Blow-up de soluções positivas de equações semilineares

(1)

Data de Dep´osito: 03.03.2006

Assinatura:

Blow-up de solu¸

c˜

oes positivas de equa¸

c˜

oes semilineares

Fernanda Tom´e Alves

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciências na área: Matemática.

(2)

Aos meus pais e ao meu marido,

(3)

Com esfor¸co e dedica¸cão mais uma etapa foi vencida em minha vida. Com orgulho e com sentimento de realiza¸cão, apresento aqui o resultado de muito estudo, trabalho e horas de questionamentos e solu¸cões. Porém, nada disso teria sido poss´ıvel se não tivesse ao meu lado pessoas admiráveis, amadas, fortes e amigas para me ajudar, orientar, encorajar e me fazer acreditar que era poss´ıvel. É com muita admira¸cão e respeito que agrade¸co, primeiramente, meu orientador Prof. Alexandre e o Prof. Sérgio. Obrigada pela confian¸ca, pela ajuda nas horas em que se acredita que não haja mais solu¸cão e por alimentarem em mim um amor cada vez maior pela matemática. Aos professores do IBILCE-UNESP, grandes incentivadores, registro aqui meus sinceros agradecimentos. Um agradecimento especial à FAPESP que acreditou no meu trabalho e na minha capacidade como pesquisadora. Agrade¸co meus colegas de curso, docentes e funcionários do ICMC.

Agrade¸co ainda a pessoa mais especial durante toda essa batalha: meu marido. Obrigada Cláudio pelo amor imensurável, pelo companheirismo, por todo o incentivo e por ter feito eu acreditar em mim mesma. Agrade¸co meus pais e irmãs pelo grande amor, pelo ombro nas horas de desespero e pela felicidade nas horas de vitória. Não poderia deixar de agradecer também meus amigos por toda a for¸ca que me deram. Agrade¸co o pessoal da salinha 3-023 e, em especial, Amanda, Gabriel, Judith e Michelle, pela amizade que foi constru´ıda e cultivada durante esses dois anos, que trouxe momentos de muita alegria, risadas e aprendizado. Obrigada ainda Karina, Ricardo e Marcelinho pela dedica¸cão ao trabalho e esfor¸co conjuntos.

´

E dif´ıcil dizer em palavras todo o carinho e gratifica¸cão por todos que, diretamente ou não, me ajudaram a trilhar esse caminho tão importante em minha vida. Que cada um saiba que de alguma maneira foram responsáveis por essa conquista. Muito obrigada!

(4)

(5)

Consider the initial-boundary value problem

ut= ∆u+f(u) in Ω×(0, T),

u(x,0) =φ(x) if x_∈Ω,

u(x, t) = 0 if x_∈∂Ω, 0< t < T,

where Ω is a bounded domain in Rn with C2 boundary, f is continuously diﬀerentiable with f(s) > 0, andφ is nonnegative and smooth on Ω with φ = 0 on ∂Ω. Assume that the unique solution u(x, t) blows up in ﬁnite time T < _∞. The question addressed is: where does the blow-up occur? In this work we prove: if Ω = BR ⊂ Rn, then blow-up occurs only at r = 0.

Moreover, if f(u) = up, p > 1, then u(r, t) ≤ C/r2(γ −1) for any 1 < γ < p, and hence lim sup_t_→_T−ku(·, t)k_q < ∞ if q < n(p−1)/2. In the nonsymmetric case where Ω is a convex

domain, we prove that the blow-up set lies in a compact subset of Ω. If f(u) = up_{, p >} _1,

then u(x, t) ≤ C/(T −t)1/p−1 and, if n = 1,2, or if n ≥ 3 and p ≤ (n+ 2)/(n−2), then τβ_u(x ₊_{ξ, T} ₋_τ₎ _→ _c

0 as τ → 0+ if |ξ| ≤ Cτ1/2 and c0 = 0 or ββ where β = (p−1)−1.

Elementary applications of the Maximum Principle are used to prove the essential estimate for the proofs of these results.

(6)

(7)

Considere o problema de valor inicial e de fronteira

ut= ∆u+f(u) em Ω×(0, T),

u(x,0) =φ(x) se x_∈Ω,

u(x, t) = 0 se x_∈∂Ω, 0< t < T,

onde Ω é um dom´ınio limitado em Rn _{com bordo} _C2_, _f _{é continuamente diferenciável com} f(s) > 0, e φ é não-negativa e suave sobre Ω com φ = 0 sobre ∂Ω. Suponha que a única solu¸cão u(x, t) possui blow-up em tempo finito T <_∞. A questão que se coloca é: onde ocorre o blow-up? Neste trabalho provamos que: se Ω =BR ⊂Rn, então o blow-up ocorre apenas em

r = 0. Além disso, se f(u) =up, p >1, então u(r, t)≤ C/r2(γ−1) para qualquer 1< γ < p, e assim lim sup_t_→_T−ku(·, t)k_q < ∞ se q < n(p−1)/2. No caso não-simétrico onde Ω é um

dom´ınio convexo, provamos que o conjunto de blow-up é um subconjunto compacto de Ω. Se f(u) =up, p >1, entãou(x, t)≤C/(T−t)1/p−1 e, sen= 1,2, ou sen≥3 ep≤(n+ 2)/(n−2), entãoτβ_u(x₊_{ξ, T} ₋_τ₎_→_c

0 quando τ →0+ se|ξ| ≤Cτ1/2 ec0 = 0 ouββ ondeβ = (p−1)−1.

As provas das estimativas essenciais para a demonstra¸cão desses resultados são feitas utilizando o Princ´ıpio do Máximo.

(8)

(9)

Agradecimentos i

Abstract iii

Resumo v

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Semigrupos e seus geradores . . . 5

1.2 O Teorema de Hille-Yosida . . . 9

1.3 O Teorema de Lumer-Phillips . . . 12

1.4 F´ormulas exponenciais . . . 17

1.5 Pseudo-resolventes . . . 19

1.6 O semigrupo dual e o Teorema de Stone . . . 22

1.7 Transformada inversa de Laplace . . . 27

1.8 Operadores setoriais e analiticidade . . . 30

2 Potências fracionárias 39 2.1 Introdu¸cão . . . 39

2.2 Operadores do tipo positivo . . . 42

2.3 Desigualdades de interpola¸cão para potências fracionárias . . . 53

2.4 Potˆencias fracion´arias e semigrupos . . . 57

3 O problema de Cauchy 61 3.1 O problema de Cauchy n˜ao-homogˆeneo . . . 61

3.1.1 Existˆencia, unicidade e regularidade . . . 61

(10)

viii Sum´ario

4 Blow-up 77

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 77

4.2 O caso sim´etrico . . . 80

4.3 O caso n˜ao-sim´etrico . . . 90

4.4 O caso não-simétrico - continua¸cão . . . 106

A O espectro do Laplaciano 115 A.1 O operador solu¸c˜ao . . . 115

A.2 Propriedades do operador solu¸c˜ao . . . 116

B O Princ´ıpio do M´aximo 123 B.1 Princ´ıpio do M´aximo . . . 123

B.2 Princ´ıpio do M´ınimo - outra vers˜ao . . . 126

Referˆencias bibliogr´aficas 129

(11)

Problemas parab´olicos do tipo



   

   

ut−∆u=f(x, t, u,∇u) emD×RN,

u(x, t) = 0 sobre ∂D_×RN_, u(x,0) =u0(x)≥0,

(1.1)

modelam um grande número de problemas f´ısicos. A interpreta¸cão mais comum é considerar u como a temperatura de uma substância em um recipiente D _⊂ RN _{sujeita a rea¸c˜}_{oes qu´ımicas.} Um termo de rea¸cão positivof representa uma fonte de calor devida uma rea¸cão exotérmica, isto é, uma rea¸cão qu´ımica que se efetua com desprendimento de calor. Caso contrário, a rea¸cão é endotérmica. Sef depende também do gradiente deu, então os efeitos de conveçcão são levados em considera¸cão.

Diversas teorias de existência local de solu¸cões podem ser consideradas. Solu¸cões clássicas podem ser estabelecidas no contexto de fun¸cões Hölder cont´ınua. SeDé um dom´ınio limitado com bordo regular e sefé localmente Lipschitziana e definida para todosue_∇u, então para qualquer u0 ∈Cα(D),u0 = 0 sobre∂D, existe uma solu¸cão clássica para todotsuficientemente pequeno,

digamos t < T. Quando T = _∞, a solu¸cão é chamada global. Via estimativas de Schauder, a solu¸cão deixa de existir se lim_t_→_T−sup

x∈D|u(x, t)| = ∞ ou limt→T−sup

x∈D|∇u(x, t)| = ∞.

Neste caso, dizemos que a solu¸cão explode (blow-up, em inglês). Devido ao caráter introdutório deste trabalho, nos dedicaremos ao caso em quef independe do gradiente. O caso mais dif´ıcil, em que os efeitos de conveçcão são levados em considera¸cão, vem recebendo aten¸cão somente nos ´

ultimos anos [5, 20].

Antes de prosseguir, vejamos uma equa¸c˜ao de rea¸c˜ao pura, ut = f(u), u(0) = u0, com

f(u)≥0. Esta solu¸c˜ao tem blow-up em tempo ﬁnito se, e somente se,

Z ∞

u0

f−1(s)ds <∞. (1.2) A difusão ∆ue a condi¸cão de fronteirau(x, t) = 0 sobre∂D×RN _{contribuem para diminui¸c˜}_{ao da} solu¸cão. Como no problema (1.1), todos os mecanismos tais como rea¸cão, difusão e a condi¸cão

(12)

2 Introdu¸c˜ao

de fronteira atuam simultaneamente, ´e natural, pois, perguntar qual desses prevalece.

