AL-AULA-6B-2016

(1)

Espa¸cos Vetoriais

´ Algebra Linear BC1425 UFABC Junho/2016

(2)

Espa¸cos Vetoriais

Primeira Aula

´

(3)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

Seja V um conjunto tal que V 6= ∅. Definamos as sgtes opera¸c˜oes em V :

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

multiplica¸c˜ao por escalar

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

Dizemos que V é um espa¸co vetorial realse para quaisquer u, v , w ∈ V e α, β escalares, as opera¸cões definidas acima são tais que :

(4)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

´

(5)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

Seja V um conjunto tal que V 6= ∅.

Definamos as sgtes opera¸c˜oes em V :

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

(6)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

´

(7)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

(8)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

´

(9)

Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao

soma

+ : V × V → V

(u, v ) → u+v

· : R × V → V

(α, v ) → α·v

(10)

1 _{(associativa)} _{(u + v ) + w = u + (v + w )}

2 (comutativa) u + v = v + u

3 (existˆencia do vetor nulo ) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u

4 (existˆencia do vetor oposto) Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 5 _{(distributiva)} _{α(u + v ) = αu + αv}

6 (distributiva) (α + β)v = αv + βv 7 (associatividade) (αβ)v = α(βv ) 8 (multiplica¸c˜ao por 1) 1 u = u

Os elementos de um espa¸co vetorial V s˜ao chamadosvetores.

´

(11)

1 _{(associativa)} _{(u + v ) + w = u + (v + w )} 2 (comutativa) u + v = v + u

(12)

´

(13)

4 (existˆencia do vetor oposto) Existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0

5 _{(distributiva)} _{α(u + v ) = αu + αv} 6 (distributiva) (α + β)v = αv + βv 7 (associatividade) (αβ)v = α(βv ) 8 (multiplica¸c˜ao por 1) 1 u = u

(14)

´

(15)

6 (distributiva) (α + β)v = αv + βv

7 (associatividade) (αβ)v = α(βv ) 8 (multiplica¸c˜ao por 1) 1 u = u

(16)

6 (distributiva) (α + β)v = αv + βv 7 (associatividade) (αβ)v = α(βv )

8 (multiplica¸c˜ao por 1) 1 u = u

´

(17)

(18)

´

(19)

Denotaremos por 0V o vetor nulo do espa¸co vetorial V

Se os escalares na defini¸cão acima são números complexos, V será um espa¸co vetorial complexo.

(20)

Denotaremos por 0V o vetor nulo do espa¸co vetorial V

Se os escalares na defini¸cão acima são números complexos, V será um espa¸co vetorial complexo.

´

(21)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

(1) Espa¸co euclidiano n-dimensional ou espa¸co Rn

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

Com as opera¸c˜oes usuais de I _{soma de vetores em R}n

I multiplica¸c˜_{ao de um vetor em R}n por escalar temos que V = Rn ´e um espa¸co vetorial real.

Casos particulares importantes:

Plano euclidiano: V = R2

(22)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

Espa¸co euclidiano tridimensional: V = R3

´

(23)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

(24)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

Com as opera¸c˜oes usuais de

I _{soma de vetores em R}n

´

(25)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

I multiplica¸c˜_{ao de um vetor em R}n por escalar

temos que V = Rn ´e um espa¸co vetorial real.

(26)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

´

(27)

Exemplos de Espa¸cos Vetoriais

V = Rn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R}

(28)

(2) Conjunto das matrizes reais m × n

V = Mm×n(R)

Com as opera¸c˜oes usuais de I soma de matrizes

I multiplica¸c˜ao de uma matriz por escalar

temos que V = Mm×n(R) ´e um espa¸co vetorial real.

