Hipoeliticidade global e vetores simultaneamente aproximáveis.

(1)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Hipoeliticidade Global e Vetores

Simultaneamente Aproxim´

aveis

Jacson Simsen

Orientador: Prof. Dr. Gerson Petronilho

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática

(2)

S614hg

Simsen, Jacson.

Hipoeliticidade global e vetores simultaneamente aproximáveis / Jacson Simsen. -- São Carlos : UFSCar, 2003.

50 p.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2003.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Hipoeliticidade global. 3. Séries de Fourier. 4. Estimativas –L2. 5. Vetores simultaneamente aproximáveis. I. Título.

(3)

(4)

`

A Deus pela oportunidade de vida. `

A Mariza, minha ador´avel esposa, pelo companherismo, amor, carinho e in-centivo.

Aos meus pais pela educa¸c˜ao, forma¸c˜ao moral, apoio, incentivo e por todo amor e carinho que tem por mim.

Ao meu orientador Prof. Dr. Gerson Petronilho, pelos ensinamentos matemáticos, pela sua paciência e pela orienta¸cão deste trabalho.

Aos meus irm˜aos L´ırio, Marilene e Mareli, por todo amor e carinho que tem por mim.

Aos amigos Clério, Marcelo, Maur´ıcio, Kelly, Marcos, Josiane, Ivo, Streck, Sônia, Marquinhos, Luiza, Francisco, Chiquinho, Tamara, Jiuliano, Cristhian e Marcelo Japonês, pela amizade e companhia.

Aos amigos do PPG-M pelo bom ambiente de trabalho.

Aos professores do Departamento de Matemática da UFSCar, em especial, ao Adalberto Panobianco Bergamasco, João Sampaio, Cezar Kondo, Dirceu Penteado, Gerson Petronilho e César Rogério de Oliveira, pelos ensinamentos e por darem sentido à palavra Professor.

Aos professores do Departamento de Matem´atica da UFSM, em especial, ao Maur´ıcio Fronza da Silva e ao Jo˜ao Batista Peneireiro, que mais do que pro-fessores foram e continuam sendo amigos.

Ao professor Paulo Caetano, pelas discussões matemáticas. Ao Renato pelas discussões e ajuda nos comandos do Latex.

`

(5)

Introdu¸c˜ao 1

1 Pr´e - Requisitos 3

1.1 Nota¸c˜oes e Alguns Resultados . . . 3

1.2 Espa¸cos das Fun¸c˜oes 2π-peri´odicas . . . 6

1.2.1 S´erie de Fourier em_P2π(IRn) . . . 7

1.2.2 S´erie Parcial de Fourier em_P2π(IRn) . . . 8

1.3 Espa¸co das Distribui¸c˜oes 2π-peri´odicas . . . 9

1.3.1 S´erie de Fourier em_P₂′π(IR n ) . . . 10

1.3.2 S´erie Parcial de Fourier em_P₂′π(IR n ) . . . 13

1.4 Outros Resultados . . . 15

2 Hipoeliticidade Global e Aproxima¸cões Simultâneas 17 2.1 Defini¸cões e Exemplos . . . 17

2.2 Teorema Central . . . 25

2.2.1 Necessidade . . . 25

2.2.2 Suficiˆencia . . . 29

3 Hipoeliticidade Global para certas Classes de Sublaplacianos 43

(6)

(7)

(8)

Estamos interessados em estudar a hipoeliticidade global, isto ´e, a regularidade C∞ _{das solu¸c˜oes, de uma classe de operadores diferenciais}

par-cias lineares de segunda ordem, dados como soma de quadrados, de campos vetoriais reais, ou seja, quando P ´e dado por:

P =₋∆t− n

X

j=1

aj(t)∂xj

!2

(1)

sendo que (t1, ..., tm, x1, ..., xn) = (t, x)∈ IRm+n e aj(t)∈ P2π(IRm), com aj(t)

a valores reais.

Para ser mais preciso, recordemos a defini¸cão de hipoeliticidade global. Dizemos que P é globalmente hipoel´ıtico, (GH), se as condi¸cões u_{∈ P}₂′_π(IRN) e P u_{∈ P}2π(IRN) implicam queu∈ P2π(IRN).

Este nosso estudo foi baseado no artigoGlobal Hypoellipticity and Simultaneous Approximability, de Himonas, A. A. e Petronilho, G. (ver [HP]).

A organiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao foi elaborada como segue:

No cap´ıtulo 1 apresentamos os pr´e-requisitos necess´arios para o bom entendimento deste trabalho.

(9)

pro-priedades diofantinas dos coeficientes deP. (ver p´agina 25).

Um modelo para a classe (1) ´e dado por L = ₋∂_t2 ₋a2(t)∂2_x, sendo que (t, x)_∈IR2, a(t)_{∈ P}2π(IR) a valores reais. Em [FO] foi provado que L´e

globalmente hipoel´ıtico em IR2 se, e somente se, a_6≡0.

(10)

Pr´

e - Requisitos

Neste cap´ıtulo apresentamos uma série de defini¸cões, nota¸cões e resul-tados utilizados ao longo deste trabalho. Salientamos que as demonstra¸cões dos resultados apresentados neste cap´ıtulo quando forem omitidas terão re-ferências para tais.

1.1 Nota¸

c˜

oes e Alguns Resultados

Apresentaremos abaixo algumas nota¸cões utilizadas nesta disserta¸cão, juntamente com uma explica¸cão breve do seu significado.

.

= igual por defini¸c˜ao;

x_·ξ ´e produto escalar usual;

[x] menor inteiro maior ou igual a x; ∂

∂xj

=∂xj derivada parcial em rela¸c˜ao xj;

|α_|=α1+· · ·+αn, α= (α1, ..., αn)∈INn;

Dα =Dα1₁ ...Dαn

n , sendoα ∈INn e D αj

j =

1 i∂

αj

xj, para j = 1, ..., n; IN=. _{0,1,2, ..._};

(11)

fim da demonstra¸c˜ao.

Observa¸c˜ao: Usaremos a letra C para representar diferentes constantes. Consideremos N _∈ IN, τ _∈ ZZm_, _α

∈ INm_,

|τ_| = pτ2

1 +...+τm2 e

kτ_k=_|τ1|+...+|τm|. Lembremos que|α|=α1+α2+...+αm,α! =α1!α2!...αm!,

τα ₌_τα1

1 τ

α2

2 ...τmαm. Notemos que|τα|=|τ1|α1|τ2|α2...|τm|αm.

Afirma¸c˜ao 1.1 _|τ_|N

≤ kτ_kN ₌ X

|α|=N

N! α!|τ

α

|

Demonstra¸c˜ao: E f´acil mostrar que´ _|τ_{| ≤ k}τ_k. Logo _|τ_|N _{≤ k}_τ_kN_{. Resta}

mostrarmos que_kτ_kN (₌∗) X

|α|=N

N! α!|τ

α

|.

caso m=1: trivial. caso m=2:

kτ_kN = (_|τ1|+|τ2|)N

= N X k=0 N k

|τ1|N−k|τ2|k

=

N

X

k=0

N!

(N ₋k)!k!|τ1|

N−k

|τ2|k

= X

j+k=N

N! j!k!|τ1|

j

|τ2|k

= X

|(α1,α2)|=N

N! α1!α2!|

τ(α1,α2)_|.

Suponhamos que vale a igualdade (*) para m=n₋1. Note que

(_|τ1|+|τ2|+...+|τn−1|+|τn|)N= ((|τ1|+...+|τn−1|) +|τn|) N

= X

k+j=N

N!

k!j!(|τ1|+...+|τn−1|)

k

|τn|j

=X

k+j=N

N! k!j!

X

|β|=k

k! β!|τ1|

β1

|τ2|β2...|τn−1|βn−1|τn|j

= X

|β|+j=N

N! β!j!|τ1|

β1

|τ2|β2...|τn−1|βn−1|τn|j

= X

|(α1,...,αn)|=N N!

α!|τ

α

(12)

Lema 1.1 Dado N _∈IN, existe CN >0 tal que

|τ_|N_|ξ_|N _≥CN|(τ, ξ)|N, ∀ (τ, ξ)∈(ZZm\0)×(ZZn\0). (1.1)

Demonstra¸c˜ao: Lembremos que _|(τ, ξ)_|=p_|τ_|2 ₊_|_ξ_|2_.

Definindo_k(τ, ξ)_k=. _|τ_|+_|ξ_|, vemos que

1

√

2k(τ, ξ)k ≤ |(τ, ξ)| ≤ k(τ, ξ)k. (1.2)

Observemos que, para τ ₆= 0 e ξ ₆= 0 temos

k(τ, ξ)_kN = (_|τ_|+_|ξ_|)N =

N X ℓ=0 N ℓ

|τ_|N−ℓ_|ξ_|ℓ

=_|τ_|N_|ξ_|N

1

|ξ_|N +

N 1

1

|τ_||ξ_|N−1 +· · ·+

N N ₋1

1

|τ_|N−1_|_ξ_| +

1

|τ_|N

≤ |τ_|N_|ξ_|N

1 + N 1 +_{· · ·}+ N N ₋1

+ 1

=CN′ |τ| N

|ξ_|N.

Assim,

|τ_|N_|ξ_|N _≥CNk(τ, ξ)kN, τ 6= 0, ξ 6= 0. (1.3)

De (1.2) e (1.3) segue que

|τ_|N_|ξ_|N _≥CN|(τ, ξ)|N, τ 6= 0, ξ 6= 0.