O fenômeno de blow-up para equa¸cões de rea¸cão-difusão são estudados desde o pioneiro trabalho de Kaplan [16]. Ele mostrou que para fun¸cões convexas safisfazendo (1.2), a difusão não pode evitar blow-up se o dado inicial é suficientemente grande. O próximo resultado fundamental nesta linha é dado por Fujita em [9, 10], que prova que o problema de Cauchy, para D=RN _e f(u) =up_{, não tem solu¸c˜}_{ao global não trivial e positiva se 1}_{< p <}_{1 + 2/N}_{. Toda solu¸c˜}_{ao com}

dado inicial arbitrariamente pequeno tem blow-up em tempo finito. O mesmo continua válido parap <1 + 2/N, como foi provado por Hayahawa em [13]. Quandop >1 + 2/N, solu¸cões com dados iniciais pequenos tendem a zero quandotcresce.

Questões básicas. A interpreta¸cão f´ısica do blow-up é dada como um dramático aumento de temperatura que leva à igni¸cão de uma rea¸cão qu´ımica. Neste contexto, surgem as seguintes questões:

1. Blow-up ocorre?

2. Quando?

3. Onde?

4. Como?

5. O que ocorre ap´os o blow-up?

6. E poss´ıvel calcular numericamente a solu¸c˜´ ao de blow-up?

As duas primeiras questões estão razoavelmente bem discutidas. Durante a duas últimas décadas, grandes progressos foram obtidos no estabelecimento de critérios de blow-up. Os resultados de Kaplan e Fujita foram generalizados para vários casos. Muito mais dif´ıcil é a localiza¸cão do blow-up (terceira questão) e a discussão do comportamento assintótico da solu¸cão de blow-up (quarta questão) dada pelas seguintes sub-questões: (4.i) com que taxa u diverge quandot_→T− e x se aproxima dos pontos de blow-up? (4.ii) qual é o perfil deu(x, t) quando

t_→ T− _{nos pontos que n˜}_{ao s˜}_{ao de blow-up?} _Se _u _{pode ser continuada ap´os o tempo de}

blow-up, então a igni¸cão de fato ainda não ocorreu. Da´ı reside a importância da questão 5. A ´

ultima questão refere-se aos métodos numéricos para detectar o fenômeno de blow-up e calcular a solu¸cão de blow-up, o tempo de blow-up e o perfil. Como pode-se ver em [3], esta questão está praticamente restrita ao caso unidimesional e muitos problemas permanecem abertos no tratamento numérico de problemas de blow-up.

(13)

e referências. Neste trabalho não abordamos todas as questões acima (o que seria por demais pretencioso), consideramos apenas as questões3e4. Para isso foi necessário utilizar resultados de Análise Funcional, Teoria da Medida e Integra¸cão e Espa¸cos de Sobolev. Come¸camos tratando um problema de evolu¸cão num espa¸co de Banach, via Teoria de Semigrupos de Operadores Lineares, o que constituiu parte fundamental do trabalho, tendo em vista o conjunto de conceitos e idéias que foram introduzidos. Na etapa final nos dedicamos ao problema de blow-up, usando [8] como principal bibliografia. Neste ponto lan¸camos mão dos resultados de existência estudados na primeira fase. Desta forma, o trabalho foi organizado da seguinte forma: no Cap´ıtulo 1, apresentamos diversas defini¸cões e resultados da Teoria de Semigrupos, deixamos de demonstrar alguns dos resultados apresentados a fim de tornar a leitura menos cansativa. Dedicamos o Cap´ıtulo 2 ao estudo detalhado da Teoria de Potências Fracionárias, parte fundamental ao desenvolvimento do cap´ıtulo seguinte. No Cap´ıtulo 3 apresentamos alguns resultados de existência e regularidade de solu¸cão para os problemas de Cauchy não-homogêneo e semilinear. Finalizando o trabalho, no Cap´ıtulo 4 apresentamos diversos resultados referentes à localiza¸cão dos pontos de blow-up do problema de valor inicial e de fronteira

ut= ∆u+f(u) em Ω×(0, T), (0.1)

u(x,0) =φ(x) se x_∈Ω, (0.2)

u(x, t) = 0 se x_∈∂Ω, 0< t < T, (0.3)

onde Ω ´e um dom´ınio limitado emRn _{com bordo}_C2_,

f _∈C1, f(s)>0 ses_≥0, f(s) = 0 ses <0, φ_∈C1(Ω), φ_≥0 (n˜ao identicamente nula), φ= 0 sobre∂Ω.

Nos dedicamos ao estudo do conjunto de pontos de blow-up e no comportamento deu nesses pontos. Nossos resultados foram divididos de acordo com os dois seguintes casos:

1. o caso simétrico, e 2. o caso não-simétrico.

No caso simétrico, Ω é uma bola e φ, u(., t) são fun¸cões radiais. É admitido que φr ≤ 0.

Provamos então, para uma classe geral de fun¸cões f, que o conjunto de blow-up do problema (0.1)-(0.3) consiste de um único pontox= 0. Para a fun¸cão

(14)

4 Introdu¸c˜ao

obtemos tamb´em as estimativas

|u(r, t)_{| ≤} c rγ−21

para qualquer 1< γ < p,

lim sup

t→T− k

u(., t)_k_Lq_(Ω)<∞ se q <

n(p₋1) 2 ,

lim inf

t→T−ku(., t)kLq(Ω) =∞ se q >

n(p₋1) 2 , e se ∆φ+f(φ)≥0 en= 1,2 ou sep≤ n+ 2

n−2 quando n≥3, obtemos que (T −t)βu(r, t)→ββ quando t↑T (β = 1

p₋1) com a condi¸c˜ao de quer _≤C(T ₋t)12 para algumC >0.

No caso-não simétrico admitimos que Ω é um dom´ınio convexo e para alguns resultados é pedido que ∆φ+f(φ)_≥0 (e entãout≥0 pelo Princ´ıpio do Máximo). Provamos que o conjunto

de blow-up do problema (0.1)-(0.3) ´e um subconjunto compacto de Ω e que para f dada por (0.4),

u(x, t)≤ C

(T −t)p−11

para todo x∈Ω.

Provamos também, no caso não-simétrico, que paraf dada por (0.4) lim inf

t→T−ku(., t)kLq(Ω) =∞ se q >

n(p−1) 2 .

(15)

Preliminares

Neste primeiro cap´ıtulo apresentamos algumas defini¸cões e resultados preliminares ao desenvolvimento deste trabalho. As principais referências utilizadas foram [15] e [19].

1.1 Semigrupos e seus geradores

Recorde que seE e F s˜ao espa¸cos de Banach sobre um corpoK ₍K₌R _ou K₌C_{) denotamos} porL(E, F) o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos deE emF com a norma usual; isto ´e, paraT ∈L(E, F),

kT_k_L₍_E,F₎= sup e∈E e6= 0

kT e_kF

kekE

.

No caso particular, em que E = F escrevemos L(E) para denotar L(E, E). Seja E∗ _{o dual}

topol´ogico de E; isto ´e, E∗ = L(E,K_{) com a topologia dada pela norma acima. Denotamos o} valor dee∗ _∈E∗ eme_∈E por _he∗, e_iou _he, e∗_i.

Defini¸c˜ao 1.1 Um semigrupo de operadores lineares em E ´e uma fam´ılia {T(t) : t ≥ 0} ⊂

L(E) tal que

(i) T(0) =IE,

(ii) T(t+s) =T(t)T(s), para todot, s_≥0. Se adicionalmente

(iii) _kT(t)₋IEkL(E)→0 quando t→0+, dizemos que o semigrupo ´e uniformemente cont´ınuo

(iv) _kT(t)e₋e_kE →0quandot→0+, ∀e∈E, dizemos que o semigrupo ´e fortemente cont´ınuo.

(16)

6 1.1 Semigrupos e seus geradores

Todo semigrupo fortemente cont´ınuo possui uma domina¸c˜ao exponencial que ´e dada no teorema a seguir.

Teorema 1.1 Suponha que_{T(t) :t_≥0_{} ⊂}L(E) ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo. Ent˜ao, existem M ≥1 e β∈R_{tais que}

kT(t)kL(E)≤Meβ t, ∀t≥0.

Para qualquer ℓ >0 podemos escolherβ ≥ 1

ℓ logkT(ℓ)kL(E) e ent˜ao escolherM.

Prova. Primeiramente note que sup

t∈[0,η]k

T(t)_k_L₍_E₎ < _∞ para algum η > 0, pois caso contrário existiria uma sequênciatn→0+tal quekT(tn)kL(E)→ ∞. Mas{T(tn)e}n≥1é limitada para cada

e∈E. Portanto, do Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme,{kT(tn)kL(E)}n≥1´e limitada, contrariando

a hip´otese.

Assim, escolha ℓ > 0 tal que sup_{kT(t)_k_L₍_E₎,0 _≤t _≤ℓ_}=M < _∞. Como _kT(0)_k_L₍_E₎ = 1, temosM _≥1. Sejaβ _≥ 1_ℓlog_{kT(ℓ)_k_L₍_E₎_}. Ent˜ao, dadot_≥0, temost=nl+δ com 0_≤δ < le n_∈N_{. Pelas propriedades de semigrupos}

kT(t)_k_L₍_E₎=_kT(nl+δ)_k_L₍_E₎ =_kT(nl)T(δ)_k_L₍_E₎=_kT(l)nT(δ)_k_L₍_E₎_≤

≤Mn+1 =M Mn_≤M Mt/l=Meβt, n= 0,1,2. . . , onde usamos o fato de quen= t−_lδ < t_l eeβt =et(1llogM)=M

t l.

