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NÚMEROS COMPLEXOS: UM POUCO DE HISTÓRIA, ENSINO E APLICAÇÕES

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Academic year: 2017

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(1)

de História, Ensino e Apliações

por

Antnio Geraldo Laerda da Costa

(2)

por

Antnio Geraldo Laerda da Costa

sob a orientação do

Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo

Trabalho de Conlusão de Curso apresentado ao

CorpoDoentedoCursodePós-Graduaçãoem

Mate-mátiaemrede Naional-PROFMAT-DM-CCEN

- UFPB, omo requisito parial para a obtenção do

título de Mestreem Matemátia.

Agosto/2013

João Pessoa - PB

O presentetrabalho foirealizadoomoapoioda CAPES-CoordenaçãodeAperfeiçoamento de

(3)

Números complexos: um pouco de história, ensino e

aplicações / Antônio Geraldo Lacerda da Costa.-- João

Pessoa, 2013.

68f.

Orientador: Uberlandio Batista Severo

Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN

(4)
(5)

Gostaria de agradeer a Deus, que plantou em mimum sonho que hoje se

ma-terializa. O que seria de mim sem a fé que eu tenho Nele? Agradeer pode não

ser uma tarefa fáil, nem justa e para não orrer o riso da injustiça, agradeço de

antemãoatodosaquelesquede algumaformaontribuíramparaaonstruçãodesta

dissertação. Agradeço, partiularmente, a Uberlandio, meu ex-aluno, e agora meu

orientador por sua disposição, dediação e sabedoria nos enaminhamentos e

or-reções desta dissertação. Por m, agradeço tambémaos meus olegas, professores,

à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de NívelSuperior (CAPES) pelo

fo-mentoe,emespeial, atodaminhafamília. Ninguémvene sozinho... OBRIGADO

(6)

Dedio esta dissertação a toda minha

família,ompostapormeusverdadeiros

mestres,modelosreaisde perseverança,

(7)

Neste trabalho apresentamos as prinipais propriedades referentes aos números

omplexos. Justiamos omo a História da Matemátia pode ontribuir para a

aprendizagem desseonteúdo. Emseguida,desreveremosde formasuintaa

histó-riadosnúmerosomplexos. Mostramostambémondeosnúmerosomplexospodem

(8)

In this work we present the main results for the omplex numbers. We justify

how the Mathematis History an ontribute to learn this disipline. Next, we

desribebrieythehistoryoftheomplexnumbers. Wealsoshowwheretheomplex

(9)

1 Um Pouo de História 1

1.1 História daMatemátia e sua ontribuiçãopara o Ensino . . . 1

1.2 A História dos Números Complexos . . . 3

2 Os Números Complexos 12 2.1 O Corpo dos Números Complexos . . . 12

2.2 Representação Polar de um Número Complexo . . . 17

2.3 Propriedades eDesigualdades Importantes . . . 25

2.4 A Função Exponeniale suas Propriedades . . . 30

2.5 Algumas diferençasentre

R

e

C

. . . 34

2.5.1 O orpo

C

não é ordenado . . . 34

2.5.2 As funções seno eosseno denidas em

C

não são limitadaspor

1

35 2.5.3 Algumas equações que não possuem soluções reais . . . 38

3 Algumas Apliações 41 3.1 Reexõesde Espelhos. . . 41

3.2 O TeoremaFundamentalda Álgebra . . . 43

3.2.1 Comentários Iniiaise Preliminares . . . 43

3.2.2 A demonstração do teorema . . . 46

(10)
(11)

A teoria dos números omplexos é uma extensão naturalda teoria dos números

reais e éde fundamentalimportâniatantonoampodaprópriaMatemátia omo

emsuas apliações. Alémdisso,este onteúdo éparte integraldos urríulos atuais

da Matemátia noEnsino Médio sendo,portanto,básio para muitos ursos queos

alunos enfrentarão quando hegarem a uma universidade.

Este trabalho foi esrito om o intuito de atender as neessidades desses

estu-dantes. Areditamos que nas esolasbrasileiras, o onteúdo de númerosomplexos

não é visto de maneira ideal e, quando visto, a atenção é voltada às manipulações

algébrias que,pormuitas vezes,não apresentam sentido algumpara osaprendizes.

No Capítulo1 apresentamos uma abordagemhistória dos números omplexos,

desmestiando seu surgimento através daneessidade de se resolver a equação do

segundo grau

x

2

+ 1 = 0

. Além disso, são apresentadas algumas justiativas de

omo a História daMatemátia pode ontribuirpara o ensino desse onteúdo.

No Capítulo 2 denimos o orpo dos números omplexos e apresentamos as

suas prinipais propriedades. Mostramos omo os números omplexos podem ser

representados geometriamente tal omo suas operações. Denimos a exponenial

omplexa e demonstramos algumas de suas propriedades. Ademais, apresentamos

uma seção que mostra algumas diferenças entre os orpos dos números reais e dos

númerosomplexos.

(12)
(13)

Um Pouo de História

Neste apítulo,mostraremos omosurgiu a neessidadede estender o orpo dos

números reais para um onjunto maior, no sentido de, além de o onter, manter

válidas as propriedades das operações que dela já onheemos. Na primeira seção,

desreveremosejustiaremosomoaHistóriadaMatemátiapodeontribuirpara

a aprendizagem de um novo onteúdo. Já na segunda seção, ontaremos a história

dosnúmerosomplexos,rompendoomitodequeesteonjuntosurgiudaneessidade

de seresolver aequação quadrátia

x

2

+ 1 = 0

.

1.1 História da Matemátia e sua ontribuição para

o Ensino

Por muitas vezes, o ensino de Matemátia é assoiado a uma prátia de

o-nheimentos sem ontextualização, desvinulado da realidade e que, por isso, não

desperta a uriosidadeda maioriadas pessoas. Oíndie de reprovação e evasão em

váriosníveisdeensino queenvolvemessa disiplinaéaltoeissopode oorrerdevido

(14)

mais sobre o assunto que está sendo abordado, no intuito de forneer ao aprendiz

informações que podem ser relevantes e importantes para a aprendizagem daquela

matéria.