Caso particular: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R ´

(29)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R

(30)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R ´

(31)

V = Mm×n(R)

I soma de matrizes

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R

(32)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R ´

(33)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R

(34)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R ´

(35)

V = Mm×n(R)

V = M2(R) = a b c d : a, b, c, d ∈ R

(36)

(3) Conjunto das fun¸c˜oes reais cont´ınuas no intervalo I

V = C(I ) = {f : I −→ R | f cont´ınua }

Se f , g ∈ C(I ) e α um escalar, definamos I a soma de fun¸c˜oes f + g definida por:

(f + g )(x ) = f (x ) + g (x ), para todo x ∈ I ´e cont´ınua

I a multiplica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao por escalar α f definida por

(α f )(x ) = α f (x ), para todo x ∈ I ´e cont´ınua

Com estas opera¸cões o conjunto V = C(I ) é um espa¸co vetorial real. Observe que 0V é a fun¸cão nula.

´

(37)

Com estas opera¸cões o conjunto V = C(I ) é um espa¸co vetorial real. Observe que 0V é a fun¸cão nula.

(38)

Com estas opera¸c˜oes o conjunto V = C(I ) ´e um espa¸co vetorial real.

Observe que 0V ´e a fun¸c˜ao nula.

´

(39)

(40)

(4) Polinˆomios com coeficientes reais de grau ≤ n

V = Pn(R) = {a0+ a1x + · · · + an−1xn−1+ anxn : ai ∈ R}

Com as opera¸c˜oes usuais de I soma de polinˆominos

I multiplica¸cão de um polinômio por escalar temos que V = Pn(R) é um espa¸co vetorial real.

Observe que 0V = 0 + 0x + · · · + 0xn´e o polinˆomio nulo.

Caso particular: Polinˆomios com coeficientes reais de grau ≤ 2

V = P2 = {a0+ a1x + a2x2 : ai ∈ R}

´

(41)

I soma de polinˆominos

(42)

I multiplica¸c˜ao de um polinˆomio por escalar

temos que V = Pn(R) ´e um espa¸co vetorial real.

V = P2 = {a0+ a1x + a2x2 : ai ∈ R}

´

(43)

(44)

V = P2 = {a0+ a1x + a2x2 : ai ∈ R}

´

(45)

(46)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

Definamos as seguintes opera¸c˜oes:

1 Soma (soma usual)

u + v = (x1+ y1, x2+ y2) ∈ V = R2 2 Multiplica¸cão por um escalar (multiplica¸cão não usual)

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

Com as opera¸cões acima definidas, V não é um espa¸co vetorial real

(Observe que 1u 6= u)

´

(47)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

1 Soma (soma usual)

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

(48)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

1 Soma (soma usual)

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

´

(49)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

1 Soma (soma usual)

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

(50)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

1 _{Soma (soma usual)}

u + v = (x1+ y1, x2+ y2) ∈ V = R2

2 Multiplica¸cão por um escalar (multiplica¸cão não usual)

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

´

(51)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

(52)

Exemplo

V = R2

u = (x1, x2) ∈ V = R2

v = (y1, y2) ∈ V = R2

α ∈ R

α u = (α x1, 0) ∈ V = R2

´

(53)

Teorema

Sejam

V um espa¸co vetorial real

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 α · 0_V = 0_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(54)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V. ´

(55)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(56)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V. ´

(57)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 _{0 · u = 0}_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(58)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 0 · u = 0_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V. ´

(59)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 0 · u = 0_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(60)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 0 · u = 0_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V. ´

(61)

Teorema

Sejam

u ∈ V e α ∈ R Ent˜ao 1 0 · u = 0_V 2 _{α · 0}_V _{= 0}_V 3 (−1)u = −u 4 α · u = 0_V ⇒ α = 0 ou u = 0_V.

(62)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

somando a ambos os membros −u temos −u + (u + 0 · u) = −u + u

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

Logo, 0 · u = 0V (prop 3)

2 (Exerc´ıcio) Escreva α · 0_V = α(0_V + 0_V) e use a prop 5. No resultado

obtido some −α · 0v em ambos os membros. Use prop 3 e prop 1

para concluir o resultado.

