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FREIRE
IviQÇQKS
1 . Í 0 5 e x s T v i c i o s
fv'^40 problexi^dd rr&olv ic.V;
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UlVH/IB.'A FRANCiSCO ALVX°
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,5-■i r u r ^ r i t ^ u ' z O N T E . O A '-Olavo FREIRE
n o ç õ e s
D Bletria Pratica
gXÓ
/./05 exercidos
340 probiemüs resolvidos
665 gravuras
35. GJição inteiramente refunclicie
LIVRARIA FRANCISCO ALVES
P-VULO DE AZEVEDO &
C-SXO PAULO
ao DE JANEIRO ,9., ubero badarÓ
R U A . D O O U V I D O R , 1 6 6 '
[lELLO HORIZONTE. 10^^ DA BAHU, -1930
\ ■*
ill
Á0 dilécto Mestre g i4migo
o e E x . " ' ' ' S r.
Dr.J.J deU[-:NESES VIEIfíA,
e m f e s t e m u n h o d o yreitdão o : D C . 0 O t a u o Oiituhro — 1^9/iOKMAT
DKirtALIZAOO
'•ari > i - ' > i O L A V O ,Teu liyi'iiilio — Primeiras norÕes de Geometria — f
um bom instmnienlo de ensiuo e uma prova da conquista
que vão fazendo eture nós os sãos principies pedagógicos.
Conseguiste Tibertar-te dos velbos moldes quanto ao
methorlo, aos exempios, ao eslylo e ao sestro de arranjar compêndios por empreitada e à Ia minute: acceita meus
sinceros parabéns!
Sinto, cutretautí', qu« tivesses em um ponto transi
gido com a rotina (1), preferindo problemas abstractos ás
questões práticas cuja resolução se oílerece todos os dias
n a v i d a s o c i a l .
Receiasto por veniura os sarcasmos de que foi ctcítVna o e.xcellente M. Desargues, o consciencioso propagandista da geometria applicada ás artes ?
Que te importaria somelbante aíiroma?
Aos teus censores responderias com as textuaes pala
vras do illustre Clairaut em 1741
(í Qu'Euclide se donne Ia peine de démontrer que les
cercles qui se coupc-ni n'ont pas le môme centre, qu'un
triangle renfernié dans un autre a Ia som me de ses còtés plus petite que celle des côtés de cet autre; ou ne sara
. pas surpris.
« La géométrie avait à convaincre des sopbistea obstinés
(1) Não transigi eni absoluto porque pretendo publicar xima lórie de problemas de caracter essencialmente prático..
qni se faisaient gloire de se refuser am vérités les plus
évideates. II fallait douc alors que U géométrie eúl,
comme la logique, des raisonnements pour fermer la
bouche à la cbieane. Mais les choses out cbangé de face,
lout raisonnement qui tombe sur ce que le bon sens seul
décide d'avance est aujourd'hui en pure parte et nest
propre qu'à obscurcir la vérité et dégoüte,. les lectours. »
Ena verdade, meu amigo, la gèomètrie du bon sens,
a geometria realmente descriptiva e intuitiva ê a única
que deve ter o direito de entrada nas escólas primarias.
Este é o parecer do teu velho mestre e amigo dedicado.
i ^ í e n c s e s Vi e i r a . N. C. — 26 Outubro 1894.
/ •
■ i.t
A l g u m a s o p i n í ò e s d a I m p r e n s aJornal río Commercio, 29 de março de 1S95
O s S r s . A l v e s i S r C ' - ' ' a c : i b a i n d e e d i t a r u m l i v r o m u i t »
util do Sr. Olavo Freire. Intitula-se Primeiras noções d'
Geometria Pratica e dá ao ensino da geometria elemen-,
tar a facilidade que os estudantes nilo encontram eni outrot com-peodios.
O Sr. Olavo Freire, pela clareza da sua e.vposiçáoe
pela excellencia do inethodo que adoptou, soube tornar
o seu livro uma obra didactica de mérito verdadeiramente
«xcepcional. Por elle a geometria elementar pôde ser en sinada com grande vantagem nas escolas de instrucção
primaria, e sabem todos quanto o conhecimento da geome
tria impõe-se boje a todas as profissões.
Como em outros compêndios d'essa sciencia, o livro é ornado de muitas gravuras, cerca de 260, explicativas e
exempliflcativas.
O P a h , 7 d e a b r i l d e 1 8 9 5 : Primeiras noções dc Geometria Pratica- — O Sr. Olavo Freire, conhecido e reputado professor de desenho e trabalhos manuaes, soube com pericia compendiar em
159 paginas, íq-8% todaj, as noções elementares de geo
metria pratica'
O volume que temos presente constitue trabalho uti'
lisaimo para as escólas Primarias brasileiras.
Os numerpaos exercícios á problemas práticos e as ní
tidas e bem applicadas graviAas que encena o compêndio do Sr. Olavo Freire elucidanicabalmente a materia, cujo
ensino, amenisado d'essa fónia, torna-se tarefa agradavel
e facil ao professor e ao discípulo.
Prefacia o livro do profesap Olavo Freire o emerito
educaeionista Dr. Meneses VUira, cujas palavras consti
tuem um brado de animaçflo ai jovem professor e penlior
valioso da utilidade de seu trabalho.
N O Ç Õ E S
GEOMETRIA PRATICA
O Democrata Federai (S. Paulo) 15 de maio 1895:
Geometria pratica. Dos estimados e populares edi tores srs. Alves & C." recebemos um pequeno compêndio escolar com o titulo Primeiras noções de Geometria Pra tica, destinado, como se vô. aos estabelecimentos dc
instrucçào primaria.
O li'^ro, compilado pelo sr. Olavo Freire, contém 318 exercícios, 71 problemas e 233 gravuras. Desenvolve intuitivamen./e todos os elementos indispensáveis aos primeiros conhecimentos de maUiematica linear, exempli
ficando os problemas com bòas gi'avuras elucidativas.
Pela sua clareza de exposição g pela distribuição
rae-thodica das matérias, torna-so ^ presente opuseulo um
livro de grande utilidade para os principiantes, princi
palmente se considerarmos que no genero, raros são os
auctores, que se prestam pela precisão e clareza, á apren
dizagem dos jovens estudantes.
Recomraendando, pois, aos urs. professores, o livro
do sr. Olavo Freire, agradecemos aos aympathicos edi
tores a valiosa offerta.
C A P I T U L O I
P R l . V I E I R A S D E F I N I Ç Õ E S
SUMMARIO : Espaço. — Corpo. — Extensão. — Volume. — Superfície. — Linha. — Ponto.
Si collocarmos um tinteiro sobre uma mesa,
elle fica em uma posição determinada no
e s p a ç o .
ESPAÇO. ^ está 110 espaço
limitado pela sala; esta no
espaço compreheudido pela escola; a escóla
sobre a Terra; e a Terra, em continuo movi
mento pelo espaço.
a *
- 1 0
-espaço ; porém que -espaço? — Oiuie
principia ou acaba?
O espaço, sem ter começo nem fim, encerra todas
as cousas e estende-se em todas as dlrecçòes.
