de História, Ensino e Apliações
por
Antnio Geraldo Laerda da Costa
por
Antnio Geraldo Laerda da Costa
sob a orientação do
Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo
Trabalho de Conlusão de Curso apresentado ao
CorpoDoentedoCursodePós-Graduaçãoem
Mate-mátiaemrede Naional-PROFMAT-DM-CCEN
- UFPB, omo requisito parial para a obtenção do
título de Mestreem Matemátia.
Agosto/2013
João Pessoa - PB
†
O presentetrabalho foirealizadoomoapoioda CAPES-CoordenaçãodeAperfeiçoamento de
Números complexos: um pouco de história, ensino e
aplicações / Antônio Geraldo Lacerda da Costa.-- João
Pessoa, 2013.
68f.
Orientador: Uberlandio Batista Severo
Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN
Gostaria de agradeer a Deus, que plantou em mimum sonho que hoje se
ma-terializa. O que seria de mim sem a fé que eu tenho Nele? Agradeer pode não
ser uma tarefa fáil, nem justa e para não orrer o riso da injustiça, agradeço de
antemãoatodosaquelesquede algumaformaontribuíramparaaonstruçãodesta
dissertação. Agradeço, partiularmente, a Uberlandio, meu ex-aluno, e agora meu
orientador por sua disposição, dediação e sabedoria nos enaminhamentos e
or-reções desta dissertação. Por m, agradeço tambémaos meus olegas, professores,
à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de NívelSuperior (CAPES) pelo
fo-mentoe,emespeial, atodaminhafamília. Ninguémvene sozinho... OBRIGADO
Dedio esta dissertação a toda minha
família,ompostapormeusverdadeiros
mestres,modelosreaisde perseverança,
Neste trabalho apresentamos as prinipais propriedades referentes aos números
omplexos. Justiamos omo a História da Matemátia pode ontribuir para a
aprendizagem desseonteúdo. Emseguida,desreveremosde formasuintaa
histó-riadosnúmerosomplexos. Mostramostambémondeosnúmerosomplexospodem
In this work we present the main results for the omplex numbers. We justify
how the Mathematis History an ontribute to learn this disipline. Next, we
desribebrieythehistoryoftheomplexnumbers. Wealsoshowwheretheomplex
1 Um Pouo de História 1
1.1 História daMatemátia e sua ontribuiçãopara o Ensino . . . 1
1.2 A História dos Números Complexos . . . 3
2 Os Números Complexos 12 2.1 O Corpo dos Números Complexos . . . 12
2.2 Representação Polar de um Número Complexo . . . 17
2.3 Propriedades eDesigualdades Importantes . . . 25
2.4 A Função Exponeniale suas Propriedades . . . 30
2.5 Algumas diferençasentre
R
eC
. . . 342.5.1 O orpo
C
não é ordenado . . . 342.5.2 As funções seno eosseno denidas em
C
não são limitadaspor1
35 2.5.3 Algumas equações que não possuem soluções reais . . . 383 Algumas Apliações 41 3.1 Reexõesde Espelhos. . . 41
3.2 O TeoremaFundamentalda Álgebra . . . 43
3.2.1 Comentários Iniiaise Preliminares . . . 43
3.2.2 A demonstração do teorema . . . 46
A teoria dos números omplexos é uma extensão naturalda teoria dos números
reais e éde fundamentalimportâniatantonoampodaprópriaMatemátia omo
emsuas apliações. Alémdisso,este onteúdo éparte integraldos urríulos atuais
da Matemátia noEnsino Médio sendo,portanto,básio para muitos ursos queos
alunos enfrentarão quando hegarem a uma universidade.
Este trabalho foi esrito om o intuito de atender as neessidades desses
estu-dantes. Areditamos que nas esolasbrasileiras, o onteúdo de númerosomplexos
não é visto de maneira ideal e, quando visto, a atenção é voltada às manipulações
algébrias que,pormuitas vezes,não apresentam sentido algumpara osaprendizes.
No Capítulo1 apresentamos uma abordagemhistória dos números omplexos,
desmestiando seu surgimento através daneessidade de se resolver a equação do
segundo grau
x
2
+ 1 = 0
. Além disso, são apresentadas algumas justiativas de
omo a História daMatemátia pode ontribuirpara o ensino desse onteúdo.
No Capítulo 2 denimos o orpo dos números omplexos e apresentamos as
suas prinipais propriedades. Mostramos omo os números omplexos podem ser
representados geometriamente tal omo suas operações. Denimos a exponenial
omplexa e demonstramos algumas de suas propriedades. Ademais, apresentamos
uma seção que mostra algumas diferenças entre os orpos dos números reais e dos
númerosomplexos.
Um Pouo de História
Neste apítulo,mostraremos omosurgiu a neessidadede estender o orpo dos
números reais para um onjunto maior, no sentido de, além de o onter, manter
válidas as propriedades das operações que dela já onheemos. Na primeira seção,
desreveremosejustiaremosomoaHistóriadaMatemátiapodeontribuirpara
a aprendizagem de um novo onteúdo. Já na segunda seção, ontaremos a história
dosnúmerosomplexos,rompendoomitodequeesteonjuntosurgiudaneessidade
de seresolver aequação quadrátia
x
2
+ 1 = 0
.
1.1 História da Matemátia e sua ontribuição para
o Ensino
Por muitas vezes, o ensino de Matemátia é assoiado a uma prátia de
o-nheimentos sem ontextualização, desvinulado da realidade e que, por isso, não
desperta a uriosidadeda maioriadas pessoas. Oíndie de reprovação e evasão em
váriosníveisdeensino queenvolvemessa disiplinaéaltoeissopode oorrerdevido
mais sobre o assunto que está sendo abordado, no intuito de forneer ao aprendiz
informações que podem ser relevantes e importantes para a aprendizagem daquela
matéria.
