Teorias semiclássica e efetiva da gravitação

(1)

✡✡✡ ✪✪ ✪ ✱✱

✱✱ ✑✑✑ ✟✟ ❡

❡❡ ❅

❅_❅ ❧

❧ ❧ ◗

◗◗ ❍ ❍P P P ❳❳ ❳ ❤❤ ❤ ❤

✭ ✭ ✭

✭✏✟✏

IFT

Instituto de F´ısica Te´orica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORAMENTO IFT–T.003/06

Teorias Semicl´

assica e Efetiva da Gravita¸

c˜

ao

Ricardo Paszko

Orientador

Prof. Dr. Antonio Accioly

(2)

Agradecimentos

Agrade¸co ao Prof. Accioly por ter acreditado em mim desde o in´ıcio.

Agrade¸co à Marcia, Emilia, todos os meus amigos e à minha fam´ılia pela enorme paciência que tiveram comigo nestes anos de trabalho.

(3)

Resumo

Analisamos o espalhamento de part´ıculas quânticas por um campo gravita-cional fraco, tratado como campo externo, em primeira e segunda ordens de per-turba¸cão. Essa análise acusa viola¸cões do Princ´ıpio da Equivalência em rela¸cão ao spin — em primeira ordem —, e em rela¸cão à energia — em segunda ordem. Verifica-mos que os resultados mencionados são equivalentes àqueles obtidos por intermédio da Teoria Efetiva da Gravita¸cão, no limite em que uma das massas é muito maior do que as outras energias envolvidas. Discutimos também algumas aplica¸cões de nossa investiga¸cão, tais como a determina¸cão de um limite superior para a massa do fóton e a poss´ıvel deteçcão em um futuro não muito distante dessas viola¸cões do Princ´ıpio da Equivalência.

Palavras Chaves: gravita¸c˜ao; teoria semicl´assica; teoria efetiva; espalhamento.

´

(4)

Abstract

First and second order corrections for the scattering of different types of parti-cles by a weak gravitational field, treated as an external field, are calculated. These computations indicate a violation of the Equivalence Principle: to first order, the cross-sections are spin dependent; if the calculations are pushed to the next order, they become dependent upon energy as well. Interesting enough, the aforementi-oned results are equivalent to those obtained by means of the so-called Effective Theory of Gravitation, in the limit in which one of the masses is much greater than all the other energies involved. We discuss also some applications of our research, such as the determination of an upper bound for the photon mass, and the possible detection, in the foreseeable future, of these violations of the Equivalence Principle.

(5)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 3

1 Regras de Feynman 5

2 Campo Externo - 1a _ordem ₁₃

2.1 Klein-Gordon . . . 14

2.2 Dirac . . . 15

2.3 Maxwell . . . 16

2.4 Proca . . . 17

2.5 Einstein . . . 17

2.6 Teorema . . . 18

3 Campo Externo - 2a _ordem ₂₀ 3.1 Escalar . . . 20

3.2 F´oton . . . 24

4 Igualdade entre as teorias Semiclássica e Efetiva da Gravita¸cão 28 4.1 N´ıvel de Árvore . . . 28

4.2 N´ıvel de Loop . . . 29

4.3 Potencial em OrdemG2 _{. . . 33}

5 Aplica¸c˜oes 34 5.1 Massa do f´oton . . . 34

5.2 Viola¸c˜ao do Princ´ıpio da Equivalˆencia . . . 35

5.3 Lentes Gravitacionais . . . 37

(6)

6 Ep´ılogo 39

A Integrais em 3D 42

A.1 C´alculo de I, Ii _e _Iij _{. . . 42}

A.2 Integrais ´Uteis . . . 44

B Integrais em 4D 45

C Deflex˜ao cl´assica de part´ıculas massivas e sem massa 46

D Deflex˜ao gravitacional pelo m´etodo de JWKB 48

(7)

Introdu¸

c˜

ao

Poucos anos depois da Teoria Quˆantica de Campos (TQC) ser inventada, L´eon Rosenfeld [1] fez a primeira tentativa de quantizar a Relatividade Geral.

Ele seguia uma sugestão de Werner Heisenberg de que talvez as auto-energias pudessem ser finitas na ausência de campos de matéria. Mas, ao tentar calcular o campo gravitacional produzido por um campo eletromagnético e a auto-energia do gráviton, acabou encontrando os infinitos usuais da TQC.

A primeira tentativa real de quantiza¸cão foi feita cerca de 20 anos depois por Suraj Gupta [2], quantizando o campo gravitacional linearizado por meio do mesmo método desenvolvido por ele para a QED (Eletrodinâmica Quântica) [3].

Posteriormente, Gupta aplicou o tratamento para o campo não linearizado [4], encontrando divergências mais severas que na QED, e isso sugeria que a teoria não fosse renormalizável.

No in´ıcio dos anos 60, Richard Feynman descreveu a necessidade dos ‘ghosts’ em cálculos envolvendo loops de grávitons [5]. Seu argumento foi refinado depois, o que pode ser encontrado nas referências [6, 7, 8].

Na mesma época, Christian Møller propõe a Teoria Semiclássica da Gravita¸cão, em que a métrica é considerada um campo clássico enquanto todos os outros campos são quantizados [9].

Em 1973, Gerard ’t Hooft e Martinus Veltman [10] fizeram o primeiro cálculo mostrando que a teoria perturbativa da gravita¸cão não é renormalizável em 1 loop na presen¸ca de matéria, mas que poderia ser renormalizável como campo livre.

Mas, em 1985, Marc Goroff e Augusto Sagnotti mostraram que a teoria livre não é renormalizável em 2 loops [11].

(8)

Somente em 1994, nos trabalhos de John Donoghue [13], houve o ressurgimento da teoria perturbativa da gravita¸c˜ao, agora vista como uma teoria efetiva, ou seja, v´alida em baixas energias.

Nosso trabalho consiste em demonstrar que, em ambas as teorias Semiclássica e Efetiva da Gravita¸cão, existem pequenos desvios do Princ´ıpio da Equivalência. Apesar de pequenos, poderão ser observados em um futuro próximo.

Come¸camos extraindo as Regras de Feynman no Cap´ıtulo 1. J´a no Cap´ıtulo 2, calculamos o espalhamento de diversas part´ıculas em 1a _{ordem por um campo}

gra-vitacional externo fraco. No Cap´ıtulo 3, calculamos em 2a _{ordem e, no cap´ıtulo}

seguinte, verificamos a igualdade entre a Teoria Efetiva e a Teoria Semiclássica. No Cap´ıtulo 5, mostramos algumas aplica¸cões para os resultados obtidos e encerramos com a conclusão.

Tentamos manter uma certa continuidade ao longo de nosso trabalho e, por isso, não numeramos as equa¸cões. Para isso, nós repetimos algumas expressões e também nomeamos algumas integrais comoI, J, K, . . .nos Apêndices A e B. Os dois ´

ultimos apêndices tratam da deflexão gravitacional clássica e semiclássica.

Em todo nosso trabalho usamos as seguintes conven¸c˜oes: ¯h = c = 1, ηµν =

diag(1,₋1,₋1,₋1),κ=√32πGondeG´e a constante de Newton eR =gµν₍_∂ νΓλµλ−

(9)

Cap´ıtulo 1

Regras de Feynman

Vamos come¸car extraindo as Regras de Feynman da Teoria Perturbativa da Gravita¸c˜ao Quˆantica.

Para isso, escolhemos a seguinte expans˜ao usual da m´etrica gµν

gµν =ηµν +κhµν

onde κ=√32πG, ηµν =diag(1,−1,−1,−1) e hµν representa o campo do gr´aviton.

A partir desta escolha temos

gµν = ηµν₋κhµν+κ2hµλhν_λ+. . .

√

−g = 1 + κ 2h+

κ2

8(h

2

−2hµνhµν) +. . .

onde definimos hµν ₌_ηµα_h

αβηβν, h=ηµνhµν e g = detgµν.