Aelaboraçãodos ParâmetrosCurriularesNaionais(PCN), quesãooresultado

de um movimento em âmbito naional, tendo omo meta organizar um urríulo

que insira o aluno na soiedade de formaonsiente, proura um ensino

interdisi-plinar que inentive o raioínio lógioe a apaidade de aprender. Sendo assim, é

neessário que haja uma proura por métodos inovadores de ensino-aprendizagem

apazes de melhoraro ensino de Matemátia.

Nesta direção,aHistória da Matemátiapode forneerao professorferramentas

das quaisfailiteatransmissão de uma ideia edesperte auriosidade doseu aluno.

Através dela, os professores têm a oportunidade de forneer aminhos alternativos

deenxergaraMatemátia,istoé,mostrarque,apesardeonheermosedivulgarmos

oonheimentomatemátio formalizadoeorganizado,elenão foionebidode uma

hora para outra emum úniomomento.

Com isso, o aluno pereberá que a Matemátia é feita na tentativa de resolver

problemas de ertas époas, possibilitando que elefaça uma omparação da

Mate-mátia queestá aprendendo hoje om a Matemátia daquele tempo. Eleonheerá

aspreoupaçõesvividaspordiferentes povosemdiferentesmomentosdahistóriada

humanidade. Ele entenderá que muitos matemátiospassaram por diferentes tipos

de diuldades e ada uma foi superada om muito esforço e dediação levando-os

a mudar suas visõessobre um determinado oneito.

Aseguir, resumimosinoitens quejustiam autilizaçãodaHistória da

Mate-mátia omo ferramentapedagógia:

(1) possibilita o eslareimento e o reforço de muitos oneitos que estão sendo

ensinados;

(15)

(3) reeteaspreoupaçõesprátiaseteóriasdasdiferentesulturasemdiferentes

momentos histórios;

(4) onstituiummeio deaferimentodahabilidadematemátiade nossos

antepas-sados;

(5) permite mostrar a existênia de uma analogia ou ontinuidade entre os

on-eitos e osproessos matemátios dopassadoe do presente.

Levando emonsideraçãoos motivosiniiais desta seção edas justiativasque

reforçamaideiadeutilizaraHistóriadaMatemátia paraummelhorentendimento

de um determinado assunto, desrevemos de modo breve a história dos números

omplexos.

1.2 A História dos Números Complexos

Uma equação algébria, omo é onheido nos dias atuais, é uma equação da

forma

P

= 0

, onde

P

é um polinmio om oeientes em um determinado orpo.

Resolver estes tipos de equações sempre esteve presente na Matemátia. Os

ma-temátios da Babilnia já onseguiam resolver algumas equações do segundo grau

baseado nométodode ompletamento de quadrados, omo onheemos hoje. Jáos

gregos, quedesempenharam um papelfundamentalpara odesenvolvimentoda

Ma-temátia,resolviamalgumasequaçõesdosegundograuutilizandoréguaeompasso.

Entretanto, om a onquista da Gréia por Roma, e o m do Império Romano e a

asensão doCristianismo,aEuropaentrounaIdadedasTrevaseodesenvolvimento

da Matemátia ou poronta dos árabese dos hindus.

Osmatemátioshindusavançaramnaspesquisassobreequaçõesdosegundograu

(16)

este tipode equaçãoe, sim,um matemátiohindu hamadoSridhara,noséulo XI.

Lembre-se que para resolver uma equação dotipo

ax

2

+

bx

+

c

= 0

, onde

a

6

= 0

, a

fórmula de Baskara garante quesuas raízes são dadas por

x

1

=

b

+

b

2

4

ac

2

a

e

x

2

=

b

b

2

4

ac

2

a

.

E, omo sabemos, dependendo da equação, pode oorrer do valor de

b

2

4

ac

ser

um número negativo. Porém, isso não perturbava os matemátios da époa, já

que quando issoaonteia, eles simplesmentearmavamque aequação não possuia

solução.

FoinoséuloXVIque aMatemátiaomeçou a ressurgirfortemente. Em

parti-ular, em meio auma disputaentre dois matemátios italianoshamadosGirolamo

Cardano e NiolòTartagliapara aresolução da equação dotereiro grau, é quese

perebeuainsuiêniadosnúmerosreaisparaexpliaralgumasteoriasqueestavam

surgindo eas primeirasideias sobre osnúmeros omplexos omeçarama apareer.

Cardano naseu em Pavia, em 1501 e falaeu em Roma, em 1576. Era um

ex-epional ientista e era onheido porser violento,traidoreinvejoso. Foiautorde

um livro hamado Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade

e também ensinou maneiras de trapaear em jogos. Sua maior obra, entretanto,

foi o Ars Magna,publiado naAlemanha em1545, que na époa era o maior

om-pêndio algébrio existente até então. Já Niolò Fontana, apelidado de Tartaglia,

era pratiamente o oposto de Cardano, tendo emomum apenas a naionalidadee

o talento matemátio. Naseu na Brésia em 1500 e, na infânia, foi gravemente

ferido por golpes de sabre. Por isso, ou om uma profunda iatriz na boa que

lheprovoou um defeito nafala. Daí,onome Tartaglia,que signiagago. Elenão

ou onheido por nenhuma obra extraordinária e, sim, pelas disputas que tinha

om Cardano.

(17)

enontrouuma fórmulaparaaobtenção das raízesdotereirograu

x

3

+

px

+

q

= 0

,

masmorreuantes depubliarsua desoberta. Entretando,seu alunoAntonioMaria

Fior onheia esta soluçãoe props a Tartaglia o desao de desobri-la. Tartaglia,

apesar de não saber resolver ainda tais equações, aeitou o desao. Porém, ele fez

mais. Não só deduziu a resolução para este aso, omo também resolveu equações

do tipo

x

3

+

px

2

+

q

= 0

.