A F´ormula de Leibniz

Sejam f, g_∈C∞(IRn). Dadoα_∈INn, temos

∂α(f.g) =X

β≤α

α β

∂α−βf ∂βg, (1.4)

sendo que α β .

= α!

(13)

1.2 Espa¸

cos das Fun¸

c˜

oes

₂

π

-peri´

odicas

Defini¸cão 1.1 C∞(IRn₎ _{é o espa¸co das fun¸cões infinitamente diferenciáveis}

definidas no IRn _{a valores complexos.}

Defini¸cão 1.2 C2π(IRn) é o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas no IRn, 2π

-peri´o-dicas em cada vari´avel a valores complexos.

Defini¸c˜ao 1.3 _P2π(IRn) =. C2∞π(IR n

) _⊂ C∞(IRn) é o espa¸co das fun¸cões in-finitamente diferenciáveis no IRn, 2π-periódicas em cada variável e a valores complexos.

Defini¸cão 1.4 Sejam _{ϕj}_j_∈_IN uma seqüência em P2π(IRn) e ϕ ∈ P2π(IRn).

Dizemos que ϕj converge para ϕ em P2π(IRn) se, para cada α ∈ INn,

α= (α1, ..., αn), Dαϕj →Dαϕ uniformemente em IRn.

Esta no¸cão de convergência coincide com a induzida pela métrica

d(ϕ, ψ)=.

∞

X

k=0

1 2k

ρk(ϕ−ψ)

1 +ρk(ϕ−ψ)

,

na qual ρk, k ∈IN, ´e a semi-norma definida por

ρk(φ)= sup. x∈IRn

|α|≤k

|Dαφ(x)_|, (1.5)

para todaφ _{∈ P}2π(IRn).

Teorema 1.1 ϕj → ϕ em P2π(IRn) se, e somente se, ρk(ϕj −ϕ) → 0, para

cada k _∈IN.

(14)

1.2.1 S´

erie de Fourier em

_P2

π

(IR

n

)

Defini¸cão 1.5 Seja _{ak}k∈ZZn uma seqüência numérica em C. Dizemos que

a seqüência _{ak} é rapidamente decrescente se para cada N ∈ IN, existe

C =C(N)>0 tal que

|ak| ≤C|k|−N, para todo k ∈ZZn\0.

Observa¸c˜ao 1.1 Equivalentemente, _{ak}k∈ZZn ´e rapidamente decrescente se

para cada N _∈IN, existe C =C(N)>0 tal que

|ak| ≤C(1 +|k|)−N, para todo k ∈ZZn.

Suponhamos que_{ak}k∈ZZn satisfa¸ca a Defini¸c˜ao 1.5. Ent˜ao dadoN ∈ IN existe ˜C= ˜C(N)>0 tal que

|ak| ≤C˜|k|−N, ∀k ∈ZZn\0.

Sek _∈ZZn_\0 ent˜ao temos 1 +_|k_{| ≤ |}k_|+_|k_|= 2_|k_|,e portanto

|ak| ≤C˜|k|−N = 2NC˜(2|k|)−N ≤2NC˜(1 +|k|)−N.

DefinindoC = max_{|a0|,2NC˜} obtemos o desejado.

O outro lado ´e imediato, lembrando que _|k_|<(1 +_|k_|).

Denotaremos o espa¸co das sequˆencias rapidamente decrescente por

S(ZZn_{; C)}_.

Teorema 1.2 Seja _{ak}k∈ZZn uma seqüência rapidamente decrescente. Então

X

k∈ZZn

akeik·x

converge em _P2π(IRn) e se

f(x) = X

k∈ZZn

(15)

ent˜ao

ak(f)=.

1 (2π)n

Z

[−π,π]n

e−ik·xf(x)dx=ak.

onde ak(f) é o k-ésimo coeficiente de Fourier de f e usaremos a nota¸cão

b

f(k) =ak(f).

Demonstra¸c˜ao: Ver [Z].

Teorema 1.3 Seja f _{∈ P}2π(IRn). Ent˜ao

b

f(k) = 1 (2π)n

Z

[−π,π]n

e−ik·xf(x)dx

forma uma seq¨uˆencia rapidamente decrescente e

f(x) = X

k∈ZZn

b

f(k)eik·x.

A s´erie X

k∈ZZn

b

f(k)eik·x ´e chamada de s´erie de Fourier de f.

1.2.2 S´

erie Parcial de Fourier em

_P2

π

(IR

n

)

Sejam p, q e n _∈IN∗ tais que n =p+q. Consideremos a soma direta IRn_{= IR}p

⊕IRq_.

Entenderemos (x, y)_∈IRn _{como sendo}_x

∈IRp _e_y

∈IRq_.

Teorema 1.4 Seja _{φk}k∈ZZq uma seqüência de fun¸cões em P2π(IRp) tal que

para cada α_∈INp e N _∈IN existe C >0 tal que

|Dαφk(x)| ≤C(1 +|k|)−N, para todo k ∈ZZq e x∈IRp.

Ent˜ao, a fun¸c˜ao ψ : IRp+q _→C definida por

ψ(x, y)=. X

k∈ZZq

φk(x)eiy·k

(16)

Teorema 1.5 Seja φ _{∈ P}2π(IRn). Ent˜ao

φ(x, y) = X

k∈ZZq

φk(x)eiy·k,

na qual φk ∈ P2π(IRp) e

φk(x) =

1 (2π)q

Z

[−π,π]q

φ(x, y)e−iy·kdy.

Al´em disso, dado α_∈INp _e _N

∈IN existe C >0 tais que

|Dαφk(x)| ≤C(1 +|k|)−N, para todo k ∈ZZq e x∈IRp.

As fun¸c˜oes φk(x) s˜ao chamadas coeficientes parciais de Fourier de φ

e usaremos a nota¸c˜ao φb(x, k) =φk(x). A s´erie

X

k∈ZZq

b

φ(x, k)eiy·k ´e chamada de

s´erie parcial de Fourier de φ em rela¸c˜ao a y.

1.3 Espa¸

co das Distribui¸

c˜

oes

₂

π

-peri´

odicas

Defini¸c˜ao 1.6 Um funcional linear u : _P2π(IRn) → C ´e dito cont´ınuo (ou

seqüencialmente cont´ınuo) se para qualquer seqüência _{φj} convergindo para

0 em _P2π(IRn) ent˜ao u(φj) converge para 0 emC.

Defini¸c˜ao 1.7 O espa¸co vetorial

P2′π(IR n

)=. u: u e um f uncional linear cont´ ´ınuo em_P2π(IRn)

é chamado de espa¸co das distribui¸cões2π-periódicas, denominandou_{∈ P}₂′_π(IRn)

(17)

Teorema 1.6 Seja u:_P2π(IRn)→C um funcional linear. S˜ao equivalentes:

(i) u´e cont´ınuo;

(ii) Existem C >0 e m_∈IN tais que

|< u, φ >_{| ≤}C X

|α|≤m

sup

x∈IRn

|Dαφ(x)_|, _∀ φ_{∈ P}2π(IRn).

Proposi¸cão 1.1 Seja f _∈ C2π(IRn). Então f define uma distribui¸cão 2π

-peri´odica por:

< Tf, ϕ >=.

Z π

−π· · ·

Z π

−π

f(x1, ..., xn)ϕ(x1, ..., xn)dx1... dxn,

para toda ϕ_{∈ P}2π(IRn).

Defini¸cão 1.8 Uma seqüência_{uj}j∈IN ⊂ P2′π(IR

n₎_{´e convergente em}

P2′π(IR n₎

se existe u_{∈ P}₂′_π(IRn₎ _{tal que, para toda} _φ

∈ P2π(IRn), a seq¨uˆencia < uj, φ >

converge para < u, φ >em C.

Defini¸c˜ao 1.9 Sejam u _{∈ P}₂′_π(IRn₎_{, f}

∈ P2π(IRn) e α ∈ INn. Definimos as

distribui¸c˜oes peri´odicas Dαu e f u como sendo:

< Dαu, φ >= (. ₋1)|α|< u, Dαφ >, _∀ φ _{∈ P}2π(IRn);

< f u, φ >=.< u, f φ >, _∀ φ_{∈ P}2π(IRn).

1.3.1 S´

erie de Fourier em

_P

₂′π

(IR

n

)

Defini¸cão 1.10 Seja_{um}m∈ZZn uma seqüência emP2′π(IR

n₎_._{A s´erie} X m∈ZZn

um

´e convergente em _P₂′_π(IRn₎ _{se a seq¨}_{uˆencia das reduzidas} _S l =.

X

|m|≤l

um for

con-vergente em _P′

(18)

Teorema 1.7 Se u= X

m∈ZZn

um ∈ P2′π(IR

n₎ _ent˜ao _Dα_u₌ X m∈ZZn

Dαum.

Defini¸cão 1.11 Uma seqüência numérica_{am}m∈ZZn é denominada de

cresci-mento lento se existem constantes C >0 e k _∈IN tais que

|am| ≤C|m|k, ∀ m ∈ZZn\0.

Observa¸cão 1.2 A defini¸cão acima é equivalente a existirem constantes

C >0 e k_∈IN tais que

|am| ≤C 1 +|m|

k

, _∀ m_∈ZZn_.