3 _{(Exerc´ıcio)} _{Escreva (−1) · u = (−1) · u + 0}_V _{e use a prop 3 para}

escrever 0v = u + (−u). Use prop 1, prop 5 e depois prop 3 e parte 1

do Teorema para concluir o resultado.

4 (Exerc´ıcio) Suponha que α 6= 0 e escreva u = 1 · u = (1 αα) · u.

´

(63)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

(64)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

´

(65)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

(66)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

´

(67)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

(68)

Prova:

1 _{u + 0 · u = 1 · u + 0 · u = (1 + 0) · u} _{(prop 8 e prop 5)}

ent˜ao u + 0 · u = 1 · u = u (prop 8)

(−u + u) + 0 · u = 0V (prop 1 e prop 4)

0v + 0 · u = 0V (prop 4)

4 (Exerc´ıcio) Suponha que α 6= 0 e escreva u = 1 · u = (1 αα) · u. ´

(69)

Problema

V espa¸co vetorial W ⊂ V tal que W 6= ∅

Que condi¸c˜oes devemos impor ao conjunto W para que seja um “pequeno”espa¸co vetorial ?

(70)

Problema

V espa¸co vetorial W ⊂ V tal que W 6= ∅

Que condi¸c˜oes devemos impor ao conjunto W para que seja um “pequeno”espa¸co vetorial ?

´

(71)

Motiva¸c˜

ao

Considere os seguintes subconjuntos do espa¸co vetorial V = R2 Lembre que o vetor nulo´e 0V = (0, 0).

1 O conjunto W = {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 0} ´e tal que

W ⊂ V e W 6= ∅

2 O conjunto W₁= {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 1} ´e tal que

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

(72)

Motiva¸c˜

ao

Considere os seguintes subconjuntos do espa¸co vetorial V = R2

Lembre que o vetor nulo´e 0V = (0, 0).

W ⊂ V e W 6= ∅

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

W2 ⊂ R2 e W2 6= ∅

´

(73)

Motiva¸c˜

ao

W ⊂ V e W 6= ∅

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

(74)

Motiva¸c˜

ao

W ⊂ V e W 6= ∅

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

W2 ⊂ R2 e W2 6= ∅

´

(75)

Motiva¸c˜

ao

W ⊂ V e W 6= ∅

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

(76)

Motiva¸c˜

ao

W ⊂ V e W 6= ∅

W1⊂ V e W16= ∅

3 Seja W₂= { (x , y ) ∈ R2 : y = x2}

W2 ⊂ R2 e W2 6= ∅

´

(77)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

W um subconjunto de V tal que W 6= ∅ Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorialde V se:

(i) 0V ∈ W ;

(ii) u + v ∈ W , para quaisquer vetores u e v em W

(78)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

(iii) α · u ∈ W , para quaisquer α escalar e u vetor em W

´

(79)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

(80)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

W um subconjunto de V tal que W 6= ∅

Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorialde V se:

(i) 0V ∈ W ;

´

(81)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

W um subconjunto de V tal que W 6= ∅

Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorialde V se:

(i) 0V ∈ W ;

(82)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

´

(83)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

(84)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

´

(85)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

(i) 0V ∈ W ;

(86)

Observa¸c˜

oes

1 Todo subespa¸co vetorial W ´e, em si mesmo, um espa¸co vetorial.

I As condi¸cões(1),(2), (5),(6),(7),(8)são válidas para quaisquer vetores u, v , w ∈ V , em particular, são válidas para u, v , w ∈ W ⊂ V , ou seja,

W herdaessas propriedades de V . I A condi¸cão(3)se verifica pela da defini¸cão de subepa¸co I Para verificar a condi¸cão(4), observemos que se u ∈ W , então

(−1)u ∈ W . Pelo Teorema parte (3) temos que (−1)u = −u ∈ W .

