de RG.

Defini¸cão 1.2.3. Um anel R, com unidade, diz-se semissimples, se todo ideal à esquerda de R é um somando direto, isto é, para todo ideal à esquerda I de R, existe um ideal à esquerda J de R tal que R =I ⊕J.

Teorema 1.2.4. Seja R um anel com unidade. Ent˜ao

(13)

ii) Se R é semissimples, então R é uma soma direta finita de ideais minimais à esquerda.

Teorema 1.2.5. Seja R = ⊕t

i=1Li uma decomposi¸c˜ao de um anel semissimples com

unidade como soma direta da ideais minimais `a esquerda. Ent˜ao, existe uma fam´ılia {e1,· · · , et} de elementos de R tal que:

i) ei 6= 0 ´e um elemento idempotente, 1≤i≤t;

ii) Se i6=j, ent˜ao eiej = 0;

iii) 1 =e1 +· · ·+et;

iv) ei n˜ao pode ser escrito como soma de dois idempotentes n˜ao nulos cujo produto

´e zero, 1≤i≤t.

Reciprocamente, se existe uma fam´ılia {e1,· · · , et} de idempotentes de R

satis-fazendo as condi¸cões acima, então os ideais à esquerda Li = Rei são minimais e

R =⊕t i=1Li.

Defini¸c˜ao 1.2.6. Seja R um anel com unidade, uma fam´ılia {e1,· · · , et} de

idempo-tentes de R satisfazendo as condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) do Teorema acima ´e chamada

fam´ılia completa de idempotentes ortogonais. Um idempotente que satisfaz a condi¸c˜ao (iv) chama-se primitivo.

Proposi¸c˜ao 1.2.7. Seja R um anel com unidade semissimples. Ent˜ao

i) R=⊕s

i=1Ai, onde cada Ai ´e um ideal bilateral minimal;

ii) Todo ideal bilateral I de R pode ser escrito como I = Ai1 ⊕ · · · ⊕ Ait, onde

1≤i1 <· · ·< it≤s;

iii) Se R = ⊕r

j=1Bj ´e uma outra decomposi¸c˜ao de R em soma direta de ideais

bi-laterais minimais, então s = r e , após uma poss´ıvel reordena¸cão dos ´ındices,

(14)

Defini¸cão 1.2.8. Os únicos ideais bilaterais minimais de um anel semissimples são chamados as componentes simples de R.

Teorema 1.2.9. Seja R = ⊕s

i=1Ai a decomposi¸c˜ao de um anel com unidade

semis-simples, como soma direta de ideais bilaterais minimais. Ent˜ao, existe uma fam´ılia {e1,· · · , et} de elementos de R tal que:

i) ei 6= 0 ´e um idempotente central, 1≤i≤t;

ii) Se i6=j, ent˜ao eiej = 0;

iii) 1 =e1 +· · ·+et;

iv) ei n˜ao pode ser escrito como soma de dois idempotentes centrais n˜ao nulos cujo

produto ´e zero, 1≤i≤t.

Defini¸c˜ao 1.2.10. Os elementos {e1,· · · , et} de R do Teorema acima s˜ao chamados

de idempotentes centrais primitivos de R.

Teorema 1.2.11 (Wedderburn-Artin). Um anel R com unidade é semissimples, se e somente se R é uma soma direta de anéis de matrizes sobre anéis com divisão:

R ∼=Mn1(D1)⊕ · · · ⊕Mns(Ds).

Em rela¸c˜ao aos an´eis de grupo, temos o seguinte

Teorema 1.2.12 (Maschke). Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Então, o anel de grupo RG é semissimples, se e somente se valem as seguintes condi¸cões

i) R ´e um anel semissimples;

ii) G ´e finito;

iii) |G| ´e invert´ıvel em R.

(15)

Vamos reunir alguns resultados sobre idempotentes centrais primitivos de algumas

´algebras de grupo.

Defini¸c˜ao 1.2.14. Dado um anel de grupo RG e H um subgrupo finito do grupo G, tal que |H| ´e invert´ıvel em R, denotaremos por Hb o seguinte elemento de RG:

b

H = _|_H1_|X h∈H

h.

Lema 1.2.15. [17, Lema 3.6.6] Sejam R um anel com unidade e H um subgrupo de um grupo G. Se |H| é invert´ıvel em R, então Hb é um elemento idempotente de RG. Além disso, se H ⊳ G, então Hb é central.

Lema 1.2.16. [8, Lema 7.1.2]Sejam p um n´umero primo e A=hai, um grupo c´ıclico de ordem pm_{, m}_>₁_{. Seja}

A=A0 ⊇A1 ⊇ · · · ⊇Am ={1}

a cadeia descendente de todos os subgrupos de A, isto ´e, Ai = hap i

i. Então, os idem-potentes primitivos da álgebra de grupo QA são:

e0 =Ab e ei =Aci−Adi−1, 1≤i≤m.

Al´em disso, (QA)ei ∼=Q(ξpi), onde ξ_pi denota uma raizpi-´esima primitiva da unidade.

Sejam G um grupo finito e F um corpo qualquer tal que car(F) ∤ |G|. Denote por

e o expoente de G e considere ξ uma raiz e-´esima primitiva da unidade. Para cada

θ ∈ Gal(F(ξ),F), temos que θ(ξ) = ξr _{para algum inteiro positivo} _r_{. Podemos ent˜ao} definir uma a¸c˜ao do grupo Gal(F(ξ),F) emG, dada por θ(g) = gr.

Denotando porC(g) a classe de conjuga¸c˜ao deg e Γg = X x∈C(g)

x, ent˜aoθ(Γg) = Γθ(g).

Duas classes de conjuga¸cão de Gsão F-conjugadas, se elas se correspondem sob esta a¸cão. Da mesma forma, dois elementos g1 e g2 de G são F-conjugados, se existem

(16)

1.3 C´odigos Corretores de Erros 11

Teorema 1.2.17 (Witt-Berman [2], Ferraz [5]). SejamGum grupo finito eFum corpo qualquer tal que car(F)∤|G|. Ent˜ao o n´umero de componentes simples da ´algebra FG

é igual ao número de classes de F-conjuga¸cão.

1.3 C´

odigos Corretores de Erros

Apresentaremos nesta se¸c˜ao os principais resultados da teoria de c´odigos corretores de

erros que motivaram os nossos estudos neste trabalho.

Seja A um conjunto finito com q elementos que será chamado de alfabeto e cujos elementos chamaremos de letras. Uma sequência de n letras de A será chamada de

palavra de comprimento n. Consideremos, ent˜ao, o conjunto

An₌_{₍_c

0,· · · , cn−1),|ci ∈ A} de todas as palavras de comprimento n sobre A.

Defini¸cão 1.3.1. Um código de comprimento n é um subconjunto não trivial de An_{, para algum n.}

A Teoria dos C´odigos Corretores de Erros tem como objetivo principal a transmiss˜ao

de mensagens atrav´es de um canal, detectar e corrigir poss´ıveis erros que venham a

ocorrer nessa transmiss˜ao. Para tanto, precisamos formalizar alguns conceitos.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Sejam x = (x0, . . . , xn−1) e y= (y0, . . . , yn−1) duas palavras de An.