A demonstra¸cão é análoga à prova da observa¸cão 1.1.

Teorema 1.8 Seja _{am}m∈ZZn uma seqüência de crescimento lento. Então a

s´erie

X

m∈ZZn

ameix·m

´e convergente em _P₂′_π(IRn₎ _{e se}

u= X

m∈ZZn

ameix·m,

ent˜ao

am =

1

(2π)n < u, e

−ix·m _{> .}

Teorema 1.9 Seja u _{∈ P}₂′_π(IRn). Se ub(m) = ₍₂_π1₎n < u, e−ix·m >, ent˜ao

{bu(m)_}m∈ZZn é uma seqüência de crescimento lento e

u= X

m∈ZZn

b

(19)

Demonstra¸c˜ao: Como u_{∈ P}₂′_π(IRn₎_,_existem _{C >}_{0 e} _k

∈IN tais que

|ub(m)_| = 1

(2π)n|< u, e

−ix·m _>

| ≤ 1

(2π)nC

X

|α|≤k

sup

x∈IRn

|D_xαe−ix.m_|

= C

(2π)n

X

|α|≤k

sup

x∈IRn

|(₋1)|α|_mα_e−ix.m

|

= C

(2π)n

X

|α|≤k

sup

x∈IRn

|mα_|= C (2π)n

X

|α|≤k

|mα_|

≤ C′ X

|α|≤k

(1 +_|m_|)|α|_≤C′′(1 +_|m_|)k,

para todom _∈ZZn_.

Portanto_{_bu(m)_}m∈ZZn é uma seqüência de crescimento lento.

Pelo Teorema 1.8 existe v _{∈ P}₂′_π(IRn_{) tal que} _v ₌ X m∈ZZn

b

u(m)eix·m.

Vamos mostrar que u=v em _P′

2π(IR n

). Para isto necessitamos do seguinte

Lema 1.2 Seja v(x) = X

η∈ZZn

b

u(η)eix·η, ent˜ao _bv(m) = _bu(m), _∀m_∈ZZn.

Demonstra¸c˜ao:

b

v(m) = 1

(2π)n < v, e

−ix·m _>

= 1

(2π)n_jlim_→∞ <

X

|η|≤j

b

u(η)eix·η, e−ix·m >

= 1

(2π)n_jlim_→∞

X

|η|≤j

b

u(η)

Z

[0,2π]n

ei(η−m).xdx

= 1

(2π)n

X

η∈ZZn

b

u(η)

Z

[0,2π]n

ei(η−m).xdx

= 1

(2π)nub(m)(2π) n

=bu(m).

Mostremos agora queu=v em _P′

2π(IR n

). Seja ϕ _{∈ P}2π(IRn). Ent˜ao ϕ(x) =

X

m∈ZZn

b

ϕ(m)eix·m. Seja

Sj(x) =

X

|m|≤j

b

(20)

Comou_{∈ P}₂′_π(IRn₎_, _ent˜ao

< u, ϕ > = lim

j→∞< u, Sj >

= lim

j→∞< u,

X

|m|≤j

b

ϕ(m)eix·m >

= lim

j→∞

X

|m|≤j

b

ϕ(m)< u, eix·m >

= lim

j→∞

X

|m|≤j

b

ϕ(m)< v, eix·m >

= lim

j→∞< v, Sj(x)>=< v, ϕ > .

Portanto, u=v = X

m∈ZZn

b

u(m)eix·m em _P′

2π(IR n

).

Os números complexos u_b(m) são chamados de coeficientes de Fourier deu. A série X

m∈ZZn

b

u(m)eix·m ´e chamada de s´erie de Fourier de u.

1.3.2 S´

erie Parcial de Fourier em

_P

₂′π

(IR

n

)

Sejam p, q en _∈IN∗ tais que n =p+q e IRn_{= IR}p

⊕IRq_.

Teorema 1.10 Se u_{∈ P}₂′_π(IRn) ent˜ao

u= X

m∈ZZq

um(x)eiy·m,

sendo que um ∈ P2′π(IR p

x), dada por

< um, ϕ(x)>=

1

(2π)q < u, ϕ(x)e

−iy·m

>,

com ϕ_{∈ P}2π(IRpx).Al´em disso, para cada ϕ ∈ P2π(IRpx),

n

< um, ϕ(x)>

o

m∈ZZq

é uma seqüência de crescimento lento.

Teorema 1.11 Seja _{um}m∈ZZq uma seq¨uˆencia de P′

2π(IR p

(21)

Existe C >0 e k _∈IN tais que

|< um, ϕ >| ≤Cρk(ϕ)(1 +|m|)k,

para toda ϕ_{∈ P}2π(IRpx) e m∈ZZ

q_, _sendo _ρ

k a semi-norma definida em (1.5).

Ent˜aou= X

m∈ZZq

um(x)eiy·m ∈ P2′π(IR n₎_.

As distribui¸c˜oesums˜ao chamadas de coeficientes parciais de Fourier de

ue usaremos a nota¸c˜ao_bu(x, m) =um(x).A s´erie

X

m∈ZZq

b

u(x, m)eiy·m´e chamada

de s´erie parcial de Fourier deu em rela¸c˜ao a y. Consideremos o operador P(t, ∂t, ∂x) =

X

|(α,β)|≤m+n

aα,β(t)∂tα∂ β

x, sendo

(t, x)_∈IRm+n e aα,β(t)∈ P2π(IRm). Usemos a nota¸c˜ao

P(t, ∂t, ξ) =

X

|(α,β)|≤m+n

aα,β(t)(iξ)β∂tα.

Afirma¸c˜ao 1.2 P uc(t, ξ) =P(t, ∂t, ξ)bu(t, ξ), sendo que u∈ P2′π(IR m+n

).

Demonstra¸c˜ao: De fato, seja γ _{∈ P}2π(IRmt ) qualquer.

<P uc(t, ξ), γ(t)>= 1

(2π)n < P u, γ(t)e

−ix.ξ

>

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

< aα,β(t)∂tα∂ β

xu, γ(t)e

−ix.ξ _>

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

< ∂_tα∂_xβu, aα,β(t)γ(t)e−ix.ξ >

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

(₋1)|α|< ∂xβu, ∂ α

t[aα,β(t)γ(t)]e−ix.ξ >

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

(₋1)|α|+|β|_{< u, ∂}α

t[aα,β(t)γ(t)](−iξ)βe−ix.ξ >

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

(₋1)|α|+2|β|_{< u, ∂}α

t[aα,β(t)γ(t)](iξ)βe−ix.ξ>

= 1

(2π)n

X

|(α,β)|≤m+n

(22)

= X

|(α,β)|≤m+n

(₋1)|α|_<

b

u(t, ξ), ∂_tα[aα,β(t)γ(t)](iξ)β >

= X

|(α,β)|≤m+n

< ∂_tαu_b(t, ξ), aα,β(t)γ(t)(iξ)β >

= X

|(α,β)|≤m+n

< aα,β(t)(iξ)β∂tαub(t, ξ), γ(t)>

=< X

|(α,β)|≤m+n

aα,β(t)(iξ)β∂tαub(t, ξ), γ(t)>

=< P(t, ∂t, ξ)ub(t, ξ), γ(t)> .

1.4 Outros Resultados

Defini¸c˜ao 1.12 Seja P um operador diferencial parcial linear, ODPL, com coeficientes pertencentes a_P2π(IRn). P ´e dito ser globalmente hipoel´ıtico, (GH),

se as condi¸c˜oes u_{∈ P}₂′_π(IRn₎ _e _{P u}

∈ P2π(IRn) implicam que u∈ P2π(IRn).

Defini¸c˜ao 1.13 Seja f _∈C2π(IRn). Definimos

kf_kL2 =

Z

[−π,π]n|

f(t)_|2dt

1 2

.

Defini¸cão 1.14 Um número irracional α é de Liouville se, para quaisquer

C >0 e K >0 existe(p, q)_∈ZZ2, q ₆= 0, tais que

|p₋αq_|< C

|q_|K.

Exemplo:α =.

∞

X

k=1

1

10k! ´e um n´umero de Liouville. (Ver [F]).

Como conseqüência temos a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.15 Um número irracional α é não-Liouville se existem C >0 e

K >0 tais que

|p₋αq_{| ≥} C

|q_|K, ∀ (p, q)∈ZZ

2_{, q}

6

(23)

Exemplo:α =. √p, compprimo, é um número não-Liouville. (Ver [Z]).

Teorema 1.12 Seja α _∈IR e

P =Dx−αDy, (x, y)∈IR2.

EntãoP é (GH) se, e somente se,αé número irracional não-Liouville.

Demonstra¸c˜ao: Ver [GW].

Teorema 1.13 Seja P = ₋∂t2 −(a(t)∂x)2, sendo que (t, x) ∈ IR2 e a(t) ∈

P2π(IR) a valores reais. Então P é (GH) se, e somente se, a fun¸cão a não é

identicamente nula.

Demonstra¸c˜ao: Ver [FO].

Teorema 1.14 Seja P =₋∂t2−(∂x1 +a(t)∂x2)2, sendo que (t, x1, x2) ∈ IR3

e a(t)_{∈ P}2π(IR) a valores reais. Ent˜ao P ´e (GH) se, e somente se, a imagem

de a(t) contém um número não-Liouville.