Aelaboraçãodos ParâmetrosCurriularesNaionais(PCN), quesãooresultado
de um movimento em âmbito naional, tendo omo meta organizar um urríulo
que insira o aluno na soiedade de formaonsiente, proura um ensino
interdisi-plinar que inentive o raioínio lógioe a apaidade de aprender. Sendo assim, é
neessário que haja uma proura por métodos inovadores de ensino-aprendizagem
apazes de melhoraro ensino de Matemátia.
Nesta direção,aHistória da Matemátiapode forneerao professorferramentas
das quaisfailiteatransmissão de uma ideia edesperte auriosidade doseu aluno.
Através dela, os professores têm a oportunidade de forneer aminhos alternativos
deenxergaraMatemátia,istoé,mostrarque,apesardeonheermosedivulgarmos
oonheimentomatemátio formalizadoeorganizado,elenão foionebidode uma
hora para outra emum úniomomento.
Com isso, o aluno pereberá que a Matemátia é feita na tentativa de resolver
problemas de ertas époas, possibilitando que elefaça uma omparação da
Mate-mátia queestá aprendendo hoje om a Matemátia daquele tempo. Eleonheerá
aspreoupaçõesvividaspordiferentes povosemdiferentesmomentosdahistóriada
humanidade. Ele entenderá que muitos matemátiospassaram por diferentes tipos
de diuldades e ada uma foi superada om muito esforço e dediação levando-os
a mudar suas visõessobre um determinado oneito.
Aseguir, resumimosinoitens quejustiam autilizaçãodaHistória da
Mate-mátia omo ferramentapedagógia:
(1) possibilita o eslareimento e o reforço de muitos oneitos que estão sendo
ensinados;
(3) reeteaspreoupaçõesprátiaseteóriasdasdiferentesulturasemdiferentes
momentos histórios;
(4) onstituiummeio deaferimentodahabilidadematemátiade nossos
antepas-sados;
(5) permite mostrar a existênia de uma analogia ou ontinuidade entre os
on-eitos e osproessos matemátios dopassadoe do presente.
Levando emonsideraçãoos motivosiniiais desta seção edas justiativasque
reforçamaideiadeutilizaraHistóriadaMatemátia paraummelhorentendimento
de um determinado assunto, desrevemos de modo breve a história dos números
omplexos.
1.2 A História dos Números Complexos
Uma equação algébria, omo é onheido nos dias atuais, é uma equação da
forma
P
= 0
, ondeP
é um polinmio om oeientes em um determinado orpo.Resolver estes tipos de equações sempre esteve presente na Matemátia. Os
ma-temátios da Babilnia já onseguiam resolver algumas equações do segundo grau
baseado nométodode ompletamento de quadrados, omo onheemos hoje. Jáos
gregos, quedesempenharam um papelfundamentalpara odesenvolvimentoda
Ma-temátia,resolviamalgumasequaçõesdosegundograuutilizandoréguaeompasso.
Entretanto, om a onquista da Gréia por Roma, e o m do Império Romano e a
asensão doCristianismo,aEuropaentrounaIdadedasTrevaseodesenvolvimento
da Matemátia ou poronta dos árabese dos hindus.
Osmatemátioshindusavançaramnaspesquisassobreequaçõesdosegundograu
este tipode equaçãoe, sim,um matemátiohindu hamadoSridhara,noséulo XI.
Lembre-se que para resolver uma equação dotipo
ax
2
+
bx
+
c
= 0
, onde
a
6
= 0
, afórmula de Baskara garante quesuas raízes são dadas por
x
1
=
−
b
+
√
b
2
−
4
ac
2
a
ex
2
=
−
b
−
√
b
2
−
4
ac
2
a
.
E, omo sabemos, dependendo da equação, pode oorrer do valor de
b
2
−
4
ac
ser
um número negativo. Porém, isso não perturbava os matemátios da époa, já
que quando issoaonteia, eles simplesmentearmavamque aequação não possuia
solução.
FoinoséuloXVIque aMatemátiaomeçou a ressurgirfortemente. Em
parti-ular, em meio auma disputaentre dois matemátios italianoshamadosGirolamo
Cardano e NiolòTartagliapara aresolução da equação dotereiro grau, é quese
perebeuainsuiêniadosnúmerosreaisparaexpliaralgumasteoriasqueestavam
surgindo eas primeirasideias sobre osnúmeros omplexos omeçarama apareer.
Cardano naseu em Pavia, em 1501 e falaeu em Roma, em 1576. Era um
ex-epional ientista e era onheido porser violento,traidoreinvejoso. Foiautorde
um livro hamado Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade
e também ensinou maneiras de trapaear em jogos. Sua maior obra, entretanto,
foi o Ars Magna,publiado naAlemanha em1545, que na époa era o maior
om-pêndio algébrio existente até então. Já Niolò Fontana, apelidado de Tartaglia,
era pratiamente o oposto de Cardano, tendo emomum apenas a naionalidadee
o talento matemátio. Naseu na Brésia em 1500 e, na infânia, foi gravemente
ferido por golpes de sabre. Por isso, ou om uma profunda iatriz na boa que
lheprovoou um defeito nafala. Daí,onome Tartaglia,que signiagago. Elenão
ou onheido por nenhuma obra extraordinária e, sim, pelas disputas que tinha
om Cardano.
enontrouuma fórmulaparaaobtenção das raízesdotereirograu
x
3
+
px
+
q
= 0
,
masmorreuantes depubliarsua desoberta. Entretando,seu alunoAntonioMaria
Fior onheia esta soluçãoe props a Tartaglia o desao de desobri-la. Tartaglia,
apesar de não saber resolver ainda tais equações, aeitou o desao. Porém, ele fez
mais. Não só deduziu a resolução para este aso, omo também resolveu equações
do tipo
x
3
+
px
2
+
q
= 0
.
Nesta époa, Cardano estava esrevendo um livro hamado Pratia
Arithmeti-ae Generalis, que ontinha ensinamentos sobre Álgebra, Aritmétia e Geometria.