¤

Defini¸c˜ao 1.2 Seja A:D(A)⊂E −→E um operador linear, o conjunto

{λ∈C_:_R(λI₋_{A) =}_E,_(λI₋_A)−1_{existe e ´e limitado sobre}_R(λI₋_A)_}

´e chamado conjunto resolvente do operador A e ´e denotado por ρ(A). O conjunto

σ(A) =C_/ρ(A)_{´e chamado} _{espectro do operador} _A_. _¤

Defini¸cão 1.3 Se _{T(t) : t _≥ 0_{} ⊂} L(E) é um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares, seugerador infinitesimal é o operador definido por A:D(A)⊂E→E, onde

D(A) =

½

e∈E: lim

t→0+

T(t)e−e t existe

¾

, Ae= lim

t→0+

T(t)e−e t .

¤

(17)

Teorema 1.2 Suponha que {T(t) :t≥0} ⊂L(E) ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo. 1. Para qualquer e_∈E, t_7→T(t)e ´e cont´ınuo parat_≥0.

2. t_{7→ k}T(t)_k_L₍_E₎ ´e semicont´ınua inferiormente e portanto mensur´avel.

3. Seja A o gerador infinitesimal de T(t). Ent˜ao, A ´e densamente definido e fechado. Para

e_∈D(A),t_7→T(t)e´e continuamente diferenci´avel e

d

dtT(t)e=AT(t)e=T(t)Ae, t >0.

4. ∩m≥1D(Am)´e denso em E.

5. Para Reλ > β e β dado no Teorema 1.1, λest´a no resolventeρ(A) deA e

(λ₋A)−1e=

Z ∞

0

e−λtT(t)edt, _∀e_∈E.

Prova. (1) A continuidade det7→T(t)e´e uma consequˆencia de Teorema 1.1 e de

kT(t+h)e₋T(t)e_kE =k(T(h)−I)T(t)ekE →0, quando h→0+, t >0, e∈E,

kT(t)e₋T(t₋h)e_kE ≤ k(T(t−h)kL(E)kT(h)e−ekE →0, quando h→0+, t >0, e∈E.

(2) Mostremos que _O = _{t _≥ 0 : _kT(t)_k_L₍_E₎ > b_} ´e aberto em [0,_∞) para cada b, o que implica a aﬁrmativa. Para tanto mostremos que dado t0 ∈ O existe vizinhan¸ca U de t0 tal que

U ⊂ O. Mas kT(t0)kL(E) > b implica que existe e ∈ E com kekE = 1 tal que kT(t0)ek > b.

Segue de (1) que _kT(t)e_k > b parat em uma vizinhan¸ca de t0. Logo kT(t)kL(E) > b para t em

uma vizinhan¸ca de t0 e o resultado segue.

(3) Sejae_∈E e paraǫ >0,eǫ = 1_ǫ

Z ǫ

0

T(t)edt; ent˜ao segue da continuidade det_7→T(t)eque eǫ→equando ǫ→0+. Al´em disso,eǫ∈D(A), pois parah >0

h−1(T(h)eǫ−eǫ) =

1 ǫh

½Z ǫ+h

ǫ

T(t)edt₋

Z h

0

T(t)edt

¾

→ 1_ǫ(T(ǫ)e₋e),

quandoh→0+. Logoeǫ ∈D(A) eD(A) é denso em E. Será uma consequência imediata de (5)

queA ´e fechado pois (λ₋A)−1_∈_{L(E). Se}_e_∈_{D(A) ´e claro que}

d+

dtT(t)e= limh→0+ 1

h{T(t+h)e−T(t)e}=AT(t)e=T(t)Ae é cont´ınua e toda fun¸cão com derivada à direita cont´ınua é diferenciável.

(4) Seja φ : R _→ R _{uma fun¸c˜}_{ao em} _C∞₍R_{) com} _{φ(t) = 0 em uma vizinhan¸ca de} _t _{= 0 e} tamb´em parat suﬁcientemente grande. Seja e_∈E e f =

Z ∞

0

(18)

8 1.1 Semigrupos e seus geradores

h−1(T(h)f−f) =h−1

Z ∞

h

(φ(t−h)−φ(t))T(t)edtquef ∈D(A) e queAf =−

Z ∞

0

φ′(t)T(t)edt. Como ₋φ′ _{satisfaz as mesmas condi¸c˜}_{oes que} _{φ, repetindo o argumento anterior temos que}

f ∈D(Am) e que

Amf = (₋1)m

Z ∞

0

φ(m)(t)T(t)edt

para todo m ≥ 1. Consequentemente f ∈ ∩m≥1D(Am). Para mostrar que tal conjunto

de pontos ´e denso em E, escolha φ acima satisfazendo tamb´em

Z ∞

0

φ(t)dt = 1; ent˜ao se, fn =

Z ∞

0

nφ(nt)T(t)edt =

Z ∞

0

φ(s)T(s/n)eds, n = 1,2,3,_{· · ·} e temos que fn ∈ ∩m≥1D(Am)

efn→equando n→ ∞.

(5)Deﬁna R(λ)_∈L(E) por

R(λ)e=

Z ∞

0

e−λtT(t)edt

e note quekR(λ)kL(E)≤ _ReλM₋_β, se Reλ > β ekT(t)kL(E)≤Meβt. Sejae∈E e h >0

h−1(T(h)−I)R(λ)e =R(λ)T(h)e_h −e =

=h−1

·Z ∞

h

e−λt+λhT(t)e₋

Z ∞

0

e−λtT(t)e

¸

=

=h−1

·

−

Z h

0

eλ(h−t)T(t)e+

Z ∞

0

(eλh₋1)e−λtT(t)e

¸

→ −e+λR(λ)e, quando h_→0+_.

(1.1)

PortantoR(λ)e_∈D(A) e (λ₋A)R(λ)e=e, eλ₋Aé sobrejetivo. Também, see_∈D(A) então, como AR(λ)e =R(λ)Ae, por (1.1) vemos que (λ₋A)R(λ)e =e =R(λ)(λ₋A)e, e_∈ D(A) e λ−Aé também um-a-um, portanto uma bije¸cão deD(A) sobreE com inversa limitadaR(λ) e

a prova est´a completa. ¤

Teorema 1.3 Sejam _{T(t), t _≥ 0_} e _{S(t), t _≥0_} semigrupos fortemente cont´ınuos com gera-dores infinitesimaisA e B respectivamente. SeA=B ent˜aoT(t) =S(t), t_≥0.

Prova. Seja e _∈ D(A) = D(B). Do Teorema 1.2 segue facilmente que a fun¸cão s7→T(t−s)S(s)eé diferenciável e que

d

dsT(t−s)S(s)e =−AT(t−s)S(s)e+T(t−s)BS(s)e=

(19)

Portanto s 7→ T(t−s)S(s)eé constante e em particular seus valores em s = 0 e s= t são os mesmos, isto éT(t)e=S(t)e. Isto vale para todo e_∈D(A) e comoD(A) é denso em E eS(t), T(t) são limitados, T(t)e=S(t)epara todoe_∈E. ¤

1.2 O Teorema de Hille-Yosida

Teorema 1.4 (Hille-Yosida) Suponha que A :D(A) ⊂E → E é um operador linear. Então os fatos seguintes são equivalentes

(i) A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo _{T(t) :t _≥0_{} ⊂} L(E)

tal que

kT(t)kL(E) ≤eωt, ∀t≥0;

(ii) A ´e um operador linear fechado, densamente definido cujo conjunto resolvente cont´em

(ω,∞) e

k(λ₋A)−1_k_L₍_E₎_≤ 1

λ₋ω, ∀λ > ω.

Prova.Seque do Teorema 1.2 (3), que A é operador linear fechado e densamente definido. Além disso, como kT(t)kL(E) ≤1.eωt, t≥0,segue do Teorema 1.2 (5) que {λ∈C: Reλ > ω} ⊂ρ(A)

(em particular, seλ > ω ent˜aoλ_∈ρ(A)) e que

k(λ−A)−1ekE ≤

Z ∞

0

e−λtkT(t)ekEdt≤

1

λ−ωkekE

seλ > ω.

Por outro lado, note que T(t)e−ωt =T1(t) ´e um semigrupo com kT1(t)kL(E) ≤ 1 (chamado

semigrupo de contra¸cões) e o gerador de T1(t) é A−ω logo é suficiente tratar o caso ω = 0.

Admita que(ii) vale comω = 0. Paraλ >0

kλ(λ₋A)−1_k_L₍_E₎_≤1, λ(λ₋A)−1 = (I₋λ−1A)−1 =I+A(λ₋A)−1 ent˜aoe∈D(A) implica

kλ(λ₋A)−1e₋e_kE =k(λ−A)−1AekE ≤λ−1kAekE →0

quando λ_{→ ∞} e, comoA´e densamente deﬁnido,

λ(λ−A)−1e= (I−λ−1A)−1e→e quando λ→ ∞ (1.2) para cada e_∈E. Deﬁna Aλ =A(I −λ−1A)−1,λ >0 ent˜ao Aλ ∈L(E),

(20)

10 1.2 O Teorema de Hille-Yosida

e se e ∈ D(A), Aλe → Ae quando λ → ∞. Aλ ´e a Aproxima¸c˜ao de Yosida do gerador A.