Todas as cousas que occupam um certo
logar no espaço chamam-se corpos.
r n o n r k u m t i n t e i r o , u m a
wUl\i U. regua, uma mesa, um livro,
, í o l h a , e t c . o c c u p a m u m
^ c h a m a d o s
corpos, (fig. 1).
^
■
Gaios, bola, cordel, são corpos
e x e r c í c i o s 1- — Arnaldo! este livrf\
nome recebe ? occupa logar no espaço ? — q^g
2. — Que é um corpo ?
3. — Dá alguns exemplos
T - ^ r
fi o a e r au ' l v i
U m c o r n o ? o° °
rpo < — porque ? r i ; CÍ.'-" — 1 1 —o espaço occupado por um corjio cliama-se
e x t e n s ã o .
EXTENSÃO. Podemos considerar a
extensão com uma, duas
ou tres dimensões, isto é. conipi'imeato;
compriniento e largara; e finalmente com
primento, largara e espessara.
e x e r c í c i o s
1.— Roberto! que nome tem o espaço occupado por um
corpo ?
2. —Quantas dimensões púde ter uma extensão?
:i. — Como so chamam?
4.— Quantas dimensões tem esta regua? (o professor mostra uma regua).
5 —E este livro? —este annario?—esta mesa? —esta caixa ?
' « i í »
A extensão com tres dimensões, isto é,
comprimento, largara, e espessara, aliara,
ou profandidacle recebe o
VOLUME. nome de volume.
A porção do espaço
com-prehendida pelas paredes, o soalho e o tecto
de uma sala é um volume.
A aliara owprofaadidade é em certos ca
sos denominada espessara.
Assim dizemos : a espessara de uma íôlha
de papel, de uma táboa, etc.
1 9
l i v •
0 volume de um corpo é o logar que este
occupa 110 espaço.
Uma regua, uiii relogio. uiii iapis
occu-volumes d esses objectos.
e x e r c í c i o s
tres dimensões-?^ ' ^ ° r^cebe uma extensão com
Dii exemplos.3- - é o volume de um corpo ?
'• 'o&aroccupadopor iimi r
r e c e b e ? r e g u a n o e s p a ç o , q u e n o m e
deveremos dizer? ^ '^
■
'^PíJasura de um poço? — como
8. — Qual occupa" maiTll ° moringue ?
iitro d'agua? ^P^Ço. um litro de leite ou utnc é r c á ^ p o r u m °
Umasuperflcie lio Í""'"
d o p e g a m o s n u m Q o a n
-íivio ou em outro corpo
SUPRRFiriP 2"'^''^"®''' ®"per-
CKMtIb. ficie do livro ou desse
quando o operário f2°; "l"® focamos ;
sua supenflole que T ^ íia
«ive elle oolia o papel
■.•ç>
- 1 3
-A epiclerme do corpo humano, o epicarpo
(pellicula externada um frucío) ?ão super
f í c i e s .Á extensão com duas dimensões, isto é,
® d á — s e o n o m e d e
superfície.
Alguns corpos têm uma só superfície :
uma esphera, uma bola de bilhar, upi ovo
Fig. 2. — Um ovo : corpo com nina linica snperflcie.
Fír. 3. — Vaso dc ílôrcs : u m c o r p o l i m i t a d o p o r d i i a s s n p c c fi c i c s .
(fig 2), um limão etc,; outros sfio limitados
por duas : um vaso de flores (fig. 3), uma
caixa cylindrica; por três: uma moeda de
nickel, um lapis cylindrico.
O dado de jogar (fig. 4) é
f o r m a d o p o i ' s u p e r
fícies; um esquadro, por
c i n c o .
As superfícies dos cor
- 1 4
-curms; dividem-se portanto as superfícies
em planas e curvas.
A superfície plana é também denomi
nada plano.
As superfícies de uma pranclieta. da
aboade uma mesa, de um espelho comniuiii
sao planas, ou planos.
O marceneiro utilisa-se de um instrumento
chamado plaina (lig-. õ)
para obter uma
super-ficie plana.
As superfícies do
®vo, de uma laranja, de
uma bola sào curvas.
P's. 5. — Uma plaina.
^
torneiro é o operário que mais trabalha
, . o c i u { . i u r v a s .as superfícies curvas; é elle quem nos
a uca os cabos de utensilios, as maçanetas,
as columnas, os piões, cujas superfícies
s a o c u r v a s .
As superfícies curvas são conccwas ou
c o n v e c c a s .
U m a t e l h a c o l l o c a d a d e
c o n v o c a
m<.stra uma supenficie
«pcrricie concava e em
« « l i )
sentido inverso (fig*. 7) uma superfície
concf'..va: a parto inte- ^
rior de um tubo (íig. S) \Sup^rlick concsva
' 'ScpwJjac cnnvtxa.
< 1
Fie. 7. — Fnia trUin : siípcrflcie convcxa
. a .1 mvte exterior é conve<vã. e v o n c a v a e a p a u e S y n o p s e
^ planas.
S U P S r f í C i B S ' • . c o n c a o a s ./ ca ruas. . .] ' ' c o n o e x a s . e x e r c í c i o s1 _ Heitor! onde eslâ a superfície d'esla parede?
o' _ üue idc^a ía/.cs da superiicie de um corpo ?
7 „ A siípcrlicic de um corpo é sempre da mesma
subs-Tem Smrslporncie IreídimensOes ? qual a din.eusão
'"Vmc um corpo ler uma superticie? - exemplos.
t I Coubeces alguns corpos terminados por duas
super-"t-Por quantas superlieies e formada esta regua?
o I ariVopm^ro^'que'martrabalha as superlieies
cur-u - Qcur-uaniL scur-uperfícies tem cur-um dado de jogar ?
2 - (imo se cluuua a superlime de uma bola .
iV _ Pn.n'o se dividem as st.perficies curvas .
U. Como se cbama a superücie interior de uma cuia .
- 1 6
-I ''"P'^rilcios concavas: ~
convrxas-converas?-'Exemplo""' só t.nham su|..irticies
A extensão com uma unica dimensão :
comprimento^ chama-se linha.
m fio muito fino, um traço feito com giz
I !\ M A sobre uma superlicie
LnHA. podem ser considerados como
""l-s Seom.S'ir
espessf/rn r^r. A ^ lorcfnra nem
Entreta;^^'
íara i epresentarmos a linha
' em ]) r e g a m o s
g e r a l m e n t e olapis, o gi;í, a
p e n n a , o c a r vão . O encon tro00 intersecção
fie duas super
ficies (fig. 9)
dá-t i o s dá-t a m b é m alinha.
?. 9. — hecta AR. • duas e«perfici„ ! % — V i —A aresta de. uma regua. os contornos de
um corpo, de uma ílòr, de um livi'o sáo
l i n h a s .
As linhas são rectas (íig. 10) ou curvas
(fig. n).
Fig. ÍO. — Linhas reclas
{
Fis- n. — Linhas curvas.
Um fio (fig 12) bem esticado dá-nos idéa
d e u m a i i n h a t e c i a . O i n s t r u m e n t o
usado pa
ra auxiliar ~ csUcado ; linha recta.
O traçado das linhas recías chama-se régua
( fi g .
1 3 ) .