Nesta époa, Cardano estava esrevendo um livro hamado Pratia

Arithmeti-ae Generalis, que ontinha ensinamentos sobre Álgebra, Aritmétia e Geometria.

Quando ele soube que Tartaglia havia obtido a solução geral das equações de

ter-eiro grau,pediu-lheparaquearevelasse,para queassimpudesse publiá-laemseu

próximolivro,oArs Magna. Entretanto,Tartaglianão aeitou,justiando que ele

próprio publiaria o resultado em um livro de sua autoria. Depois de muita

insis-tênia, Tartaglia aabou edendo a resolução para Cardano que, omo prometido,

publiouemseu livroomoseoresultadofosseseu,fazendojusaoseuonheido

ad-jetivodetraidor. Atéhoje,taisfórmulassãoonheidasomofórmulas deCardano.

Vejamos omo obter taisfórmulas.

Considere primeiramenteuma equação dotereiro grau,agora do seguintetipo:

x

3

+

ax

2

+

bx

+

c

= 0

.

Vamos mostrar que qualquer equação om este aspeto, pode ser transformada em

uma equação sem o termo de segundo grau:

y

3

+

py

+

q

= 0

.

Com efeito, se

a

= 0

, então não há nada para fazer. Agora suponha que

a

6

= 0

(18)

eliminar ooeiente que aompanhao termo de segundo grau. Assim,

x

3

+

ax

2

+

bx

+

c

= (

y

m

)

3

+

a

(

y

m

)

2

+

b

(

y

m

) +

c

= (

y

m

)

2

(

y

m

) +

a

(

y

2

2

ym

+

m

2

) +

by

bm

+

c

=

y

3

my

2

2

y

2

m

+ 2

ym

2

+

ay

2

2

aym

+

am

2

+

by

bm

+

c

=

y

3

+ (

a

3

m

)

y

2

+ (2

m

2

2

am

+

b

)

y

+ (

am

2

bm

+

c

)

.

Esolhendo

m

=

a

3

, temos que

a

3

m

=

a

3

·

a

3

=

a

a

= 0

e, portanto, saberemos resolver equações do tereiro grau se soubermos resolver

equações do tipo

x

3

+

px

+

q

= 0

. A ideia de Tartaglia foi supor que a solução

prourada era dotipo

x

=

A

+

B

.

De fato, seja

x

3

+

px

+

q

= 0

uma equação do tereiro grau. Suponha que

x

=

A

+

B

seja uma soluçãodesta e veja que

x

3

= (

A

+

B

)

3

=

A

3

+

B

3

+ 3

A

2

B

+ 3

AB

2

=

A

3

+

B

3

+ 3

AB

(

A

+

B

)

=

A

3

+

B

3

+ 3

ABx.

Desde que

x

3

= (

p

)

x

+ (

q

)

e

x

3

=

A

3

+

B

3

+ 3

ABx

, segue que

3

AB

=

p

e

A

3

+

B

3

=

q

e, portanto,

A

3

B

3

=

p

3

27

e

A

(19)

Agora,noteque

A

3

e

B

3

sãoasraízesdaequaçãodosegundograu

x

2

+

qx

p

3

27

= 0

.

De fato,

(

A

3

)

2

q

·

A

3

p

3

27

=

A

6

(

A

3

+

B

3

)

A

3

+

A

3

B

3

=

A

6

A

6

B

3

A

3

+

A

3

B

3

= 0

.

De forma análoga,temos que

(

B

3

)

2

q

·

B

3

p

3

27

=

B

6

(

A

3

+

B

3

)

B

3

+

A

3

B

3

=

B

6

A

3

B

3

B

6

+

A

3

B

3

= 0

.

Entretanto, pela fórmula de Baskara, temos que as raízes desta equação são dadas

por

x

1

=

q

+

r

q

2

+

4

p

3

27

2

=

q

2

+

r

q

2

4

+

4

p

3

4

·

27

=

q

2

+

r

q

2

2

+

p

3

3

.

e

x

2

=

q

r

q

2

+

4

p

3

27

2

=

q

2

r

q

2

4

+

4

p

3

4

·

27

=

q

2

r

q

2

2

+

p

3

3

.

Portanto,

A

3

=

q

2

+

r

q

2

2

+

p

3

3

e

B

3

=

q

2

r

q

2

2

+

p

3

3

(20)

Logo,

A

=

3

s

q

2

+

r

q

2

2

+

p

3

3

e

B

=

3

s

q

2

r

q

2

2

+

p

3

3

.

Como

x

=

A

+

B

,segue que

x

=

3

s

q

2

+

r

q

2

2

+

p

3

3

+

3

s

2

q

r

q

2

2

+

p

3

3

.

(1.1)

Apliaremosafórmulade Cardano para obtenção das raízes daequação do

ter-eiro grau a seguir. Tal equação foi a que levou os matemátios a desobrirem os

númerosomplexos. Consider aequação

x

3

15

x

4 = 0

.

Mostraremos quetodas astrês raízesda equaçãoaimasão reais. Defato, noteque

x

= 4

é solução daequação, já que

4

3

15

·

4

4 = 64

60

4 = 64

64 = 0

.

Assim, dividindo

x

3

15

x

4

por

x

4

,podemos esrever que

x

3

15

x

4 = (

x

4)(

x

2

+ 4

x

+ 1)

.

Porsua vez,

x

2

+ 4

x

+ 1

tem suas duas soluções reais, quaissejam,

x

=

4

±

12

2

.

(21)

dada por

x

=

3

q

2 +

121 +

3

q

2

121

,

onsiderando

q

=

4

e

p

=

15

.

Assim,questõesomoessa surgiramenãopodiamserignoradas. Alémda

extra-ção de raízesde númerosnegativos,surgiamagora problemasomoenontrar raízes

úbias de números de natureza não onheida. Quando, nas equações do segundo

grau, a fórmula de Baskara nos davaraízes onde apareiam númerosnegativos, era

fáil dizer que a solução de tal equação não existia. Porém, om este exemplo,

nota-se que existem equações do tereiro grau om soluções reais onheidas, mas

uja determinação dessas, usando a fórmula (1.1), passa por extração de raízes de

númerosnegativos.