Definimos a distˆancia de Hamming entre x e y como sendo

d(x, y) =|{i|xi 6=yi,0≤i≤n−1}|.

Em outras palavras, a distˆancia de Hamming entre duas palavras deAn_{´e o n´}_{umero de}

coordenadas em que elas diferem.

Sendo assim, dado um c´odigo C ⊂ An_{, definimos a}_distˆ_{ancia m´}_{ınima de} _C _como

(17)

d(C) =min{d(x, y)|x, y ∈ C, x6=y}.

A distância m´ınima de um código C é um parâmetro do código muito importante, pois, quanto maior ela for, mais erros o código será capaz de dectar e corrigir. Mais

explicitamente, temos a seguinte:

Proposi¸cão 1.3.3. [14, Teorema 6.10] Seja C ⊂ An _{um código com distância m´ınima}

d(C) = d. Ent˜ao, C pode corrigir t erros se e somente se d≥2t+ 1 Em outras palavras, C pode corrigir at´e d−1

2

erros.

Seja Fq um corpo finito com q elementos. ConsiderandoFq como o alfabeto e Fnq o

espa¸co de todas as palavras, um c´odigo linear´e um subespa¸co vetorial de Fn

q( e n˜ao

apenas um subconjunto).

Dada x= (x0, . . . , xn−1) uma palavra em Fnq, definimos o peso dex como sendo

w(x) = d(x,0) =|{i|xi 6= 0, 0≤i≤n−1}|.

Defini¸c˜ao 1.3.4. Dado um c´odogo linear C de Fn

q, definimos o peso de C como sendo

o n´umero

w(C) =min{w(c), c ∈ C, c 6= 0}.

Com isso, temos a seguinte

Proposi¸c˜ao 1.3.5. Seja C ⊂ Fn

q um c´odigo linear. Ent˜ao

i) Para cada x, y ∈ C, temos que d(x, y) = w(x−y),

ii) d(C) = w(C).

Uma fam´ılia importante de códigos lineares são os chamados códigos c´ıclicos, que são os códigosC ⊂ Fq, tais que se (x0,· · · , xn−1)∈ C então (xn−1,· · · , xn−2)∈ C.

Dado um grupo finito G de ordem n, a ´algebra de grupo FqG e Fnq s˜ao isomorfos como Fq−espa¸cos vetoriais.

(18)

Teorema 1.3.6. Um c´odigo C ⊂ Fn

q sobre Fq ´e c´ıclico, se e somente se sua imagem

pela aplica¸c˜ao

ψ :Fn

q −→FqCn

(x0,· · · , xn−1)7−→Pn_i₌₀−1xiai

´e um ideal de FqCn.

Mais geralmente, umcódigo de grupoé, por defini¸cão, um ideal da álgebra de grupo

FqG de um grupo finito. Dedicamos o resto deste trabalho ao estudo de c´odigos

(19)

Cap´ıtulo 2

´

Algebras de Grupos Metac´ıclicos

sobre Corpos Finitos

2.1 N´

umero de componentes simples

Ao longo desta se¸c˜ao, G indicar´a sempre um grupo metac´ıclico com a seguinte

apre-senta¸c˜ao:

G=ha, b|am _{= 1 =}_bn_{, bab}−1 ₌_ai_i

em en denotar˜ao sempre as ordens de a e b respectivamente. Ainda, Fq denotar´a um corpo finito com q elementos satisfazendomdc(q,|G|) = 1.

Antes de iniciarmos nosso estudo sobre ´algebra de grupo, vamos expor um resultado

sobre grupos de Galois de corpos finitos.

Teorema 2.1.1. [11, Teorema 4.26] Seja Fq um corpo finito com q elementos, E uma

extensão de Fq com [E :Fq] =n. Então E é uma extensão c´ıclica sobre Fq com grupo

de Galois hσi onde σ ´e o Fq-automorfismo de E definido por σ(a) = aq, para todo

a∈E.

(20)

2.1 N´umero de componentes simples 15

Observa¸c˜ao 2.1.2. Sabemos que dois elementosg1 eg2 deGs˜aoFq-conjugados emG,

se existem θ∈Gal(Fq(ξ),F) eh∈G tais que g1 =h(θ(g2))h−1. Em vista do Teorema

2.1.1, g1 e g2 s˜ao Fq-conjugados em G, se e somente se existems∈Z eh∈G, tais que

g1 =hgq

s

2 h−1, uma vez que θ(ξ) =σs(ξ) =ξq

s .

A seguir, vamos provar um Lema que ser´a muito ´util.

Lema 2.1.3. Sejam H um grupo finito, x e y dois elementos de H. Seja Fq um corpo

finito com q elementos tal que mdc(q,|H|)=1. Se x e y s˜ao Fq-conjugados em H, ent˜ao

x e y s˜ao Q-conjugados em H.

Demonstra¸cão. Sejam e o expoente de H e ξ uma raiz e-ésima primitiva da uni-dade. Se x e y são Fq-conjugados, existem h ∈ H e ϕ ∈ Gal(Fq(ξ),Fq) tais que

y = h(ϕ(x))h−1. Pelo Teorema 2.1.1, existe s ∈ Z, tal que ϕ(ξ) = ξqs. Além disso, comomdc(q,|H|) = 1, então mdc(qs_{, e}_{) = 1. Podemos então definir} _ϕ∗ _∈_Gal(_Q₍_ξ₎_,_Q₎

por ϕ∗(ξ) =ξqs. Logo y =h(ϕ∗(x))h−1 o que nos mostra que x e y s˜ao Q-conjugados em H.

Corolário 2.1.4. Seja H um grupo finito. Cada Q-classe de H é uma união disjunta de Fq-classes. Consequentemente se o número de Fq-classes e de Q-classes são iguais,

ent˜ao as Q-classes e as Fq-classes coincidem.

Notemos que, pelo Lema 2.1.3, o número de componentes simples da álgebra QGé

menor ou igual ao n´umero de componentes simples da ´algebraFqG. Isto nos motiva a

introduzir a seguinte

Defini¸c˜ao 2.1.5. Sejam G um grupo finito eFq um corpo finito com q elementos, tais

que mdc(q,|G|) = 1. Dizemos que o número de componentes simples da álgebra FqG é

minimal, se as álgebras QG e FqG têm o mesmo número de componentes simples.

Ferraz e Sim´on-Pinero determinaram, em [7], o n´umero de componentes simples da

´algebra QG. Neste cap´ıtulo vamos determinar condi¸c˜oes sobre os inteiros m e n para

(21)

Iniciaremos apresentando dois resultados cujas demonstra¸c˜oes podem ser

encontra-das em [7].

Lema 2.1.6. [7, Lema 2.4]

Sejam H um grupo finito , x e y elementos de H. Ent˜ao x e y s˜ao Q-conjugados em H, se e somente se existem h ∈H e s ∈ Z, tais que xs ₌_hyh−1 _{e os elementos x e y}

tˆem a mesma ordem.

