Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação
Investigações sobre Técnicas de Arquivamento
para Otimizadores Multiobjetivo
Hudson Geovane de Medeiros
Natal-RN
Investigações sobre Técnicas de Arquivamento para
Otimizadores Multiobjetivo
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Sistemas e Computa-ção.
Orientadora
Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação
Natal-RN
Medeiros, Hudson Geovane de.
Investigações sobre técnicas de arquivamento para otimizadores multiobjetivo / Hudson Geovane de Medeiros. -Natal, 2016.
203f: il.
Orientadora: Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação.
1. Algoritmos evolucionários. 2. Otimização multiobjetivo. 3. Técnicas de arquivamento. I. Goldbarg, Elizabeth Ferreira Gouvêa. II. Título.
Agradeço aos professores D.Sc. Marco Cesar Goldbarg, D.Sc. Silvia Maria Diniz Mon-teiro e D.Sc. Aurora Trindad Ramirez Pozo pela aceitação do convite de participação nas bancas de qualificação e defesa de dissertação, além da contribuição com ideias durante a realização deste trabalho.
Otimizadores Multiobjetivo
Autor: Hudson Geovane de Medeiros Orientadora: Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg
Resumo
Problemas multiobjetivo possuem, em geral, diversas soluções ótimas, as quais compõem o conjunto Pareto ótimo. Uma classe de algoritmos heurísticos para tais problemas, aqui chamados de otimizadores, produz aproximações deste conjunto. O conjunto de aproxima-ção mantido pelo otimizador pode ser ilimitado ou limitado. A vantagem de utilizar um arquivo ilimitado é a garantia de que todas as soluções não-dominadas geradas durante o processo serão mantidas. Entretanto, devido ao grande número de soluções que podem ser geradas, a manutenção do arquivo com a comparação frequente entre todas as soluções demanda, muitas vezes, um alto custo computacional. A alternativa é usar um arquivo limitado. O problema que surge neste caso é a necessidade de descartar soluções quando novas não-dominadas são geradas e o arquivo já se encontra totalmente preenchido. Al-gumas técnicas foram propostas para lidar com este problema, no entanto investigações mostraram que nenhuma delas é completamente capaz de prevenir a deterioração dos ar-quivos. Este trabalho investiga uma técnica para ser usada em conjunto com as propostas previamente na literatura para lidar com arquivos limitados. A técnica consiste em manter soluções descartadas em um arquivo secundário e reciclar periodicamente tais soluções. São apresentados três métodos para a reciclagem. Para verificar as propostas são capazes de melhorar o conteúdo dos arquivos durante a otimização, elas foram implementadas em conjunto com outras da literatura. Um experimento computacional com os algoritmos NSGA-II, SPEA2, PAES, MOEA/D e NSGA-III, aplicados a diversas classes de proble-mas é apresentado. O potencial e as dificuldades das técnicas propostas são avaliados com base em testes estatísticos.
Multi-objective Optimizers
Author: Hudson Geovane de Medeiros Advisor: Prof. Dr. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg
Abstract
Multi-objective problems may have many optimal solutions, which together form the Pareto optimal set. A class of heuristic algorithms for those problems, in this work called optimizers, produces approximations of this optimal set. The approximation set kept by the optmizer may be limited or unlimited. The benefit of using an unlimited archive is to guarantee that all the nondominated solutions generated in the process will be saved. However, due to the large number of solutions that can be generated, to keep an archive and compare frequently new solutions to the stored ones may demand a high computational cost. The alternative is to use a limited archive. The problem that emerges from this situation is the need of discarding nondominated solutions when the archive is full. Some techniques were proposed to handle this problem, but investigations show that none of them can surely prevent the deterioration of the archives. This work investigates a technique to be used together with the previously proposed ideas in the literature to deal with limited archives. The technique consists on keeping discarded solutions in a secondary archive, and periodically recycle these solutions, bringing them back to the optimization. Three methods of recycling are presented. In order to verify if these ideas are capable to improve the archive content during the optimization, they were implemented together with other techniques from the literature. An computational experiment with NSGA-II, SPEA2, PAES, MOEA/D and NSGA-III algorithms, applied to many classes of problems is presented. The potential and the difficulties of the proposed techniques are evaluated based on statistical tests.
1 Representação do ponto ideal em 2D. . . p. 37
2 Distance Archiver ⊳-deteriora. . . p. 38
3 Representação do ARA em 2D. . . p. 39
4 Resultados de hipervolume para a instância 2000-3D . . . p. 46
5 Resultados de hipervolume para a instância seq1to2-2d-2000 . . . p. 46
6 Representação dos pontos de referência do NSGA-III(DEB; JAIN, 2014). p. 58
7 Fronteira de Pareto do problema ZTD1. . . p. 68
8 Fronteira de Pareto do problema ZTD2. . . p. 68
9 Fronteira de Pareto do problema ZTD3. . . p. 69
10 Fronteira de Pareto do problema ZTD4. . . p. 70
11 Fronteira de Pareto do problema DTLZ1 . . . p. 72
12 Fronteira de Pareto do problema DTLZ2 . . . p. 73
13 Resultados – NSGAII – DTLZ2 . . . p. 82
14 Resultados de hipervolume – NSGA-II – PQA . . . p. 86
15 Resultados de hipervolume – SPEA2 – PQA . . . p. 93
16 Resultados de ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA . . . p. 93
17 Resultados – SPEA2 – WFG6 . . . p. 96
18 Resultados – SPEA2 – WFG4–5 . . . p. 114
1 Arquivadores e suas propriedades . . . p. 41
2 Número de pontos ótimos salvos por cada arquivador nas instâncias. . . p. 43
3 Cardinalidade da saída do ARA . . . p. 44
4 Ordenação de acordo com o hipervolume obtidos pelos arquivadores . . p. 44
5 Resultados do hipervolume dos Arquivadores . . . p. 45
6 Resultados do ǫ-aditivo dos arquivadores . . . p. 47
7 Tempo gasto (em segundos) por cada arquivador . . . p. 47
8 Problemas WFG . . . p. 63
9 Problemas aplicados aos otimizadores . . . p. 76
10 Resultados de hipervolume médio na última iteração – NSGA-II –
Pro-blema da Mochila . . . p. 79
11 Tempo médio gasto pelos métodos no Problema da Mochila. . . p. 81
12 Resultados de ǫ-aditivo para o NSGA-II – DTLZ . . . p. 81
13 Resultados de hipervolume para o NSGA-II – DTLZ . . . p. 82
14 Média de tempos (em segundos) gasto por cada variante do NSGA-II –
DTLZ. . . p. 83
15 Hipervolumes médios – NSGA-II – PQA . . . p. 83
16 ǫ-aditivo médio – NSGA-II – PQA . . . p. 84
17 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – PQA . . . . p. 86
18 Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas WFG . . . p. 87
19 ǫ-adtivo médio – NSGA-II – Problemas WFG . . . p. 87
22 ǫ-adtivo médio – NSGA-II – Problemas LZ09 . . . p. 89
23 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas LZ09 p. 89
24 Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas Contínuos . . . p. 89
25 ǫ-aditivo médio – NSGA-II – Problemas Contínuos . . . p. 90
26 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas
Contínuos . . . p. 90
27 Hipervolume médio – SPEA2 – PQA . . . p. 91
28 ǫ-aditivo médio – SPEA2 – PQA . . . p. 91
29 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – PQA . . . p. 94
30 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas WFG . . . p. 94
31 ǫ-aditivo médio – SPEA2 – Problemas WFG . . . p. 95
32 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas WFG p. 96
33 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas LZ09 . . . p. 97
34 ǫ-aditivo médio – SPEA2 – Problemas LZ09 . . . p. 97
35 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas LZ09 p. 98
36 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas Contínuos . . . p. 98
37 ǫ-aditivo médio – SPEA2 – Problemas Contínuos . . . p. 99
38 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas
Con-tínuos . . . p. 99
39 Hipervolume médio – PAES – PQA . . . p. 100
40 ǫ-aditivo médio – PAES – PQA . . . p. 100
41 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – PQA . . . p. 101
42 Hipervolume médio – PAES – Problemas WFG . . . p. 101
43 ǫ-aditivo médio – PAES – Problemas WFG . . . p. 102
44 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas WFG p. 103
47 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09 p. 104
48 Hipervolume médio – PAES – Problemas Contínuos . . . p. 104
49 ǫ-aditivo médio – PAES – Problemas Contínuos . . . p. 105
50 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09 p. 105
51 Resultados de hipervolume obtidos pelo MOEA/D – ZDT. . . p. 107
52 Resultados de ǫ-aditivo obtidos pelo MOEA/D – ZDT. . . p. 107
53 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D –
Pro-blemas ZDT. . . p. 107
54 Hipervolume médio do MOEA/D aos problemas DTLZ. . . p. 108
55 ǫ-aditivo médio do MOEA/D aos problemas DTLZ. . . p. 108
56 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D –
Pro-blemas DTLZ. . . p. 109
57 Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas ZDT . . . p. 109
58 Resultados de ǫ-aditivo do NSGA-III aos problemas ZDT . . . p. 110
59 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III –