Quando ele soube que Tartaglia havia obtido a solução geral das equações de
ter-eiro grau,pediu-lheparaquearevelasse,para queassimpudesse publiá-laemseu
próximolivro,oArs Magna. Entretanto,Tartaglianão aeitou,justiando que ele
próprio publiaria o resultado em um livro de sua autoria. Depois de muita
insis-tênia, Tartaglia aabou edendo a resolução para Cardano que, omo prometido,
publiouemseu livroomoseoresultadofosseseu,fazendojusaoseuonheido
ad-jetivodetraidor. Atéhoje,taisfórmulassãoonheidasomofórmulas deCardano.
Vejamos omo obter taisfórmulas.
Considere primeiramenteuma equação dotereiro grau,agora do seguintetipo:
x
3
+
ax
2
+
bx
+
c
= 0
.
Vamos mostrar que qualquer equação om este aspeto, pode ser transformada em
uma equação sem o termo de segundo grau:
y
3
+
py
+
q
= 0
.
Com efeito, se
a
= 0
, então não há nada para fazer. Agora suponha quea
6
= 0
eliminar ooeiente que aompanhao termo de segundo grau. Assim,
x
3
+
ax
2
+
bx
+
c
= (
y
−
m
)
3
+
a
(
y
−
m
)
2
+
b
(
y
−
m
) +
c
= (
y
−
m
)
2
(
y
−
m
) +
a
(
y
2
−
2
ym
+
m
2
) +
by
−
bm
+
c
=
y
3
−
my
2
−
2
y
2
m
+ 2
ym
2
+
ay
2
−
2
aym
+
am
2
+
by
−
bm
+
c
=
y
3
+ (
a
−
3
m
)
y
2
+ (2
m
2
−
2
am
+
b
)
y
+ (
am
2
−
bm
+
c
)
.
Esolhendo
m
=
a
3
, temos quea
−
3
m
=
a
−
3
·
a
3
=
a
−
a
= 0
e, portanto, saberemos resolver equações do tereiro grau se soubermos resolver
equações do tipo
x
3
+
px
+
q
= 0
. A ideia de Tartaglia foi supor que a solução
prourada era dotipo
x
=
A
+
B
.De fato, seja
x
3
+
px
+
q
= 0
uma equação do tereiro grau. Suponha que
x
=
A
+
B
seja uma soluçãodesta e veja quex
3
= (
A
+
B
)
3
=
A
3
+
B
3
+ 3
A
2
B
+ 3
AB
2
=
A
3
+
B
3
+ 3
AB
(
A
+
B
)
=
A
3
+
B
3
+ 3
ABx.
Desde que
x
3
= (
−
p
)
x
+ (
−
q
)
e
x
3
=
A
3
+
B
3
+ 3
ABx
, segue que
3
AB
=
−
p
eA
3
+
B
3
=
−
q
e, portanto,
A
3
B
3
=
−
p
3
27
eA
Agora,noteque
A
3
e
B
3
sãoasraízesdaequaçãodosegundograu
x
2
+
qx
−
p
3
27
= 0
.De fato,
(
A
3
)
2
−
q
·
A
3
−
p
3
27
=
A
6
−
(
A
3
+
B
3
)
A
3
+
A
3
B
3
=
A
6
−
A
6
−
B
3
A
3
+
A
3
B
3
= 0
.
De forma análoga,temos que
(
B
3
)
2
−
q
·
B
3
−
p
3
27
=
B
6
−
(
A
3
+
B
3
)
B
3
+
A
3
B
3
=
B
6
−
A
3
B
3
−
B
6
+
A
3
B
3
= 0
.
Entretanto, pela fórmula de Baskara, temos que as raízes desta equação são dadas
por
x
1
=
−
q
+
r
q
2
+
4
p
3
27
2
=
−
q
2
+
r
q
2
4
+
4
p
3
4
·
27
=
−
q
2
+
r
q
2
2
+
p
3
3
.
e
x
2
=
−
q
−
r
q
2
+
4
p
3
27
2
=
−
q
2
−
r
q
2
4
+
4
p
3
4
·
27
=
−
q
2
−
r
q
2
2
+
p
3
3
.
Portanto,
A
3
=
−
q
2
+
r
q
2
2
+
p
3
3
e
B
3
=
−
q
2
−
r
q
2
2
+
p
3
3
Logo,
A
=
3
s
−
q
2
+
r
q
2
2
+
p
3
3
e
B
=
3
s
−
q
2
−
r
q
2
2
+
p
3
3
.
Como
x
=
A
+
B
,segue quex
=
3
s
−
q
2
+
r
q
2
2
+
p
3
3
+
3
s
−
2
q
−
r
q
2
2
+
p
3
3
.
(1.1)Apliaremosafórmulade Cardano para obtenção das raízes daequação do
ter-eiro grau a seguir. Tal equação foi a que levou os matemátios a desobrirem os
númerosomplexos. Consider aequação
x
3
−
15
x
−
4 = 0
.
Mostraremos quetodas astrês raízesda equaçãoaimasão reais. Defato, noteque
x
= 4
é solução daequação, já que4
3
−
15
·
4
−
4 = 64
−
60
−
4 = 64
−
64 = 0
.
Assim, dividindo
x
3
−
15
x
−
4
por
x
−
4
,podemos esrever quex
3
−
15
x
−
4 = (
x
−
4)(
x
2
+ 4
x
+ 1)
.
Porsua vez,
x
2
+ 4
x
+ 1
tem suas duas soluções reais, quaissejam,
x
=
−
4
±
√
12
2
.
dada por
x
=
3
q
2 +
√
−
121 +
3
q
2
−
√
−
121
,
onsiderando
q
=
−
4
ep
=
−
15
.Assim,questõesomoessa surgiramenãopodiamserignoradas. Alémda
extra-ção de raízesde númerosnegativos,surgiamagora problemasomoenontrar raízes
úbias de números de natureza não onheida. Quando, nas equações do segundo
grau, a fórmula de Baskara nos davaraízes onde apareiam númerosnegativos, era
fáil dizer que a solução de tal equação não existia. Porém, om este exemplo,
nota-se que existem equações do tereiro grau om soluções reais onheidas, mas
uja determinação dessas, usando a fórmula (1.1), passa por extração de raízes de
númerosnegativos.