Proposi¸c˜ao 2.1.7. [7, Proposi¸c˜ao 2.6]SejaGum grupo metac´ıclico. Para cada inteiro

k, existe um ´unico divisor v de n, tal que os elementos bk _e _bv _s˜ao _Q_{-conjugados em}

G. Esse divisor ´e v =mdc(k, n).

Consequentemente, tem-se tamb´em o seguinte:

Corolário 2.1.8. Sejam H um grupo e k um inteiro satisfazendomdc(k, n) = 1. Então os elementos bk _{e b são} _Q_{-conjugados em H.}

O Corol´ario 2.1.8 nos motiva a determinar condi¸c˜oes sobre n para que, dado um

inteiro k satisfazendo mdc(k, n) = 1, se tenha que bk _e _b _s˜ao _F_{q-conjugados em} _G_.

Sendo assim, para corpos finitos, obtemos o seguinte resultado:

Lema 2.1.9. Seja G um grupo metac´ıclico. Ent˜ao os elementosbk_e_b_s˜ao_F

q-conjugados,

para todo inteiro k com mdc(k,n)=1, se e somente se o grupo U(Zn) das unidades dos inteiros m´odulo n ´e c´ıclico, gerado por q¯, a classe de q em Zn.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que U(Zn) = hq¯i. Ent˜ao, para todo ¯k ∈ U(Zn), existe

s ∈Z tal que, ¯k = ¯qs_{. Logo} _bk ₌_bqs

, o que, pela Observa¸c˜ao 2.1.2 nos mostra, que bk

e b s˜ao Fq-conjugados.

Reciprocamente, se bk _e _b _s˜ao _F_{q-conjugados, ent˜ao} _bk ₌_hbqs

h−1 _{para algum}_s_∈_Z

e algum h∈G. Escrevendo h=at_bx_{, ent˜ao}

(22)

Este fato nos mostra que bqs

b−k_{∈ h}_a_{i ∩ h}_b_i _{consequentemente} _bqs

=bk _{mostrando que} ¯

k = ¯qs _em _U₍_Z_n).

Lema 2.1.10. Sejam um inteiro k tal que mdc(k,n)=1 e n1, um divisor positivo den.

Se bk _e _bn1 _s˜ao F

q-conjugados, ent˜ao n1 = 1. Analogamente, se mdc(k, m) = 1 e ak e

am1 _s˜ao F

q-conjugados com m1 um divisor positivo de m, ent˜ao m1 = 1.

Demonstra¸c˜ao.

Se bk _e_bn1 _s˜ao F_{q-conjugados, ent˜ao existe}_s _∈Z _{tal que}

bk₌_bqs_n

1

assim k = qs_n

1 +αn = qsn1 + αβn1 = zn1. Logo mdc(k, n) = mdc(zn1, βn1) =

n1mdc(z, β) = 1 mostrando que n1 = 1. .

Proposi¸c˜ao 2.1.11. Sejam G um grupo metac´ıclico e Fq um corpo finito com q

ele-mentos, tal que mdc(q,|G|)=1. Se o n´umero de componentes simples da ´algebra FqG

é minimal, então o grupo U(Zn) é um grupo c´ıclico gerado por q¯.

Demonstra¸cão. Se o número de componentes simples da álgebraFqGé minimal, pelo Corolário 2.1.4, dois elementos bk1 _e _bk2 _são Q_{-conjugados em} _G _{se e somente se} _bk1 _e

bk2 _s˜ao F_{q-conjugados em}_G_{. Assim, pelo Corol´ario 2.1.7, para cada inteiro}_k _{existe um}

divisorv den, tal que os elementosbk_e_bv _s˜ao_Q_{-conjugados em}_G_{, e consequentemente}

bk _e _bv _s˜ao _F_{q-conjugados em} _G_{. Tomando um inteiro} _k _{tal que} _mdc₍_{k, n}_{) = 1, existe}

um divisor positivom1 den tal quebk ebm1 s˜aoFq-conjugados. No entanto, pelo Lema 2.1.10, m1 = 1, o que nos mostra que, para todo inteiro k satisfazendo mdc(k, n) = 1,

tem-se quebk _e_b _s˜ao _F

q-conjugados emG. Assim, pelo Lema 2.1.9,U(Zn) ´e um grupo c´ıclico gerado por ¯q.

Sabendo que o n´umero de componentes simples de FqG ´e minimal, conseguimos

determinar uma condi¸c˜ao sobre n. Agora vamos tentar determinar condi¸c˜oes sobre m.

(23)

Lema 2.1.12. Seja A = hai. Dados dois elementos ak _e _aj _∈ _A_{, ent˜ao eles s˜ao}

Q-conjugados em G se e somente se mdc(k,m)=mdc(j,m).

Demonstra¸cão. Sejaeo expoente deG. Por defini¸cão,ak_e_aj _são_Q_{-conjugados em}_G se e somente se existemh∈Ge um inteiror commdc(r, e) = 1, tais que aj ₌_hakr_h−1_.

Pelo Teorema 1.1.3, e=mmc(m, n) e ent˜ao mdc(r, m) = 1. Seja h=ax_by_{. Temos}

aj ₌_ax_by_akr_b−y_a−x ₌_akriy .

Esta igualdade nos mostra que

j ≡kriy _mod₍_m₎_. _(2.1)

Sejam dk = mdc(k, m) e dj = mdc(j, m). Como dj divide j e m ent˜ao dj divide

kriy_{. Sabemos que} _i_{∈ U}₍_Z_{m), da Defini¸c˜ao 1.1.1. Ainda, como} _mdc₍_{r, m}_{) = 1 temos} tamb´em que r ∈ U(Zm) donde riy _{∈ U}₍_Z_{m). Consequentemente, existem inteiros} _α _e

β tais que

1 =αriy₊_βm_⇒_k ₌_kαriy₊_kβm_.

Como dj | kriy e dj | m, podemos escrever k = djk1 +djk2, com k1, k2 ∈ Z, que nos

mostra que dj | dk. Reciprocamente, como dk |k e dk |m, dk | kriy, segue de 2.1 que

dk |j, logo dk |dj, donde dj =dk.

Suponhamos que mdc(k, m) =mdc(j, m). Ent˜ao os ideais

(dk) ={αk +βm |α, β ∈Z} e (dj) ={αj+βm |α, β ∈Z} s˜ao iguais. Logo, existem

α0, β0 ∈Ztais que j =α0k+β0m. Com isso, aj =aα0kcom o(aj) =o(ak) e o resultado

segue do Lema 2.1.6.

Corol´ario 2.1.13. Para cadaak_∈_G_{, existe um ´}_{unico divisor v de m, tal que} _ak _e _av

s˜ao Q-conjugados em G.

(24)

Corol´ario 2.1.14. Sejam am1 _e _am2 _{em G com} _m

1, m2 ∈ N satisfazendo m1 | m e

m2 |m. Se am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G, ent˜ao m1 =m2.