Nãohaviaomo negarainsuiêniados númerosreais parasetratar das

equa-çõesdotereirograu. Oqueestava aonteendo naquelaépoa, eraalgosemelhante

ao que aonteeu om os gregos antigos, quando se verioua insuiênia dos

nú-meros raionais om a onstrução do número

2

, ou seja, o oneito dos números

reais preisavaser estendido de formaasanar este problema.

Foi o italiano Rafael Bombelli que, em 1530, onseguiu resolver estas

ques-tões. De aordo om o seu relato em 1572, no livro L'Algebra parte maggiore

dell'Arithmetia,suaideiafoitratarosnúmeros

3

p

2 +

121

e

3

p

2

121

omo

se fossem números daforma

a

+

b

e

a

b

, respetivamente. Como veremos

a seguir, elehegou a onlusão de que

a

deveria ser

2

e

b

igual a

1

.

Suponhaque

1

sejaum númeroonheidoeque,om ele,opera-sedomesmo

modoqueom os outros númerosreais. Veriquemos que

(22)

Com efeito, veja que

(2 +

1)

3

= (2 +

1)

2

(2 +

1)

= (4 + 4

1

1)(2 +

1)

= (3 + 4

1)(2 +

1)

= 2 + 11

1

= 2 +

121

.

Analogamente, veria-se que

(2

1)

3

= 2

121

.

Depoisde Bombelli,outros personagenshistóriosdaMatemátia deram

ontri-buiçõessigniativasparaodesenvolvimentodateoriadosnúmerosomplexos. Um

deles foi o matemátio franês Abraham Moivre que inlusive possui uma fórmula

om seu nome. Além dele, osirmãos Bernoulli,Jaques Bernoullie Jean Bernoulli,

tambémpossuemumpapelfundamentalnestateoria. Masquemfezotrabalhomais

importantee deisivo foi o suíço Leonhard Euler.

Euler naseu em 1707 na Basiléia, quando o Cálulo Diferenial e Integral,

in-ventado por Isaa Newton e Gottfried Leibniz estava em expansão. Foi um dos

matemátios que mais publioue produziu emtodos os tempos. Aos 28 anos,

per-deu a visão de seu olho esquerdo e viveu totalmente ego os seus últimos 18 anos

de vida. Apesar disso, ontinuou trabalhando e produzindo. Seu nome é ligado

ao número de Euler

e

que é um dos números irraionais mais importantes e está

bastanteligado afenmenos físiosde grandeimportânia.

Muitasdasnotaçõesqueusamosatéhojenateoriadosnúmerosomplexos,

deve-se a Euler. Ele introduziu, por exemplo, a notação

i

para a expressão

1

. Ele

passouaestudarnúmerosdaforma

a

+

b

1 =

a

+

bi

,onde

a

e

b

sãonúmerosreais,

pondo

i

2

=

1

(23)

são utilizadosaté hojeemdiversosampos,nãosódaMatemátia,masomoFísia,

(24)

Os Números Complexos

Nesteapítulo,vamosestudarasprinipaispropriedadesdosnúmerosomplexos.

Para uma abordagemmais geral e mais ompleta, onsulte [1, 7,9℄ e[13℄.

2.1 O Corpo dos Números Complexos

Vamos estudar aquiexpressões da forma

a

+

bi

, onde

a

e

b

são números reais e

i

2

=

1

,omoEulerofez. Énatural,portanto,onsiderarmosumaorrespondênia

entre

a

+

bi

e opar ordenado

(

a, b

)

R

2

.

O onjunto dos números omplexos, denotado por

C

, é denido omo sendo o

onjunto

R

2

munido das operações de adição vetorial, multipliação por esalar e

uma operação de multipliação, ouseja,

(a)

(

x

1

, y

1) + (

x

2

, y

2) = (

x

1

+

x

2

, y

1

+

y

2)

,

(b)

λ

(

x, y

) = (

λx, λy

)

,

()

(

x

1

, y

1)

·

(

x

2

, y

2) = (

x

1

x

2

y

1

y

2

, x

1

y

2

+

x

2

y

1)

.

para quaisquer

x

1

, x

2

, y

1

, y

2

, x, y, λ

R

. Diremos que o eixo das absissas é o eixo

(25)

por

(

x,

0)

e por

i

o ponto doplano artesiano

(0

,

1)

. Assim,

(

x, y

) = (

x,

0) + (0

, y

) = (

x,

0) +

y

(0

,

1) =

x

+

yi,

para todos

x, y

R

. Consequentemente, temos que

iy

= (0

,

1)

·

(

y,

0) = (0

·

y

1

·

0

, y

·

1 + 0

·

0)

= (0

, y

)

=

y

(0

,

1)

=

yi

e de fato

i

2

=

i

·

i

= (0

,

1)

·

(0

,

1) = (

1

,

0) =

1

.

Assim,

iy

=

yi

paraqualquer númeroreal

y

e

i

2

=

1

,

omojáesperávamos. Então,

todo

z

C

pode ser esritosob aforma

z

=

x

+

iy

=

x

+

yi,

onde

x

e

y

são números reais. Com isso, podemos denir soma, multipliação por

esalar e multipliaçãode números omplexosdaseguintemaneira:

(1) Soma:

(

x

1

+

iy

1) + (

x

2

+

iy

2) = (

x

1

+

x

2) +

i

(

y

1

+

y

2)

,

(2) Multipliação por esalar:

λ

(

x

+

iy

) =

λx

+

λiy

,

(3) Multipliação:

(

x

1

+

iy

1)

·

(

x

2

+

iy

2) =

x

1

x

2

y

1

y

2

+

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1)

,

(26)

PSfragreplaements

z

+

w

z

x

1

1

w

Figura 2.1: Interpretação geométria dasoma entre dois números omplexos.