2 W = {0_V} ´e um subespa¸co vetorial de V .

´

(87)

Observa¸c˜

oes

(88)

Observa¸c˜

oes

W herdaessas propriedades de V .

I A condi¸cão(3)se verifica pela da defini¸cão de subepa¸co I Para verificar a condi¸cão(4), observemos que se u ∈ W , então

´

(89)

Observa¸c˜

oes

W herdaessas propriedades de V . I A condi¸c˜ao(3)se verifica pela da defini¸c˜ao de subepa¸co

I Para verificar a condi¸c˜ao(4), observemos que se u ∈ W , ent˜ao (−1)u ∈ W . Pelo Teorema parte (3) temos que (−1)u = −u ∈ W .

(90)

Observa¸c˜

oes

´

(91)

Observa¸c˜

oes

(92)

Resumindo

Todo espa¸co vetorial V admite ao menos dois subespa¸cos vetorias:

{0V} e V

chamados subespa¸cos trivias.

´

(93)

Exemplos

1 _{Seja v ∈ V = R}3 _{tal que v 6= 0}_V_{. O conjunto}

W = {tv | t ∈ R } ´

e um subespa¸co vetorial de V = R3.

2 Sejam u, v ∈ V = R3 tais que u, v s˜ao LI. O conjunto

W = {λu + µv | λ, µ ∈ R } ´

(94)

Exemplos

W = {tv | t ∈ R } ´

W = {λu + µv | λ, µ ∈ R } ´

´

(95)

Exemplos

W = {tv | t ∈ R } ´

W = {λu + µv | λ, µ ∈ R } ´

(96)

Subespa¸cos de V = R2 Subespa¸cos de V = R3

{0_V}, onde 0_V = (0, 0) retas que passam pela origem

V = R2

{0_V}, onde 0_V = (0, 0, 0) retas que passam pela origem planos que passam pela origem

V = R3

´

(97)

{0_V}, onde 0_V = (0, 0)

retas que passam pela origem

V = R2

(98)

V = R2

V = R3

´

(99)

V = R2

(100)

V = R2

{0_V}, onde 0_V = (0, 0, 0)

retas que passam pela origem planos que passam pela origem

V = R3

´

(101)

V = R2

{0_V}, onde 0_V = (0, 0, 0) retas que passam pela origem

planos que passam pela origem

(102)

V = R2

V = R3

´

(103)

V = R2

(104)

Exemplos

1 _{O conjunto W = {(a, b, −b, a) | a, b ∈ R } ´e um subespa¸co vetorial de}

V = R4.

2 O conjunto W = {a + bx − bx2+ ax3| a, b ∈ R } ´e um subespa¸co

vetorial de V = P3. 3 O conjunto W = a b −b a a, b ∈ R ´ e um subespa¸co de M2(R). ´

(105)

Exemplos

V = R4.

vetorial de V = P3. 3 O conjunto W = a b −b a a, b ∈ R ´ e um subespa¸co de M2(R).

(106)

Exemplos

V = R4.

vetorial de V = P3. 3 O conjunto W = a b −b a a, b ∈ R ´ e um subespa¸co de M2(R). ´

(107)

Exemplos

V = R4.

vetorial de V = P3. 3 O conjunto W = a b −b a a, b ∈ R ´ e um subespa¸co de M2(R).

(108)

Construindo novos subespa¸cos

Sejam W1 e W2 dois subespa¸cos vetoriais de V 1 _{Pergunta: W}₁∩ W₂ _´_{e um subespa¸}_{co de V ?}

Resposta: Sim !