Nãohaviaomo negarainsuiêniados númerosreais parasetratar das
equa-çõesdotereirograu. Oqueestava aonteendo naquelaépoa, eraalgosemelhante
ao que aonteeu om os gregos antigos, quando se verioua insuiênia dos
nú-meros raionais om a onstrução do número
√
2
, ou seja, o oneito dos númerosreais preisavaser estendido de formaasanar este problema.
Foi o italiano Rafael Bombelli que, em 1530, onseguiu resolver estas
ques-tões. De aordo om o seu relato em 1572, no livro L'Algebra parte maggiore
dell'Arithmetia,suaideiafoitratarosnúmeros
3
p
2 +
√
−
121
e3
p
2
−
√
−
121
omose fossem números daforma
a
+
√
−
b
ea
−
√
−
b
, respetivamente. Como veremosa seguir, elehegou a onlusão de que
a
deveria ser2
eb
igual a1
.Suponhaque
√
−
1
sejaum númeroonheidoeque,om ele,opera-sedomesmomodoqueom os outros númerosreais. Veriquemos que
Com efeito, veja que
(2 +
√
−
1)
3
= (2 +
√
−
1)
2
(2 +
√
−
1)
= (4 + 4
√
−
1
−
1)(2 +
√
−
1)
= (3 + 4
√
−
1)(2 +
√
−
1)
= 2 + 11
√
−
1
= 2 +
√
−
121
.
Analogamente, veria-se que
(2
−
√
−
1)
3
= 2
−
√
−
121
.
Depoisde Bombelli,outros personagenshistóriosdaMatemátia deram
ontri-buiçõessigniativasparaodesenvolvimentodateoriadosnúmerosomplexos. Um
deles foi o matemátio franês Abraham Moivre que inlusive possui uma fórmula
om seu nome. Além dele, osirmãos Bernoulli,Jaques Bernoullie Jean Bernoulli,
tambémpossuemumpapelfundamentalnestateoria. Masquemfezotrabalhomais
importantee deisivo foi o suíço Leonhard Euler.
Euler naseu em 1707 na Basiléia, quando o Cálulo Diferenial e Integral,
in-ventado por Isaa Newton e Gottfried Leibniz estava em expansão. Foi um dos
matemátios que mais publioue produziu emtodos os tempos. Aos 28 anos,
per-deu a visão de seu olho esquerdo e viveu totalmente ego os seus últimos 18 anos
de vida. Apesar disso, ontinuou trabalhando e produzindo. Seu nome é ligado
ao número de Euler
e
que é um dos números irraionais mais importantes e estábastanteligado afenmenos físiosde grandeimportânia.
Muitasdasnotaçõesqueusamosatéhojenateoriadosnúmerosomplexos,
deve-se a Euler. Ele introduziu, por exemplo, a notação
i
para a expressão√
−
1
. Elepassouaestudarnúmerosdaforma
a
+
b
√
−
1 =
a
+
bi
,ondea
eb
sãonúmerosreais,pondo
i
2
=
−
1
são utilizadosaté hojeemdiversosampos,nãosódaMatemátia,masomoFísia,
Os Números Complexos
Nesteapítulo,vamosestudarasprinipaispropriedadesdosnúmerosomplexos.
Para uma abordagemmais geral e mais ompleta, onsulte [1, 7,9℄ e[13℄.
2.1 O Corpo dos Números Complexos
Vamos estudar aquiexpressões da forma
a
+
bi
, ondea
eb
são números reais ei
2
=
−
1
,omoEulerofez. Énatural,portanto,onsiderarmosumaorrespondênia
entre
a
+
bi
e opar ordenado(
a, b
)
∈
R
2
.
O onjunto dos números omplexos, denotado por
C
, é denido omo sendo oonjunto
R
2
munido das operações de adição vetorial, multipliação por esalar e
uma operação de multipliação, ouseja,
(a)
(
x
1
, y
1) + (
x
2
, y
2) = (
x
1
+
x
2
, y
1
+
y
2)
,(b)
λ
(
x, y
) = (
λx, λy
)
,()
(
x
1
, y
1)
·
(
x
2
, y
2) = (
x
1
x
2
−
y
1
y
2
, x
1
y
2
+
x
2
y
1)
.para quaisquer
x
1
, x
2
, y
1
, y
2
, x, y, λ
∈
R
. Diremos que o eixo das absissas é o eixopor
(
x,
0)
e pori
o ponto doplano artesiano(0
,
1)
. Assim,(
x, y
) = (
x,
0) + (0
, y
) = (
x,
0) +
y
(0
,
1) =
x
+
yi,
para todos
x, y
∈
R
. Consequentemente, temos queiy
= (0
,
1)
·
(
y,
0) = (0
·
y
−
1
·
0
, y
·
1 + 0
·
0)
= (0
, y
)
=
y
(0
,
1)
=
yi
e de fato
i
2
=
i
·
i
= (0
,
1)
·
(0
,
1) = (
−
1
,
0) =
−
1
.
Assim,
iy
=
yi
paraqualquer númerorealy
ei
2
=
−
1
,
omojáesperávamos. Então,todo
z
∈
C
pode ser esritosob aformaz
=
x
+
iy
=
x
+
yi,
onde
x
ey
são números reais. Com isso, podemos denir soma, multipliação poresalar e multipliaçãode números omplexosdaseguintemaneira:
(1) Soma:
(
x
1
+
iy
1) + (
x
2
+
iy
2) = (
x
1
+
x
2) +
i
(
y
1
+
y
2)
,(2) Multipliação por esalar:
λ
(
x
+
iy
) =
λx
+
λiy
,(3) Multipliação:
(
x
1
+
iy
1)
·
(
x
2
+
iy
2) =
x
1
x
2
−
y
1
y
2
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1)
,
PSfragreplaements
z
+
w
z
x
1
1
w
Figura 2.1: Interpretação geométria dasoma entre dois números omplexos.
