Lista 3 - GABARITO

LISTA DE EXERCÍCIOS 3(GABARITO)

(AULAS 3-6)

Olá, pessoal!

A busca e a seleção de informações são habilidades importantes.

A resolução destes exercícios talvez requeira o uso de dados não mencionados nos enunciados. Você poderá encontrá-los em livros de Química Geral e também em Tabelas Periódicas. Habituem-se a ter uma destas em mãos, bem como uma calculadora científica...

Um abraço e bons estudos, M.

.

Explique o experimento de espalhamento de partículas , que levou em 1911 à proposição do modelo atômico de Rutherford. Em sua resposta, aborde necessariamente os seguintes aspectos: a) o que são partículas ; b) descrição do experimento; c) resultados obtidos; d) de que maneira os resultados revelam a estrutura do átomo (do que ele é formado, como ele está organizado, como a massa está distribuída, o volume do átomo, etc.).

a)

Partículas  possuem massa e são carregadas positivamente. Equivalem ao núcleo de um átomo de hélio (He), com dois prótons e dois nêutrons: 24α.

b)

Ver osslides da aula 3, no site da disciplina.

c)

Ver osslides da aula 3, no site da disciplina.

d)

Com base nos resultados observados para o espalhamento das partículas , Rutherford e seu grupo propuseram que a matéria seria constituída grandes vazios, estando a massa concentrada em pequenas regiões do espaço (os núcleos), com carga positiva. Os elétrons, com massa muito inferior à dos núcleos, orbitariam em torno destes (em uma região muito maior, denominada eletrosfera).

.

Um laser de hélio-neônio (usado nos leitores de códigos de barras do Carrefour Oratório) emite luz em 632,8 nm. Calcule a frequência desta luz. Qual é a energia de um fóton gerado por este laser?

Questão mui semelhante às da Lista 2. Aqui, contudo, estamos nos referindo explicitamente aos fótons. Lá chamávamos tudo de “radiação eletromagnética”. No fundo, estamos falando da mesma coisa – visto que a luz exibe comportamento de onda e de partícula.

c=λν

⟹ ν= c

λ

=

2,99792458 ×10

8

m∙ s

−1

632,8× 10

−9

m

=

4,74 ×10

14

_Hz

E=hν

⟹ E=6,626× 10

−34

J ∙ s ∙ 4,74 ×10

14

Hz=3,14 ×10

−19

J =1,96 eV

.

A potência de um laser é medida em unidades de Watts (W), onde um Watt é igual a um Joule por segundo (

1W =1 J ∙ s

−1 ). Qual é o número de fótons por um laser de nitrogênio de 1,00 mW a cada segundo? O comprimento de onda emitido por um laser de nitrogênio é 337 nm.

Segundo a definição de potência apresentada no enunciado, o referido laser emite uma energia “por tempo” de 1,00 mJ · s-1 _{= 1,00 × 10}-3_{J · s}-1_{. Tal potência se refere aos fótons} emitidos pelo laser naquele período. Se considerarmos que o laser emitiu N. fótons em 1 segundo, teremos:

E=Nhν=N

hc

λ

⟹ N = λE

hc

=

337 ×10

−9

_{m∙ 1,00 ×10}

−3

_J

6,626× 10

−34

J ∙ s ∙2,99792458 ×10

8

m ∙ s

−1

=

¿

1,69 ×10

15

_fótons

.

Calcule o número de fótons em um pulso de luz de 2,00 mJ em:

a)

1,06 µm

b)

537 nm

c)

266 nm

Mesmo raciocínio do problema anterior: basta usar que

N=

λE

hc

e calcular para cada

item. Assim, temos que: a) N=1,07 × 1016_fótons

b)

N=5,41 ×10

15

fótons

c) N=2,68 ×1015_fótons

.

Quando uma superfície limpa de prata é irradiada com luz de comprimento de onda 230 nm, a energia cinética dos elétrons ejetados é de 0,805 eV. Calcule a função-trabalho e a frequência limiar desse metal.