Pro-blemas ZDT. . . p. 110
60 Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas DTLZ . . . . p. 111
61 Resultados de ǫ-aditivo do NSGA-III aos problemas DTLZ . . . p. 111
62 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III –
Pro-blemas DTLZ. . . p. 111
63 Hipervolumes obtidos pelo NSGA-III no Problema do Caixeiro Viajante p. 112
64 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III –
Pro-blema do Caixeiro Viajante . . . p. 112
65 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 100–2 . . . p. 125
66 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 100–3 . . . p. 125
67 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 100–4 . . . p. 125
70 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 250–4 (∗1015) . . . p. 126
71 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 500–2 . . . p. 126
72 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 500–3 . . . p. 126
73 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 500–4 (∗1016) . . . p. 126
74 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 750–2 . . . p. 127
75 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 750–3 . . . p. 127
76 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 750–4 (∗1017) . . . p. 127
77 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D. . . p. 128
78 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ1–3D. . . p. 128
79 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ1–4D. . . p. 128
80 Resultados de ǫ-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D. . . p. 129
81 Resultados de ǫ-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ1–3D. . . p. 129
82 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ2–2D. . . p. 129
83 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ2–3D. . . p. 129
84 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ2–3D. . . p. 129
85 Resultados de ǫ-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ2–2D. . . p. 130
86 Resultados de ǫ-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ2–3D. . . p. 130
87 Hipervolumes – NSGAII – PQA10-2 Semente 123 . . . p. 131
88 Hipervolumes – NSGAII – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 131
89 Hipervolumes – NSGAII – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 131
90 Hipervolumes – NSGAII – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 132
91 Hipervolumes – NSGAII – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 132
92 Hipervolumes – NSGAII – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 132
93 Hipervolumes – NSGAII – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 132
96 Hipervolumes – NSGAII – PQA20-4 Semente 9813 . . . p. 133
97 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA10-2 Semente 123 . . . p. 134
98 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 134
99 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 134
100 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 135
101 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 135
102 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 135
103 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 135
104 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-3 Semente 3438 . . . p. 136
105 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-4 Semente 2377 . . . p. 136
106 ǫ-aditivo – NSGAII – PQA20-4 Semente 9813 . . . p. 136
107 Hipervolumes – NSGAII – WFG1 . . . p. 137
108 Hipervolumes – NSGAII – WFG2 . . . p. 137
109 Hipervolumes – NSGAII – WFG3 . . . p. 137
110 Hipervolumes – NSGAII – WFG4 . . . p. 138
111 Hipervolumes – NSGAII – WFG5 . . . p. 138
112 Hipervolumes – NSGAII – WFG6 . . . p. 138
113 Hipervolumes – NSGAII – WFG7 . . . p. 138
114 Hipervolumes – NSGAII – WFG8 . . . p. 139
115 Hipervolumes – NSGAII – WFG9 . . . p. 139
116 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG1 . . . p. 140
117 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG2 . . . p. 140
118 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG3 . . . p. 140
119 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG4 . . . p. 141
122 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG7 . . . p. 141
123 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG8 . . . p. 142
124 ǫ-aditivo – NSGAII – WFG9 . . . p. 142
125 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F1 . . . p. 143
126 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F2 . . . p. 143
127 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F3 . . . p. 143
128 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F4 . . . p. 144
129 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F5 . . . p. 144
130 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F6 . . . p. 144
131 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F7 . . . p. 144
132 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F8 . . . p. 145
133 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F9 . . . p. 145
134 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F1 . . . p. 146
135 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F2 . . . p. 146
136 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F3 . . . p. 146
137 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F4 . . . p. 147
138 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F5 . . . p. 147
139 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F6 . . . p. 147
140 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F7 . . . p. 147
141 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F8 . . . p. 148
142 ǫ-aditivo – NSGAII – LZ09F9 . . . p. 148
143 Hipervolumes – NSGAII – Kursawe . . . p. 149
144 Hipervolumes – NSGAII – Fonseca . . . p. 149
145 Hipervolumes – NSGAII – Viennet2 . . . p. 149
148 ǫ-aditivo – NSGAII – Fonseca . . . p. 151
149 ǫ-aditivo – NSGAII – Viennet2 . . . p. 151
150 ǫ-aditivo – NSGAII – Viennet3 . . . p. 151
151 Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123 . . . p. 151
152 Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 152
153 Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 152
154 Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 152
155 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 152
156 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 153
157 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 153
158 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-3 Semente 3438 . . . p. 153
159 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-4 Semente 2377 . . . p. 153
160 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-4 Semente 9813 . . . p. 154
161 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123 . . . p. 155
162 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 155
163 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 155
164 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 156
165 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 156
166 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 156
167 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 156
168 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-3 Semente 3438 . . . p. 157
169 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-4 Semente 2377 . . . p. 157
170 ǫ-aditivo – SPEA2 – PQA20-4 Semente 9813 . . . p. 157
171 Hipervolumes – SPEA2 – WFG1 . . . p. 158
174 Hipervolumes – SPEA2 – WFG4 . . . p. 159
175 Hipervolumes – SPEA2 – WFG5 . . . p. 159
176 Hipervolumes – SPEA2 – WFG6 . . . p. 159
177 Hipervolumes – SPEA2 – WFG7 . . . p. 159
178 Hipervolumes – SPEA2 – WFG8 . . . p. 160
179 Hipervolumes – SPEA2 – WFG9 . . . p. 160
180 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG1 . . . p. 161
181 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG2 . . . p. 161
182 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG3 . . . p. 161
183 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG4 . . . p. 162
184 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG5 . . . p. 162
185 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG6 . . . p. 162
186 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG7 . . . p. 162
187 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG8 . . . p. 163
188 ǫ-aditivo – SPEA2 – WFG9 . . . p. 163
189 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F1 . . . p. 163
190 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F2 . . . p. 163
191 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F3 . . . p. 164
192 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F4 . . . p. 164
193 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F5 . . . p. 164
194 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F6 . . . p. 164
195 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F7 . . . p. 165
196 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F8 . . . p. 165
197 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F9 . . . p. 165
200 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F3 . . . p. 166
201 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F4 . . . p. 167
202 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F5 . . . p. 167
203 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F6 . . . p. 167
204 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F7 . . . p. 167
205 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F8 . . . p. 168
206 ǫ-aditivo – SPEA2 – LZ09F9 . . . p. 168
207 Hipervolumes – SPEA2 – Kursawe . . . p. 169
208 Hipervolumes – SPEA2 – Fonseca . . . p. 169