ObtemosT(t) como o limite deetAλ _quando_λ_{→ ∞}_{. Primeiro note que} Aλ =λ2(λ−A)−1−λIE

logo

ketAλ_k

L(E) =ke−λtetλ

2₍_λ₋_A₎−1

kL(E)

≤e−λt_etλ2_k₍_λ₋_A₎−1_k

L(E) _≤₁ e para qualquerλ, µ >0 (et >0), desde que AλAµ=AµAλ,

ketAλ_e₋_etAµ_e_k

E =

° ° ° °

Z 1

0

d

ds(etsAλet(1−s)Aµe)ds

° ° ° °

E

≤

Z 1

0

t°

°etsAλet(1−s)Aµ(A_λe−A_µe) ° °

Eds

≤t_kAλe−AµekE.

Portanto para e∈D(A), T(t)e≡limλ→∞etAλeexiste uniformemente para 0≤t≤t0, qualquer

t0>0,t→T(t)e´e cont´ınuo parat≥0,T(t)e→eemEquandot→0+,T(t)(T(s)e) =T(t+s)e

parat, s_≥0 e_kT(t)e_kE ≤ kekE. Podemos deﬁnir de forma ´unicaT(t)∈L(E) para cada t≥0.

Se e _∈ E, ǫ > 0 dados. Ent˜ao existem e1 ∈ D(A) e δ > 0 tais que, ke1 −ekE < ǫ/3 e

kT(t)e1−e1kE < ǫ/3, 0≤t≤δ. Segue que

kT(t)e₋e_kE ≤ kT(t)(e−e1)kE +kT(t)e1−e1kE +ke1−ekE < ǫ.

Portanto{T(t), t≥0} ⊂L(E) é um semigrupo fortemente cont´ınuo. Só resta provar queA é o seu gerador.

Sejae_∈D(A2), ent˜ao

T(t)e₋e = limλ→∞(etAλe−e) = limλ→∞ Z t

0

esAλ_A

λeds

=

Z t

0

T(s)Aeds.

Tomando limites, isto vale também para e _∈ D(A) (isto é feito da seguinte forma: tomamos e∈D(A) e {fn} ⊂D(A) tal que fn →Ae entãoD(A2) ∋gn =A−1fn →e e D(A2)∋gn →e,

(21)

Agora 1_t(T(t)e₋e) = 1_t

Z t

0

T(s)Aeds _→ Ae quando t _→ 0+, para qualquer e _∈ D(A). Portanto o gerador B de T(t) deve ser uma extensão de A (isto é D(B) _⊃ D(A) e Be = Ae quando e∈D(A)). Mas, por hipótese, 1∈ρ(A) e, do fato que B é o gerador de um semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸cões, 1_∈ρ(B), então

E= (I₋A)D(A) = (I₋B)D(A),

ent˜ao (I₋B)D(A) =E = (I₋B)D(B), D(A) =R((I₋B)−1_{) =}_{D(B), e segue que}_A₌_B _{e a}

prova est´a completa. ¤

Ambas condi¸cões (i)e(ii) dependem da escolha da norma emE. Daremos uma formula¸cão independente da norma, mas na prática devemos usualmente procurar normas especiais para a qual este teorema se aplique.

Lema 1.1 Suponha que A ´e um operador linear cujo conjunto resolvente cont´em (0,∞) e que satisfaz

k(λ−A)−nkL(E)≤M λ−n, n≥1, λ >0.

Ent˜ao existe uma norma | · |E em E tal que

kekE ≤ |e|E ≤MkekE, ∀e∈E

e

|(λ−A)−1e|E ≤λ−1|e|E, ∀e∈E, λ >0.

¤

Teorema 1.5 (Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida) Seja A : D(A) _⊂ E _→ E um operador linear. As seguintes afirmativas s˜ao equivalente

(i) A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo _{T(t) :t _≥0_{} ⊂} L(E)

tal que

kT(t)_k_L₍_E₎_≤Meβt, _∀t_≥0;

(ii) A ´e fechado, densamente definido, o conjunto resolvente de A cont´em(β,_∞) e k(λ₋A)−n_k_L₍_E₎_≤M(λ₋β)−n, _∀λ > β, n= 1,2,_{· · ·}.

(22)

12 1.3 O Teorema de Lumer-Phillips

1.3 O Teorema de Lumer-Phillips

Defini¸c˜ao 1.4 Seja E um espa¸co de Banach sobre K _{com norma} _{k · k}_E _{e seja} _E∗ ₌ _L(E,K₎

o seu dual topol´ogico com a norma usual k · kE∗ (ke∗k_E∗ = sup{Rehe∗, ei : kek_E ≤ 1}). A

aplica¸cão dualidade J :E _→2E∗ é uma fun¸cão mult´ıvoca definida por

J(e) ={e∗ ∈E∗: Rehe∗, ei=kek2E, ke∗kE∗=kek_E}.

J(e)₆= Ø, pelo Teorema de Hahn-Banach. ¤

Defini¸c˜ao 1.5 Um operador linear A :D(A) ⊂E → E ´e dissipativo se para cada e ∈D(A)

existee∗ _∈J(e) tal queRe_he∗, Ae_{i ≤}0. ¤

Observa¸c˜ao 1.1 Se_{T(t) :t_≥0_{} ⊂}L(E) ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo tal que kT(t)_{k ≤}1, _∀t_≤0,

então dizemos que T(t) é um semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸cões. ¤ Lema 1.2 O operador linear A é dissipativo se, e somente se,

k(λ−A)ekE ≥λkekE (1.3)

para todoe_∈D(A) eλ >0.

Prova.SejaAdissipativo. See= 0, o resultado é óbvio. Sejamλ >0, 0=6 e∈D(A) ee∗ ∈J(e) tal que Re_hAe, e∗_{i ≤}0. Então

kλe−AekEkekE ≥ |hλe−Ae, e∗i| ≥Rehλe−Ae, e∗i ≥λkek2E

e (1.3) segue. Reciprocamente, sejae∈D(A) e admita queλkekE ≤ kλe−AekE para todoλ >0.

Se e= 0, qualquer e∗ _∈ J(e) satisfaz Re_hAe, e∗_{i ≤} 0. Podemos ent˜ao assumir 0 ₆= e _∈ D(A). Sejaf∗

λ ∈J(λe−Ae), λ >0. Ent˜ao temos

0< λ_ke_kE ≤ kλe−AekE =kfλ∗kE∗

e podemos ent˜ao deﬁnirg∗_λ=f_λ∗/kf_λ∗kE∗. Da´ı,

λkekE ≤ kλe−AekE =hλe−Ae, g∗λi=λRehe, g∗λi −RehAe, gλ∗i ≤λkekE−RehAe, gλ∗i, (1.4)

donde segue que Re_hAe, g∗

λi ≤0.

Como a bola unit´aria deE∗ ´e compacta na topologia fraca∗ existem g∗ ∈E∗,kg∗kE∗ ≤1, e

sequˆencia λn → ∞ tais quegλ∗n

w∗

(23)

Mas Rehe, g∗i ≤ |he, g∗i| ≤ kekE e portanto Rehe, g∗i = kekE. Tomando e∗ = kekEg∗ temos

e∗_∈J(e) e Re_hAe, e∗_{i ≤}0. Portanto, para todoe_∈D(A) existee∗ _∈J(e) tal que Re_hAe, e∗_{i ≤}0

e A´e dissipativo. ¤

Teorema 1.6 (Lumer-Phillips) Suponha queA´e um operador linear densamente definido em um espa¸co de Banach E.

(i) SeA é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸cões, então

A ´e dissipativo (de fato, Re_he∗_{, Ae}_{i ≤} ₀ _{para todo} _e∗ _∈ _J_(e)) _e _R(λ₋_{A) =}_E _{para todo}

λ >0,

(ii) Se A é dissipativo e R(λ0 −A) = E para algum λ0 > 0, então A é o gerador de um

semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸c˜oes.

Prova. (i) Se A gera _{T(t) :t_≥0_} com _kT(t)_k_L₍_E₎_≤1 segue do Teorema de Hille-Yosida que (0,∞) ⊂ ρ(A) e ent˜aoR(λ−A) =E para todo λ >0. Al´em disso, para quaisquer e∈ D(A), e∗_∈_J(e), _{t >}_0,

|he∗, T(t)ei| ≤ ke∗kE∗kT(t)ek_E ≤ kek2_E

e ent˜ao

Re

¿

e∗,T(t)e−e t

À

= 1

t{Rehe∗, T(t)ei − kek

2

E} ≤0.

Fazendo t_→0+, segue que see_∈D(A), Re_he∗, Ae_{i ≤}0, o que mostra que A ´e dissipativo. (ii)Suponhamos que A seja dissipativo e que existaλ0>0 tal queR(λ0−A) =E. Seλ >0

e e∈D(A), segue do Lema 1.2 que

k(λ−A)ekE ≥λkekE.

Assim, temosR(λ0−A) =E ek(λ0−A)ekE ≥λ0kekE parae∈D(A). Logoλ0 est´a no conjunto

resolvente de A e A é fechado. Resta verificar queR(λ₋A) =E para λ >0 e então λ_∈ρ(A) paraλ >0, isto é, (0,_∞)_⊂ρ(A). Para tanto, considere o conjunto Λ =_{λ_∈ρ(A)_∩R_:_{λ >}₀_}_. Comoλ0 ∈Λ, então Λ6=∅. Além disso, Λ é um conjunto aberto em (0,∞) já queρ(A) é aberto.

Provaremos que Λ ´e tamb´em fechado em (0,_∞) para concluir que Λ = (0,_∞). Suponha que

{λn}∞n=1 ⊂Λ,λn→λ >0. Se n´e suﬁcientemente grande temos que

|λn−λ| ≤λ/4.

Ent˜ao, para n grande

(24)

eI + (λ−λn)(λn−A)−1 ´e um isomorﬁsmo de E. Logo

λ−A=©

I+ (λ−λn)(λn−A)−1ª(λn−A) (1.5)

levaD(A) sobreE eλ∈ρ(A), como quer´ıamos.