Podemos começar convertendo o valor da energia cinética, apresentado em eV, para joules:

E

K

=

0,805eV ∙ 1,602× 10

−19

J ∙ eV

−1

=1, 29 ×10

−19

J

Agora podemos utilizar a equação que relaciona os dados do problema (interpretação de Einstein para o efeito fotoelétrico):

E

_K

=

hν−h ν

_⏟

₀ ϕ

=

hc

λ

−

ϕ

⟹ ϕ=

hc

λ

−E

K

ϕ=

6,626 ×10

−34

J ∙ s ∙ 2,99792458×10

8

m∙ s

−1

230 ×10

−9

m

−1, 29 ×10

−19

J =

¿

¿

7,35× 10

−19

J =4,59 eV

Por fim, calculamos a frequência limiar desse metal (a partir da qual o sistema começa a experimentar ejeção de elétrons).

ϕ=h ν

0

⟹ ν

0

=

ϕ

h

=

7,35 ×10

−19

_J

6,626 ×10

−34

J ∙ s

=1,11× 10

15

_Hz

.

Responda as questões que se seguem utilizando o diagrama ao lado, que mostra os níveis de energia de um elétron num átomo de hidrogênio.

a)

Considerando apenas as transições entre os níveis 1, 2, 3 e 4, qual delas está associada à emissão do fóton com maior comprimento de onda?

b)

Considerando apenas as transições entre os níveis 1, 2, 3 e 4, qual delas está associada à absorção do fóton com maior frequência?

c)

Suponha que um átomo de hidrogênio seja excitado de modo que o elétron passe para o nível n = 3. Calcule o comprimento de onda da luz emitida quando este átomo retorna ao estado fundamental. Em que faixa do espectro eletromagnético esta radiação se encontra?

d)

Calcule a energia de ionização do elemento hidrogênio

em unidades de kJ/mol.

a) A emissão do fóton de maior comprimento de onda está associada à transição de menor energia, visto que

E=

hc

_λ

. Segundo o diagrama apresentado, essa transição será a

4 → 3

.

b) A absorção do fóton de maior frequência está associada à transição de maior energia, pois

E=hν

. De acordo com o diagrama apresentado, essa transição será a 1→ 4 .

c) Aqui não precisamos usar a equação de Rydberg, pois já temos um diagrama que nos informa as energias de cada nível (En). Só é preciso, portanto, que calculemos

as diferenças de energia entre os dois níveis. Nesse caso, a transição cujo comprimento de onda procuramos é a 3 →1 . Calculemos primeiro a sua energia em J:

∆ E3 → 1=E3−E1=−1,51 eV −

(

−13,6 eV

)

=12,09 eV

(

1,602 ×10 −19_J

eV

)

=1,94 ×10

−18_J

Finalizamos com o cálculo do comprimento de onda procurado:

λ=

hc

E

=

6,626 ×10

−34

J ∙ s ∙ 299792458 m∙ s

−1

1,94 ×10

−18

_J

=1,026× 10

−7

m=102,6 nm

Tal radiação se encontra na faixa do ultravioleta.

d) Usando o mesmo raciocínio do item anterior:

Ei=∆ E1 →∞=E∞−E1=0−

(

−13,6 eV

)

=13,6 eV

(

1,602× 10 −19_J

eV

)

=2,178 ×10

Agora é só converter para kJ/mol, multiplicando a energia em quilojoules pela constante de Avogadro:

E

i

=2,178 ×10

−18

J

(

10

−3

kJ

J

)

6,0221367 ×10

23

mol

−1

=1312,1kJ ∙mol

−1

7. O gráfico ao lado traz os espectros de emissão atômica

dos elementos sódio e mercúrio na faixa de comprimentos de onda entre 450 e 750 nm, bem como o espectro da luz branca nesta mesma faixa. Responda as questões abaixo:

a) Lâmpadas de sódio são amplamente utilizadas para

iluminação pública. Qual a coloração destas lâmpadas? De que maneira esta coloração pode ser inferida a partir do espectro de emissão?

b) Suponha que a luz branca da figura ao lado seja irradiada sobre um bulbo contendo sódio vaporizado a baixa pressão. Esboce num gráfico qual será o espectro da radiação após ela ter atravessado a amostra de sódio.

a) As lâmpadas de sódio são amarelas. A partir do espectro de emissão do elemento, verificamos que a banda de maior intensidade é a de comprimento de onda de aproximadamente 589 nm, o que corresponde à cor amarela no espectro visível.

8. O decaimento de um átomo, de um nível de energia excitado para um nível de energia

mais baixo, ocorre com a emissão simultânea de radiação eletromagnética. A esse respeito, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando as suas escolhas:

a) A intensidade da radiação emitida é diretamente proporcional à diferença de

energia entre os níveis inicial e final envolvidos.