(24)

Hipoeliticidade Global e

Aproxima¸

c˜

oes Simultˆ

aneas

Neste cap´ıtulo daremos uma condi¸cão necessária e suficiente para que um operador soma de quadrados de campos vetoriais reais seja globalmente hipoel´ıtico. Esta condi¸cão é expressa em fun¸cão do conceito de vetores não simultaneamente aproximáveis dada a seguir.

2.1 Defini¸

c˜

oes e Exemplos

Defini¸cão 2.1 Uma cole¸cão de vetoresv1, ..., vℓ em IRd énão

simultanea-mente aproxim´avel (n˜ao SA) se existem C > 0 e K > 0 tais que para

quaisquer η= (η1, ..., ηℓ)∈Zℓ e ξ∈Zd\ {0} temos

|ηj −vj.ξ| ≥

C

|ξ_|K para algum j = 1, ..., ℓ. (2.1)

Observa¸cão 2.1 Quandoℓ = 1, esta é a defini¸cão de um vetor não-Liouville. Quando d = 1, esta é a defini¸cão de uma cole¸cão de números reais v1, ..., vℓ

(25)

Observa¸cão 2.2 Segue da Defini¸cão 2.1 que uma cole¸cão de vetores v1, ..., vℓ

em IRd _´e _{simultaneamente aproxim´}_{avel (SA)} _{se, e somente se, para}

quaisquer C >0 e K >0 existem ξ _∈_Zd_{\ {}₀_} _e _η_{= (}_η

1, ..., ηℓ)∈Zℓ tais que

|ηj−vj.ξ|<

C

|ξ_|K, ∀j = 1, ..., ℓ. (2.2)

Novamente, quando ℓ = 1 esta ´e a defini¸c˜ao de um vetor Liouville, e quando

d = 1 esta é a defini¸cão de uma cole¸cão de números reais v1, ..., vℓ ser

simul-taneamente aproximável. Se ℓ = 1 e d = 1 então esta é a defini¸cão de um número de Liouville.

Exemplos: Iniciemos com exemplos de vetores n˜ao-Liouville.

Seja v = (α1, ..., αn) com α1, ..., αn n´umeros alg´ebricos e tais que

1, α1, ..., αn s˜ao linearmente independentes sobre os racionais. Ent˜ao segue

de [S] que existemC >0 e K >0 tais que

|η₋v.ξ_{| ≥} C

|ξ_|K, ∀ ξ ∈ZZ n

\0, _∀η_∈ZZ,

ou seja, v ´e um vetor n˜ao-Liouville.

Observemos que sev1é um vetor em IRdnão-Liouville entãov1, v2, ..., vℓ

s˜ao vetores (n˜ao SA) para quaisquer vetores v2, ..., vℓ em IRd.

Observemos que se α e β são números racionais então α e β são números (SA).

Temos também que se os númerosα11, ..., αℓ1 são (SA) então os vetores

v1 = (. α11, ..., α1d), ..., vℓ = (. αℓ1, ..., αℓd) s˜ao (SA), para quaisquer n´umeros reais

αjk, j = 1, ..., ℓ , k= 2, ..., d. (Ver [HP1]).

´

E fácil ver que se α é um número não-Liouville, então α, β são (não SA), para qualquerβ _∈IR.

Observemos também que se um vetor α= (α1, ..., αn) é não-Liouville

(26)

con-siderando v = (. β1, β2), sendo β2 um n´umero de Liouville, temos que v ´e um

vetor Liouville.

Afirma¸cão 2.1 Se uma cole¸cão de vetores v1, . . . , vℓ em IRd é (SA)

então existem seqüências _{ξn} = {(ξ1,n, . . . , ξd,n)}, ξn ∈ ZZd \ 0 e {ηn} =

{(η1,n, . . . , ηℓ,n)}, ηn ∈ ZZℓ tais que |ηj,n − vj.ξn| < _|_ξ1

n|n, ∀j = 1, . . . , ℓ e

|ξn| ≥2, n= 1,2, ... .

Demonstra¸cão: Como v1, ..., vℓ são (SA) então dados C = ₂n1+1 e K = n

existem ˜ηn e ˜ξn tais que

|η˜j,n−vj.ξ˜n|<

1 2n+1

|ξ˜n|n

, _∀j = 1, . . . , ℓ.

Para os valores de n tais que _|ξ˜n|= 1 definimosξn= 2 ˜ξn eηn = 2˜ηn. Assim,

|ηj,n−vj.ξn|= 2|η˜j,n−vj.ξ˜n|<2

1 2n+1

|ξ˜n|n

=

1 2n2

n

2n_|_ξ˜ n|n

= 1

|2 ˜ξn|n

= 1

|ξn|n

.

Al´em disso,

|ξn|=|2 ˜ξn|= 2|ξ˜n|= 2.1 = 2.

Logo as seq¨uˆencias

ξn =

  

 

˜

ξn, se |ξ˜n| ≥2

2 ˜ξn, se |ξ˜n|= 1

e

ηn =

    

˜

ηn, se |ξ˜n| ≥2

2˜ηn, se |ξ˜n|= 1

satisfazem o desejado.

Observemos que na Afirma¸c˜ao 2.1 existem duas possibilidades: i) Existem infinitos ´ındices n tais que osξ′

ns s˜ao dois a dois distintos;

ii) Os ξ′

(27)

Se ocorrer i) então podemos definir novas seqüências _{ξñ} e {ηñ}

satisfazendo

|η˜j,n−vj.ξ˜n|<

1

|ξ˜n|n

, _∀j = 1, . . . , ℓ (2.3)

com _|ξ˜n| →+∞ quando n →+∞.

De fato, seja J =. _{n _∈ IN : os ξn′s s˜ao dois a dois distintos} e

consi-deremos ˜ξn =ξn, η˜n=ηn, n ∈J. Temos que (2.3) segue da Afirma¸c˜ao 2.1 e

da defini¸c˜ao de ˜ξn e ˜ηn.

Mostremos que _|ξ˜n| → +∞ quando n → +∞ : Suponha que exista

M0 > 0 tal que para cada N ∈ IN existe n ≥ N tal que |ξ˜n| ≤ M0. Assim,

temos:

dado N = 1, _∃n1 ≥1 tal que |ξ˜n1| ≤M0.

dado N =n1+ 1, ∃n2 ≥n1+ 1> n1 tal que |ξ˜n2| ≤M0.

Continuando esse processo sucessivamente constru´ımos uma subse-qüência _{ξñj}de {ξñ} tal que |ξñj| ≤M0, ∀j = 1,2, ... . Assim, existe n0 ∈IN tal que ˜ξnj =ξn0 para uma infinidade de j

,_s_{, o que contradiz o fato de} _{_ξ˜ nj} ser uma subseqüência de _{ξñ}. Logo |ξñ| →+∞ quando n→+∞.

Se ocorrer a situa¸cãoii) então podemos definir novas seqüências_{ξñ}

e_{η˜n}com todos os termos dois a dois distintos satisfazendo

|η˜j,n−vj.ξ˜n|= 0<

1

|ξ˜n|n

, _∀j = 1, . . . , ℓ e n= 1,2, ...

e pelo caso anterior _|ξ˜n| →+∞quando n →+∞.

De fato, segue de ii) que existe n0 ∈ IN tal que ξn = ξn0 para uma

infinidade de n,s. Seja J =. _{n _∈ IN : ξn = ξn0}. Segue da Afirma¸c˜ao 2.1 que

|ξn0| ≥2. Paran ∈J temos

|ηj,n−vj.ξn0|<

1

|ξn0|n

(28)

Assim, para cada j _{∈ {}1, ..., ℓ_},tomando o limite quando n_→+_∞ obtemos

lim

n→+∞ηj,n =vj.ξn0

e comoηj,n ∈ZZ ent˜ao existen1 ∈IN tal que

ηj,n =vj.ξn0, ∀j ∈ {1, ..., ℓ} e ∀n≥n1.

Portantovj.ξn0 ∈ZZ.Definimos ˜ξn=nξn0, n≥n1 e ˜ηn =nηn, n≥n1. Assim,

temos

1) ˜ξn∈ZZd\ {0}, ∀n≥n1 e s˜ao dois a dois distintos.

2) ˜ηn = nηn = (nη1,n, ..., nηℓ,n) = (nv1.ξn0, ..., nvℓ.ξn0) ∈ ZZℓ e s˜ao dois a dois

distintos.

Al´em disso,

|η˜j,n−vj.ξ˜n|=|nvj.ξn0 −vj.nξn0|=|nvj.ξn0 −nvj.ξn0|= 0

para todon _≥n1 e j ∈ {1, ..., ℓ}. Reindexando obtemos o desejado.

Logo, na Afirma¸c˜ao 2.1 podemos supor tamb´em que_|ξn| →+∞

quan-don _→+_∞.

Também observemos que a seqüência _{ηn}da Afirma¸cão 2.1 satisfaz

|ηj,n|<1 +|vj||ξn|, ∀j ∈ {1, . . . , ℓ} e ∀n∈IN∗.

De fato,

|ηj,n| − |vj||ξn| ≤ |ηj,n| − |vj.ξn| ≤ |ηj,n −vj.ξn|<

1

|ξn|n ≤

1 2n <1,

ent˜ao _|ηj,n|<1 +|vj||ξn|, ∀j ∈ {1, . . . , ℓ} e ∀n∈IN∗.