PSfragreplaements
z
λz
y
x
1
1
Figura2.2: Interpretaçãogeométriadamultipliaçãodeumnúmeroesalarpositivo
porum número omplexo.
Vamos desrever eprovar taispropriedades atravésda próximaproposição.
Proposição 1. Para quaisquer números omplexos
z
=
x
1
+
iy
1
,w
=
x
2
+
iy
2
es
=
x
3
+
iy
3
valem asseguintes igualdades:(i)
(
zw
)
s
=
z
(
ws
)
,ou seja,a multipliação de números omplexosé assoiativa.(ii)
zw
=
wz
, ouseja, amultipliação de números omplexos éomutativa.(iii)
z
(
w
+
s
) =
zw
+
zs
, ou seja, a multipliação de números omplexoséDemonstração: Provaremos apenas a omutatividade, já que os outros itens
se-guem analogamente. De fato,por um lado temos que
zw
= (
x
1
+
iy
1)
·
(
x
2
+
iy
2)
=
x
1
x
2
−
y
1
y
2
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1)
e por outro
wz
= (
x
2
+
iy
2
)
·
(
x
1
+
iy
1
)
=
x
2
x
1
−
y
2
y
1
+
i
(
x
2
y
1
+
x
1
y
2)
=
x
1
x
2
−
y
1
y
2
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
,
o que provaa igualdade.
Vejamos agora algumas observações. Além das propriedades já menionadas
anteriormente, ainda temos duas muito importantes. A primeira diz respeito ao
elemento neutrodamultipliaçãode númerosomplexos. A saber, opar
(1
,
0)
é talque
(1
,
0)
·
(
x, y
) = (
x, y
)
para qualquer(
x, y
)
∈
R
2
. Com efeito,
(1
,
0)
·
(
x, y
) = (1
·
x
−
0
·
y,
1
·
y
+ 0
·
x
)
= (
x, y
)
.
A segundapropriedadeésobreoinverso multipliativo. Dadoumnúmeroomplexo
z
∈
C
não nulo, sempreexistew
∈
C
tal queDe fato, dado
z
=
a
+
ib
oma
+
b
6
= 0
,o elementow
≡
z
−
1
=
a
a
2
+
b
2
−
i
b
a
2
+
b
2
é talque
z
·
w
=
w
·
z
= 1
. Istoé omprovado om osálulos aseguir:z
·
w
= (
a
+
ib
)
·
a
a
2
+
b
2
−
i
b
a
2
+
b
2
=
a
2
a
2
+
b
2
+
b
2
a
2
+
b
2
+
i
−
a
2
ab
+
b
2
+
ab
a
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
a
2
+
b
2
= 1
.
Note que a igualdade dos números omplexos
a
+
ib
=
x
+
iy
signiaa
=
x
eb
=
y
, já que isso nada mais é do que uma igualdade de oordenadas. Além disso,o elemento
0
∈
C
seesreve uniamentesob a forma0 +
i
0
e teremosa
+
ib
= 0
se,e somente se
a
=
b
= 0
.Comtodas aspropriedadesprovadas até aqui, podemos onluirqueo onjunto
dos números omplexosé um orpo,ouseja,
C
é um onjunto não vazio munidodeduas operações,
+
e·
,taisque valem as seguintes propriedades:(
S
1
)x
+ (
y
+
z
) = (
x
+
y
) +
z
, para todosx, y, z
∈
C
.(
S
2
) ExisteumelementoemC
,denotadopor0
,talquex
+ 0 = 0 +
x
=
x
,hamadoelemento neutro da adição.
(
S
3
) Para todox
∈
C
, existey
∈
C
tal quex
+
y
=
y
+
x
= 0
e esse elementoy
édenotado por
−
x
.(
S
4
)x
+
y
=
y
+
x
, para todox, y
∈
C
.(
M
2
) Existe um elementoemC
, denotado por1
talquex
·
1 = 1
·
x
=
x
, para todox
∈
C
, hamadoelemento neutro da multipliação.(
M
3
) Para todox
6
= 0
emC
, existey
∈
C
talquex
·
y
=
y
·
x
= 1
e talelementoédenotado por
x
−
1
.
(
M
4
)x
·
y
=
y
·
x
, para todox, y
∈
C
.(
SM
)x
·
(
y
+
z
) =
x
·
y
+
x
·
z
, para todosx, y, z
∈
C
.Note que o onjunto dos números omplexos ontém o onjunto dos números
reais, jáqueomotodonúmeroomplexoseesreveomo
a
+
ib
, oma
eb
númerosreais, podemos tomar
b
= 0
e variando o número reala
, onseguimos todos osnúmerosreais.
Temos, portanto, a seguinte inlusão de onjuntos estabeleida:
R
⊂
C
.Mos-traremos algumas diferenças entre o onjunto dos números reais e o onjunto dos
númerosomplexos naSeção 2.5deste apítulo.
2.2 Representação Polar de um Número Complexo
Dado um número omplexo
z
=
a
+
ib
, diremos quea
é a parte real eb
é aparte imagináriadonúmeroomplexo
z
. Denotamosaspartesrealeimagináriapora
= Re(
z
)
eb
= Im(
z
)
, respetivamente. Com isso, todonúmero omplexoz
podeser esritoomo
z
= Re(
z
) +
i
Im(
z
)
.
Por essa razão, na representação geométria de um número omplexo, hamamos
o eixo dos
x
's de eixo real e o eixo dosy
's de eixo imaginário. Assim, o númeroPSfragreplaements
a
b
i
Figura2.3: Representação geométria de
z
=
a
+
ib
Para entender isso, vamos esrevê-los emsua forma polar. Lembre-se que a norma
de um vetor
(
a, b
) =
a
+
ib
édenida por|
z
|
:=
√
a
2
+
b
2
.