Dado um elemento aj _de _G_{, como} _bx_aj_b−x ₌ _ajix

para todo x ∈ Z, sua classe de conjuga¸c˜ao ´e o conjunto

Γaj ={aj, aji, aji

2

,· · · , ajin−1

}.

Notemos, novamente que pelo Lema 2.1.6, para todo k ∈ Z com mdc(k, m) = 1, tem-se queak _e _a _s˜ao _Q_{-conjugados. Sobre} _F_{q, temos o seguinte:}

Lema 2.1.15. Seja k um inteiro tal que mdc(k,m)=1. Ent˜ao os elementos a e ak _s˜ao

Fq-conjugados em G se e somente se U(Zm) =h¯ii hq¯i.

Demonstra¸cão. Seja k ∈ Z tal que mdc(k, m) = 1. Suponhamos que a e ak _são _F q-conjugados emG. Por defini¸cão, existem h∈Ge s∈Z satisfazendo akqs

=hah−1_{, ou}

seja, o elementoakqs

pertence `a classe de conjuga¸c˜ao dea, o que implica queakqs =ait

para algum t, 0≤t ≤n−1. Em outras palavras, ¯kq¯s _{= ¯}_it _em _Z

m logo ¯k= ¯it(¯qs)−1 o que mostra que U(Zm) =h¯ii hq¯i.

Reciprocamente, se U(Zm) = h¯ii hq¯i, ent˜ao todo ¯k ∈ U(Zm) pode ser escrito como ¯

k = ¯it_q_¯s _{e, consequentemente,}_a _e _ak _s˜ao _F_{q-conjugados em G.}

Estamos em condi¸c˜oes de provar o principal resultado desta se¸c˜ao.

Teorema 2.1.16. Sejam G um grupo metac´ıclico eFq um corpo finito comqelementos

tal que mdc(q,|G|)=1. Se o n´umero de componentes simples da ´algebraFqG´e minimal,

ent˜ao U(Zn) = hq¯i e U(Zm) = h¯ii hq¯i.

Demonstra¸cão. Se o número de componentes simples da álgebra FqG é minimal, então pela Proposi¸cão 2.1.11, U(Zn) = hq¯i.

Dado k um inteiro, tal que mdc(k, m) = 1. Pelo Lema 2.1.12, temos que a e ak

(25)

resultado segue pelo Lema 2.1.15.

Enunciaremos a seguir um resultado de Teoria dos Números que será necessário

adiante.

Teorema 2.1.17. [13, Teorema 6.11] Seja n um n´umero inteiro. Ent˜ao o grupoU(Zn)

´e c´ıclico se e somente se n = 1,2,4, pm _ou ₂_pm_{, com p primo ´ımpar.}

Ferraz e Polcino Milies, em [6], provaram o seguinte

Teorema 2.1.18. [6, Teorema 2.2] Sejam Fq um corpo finito com q elementos e A um

grupo abeliano de expoente e, tal que mdc(q,|A|)=1. Então o n´umero de componentes simples da álgebraFqAé minimal se e somente se U(Ze)é um grupo c´ıclico gerado por ¯

q∈Ze.

Seja, agora, A um grupo abeliano finito de ordem mn, tal queA=hxi × hyi, onde o(x) = m e o(y) = n. Ent˜ao, o expoente de A ´e e = mmc(m, n). Portanto, pelo

Teorema 2.1.18, se o número de componentes simples da álgebraFqGé minimal, então

U(Ze) = hq¯i. Mais precisamente, pelo Teorema 2.1.17, temos os seguintes casos:

1. e= 2 e q´ımpar.

Neste caso, devemos ter m = n = 2, pois e = mmc(m, n), logo U(Zm) = hq¯i e

U(Zn) = hq¯i.

2. e= 4 e q≡3(mod 4).

Neste caso, devemos ter m=n= 4 e novamente teremos U(Zm) =hq¯i e

U(Zn) = hq¯i.

3. e=ps _e _U₍_Z

ps) =hq¯i.

Neste caso,m =ps _e_n ₌_pt _com _t _≤_s_{, portanto} _U₍_Z_{m) =}_h_q_¯_i _e _U₍_Z_{n) =} _h_q_¯_i_.

4. e= 2ps _e_U₍_Z

2ps) =hq¯i.

(26)

2.2 Idempotentes Centrais Primitivos 21

Assim, se o número de componentes simples da álgebra FqA é minimal, então

U(Zm) =hq¯ieU(Zn) = hq¯i, exatamente o mesmo resultado obtido no Teorema 2.1.16, pois, neste caso, i= 1.

Observa¸cão 2.1.19. A rec´ıproca do Teorema 2.1.16 não vale sempre. De fato, consi-derando um grupo abeliano A=hxi × hyi, onde o(x) = pm _{e o(}_y_{) =} _ℓn_{, de tal maneira} queU(Zpm) =hq¯i eU(Z_ℓn) =hq¯i, então o expoente deAée =exp(A) = pmℓn. Assim,

Ze=Zpm_ℓn ∼=Z_pm⊕Z_ℓn

donde

U(Ze)∼=U(Zpm)× U(Z_ℓn).

Como |U(Zpm)|e|U(Z_ℓn)|são ambos pares, este produto direto não é c´ıclico, o que nos mostra que o número de componentes simples da álgebra FqA não é minimal.

2.2 Idempotentes Centrais Primitivos

Ao longo desta se¸cão, G indicará sempre um grupo metac´ıclico não abeliano com a seguinte apresenta¸cão:

G=a, b|apm

= 1 =bℓn

, bab−1 ₌_ai

onde e p e ℓ s˜ao n´umeros primos ´ımpares distintos e i 6= 1. Seja, ainda, Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q,|G|)=1.

Da nossa hip´otese sobre G, sabemos que iℓn

≡ 1mod (pm_{), logo} _o₍_i_{) =} _ℓs _em

U(Zpm). Nosso objetivo é mostrar que, sob estas condi¸cões e o(i) = ℓn em U(Z_pm) , vale a rec´ıproca do Teorema 2.1.16, ou seja, se U(Zpm) = hq¯i e U(Z_ℓn) = hq¯i, então o número de componentes simples da álgebra FqG é minimal. Tendo em mãos este

(27)

Para cada n´umero natural v, 0≤v ≤ℓn₋_{1, definimos}

tv =mdc(iv−1, pm).

Denotando por ℓs a ordem de i em U(Zpm), obtemos o seguinte resultado

Lema 2.2.1. Se k < s, ent˜ao mdc(iℓk

−1, pm_{) = 1}_.

