2019-08-RESUMO-ALGLIN

(1)

Espa¸cos Vetoriais

´ Algebra Linear BC1425 UFABC Outubro 2019 ´

Algebra Linear BC1425 (UFABC) Espa¸cos Vetoriais Outubro 2019 1 / 21

Espa¸cos Vetoriais

Primeira Aula

´

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

Seja V um conjunto tal que V 6= ∅. Definamos as sgtes opera¸c˜oes em V :

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

multiplica¸c˜ao por escalar

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

Dizemos que V é umespa¸co vetorial real se para quaisquer u, v , w ∈ V e α, β escalares, as opera¸cões definidas acima são tais que :

1 _{(associativa)} _{(u + v ) + w = u + (v + w )} 2 (comutativa) u + v = v + u

3 _(existˆ_{encia do vetor nulo )} _{Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u} 4 (existˆencia do vetor oposto) Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 5 _{(distributiva)} _{α(u + v ) = αu + αv}

6 (distributiva) (α + β)v = αv + βv 7 _{(associatividade)} _{(αβ)v = α(βv )} 8 (multiplica¸c˜ao por 1) 1 u = u

Os elementos de um espa¸co vetorial V s˜ao chamados vetores.

(2)

Denotaremos por 0V ovetor nulodo espa¸co vetorial V

Se os escalares na defini¸cão acima são números complexos, V será um espa¸co vetorial complexo.

´

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

(1) Espa¸co euclidiano n-dimensional ou espa¸_{co R}n

V = Rn = {(x₁, · · · , x_n) | x_i _{∈ R}} Com as opera¸c˜oes usuais de

I _{soma de vetores em R}n

I multiplica¸c˜ao de um vetor em Rn por escalar

temos que V = Rn ´e um espa¸co vetorial real.

Casos particulares importantes:

Plano euclidiano: _{V = R}2

vetor nulo 0_V = (0, 0)

Espa¸co euclidiano tridimensional: _{V = R}3

vetor nulo 0_V = (0, 0, 0)

´

(2) Conjunto das matrizes reais m × n

V = Mm×n(R)

Com as opera¸c˜oes usuais de

I soma de matrizes

I multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar

temos que V = Mm×n(R) ´e um espa¸co vetorial real.

Caso particular: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2

V = M2(R) = a b c d : _{a, b, c, d ∈ R}

Observe que 0_V ´e a matriz de ordem 2 nula.

(3) Conjunto das fun¸c˜oes reais

V = F Se f , g ∈ F e α um escalar, definamos

I a soma de fun¸c˜oes f + g definida por:

(f + g )(x ) = f (x ) + g (x ), para todo x ∈ R

I a multiplica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao por escalar α f definida por (α f )(x ) = α f (x ), para todo x ∈ R

(3)

Observe que 0_V é a fun¸cão constante identicamente nula, isto é, f0(x ) = 0 para todo x ∈ R

O oposto de uma fun¸cão f é a fun¸cão −f definida por (−f )(x ) = −f (x ), para todo x ∈ R.

Caso particular: Fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo I

V = C(I ) = {f : I → R | f cont´ınua}

´

(4) Polinˆomios com coeficientes reais de grau ≤ n

V = Pn = {a0+ a1x + · · · + an−1xn−1+ anxn : ai ∈ R}

Sejam

p(x ) = a₀+ a₁x + · · · + a_nxn e q(x ) = b₀+ b₁x + · · · + b_nxn polinˆomios de grau ≤ n, e seja α um escalar. Definimos

I soma de polinˆominos

p(x ) + q(x ) = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + · · · + (an+ bn)xn.

I multiplica¸c˜ao de um polinˆomio por escalar

α p(x ) = (αa0) + (αa1)x + · · · + (αan)xn.

Com estas opera¸c˜oes o conjunto V = Pn ´e um espa¸co vetorial real.

´

Observe que 0V é o polinômio nulo, isto é,

o polinômio cujos coeficientes são todos iguais a zero. O oposto do polinômio p(x ) = a0+ a1x + · · · + anxn é o polinômio

−p(x) = −a₀− a₁x − · · · − a_nxn.

Caso particular: Polinˆomios com coeficientes reais de grau ≤ 2

V = P2= {a0+ a1x + a2x2 : a0, a1, a2 ∈ R}

Teorema Sejam

V um espa¸co vetorial real

u ∈ V e _{α ∈ R} Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 α · 0_V = 0_V 3 _{(−1)u = −u} 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(4)

Prova:

1 u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u (prop 8 e prop 6) ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

somando a ambos os membros −u temos −u + (u + 0 · u) = −u + u

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0_v+ 0 · u = 0_V (prop 4)

Logo, 0 · u = 0V (prop 3)

2 (Exerc´ıcio)Escreva α · 0_V = α(0_V + 0_V) e use a prop 5. No resultado obtido some −α · 0_v em ambos os membros. Use prop 3 e prop 1 para concluir o resultado.