Com essas defini¸c˜oes, podemos atacar o primeiro e mais simples caso: o campo escalar (ou Klein-Gordon) com acoplamento m´ınimo [14], cuja (densidade de) La-grangeana ´e dada por

LKG=

√ −g

2 (g

µν

∇µϕ∇νϕ−m2ϕ2)

onde _∇µ ´e a derivada covariante que nesse caso simples se reduz `a ∇µϕ = ∂µϕ

(10)

Essa Lagrangeana pode ser expandida em

LKG =

1 2(η

µν_∂

µϕ∂νϕ−m2ϕ2)

| {z }

L0

−κ₂hµν(∂µϕ∂νϕ−ηµνL0)

| {z }

L(1)Int

+κ

2

"

1 4(h

2₋₂_hµν_h

µν)L0+ hµλhλν−

h

2h

µν !

∂µϕ∂νϕ #

| {z }

L(2)Int

+. . .

onde _L0 é a Lagrangeana livre, ou seja, na ausência de gravidade, L(1)Int é a

Lagran-geana de intera¸c˜ao em ordem κ1_, _L(2)

Int ´e a Lagrangeana de intera¸c˜ao em ordemκ2 e

assim por diante.

A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para a Lagrangeana livre

L0

∂ϕ−∂µ ∂_L0

∂(∂µϕ)

= 0

nos d´a

(✷+m2)ϕ(x) = 0

onde ✷ = ηµν_∂

µ∂ν. A solu¸cão desta equa¸cão pode ser escrita como combina¸cões

lineares de ondas planas

ϕ(x) = X

k

1

√

2V Ek h

a(k)e−ik·x+a∗(k)eik·xi

(estamos considerandoϕ(x) como um campo real, portantoϕ(x)∗ ₌_ϕ₍_x_{)), onde} es-colhemos uma normaliza¸c˜ao em volume finitoV ekµ_{= (}_E

k,k) ondeEk=

√

k2₊_m2_.

Quantizando o campo ϕ(x) através das rela¸cões de comuta¸cão em tempos iguais (veja por exemplo [15])

[ϕ(x, t), π(x′, t)] = iδ(3)₍_x₋_x′₎ [ϕ(x, t), ϕ(x′, t)] = [π(x, t), π(x′, t)] = 0 onde

π(x)_≡ ∂L0

∂ϕ˙ = ˙ϕ(x) promovemos a(k) e a∗₍_k_{) aos operadores}

a(k)_|0_i = 0 aniquila¸c˜ao

(11)

onde _|0_i´e o estado de v´acuo, e assim obtemos

[a(k), a†₍_k′_{)] =}_iδ kk′

[a(k), a(k′)] = [a†₍_k₎_{, a}†₍_k′_{)] = 0}_.

Com isso, podemos calcular o propagador do campo escalar (veja detalhes em [15])

h0_|T_{ϕ(x)ϕ(x′)_}|0_i=

Z _d4_p

(2π)4e

−ip·x i

p2₋_m2 ₊_iǫ

onde T ´e a ordem temporal.

Propagador do escalar

p

i p2₋m2+iǫ

De modo an´alogo, o campo real hµν(x) tamb´em pode ser quantizado

hµν(x) =X

k,r

ǫµν r (k)

√

2V Ek h

br(k)e−ik·x+b†r(k)eik·x i

ondeǫµν

r (k) são os tensores de polariza¸cão (similares aos do caso do fóton, veja mais

detalhes em [2, 26]).

Tendo em mãos as expressões dos campos quantizados, podemos agora extrair o primeiro vértice a partir de_L(1)_Int através da matriz S dada por

S = 1₋i

Z

d4x:_H(1)_Int(x) :

| {z }

S(1)

+. . .

onde _H_Int(1)(x) =_−L(1)_Int(x) é a Hamiltoniana de intera¸cão (em 1a _{ordem) e :} _O _{: é o}

produto normal do operadorO.

Considere o estado inicial formado por um escalar com momento p e um gr´aviton com momentoq e polariza¸c˜ao r

|i_i=a†(p)b†_r(q)_|0_i j´a o estado final apenas um escalar com momento p′

(12)

portanto

hf_|S(1)_|i_i = _h0_|a(p′)S(1)a†(p)b†_r(q)_|0_i = _h0_|a(p′)i

Z

d4x:_L(1)Int(x) :a†(p)b†r(q)|0i

= ₋iκ 2h0|a(p

′₎Z _d4_x_:_hµν₍_∂

µϕ∂νϕ−ηµνL0) :a†(p)b†r(q)|0i

que ap´os uma simples ´algebra de operadores resulta em

hf_|S(1)_|i_i = (2π)

4_δ(4)₍_p′₋_p₋_q₎_ǫµν r (q) q

2V Ep′

q

2V Ep q

2V Eq

×

−iκ₂[p′_µpν +p′νpµ−ηµν(p′·p−m2)]

| {z }

≡Vµν(p′,p)

e ignorando fatores de normaliza¸cão, bem como o tensor de polariza¸cão e o delta de Dirac, obtemos nosso primeiro vértice:

V´ertice gr´aviton - escalar - escalar

αβ q

p′ ₌_p₊_q

p

Vαβ(p′, p) =₋iκ 2[p

′α_pβ₊_p′β_pα

−ηαβ(p′_·p₋m2)] e de maneira an´aloga obtemos os v´ertices de ordem mais alta:

Vértice gráviton - gráviton - escalar - escalar

k αβ

p k₋q

µν

(13)

Vµν,αβ(p′, p) = iκ2

Iµν,λσI_σρ,αβ₋ 1

4(η

µν_Iαβ,λρ₊_ηαβ_Iµν,λρ₎₍_p′

λpρ+p′ρpλ)

−1

2(p

′_·_p₋_m2₎

Pαβ,µν

onde _Pαβ,µν =Iαβ,µν − 1₂ηαβηµν e Iαβ,µν = 1₂(ηαµηβν+ηανηβµ).

Para o campo de Dirac temos

LD = √−g _i

2( ¯ψγ

µ−→

∇µψ−ψ¯←∇−µγµψ)−mψψ¯

= i 2( ¯ψ

−

→₆_{∂ ψ}₋_ψ_¯←₆−_{∂ ψ}₎₋_m_ψψ_¯

| {z }

L0

−κ₂hµν

_i

2( ¯ψγµ∂νψ−∂νψγ¯ µψ)−ηµνL0

+. . .

onde −→_∇µψ =∂µψ+iwµψ, ¯ψ←∇−µ =∂µψ¯−iψw¯ µ e a conex˜ao wµ pode ser escrita em

fun¸c˜ao da tetrada eµ

m (e sua inversa emµ) como [16, 14]

wµ=

1 4σ

mn_eν

m(∂µenν −∂νenµ) +

1 2e

ρ

meσn(∂σelρ−∂ρelσ)elµ−(m ↔n)

e a tetrada pode ser expandida ememµ =δµm+κ2h

m

µ +. . ., portanto Propagador do el´etron

p

i

6

p₋m+iǫ

Vértice gráviton - elétron - elétron

αβ q

p′ ₌_p₊_q

p

Vαβ(p′, p) = i 8κ[2η

αβ

(₆p′+₆p₋2m)₋(p′+p)αγβ ₋(p′ +p)βγα].

(14)

Para o campo de Maxwell temos

LM = −

√ −g

4 g

αβ_gµν_F αµFβν

= ₋1 4η

αβ_ηµν_F αµFβν

| {z }

L0

−κ

2h

µνh

−ηαβFαµFβν−ηµνL0 i

+κ

2

4

₁

2(h

2

−2hµνhµν)L0+FαβFµν(hhαµηβν−2hαλhµληβν −hαµhβν)

+. . .

ondeFµν =∂µAν−∂νAµ, Aµ´e o campo do f´oton e escolhendo o gauge de Feynman,

∂µAµ= 0, temos

Propagador do f´oton

α q β

−iη_αβ q2+iǫ

Vértice gráviton - fóton - fóton

q αβ

p′ ₌_p₊_q

ν

p µ Vαβ,µν(p′, p) = ₋iκ

2[(η

αβ_ηµν

−ηαµηβν ₋ηανηβµ)p′_·p₋ηαβp′µpν +ηµβp′αpν

−ηµνp′αpβ+ηανp′µpβ+ηβνp′µpα₋ηµνp′βpα+ηαµp′βpν]

Vértice gráviton - gráviton - fóton - fóton

k αβ

p λ k₋q

µν

p′ ₌_p₊_q

(15)

Vαβ,µν,λρ(p′, p) = −

i

4κ

2_[(_η

αβηµν −2ηαµηβν)(ηλρp·p′ −pρp′λ)

−ηαβ(Tλρµν+Tλρνµ)−ηµν(Tλραβ +Tλρβα)

+2ηβµ(Tλραν +Tλρνα) + 2ηαν(Tλρµβ+Tλρβµ)

+2(ηµληρνpαp′β −ηλαηρνpµp′β−ηλµηρβpαp′ν

+ηλνηρµpβp′α−ηλβηρµpνp′α−ηλνηραpβp′µ

+ηλαηρβpµp′ν +ηλβηραpνp′µ)]

onde Tαβµν =ηαβpµp′ν −ηαµpβpν′ −ηβνpµp′α+ηαµηβνp·p′.