Demonstra¸c˜ao. Seja d = mdc(iℓk

−1, pm_{). Ent˜ao} _d ₌ _pt _com _t _≤ _m _{e existe um} n´umero inteiro r tal que iℓk

−1 =rpt_{, donde} _iℓk

= 1 +rpt_{. Mas}

iℓs = (iℓk

)ℓs−k

= (1 +rpt₎ℓs−k

=P ℓs_j−k(rpt₎ℓs−k₋_j = (rpt₎ℓs−k

+· · ·+ℓs−k_rpt_{+ 1.} Da nossa suposi¸c˜ao, iℓs

−1 =upm_{, para algum inteiro} _u_{. Ent˜ao}

upm _{= (}_rpt₎ℓs−k

+· · ·+ℓs−k_rpt e, dividindo por pt_{, obtemos}

upm−t₌_rℓs−k

pℓs−k_t₋_t

+· · ·+ℓs−k_r_. Se 0 < t < m, ent˜ao p | r e, como iℓk

−1 = rpt _{segue que} _pt+1 _| _iℓk

−1 uma contradi¸c˜ao pois mdc(iℓk

−1, pm_{) =}_pt_. Set =m, ent˜aopm _|₍_iℓk

−1), dondeiℓk = 1 em U(Zpm), tamb´em uma contradi¸c˜ao, pois o(i) =ℓs_{. Logo} _t _{= 0.}

No que segue, vamos precisar dos seguintes resultados de Ferraz e Sim´on-Pinero:

Lema 2.2.2. [7, Lema 2.3]

Sejam H um grupo de expoente e a e b elementos de H. Ent˜ao a e b s˜ao

Q-conjugados em H se e somente se existem h∈H e τ ∈Z com mdc(τ, o(a)) = 1, tal

(28)

Proposi¸cão 2.2.3. [7, Proposi¸cão 2.6] Seja H um grupo metac´ıclico com a seguinte apresenta¸cão:

H =ha, b|am _{= 1}_{, b}n ₌_as_{, bab}−1 ₌_ai_i.

Ent˜ao, dado um elemento ax_by _∈ _H_{, existe um ´}_{unico divisor v de n, tal que} _ax_by _´e

Q-conjugado a arbv para algum r. Al´em disso, v =mdc(y, n) e podemos escolher r, tal

que 0≤r≤tv −1.

Corolário 2.2.4. [7, Corolário 2.7] Seja H um grupo metac´ıclico com a seguinte apre-senta¸cão:

H =ha, b|am _{= 1}_{, b}n ₌_as_{, bab}−1 ₌_ai_i.

Seja tv =mdc(iv −1, m). Definindo

Dv ={arbv |0≤r ≤tv−1}

tem-se que cada elemento de H ´e Q-conjugado a um elemento em [

v|n

Dv, e nenhum

elemento em Dv1 pode ser Q-conjugado a outro elemento de Dv2, se v1 6=v2.

Como, no nosso caso, ℓ ´e um n´umero primo, temos que [ v|ℓn

Dv =D1∪ · · · ∪Dℓn.

SejaFq um corpo finito comqelementos, tal que mdc(q,|G|) = 1. Suponhamos que

U(Zpm) =hq¯i, U(Z_ℓn) = hq¯i.

Suponhamos, ainda, que o(i) =ℓn _em _U₍_Z

pm). Pelo Lema 2.2.1,

tℓk =mdc(iℓ k

−1, pm_{) = 1, se}_{k < n} _donde

Dℓk ={ajbℓ k

: 0≤j ≤tℓk −1}={bℓ k

}.

Pelo Corol´ario 2.2.4, todo elemento de G da forma ax_by _´e_Q_{-conjugado a} _bℓk , para

algum inteiro k. Entretanto, pelo Lema 2.2.2, existem γ ∈ U(Zℓn) e h ∈ G, tais que (ax_by₎γ ₌_hbℓk

(29)

Dados dois elementos da forma ax1_by1 _e_ax2_by2 _{que são} Q_{-conjugados, então eles são}

Q-conjugados ao mesmo elementobℓk

, k < s. Assim,ax1_by1 _e_ax2_by2 _s˜ao Q_-conjugados,

se e somente se ax1_by1 _e_ax2_by2 _s˜ao F_{q-conjugados pois} U₍Z

ℓn) =hq¯i.

Por fim, pelo Corol´ario 2.1.13, um elemento da forma aj _´e _Q_{-conjugado a} _av _com

v | pm_{. Além disto, dois elementos} _aj _e _ak _∈ _G _são _Q_{-conjugados em} _G _{se e somente} se existem γ1 ∈ U(Zpm) e g ∈G, tais que (aj)γ1 =gakg−1 e isto acontece se e somente se aj _e _ak _são _F_{q-conjugados em}_G_{, uma vez que} _U₍_Z

pm) = hq¯i.

Consequentemente, mostramos que dois elementos g1 e g2 de G s˜ao Q-conjugados

se e somente se eles s˜aoFq-conjugados, portanto o n´umero de componentes simples da

álgebraFqGé minimal. Finalmente, o número de componentes simples da álgebraFqG

´e igual ao n´umero de divisores depm _{somado com o n´}_{umero de divisores de} _ℓn_{, logo o}

número de componentes simples da álgebra FqGém+n+ 1.

Como p eℓ s˜ao n´umeros primos, denotando A=hai e B =hbi, temos as seguintes cadeias de subgrupos:

A=A0 ⊇A1 ⊇ · · · ⊇Am ={1}

B =B0 ⊇B1 ⊇ · · · ⊇Bn={1}

com Ai =hap i

i eBj =hbℓ j

i.

Considerando os idempotentes associados a estas cadeias, isto ´e,

e0 =Ab e ei =cAi−Adi−1, 1≤i≤m

f0 =Bb e fj =Bcj−B[j−1, 1≤j ≤n

podemos escrever:

1 = f0e0+f1e0+· · ·+fne0+e1+· · ·+em.

Os idempotentes acima constru´ıdos s˜ao centrais e existem exatamentem+n+ 1 o

que nos mostra que o conjunto

{fje0,0≤j ≤n} ∪ {ei,1≤i≤m}

(30)

Cap´ıtulo 3

´

Algebras de Grupo de Alguns

Grupos Metac´ıclicos Particulares

3.1 Resultados Preliminares

Dutra, Ferraz e Polcino Milies provaram em [4], Teorema 3.3, o seguinte resultado:

Teorema 3.1.1. Sejam Dn um grupo diedral com a seguinte apresenta¸c˜ao

Dn =ha, b|an = 1 =b2, bab=a−1i

eFq um corpo finito com q elementos tal quemdc(q, 2n)=1. O n´umero de componentes

simples da álgebra FqDn é minimal se e somente se vale uma das seguintes condi¸cões:

i) n= 2 ou 4 e q ´ımpar;

ii) n= 2m _com _m_≥₃ _{e q congruente `a 3 ou 5 m´odulo 8;}

iii) n=pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador de} _U₍_Z pm);

iv) n=pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador do subgrupo}

U2₍_Z

pm) = {x2 |x∈ U(Z_pm)} e −1 n˜ao ´e um quadrado em U(Z_pm) ;

v) n= 2pm _{e com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador de} _U₍_Z

2pm);

(31)

3.1 Resultados Preliminares 26

vi) n= 2pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador do subgrupo}

U2₍_Z

2pm) ={x2 |x∈ U(Z₂_pm)} e −1 n˜ao ´e um quadrado em U(Z₂_pm);

vii) n= 4pm _{com p primo ´ımpar, q e (-q) tˆem ordem} _ϕ₍_pm₎ _m´odulo ₄_pm_;

viii) n =pm1

1 p

m2

2 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(p

m2

2 )) = 2, q e (-q) tˆem

ordem ϕ(pm1

1 )ϕ(pm2 2)/2 em U(Zpm1 1 p

m₂

2 );

ix) n= 2pm1

1 pm22 com p1 e p2 primos ´ımpares,mdc(ϕ(pm1 1), ϕ(pm2 2)) = 2, q e (-q) tˆem

ordem ϕ(pm1

1 )ϕ(pm2 2)/2 em U(Z2pm1 1 p

m₂

2 ).