^
^
^
O c a r p i n t e i r o e I — '
o pintor servem- F.g. 13. - uma rogua. ^
se algumas vezes, para traçar uma linha
recía, de um cordel coberto de giz fixando-o
— I S —
bem esticado pelas extremidades,
levantan-F l i M .
Fi^f, 15. — nccta /. n.
do-0 depois pelo meio e larp;ando-o de repente
(íig. 14).
Designa-se geralmente uma linha recta
por meio de duas
Ict-tras collocadas, uma
e r n c a d a e x t r e m i d a d e ,
como por exemplo :
. a recta AB (1'ig. 15).
e um ponto a outro só podemos traçar
uma linha recta.
Dma recta pôde ser pi-oiongada em ambas
as direcções.
Prolongar uma recta é dar-lhe maior
extensão em uma ou em ambas as direcções;
con orme o enunciado, assim deve ser o
pro-longamento de uma recta.
Prolongar, por exemplo, AB (íig, 15) é
ai e maior extensão na direcção. de A
para B; e prolongar BA é fazer-lhe o mesmo
na üirecçao de B paraA.
- 1 9 —
A linha recta, segundo a direcção que"
segue, pôde estar na posição vertical,
nori-z o n t a l o u i n c l i n a d a .
A linha recta está na posição vertical
(fig. 16) quando segue a direcção do/fo a
prumo (íig. 17).
O fio a prumo compõe-se geralmente de
um cordel, na extremidade do qual
s e a c h a s u s p e n s o u m c o r p o p e
s a d o .
O fio aprumo é muito usado pe
los pedreiros.
Em um relogio de pa
rede, quando não está tra
balhando, o pêndulo occupa
a posição vertical.
A linha recta está em
posição horizontal (íig. 18)
quando segue a direcção da
superficie das aguas quietas, tranquillas.
Assim, por exemplo, se conseguirmos
col-l o c a r s o b r e a s i i p e r - ^
ficie d'agua um phos-
. . f i g . 1 8 . — L i Q ü a r e c l a e m p o s i ç ã ophoro e se este ani se homoDtai.
conservar, ficará em posição horizontal.
F i g . l ü . L i n h a r c -claeai posi ção vertical. Fig. 17. —Fio a p r u m o .
- 2 0
-O instrumento que serve para se verüicac
t r M i t J q V - . / . L R Fig. 1!). - I ni nivel.
se uma recta ou uma superficie e.stá em
posição horizontal chama-se nicel (fig. 19).
A linha recta esiú em
posição inclinada 20)
quando não estiver em po
sição nem vertical nem
horizontal.
É com o metro (^)
(fig. 21) que geralmente se
medem as linhas reatas. tig. 20. - Unha recUi em
posição inclinada.
é a t e r r c í s
-( ) O nxetfo é a
t e a o c o m p r i m e n t o ; nn ? "^etro letii ccMii.icv.. inario do meridiano
teni.ta-divilr^ '"adeira tinh ^ "'"a regua chata
I - a b r . c a n i . s e
t a . n b e
"
A ° e m ® p a n n o . a ç o o u p a p e l ,
trob q dcciinciro é a dechA» centímetros tj
millime-- í Tc ^ T ' ^ ° m e í r o , o c e n l i i n e t r o , a
p a r t e . 1 0 m e t r o s
Ikilomeipo. 10000 meíros —1~" ^«ctometro; 1000 metros =»
I myriauaetro.
- 2 1
-A liníia que, além de não ser recta, não
Fig 21.— Um metro, tamanho rralural.
o o _
/
J
Fig. 22.
Circumlerencia.
Ha uma infinidade de linhas curvas e a
mais simples é
acircum/ereu-cia (fig. 22).
Qualquer trecho de uma
cir-cumferencia chama-se um
apco; e com um instrumento
chamado compasso jiodenios
raçai um arco ou umacircumferencia
eomple-j es e que fixemos uma das pontas d'esse
instrumento no papel ou qualquer superfície
mnp? ^ nntra, risquemos esse mesmo
papel ou superfície,fazendo a ponta movei girar
ao redor da ponta fixa
- - t o c i e fi x a r
nado ponto." em um
detenni-pontas dl"uni o'™ recta,entre as duas
A linha °"^P—nomedepaio.
'
■
'"ha JaXTflg'gg) ®
/
F i g . 2 4 . — L i i i b a m i x t a .A linha composta a
c h a m a - s e
l i n h a
®
I
— 2 3 e x e r c í c i o s1 . Gilberto ! que nome recebe a exteD.sâo com uma única
d i t i i e n s a o ?
2. — Como se chamam as extremidades do uma
super-l i c i e ?
3. — Como se chama a mtcrsccçâo ou encontro do duas su perficies ?
-J. — Qual a única dimensão da linha?
5. _ Qiio linhas conheces ? 6. _ Mostra uma linha recta.
7. _ Qual d'estes caminhos ú o mr.ís curto? — porque? (O
professor traça no quadro negro duas linhas : uma recta }
o u t r a c u r v a ) .
8. __ Como podes traçar uma linha no papel ? — e na
ar-d o z i a ?
9. — Para que serre a regua ?
10_ Todas as roguas tôm a mesma fôrma ?
11. — De que processo se servem algumas rezes os carpiu-teiros para traçar linhas reotas Y
_ Como geralmente designamos uma linha recta ? 13 _ Quantas linhas reotas pódcs traçar de um ponto a
o u t r o ?
M. — Segundo a direcção que segue, que nomes recebe uma
l i n h a r e c t a ? . , „
15. — Quando uma recta ó vertical?
16. - Quando é horizontal?
17. Quando inclinada? 18. — Que é um do a prumo ?
19. _ Para que serve o lio a prumo ?
20. — Traça uma linha recta em posição vertical; — hori
zontal; — inclinada. 21. — Que é o nivel ?
22. — Para que serve ?
23. - Já viste algum nivel ? — com quem ?
24. — Descreve esse instrumento.
25. — Nivela a tua mesa; em que posição está agora > t a m p o d a m e s a ?
- 2 4
-27. — Para quü serve ?
2S. — Como SC divide o inelro ?
29. — Um metro iiuamos dccimeiros lem*» 30. - Meio metro quantos cemiinelros tem?
uu] •Utítro?^"'''^ "lilliiuetros serão necessários para íorniar
linh-! linha não 6 recta, nem formada de
iiohcir, reòtas, como se cliaina ?
33. - Qual a mais simples lini.a curva
Que é uma linha quebrada?
d5. — Que é uma linha mixta ?
québr^i7"^'^ ''">''1 cu^va; uma linha
quebrada; uma liiiha mixta.
37. - Que qner dizer : kazkr centro?
' mu compasso distancia entre as duas pontas de
40.' I í-!;??"'' «ircumferencia; - u.n arco.
41 n:' no canto do teu papel e traça um arco.
circumferencia. alguns objectos em que vâs uma
■
J2- - Mostra algumas cousas oirculares.
As extremidades de uma linha são pontos;
n ersecção de duas linhas é um ponto, e
PONTn ^ onde duas linhas se
U, encontram é também um
p o n t o .
i s t o
d i m e n s õ e s ,
espessura; entretmT'"','"'^"'
meio de iim . determinamol-o por
laois da nen deixado pela ponta do
lapis, da penaa, do gi, uma superflcie.
