Retas

(1)

Sistemas Projetivos

Representação de Retas no Sistema Mongeano

(2)

Tópicos Abordados no Estudo

das Retas

• Definição

• Classificação das retas

• Pertinência de ponto a reta

• Traços de reta

• Posição relativa entre duas

retas

(3)

Definição

Uma reta é um conjunto de infinitos

pontos, logo, a projeção de uma reta é

a projeção de todos os pontos que a

constituem

(4)

Regra

As projeções de uma reta será uma

reta, exceto quando a reta for

perpendicular a um dos planos de

projeção

(5)

Sejam dois pontos (A) e (B)

(6)

Projeções verticais de (A) e (B)

Projeções horizontais de (A) e (B)

(7)

Projeções na épura: REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO

(8)

Seja a reta (r) que contém (A) e (B):

Observação sobre a NOTAÇÃO utilizada:

- _{retas serão representadas com letras minúsculas;} - _{(r) representa a reta “no espaço”(objeto)}

- _{r e r’ são, respectivamente, as projeções horizontal e vertical da reta (r).}

(9)

Projeção vertical da reta (r)

Projeção horizontal da reta (r)

Projeção vertical da reta (r)

Projeção horizontal da reta (r) REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO

(10)

CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS

 Perpendicular a um dos planos de projeção e paralela ao outro

• Reta Vertical

• Reta de Topo

 Paralela a um dos planos de projeção e oblíqua ao outro

• Reta Horizontal

• Reta Frontal

 Paralela a ambos os planos de projeção

• Reta Frontohorizontal

 Oblíqua a ambos os planos de projeção

• Reta Qualquer

(11)

- _{Perpendicular ao plano (p)} e paralela ao planos (p’)

Reta vertical a um dos planos de projeção e paralela ao outro Reta Vertical

- _{Possui apenas traço HORIZONTAL} (H)

(12)

- _{Perpendicular ao plano (p)} (paralela aos planos (p’) e (p’’))

Reta Vertical a um dos planos de projeção e paralela ao outro Reta Vertical

Projeção Vertical em VERDADEIRA GRANDEZA

(13)

- _{Perpendicular ao plano (p’)} e paralela ao planos (p)

Reta perpendicular a um dos planos de projeção e paralela ao outro Reta de Topo

Projeção Horizontal em VERDADEIRA GRANDEZA Projeção Vertical é um PONTO

(14)

- _{Paralela ao plano (p)} - _{Oblíqua ao planos (p’)}

Reta Horizontal

(15)

- _{Paralela ao plano (p)}

- _{Oblíqua aos planos (p’) e} (p’’)

Reta Horizontal

Projeção Horizontal em VERDADEIRA GRANDEZA

(16)

- _{Paralela ao plano (p’)} - _{Oblíqua ao planos (p)}

Reta Frontal

(17)

- _{Paralela ao plano (p’)} - _{Oblíqua aos planos (p)}

Reta Frontal Projeção Vertical em

VERDADEIRA GRANDEZA

Reta paralela um dos planos de projeção e oblíqua ao outro

Projeção Horizontal PARALELA a Linha de Terra

(18)

- _{Paralela à linha de terra (p’)} - Paralela aos planos (p) e (p’)

Reta fronto-horizontal

(19)

Reta fronto-horizontal

As DUAS projeções encontra-se em VG PARALELAS a L.T.

(20)

Reta Oblíqua a ambos os planos de projeção

Reta Qualquer

(21)

Reta Oblíqua a ambos os planos de projeção

- Nenhuma das projeções encontra-se em VERDADEIRA GRANDEZA e

ambas oblíquas a L.T.