Neste cap´ıtulo, consideraremos grupos metac´ıclicos n˜ao abelianos com a apre-senta¸c˜ao:

G=ha, b|an _{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i_.

tendo como objetivo principal, estender o Teorema 3.1.1.

Vamos enunciar alguns resultados de teoria dos n´umeros que ser˜ao utilizados na

demonstra¸c˜ao do principal resultado deste cap´ıtulo.

Lema 3.1.2. [22, Corolário 4.2.7]Sejaξuma raiz n-ésima primitiva da unidade. Então

Gal(Q(ξ),Q)∼=U(Zn).

Defini¸cão 3.1.3. Seja n um inteiro. Definimos a fun¸cão de Euler ϕ(n) como o número de inteiros a= 1,2, . . . , n tais que mdc(a,n)=1.

Lema 3.1.4. [13, Lema 5.4] Se n =pm_{, onde} _p _{´e um n´}_{umero primo, ent˜ao}

ϕ(pm_{) =} _pm−1₍_p₋₁₎_.

Teorema 3.1.5. [13, Teorema 5.6] Sejam m e n um n´umeros inteiros primos entre si. Ent˜ao ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n).

Teorema 3.1.6. [13, Teorema 6.11] Seja n um n´umero inteiro. Ent˜ao o grupo U(Zn)

(32)

Lema 3.1.7. Seja m≥3 um inteiro. Ent˜ao

52m−3

≡ 2m−1_{+ 1 (}_mod ₂m₎

−52m−3 ≡ 2m−1−1 (mod 2m).

Demonstra¸cão. Sabe-se que 2m−1 _{é a maior potência de 2 que divide 5}2m−3

−1 ([13, Lema 6.9]). Logo

52m−3

−1 = 2m−1_s

onde s= 2k+ 1 ´e um inteiro ´ımpar. Assim,

52m−3

−1 = 2m_k_{+ 2}m−1

donde

52m−3

≡ 2m−1_{+ 1 (}_mod ₂m_).

Como 2m−1 _{≡ −}₂m−1 ₍_mod ₂m_{), a segunda afirma¸c˜ao segue imediatamente.}

Teorema 3.1.8. [13, Teorema 6.10] Se m ≥3, ent˜ao

U(Z2m) = {±5j |0≤j ≤2m−2}.

Em outras palavras, U(Z2m) = −1×5. Al´em disto, as unidades de ordem 2 em

Z2m s˜ao −1, 2m−1−1 e 2m−1+ 1. Ainda, como |U(Z₂m)|= 2m−1, ent˜ao o(5) = 2m−2.

Defini¸cão 3.1.9. Um elemento x ∈ U(Zn), diz-se res´ıduo quadrático módulo n se x =s2 _{para algum} _s _{∈ U}₍_Z_n)_{. O subgrupo dos res´ıduos quadráticos módulo n será}

denotado por Qn.

Teorema 3.1.10. [13, Teorema 7.14] Seja x um n´umero inteiro ´ımpar. Ent˜ao x∈Q4

(33)

Lema 3.1.11. [13, Lema 7.3] Seja n > 2. Suponhamos que U(Zn) seja um grupo c´ıclico. Então Qn é um grupo c´ıclico de ordem ϕ(n)/2, gerado por g2, onde g é um

gerador de U(Zn).

Teorema 3.1.12. [13, Teorema 7.15] Seja n = n1n2· · ·nk com nj primos entre si.

Ent˜ao x∈Qn se e somente se x∈Qnj para cada j.

Lema 3.1.13. [19, Corol´ario 6.6] Todo grupo abeliano finito A ´e um produto direto de grupos c´ıclicos A=Cm1 ×Cm2 × · · · ×Cmt com m1 |m2 | · · · |mt.

Defini¸c˜ao 3.1.14. Dizemos que um grupo abeliano finito A possui fatores invari-antes (m1,· · · , mt) se A=Cm1 ×Cm2 × · · · ×Cmt com m1 |m2 | · · · |mt..

Lema 3.1.15. [19, Corol´ario 6.14]

1. Dois grupos abelianos finitos s˜ao isomorfos se e somente se eles possuem os mes-mos fatores invariantes.

2. Sejam A, B e C grupos abelianos finitos. Se A×B ∼=A×C, ent˜ao B ∼=C.

Para cada m∈Z, definimos uma fun¸c˜ao:

fm :G−→G

aj_bk _7−→_ajm_bk_{, k}_{= 0}_,_1.

´

E f´acil verificar que fm ´e um homomorfismo de grupos. Ainda, fm ◦fn = fmn, donde fm ∈Aut(G) se m∈ U(Zn).

(34)

Proposi¸cão 3.1.16. O grupo das unidades dos inteiros módulo n é isomorfo a um subgrupo do grupo Aut(G).

Demonstra¸c˜ao. Considere a seguinte fun¸c˜ao:

ψ :U(Zn)−→Aut(G)

m 7−→fm.

Note que fm =I implica que, em particular,a=am, donde am−1 = 1. Consequen-temente, m≡1 (mod n).

Seja, agora, Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q,|G|) = 1. Como

|G|= 2n, tem-se queq∈ U(Zn) e, portanto,fq ∈Aut(G). Sejae´e o expoente do grupo

G. Dada uma raiz e-´esima primitiva da unidade ξ, o grupo de Galois Gal(Fq(ξ),Fq) ´e

c´ıclico, gerado pelo automorfismo de Frobenius σ :ξ7→ξq_.

Vamos mostrar que existe uma rela¸c˜ao entre Gal(Fq(ξ),Fq) e o subgrupo de Aut(G) gerado por fq. Mais precisamente, temos a seguinte resultado, que tem interesse em si

mesmo, mas não será necessário adiante.

Proposi¸cão 3.1.17. Seja e o expoente de G e seja ξ uma raiz primitiva e-ésima da unidade. Então os grupos Gal(Fq(ξ),Fq) e hfqi são isomorfos.

Demonstra¸c˜ao. Definimos a seguinte aplica¸c˜ao:

Φ : Gal(Fq(ξ),Fq)−→ hfqi

σt _7−→_f qt.

Notemos inicialmente que σk₍_ξ_{) =}_ξqk .

1. Φ ´e um homomorfismo de grupos.

σk1_σk2 ₌_σk1+k2_{, portanto Φ(}_σk1_σk2_{) =} _f

(35)

3.2 A Estrutura da ´Algebra 30

2. Φ ´e injetora.