209 Hipervolumes – SPEA2 – Viennet2 . . . p. 169
210 Hipervolumes – SPEA2 – Viennet3 . . . p. 170
211 ǫ-aditivo – SPEA2 – Kursawe . . . p. 170
212 ǫ-aditivo – SPEA2 – Fonseca . . . p. 171
213 ǫ-aditivo – SPEA2 – Viennet2 . . . p. 171
214 ǫ-aditivo – SPEA2 – Viennet3 . . . p. 171
215 Hipervolumes – PAES – PQA10-2 Semente 123 . . . p. 171
216 Hipervolumes – PAES – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 172
217 Hipervolumes – PAES – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 172
218 Hipervolumes – PAES – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 172
219 Hipervolumes – PAES – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 172
220 Hipervolumes – PAES – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 173
221 Hipervolumes – PAES – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 173
222 Hipervolumes – PAES – PQA20-3 Semente 3438 . . . p. 173
223 Hipervolumes – PAES – PQA20-4 Semente 2377 . . . p. 173
226 ǫ-aditivo – PAES – PQA10-2 Semente 215 . . . p. 175
227 ǫ-aditivo – PAES – PQA10-3 Semente 155 . . . p. 175
228 ǫ-aditivo – PAES – PQA10-3 Semente 256 . . . p. 176
229 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-2 Semente 88 . . . p. 176
230 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-2 Semente 124 . . . p. 176
231 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-3 Semente 588 . . . p. 176
232 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-3 Semente 3438 . . . p. 177
233 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-4 Semente 2377 . . . p. 177
234 ǫ-aditivo – PAES – PQA20-4 Semente 9813 . . . p. 177
235 Hipervolumes – PAES – WFG1 . . . p. 178
236 Hipervolumes – PAES – WFG2 . . . p. 178
237 Hipervolumes – PAES – WFG3 . . . p. 178
238 Hipervolumes – PAES – WFG4 . . . p. 179
239 Hipervolumes – PAES – WFG5 . . . p. 179
240 Hipervolumes – PAES – WFG6 . . . p. 179
241 Hipervolumes – PAES – WFG7 . . . p. 179
242 Hipervolumes – PAES – WFG8 . . . p. 180
243 Hipervolumes – PAES – WFG9 . . . p. 180
244 ǫ-aditivo – PAES – WFG1 . . . p. 181
245 ǫ-aditivo – PAES – WFG2 . . . p. 181
246 ǫ-aditivo – PAES – WFG3 . . . p. 181
247 ǫ-aditivo – PAES – WFG4 . . . p. 182
248 ǫ-aditivo – PAES – WFG5 . . . p. 182
249 ǫ-aditivo – PAES – WFG6 . . . p. 182
252 ǫ-aditivo – PAES – WFG9 . . . p. 183
253 Hipervolumes – PAES – LZ09F1 . . . p. 184
254 Hipervolumes – PAES – LZ09F2 . . . p. 184
255 Hipervolumes – PAES – LZ09F3 . . . p. 184
256 Hipervolumes – PAES – LZ09F4 . . . p. 185
257 Hipervolumes – PAES – LZ09F5 . . . p. 185
258 Hipervolumes – PAES – LZ09F6 . . . p. 185
259 Hipervolumes – PAES – LZ09F7 . . . p. 185
260 Hipervolumes – PAES – LZ09F8 . . . p. 186
261 Hipervolumes – PAES – LZ09F9 . . . p. 186
262 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F1 . . . p. 187
263 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F2 . . . p. 187
264 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F3 . . . p. 187
265 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F4 . . . p. 188
266 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F5 . . . p. 188
267 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F6 . . . p. 188
268 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F7 . . . p. 188
269 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F8 . . . p. 189
270 ǫ-aditivo – PAES – LZ09F9 . . . p. 189
271 Hipervolumes – PAES – Kursawe . . . p. 190
272 Hipervolumes – PAES – Fonseca . . . p. 190
273 Hipervolumes – PAES – Viennet2 . . . p. 190
274 Hipervolumes – PAES – Viennet3 . . . p. 191
275 ǫ-aditivo – PAES – Kursawe . . . p. 191
278 ǫ-aditivo – PAES – Viennet3 . . . p. 192
279 Hipervolumes – MOEA/D – ZDT1. . . p. 192
280 Hipervolumes – MOEA/D – ZDT2. . . p. 193
281 Hipervolumes – MOEA/D – ZDT3. . . p. 193
282 Hipervolumes – MOEA/D – ZDT4. . . p. 193
283 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – ZDT1. . . p. 193
284 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – ZDT2. . . p. 194
285 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – ZDT3. . . p. 194
286 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – ZDT4. . . p. 194
287 Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ1. . . p. 195
288 Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ2. . . p. 195
289 Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ3. . . p. 195
290 Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ4. . . p. 196
291 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – DTLZ1. . . p. 196
292 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – DTLZ2. . . p. 196
293 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – DTLZ3. . . p. 196
294 Indicador ǫ-aditivo – MOEA/D – DTLZ4. . . p. 197
295 Hipervolumes – NSGA-III – ZDT1. . . p. 198
296 Hipervolumes – NSGA-III – ZDT2. . . p. 198
297 Hipervolumes – NSGA-III – ZDT3. . . p. 198
298 Hipervolumes – NSGA-III – ZDT4. . . p. 199
299 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – ZDT1. . . p. 199
300 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – ZDT2. . . p. 200
301 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – ZDT3. . . p. 200
304 Hipervolumes – NSGA-III – DTLZ2. . . p. 201
305 Hipervolumes – NSGA-III – DTLZ3. . . p. 201
306 Hipervolumes – NSGA-III – DTLZ4. . . p. 201
307 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – DTLZ1. . . p. 201
308 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – DTLZ2. . . p. 202
309 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – DTLZ3. . . p. 202
310 Indicador ǫ-aditivo – NSGA-III – DTLZ4. . . p. 202
311 Hipervolumes – NSGA-III – TSP100. . . p. 202
1 Introdução p. 24
1.1 Motivação . . . p. 24
1.2 Proposta e Objetivos . . . p. 25
1.3 Metodologia . . . p. 26
1.4 Contribuições . . . p. 27
1.5 Organização do Trabalho . . . p. 28
2 Referencial Teórico p. 29
2.1 Problemas Multiobjetivo . . . p. 29
2.2 Indicadores de Qualidade . . . p. 31
2.3 Arquivadores . . . p. 32
3 Investigações Sobre os Arquivadores p. 40
3.1 Resultados Teóricos . . . p. 40
3.2 Experimentos sobre os Arquivadores . . . p. 41
3.2.1 Descrição das Instâncias Estáticas . . . p. 41
3.2.2 Resultados Experimentais . . . p. 42
4 Reciclagem de Soluções p. 48
4.1 Técnicas de Reciclagem . . . p. 49
4.2 Otimizadores . . . p. 50
4.2.1 NSGA-II . . . p. 51
4.2.4 MOEA/D . . . p. 55
4.2.4.1 Evolução Diferencial . . . p. 56
4.2.5 NSGA-III . . . p. 57
4.3 Problemas de Otimização . . . p. 59
4.3.1 Problema da mochila . . . p. 59
4.3.2 Problema do Caixeiro Viajante . . . p. 60
4.3.3 Problema Quadrático de Alocação (PQA) . . . p. 61
4.3.4 Problemas WFG . . . p. 62
4.3.5 Problemas LZ09 . . . p. 63
4.3.6 Problemas ZDT . . . p. 66
4.3.7 Problemas DTLZ . . . p. 70
4.3.8 Outros Problemas . . . p. 74
5 Resultados Experimentais Sobre os Otimizadores p. 76
5.1 Metodologia de Comparação . . . p. 77
5.2 Resultados NSGA-II . . . p. 78
5.2.1 NSGA-II Aplicado ao Problema da Mochila . . . p. 78
5.2.2 NSGA-II Aplicado aos problemas DTLZ . . . p. 80
5.2.3 NSGA-II Aplicado ao PQA . . . p. 83
5.2.4 NSGA-II Aplicado aos Problemas WFG . . . p. 86
5.2.5 NSGA-II Aplicado aos problemas LZ09 . . . p. 88
5.2.6 NSGA-II – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet . . . p. 89
5.3 Resultados SPEA2 . . . p. 91
5.3.1 SPEA2 Aplicado ao PQA . . . p. 91
5.3.2 SPEA2 Aplicado aos Problemas WFG . . . p. 94
5.4 Resultados PAES . . . p. 99
5.4.1 PAES Aplicado ao PQA . . . p. 99
5.4.2 PAES Aplicado aos Problemas WFG . . . p. 100
5.4.3 PAES Aplicado aos Problemas LZ09 . . . p. 103
5.4.4 PAES – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet . . . p. 103
5.5 Comparações entre NSGA-II, SPEA2 e PAES . . . p. 105
5.6 Resultados MOEA/D . . . p. 106
5.6.1 MOEA/D Aplicado aos Problemas ZDT . . . p. 106
5.6.2 MOEA/D Aplicado aos Problemas DTLZ . . . p. 108
5.7 Resultados NSGA-III . . . p. 109
5.7.1 NSGA-III Aplicado aos Problemas ZDT . . . p. 109
5.7.2 NSGA-III Aplicado aos Problemas DTLZ . . . p. 110
5.7.3 NSGA-III Aplicado ao Problema do Caixeiro Viajante . . . p. 111
6 Considerações finais p. 113
Referências p. 116
Apêndice A -- Geração de instâncias p. 120
Apêndice B -- Tabelas e Gráficos de Resultados p. 123
B.1 Resultados NSGA-II . . . p. 123
B.1.1 Problema da Mochila . . . p. 123
B.1.2 Problemas DTLZ . . . p. 128
B.1.3 Problema Quadrático de Alocação . . . p. 131
B.1.4 Problemas WFG . . . p. 137
B.2 Resultados SPEA2 . . . p. 149
B.2.1 Problema Quadrático de Alocação . . . p. 150
B.2.2 Problemas WFG . . . p. 158
B.2.3 Problemas LZ09 . . . p. 161
B.2.4 Problemas Kursawe, Fonseca e Viennet . . . p. 169
B.3 Resultados PAES . . . p. 169
B.3.1 Problema Quadrático de Alocação . . . p. 170
B.3.2 Problemas WFG . . . p. 178
B.3.3 Problemas LZ09 . . . p. 184
B.3.4 Problemas Kursawe, Fonseca e Viennet . . . p. 190
B.4 Resultados MOEA/D . . . p. 190
B.4.1 Problemas ZDT . . . p. 191
B.4.2 Problemas DTLZ . . . p. 195
B.5 NSGA-III . . . p. 198
B.5.1 Problemas ZDT . . . p. 198
B.5.2 Problemas DTLZ . . . p. 199
1
Introdução
Este capítulo apresenta ideias iniciais sobre o trabalho, como a motivação e seus objetivos, além da metodologia e contribuições. Está organizado em 5 seções. A primeira apresenta a motivação da realização da presente pesquisa. Na segunda seção estão descritas as propostas e os objetivos., seguidos da metodologia e contribuições do trabalho. Por fim, a Seção 1.5 dispõe sobre a organização geral deste documento.