Agora todas as hipóteses do Teorema de Hille-Yosida (ii) estão verificadas e a prova está

completa. ¤

A seguir recordamos a deﬁni¸c˜ao de operadores adjuntos. Seja E um espa¸co de Banach com dual E∗_{. Seja} _S _: _D(S) _⊂ _E _→ _E _{um operador linear com dom´ınio denso. O} _adjunto

S∗ :D(S∗) _⊂E∗ _→E∗ de S é o operador linear definido por: D(S∗) é o conjunto dose∗ _∈E∗ para os quais existe f∗ _∈_E∗ _com

he∗, Se_i=_hf∗, e_{i ∀}e_∈D(S), (1.6) e see∗ _∈_D(S∗_{) ent˜ao}_f∗ ₌_S∗_e∗ _onde_f∗ _{´e o elemento de}_E∗ _{satisfazendo (1.6). Note que como}

D(S) ´e denso em E existe no m´aximo umf∗ ∈E∗ para o qual (1.6) vale.

SejaH um espa¸co de Hilbert com produto escalar _h·,_·i. Identiﬁcamos H e H∗ e denotamos ambos porH.

Defini¸cão 1.6 SejaHum espa¸co de Hilbert com produto interno_h·,_·i. Um operadorA:D(A)_⊂ H _→ H é simétrico se D(A) = H e A_⊂A∗_{; isto é,} _h_{Ae, f}_i ₌_h_{e, Af}_i _{para todo} _{e, f} _∈_D(A)_.

A´e auto-adjunto se A=A∗. ¤

Corol´ario 1.1 Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambos A e A∗

são dissipativos, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo de contra¸cões sobre E.

Prova. Pelo Teorema de Lumer-Philips é suficiente provar que R(I ₋A) = E. Como A é dissipativo e fechado, R(I ₋A) é um subespa¸co fechado de E. Suponhamos R(I ₋A) ₆= E. Então existe e∗ _∈ _E∗_, _e∗ ₆_{= 0 tal que} _h_e∗_{, e}₋_Ae_i _{= 0 para todo} _e _∈ _{D(A). Isto implica}

e∗−A∗e∗ = 0. Como A∗ é também dissipativo segue do Lema 1.2 quee∗ = 0, contradizendo a constru¸cão de e∗. Portanto, R(I₋A) =E. ¤ Em muitos exemplos a técnica utilizada para verificar as estimativas espectrais necessárias para se garantir que um operador A é o gerador de um semigrupo fortemente cont´ınuo, são obtidas através do conhecimento da chamadaimagem numérica que é definida a seguir.

Se A é um operador linear em um espa¸co de Banach complexo E, a sua imagem numérica W(A) é o conjunto

(25)

No caso em que E ´e um espa¸co de Hilbert,W(A) ={hAe, ei:e∈D(A),kekE = 1}.

Teorema 1.7 Seja A :D(A)⊂E →E um operador fechado densamente definido. Seja W(A)

a imagem num´erica de AeΣum subconjunto aberto e conexo emC_\_W_(A)_{. Se}_{λ /}_∈_W_(A) _ent˜_ao λ₋A´e um-a-um e tem imagem fechada e satisfaz

k(λ₋A)e_k_L₍_E₎_≥d(λ, W(A))_ke_kE. (1.8)

Adicionalmente, seρ(A)∩Σ6= Ø ent˜ao ρ(A)⊃Σ e k(λ₋A)−1_k_L₍_E₎_≤ 1

d(λ, W(A)), ∀λ∈Σ (1.9)

onde d(λ, W(A)) ´e a distˆancia de λ a W(A).

Prova. Sejaλ /_∈W(A). See_∈D(A), _ke_kE = 1,e∗ ∈E∗,ke∗kE∗ = 1 e he∗, ei= 1 ent˜ao

0< d(λ, W(A))≤ |λ− he∗, Aei|=|he∗, λe−Aei| ≤ kλe−AekE. (1.10)

Da´ı, se 0₆=e_∈D(A) segue de (1.10) que

0< d(λ, W(A))_{≤ k}(λ₋A) e

ke_kEkE

e ent˜ao

0< d(λ, W(A))_ke_kE ≤ k(λ−A)ekE. (1.11)

Portanto λ₋A ´e um-a-um, tem imagem fechada e satisfaz (1.8). Se adicionalmente λ_∈ ρ(A) ent˜ao (1.11) implica (1.9).

Resta mostrar que se Σ intercepta ρ(A) então ρ(A)_⊃Σ. Para este fim considere o conjunto ρ(A) ∩Σ. Este conjunto é obviamente não vazio e aberto em Σ. Mas também é fechado, já que se λn ∈ ρ(A)∩Σ é tal que λn → λ ∈ Σ implica que para n suficientemente grande

|λ₋λn|< d(λn, W(A)). De (1.9) segue que para n grande, |λ−λn| k(λn−A)−1k <1 e (1.5)

implica que λ ∈ρ(A) e portanto ρ(A)∩Σ ´e fechado em Σ. Segue que ρ(A)∩Σ = Σ, ou seja,

ρ(A)_⊃Σ, como quer´ıamos. ¤

Defini¸cão 1.7 Dizemos que um operadorA:D(A)_⊂E _−→EéfechávelseGraf(A)é gráfico de um operador A¯. A¯ é o menor operador fechado que estende A. ¤ Teorema 1.8 Seja A um operador dissipativo em E.

(a) Se para algum λ0 >0, R(λ0−A) =E ent˜ao R(λ−A) =E para todoλ >0.

(26)

(c) SeD(A) =E então Aé fechável.

Prova. A afirmativa (a) foi provada no Teorema de Lumer-Phillips. Para provar (b) sejam e∈D( ¯A), f = ¯Ae. Então existe uma sequência {en} ⊂D(A) tal queen →ee Aen →f = ¯Ae.

Do Lema 1.2 segue que_kλen−AenkE ≥λkenkE, paraλ >0 e fazendo n→ ∞temos

kλe−Ae¯ kE ≥λkekE, λ >0. (1.12)

Como (1.12) vale para todoe_∈D( ¯A), segue que ¯Aé dissipativo pelo Lema 1.2. Para provar (c) admita queA não é fechável. Então existe uma sequência{en} ⊂D(A),en→0 eAen→f com

kf_kE = 1. Do Lema 1.2 segue que para todo t >0 ee∈D(A)

k(e+t−1en)−tA(e+t−1en)kE ≥ ke+t−1enkE.

Fazendo primeiron→ ∞, temos

ke₋tAe₋f_kE ≥ ke|E.

e se t→0 ent˜ao

ke₋f_kE ≥ kekE

para todoe_∈D(A). Mas isto é imposs´ıvel seD(A) é denso emE e portantoAé fechável. ¤ Teorema 1.9 Seja A dissipativo com R(I₋A) =E. Se E é reflexivo entãoD(A) =E.

Prova. Seja e∗ ∈ E∗ tal que he∗, ei = 0 para todo e∈D(A). Mostraremos quee∗ = 0. Como R(I₋A) =E, é suficiente mostrar que_he∗_{, e}₋_Ae_i_{= 0 para todo}_e_∈_{D(A), o que é equivalente a}

he∗, Aei= 0 para todoe∈D(A). Sejae∈D(A) ent˜ao, pelo Teorema 1.8 (a), existe umental que

e=en−(1/n)Aen. ComoAen=n(en−e)∈D(A), ent˜aoen∈D(A2) eAe=Aen−(1/n)A2en,

ou seja,Aen= (I−(1/n)A)−1Ae. Do Lema 1.2 segue quek(I−(1/n)A)−1kL(E)≤1 e portanto

kAenkE ≤ kAekE =C. Tamb´em, ken−ekE ≤(1/n)kAenkE ≤(1/n)kAekE e portanto en →e.

Como_kAenkE ≤C eEé reflexivo, existe uma subsequênciaAenk deAental queAenk

w

−→f (na topologia fraca). ComoA ´e fechado (veja Teorema de Lumer-Phillips (ii)), segue que f = Ae. Finalmente, como_he∗, z_i= 0 para todoz_∈D(A), temos

he∗, Aenki=he∗, nk(enk−e)i=nkhe∗, enk−ei= 0. (1.13) Fazendo nk → ∞ em (1.13) temos he∗, Aei = 0. Isto vale para e ∈ D(A) e portanto e∗ = 0 e

D(A) =E. ¤

(27)

1.4 F´

ormulas exponenciais

Teorema 1.10 Seja _{T(t) :t_≥0_} um semigrupo fortemente cont´ınuo emE. Se

A(h)e= T(h)e−e h

ent˜ao para todo e_∈E temos

T(t)e= lim

h→0+e

tA(h)_e _(1.14)

e o limite ´e uniforme em t em qualquer intervalo limitado deR_.

Prova. SejakT(t)kL(E) ≤Meωt com ω ≥0 e seja A o gerador inﬁnitesimal de {T(t) : t≥ 0}.

Como para todoh > 0 A(h) é limitado, o semigrupo et A(h) está bem definido. Adicionalmente A(h) e T(t) comutam, logo o mesmo ocorre comet A(h) _e_T_{(t). Ainda}

ket A(h)kL(E) ≤e−t/h ∞ X k=0 µ t h ¶k

kT(hk)_k_L₍_E₎

k! ≤Me t

h(eωh−1).

Portanto, para 0< h_≤1 temos

ket A(h)kL(E) ≤Met(e

ω₋₁₎ .