Designamos os pontos por meio de lettras;
assim, por exemplo pontO" A Ihg- 25),
ponto B, ponto X.
A l i n h a r e c t a p ô d e ^ 7 Ã X ^
-ser definida como sendo ^
. . . . , P ' S - 2 5 . — P o n t o . A . 0 vestígio. O Signal, o
rasto deixado por um ponto que se move numa
direcção constante.
A linha curva é o ve.stigio deixado por um
ponto que se move numa direcção qualquer.
Um ponto em relação a uma circumfe
rencia pôde ser ex(ovioi\ interior ou estar na circiiinferencia; e sua distancia ao centro
pode ser uiferior, o\\egwil?,o raio.
U m a J í n i i a r e c t a e u m a c í r c i i m / e r e / i c í a
podem ter um ou dois pontos communs, e
duas circumferencias podem ter também um
ou dois pontos communs entre si.
e x e r c í c i o s
1. — Dinah I como se chamam as extremidades de uir
U n h a ?
2. — Como se chama a intersecção do duas linhas ?
3. — Quantas dimensões tem o ponto ?
4. — Como designamos um ponto? 5 - — C o m o d e t e r m i n a m o s i i m p o n t o ? 6. — Como podemos definir a linbu recta ?
- 2 6 ^
7. — Como podemos definir a linha curva ?
rclaçio a uma circumferencia em
quantas posíçoes pôde estar?
n "nTpM^mTeren.n f """"'o" P""'"» <=<>
■
"•
C A P I T U L O l í
S ü M M A R I O : Â n g u l o s — D i v i s ã o d o s â n g u l o s
B i s s e c t r l z . — P r o b l e m a s .
Se cliuis ]iiihas se encontram, formam um
angulo.
Angulo é o maior ou menor afastamento
de duas linlias que se encontram.
Um compasso aberto
ÂNGULOS. (fig. 26), as folhas de uma
tesoura (flg. 27) dão-nos per
feita idéa do angulo.
O ponto de encontro
cha-Pi^, 2fi, — Compasso aborto:
u m a n g u l o .
ma-se veviico, as linhas to- pj„ 07. — as lunias
- 2 8
-ângulo e o afastamento dos lados chama-se
Vcrüce o.bertura do angulo (fig. 28).
/y Designa-se nni angulo por
,y lettras collocadasj uma
/ 2 \ n o v e r t i c ee a s o u t r a s
d u a s n a s ir\^. cH. ~ In an;;iilo. ,
extremula
-des dos lados (fig. 29) ou ""'e. 29. - Anguio avei.
simplesmente por ,nna lettra collocada no
cerííce (fig. 30).
Fig.30. — AnéuIoV. Fie 31 . V
r e c t o . F i e . .
^"1 angulo ^ -s-- a,.s„i„asud»
•"S"lo í rae,.'"""'"
33. - Angulo obtuso. Y - M — 2 9-Sea abertura de um angulo é menor que
ado angulo recto, elleé agudo; se maior,
é o j b í u s o . A linha que d i v i d e o a n
gulo em duas
partes eguaes c h a m a s e b i s-s e c t r í z
( f i g .
3 4 ) .
' '
■
Qualquer ponto marcado na bíssectriz de
um angulo
fica a egual d i s t a n c i a d o s l a d o s d ' e s s eangulo.
O a n g u l o ,
conforme as linhas que o formam, érectílíneo
(fig. 3õ), curvíUneo (fig. 36), ou mi.x-íiJijQeo
(fig. 37).
Seas linhas que o formam são rectas: o an
gulo é recii'ifneo. Exem
plos : os ângulos de um es
quadro, de um cartão de
visita, de um enveloppe. í""'s 37. - adsuio mixinmco
Se as linhas que o formam são curvas: o
angulo é curvilineo.
Fig. SO.
—
Exemplos: As pontas rle certas tolhas,
assim como da hera, du roseira, a
exlremi-(líule (Ia fôllia de liih
canivete, a ponta de
I) urna espada.
E, íiiiahncnte, seas
linhas que o formam
c u r v a D ^ n n a r e c l a e o u t r a
Uma fouce (fio- "agt Exemplos :
(%.39). ^ Punta- de uma faca
f'í?- 38. — un,a
anguJo mixiiiinco.
Cm faca , a pouia é u,„
a n n i i l # v p v • a n g u l o m i x t i i i n c - o .
f^-'^)^coía7o7&gT)olT
( f t g . 4 2 ) . ' • " « " e a j o - c o / i c a o o
f g - 4 0 . _ . ^ w u v e * o . " ' u e o . , ,o angulo n,.,., ~ ÍSÍ ""«''"o.
(fig. 43) ou con pôde
se,-relação T°° 44). ' "'"««o
' ° ^ ue suas ,
— 3 1 —
ang'ulos são complememares ou
supple-m e n t a r e s .
Kg. 42. — Angulo curvilineo
o o n v e x o - c o n c a v o . Fig. 43. — Angulo mjxtilineo c o n r e x o .
O angulo complementar (flg. 40) é aquelle
Flg. 44. — Angulo
mix-t i l i n e o c o i i c a T O . Fig. 45. — AVB: angulo '
c o m p l e m e n t a r .
que, junto a um outro angulo, fôrma um an
gulo recto.
O angulo
s u p p l e m e n-tar (fig-. 46) é
o que falta aoutro angulo
p a r a f o r m a rdois angules
r e c t o s . V— 3 2 — S y n o p s e
Os ângulos podem ser considerados :
Conforme a sua grandeza.
/ o b t u s o s .
ÂRg^UlOS.... I aguaos.
' r e c t o s .
2.° — Conforme a natureza de seus lados
rectiiineos . Anffuíos. . . c o n o e x o s .
curoilineos - . . { concaoos.
c o n o e x o - c o n c a o o s . f^ixtilineos . .^ conoexos.
c o n c a o o s .3.» — Em relaç
dezas. Ansruiosão á somma de suas
gran-( complementares.
( supplementares.
}1
— 3 3 —
Dois ângulos formados, um pelo prolon
gamento dos lados do outro, são ojípos-postas pelo cerÍLce
(fig. 47)
Dois ângulos
oyj-postos pelo vertice
suo eguae.s.
Os ângulos são adjacentes quando têm
um lado commum a ambos e são formados do mesmo lado de uma
recta (fig. 48).
A grande::~fA de um
angulo depende ex
clusivamente do afas-Fír. 47. — .\nRutos opposlos p e l o v ó r t i c e .Fír. IS. Ângulos adjacentes.
lamento ou approximação de seus lados,
O comprimento dos
lados de ura angulo
n a d a i n í l u e e m s u a
gr.ande:sa.
Os ângulos for
m a d o s a o r e d o r d e
um ponto eqüivalem a
quatro ângulos Ve- ^'^•
■
'^•"Anguloslcirmados ao redor
de Um ponto eqüivalem a qualtoCios (fig". 49). ângulos rectos.
uma recta e ao redor de um ponto tomado
eobre esta recta eqüivalem a dois ângulos
rectos (fig 50).