1.1
Motivação
A ciência da computação vem há muito tempo trabalhando na resolução problemas de otimização, que são aqueles nos quais se quer achar a melhor solução dentre as possíveis soluções de um problema. Nestes problemas, que, no que diz respeito às variáveis, podem ser contínuos ou discretos, podem haver métodos simples de comparação entre as soluções, como por exemplo o problema de achar o caminho mais curto entre duas cidades: a melhor solução será simplesmente a que tiver a menor distância. No entanto, nos problemas enfrentados no mundo real, geralmente existem vários objetivos a serem atingidos, o que torna a tomada de decisão mais complexa, uma vez que uma solução pode ser melhor para alguns objetivos e não para outros. Baseada neste contexto, surge a otimização multiobjetivo.
A otimização multiobjetivo é o campo de estudo que busca solucionar problemas com mais de uma função objetivo, otimizando-as simultaneamente. Ela se aplica a diversos problemas reais, como distribuição de produtos através de oleodutos de petróleo, desenho de redes de telecomunicações, gestão de combustível nuclear, entre outros (HUBAND et al., 2006). Dado que soluções podem ser melhores em uns objetivos e piores em outros
– chamadas soluções incomparáveis, o que ocorre naturalmente é que não exista apenas uma solução que seja ótima em todos os objetivos, mas um conjunto de soluções ótimas.
um objetivo. Enquanto vários problemas com um único objetivo são resolvidos em tempo polinomial, suas versões multiobjetivo pertencem à classe NP-difícil, como é o caso do problema da árvore geradora mínima(EHRGOTT, 2000). Sendo assim, muitos destes pro-blemas são atacados com algoritmos heurísticos(CHRISTENSEN, 2007), com a intenção de chegar a uma aproximação das soluções ótimas em tempo hábil. A literatura, portanto, propõe técnicas meta-heurísticas para tais problemas, a fim de encontrar boas aproxima-ções dos conjuntos de soluaproxima-ções ótimas. O conjunto de soluaproxima-ções gerado por um método heurístico é chamado de conjunto de aproximação.
O conjunto de aproximação utilizado pelos algoritmos pode ter tamanho limitado ou ser ilimitado. Com a utilização de um arquivo ilimitado, serão salvas todas as soluções não-dominadas (incomparáveis) geradas no processo de otimização. Apesar de isto ser uma boa característica, pode demandar muito tempo, pois a cada nova solução gerada, deverá ser feita a comparação entre ela e as soluções já contidas no arquivo. Como o arquivo pode conter muitas soluções, isto pode ser computacionalmente custoso. Sendo assim, geralmente utiliza-se um arquivo de tamanho limitado. Naturalmente esta abordagem também gera um problema, que é a possibilidade de descarte de soluções que até então são não-dominadas, pois caso o arquivo já esteja cheio, algumas soluções terão de ser descartadas. É, portanto, necessária uma técnica de arquivamento, a fim de selecionar quais soluções serão descartadas e quais serão mantidas neste arquivo limitado. Diversas técnicas foram propostas na literatura e algumas delas analisadas em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;
KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Tal análise apontou um problema presente na maioria dos
destas técnicas de arquivamento, também chamadas de arquivadores: a deterioração. Este fenômeno ocorre quando, ao longo do processo de otimização, o conjunto de aproximação mantém alguma(s) solução(ões) pior(es) que uma(outras) anteriormente descartada(s), podendo manter um conjunto inteiro pior que um conjunto de uma iteração anterior (as definições mais precisas de pior – ou melhor – são dadas no Capítulo 2), ou seja, o conjunto de aproximação foi deteriorado. A partir do conhecimento deste problema comum que este trabalho surge, interessado em analisar novos arquivadores descritos na literatura e propor uma ideia a ser experimentada com o intuito de amenizar o problema da deterioração.
1.2
Proposta e Objetivos
O trabalho realizado por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) analisou
apresenta-vam outros problemas talvez piores, como manter poucas características de diversificação, não salvar muitas soluções, dentre outros problemas. O presente trabalho propões a ideia da reciclagem de soluções descartadas a fim de minorar o problema da deterioração. São propostas e avaliadas três técnicas de reciclagem. Além disto, arquivadores não investiga-dos em(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) são avaliados em aspectos teóricos
e experimentais.
De forma mais específica, os objetivos deste trabalho são:
• Analisar os novos arquivadores da literatura de forma teórica, para verificar suas
propriedades, checando assim suas qualidades e fragilidades de um ponto de vista matemático, dando suporte a futuros estudos acerca do tema.
• Realizar experimentos sobre estes arquivadores, simulando um algoritmo de otimi-zação, para compará-los entre si com métodos baseados em indicadores de qualidade e tempo de execução.
• Propor a utilização da reciclagem de soluções com a investigação de três técnicas introduzidas neste trabalho.
• Realizar experimentos com algoritmos e problemas da literatura a fim de verificar se a proposta de reciclagem é capaz de aumentar a qualidade dos conjuntos de aproximação mantidos por algoritmos.
1.3
Metodologia
Primeiramente, as técnicas de arquivamento foram analisadas teoricamente, verificando-se suas propriedades. Em verificando-seguida, foram feitos experimentos para compará-las em termos de indicadores de qualidade e tempos de execução.
As análises teóricas realizadas neste trabalho são bastante parecidas com as feitas em
(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Foram verificadas 6 propriedades
estes experimentos, e os outros foram analisados e disponibilizados por (LÓPEZ-IBÁÑEZ;
KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
Baseando-se nesta análise inicial, emerge a proposta principal deste trabalho: a re-ciclagem de soluções. O objetivo é tentar evitar o problema de deterioração utilizando um arquivador secundário, que salva as soluções que seriam descartadas, para periodi-camente reconduzi-las ao arquivador principal, caso sua reintrodução produza melhorias. Este trabalho trata este arquivador secundário como cesta de reciclagem. Muitas formas podem ser pensadas para a aplicação da proposta de reciclagem, e este trabalho propõe três formas, que serão descritas posteriormente.