Analogamente para o campo de Proca

LP = √−g −

1 4g

αβ_gµν_F

αµFβν+

m2

2 g

αβ_A αAβ

!

= ₋1 4η

αβ_ηµν_F

αµFβν+

m2

2 η

αβ_A αAβ

| {z }

L0

−κ

2h

µνh₋_ηαβ_F

αµFβν+m2AµAν −ηµνL0 i

+. . .

e

Vértice gráviton - fóton massivo - fóton massivo

q αβ

p′ ₌_p₊_q

ν

p µ Vαβ,µν(p′, p) = ₋iκ

2[(η

αβ_ηµν

−ηαµηβν ₋ηανηβµ)(p′_·p₋m2)

−ηαβp′µpν+ηµβp′αpν ₋ηµνp′αpβ+ηανp′µpβ

+ηβνp′µpα₋ηµνp′βpα+ηαµp′βpν].

(16)

Para o campo do gr´aviton, escolhendo ainda o gauge de de Donder, ou seja,

∂µhµν = 12∂νh, obtemos a seguinte expans˜ao da lagrangeana de Einstein-Hilbert

LEH =

2 κ2 √ −gR = 1 2

∂µ_hνλ_∂

µhνλ−

1 2∂ µ_h∂ µh +κ ₁ 2h α

β∂µhβα∂µh−

1 2h

α

β∂αhµν∂βhνµ

−hα_β∂µhνα∂µhβν +

1 4h∂

α_hµ

ν∂αhνµ+hβµ∂νhαβ∂µhνα−

1 8h∂ µ_h∂ µh +. . .

na expressão acima descartamos divergências totais e deixamos o segundo termo o mais compacto poss´ıvel [16]. Com isto podemos retirar o propagador do gráviton e o primeiro vértice:

Propagador do gr´aviton

αβ q µν

i_P_αβ,µν q2+iǫ

onde _Pαβ,µν =Iαβ,µν − 1₂ηαβηµν, Iαβ,µν = 1₂(ηαµηβν +ηανηβµ) e Vértice gráviton - gráviton - gráviton

q µν k₋q

λρ

k αβ Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q) = iκ

−1₂(k2+q2+ (k₋q)2)hI_µ,αβσ Iλρ,σν +Iν,αβσ Iλρ,σµ

+1

4ηαβηµνηλρ− 1

2(ηαβIµν,λρ+ηµνIαβ,λρ+ηλρIαβ,µν)

+qσ(k₋q)τ

Iµν,λρIαβ,στ −

1

2(Iαβ,ρσIµν,λτ +Iαβ,λσIµν,ρτ +Iλρ,νσIαβ,µτ +Iλρ,µσIαβ,ντ)]

−kσ(k₋q)τ

Iαβ,λρIµν,στ −

1

2(Iµν,ρσIαβ,λτ +Iµν,λσIαβ,ρτ +Iλρ,ασIµν,βτ +Iλρ,βσIµν,ατ)]

−kσqτ

Iαβ,µνIλρ,στ −

1

(17)

Cap´ıtulo 2

Campo Externo -

1

a

_ordem

Considere o espalhamento de uma part´ıcula quantizada de massa m (possi-velmente nula), spin s e (tri)momento inicial p (e final p′) por um campo externo cl´assico dado por

hµν(x) =

2GM

κ_|x_| (ηµν−2ηµ0ην0)

que é a solu¸cão da equa¸cão de Einstein linearizada no gauge de de Donder

✷

hµν(x)−

1

2ηµνh(x)

=₋κTµν(x)

tendo como fonte uma massa pontual localizada na origem do sistema de coorde-nadas, ou seja, Tµν₍_x_{) =} _Mδµ

0δν0δ(3)(x). A transformada de Fourier deste campo ´e

dada por

hµν(q) = Z

d4x eiq·xhµν(x) =

κM

4q2(ηµν −2ηµ0ην0)

| {z }

≡hext µν(q)

2πδ(q0)

onde q = p′ ₋_p _{´e o momento trocado cuja componente} _q

0 = 0 (o campo externo

hµν(x) é estático no nosso caso, o que implica na conserva¸cão da energia), portanto

|p′_|=_|p_| e_|q_|= 2_|p_|sinθ₂ onde θ ´e o ˆangulo de espalhamento.

Assim acrescentamos a seguinte regra de Feynman ao cap´ıtulo anterior

Campo externo

αβ q

h

ext

αβ

(

q

) =

κM4q2

(

η

αβ

−

2 δ

0α

δ

β0

)

(18)

Nas se¸c˜oes seguintes trataremos diversos casos de espalhamento para part´ıculas com s = 0,1

2,1,2 e m = 0 ou m 6= 0. Na se¸c˜ao final vamos enunciar um teorema

sobre as se¸c˜oes de choque.

2.1 Klein-Gordon

O cálculo para a part´ıcula escalar é o mais simples de todos devido à ausência de graus de liberdade internos, a amplitude de Feynman _M para o processo em questão é dada por

αβ q

p′ ₌_p₊_q

p

i_M = ihext_αβ(q)Vαβ(p′, p) = 4πGM

q2 (ηαβ−2δ 0

αδ0β)[p′αpβ+p′βpα−ηαβ(p′·p−m2)]

| {z }

−(2m2₊₄_p2₎

= ₋4πGM

q2 (2m

2_{+ 4}_p2₎

por conveniência, nós multiplicamos por i a amplitude _M para ficarmos com uma expressão real. A partir desta expressão, podemos calcular a energia potencial gra-vitacional (ou simplesmente o potencial) definida como [17, 18, 19]

V(r) =

Z _d3_q

(2π)3e

iq_·r_√ iM

2E′√₂_E

E′₌_E

= ₋4πGM m

2_{+ 2}_p2

E

! Z _d3_q

(2π)3

eiq·r

q2

| {z }

1 4πr

=₋GM

r

m2_{+ 2}_p2

E

!

que se reduz no limite n˜ao-relativ´ıstico ao bem conhecido potencial Newtoniano

V(r) = ₋GM m

r e para V(r) = −

2GM E

r no caso ultra-relativ´ıstico (ou equivalente

(19)

Já a se¸cão de choque diferencial é dada por [20, 21]

dσ dΩ =

|i_M|2

(4π)2 =

GM

sin2 θ

2 !2

1 + α 2

2

onde α _≡ m_p22 =

1−v2

v2 . Desta express˜ao podemos obter o ˆangulo de espalhamento θ

através da aproxima¸cão clássica [22] para a se¸cão de choque _ddσ_Ω = _sinb_θ db_dθ

, onde b´e

o parˆametro de impacto, assim temos

θ = 2 sin−1

₂_GM

b

1 + α 2

que para valores pequenos de GM_b (o valor máximo de GM_b para o Sol, por exemplo, é da ordem de 10−6_{, o que nos permite fazer tal aproxima¸cão) pode ser aproximado}

para

θ_≈ 4GM b

1 + α 2

que se reduz ao valor θN ewton = 2_bGM_v2 para |v| ≪ 1 e para θEinstein = 4GM_b quando

|v_|= 1 (no exemplo do Sol θEinstein= 1.75arcsec).

2.2 Dirac

O espalhamento de elétrons pelo campo gravitacional é bem mais complicado do que o caso anterior devido ao spin. O diagrama abaixo representa o espalhamento em que a part´ıcula inicial está especificada pelo spinor ur(p) e o estado final pelo

spinor ¯ur′(p′),

αβ q

r′

p′ ₌_p₊_q

r p

i_Mr′_,r = ihext_αβ(q)¯u_r′(p′)Vαβ(p′, p)u_r(p) = ₋4πGME

q2 u¯r′(p

′₎₂_γ0

− m

E

(20)

(o potencial pode ser obtido através da expressão acima [17], porém este difere do potencial da se¸cão anterior apenas por termos que só contribuem em distâncias da ordem do comprimento de onda Comptonλ = _m1 e, portanto, podem ser desprezados em grandes distâncias).