Suponha que este vetor faz um ângulo
θ
om a direção positiva do eixo real, onde0
≤
θ
≤
2
π
, omo nos mostra a Figura 2.4. Daí, omoa
=
|
z
|
cos
θ
eb
=
|
z
|
sen
θ
,PSfragreplaements
z
θ
|
z
|
temos que
a
+
ib
=
|
z
|
cos
θ
+
i
|
z
|
sen
θ
=
|
z
|
(cos
θ
+
i
sen
θ
)
,
queéhamadarepresentação polardonúmeroomplexo
z
=
a
+
ib
. Oomprimentode
z
é denotado porr
e é hamado módulo do número omplexoz
. O ânguloθ
éhamadoargumento donúmero omplexo
z
eesreveremosθ
= arg(
z
)
.Por exemplo,onsidere o número omplexo
z
= 1 +
i
. Então, seu módulo é|
z
|
=
√
1
2
+ 1
2
=
√
2
.
Como
1 +
i
= (1
,
1)
seenontranoprimeiroquadrante, nãoédifíilverqueθ
=
π/
4
e, portanto, sua representação polaré
1 +
i
=
√
2
cos
π
4
+
i
sen
π
4
.
Agora, sejam
z
1
=
x
1
+
iy
1
ez
2
=
x
2
+
iy
2
números omplexos. Esreva-osem suas respetivas formas polares, ou seja, sejam
z
1
=
r
1(cos
θ
1
+
i
sen
θ
1)
ez
2
=
r
2(cos
θ
2
+
i
sen
θ
2)
. Então,z
1
·
z
2
=
r
1
(cos
θ
1
+
i
sen
θ
1)
·
r
2(cos
θ
2
+
i
sen
θ
2)
=
r
1
r
2
[(cos
θ
1
cos
θ
2
−
sen
θ
1
sen
θ
2) +
i
(cos
θ
1
sen
θ
2
+ cos
θ
2
sen
θ
1)]
=
r
1
r
2
[cos(
θ
1
+
θ
2) +
i
sen(
θ
1
+
θ
2)]
,
usando soma de aros. Com isso, temos que
Assim, usando (1) e (2) podemos responder a pergunta feita de omo representar
geometriamente a multipliação de dois números omplexos. Para tanto, basta
multipliaro módulo do primeiro número omplexo pelo segundo e somar seus
ar-gumentos. Conrmaa Figura2.5, ondese vê que
z
1
·
z
2
fazparaz
2
omesmoquez
1
faz para
1
.00
00
11
11
00
00
11
11
PSfragreplaements
0
1
z
1
z
2
z
1
z
2
α
|
z
1
||
z
2
|
|
z
1
|
α
|
z
2
|
Figura 2.5: Interpretação geométria da multipliação entre dois números
omple-xos.
Denimosoonjugadodeum númeroomplexo
z
=
a
+
ib
omosendoonúmeroomplexo
z
=
a
−
ib.
Observa suarepresentaçãogeométrianaFigura2.6. Maistarde, provaremosvárias
propriedades referentes aoonjugado de um número omplexoe sua relação om o
númeroomplexo queo determina. Agora, vamos usá-lo para mostrarque
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(
θ
1
−
θ
2
) +
i
sen(
θ
1
−
θ
2
)]
,
onde
z
1
=
r
1(cos
θ
1
+
i
sen
θ
1
)
ez
2
=
r
2(cos
θ
2
+
i
sen
θ
2)
. Para isso, usaremos umPSfragreplaements
z
¯
z
Figura2.6: Representação geométria doonjugado
z
de um número omplexoz
.porseu onjungado
z
? Vejamos:z
·
z
= (
a
+
ib
)
·
(
a
−
ib
)
=
a
2
−
iab
+
iab
+
b
2
=
a
2
+
b
2
=
|
z
|
2
.
Dessa forma,
z
1
z
2
=
z
1
z
2
·
z
2
z
2
=
z
1
z
2
|
z
2
|
2
.
Mas
z
1
z
2
|
z
2
|
2
=
r
1
r
2
r
2
2
(cos
θ
1
+
i
sen
θ
1
)(cos
θ
2
−
i
sen
θ
2
)
=
r
1
r
2
[cos
θ
1
cos
θ
2
+ sen
θ
1
sen
θ
2
+
i
(sen
θ
1
cos
θ
2
−
cos
θ
1
sen
θ
2)]
omo queríamos. Assim, (1')
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
, (2')
arg
z
1
z
2
= arg(
z
1
)
−
arg(
z
2
)
.Assim, para representar a divisão entre dois números omplexos, basta usar os
re-sultados de (1') e (2'), ou seja, a representação geométria da divisão entre dois
númerosomplexosédeterminadapeladivisãode seusmódulosedadiferençaentre
seus argumentos.
Podemos agora nos perguntar, o que signia multipliar um número omplexo
por
i
. Já vimosque geometriamenteo pontoi
éo vetor denido pelaseta que vaida origem até o ponto
(0
,
1)
, ou seja, é um número omplexo unitário que possuiargumento igual a
π/
2
. Por isso, a multipliação desse número por um númeroomplexo qualquer signiasomar
90
graus aoargumentodesse outro número,poisse
z
=
a
+
ib
∈
C
,entãoiz
=
i
(
a
+
ib
) =
−
b
+
ia
omo nos mostra a Figura2.2. Porisso, multipliar
z
pori
2
=
i
·
i
signiagirá-lo
duas vezes de um ângulo reto positivo, já que
i
2
z
= (
−
1)
z
, omo nos mostra a
Figura 2.2.
A seguir,provaremos a fórmula de De Moivre.
Proposição 2. (Fórmula de De Moivre) Se
z
=
r
(cos
θ
+
i
sen
θ
)
en
é umnúmeronatural,então
z
n
=
r
n
[cos(
nθ
) +
i
sen(
nθ
)]
.