Foram propostas três técnicas de reciclagem para uso conjunto com otimizadores e arquivadores existentes na literatura. Foram utilizadas implementações de algoritmos disponíveis nas plataformas PISA(BLEULER et al., 2003) (NSGA-II) e jMetal (DURILLO;
NEBRO, 2011) (PAES, SPEA2, MOEA/D e NSGA-III). Os testes computacionais foram
realizados com 5 otimizadores e suas respectivas técnicas de arquivamento. Foram feitos testes com problemas discretos e contínuos utilizados como benchmark em diversas pro-postas algorítmicas da literatura. A qualidade dos conjuntos de aproximação foi medida periodicamente, analisando-se o conjunto de aproximação não apenas ao final da execução do algoritmo, mas por todo processo de otimização.
1.4
Contribuições
A principal contribuição deste trabalho está na investigação de técnicas para reutilizar soluções descartadas por arquivadores presentes em algoritmos da literatura.
A pesquisa realizada neste trabalho teve dois vieses: teórico e experimental. Os pri-meiros resultados obtidos, de caráter teórico e matemático, foram publicados no Brazilian Conference on Intelligent Systems (BRACIS), em 2014. O trabalho (MEDEIROS;
GOLD-BARG; GOLDBARG, 2014) publicou as análises teóricas de arquivadores, estendendo o
trabalho inicial realizado por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Além disso,
(MEDEIROS; GOLDBARG; GOLDBARG, 2014) também apresenta os resultados
tempo gasto pelo cálculo das soluções ótimas do conjunto de entrada – considerando o conjunto do arquivador e as soluções descartadas.
Considerando o viés experimental, este trabalho analisa de forma empírica um pro-blema enfrentado pelas mais variadas formas de seleção dentre os otimizadores: a deterio-ração de soluções dentro conjunto de aproximação. A contribuição a respeito dos experi-mentos concerne à técnica de reciclagem, indicando quando ela pode ser bem empregada para melhorar a saída dos algoritmos de otimização.
1.5
Organização do Trabalho
Esta dissertação está dividida em oito capítulos, além de conter dois apêndices. Este, o primeiro, trata de esclarecimentos introdutórios sobre a proposta deste trabalho, bem como seus objetivos e contribuições para a literatura. Em seguida, o Capítulo 2 apresenta uma base teórica que deve ser compreendida para um melhor entendimento do que foi realizado na presente pesquisa, conceituando os principais aspectos referentes à otimi-zação multiobjetivo e aos arquivadores estudados. O Capítulo 3 discute inicialmente os resultados teóricos obtidos na pesquisa acerca das propriedades dos arquivadores, e então reporta os resultados experimentais dos testes realizados com instâncias estáticas, apli-cada aos arquivadores para verificar a qualidade dos conjuntos mantidos por apli-cada técnica de arquivamento.
No Capítulo 4, é introduzida de forma mais específica a proposta principal deste tra-balho: a reciclagem periódica de soluções. Nele são descritas as técnicas utilizadas nos otimizadores, que também são apresentados de forma mais precisa. Além disso, os proble-mas aos quais os algoritmos foram aplicados também são definidos no referido capítulo.
2
Referencial Teórico
Este capítulo apresenta conceitos e definições em problemas multiobjetivo. Está di-vidido em 3 seções. De início, são definidos os problemas multiobjetivo e os conceitos necessários a sua compreensão, como ordens de relação entre soluções e conjuntos de aproximação. Em seguida são apresentados definições sobre indicadores de qualidade, que são formas de medição e comparação da qualidade da saída dos algoritmos. Por fim, são apresentados e analisados métodos de arquivamento de soluções, que são utilizados durante o processo de otimização.
2.1
Problemas Multiobjetivo
Um problema multiobjetivo geral é definido por
maxx∈Xf(x) = (f1(x), . . . , fd(x)) (2.1)
onde X ⊆ Rn é o conjunto de soluções viáveis, f : Rn → Rd é a função que terá como
imagem a representação do vetor objetivo de cada solução, isto é, f(x) é um vetor que contém os valores de cada objetivo da soluçãox para o problema multiobjetivo em
ques-tão. A expressão 2.1 representa um problema de maximização, no entanto, os problemas multiobjetivo podem ser definidos para minimização ou ainda com alguns objetivos a serem maximizados e outros minimizados.
aborda-gens é apresentado por (DEB, 2001). Esta dissertação adota a abordagem da dominância
de Pareto a qual procura exibir o conjunto Pareto ótimo, um subconjunto dele ou uma aproximação. Algumas definições e conceitos básicos são dados a seguir.
Definição 1 Sejamy=f(x), y′ =f(x′)vetores objetivo de duas soluções distintas, diz-se
quey domina y′ (analogamente, x domina x′), denotado por y≺y′, se e somente se
∀i∈1, . . . , d, fi(x)≥fi(x′), e∃k,1≤k≤d, fk(x)> fk(x′).
Definição 2 Sejam y= f(x), y′ =f(x′) vetores objetivo de duas soluções distintas,
diz-se que y é incomparável a y′ (x é incomparável a x′), denotado por y||y′, se e somente
se
not (y≺y′ or y′ ≺y)
Definição 3 Uma solução x∗ é dita ótima se e somente se 6 ∃x tal que f(x) ≺f(x∗). O
conjunto ótimo de Pareto, denotado por X∗, é o conjunto que contém todas as soluções
ótimas possíveis.
Definição 4 SejaX∗ ⊆X o conjunto ótimo de Pareto, então a imagem deX∗ no espaço
objetivo é chamada de Pareto Front (fronteira de Pareto) e denotada porY∗.
Definição 5 Um conjunto de soluções mutuamente incomparáveis é chamado de conjunto
não-dominado. Seja X′ ⊆ X um conjunto de soluções, X′ é um conjunto não-dominado
se e somente se ∀x′, x′′ ∈X′, x′||x′′.
Definição 6 SejamA e B dois conjuntos não-dominados, tal que A6=B. Se todo b ∈B
for dominado por pelo menos um pontoa∈A, então diz-se que A é um conjunto melhor que B, denotado por A⊳B.
Definição 7 Um conjunto de aproximação é qualquer P ⊆ Y. Seja |P| = N, P é dito
um conjunto de aproximação ótimo de tamanho N de Y∗ se não houver conjunto P′ ⊆Y,
tal que |P′| ≤N e P′⊳P.
O operador ⊳ compara dois conjuntos de forma que A é dito melhor que B se, e
No entanto, ela é bem limitada e não é suficiente para comparar quaisquer dois conjuntos não-dominados durante o processo de otimização, pois provavelmente ambos os conjuntos terão áreas de dominância exclusivas, isto é, que não são dominadas pelo outro conjunto.
Sejam A e B dois conjuntos não-dominados e distintos tais que A ⊂ X∗ e B ⊂ X∗.
Trivialmente sabe-se que nem A é melhor que B e nem B é melhor que A (Definição 6). Se, no processo de otimização, o algoritmo tiver de optar por um só destes conjuntos, o operador⊳ não traria conhecimento suficiente para uma boa tomada de decisão, uma vez
que nem A⊳B nem B ⊳A. Sendo assim, percebe-se que são necessárias outras formas
de comparação entre conjuntos de soluções não-dominadas. A Seção 2.2 apresenta alguns indicadores de qualidade de conjuntos.
2.2
Indicadores de Qualidade
Pensando em comparar algoritmos de otimização multiobjetivo, muitos métodos de avaliação foram propostos para indicar a qualidade da saída desses algoritmos. Seja A
um conjunto de soluções; então um indicador de qualidade unário é definido com uma função que mapeia de A até um número real, isto é, f : Λ → R é um operador unário, considerando Λ o conjunto das partes de X (X é o conjunto de soluções válidas). É
também necessário definir uma função de interpretação, tal que dados os valores de algum indicador para dois conjuntos A e B, seja possível entender a diferença de qualidade entre os dois conjuntos, no que diz respeito ao atributo de investigação do indicador. Conclui-se que um método de comparação deve ter um indicador de qualidade e uma função de interpretação. Duas importantes propriedades destes métodos de comparação, compatibilidade e completude, são investigadas em (ZITZLER et al., 2003).