Para a se¸c˜ao de choque n˜ao polarizada temos [23, 24]

dσ dΩ =

1 (4π)2

1 2

X

r′_,r

|i_Mr′_,r|2(2m)2 = GM sin2 θ

2 !2"

cos2 θ 2+

α

4 1 +α+ 3 cos

2 θ

2

!#

onde usamos

2 X

r=1

ur(p)¯ur(p) = 6

p+m

2m .

2.3 Maxwell

A amplitude _M para o espalhamento de um f´oton ´e dada por

q αβ

p′ ₌_p₊_q

ν

p µ

i_Mr′_,r = ihαβ_ext(q)ǫν_r′(p′)Vαβ,µν(p′, p)ǫµr(p)

= ₋8πGM

q2 ǫ

ν

r′(p′)[(ηµν −2δµ0δν0)p′·p−p′µpν

+2Ep′_µδ0_ν + 2Epνδµ0 −2E2ηµν]ǫµr(p)

onde ǫµ

r(p) e ǫνr′(p′) são as polariza¸cões inicial e final do fóton, respectivamente, e usando Πµν(p)_≡

2 X

r=1

ǫµr(p)ǫνr(p) = −ηµν −

1 (p_·n)2[p

µ_pν

−p_·n(pµnν +pνnµ)] onde

n2 _{= 1, obtemos [23, 20]}

dσ dΩ =

1 (4π)2

1 2

X

r′_,r

|i_Mr′_,r|2 = GM sin2 θ

2 !2

(21)

2.4 Proca

De modo an´alogo temos o caso do “f´oton massivo”

q αβ

p′ ₌_p₊_q

ν

p µ

i_Mr′_,r = ihαβ_ext(q)ǫν_r′(p′)V_αβ,µν(p′, p)ǫµ_r(p) = ₋8πGM

q2 ǫ

ν

r′(p′)[(η_µν −2δ_µ0δ_ν0)(p′·p−m2)−p′_µp_ν +2Ep′_µδ_ν0+ 2Epνδµ0 −2E2ηµν +m2ηµν]ǫµr(p)

onde ǫµ

r(p) e ǫνr′(p′) são as polariza¸cões inicial e final do “fóton massivo”, respecti-vamente, e como

3 X

r=1

ǫµ_r(p)ǫ_rν(p) =₋ηµν+ p

µ_pν

m2 , obtemos [25]

dσ dΩ =

1 (4π)2

1 3

X

r′_,r|

i_Mr′_,r|2 =

GM

sin2 θ₂

!2"

1 3 +

2 3cos

4 θ

2 −

α

3 1− 3α

4 −4 cos

2 θ

2

!#

.

2.5 Einstein

Vamos considerar tamb´em o espalhamento de um gr´aviton pelo campo externo

q µν

p′ ₌_p₋_q

λρ

(22)

i_Mr′_,r =ihµν_ext(q)ǫλρ_r′(p′)Vαβ,µν,λρ(p, q, p′)ǫαβr (p)

onde a soma de polariza¸c˜oes ´e dada por [26]

2 X

r=1

ǫαβ_r (p)ǫµν_r (p) = 1 2

h

Παµ(p)Πβν(p) + Παν(p)Πβµ(p)₋Παβ(p)Πµν(p)i

assim

dσ dΩ =

1 (4π)2

1 2

X

r′_,r

|i_Mr′_,r|2 = GM sin2 ₂θ

!2

sin8 θ 2+ cos

8 θ

2

!

.

2.6 Teorema

Na Tabela 2.1 estão agrupadas as se¸cões de choque obtidas neste cap´ıtulo, vemos então o seguinte:

As se¸cões de choque são distintas para part´ıculas de diferentes spins s. Portanto existe, já em 1a ordem no campo externo, uma viola¸cão do Princ´ıpio da Equivalência [27].

m s dσ/dΩ

0 0

GM

sin2θ₂ 2

6

= 0 0

GM

sin2θ

2

1 + α

2 2

0 1/2

GM

sin2θ

2

cos2 θ

2

6

= 0 1/2

GM

sin2 θ

2

2_h

cos2 θ

2 +

α

4

1 +α+ 3 cos2 θ

2 i

0 1

GM

sin2θ

2

cos4 θ

2

6

= 0 1

GM

sin2θ

2

2_h 1

3 +

2 3cos4

θ

2 −

α

3

1₋ 3₄α ₋4 cos2 θ

2 i

0 2

GM

sin2θ

2

sin8 θ

2 + cos 8 θ

2

(23)

No entanto, a diferen¸ca entre estas expressões é muito pequena. Na Figura 2.1 temos o gráfico de

∆(dσ/dθ) (dσ/dθ)s=0

= (dσ/dθ)s−(dσ/dθ)s=0 (dσ/dθ)s=0

em fun¸c˜ao de θ para part´ıculas de m= 0.

-0.0001 -8e-05 -6e-05 -4e-05 -2e-05 0 2e-05

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

∆

(d

σ

/d

θ

)/(d

σ

/d

θ

)s=0

θ

s=0 s=1/2 s=1 s=2

Figura 2.1: ∆(dσ/dθ)/(dσ/dθ)s=0 em fun¸c˜ao deθ.

Vemos que para ˆangulos pequenos ∆(dσ/dθ)/(dσ/dθ)s=0 ≈ −sθ2/2 e para

valores t´ıpicos do ˆangulo de deflex˜aoθ _∼10−6 _{temos ∆(}_dσ/dθ₎_/₍_dσ/dθ₎

s=0 ∼10−12

(24)

Cap´ıtulo 3

Campo Externo -

2

a

_ordem

Como um aquecimento para o caso do f´oton, vamos come¸car calculando as corre¸c˜oes de 2a _{ordem no campo externo para uma part´ıcula escalar [28, 29].}

Por estarmos considerando que o campo é fraco porém a massa M é ainda muito maior do que a energia da part´ıcula espalhada (tipicamente para o caso de um fóton, digamos, na faixa do microondas ν _∼ 1GHz, espalhado pelo campo gravitacional do Sol temos E

M ∼10−

71_{) n´os podemos desprezar o Bremsstrahlung e}

as corre¸cões radiativas, pois esses efeitos estão na razão de E

M em rela¸c˜ao aos gr´aficos

de 2a _{ordem no campo externo.}

3.1 Escalar

Lembrando o resultado do cap´ıtulo anterior

αβ q

p′ ₌_p₊_q

p

i_M(1)=₋4πGM

q2 (2m

2_{+ 4}_p2₎

(25)

k αβ

p k₋q

µν

p′ ₌_p₊_q

i_M(2) = i 2

Z _d3_k

(2π)3h

ext

αβ(k)hextµν(k−q)Vµν,αβ(p′, p)

= ₋16π2G2M2(8E2₋q2)

Z _d3_k

(2π)3

1

k2₍_k₋_q₎2

| {z }

1 8|q|

= ₋4π

2_G2_M2

|q_| 4E

2

− q

2

!

onde usamos

(ηαβ −2δ0αδβ0)Vαβ,µν(p′, p)(ηµν −2δµ0δν0) =

iκ2

2 (8E

2

−q2).

Note que existe um fator de simetria 1₂ nos gr´aficos de _M(2) _e_M(3)

q µν στ k₋q

λρ

k αβ

p′ ₌_p₊_q

p

i_M(3) = i 2

Z _d3_k

(2π)3h

ext

αβ(k)hextλρ(k−q)Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q)

i_Pµν,στ

q2 V

στ₍_p′_{, p}₎ = ₋4π

2_G2_M2

|q_| −m

2

−p

2

4 + 7q2

16

!

+_O(Λ)

neste segundo gr´afico precisamos da seguinte express˜ao

(ηαβ −2δα0δβ0)Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q)(ηλρ−2δλ0δρ0) = iκ[2(2k·q−q2−2k2)δ µ

0δ0ν

+2qµqν ₋2kµkν +qµkν +qνkµ

(26)

e portanto das seguintes integrais

Z _d3_k

(2π)3

ki

k2₍_k₋_q₎2 =

qi

16_|q_| Z Λ _d3_k

(2π)3

ki_kj

k2₍_k₋_q₎2 ≈

|q_|

64 3

qi_qj q2 −δ

ij !