(22)

- _{Paralela ao plano (p’’)}

- Oblíqua aos planos (p) e (p’)

Reta de Perfil

(p’’)

Reta Oblíqua a ambos os planos de projeção

- Nenhuma das projeções encontra-se em VERDADEIRA GRANDEZA e

(23)

(24)

(25)

Pertinência de ponto a reta

Regra geral: um ponto pertence a uma

reta quando as projeções de mesmo

nome encontra-se nas projeções de

mesmo nome da reta, exceto a reta de

(26)

Definição: o traço de uma reta é o seu ponto de interseção com um plano de projeção

Traço de uma reta

Dependendo da direção da reta, esta poderá ter até dois traços:

- _{o traço horizontal, ponto (H);} - _{o traço vertical, ponto (V).}

(27)

- _{Perpendicular ao plano (p)} (paralela aos planos (p’)

TRAÇO DA RETA VERTICAL

(28)

- _{Perpendicular ao plano (p’)} (paralela aos planos (p) e (p’’))

TRAÇO DA RETA DE TOPO

(29)

- _{Paralela ao plano (p)} - _{Oblíqua ao planos (p’)}

TRAÇO DA RETA HORIZONTAL

- _{Possui apenas traço VERTICAL} (V)

(30)

- _{Paralela ao plano (p’)}

- _{Oblíqua aos planos (p) e (p’’)}

TRAÇO DA RETA FRONTAL

(31)

Reta fronto-horizontal As DUAS projeções PARALELAS a L.T _{não tem nenhum traço}

(32)

TRAÇOS DA RETA QUALQUER

Cada traço, por ser UM PONTO, terá também suas projeções:

(33)

(V) : V e V’ (H) : H e H’

(34)

(V) : V e V’ (H) : H e H’

(35)

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(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS

Duas retas, não coincidentes no espaço, podem ser:

-

_PARALELAS

-

_CONCORRENTES

-

_REVERSAS

(r) (s) (r) (s) (r) (s) COPLANARES

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(48)

(49)

(50)

(51)

RETAS PARALELAS Projeções de mesmo nome paralelas entre si

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(53)

(54)

RETAS PARALELAS

(55)

RETAS PARALELAS

(56)

RETAS PARALELAS

Duas Projeções paralelas entre si e as outras duas se confundem

(57)

RETAS PARALELAS

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RETAS PARALELAS

Duas Projeções paralelas entre si e as outras duas se confundem

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(61)

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RETAS CONCORRENTES

As projeções do ponto de interseção estão sobre as projeções de mesmo nome das retas e na mesma linha de chamada

(64)

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(66)

Projeções do ponto de interseção sobre as projeções de mesmo nome da reta e na mesma linha de chamada, sendo que duas projeções das retas se

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(71)

(72)

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(75)

Uma das Projeções do ponto de interseção se confunde com a projeção da própria reta. Reta horizontal e vertical concorrentes contidas em um plano vertical

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(77)

(78)

(79)

(80)

RETAS REVERSAS

IMPOSSÍVEL!!!

Neste caso, observa-se que, o que imaginamos serem as projeções de um ponto, de fato não são, pois não há ponto com duas abscissas ou cujas projeções não estejam verticalmente alinhadas. Logo, se não existe ponto comum, as retas são reversas.

(81)

(82)

(83)

RETAS REVERSAS

P?

ou P?

Neste caso, verifica-se que também não é possível existir um ponto (P) com duas projeções horizontais.

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(87)

(p’’)

- _{Paralela ao plano (p’’)}

- Oblíqua aos planos (p) e (p’)

RETA DE PERFIL

- _{Nenhuma das projeções encontra-se em} VG.

- _{As projeções r e r’ tornam-se coincidentes e} perpendiculares à linha de terra.

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(p’’)

RETA DE PERFIL

IMPORTANTE: A coincidência das projeções da reta de perfil gera uma indeterminação: Não é possível, apenas através das projeções da reta, determinar sua direção no espaço. Pois infinitas retas poderão ter essas mesmas projeções.

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(p’’)

RETA DE PERFIL

Portanto, uma reta de perfil só está completamente representada na épura se, além das suas projeções, identificarmos DOIS PONTOS pertencentes à reta.

(90)

(p’’)

RETA DE PERFIL

Este tipo de reta possui sempre DOIS TRAÇOS

Porém, não é possível determiná-los diretamente através do prolongamento das projeções (como ocorre com os demais seis tipos de retas)

(V)

(H)

H ???? V’ ????

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RETA DE PERFIL RETA DE PERFIL

Este tipo de reta possui sempre DOIS TRAÇOS

Porém, não é possível determiná-los diretamente através do prolongamento das projeções (como ocorre com os demais seis tipos de retas)

(V)

(H)

H ???? V’ ????

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