FALSA. As equações de Rydberg, Bohr e Planck não preveem a intensidade da radiação emitida, de forma que não se pode afirmar que exista essa dependência de proporcionalidade direta entre a intensidade e a diferença de energia. Certamente existe uma relação entre elas, mas deve ser mais complicada do que uma proporção direta.

b) A frequência da radiação emitida é diretamente proporcional à diferença de

energia entre os níveis inicial e final envolvidos. VERDADEIRA. Basta observar que E=hν .

c) O comprimento de onda da radiação emitida é inversamente proporcional à

diferença de energia entre os níveis inicial e final envolvidos. VERDADEIRA. Basta observar que

E=

hc

λ

.

9. Ao receber energia, o elétron do átomo de hidrogênio salta do 3º nível de energia para

o 6º nível. Relaxando de volta ao estado fundamental, ele emite uma onda eletromagnética de comprimento de onda λ. Pergunta-se:

a) O salto quântico citado pertence a qual das séries espectrais do hidrogênio? b) O fóton emitido se encontra em que região do espectro eletromagnético?

c) Usando a equação de Rydberg, calcule o comprimento de onda e a energia do

fóton emitido.

a) Esta é uma das transições da série de Paschen, em que n1 = 3.

b) Dos esquemas apresentados nos slides de aula, sabemos que as transições eletrônicas da série de Paschen correspondem a radiações na região do infravermelho, mas podemos mostrar isso com os cálculos do item (c) a seguir. c) Primeiro vamos calcular o número de onda correspondente a esta transição,

utilizando a equação de Rydberg:

~

ν =R

H

(

1

n

₁2

−

1

n

₂2

)

=109677,581cm

−1

(

3

1

2

−

1

6

2

)

=

9139,80 cm

−1

Por fim, para calcular o comprimento de onda e a energia da transição, basta utilizar as equações que já conhecemos bem:

~

ν =

1

λ

⟹ λ=~ν

−1

E=

hc

λ

=

6,626× 10

−34

_{J ∙ s ∙ 299792458m ∙ s}

−1

1,094 × 10

−6

m

=1,821 ×1 0

−19

_J

De fato, trata-se de um fóton com energia na região do infravermelho.

10. Use a equação de Rydberg para calcular os comprimentos de onda das primeiras três

linhas da série de Lyman.

A equação de Rydberg não nos fornece o comprimento de onda relativo a uma transição eletrônica, mas o seu inverso – o número de onda. Assim, para encontrar o valor de λcorrespondente a transições entre quaisquer níveis n2 en1, precisamos inverter a

equação de Rydberg:

~

ν =R

H

(

1

n

1 2

−

1

n

2 2

)

=

1

λ

⟹ λ=~ν

−1

=

[

R

H

(

1

n

1 2

−

1

n

2 2

)

]

−1

=

1

R

_H

(

n

₁2

n

₂2

n

2 2

−n

1 2

)

∴ λ

n2→ n1

=

1

R

_H

(

n

₁2

_n

2 2

n

22

−n

12

)

Esta equação não é muito bonita, mas permite calcular o valor de λdiretamente a partir dos dados do enunciado. Calculemos então os comprimentos de onda das três primeiras linhas dessa série, lembrando que a série de Lyman é aquela em que n1 = 1.

λ

2 → 1

=

1

109677,581 cm

−1

(

1

2

∙2

2

2

2

₋₁

2

)

=1,217 ×10

−5

cm=121,7 nm

λ

_{3 → 1}

=

1

109677,581 cm

−1

(

1

2

∙3

2

3

2

−1

2

)

=1,027 ×10

−5

cm=102,7 nm

λ

_{4 →1}

=

1

109677,581 cm

−1

(

1

2

∙ 4

2

4

2

−1

2

)

=

9,734 ×10

−6

_{cm=97,3 nm}

11. Usando a equação de Bohr,calcule a energia, em elétrons-volt, do fóton absorvido

quando o elétron solitário do 4 Be3+ salta do estado fundamental para o nível 7.