SejaΥo conjunto de todos os conjuntos não-dominados de Y,⋄um operador binário
e assumindo um indicador de qualidade I que deva ser minimizado. Um método de com-paração é dito⋄-compatível se para quaisquerA, B ∈Υ,A⋄B or B⋄A. Além disso, um
método de comparação baseado emI é dito⋄-completo seA⋄B implicar em uma melhor
performance do indicador de Acom relação a B, ou seja, A⋄B →I(A)< I(B)(ZITZLER et al., 2003). Dois indicadores de especial interesse para este trabalho são: hipervolume e
ǫ-aditivo.
Indicador de Hipervolume O indicador de hipervolume (anteriormente conhecido
na literatura como métrica S) é um dos indicadores de qualidade mais utilizados para
pela integral de Lebesgue da união de todas regiões dominadas por A, limitadas por
um ponto b ∈ Rd que é dominado por todos os pontos de Y∗ (ZITZLER; THIELE, 1999).
Obviamente o indicador precisa ser maximizado, indicando assim uma maior cobertura do espaço objetivo. Um método de comparação baseado emHY P()é⊳-completo e(¬⊳)
-compatível (ZITZLER et al., 2003). Isso ocorre pois seA⊳B, então há uma região no espaço
objetivo dominada por A que não é dominada por B, com o mesmo não ocorrendo de B
para A. Por outro lado, seHY P(A)< HY P(B), então é possível concluir que ¬(A⊳B).
Indicador ǫ-aditivo Existem duas versão do indicadorǫ, propostos tanto na versão binária quanto unária. Neste trabalho a versão unária e aditiva foi considerada. Seja
z=f(x), z′ =f(x′)dois pontos d-dimensionais. z′ é ditoǫ-dominado por z se, e somente
se ∀i ∈ 1, . . . , d, fi(z) ≤ fi(z′) +ǫ. O indicador ǫ aditivo unário é definido como segue:
sejaA um conjunto de aproximação, ǫadd(A) representa o valor mínimo possível de
epsilon tal que todo ponto em Y∗ (caso o conjunto Y∗ não seja conhecido, geralmente utiliza-se o indicador com um conjunto de referência) sejaǫ-dominado por algum elemento deA. Claramente o indicador tem que ser minimizado, diminuindo assim a distância entre
o conjunto avaliado e o conjunto de referência. Um método de comparação baseado no operadorǫadd()é (¬⊳)-compatível.
Estes dois indicadores seguem princípios diferentes. Enquanto o hipervolume mensura o espaço dominado (limitado por um ponto) pelos pontos do conjunto avaliado, o indicador
ǫ calcula a proximidade do conjunto com a fronteira de Pareto. Por causa disto, se os
indicadores se contradizem para um mesmo conjunto, isto é, HY P(A) > HY B(B) e
ǫadd(A)> ǫadd(B), conclui-se que A eB são incomparáveis(KNOWLES; THIELE; ZITZLER, 2006).
2.3
Arquivadores
geralmente ocorre, portanto, é o armazenamento de apenas um subconjunto de tamanho restrito das soluções não-dominadas encontradas, de forma que se busque representar da maneira mais satisfatória possível o conjunto ótimo de Pareto. Sendo assim, cria-se um repositório – que pode ser alheio ao processo de busca – para armazenar as soluções não-dominadas geradas. A literatura chama este repositório de arquivador externo (external archive) (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
Durante a execução do algoritmo há um grande número de soluções sendo geradas e avaliadas. Como o arquivador geralmente possui tamanho limitado, muitas dessas so-luções são descartadas, ainda que não sejam consideradas dominadas (ver Definição 1) por nenhuma outra solução gerada até então. O propósito do arquivador é manter um bom conjunto (bem avaliados pelos indicadores de qualidade) de forma rápida, para que o algoritmo não gaste muito tempo comparando soluções.
O Algoritmo 1 ilustra como os arquivadores trabalham no processo de otimização, mantendo um conjuntoAt−1 e realizando eventuais mudanças de acordo com a qualidade
das novas soluções que vão sendo inseridas. Se o arquivador recebe uma soluçãoy ∈Y para ser inserida e ela já é dominada por outra dentro deAt−1, então ela será descartada (Linhas
1 e 2). Caso contrário, seydominar alguma solução (ou várias) do conjunto armazenado,
então todas estas soluções dominadas serão removidas e y será mantida no arquivador (Linhas 3 e 4, primeira condição doif). Por fim, se a solução a ser inserida é incomparável com relação às outras do arquivador, ela deve ser mantida. No entanto, se o arquivador já estiver em sua capacidade máxima, então uma funçãof ilter()é chamada, responsável
por remover uma solução de At−1∪ {y}. A decisão de qual solução será removida, isto é,
a implementação da função filter(), é o que torna cada arquivador diferente dos outros.
Algoritmo 1 Arquivador Geral Entrada: At−1, y
1: se ∃x∈At−1, x≺y então
2: At←At−1
3: senão se ∃x∈At−1, y ≺x or|At−1|< N então 4: At←nds(At−1 ∪ {y})
5: senão
6: At←f ilter(At−1∪ {y}) 7: fim se
Saída: At
qualidade. Lopéz-Ibáñez et al. analisaram alguns arquivadores em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNO-WLES; LAUMANNS, 2011), e este trabalho analisou outros 4 novos propostos na literatura.
As propriedades analisadas são as seguintes:
Propriedade 1 Diversificar. Um arquivador é dito preservar eficiência se quando
atua-lizandoAt para At+1, |At|=N, apenas pontos na região dominada deAt são aceitos para At+1. Se um arquivador não tem essa propriedade, ele possui a propriedade de
diversifi-cação.
Propriedade 2 Monotonicidade. Um arquviador é dito monótono se não houver a
possi-bilidade de uma solução emAt dominar qualquer solução de Au, se u > t. ∀x∈Au,∀x′ ∈ At, x≺x′ ⇒u > t.
Propriedade 3 ⊳-Monotonicidade. Um arquivador é dito ⊳-monótono se, e somente se ∀At, Au ⊂Λ, At⊳Au ⇒t > u. Esta propriedade é similar à monotonicidade, no entanto
com a relação ⊳ entre conjuntos, e não soluções. Obviamente se um arquivador não é
⊳-monótono, ele não é monótono.
Propriedade 4 ⊆ Y∗. Um arquivador tem essa propriedade se ele só contiver soluções
ótimas da sequência de entrada processada, i.e.,∀t, At⊆Yt∗.
Propriedade 5 Limite-Estável. Seja P um conjunto de soluções, tal que |P| ∈ Z, e X
seja um arquivador. Se ocorrer indefinidamente a inserção de pontos de P em X e isto fizer com que X convirja para um conjunto estável Xt em tempo finito, então X tem esta propriedade (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
Propriedade 6 Limite-Ótimo. Seja P um conjunto de soluções, tal que |P| ∈ Z, e X
seja um arquivador. Se ocorrer indefinidamente a inserção de pontos de P em X e isto fizer com que X convirja para um conjunto de aproximação ótimo de tamanho |P| (ver Definição 7) em tempo finito, então X tem a propriedade Limite-Ótimo (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
Os arquivadores estudados neste trabalho tem características específicas de objetivo e complexidade de tempo. Eles são descritos a seguir.
Unbounded Archiver:Este arquivador tem tamanho ilimitado, e portanto, não tem
da Linha 3 do Algoritmo 1 será sempre verdadeira, pois|At−1|< N. Trivialmente nota-se
que ele sempre terá como saída o Pareto Front, pois poderá manter todas as soluções não-dominadas da entrada.
Dominating Archiver: Este, quando cheio (assim a funçãof ilter() será chamada),
só aceitará novas soluções em seu conteúdo se, e somente se o novo ponto a ser inserido dominar algum ponto de At−1. Então a instrução At ←f ilter(At−1∪ {y}) terá o mesmo
efeito de At ← At−1, pois o arquivador não manterá uma nova solução não-dominada,
se estiver cheio. Este arquivador é um exemplo claro de uma técnica que não diversifica (Propriedade 1).