´

E fácil ver que para e∈D(A), a aplica¸cão s7→e(t−s)A(h)T(s)eé diferenciável e que d

ds

³

e(t−s)A(h)T(s)e´ =₋A(h)e(t−s)A(h)_T_(s)e₊_e(t−s)A(h)_AT_(s)e₌

=e(t−s)A(h)T(s)(Ae₋A(h)e). Consequentemente, para 0< h_≤1 ee_∈D(A) temos

kT(t)e−et A(h)ekL(E) = ° ° ° ° Z t 0 d ds ¡

e(t−s)A(h)T(s)e¢

ds

° ° ° °

L(E)

≤

Z t

0 k

e(t−s)A(h)kL(E)kT(s)kL(E)dskAe−A(h)ekE ≤

≤tM2et(eω+ω−1)

kAe₋A(h)e_kE.

Fazendo h _→ 0+ obtemos (1.14) para e _∈ D(A). Como ambos _ket A(h)_k_L₍_E₎ e _kT(t)_k_L₍_E₎ s˜ao uniformemente limitados em qualquer intervalo limitado deR_{e como}_{D(A) ´e denso em}_E_obtemos

que (1.14) vale para todoe∈E. ¤

Teorema 1.11 (O Segundo Limite Fundamental) Seja _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo fortemente cont´ınuo em E. Se A ´e o seu gerador infinitesimal, ent˜ao

T(t)e= lim

n→∞ µ

I₋ t nA

¶−n

e= lim

n→∞ ·

n t

³n

t −A

´−1¸n

e, _∀e_∈E

(28)

18 1.4 F´ormulas exponenciais

Prova. Admita que kT(t)kL(E) ≤Meωt. Vimos no Teorema 1.2 que paraReλ > ω, (λ−A)−1

´e anal´ıtica em λe que

(λ−A)−1e=

Z ∞

0

e−λsT(s)e ds, e∈E. (1.15) Para tﬁxo ensuﬁcientemente grande (n/t > ω), derivandonvezes em λ, substituindo s=vt e tomandoλ=n/t em (1.15) encontramos

· ³n

t −A

´−1¸(n)

e= (₋1)ntn+1

Z ∞

0

(ve−v)nT(tv)edv. Mas

£

(λ₋A)−1¤(n) = (₋1)nn!(λ₋A)−n−1 e portanto

·

n t

³n

t −A

´−1¸n+1

e= n

n+1

n!

Z ∞

0

(ve−v)nT(tv)e dv. Notando que

n+ 1 n!

Z ∞

0

(ve−v)ndv= 1 obtemos

·

n t

³n

t −A

´−1¸n+1

e−T(t)e= n

n+1

n!

Z ∞

0

(ve−v)n[T(tv)e−T(t)e]dv. (1.16) Dadoǫ >0 escolhemos 0< a <1< b <_∞ tal quet_∈[0, t0] implica

kT(tv)e−T(t)ekL(E)< ǫ, a≤v≤b.

Ent˜ao quebramos a integral em trˆes integrais I1, I2, I3 nos intervalos [0, a], [a, b] e [b,∞)

respectivamente e temos

kI1kL(E)≤

nn+1 n! (ae

−a₎nZ a

0 k

T(tv)e−T(t)ekL(E)dv,

kI2kL(E)≤ǫ

nn+1 n!

Z b

a

(ve−v)ndv < ǫ,

kI3kL(E)=k

nn+1 n!

Z ∞

b

(ve−v)n(T(tv)e₋T(t)e)dv_k_L₍_E₎.

Aqui usamos o fato queve−v ≥0 é não decrescente para 0≤v ≤1 e não crescente para v≥1. Como adicionalmente ve−v < e−1 para v ₆= 1, _kI1kL(E) → 0 uniformemente para t ∈ [0, t0]

quandon_{→ ∞}. Escolhendon > ωt emI3, vemos que a integral na estimativa deI3, converge e

quekI3kL(E) →0 uniformemente parat∈[0, t0] quando n→ ∞. Consequentemente

lim sup n→∞ ° ° ° ° ° · n t ³n

t −A

´−1¸n+1

e₋T(t)e

° ° ° ° °

L(E)

(29)

e comoǫ >0 ´e arbitr´ario temos lim

n→∞ ·

n t

³n

t −A

´−1¸n+1

e=T(t)e. Ainda

lim

n→∞

n t

³n

t −A

´−1

e=e.

e o resultado segue. ¤

1.5 Pseudo-resolventes

SejaA um operador fechado e densamente definido emE. Seµ eλestão emρ(A), então temos o que chamamos de identidade do resolvente

(λI₋A)−1₋(µI₋A)−1 = (µ₋λ)(λI₋A)−1(µI₋A)−1. De fato,

(µ₋λ)(λI₋A)−1(µI₋A)−1=µ(λI₋A)−1(µI₋A)−1₋λ(λI₋A)−1(µI₋A)−1= =£

µ(λI₋A)−1₋λ(λI₋A)−1¤

(µI₋A)−1= =£

µ(λI−A)−1−[I+A(λI−A)−1]¤

(µI−A)−1 = =£

−I+ (λI₋A)−1(µI₋A)¤

(µI₋A)−1 = = (λI−A)−1−(µI−A)−1.

Motivado por isto deﬁnimos

Defini¸c˜ao 1.8 Seja ∆ um subconjunto do plano complexo. Uma fam´ılia {J(λ), λ ∈ ∆}, de operadores lineares limitados em E satisfazendo

J(λ)−J(µ) = (µ−λ)J(λ)J(µ), λ, µ∈∆ (1.17)

´e chamado umpseudo-resolventeem ∆. ¤

O objetivo final desta se¸cão é determinar condi¸cões sob as quais existe um operador fechado e densamente definidoA tal queJ(λ) é o resolvente deA.

(30)

20 1.5 Pseudo-resolventes

Prova. Por (1.17) segue queJ(λ) eJ(µ) comutam paraλ, µ∈∆. Vejamos, seλ6=µ, J(λ)J(µ) = J(λ)−J(µ)

λ₋µ =

J(µ)−J(λ)

µ₋λ =J(µ)J(λ). Tamb´em, reescrevendo (1.17) na forma

J(λ) =J(µ)[I+ (µ₋λ)J(λ)]

obtemos queR(J(µ))_⊃R(J(λ)) e por simetria temos a igualdade. SemelhantementeN(J(λ)) = N(J(µ)). ComoJ(λ) ´e um operador linear limitado para cada λ_∈∆, segue que N(J(λ))_⊂E

´e um subespa¸co fechado. ¤

Teorema 1.12 Seja ∆ um subconjunto deC _{e seja} _J(λ) _{pseudo-resolvente em} _∆_{. Ent˜}_ao,_J_(λ)

´e o resolvente de um operador (unicamente definido) linear fechado e densamente definido se, e somente se, N(J(λ)) =_{0_} eR(J(λ)) ´e denso emE.

Prova.SeJ(λ) é o resolvente de um operador fechado e densamente definidoA:D(A)_⊂E _→E, entãoJ(λ) = (λI₋A)−1 _:_R(λI₋_A)_→_{D(A). Logo,} _N_(J_{(λ)) =}_{₀_}_e_R(J_{(λ)) =}_{D(A) é denso}

emE. Por outro lado, admita queN(J(λ)) ={0} e R(J(λ)) ´e denso em E. DeN(J(λ)) ={0}

segue queJ(λ) ´e um-a-um. Seja λ0 ∈∆ e deﬁna

A=λ0I−J(λ0)−1 :R(J(λ0))−→E.

Note queAest´a bem deﬁnido, pois para cada e_∈R(J(λ)), λ, µ_∈∆

J(λ)J(µ)[J(µ)−1e−J(λ)−1e] =J(λ)e−J(µ)e= (µ−λ)J(λ)J(µ)e assim,

J(µ)−1e₋J(λ)−1e= (µ₋λ)e e portanto,

λe₋J(λ)−1e=µe₋J(µ)−1e,

ou seja, λ0 −J(λ0)−1 é independente de λ0. Observe que A assim definido é claramente

li-near, fechado, pois J(λ0) é linear limitado, e ainda, A é densamente definido, já que D(A) =

D(J(λ−₀1)) =R(J(λ0)). Da defini¸cão deA, é claro que

(λ0I−A)J(λ0) =I =J(λ0)(λ0I−A),

e portantoJ(λ0) = (λ0I−A)−1. Seλ∈∆, ent˜ao

(λI−A)J(λ) = ((λ−λ0)I+ (λ0I −A))J(λ) =

= ((λ₋λ0)I+ (λ0I −A))J(λ0)[I −(λ−λ0)J(λ)] =

=I+ (λ−λ0)[J(λ0)−J(λ)−(λ−λ0)J(λ0)J(λ)] =

(31)

e semelhantemente J(λ)(λI −A) = I. Portanto, J(λ) = (λI −A)−1 para todo λ ∈ ∆. Em particular,A´e unicamente determinado por J(λ). ¤

A seguir damos condi¸c˜oes suﬁcientes para que pseudo-resolventes sejam resolventes.

Teorema 1.13 Seja ∆ _⊂ C _{ilimitado e seja} _J_(λ) _{um pseudo-resolvente em} _∆_{. Se} _R(J_(λ)) _´e

denso em E e existe uma sequˆenciaλn∈∆ com |λn| → ∞ e

kλnJ(λn)kL(E) ≤M (1.18)

para alguma constanteM, entãoJ(λ)é o resolvente de um único operador fechado e densamente definido.

Prova. Como|λn| → ∞, segue de (1.18) que kJ(λn)kL(E)→0 quandon→ ∞. Seja µ∈∆. De

(1.17) deduzimos que

k(λnJ(λn)−I)J(µ)kL(E)=k(µJ(µ)−I)J(λn)kL(E)→0, n→ ∞.