PSfragreplaements

z

λz

y

x

1

1

Figura2.2: Interpretaçãogeométriadamultipliaçãodeumnúmeroesalarpositivo

porum número omplexo.

Vamos desrever eprovar taispropriedades atravésda próximaproposição.

Proposição 1. Para quaisquer números omplexos

z

=

x

1

+

iy

1

,

w

=

x

2

+

iy

2

e

s

=

x

3

+

iy

3

valem asseguintes igualdades:

(i)

(

zw

)

s

=

z

(

ws

)

,ou seja,a multipliação de números omplexosé assoiativa.

(ii)

zw

=

wz

, ouseja, amultipliação de números omplexos éomutativa.

(iii)

z

(

w

+

s

) =

zw

+

zs

, ou seja, a multipliação de números omplexosé

(27)

Demonstração: Provaremos apenas a omutatividade, já que os outros itens

se-guem analogamente. De fato,por um lado temos que

zw

= (

x

1

+

iy

1)

·

(

x

2

+

iy

2)

=

x

1

x

2

y

1

y

2

+

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1)

e por outro

wz

= (

x

2

+

iy

2

)

·

(

x

1

+

iy

1

)

=

x

2

x

1

y

2

y

1

+

i

(

x

2

y

1

+

x

1

y

2)

=

x

1

x

2

y

1

y

2

+

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1

)

,

o que provaa igualdade.

Vejamos agora algumas observações. Além das propriedades já menionadas

anteriormente, ainda temos duas muito importantes. A primeira diz respeito ao

elemento neutrodamultipliaçãode númerosomplexos. A saber, opar

(1

,

0)

é tal

que

(1

,

0)

·

(

x, y

) = (

x, y

)

para qualquer

(

x, y

)

R

2

. Com efeito,

(1

,

0)

·

(

x, y

) = (1

·

x

0

·

y,

1

·

y

+ 0

·

x

)

= (

x, y

)

.

A segundapropriedadeésobreoinverso multipliativo. Dadoumnúmeroomplexo

z

C

não nulo, sempreexiste

w

C

tal que

(28)

De fato, dado

z

=

a

+

ib

om

a

+

b

6

= 0

,o elemento

w

z

1

=

a

a

2

+

b

2

i

b

a

2

+

b

2

é talque

z

·

w

=

w

·

z

= 1

. Istoé omprovado om osálulos aseguir:

z

·

w

= (

a

+

ib

)

·

a

a

2

+

b

2

i

b

a

2

+

b

2

=

a

2

a

2

+

b

2

+

b

2

a

2

+

b

2

+

i

a

2

ab

+

b

2

+

ab

a

2

+

b

2

=

a

2

+

b

2

a

2

+

b

2

= 1

.

Note que a igualdade dos números omplexos

a

+

ib

=

x

+

iy

signia

a

=

x

e

b

=

y

, já que isso nada mais é do que uma igualdade de oordenadas. Além disso,

o elemento

0

C

seesreve uniamentesob a forma

0 +

i

0

e teremos

a

+

ib

= 0

se,

e somente se

a

=

b

= 0

.

Comtodas aspropriedadesprovadas até aqui, podemos onluirqueo onjunto

dos números omplexosé um orpo,ouseja,

C

é um onjunto não vazio munidode

duas operações,

+

e

·

,taisque valem as seguintes propriedades:

(

S

1

)

x

+ (

y

+

z

) = (

x

+

y

) +

z

, para todos

x, y, z

C

.

(

S

2

) Existeumelementoem

C

,denotadopor

0

,talque

x

+ 0 = 0 +

x

=

x

,hamado

elemento neutro da adição.

(

S

3

) Para todo

x

C

, existe

y

C

tal que

x

+

y

=

y

+

x

= 0

e esse elemento

y

é

denotado por

x

.

(

S

4

)

x

+

y

=

y

+

x

, para todo

x, y

C

.

(29)

(

M

2

) Existe um elementoem

C

, denotado por

1

talque

x

·

1 = 1

·

x

=

x

, para todo

x

C

, hamadoelemento neutro da multipliação.

(

M

3

) Para todo

x

6

= 0

em

C

, existe

y

C

talque

x

·

y

=

y

·

x

= 1

e talelementoé

denotado por

x

1

.

(

M

4

)

x

·

y

=

y

·

x

, para todo

x, y

C

.

(

SM

)

x

·

(

y

+

z

) =

x

·

y

+

x

·

z

, para todos

x, y, z

C

.

Note que o onjunto dos números omplexos ontém o onjunto dos números

reais, jáqueomotodonúmeroomplexoseesreveomo

a

+

ib

, om

a

e

b

números

reais, podemos tomar

b

= 0

e variando o número real

a

, onseguimos todos os

númerosreais.

Temos, portanto, a seguinte inlusão de onjuntos estabeleida:

R

C

.

Mos-traremos algumas diferenças entre o onjunto dos números reais e o onjunto dos

númerosomplexos naSeção 2.5deste apítulo.

2.2 Representação Polar de um Número Complexo

Dado um número omplexo

z

=

a

+

ib

, diremos que

a

é a parte real e

b

é a

parte imagináriadonúmeroomplexo

z

. Denotamosaspartesrealeimagináriapor

a

= Re(

z

)

e

b

= Im(

z

)

, respetivamente. Com isso, todonúmero omplexo

z

pode

ser esritoomo

z

= Re(

z

) +

i

Im(

z

)

.

Por essa razão, na representação geométria de um número omplexo, hamamos

o eixo dos

x

's de eixo real e o eixo dos

y

's de eixo imaginário. Assim, o número

(30)

PSfragreplaements

a

b

i

Figura2.3: Representação geométria de

z

=

a

+

ib

Para entender isso, vamos esrevê-los emsua forma polar. Lembre-se que a norma

de um vetor

(

a, b

) =

a

+

ib

édenida por

|

z

|

:=

a

2

+

b

2

.