— B
lorinadOB ao
redor de um ponlo c do mesmo lado de uma recla eqüivalem a
üo!8 aoquios rectos.
guio dado (•).'" angulo egual a outro
an-ponto A, como centro, descrevamos o arco de
Fig. 53.
doTií^ula comprehendido pelog lados
curva MX, m'^çamo\°com° ^ í«g- 52) tracemos ^
V "103 com o compasso a distancia Ff «(*) Para medir e reorod •
serrem-se de um uteníi- angulo, alguns operário,
flg. 53). chamado falso esquadro ou su?
— 3 5 —
appliquemol-a ein MX : acharemos o ponto N que, licado
ao ponto G, resolverá o problema.
Problema 2. - Traçar a bissectrú de um angulo
ou dividil-o em du.is partes eguae.s.
Do ponto A. com um raio qualquer
descrevamos o arco MX. Dos pontos M
e N, como centros (tig. 54), e com um
Fig. 55.
mesmo raio, descrevamos os arcos que determinam o ponto
G o qual, hgado ao rerteccdo angulo, isto é, ao ponto A
n o s d a r á a b i s s e c t r i z p e d i d a . '
Problema 3. - Dividir um angulo em quatro, oito
d e z e s e i s , t r i n t a e d u a s p a r t e s ' ' e g i i a e s .
I^ara resolver este problema, tiremos a jbjssecírj> do angulo (flg, 55), depois dividamos cada metade do angulo em duas pai-tes eguaes e prosigamos nesta operação até encontrar a divisão desejada.
P r o b l e m a 4 . — D i v i d i r u m
a n g u l o r e c t o e m t r e s p a r t e s
e g u a e s .
Do ooríioo A (A9- 56) como ceatro, e com um raio
- s e
quer, dc!>ercvanios o areo MIt; <los pniiLos M o I.). como
centi'os, e com u mesmo raio. marijiicmos os poiit«js II c G,
■js quaes uuidus ao ccrtíccA, resolverão
o problüDia.
P r o b l e m a 5 . — D a d o u m a n g u l o agudo, achar o seu complemento.
Seja DAC o angulo agudo (ílg. 57).
Levantemos com o e.squadro eai egua,
))elo ccrticCj uma linha perpendicular AM. O angulo MA D é o complemento
d o a n g u l o D A C .
Fig. 57.
M
Problema 6. — Dado um angulo obtuso, achar o seu
aupplemento.
Seja MD A o angulo oJbíuso, (fig. 58). Prolonguemos o lado DA para ã^querdacacharemos o angulo MDN supplemento d e M D A .
\
D Flg. 58. P r o b l e m a 7 . — D i v i d i r u mangulo em duas partes eguacs
sem auxilio do compasso. Seja V o angulo (fig. 59).
Marquemos com uma tira de papel, sobre um lado, as d i s t a n c i a s V M e M P e r e -produzamol-asuo outro ladci
do angulo em VN e NE.
T r a c e m o s a s r e c t a s M E e NF: A recta VPQ divide o angulo V em duas partes
c g u a e s .
Problemas. — Construir
um angulo egual á somma
_ . X , d e d o i s a n g u l e s d a d o s .
Sejam M e N os dois ângulos dados (flg. 60).
Fig. 59.
Sobre uma recta marquemos um ponto A (flg. 61) e com am raio arbitrário tracemos os arcos EF, GH e BV.
Reproduzamos em BC o arco EF e em CD o arco GH.
O angulo DAB resolve o problema.
Problema 9. — Construir um angulo egual â diíferença
de dois ângulos dados.
Sejam A e B os dois ângulos dados (fig. 62)., ,
Sobre uma recta marquemos um ponto C (fig. 63) e com
Fie. 68.
rm niio arbitrário descrevamos os arcos DE, FG e MV.
Reproduzamos em MN o arco FG e em N P o arco ED
O angulo PCM resolve o problema.
e x e r c í c i o s 1. — Fldra! traça um angulo.
2 . Como s® chama o ponto de encontro d'estas- dua nhas? 6 vTue nome recebem estas linhas ?
- ò 8 ~
4. — Como se dividem os ângulos ?
^ S u d o ; - „ „
6. — Qual dos tres o maior ? — o menor ">
aJguTo obTl'""" ^-sulo agudo; - uu.
8. — Que é uma bissectriz*^
c s ° ; o 7 ™ r ' ' - h a s , u o
-l~a„''gru™.S°
11.^-Traça um angulo reo.il,neo; um curv,li„eo, um
mir-1 3 '
• Traça os angules curvilineos que conheces
c u r v i l i n e o s ?1 5 '
n i i x t i l i n e o s
?
t r a ç a - o s
16 I n. t complementar ? ^ °''
• Que é um angulo supplemeniar ?
I R ~ n a d j a c e n t e s ?
19 - A oraT"'^,' ' <>'=
redor de um ponto ^ sorama dos ângulos formados ao
raeLo laL'^de ângulos formados do
m e s m a r e c t a ? ' ^ p o n t o s i t u a d o n a
angulo oSo^; ^d^mirir ~
2 2 D i w m a n g u l o a g u d o .
2 3 . - D i v i d e u m e g u a e s .
21. - Divide um anmii^ eguaes.
25. — Como se chama o partes eguaes.
operários para medir p de que se servem alguns
26. - Traça a bisseetriz d^e
p a s s o . c U m a n g u l o s e m a u . x i l i o d e c o m -27. — Se um de dous nr, .
outro? ' gulos adjacentes é recto, cjue ô o 28. — Se um de dous an
outro ? agulos adjacentes é agudo, qce é o
29. — Se um de dous an,. .
outro? enlos adjacentes é obtuso, que é o
— 3 9 —
30. - Dobra uma íôllia de papel do >orte que tenhas: 1 • um
angulo recto; 2.' um angulo obtuso: 3.» um antrulo a-udo
outro" """" ° ^ u'n angulo dupio d
32. — Os cantos d'este bilhete postal são agudo.s •? — oue <-o'>
— p o r q u e ? ^
33. -- Traça dois ângulos rcctiiineos quaesquer. Qual o
m a i o r ? — p o r q u e ? v i u a i u
3.1. - Que angulo formam os ponteiros de um relogio
quando sao tres horas?-e tres e cinco minuto^" • '
35. - Que angulo formam os ponteiros de um relogio quando
s ã o n o v e h o r a s e m e l a ? b q o
a 7angulo agudo. O complemento d'esse angulo
é a g u d o ? — p o r q u e ? " b " m
37. - Traça um outro angulo agudo. O supplemento 6
agudo ? — que é ? — porque ?
'■'S^áo.que
p e ! L 7 j c r ° " P P O S I O
■
10. - Se dois ângulos yerlioalmente oppostos são .-igudos
que suo os outros dois? - ee são rectos, que são os iutroe
41. - Traça dois angules quaesquer; traça um terceiro egual
a s o t u r n a d o s d o i s . "
C A P Í T U L O I I I
SUMMARIO ; Perpendiculares e oblíquas. —
P r o b l e m a s .
Se uma recta eucoiitra uma outra e íórma
PERPENDICULARES
e sta s rcctas são
p e r p e n d i c u
lares entre si; e se forma um angulo agudo
ou obtuso, são oblíquas.
E oblíquas.
SynopseU m a l i n h a r e c t a i ^
I a g u d o(ângulo. . . oa \é oblíqua.