Portanto, see∈R(J(µ)) temos

λnJ(λn)e→e, n→ ∞. (1.19)

Como R(J(µ)) ´e denso em E e λnJ(λn) ´e uniformemente limitada, temos que (1.19) vale para

todo e ∈ E. Agora, se e ∈ N(J(λ)), ent˜ao λnJ(λn)e = 0 e de (1.19) deduzimos que e = 0.

Portanto N(J(λ)) =_{0_} e, do Teorema 1.12,J(λ) ´e o resolvente de um ´unico operador fechado

e densamente deﬁnidoA. ¤

Corol´ario 1.2 Seja ∆ _⊂ C _{ilimitado e} _J(λ) _{um pseudo-resolvente em} _∆_. _{Se existe uma}

seq¨uˆencia λn∈∆ tal que|λn| → ∞ quandon→ ∞ e

lim

n→∞λnJ(λn)e=e, ∀e∈E, (1.20)

ent˜ao J(λ) ´e o resolvente de um operador (unicamente definido) fechado e densamente definido

A.

(32)

22 1.6 O semigrupo dual e o Teorema de Stone

1.6 O semigrupo dual e o Teorema de Stone

Come¸camos com alguns resultados b´asicos sobre operadores duais. Lema 1.4 Seja S ∈L(E); ent˜ao,S∗ ∈L(E∗) e kSkL(E)=kS∗kL(E).

Prova. E fácil ver que´ S∗ _{é operador linear fechado. Além disso, para todo} _e∗ _∈_E∗_,_h_e∗_{, Se}_i _é

um funcional linear cont´ınuo e portanto determina um ´unico elemento f∗ ∈ E∗ para o qual

hf∗_{, e}_i ₌ _h_e∗_{, Se}_i_{. Logo,} _D(S∗_{) =} _E∗_{. Segue então do Teorema do Gráfico Fechado que}

S∗∈L(E∗). Adicionalmente,

kS∗_k

L(E∗₎ = sup

{ke∗_k

E∗_≤1}kS∗e∗kE∗ = sup

{ke∗_k

E∗_≤1}sup{kekE≤1}|hS∗e∗, ei|= = sup_{k_e_k≤₁_}sup_{k_e∗_k

E∗≤1}|he∗, Sei|= sup{kekE≤1}kSekE = =_kS_k_L₍_E₎,

e o resultado segue. ¤

Lema 1.5 Seja Aum operador linear densamente definido em E. Seλ∈ρ(A) ent˜aoλ∈ρ(A∗)

e

(λI₋A∗)−1 = ((λI₋A)−1)∗.

Prova. Da defini¸cão de adjunto temos (λI₋A)∗ =λI∗₋A∗. Como (λI₋A)−1 _∈L(E) segue do Lema 1.4 que ((λI −A)−1)∗ ∈ L(E∗). Resta mostrar que (λI∗ −A∗)−1 existe e é igual a ((λI ₋A)−1)∗. Primeiramente mostremos que λI∗ ₋A∗ é injetor. Se para algum e∗ ₆= 0, e∗ _∈_D(A∗_{), tivermos (λI}∗₋_A∗_)e∗_{= 0, então 0 =}_h_(λI∗₋_A∗_)e∗_{, e}_i₌_h_e∗_,_(λI₋_A)e_i _{para todo}

e∈D(A). Mas como λ∈ρ(A), R(λI−A) = E e portanto e∗ = 0, contradizendo a escolha de e∗. Portanto, λI∗₋A∗ ´e injetor. Se agorae_∈E,e∗ _∈D(A∗), ent˜ao

he∗, e_i=_he∗,(λI₋A)(λI₋A)−1e_i=_h(λI∗₋A∗)e∗,(λI₋A)−1e_i=_h((λI₋A)−1)∗(λI∗₋A∗)e∗, e_i e portanto

((λI−A)−1)∗(λI∗−A∗)e∗=e∗, ∀e∗ ∈D(A∗). Por outro lado see∗ ∈E∗ e e∈D(A) ent˜ao

he∗, ei=he∗,(λI−A)−1(λI−A)ei=h((λI−A)−1)∗e∗,(λI−A)ei=h(λI−A)∗((λI−A)−1)∗e∗, ei

o que implica que

(λI∗₋A∗)((λI₋A)−1)∗e∗ =e∗, _∀e∗ _∈E∗.

(33)

Seja{T(t) :t≥0}um semigrupo fortemente cont´ınuo em E. Parat >0 seja{T(t)∗:t≥0}

o semigrupo dual. O semigrupo dual n˜ao precisa ser fortemente cont´ınuo emE∗.

Defini¸c˜ao 1.9 Seja S um operador linear em E e seja F um subespa¸co de E. O operador S˜

definido por D( ˜S) =_{e_∈D(S)_∩F :Se_∈F_} e Se˜ =Se para e_∈D( ˜S) ´e chamado parte de S

em F. ¤

Teorema 1.14 Seja _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo fortemente cont´ınuo em E com gerador infinitesimal A e {T(t)∗ : t ≥ 0} o semigrupo dual. Se A∗ é o adjunto de A e E⊙ é o fecho de D(A∗₎ _em _E∗_{, ent˜}_{ao a restri¸c˜}_ao _{_T_(t)⊙ _: _t _≥ ₀_} _de _{_T_(t)∗ _: _t _≥ ₀_} _a _E⊙ _{é um semigrupo}

fortemente cont´ınuo em E⊙. O gerador infinitesimal A⊙ de{T(t)⊙:t≥0} ´e a parte deA∗ em

E⊙.

Prova. Como A ´e o gerador inﬁnitesimal de _{T(t) : t _≥ 0_}, da Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida, existem constantesω eM tais que para todo λ > ω, temosλ∈ρ(A) e

k(λ₋A)−n_k_L₍_E₎ _≤ M

(λ−ω)n, n= 1,2,· · ·

Segue ent˜ao do Lema 1.5 que λ_∈ρ(A∗) e do Lema 1.4 que

k(λI∗−A∗)−nkL(E∗₎≤ M

(λ−ω)n, n= 1,2,· · ·

SejaJ(λ) a restri¸c˜ao de (λI∗₋_A∗₎−1 _a _E⊙_{. Ent˜ao}

kJ(λ)n_k_L₍_E⊙₎≤

M

(λ₋ω)n, n= 1,2,· · · (1.21)

Observe queA∗ ´e fechado eE⊙=D(A∗_{) em}_E∗ _{e ent˜ao da identidade do resolvente,}

J(λ)₋J(µ) = (µ₋λ)J(λ)J(µ), λ, µ > ω

e J(λ) ´e um pseudo-resolvente em (0,∞) ⊂ C_{. Exatamente como na prova do Teorema de} Hille-Yosida, temos que

λJ(λ) = (I∗−λ−1A∗)−1=I∗+A∗J(λ). Para e_∈D(A∗_{), segue que}

kλJ(λ)e∗−e∗kE⊙ =kA∗J(λ)e∗k_E⊙ =kJ(λ)k_L₍_E⊙₎kA∗e∗k_E⊙ ≤

≤ _(λM −ω)kA

∗_e∗_k

(34)

ComoD(A∗_{) =}_E⊙_{, segue que}

lim

λ→∞λJ(λ)e

∗ ₌_e∗_, _∀_e∗ _∈_E⊙_.

Segue do Corolário 1.2 que J(λ) é o resolvente de um operador fechado e densamente definido A⊙ emE⊙. Ainda, segue de (1.21) e da Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida, que A⊙ é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo_{T(t)⊙ _:_t_≥₀_}_em _E⊙_.

Vamos mostrar que {T(t)⊙ : t ≥ 0} ´e a restri¸c˜ao de {T(t)∗ : t ≥ 0} a E⊙. Para e ∈ E e e⊙ _∈E⊙ temos

*

e⊙,

µ

I₋ t nA

¶−n

e

+

=

* µ

I⊙₋ t nA

⊙ ¶−n

e⊙, e

+

, n= 1,2,3_{· · ·} Fazendo n_{→ ∞} e usando o Teorema 1.11, obtemos

he⊙, T(t)e_i=_hT(t)⊙e⊙, e_i.

Segue que parae⊙ _∈_E⊙_,_T_(t)∗_e⊙₌_T_(t)⊙_e⊙ _{e assim} _T(t)⊙ _{´e a restri¸c˜}_{ao de} _T_(t)∗ _a _E⊙_.

Para concluir a prova temos que mostrar que A⊙ ´e a parte de A∗ em E⊙. Sejae∗ ∈D(A∗) tal quee∗ _∈_E⊙ _e_A∗_e∗ _∈_E⊙_{. Ent˜ao (λI}∗₋_A∗_)e∗_∈_E⊙ _e

(λI⊙₋A⊙)−1(λI∗₋A∗)e∗ =e∗.

Portanto e∗ _∈ _D(A⊙_{) e aplicando} _λI⊙ ₋_A⊙ _{em ambos os lados da igualdade acima temos}

(λI∗−A∗)e∗ = (λI⊙−A⊙)e∗ e portantoA⊙e∗=A∗e∗. Isto mostra queA⊙ ´e a parte deA∗ em

E∗. ¤

O seguinte resultado identifica alguns casos em que o semigrupo dual é fortemente cont´ınuo. Lema 1.6 Seja E um espa¸co de Banach real reflexivo. Se S : D(S) ⊂ E → E é fechado e densamente definido entãoD(S∗₎ _{é denso em}_E∗_.

Prova. Se D(S∗) não é denso em E∗, então existe um elemento e0 ∈ E tal que e0 6= 0 e

he∗, e0i= 0, para todoe∗ ∈D(S∗). ComoSé fechado seu gráfico é fechado e não contém (0, e0).