Suponha que este vetor faz um ângulo

θ

om a direção positiva do eixo real, onde

0

θ

2

π

, omo nos mostra a Figura 2.4. Daí, omo

a

=

|

z

|

cos

θ

e

b

=

|

z

|

sen

θ

,

PSfragreplaements

z

θ

|

z

|

(31)

temos que

a

+

ib

=

|

z

|

cos

θ

+

i

|

z

|

sen

θ

=

|

z

|

(cos

θ

+

i

sen

θ

)

,

queéhamadarepresentação polardonúmeroomplexo

z

=

a

+

ib

. Oomprimento

de

z

é denotado por

r

e é hamado módulo do número omplexo

z

. O ângulo

θ

é

hamadoargumento donúmero omplexo

z

eesreveremos

θ

= arg(

z

)

.

Por exemplo,onsidere o número omplexo

z

= 1 +

i

. Então, seu módulo é

|

z

|

=

1

2

+ 1

2

=

2

.

Como

1 +

i

= (1

,

1)

seenontranoprimeiroquadrante, nãoédifíilverque

θ

=

π/

4

e, portanto, sua representação polaré

1 +

i

=

2

cos

π

4

+

i

sen

π

4

.

Agora, sejam

z

1

=

x

1

+

iy

1

e

z

2

=

x

2

+

iy

2

números omplexos. Esreva-os

em suas respetivas formas polares, ou seja, sejam

z

1

=

r

1(cos

θ

1

+

i

sen

θ

1)

e

z

2

=

r

2(cos

θ

2

+

i

sen

θ

2)

. Então,

z

1

·

z

2

=

r

1

(cos

θ

1

+

i

sen

θ

1)

·

r

2(cos

θ

2

+

i

sen

θ

2)

=

r

1

r

2

[(cos

θ

1

cos

θ

2

sen

θ

1

sen

θ

2) +

i

(cos

θ

1

sen

θ

2

+ cos

θ

2

sen

θ

1)]

=

r

1

r

2

[cos(

θ

1

+

θ

2) +

i

sen(

θ

1

+

θ

2)]

,

usando soma de aros. Com isso, temos que

(32)

Assim, usando (1) e (2) podemos responder a pergunta feita de omo representar

geometriamente a multipliação de dois números omplexos. Para tanto, basta

multipliaro módulo do primeiro número omplexo pelo segundo e somar seus

ar-gumentos. Conrmaa Figura2.5, ondese vê que

z

1

·

z

2

fazpara

z

2

omesmoque

z

1

faz para

1

.

00

00

11

11

00

00

11

11

PSfragreplaements

0

1

z

1

z

2

z

1

z

2

α

|

z

1

||

z

2

|

|

z

1

|

α

|

z

2

|

Figura 2.5: Interpretação geométria da multipliação entre dois números

omple-xos.

Denimosoonjugadodeum númeroomplexo

z

=

a

+

ib

omosendoonúmero

omplexo

z

=

a

ib.

Observa suarepresentaçãogeométrianaFigura2.6. Maistarde, provaremosvárias

propriedades referentes aoonjugado de um número omplexoe sua relação om o

númeroomplexo queo determina. Agora, vamos usá-lo para mostrarque

z

1

z

2

=

r

1

r

2

[cos(

θ

1

θ

2

) +

i

sen(

θ

1

θ

2

)]

,

onde

z

1

=

r

1(cos

θ

1

+

i

sen

θ

1

)

e

z

2

=

r

2(cos

θ

2

+

i

sen

θ

2)

. Para isso, usaremos um

(33)

PSfragreplaements

z

¯

z

Figura2.6: Representação geométria doonjugado

z

de um número omplexo

z

.

porseu onjungado

z

? Vejamos:

z

·

z

= (

a

+

ib

)

·

(

a

ib

)

=

a

2

iab

+

iab

+

b

2

=

a

2

+

b

2

=

|

z

|

2

.

Dessa forma,

z

1

z

2

=

z

1

z

2

·

z

2

z

2

=

z

1

z

2

|

z

2

|

2

.

Mas

z

1

z

2

|

z

2

|

2

=

r

1

r

2

r

2

2

(cos

θ

1

+

i

sen

θ

1

)(cos

θ

2

i

sen

θ

2

)

=

r

1

r

2

[cos

θ

1

cos

θ

2

+ sen

θ

1

sen

θ

2

+

i

(sen

θ

1

cos

θ

2

cos

θ

1

sen

θ

2)]

(34)

omo queríamos. Assim, (1')

z

1

z

2

=

|

z

1

|

|

z

2

|

, (2')

arg

z

1

z

2

= arg(

z

1

)

arg(

z

2

)

.

Assim, para representar a divisão entre dois números omplexos, basta usar os

re-sultados de (1') e (2'), ou seja, a representação geométria da divisão entre dois

númerosomplexosédeterminadapeladivisãode seusmódulosedadiferençaentre

seus argumentos.

Podemos agora nos perguntar, o que signia multipliar um número omplexo

por

i

. Já vimosque geometriamenteo ponto

i

éo vetor denido pelaseta que vai

da origem até o ponto

(0

,

1)

, ou seja, é um número omplexo unitário que possui

argumento igual a

π/

2

. Por isso, a multipliação desse número por um número

omplexo qualquer signiasomar

90

graus aoargumentodesse outro número,pois

se

z

=

a

+

ib

C

,então

iz

=

i

(

a

+

ib

) =

b

+

ia

omo nos mostra a Figura2.2. Porisso, multipliar

z

por

i

2

=

i

·

i

signiagirá-lo

duas vezes de um ângulo reto positivo, já que

i

2

z

= (

1)

z

, omo nos mostra a

Figura 2.2.

A seguir,provaremos a fórmula de De Moivre.

Proposição 2. (Fórmula de De Moivre) Se

z

=

r

(cos

θ

+

i

sen

θ

)

e

n

é um

númeronatural,então

z

n

=

r

n

[cos(

) +

i

sen(

)]

.

Demonstração: Vamos provaresta igualdade usandoinduçãosobre

n

. Se

n

= 1

,

então

(35)

PSfragreplaements

z

y

iz

Figura 2.7: Multipliaçãode um número omplexopelofator

i

.