NSGA-II: O NSGA-II possui uma técnica de arquivamento baseada em dois
princí-pios: a dominância de Pareto e um atributo chamadocrowding distance. A funçãof ilter()
define, portanto, uma relação de ordem≺n(DEB et al., 2002a). Se duas soluções são
incom-paráveis, conforme a dominância de Pareto, então o algoritmo preservará a que possuir maior crowding distance, que por sua vez é uma forma de medir a proximidade entre as soluções, de forma que as soluções mais afastadas (em locais do espaço objetivo me-nos povoados) terão prioridade em permanecer no arquivador. Este trabalho utiliza uma implentação do arquivador do NSGA-II disponível em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES;
LAU-MANNS, 2011). NSGA-II não garante sua convergência para um conjunto de aproximação
ótimo; além disso, ele deteriora e⊳-deteriora (não é monótono nem ⊳-monótono).
SPEA2:Tentando eliminar algumas fraquezas do primeiro SPEA, Zitzler, Laumanns
e Thiele (2001) propuseram o SPEA2 (ZITZLER; LAUMANNS; THIELE, 2002). (
LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) também disponibiliza uma implementação do
ar-quivador baseado no SPEA2, que utiliza estimativa de densidade baseada no k-Nearest Neighbor. A função f ilter() primeiramente calcula a distância entre cada par de pontos no arquivador. Então, o ponto com a menor distância para outro ponto qualquer será removido, visando assim uma melhor distribuição, assim como no NSGA-II. Em caso de empates, verifica-se a segunda menor distância e assim sucessivamente. Embora o SPEA2 seja um algoritmo evolucionário multiobjetivo elitista, ele pode manter soluções domi-nadas quando o conjunto de soluções incomparáveis não ultrapassar o tamanho total do arquivador, i.e., o arquivador prefere salvar uma solução dominada ao invés de descartá-la. Além disso, o arquivador pode⊳-deteriorar.
Adaptive Grid Archiver:Este arquivador divide o espaço objetivo em grades, afim
desde que não seja a solução com melhor valor para algum objetivo, ou seja, não esteja nas extremidades do espaço objetivo (KNOWLES; CORNE, 2003). Ele não é monótono nem
⊳-monótono.
Hypervolume Archiver: Também conhecido como AA, este arquivador é um
algo-ritmo guloso com a intenção de maximizar o hipervolume de seu conjunto. Foi proposto em (KNOWLES, 2002), e tem como função f ilter() a remoção da solução que menos está contribuindo para o hipervolume, i.e., f ilter(A) em caso de |A| = N + 1 retorna o
sub-conjunto de A que tem maior hipervolume possível com tamanho N. Esta técnica não garante que o hipervolume será máximo no final de toda a sequência de entrada, con-forme mostrado por (BRINGMANN; FRIEDRICH, 2009), e pode ainda retornar um conjunto
com hipervolume muito menor que o conjunto ótimo de tamanho N. Apesar disso, o AA apresentou os melhores resultados para o indicador de hipervolume em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;
KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
Considerando que o indicador de hipervolume não pode diminuir com uma nova itera-ção do AA, e um método de comparaitera-ção baseado em HYP() é⊳-completo, então pode-se
concluir que o AA é ⊳-monótono. No entanto ele pode manter uma solução que é
do-minada por outra que foi descartada anteriormente, i.e, ele pode deteriorar. Apesar dos melhores resultados apresentados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011), um problema crítico do AA é calcular o hipervolume de todos os subconjuntos de tamanho N, uma vez que HYP() tem custo computacional exponencial no número de dimensões do problema.
Multi-level Grid Archiving: O MGA foi proposto por (LAUMANNS; ZENKLUSEN,
2011) e divide o espaço objetivo em caixas de diferentes níveis hierárquicos. f ilter()
precisa encontrar o menor nível b onde pelo menos uma solução das caixas de nível b é dominada. Então, se o ponto a ser inserido é um dos pontos dominados neste nível, ele será descartado. Caso contrário, uma solução dominada aleatória será descartada. O MGA pode deteriorar, mas como mostrado em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS,
2011), ele é⊳-monótono.
Estes 7 primeiros arquivadores foram analisados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAU-MANNS, 2011). Agora serão apresentados novos arquivadores propostos na literatura com
sua respectivas análises teóricas. Ao final desta seção será apresentado a Tabela 1 ilus-trando quais propriedades cada arquivador possui.
Ideal Archiver: Este arquivador foi proposto por Britto e Pozo (2012). Sua função
obje-tivo, e une essa informação para gerar um ponto ideal, tal queIdeali =minX∈At−1∪{y}Xi, considerando um problema de minimização. Em seguida, o ponto no arquivador que esti-ver mais distante do ponto ideal será removido. A Figura 1 mostra como o Ideal Archiesti-ver funciona para N = 4. O ponto não-dominado mais distante do ideal (em vermelho) será removido, então o arquivador manterá apenas 4 elementos. A ideia da técnica é direcionar a busca para apenas uma região do espaço objetivo.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.2
0.4 0.6 0.8
Objetivo 1
Ob
jetiv
o
2
Incomparáveis Ponto Ideal Dominados
Figura 1: Representação do ponto ideal em 2D.
Distributed Archiver: Este arquivador também utiliza o ponto ideal para na sua
função f ilter(), no entanto sua convergência não é direcionada a apenas um ponto, mas para D + 1 pontos – o ponto ideal e um ponto de referência para cada dimensão do problema. Os pontos de referência serão os pontos mais extremos de cada objetivo, defi-nindoD+ 1 regiões (uma para o ponto ideal e outras D para cada objetivo). Cada região
poderá guardar (N + 1)/(D+ 1) pontos, i.e., número de pontos dividido pelo número de regiões, buscando homogeneizar a cardinalidade de cada região. Após o cálculo dos pontos de referência, cada região será preenchida com o ponto mais próximo a seu ponto de referência, até que os conjuntos estejam cheios. A solução restante ao final do processo será descartada eAt será definido como a união de todas as regiões de referência (POZO; BRITTO, 2012).
Distance to Reference Points Archiver: Também proposto em (POZO; BRITTO, 2012), funciona de maneira similar ao Distributed Archiver, calculando os mesmos pontos de referência. Entretanto, ele não limita o tamanho de cada região em (N + 1)/(D+ 1). Para cada ponto em At−1 ∪ {y}, a menor distância para cada ponto de referência é
com a maior distância para qualquer um dos pontos de referência. Os experimentos com núvens de partículas em (POZO; BRITTO, 2012) utilizam distância euclidiana e distância
de Tchebycheff; neste trabalho, a implementação utilizou distância euclidiana.
A Figura 2 ilustra um simples exemplo me que o Distance Archiver⊳-deteriora, para N = 3. Quando o ponto D é adicionado, o arquivador remove B pois a distância entre B e A é maior que a distância entre C e D. Então o arquivador recebe um novo ponto E que é dominado por B, removendo D, pois a distância entre C e D é maior que a distância entre A e E. A saída final do arquivador após as 5 inserções é A, C e E, que é um conjunto pior (ver Definição 6) que o conteúdo do arquivo antes da inserção de D.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 A C B D Objetivo 1 Ob jetiv o 2
(a) Distance archiver depois da adição de 4 pon-tos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 A C B D E Objetivo 1 Ob jetiv o 2
(b) Distance archiver depois da adição de 5 pon-tos
Figura 2: Distance Archiver ⊳-deteriora.
Adaptive Rectangle Archiver: ARA foi proposto por (JIN; WONG, 2010). Ele não segue o padrão do Algoritmo 1, e não tem tamanho limitado emN. A proposta é baseada
em dois passos: definir uma região crucial adaptativamente e dividi-la em retângulos, tais que cada retângulo contém apenas um ponto. A região crucial é o retângulo definido por dois vetores:amin, que é o mesmo ponto ideal vistos nos arquivadores anteriores (supondo
um problema de minimização), eamax que é o inverso do ponto ideal, isto é, é o vetor que
contém os piores valores de objetivos encontrados até então. ARA utiliza o conceito de E-dominância para decidir para qual retângulo cada ponto será direcionado, que é bem parecido com a ǫ-dominância, mas E ∈ Rd, enquanto ǫ ∈ R. Quanto menor o valor de Ei, mais precisa será a divisão do espaço objetivo na i-ésima dimensão. Além disso, o
tem uma estrutura diferente, não possuindo um tamanho limitado N, possui todas as
propriedades apresentadas neste trabalho (ver Propriedades de 1 a 6), entretanto possui outros problemas que serão apresentados no Capítulo 3.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Objetivo 1
Ob
jetiv
o
2
Figura 3: Representação do ARA em 2D.