+Λδ

ij

6π2.

Note que a segunda integral tem divergˆencia linear no ultravoleta e por isso intro-duzimos um cut-off Λ.

No entanto, essa divergência é espúria, pois o mesmo resultado pode ser obtido diretamente através da aproxima¸cão de 2a _{ordem no} _próprio _{campo externo.}

Por exemplo, em coordenadas isotrópicas a métrica é dada por [14]

g00 =

1₋ GM₂_r 1 + GM

2r !2

= 1₋ 2GM

r +

2G2_M2

r2 +. . .

g0i = 0

gij = −

1 + GM 2r

4

δij =− 1 +

2GM r +

3G2_M2

2r2 +. . . !

δij

e assim

κhextra₀₀ (q) = 2G2M2

Z

d3xe−

iq_·x

r2

| {z }

2π2

|q|

= 4π

2_G2_M2

|q_|

κhextra₀_i (q) = 0

κhextra_ij (q) = ₋3G

2_M2

2 δij

Z

d3xe−

iq_·x

r2 =−

3π2_G2_M2

|q_| δij

obtemos o mesmo resultado sem a divergˆencia

i_M(1)extra =ihextraµν (q)Vµν(p′, p) =−

4π2_G2_M2

|q_| −m

2

− p

2

4 + 7q2

16

!

(27)

µν p′₋_k

p′ ₌_p₊_q

k p αβ k₋p

esse gr´afico ´e divergente no infravermelho, por isso temos que usar uma massa µ

para o gráviton. Veja o Apêndice A para o cálculo deI, em especial só precisamos do resultado paraµ_→0

i_M(4) = i

Z _d3_k

(2π)3h

ext

µν(p′ −k)Vµν(p′, k)

i

k2₋_m2₊_iǫV

αβ₍_{k, p}₎_hext

αβ(k−p)

= 2G

2_M2

π (2m

2_{+ 4}_p2₎2Z d3k

[(p′₋_k₎2₊_µ2_][(_p₋_k₎2₊_µ2_](_p2₋_k2₊_iǫ₎

| {z }

I≈−i_|2π2

p|q2ln

|q|

µ

≈ −i4πG

2_M2

|p_|q2 (2m

2_{+ 4}_p2₎2_ln|q|

µ

onde usamos

(ηαβ−2δα0δ0β)[kαpβ+kβpα−ηαβ(k·p−m2)] = 2m2−4Ek0 = 2m2−4E2 =−(2m2+4p2)

poisk0 =E pela conserva¸c˜ao de energia nos v´ertices de campo externo, e portanto

k2₋m2+iǫ=p2₋k2 +iǫ.

Assim conseguimos calcular a se¸c˜ao de choque diferencial em 2a_{ordem [28, 29]}

dσ dΩ =

|i_Mtotal_|2

(4π)2 =

dσ dΩ

!

0 "

1 + πGM|p|sin

θ

2

1 + α₂ 3α+

15₋sin2 θ₂ 4

!#

onde _Mtotal =

4 X

i=1

M(i) e

dσ dΩ

!

0

= GM

sin2 θ₂

!2

1 + α 2

(28)

é a se¸cão de choque em 1a _{ordem no campo externo. Observe que a divergência}

infravermelha não contribui na ordem de aproxima¸cão calculada, de fato pode-se mostrar que há um cancelamento destas divergências na gravita¸cão [30, 31].

3.2 F´

oton

Do cap´ıtulo anterior

q αβ

p′ ₌_p₊_q

ν

p µ i_M(1)_µν =₋8πGM

q2 [(ηµν−2δ 0

µδ0ν)p′·p−p′µpν + 2Ep′µδν0+ 2Epνδ0µ−2E2ηµν]

e novamente temos 3 gr´aficos em 2a _ordem

k αβ

p λ k₋q

µν

p′ ₌_p₊_q

ρ

i_M(2)_λρ = i 2

Z _d3_k

(2π)3h

µν

ext(k−q)hαβext(k)Vαβ,µν,λρ(p′, p)

= iκ

2_M2

32 (η

αβ

−2δ₀αδβ₀)(ηµν₋2δµ₀δν₀)Vαβ,µν,λρ(p′, p)

| {z }

−iκ2₍_η

λρp′·p−p′λpρ)

Z _d3_k

(2π)3

1

k2₍_k₋_q₎2

| {z }

1 8|q|

= 4π

2_G2_M2

|q_| (ηλρp

(29)

q µν στ k₋q

λρ

k αβ

p′ ₌_p₊_q

ζ

p ǫ i_M(3)_ǫζ = i

2

Z _d3_k

(2π)3h

λρ

ext(k−q)hαβext(k)Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q)

i_Pµν,στ

q2 Vστ,ǫζ(p′, p)

= ₋κ

2_M2

32q2 P

µν,στ_V

στ,ǫζ(p′, p)

| {z }

Vµν_ǫζ(p′_,p₎

×

Z _d3_k

(2π)3

(ηαβ ₋₂_δα

0δ

β

0)Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q)(ηλρ−2δ0λδ

ρ

0)

k2₍_k₋_q₎2

| {z }

iκ

32|q|(9qµqν−q

2_η_µν₋_q2_δ0

µδ0ν)

= π

2_G2_M2

2_|q_| [9p ′

ζpǫ+ (ηǫζ −2δǫ0δ0ζ)p′·p−pǫ′pζ+ 2Ep′ǫδζ0+ 2Epζδǫ0−2E2ηǫζ]

µν p′₋_k

τ

p′ ₌_p₊_q

k σ ρ λ p αβ k₋p

i_M(4)λτ = i

Z _d3_k

(2π)3h

µν

ext(p′ −k)Vµν,στ(p′, k)−

iησρ

k2₊_iǫVαβ,λρ(k, p)h

αβ

ext(k−p)

= GM

2

4π2 Z

d3k(η

µν₋₂_δµ

0δ0ν)Vµν,στ(p′, k)ησρ(ηαβ −2δα0δ

β

0)Vαβ,λρ(k, p)

[(p′₋_k₎2₊_µ2_][(_p₋_k₎2₊_µ2_](_p2₋_k2₊_iǫ₎

onde

(30)

assim

(ηµν₋₂_δµ

0δ0ν)Vµν,στ(p′, k)ησρ(ηαβ −2δ0αδ

β

0)Vαβ,λρ(k, p)

=₋κ2_{₄_E2₍_E2_η

λτ −Ep′λδτ0−Epτδλ0+p′·pδλ0δτ0)

+kτ(2E2p′λ −2Eδλ0p′·p) +kλ(2E2pτ −2Eδ0τp′ ·p)

+kα_[₋₂_E2_η

λτ(p′α+pα) + 2E(p′αδ0λpτ +pαδ0τp′λ)]

+kα_kβ₍_p′

αpβηλτ −ηαλp′βpτ −ηατpβp′λ+ηαληβτp′ ·p)}

e usando a parte real (s´o esta parte contribui) das integrais do Apˆendice A (lembre que k0 =E nesse diagrama)

(I, Iα, Iαβ) =

Z ₍₁_{, k}α_{, k}α_kβ₎_d3_k

[(p′₋_k₎2₊_µ2_][(_p₋_k₎2₊_µ2_](_p2₋_k2₊_iǫ₎

I = 0

Iα ₌ ₀_, −π3(p′ +p)i

8_|p_|3_sinθ

2(1 + sin

θ

2) !

Iαβ =



 

0 EIi

EIi −π3

4|p|(1+sinθ

2)

δij ₊ qi_qj

4p2_sinθ

2

+ (2+sinθ2)(p′+p)

i₍_p′₊_p₎j

4p2_sinθ

2(1+sin θ 2)    obtemos

i_M(1)_µνi_M(4)µν = 64G

3_M3

q2 [p

′_·_p₍_p′ _·_p₋₂_E2₎_Iµν_η

µν −2p′·pIµνp′µpν

−2E2(Iµνpµpν +Iµνp′µp′ν) + 8E4(Iµpµ+Iµp′µ)]

= 16π

3_G3_M3_E

sin3 θ

2

2 + sinθ 2

!2

1₋sinθ 2

!2

al´em disso

i_M(1)_µνi_M(1)µν = 32π

2_G2_M2

sin4 θ

2

cos4 θ 2

i_M(1)_µνi_M(2)µν = 0

i_M(1)_µνi_M(3)µν = ₋4π

3_G3_M3_E

sin3θ₂ cos

4 θ

(31)

e finalmente [32]

dσ dΩ =

dσ dΩ

!