(29)

Lema 2.1 Se uma cole¸c˜ao de vetores v1, . . . , vℓ em IRd ´e (SA)

então existem seqüências _{ξn} = {(ξ1,n, . . . , ξd,n)}, ξn ∈ ZZd \ 0 e {ηn} =

{(η1,n, . . . , ηℓ,n)}, ηn ∈ ZZℓ tais que |ηj,n − vj.ξn| < _|_ξ_n1_|n, ∀j = 1, . . . , ℓ com

|ξn| ≥ 2, n = 1,2, ... , |ξn| → +∞ quando n → +∞ e |ηj,n| < 1 +|vj||ξn|,

∀j _{∈ {}1, . . . , ℓ_} e _∀n_∈IN∗.

Tamb´em precisamos da seguinte

Defini¸c˜ao 2.2 Seja (b1(t), ..., bℓ(t)) um vetor de fun¸c˜oes a valores reais as

quais s˜ao linearmente independentes sobreIR. Dizemos que um vetor de fun¸c˜oes

(f1(t), ..., fd(t)) pertence a (SA)c(b1, ..., bℓ) se as seguintes condi¸c˜oes valem:

(1) _{f1, ..., fd} est´a contido no gerado de {b1, ..., bℓ};

(2) Os ℓ vetores colunas da matriz (λjk) na express˜ao

(f1, ..., fd)t = (λjk)(b1, ..., bℓ)t

são vetores não simultaneamente aproximáveis em IRd_.

Observa¸c˜ao 2.3 Seja (b1(t), ..., bℓ(t)) um vetor de fun¸c˜oes a valores reais

as quais são linearmente independentes sobre IR. Dizemos que um vetor de fun¸cões (f1(t), ..., fd(t)) pertence a (SA)(b1, ..., bℓ) se as seguintes condi¸cões

valem:

(1) _{f1, ..., fd} est´a contido no gerado de {b1, ..., bℓ};

(2) Os ℓ vetores colunas da matriz (λjk) na express˜ao

(f1, ..., fd)t = (λjk)(b1, ..., bℓ)t

s˜ao vetores simultaneamente aproxim´aveis em IRd_.

(30)

Exemplo 1: Consideremos o operador P1 = −∂t2 − (a1(t)∂x)2, com

(t, x) _∈ IR2 e a1(t) ∈ P2π(IR) a valores reais. Sabemos, pelo Teorema 1.13

(pag. 16), queP1 ´e (GH) se, e somente se, a1 6≡0. Observemos que a1 6≡0 se,

e somente se, a1 ´e uma fun¸c˜ao linearmente independente em IR,(LI em IR).

Exemplo 2: Consideremos o operador P2 = −∂t2 −(∂x1 +a2(t)∂x2)2,

com (t, x1, x2) ∈ IR3 e a2(t) ∈ P2π(IR) a valores reais. Ent˜ao P2 ´e (GH) se,

e somente se, a imagem de a2 contém um número não-Liouville. (Ver

Teore-ma 1.14, pag. 16).

Suponha que a imagem dea2(t) contém um número não-Liouville.

1o_caso _{: Se} _a

2(t) é constante então a2 =λ.1, comλ um número não-Liouville.

Assim, a2 pertence ao gerado pela fun¸c˜ao constante 1 com coeficiente λ que

é um número não-Liouville e portanto é um vetor não simultaneamente apro-ximável.

2o_caso _{: Se} _a

2(t) é não constante temos que 1, a2 são LI. De fato, se supormos

que existe (α, β)₆= (0,0) tal que α.1 +β.a2(t) = 0, ent˜ao teremos β 6= 0, pois

se β = 0 ent˜ao α = 0. Logo teremos que a2(t) = −_βα = constante, o que nos

d´a uma contradi¸c˜ao.

Teorema 2.1 SejaP =₋∂_t2₋(∂x1+a2(t)∂x2+a3(t)∂x3)2, com(t, x1, x2, x3)∈

IR4 e a2(t), a3(t)∈ P2π(IR) a valores reais. Ent˜ao P ´e (GH) se, e somente se,

vale uma das seguintes condi¸c˜oes:

• Sea2 e a3 são ambas constantes então (a2, a3)é um vetor não-Liouville.

• Se pelo menos uma entre as fun¸cõesa2 e a3 é uma fun¸cão não constante,

então nenhuma delas pode ser escrita como uma combina¸cão linear da outra e do número 1 com coeficientes que são (SA).

(31)

Exemplo 3: Em IR4 consideremos o seguinte operador: P4 =−∂t2−(∂x1 +a2(t)∂x2 +a3(t)∂x3)2,

com (t, x1, x2, x3)∈IR4 ea2(t), a3(t)∈ P2π(IR) a valores reais.

1o_caso _{: Suponhamos} _a

2 e a3 constantes. Ent˜ao segue do Teorema 2.1 que P4

é (GH) se, e somente se, (a2, a3) é um vetor não-Liouville. Observemos que a

condi¸c˜ao acima pode ser escrita da seguinte forma: a1 ≡ 1 6≡ 0 ´e LI em IR e

quea2 e a3 pertencem ao gerado por 1, isto ´e, a2 =a2.1 e a3 =a3.1. Notemos

tamb´em que _

 

a2

a3

  

2×1

=

  

a2

a3

  

2×1

(1)1×1

com (a2, a3) um vetor não-Liouville e portanto é um vetor não simultaneamente

aproxim´avel.

2o_caso _{: Uma entre as fun¸c˜oes} _a

2 e a3 n˜ao ´e constante. Suponhamos sem

perda de generalidade que a2 seja n˜ao constante. Segue do Teorema 2.1 que

P4 ´e (GH) se, e somente se, nenhuma delas pode ser escrita como combina¸c˜ao

linear da outra e do número 1 com coeficientes que são (SA). Como a2 é não

constante ent˜ao 1 e a2 s˜ao LI sobre IR.

caso 2.1 : 1, a2 e a3 s˜ao LI. Assim, nenhuma entre a2 e a3 pode ser escrita

como combina¸c˜ao linear da outra e do n´umero 1.

caso 2.2 : 1, a2 e a3 s˜ao LD sobre IR. Observemos que neste caso a condi¸c˜ao

acima pode ser escrita da seguinte forma: a3 = λa2+β.1 e os n´umeros λ e β

n˜ao s˜ao (SA). Logo, a3 pertence ao gerado por{1, a2} e notemos que

(a3)1×1 =

β λ

1×2

  

1

a2

  

2×1

(32)

2.2 Teorema Central

Com as observa¸cões feitas nos três exemplos da se¸cão anterior podemos enunciar nosso resultado central desta se¸cão.

O que observamos nos três exemplos anteriores é que o número de fun¸cões LI, sobre IR, é importante bem como a forma que as fun¸cões restantes, que não são LI sobre IR, são escritas como combina¸cão linear daquelas que são LI sobre IR.

Assim, dadasa1(t), a2(t), ..., an(t) fun¸c˜oes a valores reais denotaremos

por k0 o número de fun¸cões, entre a1(t), a2(t), ..., an(t), que são LI sobre IR.

Logo 0_≤k0 ≤n.

Teorema 2.2 Seja P um operador diferencial definido por

P =₋∆t− n

X

j=1

aj(t)∂xj

!2

(2.4)

em que (t1, ..., tm, x1, ..., xn) = (t, x) ∈ IRm+n e aj(t) ∈ P2π(IRm), e s˜ao a

valores reais. Suponhamos que 1 _≤ k0 ≤ n − 1. Ent˜ao P ´e globalmente

hipoel´ıtico (GH), em IRm+n, se, e somente se, após uma poss´ıvel renomea¸cão das variáveis x1, ..., xn e dos coeficientes correspondentes a1, ..., an, tivermos

(ak0+1, ..., an)∈(SA)c(a1, ..., ak0).

2.2.1 Necessidade

Demonstra¸cão: Suponhamos que a condi¸cão dada no Teorema 2.2 não vale, isto é, (ak0+1, ..., an)∈(SA)(a1, ..., ak0). Então,

am = k0

X

k=1

λm_kak, m = k0+ 1, ..., n

e os vetores (λk0_k+1, ..., λnk), k = 1, ..., k0, s˜ao simultaneamente aproxim´aveis.

(33)

P = ₋∆t − k0

X

k=1

ak(t)

∂xk +

n

X

m=k0+1

λm_k∂xm

!2

. (2.5)

Visto que os k0 vetores (λk0k+1, ..., λnk), k = 1, ..., k0 s˜ao

simultanea-mente aproximáveis, segue do Lema 2.1 que existem seqüências

{ξℓ} = {(ξk0+1,ℓ, ..., ξn,ℓ)}, ξℓ ∈ Z(n−k0) \ {0} e {ηℓ} = {(η1,ℓ, ..., ηk0,ℓ)},

ηℓ ∈Zk0, tais que

ηk,ℓ −

n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

< |ξℓ|

−ℓ_,

(2.6)

para qualquer k = 1, ..., k0,com |ξℓ| →+∞quando ℓ →+∞.

Definimos u(t, x) =

∞

X

ℓ=1

exp_{i(ηℓ.x, − ξℓ.x,,)}, sendo que

x,= (x1, ..., xk0), x,, = (xk0+1, ..., xn).