Vamos utilizar a equação de Bohr para os átomos hidrogenoides, já que o elemento berílio possui Z = 4. Embora esta equação descreva a emissão de radiação, segundo este modelo a energia que um fóton absorve para a excitação 1→ 7 é a mesma da transição

7 →1

, que resulta na emissão de radiação. Primeiro vamos isolar E na equação, que é o que queremos calcular:

~

ν =R

∞

Z

2

(

1

n

₁2

−

1

n

₂2

)

=

E

hc

⟹ E=R

∞

hc Z

2

(

n

1

₁2

−

1

n

₂2

)

eV

1,602 ×10

−19

J

=

conversão

¿

⏟

213,3 eV

E=109737,3cm

−1

⏟

R∞

∙

10

2

m

−1

cm

−1

⏟

conversão

6,626 ×10

−34

_{J ∙ s}

⏟

h

∙ 299792458 m∙ s

−1

⏟

c

∙ 4

2

⏟

Z2

∙

(

1

1

2

−

1

7

2

)

⏟

(

n1₁2− 1 n₂2

)

=3,417 × 10

−17

_{J =3,417 ×10}

−17

_J

¿

NOTA 1: não esqueça de converter a unidade de cm-1 _{para m}-1 _{antes de calcular E.}

NOTA 2: não esqueça de converter a unidade de J para eV, pois é o que o enunciado solicita. Essa conversão foi feita no final, mas pode ser feita junto da primeira conta (basta que você tenha um papel bem grande para escrever isso).

AGORA ALGUNS EXERCÍCIOS MAIS ENCORPADOS...

12. A principal hipótese de Planck era que as energias dos osciladores eletrônicos

poderiam assumir apenas os valores E=nhν , e que ΔE=hν . Quando

ν → 0

, então

ΔE → 0

. Assim, devemos esperar que a distribuição não clássica de Planck se comporte como a distribuição clássica de Rayleigh-Jeans em baixas frequências. Mostre que a equação da distribuição de Planck se reduz à da distribuição de Rayleigh-Jeans quando

ν → 0

.Notas: Lembre-se1 _que

_e

x

_{=1+x +}

(

x

2

2 !

)

+

⋯

,

ou, em outras palavras, que ex≈1+x , quando x é pequeno. O esquema abaixo pode ajudar...

1 Vocês obviamente não são obrigados a “lembrar” disso, visto que aprenderão a calcular séries de Taylor no curso de FVV. Assim sendo, assumam que estas expressões são verdadeiras e utilizem para resolver os problemas.

Devemos mostrar que a equação da direita se reduz à da esquerda, em condições de

ν → 0

. Assim:

ρ

ν

(T )=

8 π ν

2

c

3

hν

e

hν kBT

−1

ν → 0

⇒

ρ

ν

(T )=

8 π ν

2

c

3

hν

(

1+

hν

k

B

T

)

⏟

ex ≈ 1+ x

−1

=

8 π ν

2

c

3

k

B

T

Muitas das equações que descrevem fenômenos quânticos podem, assumidas certas condições, ser aproximadas a uma interpretação clássica. Note que a equação clássica independe da constante de Planck h.

13. Alguns dados para a energia cinética dos elétrons ejetados em função do comprimento

de onda da radiação incidente para o efeito fotoelétrico no metal sódio são:

λ (nm)

EK (eV)

100 10,1 200 3,94 300 1,88 400 0,842 500 0,222

Plote estes dados para obter uma reta e calcule os valores da constante de Planck (h) e da função-trabalho (φ) para este metal.

Os dados com a resolução do problema encontram-se na planilha Excel que acompanha este gabarito no site da disciplina.

14. Mostre que a velocidade de um elétron na enésima órbita de Bohr é

v =

e

2

2 ε

0

n h

. Calcule o valor dessa velocidade para as três primeiras órbitas de Bohr.

Um dos postulados de Bohr afirma que o momento angular dos elétrons é quantizado, e isto pode ser equacionado como:

m

_e

vr=nℏ=

nh

2 π

⇒ v=

nh

2 π m

_e

r

Um dos resultados matemáticos do modelo de Bohr é o quantum da órbita dos átomos hidrogenoides: r_n=4 π ε0ℏ 2 m_ee2 n2 Z2;n=1, 2, 3 , …

Substituindo uma expressão na outra e procedendo os cancelamentos, vem que:

v =

nh

2 π m

_e

r

m

e

e

2

4 π ε

₀

ℏ

2

Z

2

n

2

=

e

2

2 ε

₀

nh

Z

2

_{⇒ v}

n

=

e

2

2 ε

₀

nh

(Z =1); n=1, 2,3 , …

Agora podemos calcular esse valor para as três primeiras órbitas do átomo de hidrogênio (n = 1, 2 e 3):

v

₁

=

e

2

2 ε

₀

h

=

(

1,602 ×10

−19

C

)