0 "

1 + πGMEsin

θ

2

(1 + sinθ

2)2

15 + 14 sinθ₂ + 3 sin2 θ₂ 4

!#

em que

dσ dΩ

!

0

= GM

sin2 θ₂

!2

(32)

Cap´ıtulo 4

Igualdade entre as teorias

Semicl´

assica e Efetiva da

Gravita¸

c˜

ao

4.1 N´ıvel de ´

Arvore

A Teoria Efetiva da Gravita¸cão é uma Teoria Quântica de Campos que trata o gráviton como uma part´ıcula quantizada, mas separa as partes não anal´ıticas (1/q2_,₁_/q,_ln_q_{) da amplitude de Feynman} _M _{dos termos anal´ıticos (1}_{, q, q}2_{, . . .}_),

onde q é o momento trocado entre as part´ıculas, e assim sendo, válida somente em grandes distâncias (ou baixo momento trocado) [13, 33].

Neste cap´ıtulo, vamos calcular o espalhamento entre duas part´ıculas: uma delas ´e um escalar de massaM e momento inicialP (e finalP′_{). A massa} _M _{vai ser} considerada muito maior do que qualquer outra energia envolvida. A outra part´ıcula pode ser em princ´ıpio de qualquer tipo, com momento inicialp (e finalp′_{), como no} diagrama abaixo:

q αβ µν P

P′ =P ₋q

p

(33)

A igualdade em n´ıvel de árvore entre as teorias Semiclássica e Efetiva é trivial na aproxima¸cão _|q0_{| ≪ |}_q_{| ≪} _M _{e no sistema de referência do laboratório, isto é,}

Pµ= (M,0), pois

M_{efetiva =} Vαβ(P′, P)iPαβ,µν

q2 V

µν₍_p′_{, p}₎ = ₋iκ

2[P

′α_Pβ₊_P′β_Pα

−ηαβ(P′_·P ₋M2)]

| {z }

≈−iκM2_δα

0δ

β

0

i_Pαβ,µν

q2 V

µν₍_p′_{, p}₎

≈ 2M κM

4q2(ηµν −2δ 0

µδν0)

| {z }

hext µν(q)

Vµν₍_p′_{, p}₎ = 2M_M_{semicl´assica}

onde hext

µν(q) ´e o campo externo usado nos cap´ıtulos anteriores, e portanto

M_{semicl´assica} ≈ Mefetiva₂_M .

A origem do fator ₂1_M ´e devida aos fatores de normaliza¸c˜ao √1

2E′

1

√

2E ≈

1

2M da

part´ıcula escalar. Em especial, para o caso em que a segunda part´ıcula ´e tamb´em um escalar, temos

i_M(1) _{≈ −}8πGM

2

q2 (2m

2_{+ 4}_p2₎_.

4.2 N´ıvel de Loop

Vamos demonstrar a igualdade entre as duas teorias também em n´ıvel de loop, para simplificar os cálculos vamos nos limitar ao caso em que as duas part´ıculas são escalares, ainda na aproxima¸cão _|q0_{| ≪ |}_q_{| ≪} _M _{e, além disso, vamos considerar}

E _≪M onde E =√p2₊_m2 _{´e a energia da outra part´ıcula.}

(34)

P P ₋k P′ ₌_P ₋_q

k λρ

αβ k₋q στ

µν

p

p′ ₌_p₊_q

i_M(2) = i

Z _d4_k

(2π)4V

στ₍_P′_{, P} ₋_k₎ iPστ,µν

(k₋q)2

i

(P ₋k)2₋_M2

×iPλρ,αβ_k2 V

λρ₍_P

−k, P)Vµν,αβ(p′, p)

≈ −κ

2_M4

4 (ηµν −2δ

0

µδν0)(ηαβ−2δα0δβ0)Vµν,αβ(p′, p)

| {z }

iκ2₄_E2₋q2

2

×

Z _d4_k

(2π)4

1

k2₍_k₋_q₎2_[(_P ₋_k₎2₋_M2_]

| {z }

J≈32−Mi|q|

≈ −8π

2_G2_M3

|q_| 4E

2₋ q2

2

!

onde usamos as seguintes aproxima¸c˜oes

i_Pστ,µνVστ(P′, P −k) =

κ

2[P ′

µ(P −k)ν +Pν′(P −k)µ−ηµνM2]

≈ −κM

2

2 (ηµν−2δ

0

µδ0ν)

i_Pλρ,αβVλρ(P −k, P) =

κ

2[(P −k)αPβ+ (P −k)βPα−ηαβM

2_]

≈ −κM

2

2 (ηαβ−2δ

0

αδ0β)

(35)

P P ₋k P′ ₌_P ₋_q

k γδ

αβ k₋q ǫζ

λρ q

µν στ _p

p′ ₌_p₊_q

i_M(3) = i

Z _d4_k

(2π)4V

ǫζ₍_P′_{, P} ₋_k₎ iPǫζ,λρ

(k₋q)2

i

(P ₋k)2₋_M2

i_Pγδ,αβ

k2 V

γδ₍_P

−k, P)

×Vαβ,µν,λρ(k, q, k₋q)iPµν,στ

q2 V

στ₍_p′_{, p}₎

≈ κ

3_M4

8q2 (p′µpν+p′νpµ−ηµνm2)

×

Z _d4_k

(2π)4

(ηαβ −2δα0δ0β)Vαβ,µν,λρ(k, q, k−q)(ηλρ−2δλ0δρ0)

k2₍_k₋_q₎2_[(_P ₋_k₎2₋_M2_]

= κ

3_M4

8q2 (p′µpν+p′νpµ−ηµνm2)

Z _d4_k

(2π)4

iκ

k2₍_k₋_q₎2_[(_P ₋_k₎2₋_M2_]

×[2(2k_·q₋q2₋2k2)δ0µδν0 + 2qµqν −2kµkν +qµkν +qνkµ

+(k2₋k_·q)ηµν]

≈ κ

3_M4

8q2 (p

′

µpν+p′νpµ−ηµνm2)

κ

128M_|q_|(9q µ_qν

−q2ηµν₋q2δ0µδ0ν)

= −8π

2_G2_M3

|q_| −m

2

− p

2

4 + 7q2

16

!

P P ₋k P′ ₌_P ₋_q

k λρ αβ

k₋q στ µν

p p+k

(36)

P P ₋k P′ ₌_P ₋_q

k

λρ αβ k₋q στ µν

p p′₋_k

p′ ₌_p₊_q

i_M(4) = i

Z _d4_k

(2π)4V

στ₍_P′_{, P} ₋_k₎ iPστ,µν

(k₋q)2₋_µ2

i

(P ₋k)2₋_M2

i_Pλρ,αβ

k2₋_µ2

×Vλρ(P ₋k, P)Vµν(p′, p+k) i

(p+k)2₋_m2V

αβ₍_p₊_{k, p}₎

+i

Z _d4_k

(2π)4V

στ₍_P′_{, P} ₋_k₎ iPστ,αβ

(k₋q)2₋_µ2

i

(P ₋k)2₋_M2

i_Pλρ,µν

k2₋_µ2

×Vλρ₍_P ₋_{k, P}₎_Vµν₍_p′_{, p}′₋_k₎ i

(p′ ₋_k₎2₋_m2V

αβ₍_p′₋_{k, p}₎

≈ −iκ

2_M4

4 ×

(Z _d4_k

(2π)4

(ηµν −2δµ0δν0)Vµν(p′, p+k)(ηαβ −2δ0αδβ0)Vαβ(p+k, p)

(k2₋_µ2_)[(_k₋_q₎2₋_µ2_][(_P ₋_k₎2 ₋_M2_][(_p₊_k₎2₋_m2_]

+

Z _d4_k

(2π)4

(ηµν −2δµ0δν0)Vµν(p′, p′−k)(ηαβ −2δα0δβ0)Vαβ(p′−k, p)

(k2₋_µ2_)[(_k₋_q₎2₋_µ2_][(_P ₋_k₎2₋_M2_][(_p′₋_k₎2₋_m2_] )