\ o b t u s o e n c o n t r a outra B fôrmaDe um ponto fóra de uma linha recta,
_ p o d e m o s a b a i x a r ( * ) u m a
perpendicular sobre esta
recta, e só podemos abaixar
u m a .
O esquadro em forma de
T usado pelos desenhistas
n o s m o s t r a d u a s l i n h a s
p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e
si, um trado (fíg. 64). Sede um ponto situado
fóra de uma recta abaixar
mos uma perpendicular e diversas oblí
quas sobre essa recta, a perpendicular
s e r á m e n o r q u e u a ; Fift. l>í. — Um Irado : duas
linhas pcrpciidictilares en t r e s i . A qualquei' O
as oblíquas quese
afastarem
egual-mente do pé da
perpendicular
são eguaes, e a que se afastar mais do
pc da perpendicular
M R B r. ; : . ü.'>. s e r a a m a i o r .(*) Abaixar, significa : começar a perpendicular de um ponto
situado fóra de uma recta, quer esteja este ponto á direita ou
á esquerda de uma liaba vertical, acima ou abaixo de uma
— 4 2 — — 4 3 —
D essa verdade resulta que a menor distan
cia do ponto A cá recta MN (íjg. 65) é a
perpendicular AB; as distancias AR e AS
sâo eguaes, e a
distancia AE é a
m a i o r .
Problema 10.—De
um ponto situado fora
de uma recta, abaixar u m a p e r p e n d i c u l a r ã
m e s m a r e c t a .
í.-"» Solução (com a
regua e o esquadro); Fig. GC.
c o m a r e c t a A B
(íig. 66), e escorreguemos o lado menor do esquadro pela
O A * F N - B G Fig. 67. r e g u a a t é o l a d o m a i o r e n c o n t r a r o ponto O. Trace m o s a r e c t a O M e t e r e m o s r e s o l vido o problema. 5 . " S o l u ç ã o (com a regua e o compasso); Façamos centro DO ponto Oe com
um raio maior que
a d i s t a n c i a c m linha recta d'este ponto á recta AB (fig. 67) descreva
mos um arco que cópte essa recta em dois pontos F . p .^ "'■08 li e F, dos quaes, como
centros e com um raio maior do que a metade de EF.
determinemos o ponto G, o qual ligado ao ponto O nos dá
a perpendicular pedida. P r o b l e m a 1 1 . — P o r M -\ D O Fig. 63. u m p o n t o t o m a d o s o b r e u m a r e c t a , l e v a n t a r u m a p e r p e n d i c u l a r a e s t a r e c t a . Solução (com a r e g u a e o c o m p a s s o ) : A partir do ponto ü (fig 68) marquemos duas distancias eguaes
O D e 0 0 .
Dos pontos D e G,
c o m o c e n t r o s , e c o m - B
um raio maior que O D ou O G, descrevamos dois arcos que
determinem o ponto M. A recta OM resolve o problema.
Solução (com
a regua e o e.squadro):
Façamos coincidir
uma aresta da regua com a recta AB (íig.
69), appiiquemos o v e r t i c e d o a n g u l o recto do esquadro no ponto O, o lado me
nor do mesmo esqua
dro contra a regua, e l e v a n t e m o s a r e c t a
OM, que resolve o
p r o b l e m a . Fig. 69.
Problema 12. — Levantar uma perpendicular pela ex
tremidade de uma recta cujo prolongamento não possamos
— 4 5 —
D
— 4 4 —
/.a Solução. — Tiremos, pelo ponto B (fig- '70). uma
o b l í q u a B X ; num ponto qual
q u e r C d ' e s t a oblíqua façamos
c e n t r o e t r a c e m o s
u m a c i r c u m f e -reneia que passe
pelo extremo B e
c ó r t e a r e c t a A B 2
em um ponto E.
U n a m o s o
ponto E ao ponto C por uma recta que, prolongada,
determine o ponto D. A
pedida.
2.^ Solução. — Seja AV a recta dada (íig. 71). Ua
e.x-t r e m i d a d e V e c o m
A
' B //
Fig. 70. recta BD é a perpendicular B , ' K M Fig. 71. u m r a i o q u a l q u e r V M d e s c r e v a m o s o a r c o M X . A partir do ponto M , c o m o m e s m o r a i o V M d e t e r m i nemos o ponto B e,a partir deste ulti
mo, o ponto C.
Unamos o ponto
B ao ponto Ce façamos passar pelo meio da recta BC uma perpendicular. A recta VE é a perpendicular pe
d i d a .
3.® Solução. — Seja M a extremidade de uma recta
(fig. 72).
Appliquemos de M até N três medidas eguaes a uma
unidade qualquer (3 X1 centimetre, por exemplo). Kaça-'
mos centro em M e com um raio egual a quatro vezes a mesma unidade (4x 1 centímetro) descrevamos um arco,
e do ponto N, como centro e com um raio egual a cinco v e z e s a m e s m a u n i d a d e (5x1 centímetro),determi nemos o ponto P. P M é a perpendicular pe d i d a . / N M Flg. 72. X . P r o b l e m a 1 3 . — D i v i d i r u m a r e c t a e m d u a s
partes eguaes ou fazer pas sar uma perpendicular pelo
m e i o d e u m a r e c t a .
Façamos centro em A e B (fig. 73). e com um raio
maior que a metade da recta AB determinemos os pontos
C e D pelos quaes
passa a recta CD. isto
é, a perpendicular
que divide a recta A B
em duas partes eguaes.
Para dividir uma ^
recta em quatro, oito,
dczescis, trinta e duas
partes eguaes, bastará
dividirmos cada me-tado, quarta parte,
oitava parte,
successi-vamenteao meio.
a u m a
- B
Fig. 73.
Problema K- — Traçar uma perpendicular a uma
recta por um ponto dado fora d'essa recta e a pouca
dis-tancia de uma das extremidades.
1 a Solução — Seja A o ponto dado a pouca distancia
da extremidade C (fi«- 74) da recta CB.
• I H
Com um raio CA e com ocentroem C doscrevam'os um
arco; e com um raio egual a B A e centro em D tracemos
. A .
-Fig. 'i4.
- : ' N Fig. 75.
outro arco^que determine o ponto N. Tracemos A N, quo
é a perpendicular pedida.
menln T- P®''pendicular eahiiá no
proionca-trap Centro em C e com o raio CA, (fig. 75),
" " - n o B A d e s c r e v . a
-mos outro arco que üetermine
o p o n t o N . . . . A
AN é a perpendicular pe
d i d a .
-S.° processo dai.^ 5o/«(.-«o.
sobre a recta MN
(fig. í6) um ponto qualquer B
e unamol-o ao ponto A
Dividamos BA ao meio
o fazendo centro em C (meio
que coru MN no'p°f^' o arco APB
\ c y X M -B " - . . - N F . ; » . . „ i ' ^ U L O H . P"Pendicular pedida. Problema 15.Km »
ponto que seja equidistanu^"^®^'®- um
d e s s a r e c t a . n o i a o u t r o s , b i t u a d o a í i i r a
— 4 7 —
Sejam M e N os pontos situados íóra da recta A B (üg.s. 77 e 78.