Demonstração: Vamos provaresta igualdade usandoinduçãosobre
n
. Sen
= 1
,então
PSfragreplaements
z
y
iz
Figura 2.7: Multipliaçãode um número omplexopelofator
i
.00
00
11
11
00
00
11
11
PSfragreplaements
z
y
iz
i.i.z
=
−
z
0
1
x
i
Figura2.8: Multipliação de um númeroomplexo por
i
2
.
n
eprovemos paran
+ 1
. Com efeito, temosquez
n
+1
=
z
n
·
z
=
r
n
[cos(
nθ
) +
i
sen(
nθ
)]
·
r
(cos
θ
+
i
sen
θ
)
=
r
n
+1
[cos(
nθ
) cos
θ
−
sen(
nθ
) sen
θ
+
i
(cos(
nθ
) sen
θ
+ sen(
nθ
) cos
θ
)]
=
r
n
+1
[cos((
n
+ 1)
θ
) +
i
sen((
n
+ 1)
θ
)]
.
Assim, afórmulaé válida para
n
+ 1
e, portanto, para todon
∈
N
.Exemplo 1. Seja
w
∈
C
. Vamos resolvera seguinte equaçãoz
n
=
w
(2.1)
Para resolver a equação (2.1), usaremos a fórmula de De Moivre. Sejam
w
=
r
(cos
θ
+
i
sen
θ
)
ez
=
ρ
(cos
ψ
+
i
sen
ψ
)
. Então, pelafórmulade De Moivre,temosque
z
n
=
ρ
n
(cos(
nψ
) +
i
sen(
nψ
))
.
Como
z
n
=
w
, segue que
ρ
n
cos(
nψ
) =
r
cos
θ
eρ
n
sen(
nψ
) =
r
sen
θ
e, portanto,
ρ
n
=
r
e
nψ
=
θ
+ 2
kπ,
, ondek
∈
Z
. Logo,z
=
r
1
/n
cos
θ
n
+
2
kπ
n
+
i
sen
θ
n
+
2
kπ
n
.
Para
k
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1
temosn
valores distintos paraz
.Este exemplo nos permite alular o que hamamos raízes da unidade, ou seja,
alular asraízes de uma equaçãodo tipo
para algum
n
∈
N
. Para resolver este problema, proedemos da mesma formaqueaima e obtemos
n
valores distintos paraz
omo raiz desta equação. Por exemplo,suponha que
n
= 8
. Então, amos om a equaçãoz
8
= 1
e deveremos ahar oito
valoresdistintospara
z
deformaqueessesvaloressatisfaçamaequação(2.2). Temosque o argumentodonúmero omplexo
1
éigual a0
eseu módulo iguala1
. Assim,duas das oitoraízes desta equaçãosão
z
0
= 1
ez
1
= 1
·
cos
0
8
+
2
π
8
+
i
sen
0
8
+
2
π
8
= cos
π
4
+
i
sen
π
4
.
Omais interessante emequações dessa natureza, é que as raízes são obtidas da
anterior,rodandoumângulode
2
π
n
nosentidoanti-horário. Destamaneira,asraízesn
-ésimadaunidade são preisamenteosvérties de um polígonoregularinsrito nairunferênia de raio
1
e entro na origem, tendo omo um dos vérties o ponto(1
,
0)
,em que1
ésempre aprimeiraraiz daequação. VejaaFigura 2.9parao asoda equação
z
8
= 1
.
Aseguir,vamosdemonstraralgumaspropriedadesqueenvolvemmóduloe
onju-gadode umnúmeroomplexoealgumasdasprinipaisdesigualdadessobrenúmeros
omplexos.
2.3 Propriedades e Desigualdades Importantes
Apróximaproposiçãodizrespeito avárias igualdadesenvolvendo números
PSfragreplaements
1
θ
1
=
2
8
π
=
π
4
Figura2.9: As raízes daequação
z
8
= 1
.
Proposição 3. Para quaisquer números omplexos
z
ew
, sempre são válidas asseguintes propriedades:
(i)
z
+
w
=
z
+
w
.(ii)
z
·
w
=
z
·
w
.(iii)
z/w
=
z/w
, ondew
6
= 0
.(iv)
z
·
z
=
|
z
|
2
e,se
z
6
= 0
, entãoz
−
1
=
z/
|
z
|
2
.
(v)
z
=
z
⇔
z
∈
R
.(vi)
z
=
z
.(vii)
Re(
z
) =
z
+
z
2
eIm(
z
) =
z
−
z
Demonstração: Veja que
z
+
w
= (
x
1
+
iy
1) + (
x
2
+
iy
2) =
x
1
+
x
2
+
i
(
y
1
+
y
2
)
=
x
1
+
x
2
−
i
(
y
1
+
y
2)
= (
x
1
−
iy
1) + (
x
2
−
iy
2)
=
z
+
w.
Isto prova (i). Agora, onsideremos (ii). Por um lado, temos que
z
·
w
= (
x
1
+
iy
1)
·
(
x
2
+
iy
2) =
x
1
x
2
−
y
1
y
2
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1)
=
x
1
x
2
−
y
1
y
2
−
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1)
e por outro
z
·
w
= (
x
1
+
iy
1)
·
(
x
2
+
iy
2) = (
x
1
−
iy
1)
·
(
x
2
−
iy
2)
=
x
1
x
2
−
y
1
y
2
−
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1)
.
Isto estabelee a igualdade. Passemos agorapara atereira propriedade. Para isso,
provamos primeiro (vi). De fato,
z
= (
a
+
ib
) =
a
−
ib
=
a
−
(
−
ib
)
=
a
+
ib
=
z.