2

2∙ 8,854 × 10

−12

C

2

∙ J

−1

∙m

−1

∙6,626 × 10

−34

J ∙ s

=2,187 ×10

6

_{m ∙ s}

−1

v

₂

=

e

2

4 ε

₀

h

=

(

1,602× 10

−19

_C

)

2

4 ∙ 8,854 × 10

−12

_C

2

_{∙ J}

−1

_∙m

−1

_{∙6,626 × 10}

−34

_{J ∙ s}

=1,094 ×10

6

_{m ∙ s}

−1

v

₃

=

e

2

6 ε

₀

h

=

(

1,602 ×10

−19

_C

)

2

4 ∙ 8,854 ×10

−12

_C

2

_{∙ J}

−1

_{∙ m}

−1

_{∙ 6,626 ×10}

−34

_{J ∙ s}

=7,291 ×10

5

_{m∙ s}

−1

15. Calcule o comprimento de onda de de Broglie para: a) Um elétron com uma energia cinética de 100 eV.

b) Um elétron na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio

Vamos utilizar a equação de de Broglie e utilizar, para cada item, uma expressão adequada da velocidade de cada partícula.

a) Sabemos que a expressão clássica para a energia cinética de um elétron é:

E

_K

=

m

e

v

2

2

⇒v=

(

2 E

K

m

_e

)

1 2

Usando a equação de de Broglie e substituindo a expressão da velocidade nos fornece que: λ= h m_ev= h m_e

(

2 EK m_e

)

1 2

Basta agora colocar os números e fazer as contas. NOTA: Não esqueça de converter as unidades da energia cinética de eV para joules (isso pode ser feito dentro da própria conta, como veremos).

λ=

6,626× 10

−34

J ∙ s

9,109× 10

−31

_{kg ∙}

(

2 ∙ 100 eV ∙ 1,602× 10

9,109 ×10

−31−19

kg

J ∙ eV

−1

)

1 2

=1,22 ×10

−10

m

b) A expressão e o valor da velocidade de um elétron na primeira órbita de Bohr do átomo de hidrogênio foram determinadas no exercício anterior:

v

1

=

e

2

2 ε

0

h

=2,187 ×10

6

_{m ∙ s}

−1

Agora basta utilizar esse valor na equação de de Broglie e calcular o comprimento de onda:

λ=

h

m

e

v

1

=

6,626× 10

−34

_{J ∙ s}

9,109× 10

−31

kg ∙2,187 ×10

6

m ∙ s

−1

=

3,33× 10

−10

_m

16. Uma das técnicas modernas mais poderosas para estudar a estrutura da matéria é a

difração de nêutrons. Esta técnica envolve a geração de um feixe colimado de nêutrons, a uma dada temperatura, a partir de uma fonte de nêutrons de alta energia. Isso é realizado em instalações científicas de grande porte conhecidas como aceleradores de partículas. Se a velocidade de um nêutron é dada por

v_n=

(

3 kBT

m

)

1 2

, onde m é a massa de um nêutron, que temperatura é necessária para que os nêutrons tenham um comprimento de onda de de Broglie de 50 pm? Assuma que os nêutrons têm massa 1,67 x 10-27 _kg.

Conceitualmente, esta é uma questão bastante simples. Do ponto de vista da resolução, no entanto, o enunciado tem uma grande quantidade de informações desnecessárias, e é preciso prestar bastante atenção nas contas. Minha sugestão é CARREGAR AS

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ATÉ O FINAL, COLOCANDO OS NÚMEROS POR ÚLTIMO. Assim você faz uma única conta, e a chance de erro será sempre menor!

Devemos começar com a equação de de Broglie, substituir o valor da velocidade pela expressão da velocidade do nêutron dada no enunciado e, por fim, isolar T, que é o valor procurado no problema:

λ=

h

m

_n

v

=

h

m

_n

(

3 k

B

T

m

n

)

1 2

⇒

(

3 k

B

T

m

_n

)

1 2

=

h

m

_n

λ

⇒T =

h

2

3 k

_B

m

_n

λ

2

Agora é só fazer uma única conta...

T =

h

2

3 k

B

m

n

λ

2

=

(

6,626 ×10

−34

J ∙ s

)

2

3 ∙ 1,381×10

−23

J ∙ K

−1

∙ 1,67 ×10

−27

kg ∙

(

50 ×10

−12

m

)

2

=2541 K