00

00

11

11

00

00

11

11

PSfragreplaements

z

y

iz

i.i.z

=

z

0

1

x

i

Figura2.8: Multipliação de um númeroomplexo por

i

2

.

(36)

n

eprovemos para

n

+ 1

. Com efeito, temosque

z

n

+1

=

z

n

·

z

=

r

n

[cos(

) +

i

sen(

)]

·

r

(cos

θ

+

i

sen

θ

)

=

r

n

+1

[cos(

) cos

θ

sen(

) sen

θ

+

i

(cos(

) sen

θ

+ sen(

) cos

θ

)]

=

r

n

+1

[cos((

n

+ 1)

θ

) +

i

sen((

n

+ 1)

θ

)]

.

Assim, afórmulaé válida para

n

+ 1

e, portanto, para todo

n

N

.

Exemplo 1. Seja

w

C

. Vamos resolvera seguinte equação

z

n

=

w

(2.1)

Para resolver a equação (2.1), usaremos a fórmula de De Moivre. Sejam

w

=

r

(cos

θ

+

i

sen

θ

)

e

z

=

ρ

(cos

ψ

+

i

sen

ψ

)

. Então, pelafórmulade De Moivre,temos

que

z

n

=

ρ

n

(cos(

) +

i

sen(

))

.

Como

z

n

=

w

, segue que

ρ

n

cos(

) =

r

cos

θ

e

ρ

n

sen(

) =

r

sen

θ

e, portanto,

ρ

n

=

r

e

=

θ

+ 2

kπ,

, onde

k

Z

. Logo,

z

=

r

1

/n

cos

θ

n

+

2

n

+

i

sen

θ

n

+

2

n

.

Para

k

= 0

,

1

,

2

, . . . , n

1

temos

n

valores distintos para

z

.

Este exemplo nos permite alular o que hamamos raízes da unidade, ou seja,

alular asraízes de uma equaçãodo tipo

(37)

para algum

n

N

. Para resolver este problema, proedemos da mesma formaque

aima e obtemos

n

valores distintos para

z

omo raiz desta equação. Por exemplo,

suponha que

n

= 8

. Então, amos om a equação

z

8

= 1

e deveremos ahar oito

valoresdistintospara

z

deformaqueessesvaloressatisfaçamaequação(2.2). Temos

que o argumentodonúmero omplexo

1

éigual a

0

eseu módulo iguala

1

. Assim,

duas das oitoraízes desta equaçãosão

z

0

= 1

e

z

1

= 1

·

cos

0

8

+

2

π

8

+

i

sen

0

8

+

2

π

8

= cos

π

4

+

i

sen

π

4

.

Omais interessante emequações dessa natureza, é que as raízes são obtidas da

anterior,rodandoumângulode

2

π

n

nosentidoanti-horário. Destamaneira,asraízes

n

-ésimadaunidade são preisamenteosvérties de um polígonoregularinsrito na

irunferênia de raio

1

e entro na origem, tendo omo um dos vérties o ponto

(1

,

0)

,em que

1

ésempre aprimeiraraiz daequação. VejaaFigura 2.9parao aso

da equação

z

8

= 1

.

Aseguir,vamosdemonstraralgumaspropriedadesqueenvolvemmóduloe

onju-gadode umnúmeroomplexoealgumasdasprinipaisdesigualdadessobrenúmeros

omplexos.

2.3 Propriedades e Desigualdades Importantes

Apróximaproposiçãodizrespeito avárias igualdadesenvolvendo números

(38)

PSfragreplaements

1

θ

1

=

2

8

π

=

π

4

Figura2.9: As raízes daequação

z

8

= 1

.

Proposição 3. Para quaisquer números omplexos

z

e

w

, sempre são válidas as

seguintes propriedades:

(i)

z

+

w

=

z

+

w

.

(ii)

z

·

w

=

z

·

w

.

(iii)

z/w

=

z/w

, onde

w

6

= 0

.

(iv)

z

·

z

=

|

z

|

2

e,se

z

6

= 0

, então

z

1

=

z/

|

z

|

2

.

(v)

z

=

z

z

R

.

(vi)

z

=

z

.

(vii)

Re(

z

) =

z

+

z

2

e

Im(

z

) =

z

z

(39)

Demonstração: Veja que

z

+

w

= (

x

1

+

iy

1) + (

x

2

+

iy

2) =

x

1

+

x

2

+

i

(

y

1

+

y

2

)

=

x

1

+

x

2

i

(

y

1

+

y

2)

= (

x

1

iy

1) + (

x

2

iy

2)

=

z

+

w.

Isto prova (i). Agora, onsideremos (ii). Por um lado, temos que

z

·

w

= (

x

1

+

iy

1)

·

(

x

2

+

iy

2) =

x

1

x

2

y

1

y

2

+

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1)

=

x

1

x

2

y

1

y

2

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1)

e por outro

z

·

w

= (

x

1

+

iy

1)

·

(

x

2

+

iy

2) = (

x

1

iy

1)

·

(

x

2

iy

2)

=

x

1

x

2

y

1

y

2

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1)

.

Isto estabelee a igualdade. Passemos agorapara atereira propriedade. Para isso,

provamos primeiro (vi). De fato,

z

= (

a

+

ib

) =

a

ib

=

a

(

ib

)

=

a

+

ib

=

z.

(40)

Istoprova(iii). Notequenasegundaigualdadeusamos(iv),quejátínhamosprovado

anteriormente. Resta-nos provar (v) e (vii). Veja que

z

=

z

, então

a

+

ib

=

a

ib

e, portanto,

b

=

b

, o que aarreta que

b

é identiamente nulo. Finalmente, para

provar(vii),basta alularmos

z

+

z

2

=

a

+

ib

+

a

ib

2

=

2

a

2

=

a

= Re(

z

)

e

z

z

2

i

=

a

+

ib

a

+

ib

2

i

=

2

bi

2

i

=

b

= Im(

z

)

,

omo queríamos.