Seja σk _∈ _{ker(Φ). Ent˜ao} _f

qk = f₁. Isto implica que a = aq k

, logo qk _{= 1 +}_βn_,

donde σk₍_ξ_{) =} _ξqk

=ξξβn_.

Sené par entãon=exp(G), dondeσk₍_ξ_{) =}_ξ_{. Se}_n_{é ´ımpar, então}_exp₍_G_{) = 2}_n_.

Como mdc(q,2n) = 1, temos que q também é ´ımpar. Na equa¸cão qk _{= 1 +}_βn_,

estes fatos implicam queβ é par, isto é, β = 2β′_{. Então}

σk₍_ξ_{) =}_ξξ2β′_n

=ξ.

Em qualquer caso, σ=Id.

Claramente, Φ ´e sobrejetora, o que prova a Proposi¸c˜ao.

3.2 A Estrutura da ´

Algebra

Vamos come¸car apresentando um Lema t´ecnico.

Lema 3.2.1. SejamGum grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i.

e d=mdc(n, i−1). As classes de conjuga¸cão dos elementos não centrais deG são da forma C(am_{) =}_{_am_{, a}mi_} _e _C₍_aj_b_{) =}_aj_bG′ ₌_aj_b_h_ai−1_i_, ₀_≤_j _≤_d₋₁_.

Demonstra¸c˜ao.

A inclus˜ao C(x) ⊂ xG′ _{vale para grupos em geral. S´o temos que provar que, no}

nosso caso, vale a inclus˜ao contr´aria. De fato, dado y∈aj_bG′_{, temos que}

y =aj_b₍_ai−1₎k₌_aj_baik_a−k ₌_aj_ak_ba−k ₌_ak₍_aj_b₎_a−k_. Logo aj_bG′ _{⊂ C}₍_aj_b_).

Queremos estender o Teorema 3.1.1 e isso significa determinar para quais valores

(36)

Lema 3.2.2. Sejam m1 e m2 divisores positivos de n. Se os elementos de G, am1 e

am2_{, s˜ao} F

q-conjugados em G, ent˜ao m1 =m2.

Demonstra¸c˜ao. Sejam am1 _e _am2 _{elementos de} _G F_{q-conjugados. Existem} _h _∈ _G

e t0 ∈ Z, tais que am1 = h(am2)q

t₀

h−1_{, ou seja,} _am1 ₌ _am2qt0 _ou _am1 ₌ _am2iqt0_{. Isso}

implica quem1 =m2qt0+knoum1 =m2qt0i+kn. Entretanto,m2 dividen, ent˜aom2

dividem1. Analogamente, mostramos quem1 dividem2 e, comom1em2 s˜ao positivos,

tem-se quem1 =m2.

Proposi¸cão 3.2.3. Seja G um grupo metac´ıclico não abeliano com a seguinte apre-senta¸cão:

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i.

Os elementosa e am_{, para todo}_m_{, tal que} _m_{∈ U}₍_Z

n), s˜ao Fq-conjugados se e somente

se q gera o grupo U(Zn), ou U(Zn) = hqi ×i.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a e am _s˜ao _F

q-conjugados. Ent˜ao, am = aq t

ou

am ₌ _aiqt

, para algum t ∈ Z. Isto nos mostra que U(Zn) = ihqi. Se i ∈ hqi, ent˜ao

U(Zn) = hqi, caso contr´ario,U(Zn) =

i× hqi. Reciprocamente, seU(Zn) =hqi, ent˜aoam ₌_aqt

e estes elementos s˜aoFq-conjugados

em G. Se q gera um subgrupo de ´ındice 2 em U(Zn) e i /∈ hqi, ent˜ao mhqi = hqi ou

mhqi =ihqi. No primeiro caso, m =qk _{para algum} _k_{, donde} _am ₌_aqk

e a e am _s˜ao

Fq-conjugados. Semhqi=ihqi, ent˜ao m =iqt, para algumt dondeam =aiq t

e, como

ai _{´e conjugado a} _a_{, temos que} _a _e _am _s˜ao _F_{q-conjugados.}

Sabemos, pelo Corolário 2.1.13, que, para cada ak _∈ _G_{, existe um ´}_{unico divisor} _v den, tal queak _e_av _são _Q_{-conjugados em}_G_{. Além disso, como mdc(}_q,_|_G_|_{) = 1 se} _am1

eam2 _são F_{q-conjugados em} _G_{, então}_am1 _e _am2 _são Q_{-conjugados em}_G_{. Esse fato nos}

(37)

Teorema 3.2.4. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apre-senta¸c˜ao:

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i

Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q, 2n)=1. Se o n´umero de

componen-tes simples da álgebraFqGé minimal, então qgera o grupoU(Zn)ouU(Zn) = hqi×

i.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão é análoga à do Teorema 2.1.16.

Lema 3.2.5. SejamGum grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao:

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i

Fq um corpo finito com q elementos tal que mdc(q, 2n)=1. Suponhamos que q gera o

grupo U(Zn) ou U(Zn) = hqi ×i. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.

1. am1 _e _am2 _s˜ao F

q-conjugados em G

2. am1 _e _am2 _s˜ao Q_{-conjugados em} _G

Demonstra¸cão. Notemos que, por hipótese, mdc(q, n) = 1, logo se am1 _e _am2 _são

Fq-conjugados emG, pelo Lema 2.1.3, am1 eam2 s˜ao Q-conjugados emG.

Suponhamos que am1 _e _am2 _s˜ao Q_{-conjugados. Se}_U₍Z_{n) =} _h_q_i_{, ent˜ao} _am1 ₌_am2qt_,

e se U(Zn) =

i × hqi, ent˜ao am1 ₌ _am2qti_{. Em ambos os casos,} _am1 _e _am2 _s˜ao

Fq-conjugados.

Vamos provar um Lema técnico que nos será muito útil.

Lema 3.2.6. SejamGum grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao:

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i

Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q, 2n)=1. Se n =p1m1pm2 2, com p1 e

p2 primos ´ımpares e i6= 1 em U(Z_pmj

j ) para cada j, ent˜ao mdc(n,i-1)=1.

(38)

Demonstra¸c˜ao. Sejad =mdc(n, i−1). Por hip´otese,i6≡1 (mod pmj_j ), j = 1,2, logo

d=pt1

1pt22 com t1 6=m1 et2 6=m2.

Como d | (i−1), existe α ∈ Z, tal que (i−1) = pt1

1 p

t2

2α, isto ´e, i = p

t1

1 p

t2

2α+ 1.

Assim, i2 ₌_p2t1

1 p22t2α2+ 2p1t1pt22α+ 1, donde i2−1 =p21t1p22t2α2+ 2pt11pt22α.

Como, da hip´otese sobre G,i2 _≡ _{1 (}_{mod n}_{) podemos escrever} _i2₋_{1 =} _pm1

1 p

m2

2 β e,

substituindo, temos quepm1

1 pm22β−p12t1p22t2α2−2pt11p2t2α= 0. Set1 >0, podemos dividir

esta igualdade por pt1

1p

t2

2, donde p

m1−t1

1 p

m2−t2

2 β−p

t1

1 p

t2

2 α2 −2α = 0, logo p1 divide α,

consequentemente, o elemento pt1+1

1 pt22 divide (i−1) uma contradi¸c˜ao mostrando que

t1 = 0. De modo an´alogo, motra-se que t2 = 0.