≈ i64π2G2M4(2m2+ 4p2)2 _×

(Z _d4_k

(2π)4

1

(k2₋_µ2_)[(_k₋_q₎2₋_µ2_][(_P ₋_k₎2 ₋_M2_][(_p₊_k₎2₋_m2_]

+

Z _d4_k

(2π)4

1

(k2₋_µ2_)[(_k₋_q₎2₋_µ2_][(_P ₋_k₎2₋_M2_][(_p′₋_k₎2₋_m2_] )

≈ i64π2G2M4(2m2+ 4p2)2 (K+K′)

| {z }

≈₈_πMq−12_|p|ln |q|

µ

≈ −i8πG

2_M3

|p_|q2 (2m

2 _{+ 4}_p2₎2_ln|q|

µ

onde usamos

(ηµν−2δ0µδν0)Vµν(p′, p+k) = (ηαβ−2δα0δβ0)Vαβ(p+k, p) ≈

iκ

2 (2m

2_{+ 4}_p2₎

(ηµν−2δ0µδν0)Vµν(p′, p′−k) = (ηαβ −2δα0δβ0)Vαβ(p′−k, p) ≈

iκ

2 (2m

(37)

Assim conseguimos mostrar que at´e o n´ıvel de loop

M_{semicl´assica} ≈ Mefetiva

2M

ou seja, as duas teorias predizem o mesmo resultado no limite em que uma das massas envolvidas ´e muito grande [34].

4.3 Potencial em Ordem

G

2

Usando a defini¸c˜ao do potencial n˜ao-relativ´ıstico [18, 19]

V(r) =

Z _d3_q

(2π)3e

iq·r



 

i_Mtotal

4M√E′_E −

Z _d3_p′′ (2π)3

iM(1)₍_p′_,_p′′₎

4M√E′_E′′

iM(1)₍_p′′_,_p₎

4M√E′′_E

E₋E′′



 

E′₌_E

=

Z _d3_q

(2π)3e

iq·r

"

−4πGMm_q2 1 +

3p2

2m2 !

−i8πG

2_M2_m3

|p_|q2 ln

|q_|

µ

−6π

2_G2_M2_m

|q_| − −i

8πG2M2m3

|p_|q2 ln

|q_|

µ −

7π2G2M2m

|q_|

!#

onde o último termo é a subtra¸cão da segunda aproxima¸cão de Born. O potencial resultante é nada mais que o potencial não-relativ´ıstico em coordenadas harmônicas (ou seja, no gauge de de Donder empregado)

V(r) =₋GMm

r −

3GMp2

2mr +

G2_M2_m

(38)

Cap´ıtulo 5

Aplica¸

c˜

oes

5.1 Massa do f´

oton

Uma das primeiras aplica¸cões que podemos fazer é obtida já em primeira ordem de perturba¸cão: trata-se do cálculo da massa do fóton.

Igualando a se¸cão de choque do fóton massivo (Proca) obtida no Cap´ıtulo 2 para ângulos pequenos (apesar de que qualquer um dos resultados para part´ıculas massivas serviria igualmente, pois são idênticos neste limite, veja Tabela 2.1) e massas pequenas m_E _≪1

dσ dΩ ≈

₄_GM

θ2 2

1 + m

2

E2 !

e a bem conhecida aproxima¸cão clássica para a se¸cão de choque [22]

dσ dΩ ≈ −

b θ

db dθ

onde b é o parâmetro de impacto, obtemos um ângulo de desvio para part´ıculas massivas

θ= 4GM

b 1 + m2

2E2 !

que, comparado com o desvio cl´assico das part´ıculas (rasantes1_{) sem massa}_θ

c = 4GM_b

1_{Lembrando que} _θ ₌ 2GM

b (1 + cosφ) é o ângulo clássico de desvio para part´ıculas incidentes

em qualquer posi¸cão em rela¸cão à M [36], e que se reduz à θ = 4GM

b apenas no caso em que as

(39)

nos d´a um limite para a massa do f´oton [25]

m = 2πν

s

2∆θ θc

onde ∆θ =θ₋θc.

Esta expressão pode ser obtida classicamente (veja Apêndice C e referências [35, 36], ou ainda referência [37] para uma deriva¸cão heur´ıstica).

Usando os dados do desvio da luz [38] para uma freq¨uˆencia de ν = 2GHz

e igualando ∆θ/θc com o erro relativo 1.4×10−4, obtemos uma massa m = 1.4×

10−7_eV _{= 2}_.₅_×₁₀−41_g_{, um valor muito mais conservador do que o obtido por outros}

m´etodos para se estimar a massa do f´oton [39, 40].

5.2 Viola¸

c˜

ao do Princ´ıpio da Equivalˆ

encia

Se adotarmos agora a massa do fóton como exatamente nula, vamos encontrar modifica¸cões em rela¸cão ao caso clássico somente em segunda ordem de perturba¸cão. No Cap´ıtulo 3, conclu´ımos que as se¸cões de choque em segunda ordem possuem uma dependência expl´ıcita na energia da part´ıcula. Em particular, estas expressões (tanto para o caso da part´ıcula escalar sem massa quanto para o fóton) se reduzem para ângulos pequenos a

dσ dΩ ≈

₄_GM

θ2 2

1 + 15πGMEθ 8

!

.

Usando novamente a aproxima¸cão clássica da se¸cão de choque, obtemos o seguinte ângulo de desvio

θEf etiva =

4GM b +

60π2G3M3 λb2

v´alido2 _para _λ_≫_GM_{, e assim temos}

∆θ θc

= 15π

2_G2_M2

λb .

(40)

Por outro lado, podemos tamb´em calcular o desvio da luz no caso em que

λ_≪b, usando a Teoria Semiclássica através do método JWKB (veja Apêndice D e referências [42, 43]) obtendo

θJW KB =

4GM b +

λ2

32πb2

e portanto

∆θ θc

= λ

2

128πGMb.

Na Figura 5.1 temos ∆θ/θc em fun¸c˜ao de λ para o caso de part´ıculas rasantes

ao Sol, ou seja,GM_⊙ = 1.476625_×103_m _e_b ₌_R

⊙= 6.961×108m.

0 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05

0 20000 40000 60000 80000 100000

∆θ

/

θc

λ(m)

λ2

/(128πGMb) 15π2G2M2/(λb)

Figura 5.1: ∆θ/θc em fun¸c˜ao de λ(em metros).

Algumas observa¸c˜oes podem ser feitas aqui:

(41)

- Os efeitos s˜ao mais intensos a medida que λ se aproxima de 4π√3

30GM (no caso do Solλ = 5.7657_×104_m_{), contrariando o senso comum de que os efeitos}

quˆanticos gravitacionais surgem apenas em alt´ıssimas energias tais como a energia de Planck (EP lanck ∼1019GeV ouλP lanck ∼10−35m);

- Infelizmente para comprimentos de onda t´ıpicos, os efeitos são minúsculos, na verdade imposs´ıveis de serem detectados com a tecnologia atual (de fato, ∆θ/θc ∼10−17 para λ ∼0.1m, enquanto que a melhor precisão experimental

atual [38] ´e ∆θ/θc ∼10−4).

5.3 Lentes Gravitacionais

Nossa última aplica¸cão diz respeito às lentes gravitacionais. Na Figura 5.2 temos um esbo¸co da geometria envolvida.

M

b

θ

R

D

φ

(42)

5.3.1 Anel de Einstein

O tamanho (angular) clássico do Anel de Einstein pode ser facilmente obtido através da condi¸cão de alinhamento total [44]

θAnel = φ

4GM b ≈

b D

portanto b=√4GMD, e assim temos

θAnel= s

4GM D .