2 Pergunta: W₁∪ W₂ ´e um subespa¸co de V ?

Considere os seguintes subespa¸cos de V = R3:

W1= eixo x e W2= eixo y I (0, 0, 0) ∈ W1∪ W2 I Sejam u = (1, 0, 0) ∈ W1e v = (0, 1, 0) ∈ W2ent˜ao u + v = (1, 1, 0) /∈ W1∪ W2 Resposta: N˜ao !! ´

(109)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

W1= eixo x e W2= eixo y

I (0, 0, 0) ∈ W1∪ W2

I Sejam u = (1, 0, 0) ∈ W1e v = (0, 1, 0) ∈ W2ent˜ao

u + v = (1, 1, 0) /∈ W1∪ W2

(110)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

(111)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

I (0, 0, 0) ∈ W1∪ W2

u + v = (1, 1, 0) /∈ W1∪ W2

(112)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

(113)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

I (0, 0, 0) ∈ W1∪ W2

u + v = (1, 1, 0) /∈ W1∪ W2

(114)

Construindo novos subespa¸cos

Resposta: Sim !

(115)

Soma de subespa¸cos

O conjunto

W1+ W2 = {u1+ u2 : u1∈ W1, u2 ∈ W2},

chamado soma de W1 e W2, ´e um subespa¸co vetorial de V

Exemplos: Seja o espaco vetorial V = R3

(1) Se W1 = (eixo x ) e W2 = (eixo y ) ent˜ao

W1+ W2 = (plano xy )

Observe que W1∩ W2 = {O

(116)

Soma de subespa¸cos

O conjunto

W1+ W2 = {u1+ u2 : u1∈ W1, u2 ∈ W2},

R3}

´

(117)

Soma de subespa¸cos

O conjunto

W1+ W2 = {u1+ u2 : u1∈ W1, u2 ∈ W2},

(118)

(2) Se S1 = (plano xy ) e S2 = (plano xz) ent˜ao

S1+ S2 = R3

Observe que S1∩ S2= (eixo x )

(3) Se F1 = (plano xy ) e F2= (eixo z) ent˜ao

F1+ F2 = R3

Observe que F1∩ F2 = {0

R3}

Pergunta: Qual a diferen¸ca entre os exemplos anteriores?

´

(119)

S1+ S2 = R3

Observe que S1∩ S2 = (eixo x )

(3) Se F1 = (plano xy ) e F2= (eixo z) ent˜ao

F1+ F2 = R3

R3}

(120)

S1+ S2 = R3

(3) Se F1 = (plano xy ) e F2 = (eixo z) ent˜ao

F1+ F2 = R3

R3}

´

(121)

S1+ S2 = R3

F1+ F2 = R3

R3}

(122)

S1+ S2 = R3

F1+ F2 = R3

R3}

´

(123)

Soma Direta

Defini¸c˜ao

V espa¸co vetorial

W1 e W2 subespa¸cos vetoriais de V

Quando W1∩ W2 = {0V}, o subespa¸co vetorial W1+ W2 ´e chamado soma diretade W1 e W2, escrevemos

W1⊕ W2

Para os exemplos acima temos que

W1⊕ W2 = plano xy

(124)

Soma Direta

Defini¸c˜ao

V espa¸co vetorial

W1⊕ W2

W1⊕ W2 = plano xy

F1⊕ F2 = R3

´

(125)

Soma Direta

Defini¸c˜ao

V espa¸co vetorial

W1⊕ W2

W1⊕ W2 = plano xy

(126)

Exemplo

Se W1 = a b 0 d : a, b, d ∈ R e W2= a 0 c d : a, c, d ∈ R então W1∩ W2= a 0 0 d : a, d ∈ R 6= {0_M 2(R)} Logo, W1+ W2 não é soma direta.

´

(127)

Exemplo

Se W1 = a b 0 d : a, b, d ∈ R e W2= a 0 c d : a, c, d ∈ R ent˜ao W1∩ W2= a 0 0 d : a, d ∈ R 6= {0_M 2(R)}

(128)

Exemplo

Se W1 = a b 0 d : a, b, d ∈ R e W2= a 0 c d : a, c, d ∈ R então W1∩ W2= a 0 0 d : a, d ∈ R 6= {0_M 2(R)} Logo, W1+ W2 não é soma direta.

´