Mostremos que u_{∈ P}₂′π(IR m+n

)_{\ P}2π(IRm+n): Note que podemos escrever

u(t, x) = X

k∈ZZm+n

akexp{i(t, x).k}

sendo que

ak=

    

1, se k=kℓ = (0. , ...,0, η1,ℓ, ..., ηk0,ℓ,−ξk0+1,ℓ, ...,−ξn,ℓ), ℓ= 1,2, ...

0, se k ₆=kℓ,∀ℓ= 1,2, ...

.

Temos que existe C = 1 e K = 1_∈IN tal que _|ak| ≤C|k|K, ∀k ∈ZZm+n.

Portanto _{ak} ´e de crescimento lento. Logo pelo Teorema 1.8 segue que

u_{∈ P}₂′π(IR m+n

).

Temos também que _{ak} não é rapidamente decrescente.

Suponha-mos que _{ak} seja rapidamente decrescente, ent˜ao para cada N ∈ IN

existe CN > 0 tal que |ak| ≤ CN|k|−N, ∀ k ∈ ZZm+n \0. Em particular

|akℓ|= 1≤CN|kℓ|

−N_,

∀ℓ= 1,2, .... O que d´a uma contradi¸c˜ao, pois segue do Lema 2.1 que_|ξℓ| →+∞e portantoCN|kℓ|−N →0 quandoℓ →+∞.Da´ı pela

(34)

Consideremos agora L = L(t, ∂x) =. k0

X

k=1

ak(t)

∂xk +

n

X

m=k0+1

λmk∂xm

eEℓ(x)= exp. {i(ηℓ.x,−ξℓ.x,,)}. Temos

L(Eℓ)(t, x) =i

" _k0 X

k=1

ak(t)

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

#

Eℓ =. igℓ(t)Eℓ(x)

implicando que

−L2Eℓ(t, x) = −L(LEℓ)(t, x) = −L(igℓ(t)Eℓ(x)) = −L(igℓEℓ)(t, x)

=₋igℓ(t)L(Eℓ)(t, x) =−igℓ(t)igℓ(t)Eℓ(x) = [gℓ(t)]2Eℓ(x). (2.7)

Logo, usando o Teorema 1.7 e (2.7) obtemos que

P u=

∞ X ℓ=1 " _k0 X k=1

ak(t)

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

#2

exp_{i(ηℓ.x,−ξℓ.x,,)}.

Note que podemos escrever

P u= X

γ∈ZZn

bγ(t)eix.γ

sendo que

bγ(t)=

         " _k0 X k=1

ak(t)

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λmkξm,ℓ

#2

, se γ=˜kℓ = (. ηℓ,−ξℓ), ℓ= 1,2, ...

0 , se γ ₆= ˜kℓ,∀ℓ = 1,2, ...

.

Mostremos agora que P u_{∈ P}2π(IRm+n). Para isso usaremos o

Teore-ma 1.4. Queremos mostrar que dados α _∈ INm e N _∈ IN, existe CN > 0 tal

que

|∂_tαbγ(t)| ≤CN|γ|−N, ∀γ ∈ZZn\ {0}, ∀t∈IRm.

Sejam α_∈INm _e _N

∈IN dados. Seγ ₆= ˜kℓ,∀ℓ= 1,2, ..., temos

|∂tαbγ(t)|=|∂tα0|= 0≤ |γ|− N

(35)

Seγ = ˜kℓ, ℓ= 1,2, ..., ent˜ao, por Leibnitz,

|∂_tαbk˜ℓ(t)|=

X

β≤α

α β

_Xk0

k=1

∂tα−βak(t)

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

_Xk0

k=1

∂tβak(t).

.

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

≤X

β≤α

α β

_Xk0

k=1

|∂_tα−βak(t)|

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λm_kξm,ℓ

. . k0 X k=1

|∂tβak(t)|

ηk,ℓ− n

X

m=k0+1

λmkξm,ℓ

≤X

β≤α

α β

Mα|ξℓ|−ℓ|ξℓ|−ℓ, (2.8)

onde Mα ´e uma constante que depende dos coeficientesak e de α.

A demonstra¸c˜ao ser´a dividida em dois casos: _|ηℓ|= 0 e |ηℓ| 6= 0.

Se_|ηℓ|= 0 ent˜ao|k˜ℓ|=|ξℓ|. Da´ı, segue de (2.8) que

|∂tαb˜kℓ(t)| ≤

X

β≤α

α β

Mα|ξℓ|−2ℓ ≤Cα

1

|ξℓ|2ℓ ≤

Cα

1

|˜kℓ|2ℓ

= Cα

1

|˜kℓ|2ℓ−N

1

|˜kℓ|N

≤Cα,N

1

|˜kℓ|N

,

pois _|_˜_k 1

ℓ|2ℓ−N →0 quando ℓ→+∞.

Sabemos pelo Lema 2.1 que_|ηj,ℓ|<1 +|vj||ξℓ|, j = 1,2, ..., k0.

Con-siderando C1 =max{|v1|, ...,|vk0|} temos que|ηj,ℓ|<1 +C1|ξℓ| ≤ |ξℓ|+C1|ξℓ|

= (1 +C1)|ξℓ| = C2|ξℓ|. Assim, |ηℓ|2 = η₁2,ℓ+...+ηk0,ℓ2 ≤ k0C22|ξℓ|2. Portanto

|ηℓ| ≤C3|ξℓ|. Logo

|ηℓ|ℓ ≤C₃ℓ|ξℓ|ℓ. (2.9)

Se_|ηℓ| 6= 0 segue de (2.9) que

|ξℓ|−ℓ ≤

Cℓ

3

|ηℓ|ℓ

(36)

Segue de (2.8) e (2.10) que

|∂_tαb˜kℓ(t)| ≤

X

β≤α

α β

Mα|ξℓ|−ℓ|ηℓ|−ℓC3ℓ. (2.11)

Sabemos do Lema 1.1 que dado N _∈IN existeCN >0 tal que

|η_|N_|ξ_|N _≥2−N

|(η, ξ)_|N_,

∀η₆= 0 e ξ₆= 0.

Logo

|ηℓ|−ℓ|ξℓ|−ℓ ≤2ℓ|(ηℓ, ξℓ)|−ℓ. (2.12)

Segue de (2.11) e (2.12) que

|∂α_tb˜_k_ℓ(t)| ≤

X

β≤α

α β

Mα2ℓ|(ηℓ, ξℓ)|−ℓC₃ℓ =Cα

(C4)ℓ

|˜kℓ|ℓ

= CαC₄N

C₄ℓ−N

|˜kℓ|ℓ−N|˜kℓ|N

=CαC₄N

C4

|˜kℓ|

ℓ−N

1

|˜kℓ|N

.

Basta mostrar que C4

|k˜ℓ|

ℓ−N

´e limitada. Como _|˜kℓ| → +∞ quando ℓ →+∞

ent˜ao existe R >0 tal que C4

|˜kℓ| <

1

2 se ℓ≥R. ConsideremosR1 = max{R, N}.

Logo para ℓ_≥R1 temos

C4

|k˜ℓ|

ℓ−N

≤

1 2

ℓ−N

→0 quando ℓ_→+_∞.

Logo C4

|˜kℓ|

ℓ−N

´e limitada.

Logo pelo Teorema 1.4 conclu´ımos que P u_{∈ P}2π(IRm+n).

Portanto o operadorP n˜ao ´e globalmente hipoel´ıtico em IRm+n. Isto completa a prova da necessidade.

2.2.2 Suficiˆ

encia

Demonstra¸c˜ao: Seja u_{∈ P}₂′_π(IRm+n_{) tal que}

(37)

Queremos mostrar que u_{∈ P}2π(IRm+n).

Se em (2.13) tomarmos a transformada de Fourier com rela¸c˜ao a x_∈ IRn _obtemos

−∆tbu(t, ξ) +

n

X

j=1

aj(t)ξj

2

b

u(t, ξ) =fb(t, ξ), (2.14)

para todoξ _∈ZZn e todo t_∈IRm.

Como para cada ξ _∈ ZZn fixado, o operador na equa¸cão (2.14) é um operador diferencial parcial el´ıtico emt, pois sua parte principal é o Laplaciano, efb(_·, ξ)_{∈ P}2π(IRm), pois f ∈ P2π(IRm+n), segue que ub(·, ξ)∈ P2π(IRm).

Multiplicando a equa¸c˜ao (2.14) porub(t, ξ) obtemos,

−(∆tub(t, ξ))bu(t, ξ) +

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

|ub(t, ξ)_|2 =fb(t, ξ)u_b(t, ξ). (2.15) Integrando com rela¸c˜ao a t_∈[₋π, π]m obtemos

Z

[−π,π]m−

(∆tub(t, ξ))ub(t, ξ)dt+

Z

[−π,π]m

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

|bu(t, ξ)_|2_dt

=

Z

[−π,π]m

b

f(t, ξ)_bu(t, ξ)dt. (2.16)

Integrando por partes, obtemos

m

X

k=1

Z

[−π,π]m|b

utk(t, ξ)|

2_dt₊

Z

[−π,π]m

b2(t, ξ)_|u_b(t, ξ)_|2dt =

Z

[−π,π]m

b

f(t, ξ)_bu(t, ξ)dt. (2.17)

sendo b2₍_{t, ξ}₎₌.

_n P

j=1

aj(t)ξj

2

.

Agora para cada ξ_∈_Zn_{, fixo, definimos:}

kϕ_k2_b =.

m

X

k=1

kϕtkk

2

L2 +

Z

[−π,π]m

b2(t, ξ)_|ϕ(t)_|2dt, (2.18) onde ϕ_{∈ P}2π(IRm).