Teorema 3.2.7. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apre-senta¸c˜ao

G=ha, b|an_{= 1 =}_b2_{, bab}₌_ai_i

Fq um corpo finito com q elementos tal que mdc(q, 2n)=1. O n´umero de componentes

simples da álgebra FqG é minimal se e somente se vale uma das seguintes condi¸cões:

i) n= 4 e q ´ımpar;

ii) n= 2m _com _m_≥₃ _e

  

q ≡ 3 (mod 8) e i= 2m−1_{+ 1 ou} _i₌₋₁

q ≡ 5 (mod 8) e i= 2m−1₋_{1 ou} _i₌₋₁

iii) n=pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador de} _U₍_Z pm);

iv) n=pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador do subgrupo}

U2₍_Z

pm) = {x2 |x∈ U(Z_pm)} e i n˜ao ´e um quadrado em U(Z_pm) ;

v) n= 2pm _{e com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador de} _U₍_Z

2pm);

vi) n= 2pm _{com p primo ´ımpar e a classe} _q _{´e um gerador do subgrupo}

U2₍_Z

2pm) ={x2 |x∈ U(Z₂_pm)} e i n˜ao ´e um quadrado em U(Z₂_pm);

vii) n= 4pm _{com p primo ´ımpar, q e (iq) tˆem ordem} _ϕ₍_pm₎ _m´odulo ₄_pm _com

(39)

viii) n =pm1

1 p

m2

2 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(p

m2

2 )) = 2, q e (iq) tˆem

ordem ϕ(pm1

1 )ϕ(pm2 2)/2 em U(Zpm1 1 p

m₂

2 ) com i6= 1 em U(Zpmjj ), j = 1,2;

ix) n= 2pm1

1 pm22 com p1 ep2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(pm22)) = 2, q e (iq) tˆem

ordem ϕ(pm1

1 )ϕ(pm2 2)/2 em U(Z2pm1 1 p

m₂

2 ) com i6= 1 em U(Zpmjj ), j = 1,2.

Demonstra¸cão. Suponhamos que o número de componentes simples da álgebraFqG é minimal. Pelo Teorema 3.2.4, a ordem deq em U(Zn) deve ser ϕ(n) ouϕ(n)/2, onde

ϕ denota a fun¸c˜ao de Euler.

Seja n = 2m_pm1

1 pm22· · ·pmtt , a decomposi¸cão de n como produto de potências de primos. Então

Zn=Z2m⊕Z pm1

1 · · · ⊕Zpmtt e

U(Zn) = U(Z2m)× U(Z pm1

1 )· · · × U(Zpmtt ). Vamos analisar em casos separados.

(a) A ordem de q em U(Zn) ´e ϕ(n).

Neste caso, temos que U(Zn) = hqi, portanto, pelo Teorema 3.1.6, devemos ter

n = 2,4, pm _{ou 2}_pm_{. Se} _n _{= 2, ent˜ao} _G₌ _C

2×C2 o que n˜ao pode ocorrer pois

Gnão é abeliano. Deste modo, ou (i)ou(iii) ou(v) ocorre. Além disso, no caso em que n= 4, deve-se ter que q≡3 (mod 4) para que q seja gerador.

(b) A ordem de q em U(Zn) ´e ϕ(n)/2 com U(Zn) c´ıclico.

Sendo assim, pelo Lema 3.1.11, o grupo Qn dos res´ıduos quadráticos módulon é

c´ıclico de ordem ϕ(n)/2, portanto Qn = hqi, mostrando que ocorre, ou (iv), ou

(vi) e ainda, (i) no caso em quen = 4 e q≡1 (mod 4).

(c) A ordem de q em U(Zn) ´e ϕ(n)/2 com U(Zn) n˜ao c´ıclico.

Neste caso, temos que U(Zn) = hqi ×i ∼= Cϕ(n)/2×C2. Assim, ϕ(n)/2 ´e um

(40)

Como Cϕ(n)/2 é um grupo c´ıclico de ordem par, então existe um único subgrupo

deCϕ(n)/2 de ordem 2. Logo, o 2-subgrupo abeliano elementar maximal deU(Zn)

´e C2×C2.

Se n = pm1

1 p

m2

2 p

m3

3 , ent˜ao U(Zn) ∼= U(Zpm1

1 )× U(Zp

m₂

2 )× U(Zp

m₃

3 ), donde C2 ×

C2 ×C2 seria um 2-subgrupo abeliano elementar de U(Zn), o que n˜ao pode

ocorrer. Logo, devemos ter n = 2m _com _m _≥ _{3 ou} _n _{= 4}_pm _ou _n ₌ _pm1

1 p

m2

2 ou

n= 2pm1

1 pm22.

Analisaremos cada um destes casos separadamente.

(c-(i)) n= 2m_{, m}_≥_3.

Sabemos que i /∈ hqi, pelo Teorema 3.2.4 e que i = −1, 2m−1₋_{1 ou 2}m−1_{+ 1}

pelo Teorema 3.1.8. Al´em disso, pelo Lema 3.1.7, temos 2m−1_{+ 1} _∈₅_,

2m−1₋₁_∈₋₅_.

Como q ∈ U(Z2m), ent˜ao devemos ter q = 5j ou q = −5j. Por outro lado,

o(5) = o(−5) = 2m−2 ₌ _ϕ₍_n₎_/_{2 =} _o₍_q_{), consequentemente, temos} _h_q_i ₌ ₅ _ou

hqi=−5. Observemos que, em ambos os casos,j deve ser um n´umero ´ımpar.

No caso em que hqi = 5, ent˜ao ent˜ao q ≡ 52k+1 (mod2m) para algum inteiro

k. Ent˜ao q ≡ 25k_·_{5 (}_mod ₂m_{) donde} _q _≡ ₂₅k_·₅ _≡ _{5 (}_mod _{8). Ainda, deve se} ter que i=−1 ou i= 2m−1₋_1.

Da mesma forma, sehqi=−5, ent˜aoq≡3 (mod 8) ei=−1 oui= 2m−1_{+ 1.}

(c-(ii)) n= 4pm_.

Como |U(Z4pm)|=ϕ(4pm) = 2ϕ(pm), tem-se que o(q) =ϕ(pm). Queremos mos-trar ainda que o(iq) = ϕ(pm_{). Para tanto, seja} _k ₌ _o₍_iq_{). Se} _k _{fosse ´ımpar,}

ter´ıamos iqk = iqk _{= 1, implicando que} _i _{∈ h}_q_i_{, uma contradi¸c˜ao.} Conse-quentemente, k ´e par. Assim iqk = qk _{= 1, donde} _k _| _ϕ₍_pm_{). Finalmente,}

iϕ(pm)qϕ(pm₎