Para nalizar esta seção, provaremos algumas identidades e desigualdades

im-portantes.

Proposição 4. Para quaisquer números omplexos

z

e

w

, sempre são válidas as

seguintes propriedades:

(i)

|

z

·

w

|

=

|

z

| · |

w

|

.

(ii)

|

z/w

|

=

|

z

|

/

|

w

|

,se

w

6

=

.

(iii)

|

Re(

z

)

| ≤ |

z

|

e

|

Im(

z

)

| ≤ |

z

|

.

(iv)

|

z

|

=

|

z

|

.

(v)

|

z

+

w

| ≤ |

z

|

+

|

w

|

.

(vi)

|

z

w

| ≥ ||

z

| − |

w

||

.

Demonstração: Provaremos apenas as propriedades (v) e (vi). Para mostrar a

desigualdade (v), usaremos algumas das propriedades da proposição anterior e os

(41)

temos que

|

z

+

w

|

2

= (

z

+

w

)(

z

+

w

) = (

z

+

w

)(

z

+

w

)

=

zz

+

zw

+

zw

+

ww

=

|

z

|

2

+

zw

+

zw

+

|

w

|

2

=

|

z

|

2

+ 2 Re(

zw

) +

|

w

|

2

≤ |

z

|

2

+ 2

|

zw

|

+

|

w

|

2

=

|

z

|

2

+ 2

|

z

||

w

|

+

|

w

|

2

=

|

z

|

2

+ 2

|

z

||

w

|

+

|

w

|

2

= (

|

z

|

+

|

w

|

)

2

.

Extraindo a raiz quadrada em ambos osmembros da desigualdade aima, obtemos

o resultado. Agora, para provar(vi), observe, pelapropriedade (v),que temos que

|

z

|

=

|

z

w

+

w

| ≤ |

z

w

|

+

|

w

|

e, portanto,

|

z

| − |

w

| ≤ |

z

w

|

. Poroutro lado,

|

w

|

=

|

z

w

z

| ≤ |

z

w

|

+

|

z

|

e, portanto,

|

w

| − |

z

| ≤ |

z

w

|

. Assim

−|

z

w

| ≤ |

z

| − |

w

| ≤ |

z

w

|

,

donde segue

(

vi

)

.

A propriedade (iv) é onheida omo desigualdade triangular. Taldesigualdade

(42)

são númerosomplexos, então

|

z

1

+

z

2

+

z

3

| ≤ |

z

1

+

z

2

|

+

|

z

3

|

,

onde apliamos adesigualdade triangularpara as parelas

z

1

+

z

2

e

z

3

. Novamente

apliando a desigualdadetriangularpara

z

1

e

z

2

, teremos que

|

z

1

+

z

2

|

+

|

z

3

| ≤ |

z

1

|

+

|

z

2

|

+

|

z

3

|

,

ou seja,valeadesigualdade tringularpara três númerosomplexos:

|

z

1

+

z

2

+

z

3

| ≤ |

z

1

|

+

|

z

2

|

+

|

z

3

|

.

(2.3)

Usando a mesma ideia que usamospara provar(2.3), podemosprovar que também

valea desigualdadetriangularpara um número nito de parelas, ou seja,

|

z

1

+

z

2

+

z

3

+

. . .

+

z

n

| ≤ |

z

1

|

+

|

z

2

|

+

|

z

3

|

+

. . .

+

|

z

n

|

,

(2.4)

e, damesma forma,podemosusar (vi) para provar que

|

z

1

+

z

2

+

z

3

+

. . .

+

z

n

| ≥ |

z

1

| − |

z

2

| − |

z

3

| −

. . .

− |

z

n

|

,

(2.5)

onde

n

N

.

2.4 A Função Exponenial e suas Propriedades

Nesta seção, admitiremos alguns resultados sobre funções trigonométrias,

fun-ção exponenial

e

x

e representações de funções em séries. Nos ursos de Cálulo,

vemos que a função exponenial

e

x

(43)

dada por

e

x

=

X

n

=0

x

n

n

!

= 1 +

x

+

x

2

2!

+

x

3

3!

+

. . . ,

x

R

.

(2.6)

Além disso, existem as representações emsoma innita para asfunções

trigonomé-trias seno e osseno quesão:

cos

x

=

X

n

=0

(

1)

n

x

2

n

(2

n

)!

= 1

x

2

2!

+

x

4

4!

x

6

6!

+

. . . ,

x

R

.

(2.7)

e

sen

x

=

X

n

=0

(

1)

n

x

2

n

+1

(2

n

+ 1)!

=

x

x

3

3!

+

x

5

5!

x

7

7!

+

. . . ,

x

R

.

(2.8)

Isto signia que se quisermos denir o número omplexo

e

z

, teremos que saber o

valor de

e

iy

, onde

y

é um número real. Mas, podemos ahá-lo substituindo

iy

na

expressão (2.6) e, portanto, temosque

e

iy

= 1 +

iy

+

(

iy

)

2

2!

+

(

iy

)

3

3!

+

(

iy

)

4

4!

+

(

iy

)

5

5!

+

(

iy

)

6

6!

+

(

iy

)

7

7!

+

. . .

= 1 +

iy

y

2

2!

i

y

3

3!

+

y

4

4!

+

i

y

5

5!

y

6

6!

i

y

7

7!

+

. . . .

=

1

y

2

2!

+

y

4

4!

y

6

6!

+

. . .

+

i

y

y

3

3!

+

y

5

5!

y

7

7!

+

. . .

.

Portanto, usandoas expressões (2.7) e(2.8), temos que

e

iy

= cos

y

+

i

sen

y.

Observe que essas onsiderações não denem a exponenial omplexa, mas

Imagem

Figura 2.2: Interpretação geométri
a da multipli
ação de um número es
alar positivo
Figura 2.3: Representação geométri
a de z = a + ib
Figura 2.5: Interpretação geométri
a da multipli
ação entre dois números 
omple-
Figura 2.6: Representação geométri
a do 
onjugado z de um número 
omplexo z .
+7

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