(38)

Lema 2.2 Se (ak0+1, ..., an) ∈ (SA)c(a1, ..., ak0) ent˜ao existem constantes

α > 0, K _≥ 0, e δ > 0, dependendo dos coeficientes aℓ, tais que para

ca-da ξ _∈ _Zn _{\ {}₀_} _{podemos encontrar um intervalo aberto} _I

ξ ⊂ [−π, π]m tal

que

b2(t, ξ)_≥ α

|ξ_|K, ∀ t∈Iξ, vol(Iξ)> δ. (2.19)

Assumindo por enquanto que o Lema 2.2 acima esteja provado, mos-traremos que a desigualdade (2.19) implica que o operador P ´e globalmente hipoel´ıtico em IRm+n.

Sejam s _∈ Iξ e t ∈ [−π, π]m. Ent˜ao pelo teorema fundamental do

c´alculo, temos para cada ϕ_{∈ P}2π(IRm) que

ϕ(t) = ϕ(s) +

m

X

k=1

Z tk

sk

ϕℓk(s1, . . . , sk−1, ℓk, tk+1, . . . , tm)dℓk.

Definindow= (s1, . . . , sk−1, ℓk, tk+1, . . . , tm), podemos escrever a ´

ulti-ma igualdade da seguinte forulti-ma

|ϕ(t)_{| ≤ |}ϕ(s)_|+

m

X

k=1

Z tk

sk

|ϕℓk(w)|dℓk.

Ent˜ao temos

|ϕ(t)_|2 _≤ 2_|ϕ(s)_|2+ 2

_Xm

k=1

Z tk

sk

|ϕℓk(w)|dℓk

2

≤ 2_|ϕ(s)_|2+ 2m

_Xm

k=1

Z tk

sk

|ϕℓk(w)|dℓk

2

≤ 2_|ϕ(s)_|2+ 2m

_Xm

k=1

Z π

−π|

ϕℓk(w)|dℓk

2

.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos

|ϕ(t)_|2 _≤ 2_|ϕ(s)_|2+ 4mπ

m

X

k=1

Z π

−π|

ϕℓk(w)|

2_dℓ

k

≤ C

|ϕ(s)_|2+

m

X

k=1

Z π

−π|

ϕℓk(w)|

2_dℓ

k

(39)

onde C = 4mπ.

Integrando esta desigualdade em rela¸c˜ao a s _∈ Iξ, observando que w

depende dessomente nas primeiras (k₋1) vari´aveis e usando que vol(Iξ)> δ

obtemos

δ_|ϕ(t)_|2 _≤ vol(Iξ)|ϕ(t)|2 ≤C

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m X k=1 Z Iξ Z π

−π|

ϕℓk(w)|

2_dℓ kds ≤ C Z Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

Z

[−π,π]m+1|

ϕℓk(w)|2dℓkds

≤ C

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m X k=1 ˜ C Z

[−π,π]k|

ϕℓk(w)|

2_ds

1· · · dsk−1dℓk

.

Logo,

|ϕ(t)_|2 _≤C

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

Z π

−π· · ·

Z π

−π|

ϕℓk(w)|

2_ds

1· · · dsk−1dℓk

.

Integrando esta ´ultima desigualdade em rela¸c˜ao a t _∈ [₋π, π]m obte-mos,

Z

[−π,π]m|

ϕ(t)_|2dt _≤ C

(2π)m

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+ + ˜C

m

X

k=1

Z

[−π,π]m|

ϕℓk(w)|

2_ds

1· · · dsk−1dℓkdtk+1· · · dtm

≤ C

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

kϕtkk

2

L2

,

ou seja,

kϕ_k2_L2 ≤C

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

kϕtkk

2

L2

. (2.20)

Pela desigualdade (2.19) temos que 1 _≤α−1_|ξ_|Kb2(s, ξ) para s _∈Iξ e

portanto

Z

Iξ

|ϕ(s)_|2ds_≤α−1_|ξ_|K

Z

Iξ

b2(s, ξ)_|ϕ(s)_|2ds_≤α−1_|ξ_|K

Z

[−π,π]m

(40)

Assim, da desigualdade (2.20) segue que

kϕ_k2_L2 ≤ C

α−1_|ξ_|K

Z

[−π,π]m

b2(s, ξ)_|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

kϕtkk

2

L2

≤ C_|ξ_|K

Z

[−π,π]m

b2(s, ξ)_|ϕ(s)_|2ds+

m

X

k=1

kϕtkk

2

L2

= C_|ξ_|K_kϕ_k2b.

Logo,

kϕ_k2_L2 ≤C|ξ|Kkϕk2_b, para todo ξ ∈Zn\ {0}. (2.21)

Seja ξ _∈ _Zn _{\ {}0_}. Se aplicarmos (2.21) com ϕ(t) = ub(t, ξ), ent˜ao existeC >0 tal que

kub(_·, ξ)_k2L2 ≤C|ξ|Kkub(·, ξ)k2_b. (2.22)

Por (2.17), (2.18) e a ´ultima desigualdade obtemos

kbu(_·, ξ)_k2_L2 ≤C|ξ|K

Z

[−π,π]m

b

f(t, ξ)u_b(t, ξ)dt.

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz nesta ´ultima desigual-dade vem que

kbu(_·, ξ)_k2L2 ≤C|ξ| K

kfb(_·, ξ)_kL2kub(·, ξ)k_L2 (2.23)

Logo

kbu(_·, ξ)_kL2 ≤C|ξ|Kkfb(·, ξ)k_L2. (2.24)

Seja N _∈ IN. Como estamos supondo f _{∈ P}2π(IRm+n), pelo

Teorema 1.5, dado M =N + [K], existe CN >0 tal que

|fb(t, ξ)_{| ≤}CN|ξ|−(N+[K]), ∀ ξ∈ZZn\0 e ∀t ∈IRm. (2.25)

Assim,

kfb(_·, ξ)_k2

L2 =

R

[−π,π]m|fb(t, ξ)|2dt ≤CN|ξ|−2(

N+[K])_, _∀ _ξ_∈_ZZn

(41)

Portanto

kfb(_·, ξ)_kL2 ≤C_N|ξ|−(N+[K]), ∀ ξ∈ZZn\0.

Logo, por (2.24) e pela desigualdade acima, dadoN _∈IN existe

CN >0 tal que

kbu(_·, ξ)_kL2 ≤C|ξ|Kkfb(·, ξ)k_L2 ≤C|ξ|[K]kfb(·, ξ)k_L2 ≤C_N|ξ|−N, ∀ξ ∈ZZn\0.

(2.26) Vamos mostrar agora que, para quaisquer α _∈ INm _e _N

∈ IN dados, existeCN >0 tais que

k∂_tα_bu(_·, ξ)_kL2 ≤C_N|ξ|−N, ∀ ξ∈ZZn\0. (2.27)

Isso ser´a feito usando-se indu¸c˜ao sobre _|α_|, α_∈INm _dado.

Inicialmente mostraremos que a desigualdade (2.27) vale para_|α_|= 1. Com argumentos semelhantes mostraremos para qualquer α_∈INm_.

Sejam N _∈IN e ℓ_{∈ {}1,2, . . . , m_} dados.

Derivando-se a express˜ao (2.14) parcialmente em rela¸c˜ao atℓ obtemos

−∆t(∂tℓbu(t, ξ)) +

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

(∂tℓbu(t, ξ))

= ∂tℓfb(t, ξ)−2

X

1≤i,j≤n

ai(t) (∂tℓaj(t))ξiξjub(t, ξ) .

= g(t, ξ). (2.28)

Esta expressão é a expressão (2.14) com _bu(t, ξ) e fb(t, ξ) trocados por

∂tℓbu(t, ξ) eg(t, ξ) respectivamente. Como∂tℓbu(t, ξ) eg(t, ξ) satisfazem as mes-mas hip´oteses que u_b(t, ξ) e fb(t, ξ), usando os mesmos argumentos anteriores, trocandou_b(t, ξ) por∂tlub(t, ξ) e fb(t, ξ) por g(t, ξ) obteremos que

k∂tℓbu(·, ξ)kL2 ≤C.|ξ|

K

kg(_·, ξ)_kL2, ∀ ξ∈ZZn\0. (2.29)

(42)

ordem s˜ao limitadas. Ent˜ao podemos encontrar C >0 tal que X

1≤i,j≤n

ai(t) (∂tlaj(t))ξiξj

≤C|ξ|

2_,

∀ ξ _∈ZZn. (2.30)

Ainda, como feito antes, dados α _∈ INm e N _∈ IN existe CN > 0

tais que

∂tαfb(t, ξ)

≤CN|ξ|−(N+[K]), ∀ξ ∈ZZn\0. (2.31)

Em particular,

∂tℓfb(t, ξ)

≤CN|ξ|−(N+[K]), ∀ξ∈ZZn\0. (2.32)

Com isso,

k∂tℓfb(·, ξ)k

2

L2 =

Z

[−π,π]m|

∂tℓfb(t, ξ)|

2_dt

≤CN|ξ|−2(N+[K]), ∀ ξ ∈ZZn\0.