Da Forma Geom´etrica do Teorema de Hahn-Banach existem,e∗

1 ee∗2 emE∗ eα∈Rtais que

he∗₁, e_i+_he∗₂, Se_i< α <_he∗₂, e0i, ∀e∈D(S)

e ent˜ao

he∗₁,0_i+_he∗₂, Se_i= 0, _∀e_∈D(S) (1.22) e

he∗₂, e0i>0. (1.23)

Segue de (1.22) que e∗₂ ∈ D(S∗), com S∗e∗₂ = −e∗₁ e ent˜ao he∗₂, e0i = 0, o que contradiz (1.23).

(35)

Corol´ario 1.3 Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e{T(t) :t≥0}um semigrupo fortemente cont´ınuo em E com gerador infinitesimalA. O semigrupo dual _{T(t)∗ :t_≥0_} de _{T(t) :t_≥0_}

´e um semigrupo fortemente cont´ınuo emE∗ _{cujo gerador infinitesimal ´e}_A∗_.

Prova. Pelo Lema 1.6,D(A∗_{) =}_E∗_{. Da´ı, tome} _E⊙₌_E∗ _{no Teorema 1.14, e o resultado segue.}

¤

Uma vez que a restri¸cão de T(t)∗ ao subespa¸co E⊙ é um semigrupo fortemente cont´ınuo, estamos exatamente na mesma posi¸cão que come¸camos. Em um espa¸co de Banach E⊙ _{e com}

um semigrupo fortemente cont´ınuo{T(t)⊙:t≥0} gerado pela parteA⊙ deA∗ em E⊙.

Podemos introduzir o espa¸co E⊙∗ e o semigrupo dual T(t)⊙∗ que ´e fortemente cont´ınuo em E⊙⊙_:=_D(A⊙∗_).

A dualidade entre os elementos deE e E⊙ pode ser usada para definir uma imersãoj (note queE⊙ _{é fraco-}_∗_{denso em} _E∗_{) de} _E _em_E⊙∗ _com

hje, e⊙_i_E⊙∗_,E⊙ =he⊙, ei_E⊙_,E.

´

E claro que

T(t)⊙∗je=j(T(t)e)

e portanto j(E)_⊂E⊙⊙. Sempre que j(E) =E⊙⊙ chamaremos E de _⊙−reﬂexivo com respeito ao semigrupo _{T(t) :t_≥0_}.

Seja H um espa¸co de Hilbert. Um operador limitado U é unitário se U∗ = U−1. Recorde que U é unitário se e somente se R(U) =H e U é uma isometria. De fato, seU∗U =I, então e1, e2∈H,

hU e1, U e2i=hU∗U e1, e2i=he1, e2i.

Tomandoe1 =e2 segue queU ´e uma isometria e R(U) =H. Por outro lado, se R(U) =H e U

é uma isometria, entãoU é invers´ıvel e

hU∗U e, e_i=_hU e, U e_i=_kU e_k2 =_ke_k2 =_he, e_i, _∀e_∈H. Portanto,U∗U=I.

Defini¸c˜ao 1.10 Umgrupo de operadoreslineares emE´e uma fam´ılia_{T(t) :t_∈R_{} ⊂}_L(E)

tal que

(i) T(0) =IE,

(ii) T(t+s) =T(t)T(s), para todot, s_∈R_.

(36)

(iii) kT(t)e−ekE →0 quandot→0, ∀e∈E, dizemos que o grupo ´e fortemente cont´ınuo.

¤

Teorema 1.15 (Stone) Um operador A é o gerador infinitesimal de um grupo fortemente cont´ınuo de operadores unitários em um espa¸co de HilbertH se, e somente se,iAé auto-adjunto.

Prova.SeAé o gerador de um grupo fortemente cont´ınuo de operadores unitários{U(t) :t∈R_}_, entãoAé densamente definido e utilizando o Corolário 1.3 obtemos, parax_∈D(A),

−Ax= lim

t→0+

U(₋t)x₋x

t = limt→0+

U∗_(t)x₋_x

t =A∗x o que implicaA=−A∗ e portanto (iA)∗ =iA eiA´e auto-adjunto.

Se por outro lado iA é auto adjunto entãoA é densamente definido e A =₋A∗. Portanto, para todox_∈D(A) temos

hAx, x_i=_hx, A∗x_i=_−hAx, x_i

e portanto Re_hAx, x_i = 0 para todo x _∈ D(A), isto é, A é dissipativo. Além disso, como A=₋A∗_{, então Re}_h_A∗_{x, x}_i_{= 0 para todo}_x_∈_{D(A) =}_D(A∗_{) e assim}_A∗ _{também é dissipativo.}

Logo A e A∗ são densamente definidos e fechados e como A∗∗ =A, do Corolário 1.1, ambos A e A∗ ₌ ₋_A _{são geradores infinitesimais de semigrupos fortemente cont´ınuos de contra¸c˜}_{oes em}

H. Se {U+(t) : t ≥ 0} e {U−(t) : t ≥ 0} s˜ao os semigrupos de contra¸c˜oes gerados por A e A∗

respectivamente, deﬁnimos

U(t) =



 

 

U+(t), t≥0,

U₋(₋t), t_≤0.

EntãoU(t) é um grupo. De fato, comoAe₋Asão geradores de semigrupos fortemente cont´ınuos U+(t) eU−(−t) que comutam, se W(t) =U+(t)U−(t), t≥0, então para x∈D(A) =D(−A),

W(t)x₋x

t =U−(t)

U+(t)x−x

t +

U₋(t)x₋x

t →Ax−Ax= 0, quando t→0

+_.

Assim, seG(t) =W(t)x,t_≥0, temos G(0) =x e G′_{(0) = 0. Al´em disso,}

G(t+h)₋G(t)

h =

W(t+h)x₋W(t)x

h =W(t)

W(h)x₋x

h →W(t)G

′_{(0) = 0 quando}_h_→₀+_.

Logo, G′(t) = 0, para todo t ≥ 0 e G é constante. Da´ı, como G(0) = x para cada x ∈ D(A), temos que W(t)x =x, _∀x _∈D(A), t_≥0. Como D(A) é denso em H e W(t) é limitado temos queW(t) =I, ou seja,U₋(t) = (U+(t))−1. Com isto, obtemos

(37)

ii) U(t+s) =U(t)U(s), −∞< t, s <∞. De fato, se t, s >0 ou t, s <0 a igualdade segue, já que_{U+(t) :t≥0}e {U−(t) :t≥0} são semigrupos. Seja s <0< t. Se t+s≥0, então

U(t+s)U(−s) =U+(t+s)U+(−s) =U+(t)

e assim

U(t+s) =U+(t)U+(−s)−1 =U+(t)U−(−s) =U(t)U(s).

Por outro lado, set+s_≤0, ent˜ao

U(−t)U(t+s) =U₋(t)U₋(−t−s) =U₋(−s) e assim

U(t+s) = (U₋(t))−1U₋(−s) =U+(t)U−(−s) =U(t)U(s).

Mostramos assim que{U(t) :t∈R_}_{é grupo. Além disso, como}_{_U₊_{(t) :}_t_≥₀_}_e_{_U₋_{(t) :}_t_≥₀_} são semigrupos fortemente cont´ınuos, segue que_{U(t) :t_∈R_}_{é um grupo fortemente cont´ınuo.} Finalmente, observe que como U(t)−1 ₌ _U₍₋_t), _k_U_(t)_{k ≤} _1, _k_U₍₋_t)_{k ≤} _{1, segue que}

R(U(t)) = H e U(t) é uma isometria para todo t e portanto U(t) é um grupo unitário de

operadores sobreH, como quer´ıamos. ¤

1.7 Transformada inversa de Laplace

Vimos no Teorema 1.2 (5) que

(λ−A)−1 =

Z ∞

0

e−λtT(t)dt,

se Reλ´e grande. Isto sugere que usando a transformada inversa de Laplace poderemos encontrar T(t), conhecido A. No que segue perseguimos este objetivo.

Lema 1.7

(a)

Z ∞

−∞

sent t dt=π

(b) Sef :R_→C_{´e tal que} _f_{(t)/(1 +}_|_t_|₎ _{´e integr´}_{avel em} R _e

Z 1

−1 ¯ ¯ ¯ ¯

f(t)₋f(0) t

¯ ¯ ¯ ¯

dt <_∞, ent˜ao

Z ∞

−∞

f(t)senN t

(38)

28 1.7 Transformada inversa de Laplace R r 0 γ Figura 1.1:

Prova. (a)Note que seγ ´e a curva da Figura 1.1 no plano complexo, pelo Teorema de Cauchy, temos que

0 =

Z −r

−R

eit

t dt+

Z R

r

eit

t dt+i

Z 0

π

eireiθ dθ+i

Z π

0

eiReiθ dθ. Note que ¯ ¯ ¯ ¯ Z π 0

eiReiθ dθ ¯ ¯ ¯ ¯≤ Z π 0

e−Rsenθdθ_→0, quandoR _{→ ∞}e o resultado segue quando r _→0.

(b)

Z 1

−1

senN t πt dt=

Z N

−N

sent πt dt=

1 π

Z N

−N

sent

t dt→1, quando N → ∞ (1.24) e

Z ∞

−∞

f(t)senN t

πt dt−f(0)

Z 1

−1

senN t πt dt=

Z

|t|≤1

f(t)−f(0)

πt senN t dt+

Z

|t|≥1

f(t)

πt senN t dt. (1.25)

Como Z 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯

f(t)−f(0) t

¯ ¯ ¯ ¯

dt <∞, segue do Lema de Riemann-Lebesgue que

Z 1

−1

f(t)₋f(0)