A Tabela 1, a ser apresentada no Capítulo 3, faz um resumo das propriedades que cada arquivador possui. Baseado na informação de que 8 (oito) dos 11 (onze) arquivadores estudados neste trabalho não são monótonos, e que apenas 2 (dois) possuem a propriedade
⊆Y∗, surge a principal motivação do trabalho. É notável que a maioria dos arquivadores
3
Investigações Sobre os
Arquivadores
Os algoritmos para problemas multiobjetivo são, em geral, baseados em meta-heurísticas e é comum que durante suas execuções muitas soluções sejam geradas, assim como nos problemas com apenas uma função objetivo. Ocorre que ao longo do processo de otimiza-ção, pode ser que um número muito alto de soluções sejam descartadas, seja pelo fato de elas já serem dominadas por outras melhores, ou ainda pelo tamanho limitado do arquivo. Este último caso é o que motiva este trabalho. A Seção 2.3 mostra que os arquivadores, em sua maioria, não são monótonos. Isto indica que soluções descartadas podem ser ainda melhores que as mantidas até o final do processo de arquivamento. Este trabalho, por-tanto, propõe uma análise sobre estas soluções descartadas, verificando a hipótese de que a utilização de um arquivo de reciclagem externo pode melhorar o desempenho dos al-goritmos com custo adicional desprezível. As soluções excluídas do arquivo primário são guardadas em um arquivo secundário e, eventualmente, são feitas modificações no arquivo primário utilizando as soluções do arquivo secundário. Pretende-se, com isso, melhorar a qualidade do otimizador e evitar, ainda que parcialmente, os fenômenos de deterioração.
Este capítulo é subdividido entre resultados teóricos, primeiramente, e em resultados experimentais sobre os arquivadores.
3.1
Resultados Teóricos
Tabela 1: Arquivadores e suas propriedades
Archiver Diversifica Mon. ⊳−Mon. ⊆Y∗ L-Estável L-Ótimo
Unbounded ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
Dominating ✗ ✓ ✓ ✗ ✓ ✓
NSGA-II ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
SPEA2 ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
AGA ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
AA ✓ ✗ ✓ ✗ ✓ ✓
MGA ✓ ✗ ✓ ✗ ✓ ✓
Ideal ✓ ✗ ✓ ✗ ✓ ✓
Distributed ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
Distance ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗
ARA ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
3.2
Experimentos sobre os Arquivadores
Esta seção descreve os experimentos estáticos, isto é, com instâncias de pontos pre-viamente definidos e inseridos sequencialmente nos arquivadores, a fim de verificar quais soluções destas instâncias seriam mantidas. É dividida em duas subseções. A Seção 3.2.1 descreve as instâncias utilizadas nos experimentos estáticos e a Seção 3.2.2 descreve os experimentos e apresenta os resultados iniciais e teóricos da pesquisa realizada neste tra-balho.
3.2.1
Descrição das Instâncias Estáticas
Um total de 7 instâncias foram utilizadas nesta fase do trabalho. São elas: smallPF-2d-10000, smallPF-3d-10000, 2000-3d, 10000-4d, clustered-2d-900, 1000-clustered-3D e 1to2-2d-2000. Cada uma destas instâncias é uma sequência de vetores objetivo, a fim de simular um otimizador real. Algumas delas foram disponibilizadas em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;
KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Além disso, outras instâncias foram geradas para melhor
confiabilidade dos testes, devido ao fato de que poucas instâncias em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) eram de uso geral, isto é, elas eram específicas para mostrar
As instânciassmallPF-2d-10000 esmallPF-3d-10000 (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAU-MANNS, 2011) contêm 10.000 pontos em duas e três dimensões, respectivamente. A
fron-teira de Pareto da primeira possui 970 pontos, e a segunda 1.335 pontos. Elas foram geradas a partir de um otimizador multiobjetivo solucionando um problema real. A ins-tância 1to2-2d-2000 é uma sequência de 2.000 pontos incomparáveis, que formam um segmento de reta de (1, 2) até (2, 1), com o primeiro objetivo crescendo enquanto o segundo decresce, disponibilizada também em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).
As instâncias2000-3d e10000-4d foram geradas a partir do algoritmo apresentado no Apêndice A. O algoritmo gera pontos aleatórios com valores objetivo entre 0 e 1, de forma a gerar um conjunto de N pontos, cuja fronteira de Pareto é composta por M pontos,
sendoN e M parâmetros do algoritmo, M ≤N.
Por sua vez, as instâncias 1000-clustered-3D e clustered-2d-900 são instâncias com pontos agrupados em algumas regiões. Na primeira, gerada durante a realização deste trabalho, existem mil pontos com 3 dimensões agrupados muito próximos a cada uma das 3 regiões, formando 3 aglomerados de vetores. Esta instância foi gerada para a verificação de um problema específico do Adaptive Rectangle Archiver, que mantinha poucos ponto em seu conteúdo, a depender do posicionamento deles. A segunda – disponibilizada em
(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) – é composta por pontos de duas dimensões
agrupados em dois blocos de pontos, formando assim dois aglomerados.
O teste foi feito com 4 (quatro) instâncias. Três delas são bi-objetivo e foram utilizadas também em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Uma nova instância com 3
(três) objetivos foi criada para este experimento, em que 1.000 pontos são agrupados em três regiões, de forma que os pontos em cada região são bastante próximos, sendo as 3 regiões afastadas umas das outras.
3.2.2
Resultados Experimentais
Os experimentos realizados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) foram
repetidos com as mesmas instâncias de entrada (disponibilizadas pelos autores) nos novos arquivadores da literatura.
arquiva-Tabela 2: Número de pontos ótimos salvos por cada arquivador nas instâncias.
Arquivador seq-smallPF-2d seq-smallPF-3d 2000-3d 10000-4d clustered-2d-900
Unbounded 970 1335 500 1000 300
Dominating 100 100 100 100 100
NSGA-II 94 99 97 27 100
SPEA2 94 99 99 80 100
AGA 91 95 100 95 100
AA 99 100 100 100 100
MGA 100 100 100 100 100
Ideal 100 100 100 98 100
Distributed 100 100 100 77 100
Distance 100 100 100 86 100
ARA 8 47 39 131 2
dores, durante e ao final das inserções, foram analisados de acordo com as propriedades descritas na Seção 2.3 e publicados em (MEDEIROS; GOLDBARG; GOLDBARG, 2014). Além disso, verificou-se o número de soluções ótimas (contidas na fronteira de Pareto) salvas por cada arquivador, bem como os indicadores de hipervolume e ǫ-aditivo para a saída
dos experimentos.
A Tabela 2 ilustra o número de pontos ótimos salvos por cada arquivador em cada experimento. Em todos os testes o limite de tamanho do arquivador foi N = 100, com
exceção dos realizados no ARA, que não possui limite devido a sua diferença de estrutura. Neste aspecto, os melhores arquivadores foram Dominating e MGA, que mantiveram todo seu conteúdo com soluções ótimas. AA e Ideal tiveram desempenho quase tão bom quanto aqueles dois, não conseguindo manter todo os seus conteúdos com soluções ótimas em apenas uma instância. O NSGA-II, por sua vez, mostrou sua fragilidade na instância de 4 dimensões, mantendo apenas 27 pontos ótimos após a inserção dos 10.000 pontos, dentre os quais 1.000 estão contidos na fronteira de Pareto.
Antes da medição dos indicadores, os experimentos mostraram que o ARA tendia a manter poucas soluções em seu conteúdo quando comparado com as outras técnicas. A Tabela 3 mostra o número de pontos da saída do arquivador ARA nas quatro instâncias. As três primeiras colunas mostram, respectivamente, o nome da instância, o número de pontos da fronteira de Pareto e o número de pontos que o ARA manteve em seu conteúdo. O valor de E foi definido Ei = π/100,∀i = 1, . . . , d. Os resultados na Tabela 3 indicam