De maneira an´aloga obtemos para a Teoria Semicl´assica (JWKB)

θJW KB = s

4GM D +

λ2

256πGMD

e assim

∆θ θAnel

= λ

2

512π√G3_M3_D

válido para λ pequeno. Vemos então que as lentes gravitacionais são cromáticas, porém o efeito é minúsculo, pois para uma galáxia t´ıpicaM _∼1011_M

⊙ eD∼1010ly (e portanto θAnel ∼ 1 arcsec), e para uma freq¨uˆencia t´ıpica ν ∼ 1GHz temos

(43)

Cap´ıtulo 6

Ep´ılogo

´

E quase um consenso entre os f´ısicos que a Mecânica Quântica e a Relatividade Geral são os dois grandes pilares sobre os quais se assenta a F´ısica Moderna. No entanto, apesar dos hercúleos esfor¸cos despendidos por um número considerável de f´ısicos ilustres, não se conseguiu até agora a fusão destas duas teorias. Qual seria, ao menos em princ´ıpio, a causa principal desta incompatibilidade? Talvez a dificuldade conceitual de reconciliar uma teoria local, como a Relatividade Geral, com efeitos quânticos não locais ou, equivalentemente, de reconciliar o caráter local do Princ´ıpio da Equivalência Forte — Um observador ideal imerso em um campo gravitacional pode escolher um sistema de referência no qual a gravita¸cão passa desapercebida [45] — com o caráter não local do Princ´ıpio da Incerteza [46]. É digno de nota que este fato fundamental tem sido desprezado por um grande número de investi-gadores em sua cruzada pela Gravita¸cão Quântica. Por outro lado, os dois únicos caminhos de acesso à Gravita¸cão Quântica que fornecem uma descri¸cão matemática completa das propriedades quânticas do campo gravitacional, ou seja,String Theory e Loop Quantum Gravity, não foram ainda testados. Isto não é de causar espécie já que a escala de energia caracter´ıstica da Gravita¸cão Quântica é a energia de Planck, EP = 1019GeV, um valor que está tão longe do alcance experimental que

(44)

Neste trabalho, nos devotamos à análise da incompatibilidade existente entre o Princ´ıpio da Equivalência Fraco (universalidade da queda livre, ou igualdade das massas inercial e gravitacional) — considerado a pedra angular tanto da Gravita¸cão Newtoniana quanto da Relatividade Geral — e a Mecânica Quântica. É importante frisar, contudo, que a equivalência dos princ´ıpios da universalidade da queda livre (Princ´ıpio da Equivalência de Galileu) e da igualdade das massas inercial e gra-vitacional (Princ´ıpio da Equivalência de Newton), suposta válida no contexto das teorias gravitacionais acima mencionadas, não é suportada pela experiência. De fato, os experimentos em n´ıvel clássico que dão robustez ao último somente dão suporte limitado ao primeiro [44]. É conveniente, pois, que eles sejam tratados como princ´ıpios distintos. No dom´ınio quântico, todavia, as coisas são bastante diferentes: teoria e experiência concordam no que concerne à Equivalência de New-ton, mas ambas estão em desacordo com a Equivalência de Galileu. Realmente, usando um interferômetro de nêutrons, Colella, Overhauser e Werner [48] observa-ram que o deslocamento quanto-mecânico causado pela intera¸cão do nêutron com o campo gravitacional da Terra (suposto ser Newtoniano) era dependente da massa do nêutron. Esta notável experiência, conhecida por razões óbvias como experiência COW, confirma a idéia de que mI = mG (Equivalência de Newton). Por outro

(45)

Ao longo deste trabalho admitimos sempre a validade do Princ´ıpio da Equi-valência de Newton, e trabalhamos com a versão linearizada da gravita¸cão de Eins-tein, em vez da gravita¸cão de Newton. Encontramos, mesmo assim, já em primeira ordem de perturba¸cão, que as se¸cões de choque são distintas para part´ıculas de spins diferentes. Quando os cálculos são levados até a próxima ordem de perturba¸cão, as se¸cões de choque passam a depender explicitamente da energia, o que acarreta, con-seqüentemente, que tanto a deflexão gravitacional quanto o tamanho angular do anel de Einstein herdem esta dependência na energia. Certamente, isto também se aplica à Teoria Efetiva da Gravita¸cão na aproxima¸cão em que uma das massas é muito grande, pois, conforme mostramos, nesta aproxima¸cão ela é equivalente à Teoria Semiclássica. Isto nos permite afirmar com seguran¸ca que as teorias Semiclássica e Efetiva da Gravita¸cão são incompat´ıveis com o Princ´ıpio da Equivalência de Galileu e, portanto, com o Princ´ıpio da Equivalência Fraco. Estas viola¸cões da Equivalência Fraca que encontramos são, porém, muito pequenas. No caso da deflexão gravita-cional de fótons pelo Sol, os efeitos quânticos são da ordem de 10−17_arcsec _{, o que}

impede que eles sejam detectados com a tecnologia atual. Espera-se que, em meados de 2010, a precisão experimental concernente a medidas astronômicas atinja a casa dos nano₋arcsec [52], permitindo provavelmente a observa¸cão destes efeitos.

O que teria a teoria de cordas para nos dizer sobre a universalidade da queda livre? As cordas são objetos estendidos e como tal estão sujeitas a for¸cas de maré, e portanto não obedecem a este princ´ıpio.

(46)

Apˆ

endice A

Integrais em

3 D

A.1 C´

alculo de

I

,

I

i

e

I

ij

Vamos precisar da seguinte integral b´asica que pode ser calculada pelo m´etodo de res´ıduos [55]

lim

ǫ→0

Z _d3_k

[(k₋P)2_{+ Λ}2_](_p2₋_k2₊_iǫ₎ =

iπ2

P ln

p₋P +iΛ

p+P +iΛ

derivando em rela¸c˜ao `a Λ e aPi_{obtemos respectivamente (fica subentendido o limite}

ǫ_→0)

Z _d3_k

[(k₋P)2_{+ Λ}2_]2₍_p2₋_k2₊_iǫ₎ =

π2

Λ[(p+iΛ)2₋_P2_]

Z _ki_d3_k

[(k₋P)2_{+ Λ}2_]2₍_p2₋_k2₊_iǫ₎ = P

i (

π2

Λ[(p+iΛ)2₋_P2_]−

iπ2

2P3ln

p₋P +iΛ

p+P +iΛ

− iπ

2₍_p₊_i_Λ)

P2_[(_p₊_i_Λ)2₋_P2_] )

e ainda integrando a ´ultima equa¸c˜ao por Λ2 _obtemos

Z _ki_d3_k

[(k₋P)2_{+ Λ}2_](_p2₋_k2₊_iǫ₎ =

π2_Pi

P

Λ +ip P +i

p2₊_P2_{+ Λ}2

2P2 ln

p₋P +iΛ

p+P +iΛ

!

(47)

Z _ki_kj_d3_k

[(k₋P)2_{+ Λ}2_]2₍_p2 ₋_k2₊_iǫ₎ =

π2_δij

2P i

p2₊_P2_{+ Λ}2

2P2 ln

p₋P +iΛ

p+P +iΛ +Λ +ip

P

−π

2_Pi_Pj

2P

"

2(Λ +ip)

P3

+3i 2

p2₊_P2_{+ Λ}2

P4

!

lnp−P +iΛ

p+P +iΛ +i(p

2_{+ 3}_P2_{+ Λ}2₎₍_p₊_i_Λ)

P3_[(_p₊_i_Λ)2₋_P2_]

− 2P

Λ[(p+iΛ)2₋_P2_] #

.

As integrais necess´arias neste trabalho s˜ao da forma

(I, Ii, Iij) =

Z ₍₁_{, k}i_{, k}i_kj₎_d3_k

[(p′₋_k₎2₊_µ2_][(_p₋_k₎2₊_µ2_](_p2 ₋_k2₊_iǫ₎

que podem ser obtidas a partir das integrais anteriores atrav´es da identidade de Feynman 1 ab = Z 1 −1 dz 2 "

a(1 +z) +b(1₋z) 2

#₋2

agrupando-se os denominadores depep′tal queP= p+p′

2 +z

p−p′

2 ,P

2 ₌_p2_(cos2θ

2+

z2_sin2 θ

2) e Λ

2 ₌_p2₍₁₋_z2_{) sin}2 θ

2+µ

2 _{onde usamos}_p2 ₌_p′2

=p2 _e_p_·_p′ ₌_p2_cos_θ_.

As integrais finais são puramente algébricas, porém tediosas. O importante para nós é simplesmente o valor destas expressões no limite em queµ_→0, portanto

I _{≈ −} iπ

2

2p3_sin2 θ

2

ln2psin

θ

2

µ Ii ₌ (p′+p)i

2 J onde

J _≈ π

3

4p3_cos2 θ

2

1₋ 1 sin₂θ

!

− iπ

2

2p3_cos2 θ

2

ln µ 2p +

1 sin2 θ₂ ln

2psinθ

2

µ