Tracemos a recta MN e façamos passar pelo meio uma M M -C F i g . " 7 . N Fig. 78.
perpendicular que, prolongada, determinará ua recta AB o ponto C pedido, porquanto M C — N C.
Problema 16. — Os proprietários de duas casas que se acbam .situadas, cada uma a certa distancia das tnargens
de um rio, querem fazer uma ponte que fique equidistante das duas moradas: pede-se o logar em que deverá ser com
atruida a referida ponte.
P e R são as duas casas (tig. 79).
Tracemos a recta PR e dividamol-a ao meio por uma
P . . perpendicular que d e o d e R . No ponto M é que Joda. Fíg. 7Ü.
determinará o ponto M equidistante
deae-- ' I S
-Problema 17. — Ira^jar, de dois pontos dados, linhas
rectas que se encontrem em uma outra rocta, formando
Com esta ultinia,angijloK egnaes.
Sejam A e B os dois pontos e MN a recta dada, (íig. Sü).
Abai.xemos do ponto A uma
per-N pendiculai- á recta Mis* c fa(^amo.s
E C = A E .
Liguemos C a B e A a F. AFe BF formam com MN an gules eguaes.
l-'ig. 80.
e x e r c í c i o s
1. Olavo! Quando uma recla encontra uma outra, quaes são as posições que pôde oceupar em relação a essa outra?
2. — Mostra uma perpendicular; — uma oblíqua.
3. Uma perpendicular está sempre cm posição vertical ?
fí-sça uma perpendicular cm posição inclinada.
5. Que é ura esquadro? — para que serve ? — ca regua ?
~ Traça uma perpendicular cora a regua e o esquadro.
7. Uma oblíqua, que angulo Wrma na extremidade de
uma recta horizontal ?
— Exemplos.
9. — E no meio de uma recta vertical ? 10. — Exemplos.
~ •luer dizer abaixar uma perpendicular?
12. — Faze passar pelo meio de uma recta de 40"/'» de enm
pnmento uma perpendicular.
A-}}' A ponto egnalmente distante da.s extremi
dades de u.na recta de 36 millimetros de comprimen"
de distanc" de ur°df^° millimoíroe
p e n d i c u l a r a e s e a ' " a n t a u n . a p e r
-mtodM dem™reeu" P" "ma das
oslre-16. - Marcrsób/e T'" Possas traçar.
proa..„ de nnt d^Cd-íer °
t e
- 4 9
-17. — Cita alguns nomes de cousas que tenham rectas per
p e n d i c u l a r e s .
18. — Cila alguns nomes de cousas que tenham rectas oblí
q u a s .
19. — Traça uma recta e dois pontos quaesquer, fóra d'essa recta. Determina agora nessa recta o ponto equidistanie dos
doi.s primeiros.
20. — Um poste telephonico que 6 relativamente ao sóio?
21. — Traça unia recta, marca ura ponto fóra, e d'esse ponto tira uma perpendicular á essa recta e diversas oblíquas. Qual
a distancia lueiior do ponto á recta? — qual a maior? 22. — Cita os objeclos em que vès as rectas verticaes nas
três posições.
23. — Mostra-me a tua regua em posição vertical, horizontal
CAPITULO IV
SUMMARIO ; Parallelas t
T • 1. «Aieias. — Linhas convergentes.
Lmhas divergentes. - Problemas.
Duas ou mais linhas situadas em uma
mas-PADA I I Cl superfície plana,
rAKALLELAS. seguindo egual
direc-e c o n s e r v a n d o
entre si, duas a duas, a mesma distancia,
to-FiS. 81. f'R. 83. m a m o n o m e d e
8 4 , 8 6 , 8 7 ) 8 1 , 8 2 , 8 3 ,
— 5 1 — Fiff. 84.Os trilhos por onde correm as locomotivas
ou os bonds nunca se encontram,
oor sei'em linhas paralisias. As
lUas do Ouvidor e do Rosário são parallelas entre si,
Na fig. 85 os
de-gráiis da escada são parallelos entre si e
os banzos o são tam
bém entre si; o poste
é pei'pendicular ao
sólo, a escada está
oblíqua ao sólo e os degraus são perpendicu
lares aos banzos.
Tracemos duas perpendiculares a uma
mesma recta; estas perpendi
c u l a r e s c o n s e r v a m a m e s m a
distancia entre si e, por mais
que se prolonguem, nunca se
encontram : são parallelas,
o que nos mostra que duas per
pendiculares a uma mesma
recta são parallelas entre si
(íig. 88).
Duas linhas parallelas são equidistantes
todo o comprimento
- 5 2 ~
Duas parallelas cortadas por uma oblí
qua, formam com esta
obliqua, oito angules,
\
Fig. 8G.
sendo quatro agudos
tusos também eguaes
(fig. 89).
Os ângulos m, b,
C, n (fig. 89), cha
m a m - s e i u í e r z i o s
porque têm a aber
tura para dentro da
figura, e os ângulos
F i g . 8 7 .
eguaes e quatro
ob-V i n . 8 8 .
a .
Fig. 89.
e, P, d externos
porque têm a
al3ei'-tura para fêra da
figura.
Estes angules
comparados dous a
dous, são classifi
cados do seguinte
m o d o :
— F Í : Í —
Os ângulos m e n, c e b sao alternos"
internos; a e d, e e P alternos-externosí ©
e n, b c d, a e c, m e P correspondentes;
b e n ou m e C internos de um lado da obli
qua; a e P ejcíernos de um lado; e e d ex
ternos do outro lado.
D u a s r e c t a s p a rallelas corta d a s p o r a m a
o P l l Q u a f o r
m a m â n g u l o s : alternos-internos eguaes. a l t e r n o s - e x t e r n o s e g u a e s . correspondentes eguaes. internos de um mesmo ladosupplementares.
externos de um mesmo lado supplementares.
Fig. 90. F i g . 9 : .
Duas ou mais linhas rectas que, não tendo
ponto algum de commum e prolongadas, se
5 ' 1 —
O ponto de encontro M chama-seponio de
^ convergência, (fig. 90).
Duas ou mais linhas recías que, partindo
de um mesmo poiito^ tomam diversas
direc-ç õ e s , c h a - j v r
m a m - s e
á i ~
7 ^ ^ ^
; '
v e r g e z 2 í e s( l i g .
9 1 ) .
/
O ponto N \
d onde partem ^
as linhas, cha-N F i g . 0 2 .ma-se ponto de diVergeiJcia (íig. 91).
O verUce de um angulo é um ponio de
W Q r g e n c i a .
Problema 18. Traçar uma parallela a uma recta
^ d a d a , p o r u m p o n t o d a d o .
Solução (com o
coni-paaso e a regua) :
Do ponto dado M (fig. go)
descrevamos um arco de circumferencia N G • do ponto N, e com o
raio M N, descrevamos <,
arco M C; tomemos n (
egual a M C, unamos , ponto M ao ponto GFig 93. A recta M G é a parai
2^ 5oí«cãoCeomarp P'^dida.
Appliquemos uS do^n! d =
lados do angulo recto do esquadro
- 5 5
-sobre a recta C N (Gg. 93); façamos escorregar o esquadro
pela regua até o ponto M.pelo qual tracemos a recta M G
p a r a l l e l a a C N . .