Istoprova(iii). Notequenasegundaigualdadeusamos(iv),quejátínhamosprovado
anteriormente. Resta-nos provar (v) e (vii). Veja que
z
=
z
, entãoa
+
ib
=
a
−
ib
e, portanto,
b
=
−
b
, o que aarreta queb
é identiamente nulo. Finalmente, paraprovar(vii),basta alularmos
z
+
z
2
=
a
+
ib
+
a
−
ib
2
=
2
a
2
=
a
= Re(
z
)
e
z
−
z
2
i
=
a
+
ib
−
a
+
ib
2
i
=
2
bi
2
i
=
b
= Im(
z
)
,
omo queríamos.
Para nalizar esta seção, provaremos algumas identidades e desigualdades
im-portantes.
Proposição 4. Para quaisquer números omplexos
z
ew
, sempre são válidas asseguintes propriedades:
(i)
|
z
·
w
|
=
|
z
| · |
w
|
.(ii)
|
z/w
|
=
|
z
|
/
|
w
|
,sew
6
=
.(iii)
|
Re(
z
)
| ≤ |
z
|
e|
Im(
z
)
| ≤ |
z
|
.(iv)
|
z
|
=
|
z
|
.(v)
|
z
+
w
| ≤ |
z
|
+
|
w
|
.(vi)
|
z
−
w
| ≥ ||
z
| − |
w
||
.Demonstração: Provaremos apenas as propriedades (v) e (vi). Para mostrar a
desigualdade (v), usaremos algumas das propriedades da proposição anterior e os
temos que
|
z
+
w
|
2
= (
z
+
w
)(
z
+
w
) = (
z
+
w
)(
z
+
w
)
=
zz
+
zw
+
zw
+
ww
=
|
z
|
2
+
zw
+
zw
+
|
w
|
2
=
|
z
|
2
+ 2 Re(
zw
) +
|
w
|
2
≤ |
z
|
2
+ 2
|
zw
|
+
|
w
|
2
=
|
z
|
2
+ 2
|
z
||
w
|
+
|
w
|
2
=
|
z
|
2
+ 2
|
z
||
w
|
+
|
w
|
2
= (
|
z
|
+
|
w
|
)
2
.
Extraindo a raiz quadrada em ambos osmembros da desigualdade aima, obtemos
o resultado. Agora, para provar(vi), observe, pelapropriedade (v),que temos que
|
z
|
=
|
z
−
w
+
w
| ≤ |
z
−
w
|
+
|
w
|
e, portanto,
|
z
| − |
w
| ≤ |
z
−
w
|
. Poroutro lado,|
w
|
=
|
z
−
w
−
z
| ≤ |
z
−
w
|
+
|
z
|
e, portanto,
|
w
| − |
z
| ≤ |
z
−
w
|
. Assim−|
z
−
w
| ≤ |
z
| − |
w
| ≤ |
z
−
w
|
,
donde segue
(
vi
)
.A propriedade (iv) é onheida omo desigualdade triangular. Taldesigualdade
são númerosomplexos, então
|
z
1
+
z
2
+
z
3
| ≤ |
z
1
+
z
2
|
+
|
z
3
|
,
onde apliamos adesigualdade triangularpara as parelas
z
1
+
z
2
ez
3
. Novamenteapliando a desigualdadetriangularpara
z
1
ez
2
, teremos que|
z
1
+
z
2
|
+
|
z
3
| ≤ |
z
1
|
+
|
z
2
|
+
|
z
3
|
,
ou seja,valeadesigualdade tringularpara três númerosomplexos:
|
z
1
+
z
2
+
z
3
| ≤ |
z
1
|
+
|
z
2
|
+
|
z
3
|
.
(2.3)Usando a mesma ideia que usamospara provar(2.3), podemosprovar que também
valea desigualdadetriangularpara um número nito de parelas, ou seja,
|
z
1
+
z
2
+
z
3
+
. . .
+
z
n
| ≤ |
z
1
|
+
|
z
2
|
+
|
z
3
|
+
. . .
+
|
z
n
|
,
(2.4)e, damesma forma,podemosusar (vi) para provar que
|
z
1
+
z
2
+
z
3
+
. . .
+
z
n
| ≥ |
z
1
| − |
z
2
| − |
z
3
| −
. . .
− |
z
n
|
,
(2.5)onde
n
∈
N
.2.4 A Função Exponenial e suas Propriedades
Nesta seção, admitiremos alguns resultados sobre funções trigonométrias,
fun-ção exponenial
e
x
e representações de funções em séries. Nos ursos de Cálulo,
vemos que a função exponenial
e
x
dada por
e
x
=
∞
X
n
=0
x
n
n
!
= 1 +
x
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
. . . ,
∀
x
∈
R
.
(2.6)Além disso, existem as representações emsoma innita para asfunções
trigonomé-trias seno e osseno quesão:
cos
x
=
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
x
2
n
(2
n
)!
= 1
−
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+
. . . ,
∀
x
∈
R
.
(2.7)e
sen
x
=
∞
X
n
=0
(
−
1)
n
x
2
n
+1
(2
n
+ 1)!
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+
. . . ,
∀
x
∈
R
.
(2.8)Isto signia que se quisermos denir o número omplexo
e
z
, teremos que saber o
valor de
e
iy
, onde
y
é um número real. Mas, podemos ahá-lo substituindoiy
naexpressão (2.6) e, portanto, temosque
e
iy
= 1 +
iy
+
(
iy
)
2
2!
+
(
iy
)
3
3!
+
(
iy
)
4
4!
+
(
iy
)
5
5!
+
(
iy
)
6
6!
+
(
iy
)
7
7!
+
. . .
= 1 +
iy
−
y
2
2!
−
i
y
3
3!
+
y
4
4!
+
i
y
5
5!
−
y
6
6!
−
i
y
7
7!
+
. . . .
=
1
−
y
2
2!
+
y
4
4!
−
y
6
6!
+
. . .
+
i
y
−
y
3
3!
+
y
5
5!
−
y
7
7!
+
. . .
.
Portanto, usandoas expressões (2.7) e(2.8), temos que
e
iy
= cos
y
+
i
sen
y.
Observe que essas onsiderações não denem a exponenial omplexa, mas