Portanto

k∂tℓfb(·, ξ)kL2 ≤CN|ξ|

−(N+[K])_,

∀ ξ_∈ZZn_\0. (2.33)

Al´em disso, pela desigualdade (2.26), existeCN >0 tal que

kbu(_·, ξ)_kL2 ≤C_N|ξ|−2−N−[K], ∀ ξ∈ZZn\0. (2.34)

Logo, pela defini¸c˜ao de g(t, ξ), pelas desigualdades (2.30), (2.33) e (2.34) segue que

kg(_·, ξ)_kL2 ≤ k∂_t

ℓfb(·, ξ)kL2 +

2

X

1≤i,j≤n

ai(·) (∂tℓaj(·))ξiξjbu(·, ξ)

L2

≤ k∂tℓfb(·, ξ)kL2 +C|ξ|

2

kbu(_·, ξ)_kL2

≤ CN|ξ|−(N+[K])+C|ξ|2CN|ξ|−2−N−[K]≤CN|ξ|−(N+[K]),

∀ξ _∈ZZn_\0.

Portanto, pela desigualdade (2.29) e por esta ´ultima segue que

k∂tℓub(·, ξ)kL2 ≤CN|ξ|

−N

(43)

Sejamα _∈INm _e _N

∈IN dados. Suponhamos que para todo β tal que

|β_|<_|α_|,vale

k∂tβbu(·, ξ)kL2 ≤C_N|ξ|−N, ∀ ξ∈ZZn\0. (2.35)

Aplicando o operador∂αt na express˜ao (2.14) obtemos

−∆t(∂tαub(t, ξ)) +∂ α t

" n

X

j=1

aj(t)ξj

2

b

u(t, ξ)

#

=∂tαfb(t, ξ),

para todoξ _∈ZZn, t_∈IRm. Pela f´ormula de Leibniz,

∂_tα

"_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

b

u(t, ξ)

#

=X

β≤α

α β

∂_tα−β

_Xn

j=1

aj(t)ξj

!2

∂_tβ_bu(t, ξ)

=

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

∂_tαu_b(t, ξ) +

+X β<α α β

∂tα−β

_Xn

j=1

aj(t)ξj

!2

∂tβbu(t, ξ)

=

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

∂tαub(t, ξ) +

+X β<α α β X

γ≤α−β

α₋β γ

∂t(α−β)−γ

_Xn

j=1

aj(t)ξj

∂tγ

_Xn

j=1

aj(t)ξj

∂tβbu(t, ξ)

=

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

∂_tαu_b(t, ξ) +

+X β<α α β X

γ≤α−β

α₋β γ

_Xn

j=1

∂t(α−β)−γaj(t)ξj

_Xn

j=1

∂tγaj(t)ξj

∂tβbu(t, ξ)

=

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

∂_tαu_b(t, ξ) +

+X β<α α β X

γ≤α−β

α₋β γ

X

1≤i,j≤n

∂t(α−β)−γai(t)∂tγaj(t)ξiξj

∂tβbu(t, ξ).

Substituindo esta express˜ao na ´ultima igualdade obtemos que

−∆t(∂tαbu(t, ξ)) +

_Xn

j=1

aj(t)ξj

2

(∂_tα_bu(t, ξ))

= ∂_tαfb(t, ξ)₋X

β<α

α β

" X

γ≤α−β

α₋β γ

X

1≤i,j≤n

∂t(α−β)−γai(t)∂tγaj(t)ξiξj

#

∂tβbu(t, ξ)

.

(44)

que ´e a express˜ao (2.14) com u_b(t, ξ) e fb(t, ξ) trocados por ∂_tαu_b(t, ξ) e gα(t, ξ)

respectivamente. Al´em disso tanto∂_tαu_b(t, ξ) quantogα(t, ξ) satisfazem as

mes-mas hip´oteses que u_b(t, ξ) e fb(t, ξ) satisfazem. Portanto, usando os mesmos resultados anteriores, trocando_bu(t, ξ) por∂_tαu_b(t, ξ) efb(t, ξ) porgα(t, ξ)

chega-se a

k∂_tαu_b(_·, ξ)_kL2 ≤C|ξ|Kkg_α(·, ξ)k_L2, ∀ ξ∈ZZn\0. (2.37)

Como as fun¸c˜oesaj e suas derivadas de qualquer ordem s˜ao limitadas,

pois pertencem a _P2π(IRm), com argumentos semelhantes ao do caso |α| = 1,

segue da desigualdade (2.31) e de (2.35) que existeCN >0 tal que

kgα(·, ξ)kL2 ≤C_N|ξ|−(N+[K]), ∀ ξ ∈ZZn\0.

Por esta ´ultima desigualdade e por (2.37) segue que

k∂tαbu(·, ξ)kL2 ≤C_N|ξ|−N, ∀ ξ∈ZZn\0. (2.38)

O objetivo agora ´e utilizarmos a desigualdade (2.38) para mostrarmos queu_{∈ P}2π(IRm+n). Faremos isso mostrando que dado N ∈IN existe CN >0

tal que

|bu(τ, ξ)_{| ≤}CN|(τ, ξ)|−N, ∀ (τ, ξ)∈ZZm+n\0

e assim, pelo Teorema 1.2 teremos que u_{∈ P}2π(IRm+n).

Sejam N _∈IN e (τ, ξ)_∈ZZm+n_\0 dados.

Separemos a demonstra¸c˜ao em dois casos: ξ₆= 0 e ξ = 0. Como para cadaξ _∈ZZn, _bu(_·, ξ)_{∈ P}2π(IRm), temos que

b

u(τ, ξ) = 1 (2π)m

Z

[−π,π]m

e−iτ·t_bu(t, ξ)dt, (2.39)

para todoτ _∈ZZm_{, ξ}

∈ZZn_.

(45)

Seτ = 0, temos que

b

u(0, ξ) = 1 (2π)m

Z

[−π,π]mb

u(t, ξ)dt,

Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz que

|ub(0, ξ)_{| ≤} 1 (2π)m

Z

[−π,π]m|b

u(t, ξ)_|dt_≤C_ku_b(_·, ξ)_kL2.

Logo, utilizando (2.26) obtemos

|bu(0, ξ)_{| ≤}CN|ξ|−N =CN|(0, ξ)|−N. (2.40)

Seτ ₆= 0, ent˜ao

τα_bu(τ, ξ) = 1 (2π)m

Z

[−π,π]m

ταe−iτ·tu_b(t, ξ)dt,

= 1

(2π)m

Z

[−π,π]m 1 (₋i)|α|(∂

α

te−iτ·t)bu(t, ξ)dt.

Fazendo a integra¸c˜ao por partes nesta express˜ao obtemos

ταu_b(τ, ξ) = 1 (2π)m

Z

[−π,π]m 1 (i)|α|e

−iτ·t_∂α

tub(t, ξ)dt. (2.41)

Observe que estas duas últimas expressões são válidas para todo

ξ_∈ZZn_.

Assim, segue da Afirma¸c˜ao 1.1, que

|τ_|N_|_bu(τ, ξ)_{| ≤} X

|α|=N

N! α! |τ

α

| |ub(τ, ξ)_|

= X

|α|=N

N! α! |τ

α

b

u(τ, ξ)_|

= X

|α|=N

N! α! 1 (2π)m

Z

[−π,π]m 1 (i)|α|e

−iτ·t_∂α

tub(t, ξ)dt

≤ ₍₂_π1₎m

X

|α|=N

N! α!

Z

[−π,π]m|

∂_tα_bu(t, ξ)_| dt. (2.42)

Segue de (2.42) e da desigualdade de Cauchy-Schwarz que

|τ_|N_|u_b(τ, ξ)_{| ≤}C X

|α|=N

N! α!k∂

α

(46)

Logo, pela desigualdade (2.38) segue que

|τ_|N_|u_b(τ, ξ)_{| ≤}C X

|α|=N

N! α!CN|ξ|

−N

≤C˜N|ξ|−N.

Portanto, para ξ₆= 0 e τ ₆= 0 esta ´ultima desigualdade implica que

|ub(τ, ξ)_{| ≤}CN|τ|−N|ξ|−N. (2.43)

Agora, segue de (2.43) e do Lema 1.1 que

|bu(τ, ξ)_{| ≤}CN|(τ, ξ)|−N, τ 6= 0, ξ 6= 0. (2.44)

2o _caso: _ξ _{= 0}_.

Como temos que para cada ξ_∈ZZn, fixado, ub(_·, ξ)_{∈ P}2π(IRm), temos

em particular que bu(_·,0) _{∈ P}2π(IRm). Logo pelo Teorema 1.3 ub(τ,0) forma

uma seqüência rapidamente decrescente, isto é, dado N _∈ IN _∃ CN >0 tal

que

|bu(τ,0)_{| ≤}CN|τ|−N =CN|(τ,0)|−N, ∀τ ∈ZZm\0. (2.45)

Logo, pelas desigualdades (2.40), (2.44) e (2.45) e pela arbitrariedade de (τ, ξ)_∈ZZm+n

\0, segue que existe CN >0 tal que

|ub(τ, ξ)_{| ≤}CN|(τ, ξ)|−N, ∀ (τ, ξ)∈ZZm+n\0,

o que conclui a demonstra¸c˜ao do teorema.

Demonstra¸c˜ao do Lema 2.2:

Assuma que (ak0+1, ..., an)∈(SA)c(a1, ..., ak0), 1≤k0 ≤n−1.Ent˜ao

a1, ..., ak0 s˜ao linearmente independentes sobre IR, e

am = k0

X

k=1