3 (Exerc´ıcio)Escreva (−1) · u = (−1) · u + 0_V e use a prop 3 para escrever 0_v = u + (−u). Use prop 1, prop 5 e depois prop 3 e parte 1 do Teorema para concluir o resultado.

4 _{(Exerc´ıcio)}_{Suponha que α 6= 0 e escreva u = 1 · u = (}1

αα) · u.

´

Subespa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao Sejam

V um espa¸co vetorial real

W um subconjunto de V tal que W 6= ∅ Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorial de V se:

(i) 0_V ∈ W ;

(ii) u + v ∈ W , para quaisquer vetores u e v em W (iii) α · u ∈ W , para quaisquer α escalar e u vetor em W

´

Observa¸c˜

oes

1 _{Todo subespa¸}_{co vetorial W ´}_{e, em si mesmo, um espa¸}_{co vetorial.}

I As condi¸cões(1),(2),(5),(6), (7),(8)são válidas para quaisquer vetores u, v , w ∈ V , em particular, são válidas para u, v , w ∈ W ⊂ V , ou seja,

W herdaessas propriedades de V .

I A condi¸c˜ao(3)se verifica pela da defini¸c˜ao de subepa¸co

I Para verificar a condi¸c˜ao(4), observemos que se u ∈ W , ent˜ao (−1)u ∈ W . Pelo Teorema parte (3) temos que (−1)u = −u ∈ W .

2 W = {0_V} ´e um subespa¸co vetorial de V , chamado subespa¸co nulo.

Resumindo

Todo espa¸co vetorial V admite ao menos dois subespa¸cos vetorias: {0V} e V

(5)

Subespa¸_{cos de V = R}2 Subespa¸_{cos de V = R}3

{0V}, onde 0V = (0, 0)

retas que passam pela origem V = R2

{0V}, onde 0V = (0, 0, 0)

retas que passam pela origem planos que passam pela origem V = R3

´

Exemplos

1 _{O conjunto W = {(a, b, −b, a) | a, b ∈ R } ´e um subespa¸co vetorial de} V = R4.

2 O conjunto W = {a + bx − bx2+ ax3| a, b ∈ R } ´e um subespa¸co vetorial de V = P3. 3 O conjunto W = a b −b a a, b ∈ R ´ e um subespa¸co de M2(R). ´

Exerc´ıcios

(1) Determine se W ´e um subespa¸co de V :

I _{V = R}3_{, W = { (a, 0, a) | a ∈ R }} I _{V = R}3_{, W = { (a, −a, 2a) | a ∈ R }} I _{V = R}3_{, W = { (a, b, a + b + 1) | a, b ∈ R }} I V = M2(R), W = a b b 2a a, b ∈ R I V = M2(R), W = a a + 1 0 b a, b ∈ R

I V = M2(R), W ´e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com

determinante igual a zero, ou seja, W = {A ∈ M2(R) | det(A) = 0}.

I V = M2(R), W ´e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com

tra¸co igual a zero, ou seja, W = {A ∈ M2(R) | tr (A) = 0}

I V = M3(R), W ´e o conjunto das matrizes diagonais de ordem 3.

I V = P2, W = { bx + cx2| b, c ∈ R }

I V = P2, W = { a + bx + cx2| a + b + c = 0 }

I V = F , W = {f ∈ F | f (−x ) = f (x ) } (fun¸c˜oes pares)

I V = F , W = {f ∈ F | f (−x ) = −f (x ) } (fun¸c˜oes ´ımpares)

(2) Seja D = {f ∈ F | f é diferenciável }. Mostre que D é um subespa¸co vetorial de V = F .

(3) Mostre que o conjunto dasmatrizes sim´etricasde ordem n ´e um subespa¸co vetorial de V = M_n_(R).

(4) Mostre que o conjunto dasmatrizes idempotentes de ordem n ´e um subespa¸co vetorial de V = Mn(R).

(5) Seja D ∈ Mn(R) uma matriz fixa. Mostre que o conjunto

W = { A ∈ Mn(R) : A · D = D · A } ´e um subespa¸co de V = Mn(R).

(Sugestão: Use as propriedades de multiplica¸cão de matrizes ). (6) DesafioO conjunto de todos os números reais positivos, com a soma

⊕ definida por x ⊕ y = xy , e a multiplica¸c˜ao por escalar definida por α x = xα ´e um espa¸co vetorial ?