P r o b l e m a 1 9 . —
Dadas duas rectas con vergentes, traçar a
bis-s e c t r i z bis-s e m r e c o r r e r a o ponto de convergência. 1.^ Solução. — Se jam A B e C D (fig. 9-1) as rectas convergentes. T r a c e m o s u m a s e c a n t e j y D Fiff. 91.
MN C depois a bissectriz de cada um dos ângulos A M X;
CNM; BMN; DNM. Unamos o ponto E ao ponto F c teremos a
seclrh pedida.
2 Solução. — Sejam B A e
rectas convergentes
(flg-95). Do ponto B levantemos
üina perpendicular ã recta
S A G do ponto D unici per
pendicular á recta D C. So-bre cada uma d'estas per
pendiculares marquemos a
partir dos pontos B e D duas 'distancias eguaes B N e
Pelo ponto N
trace-Qíos uma parallela a B A e
pelo ponto M uma outra a D C. Dividamos o angulo
M P N em duas parte.s
e g u a e s , e a r e c t a P Q é a
bisseclris pedida.
5.^ Solução. — A B e
C D sâo a.s rectas conver gentes (Qg. 96). Tomemos
— 5 6
-ponto P qualqoer e d'ahi tracemos uma parallela a CD.
Do ponto P, como centro e com um raio arbitrário, de
t e r m i n e m o s R e S .
Unamos R a S e prolonguemos essa recta até Q. A perpendicular MN, pelo meio de Q R, é a bissectriz
pedida.
ProbleiTia 20. — De um ponto dado fóra de uma recta
traçar uma outra recta que forme com a primeira um an
gulo egual a um outro angulo dado.
Seja A B a recta, M o ponto e N o angulo (íig. 97).
Tra-M
Fig. 97.
ccmos do ponto M uma recta parallela a AB e formemos pelo mesmo ponto um angulo C M D egual ao angulo N. A recta M P fôrma com A B o angulo M P B = C M D e
portanto ao angulo N.
Problema 21. — De um ponto dado fóra do espaço
comprehendido por duas parallelas, traçar uma recta cujo
segmento (•) entre as mesmas parallelas seja egual a uma distancia dada.
Seja R o ponto dado, A B e O D as parallelas, e M N a
distancia dada (fig, qg)
Tomemos sobre AB um ponto qualquer S e, com o
eon-ro nes^ ponto e raio egual a M N, cortemos a recta C n
em . Do ponto R tiremos a recta RF parallela a 55 T «
C U J O s e g m e n t o E F = : ] ^ j q ^ ®
PWçao, parte da
- 5 7 —
Problema 22. — Por um ponto dado entre duas rectas
convergentes, fazer passar uma terceira recta cujas
estrc-M - K
R S
Fig. 9S.
midades fiquem situadas nas duas primeiras e de modo que o ponto dado fique no meio d'essa recta.
Seja M o ponto situado entre as rectas EF e GH
(íig. 99). Abai.temos do ponto M sobre a recta GH a per
pendicular M C e, no seu prolongamènto na direcção de C
para M, reprocluzamos a distancia MC em MD.
Do ponto D tracemos uma parallela a G H e do ponto A
(intersecçao d'essa parallela com a recta E F) tracemos a
recta AB cujas e.vtremidades estão sobre as rectas conver
gentes e cujo meio é o ponto
M-Problema 25. — De um ponto dado fóra do angulo
formado por duas rectas convergentes, traçar uma terceira
2'ecta que forme, com essas duas primeiras, ângulos eguaes.
Seja M o ponto dado, AB e CD as rectas convergentes
(íig. lOOj.
T r a c e m o s u m a r e c í a
qualquer V X de modo
que seja parallela a C D
Fig. 100.
Essa ultima recta
eguaes: 1 = 7 = 2= 6; 3 = 5 = 4 =
e determine o ponto K s o b r e A B . T r a c e m o s a bissectri/, do angulo A E X R do ponto M fa
çamos partir uma recta parallela a essa
bissec-t r i z .
fôrma, com AB e CD, ângulos
e x e r c í c i o s
1.— Raul! mostra duas linhas parailelas.
2. — Traça duas linhas parailelas.
3. — Que são rectas parailelas?
4. Duas perpendiculares a uma mesma recta, que são,
uma em relação á outra?
5. — Quantos ângulos fórraam duas parailelas cortadas nor
uma oblíqua ? — Como se chamam ?
■ Quando duas rectas seguem direcções diversas oue n o m e r e c e b e m ? - H " ' '
7. — Quando duas ou mais linhas rectas são convergentes?
- quando são divergentes ?
g e m b s . c o n v e r g e n t e s ; — e q u a t r o d i v e r -convergência; — e o ponto
dediver-dad°o.~ parallela a uma outra por uni ponto
a ° ° p a r a i l e l a s
•menT/dTsLTde ^ ""-io que
"«ia uma a outra seja do 40 millimetros.
13. — Traça duas curvas parailelas, ? niâ livre. 14. — Traça, á mão livre, duas liah\s mixtSj parailelas.
15. — Traça dous angules rectos, u.u c >m os lados
paralle-l o s a o s paralle-l a d o s d o o u t r o .
16. — Podem duas supcríicles ser p'^.railelas ?
17. — Podem, uma superficie curva e uma superíicie pluna,
ser panillelas?
— 6 1 —
C A P I T U L O V
SUMMARIO : Triângulos rectilineos. — Casos de e g u a l d a d e d e t r i â n g u l o s . — P r o b l e m a s .
Uma superfície plana limitada por tres
linhas chama-se
trí-TRIÂNGULOS. latero ou
tnian-ç|ulo.
Um triângulo ou trllatero pode ser
r e c t i l i n e o , c u r v i l i n e o o u m i x t i l i n e o .
Um triângulo tem tres ângulos, tres
lados e tres vertices.
Atripeça(fig.lOl)
t e m a f ô r m a t r i a n
gular; em musica ha
u m i n s t r u m e n t o c h a
mado triângulo, cuja
fôrma é triangular.
Os ângulos de um tr iângulo designam-se
por tres lettras collocadas em seus vèidices;
dizemos por exemplo, angulo A, angulo B.
Fig. 101. — Lima Iripeça : íóriaa
I r i a n g t ^ l a r.
angulo C (fig. 102), e um triângulo desi
gna-se por tres
lettras collocadas ^
n o s v e r t i c e s d e
seus ângulos, as
sim por exemplo :
t r i â n g u l o A B C
(fig. 102).
A somma dos lados de um triângulo cha
m a - s e p e r í m e t r o . A somma dos tres
ângulos é egual a
dois ângulos rectos.
Tracemos um tri
ângulo qualquer
(íig. 103) sobre car
tão ou papel, recor
temos os ângulos d'este triângulo,
ajunte-n i o s c o m o n o s m o s t r a a fi g .
104. Os ângu
l o s f i c ã m d o mesmo lado da'recta A B (íig., A
104) e ao redor pig. lo-i.
— G 2 —
do ponto O : eqüivalem portanto a dois ângu
los rectos.Qualquer lado de um tri
ângulo pôde servir-lhe de
base,
A perpendicular abaixada
F i g . 1 0 5 . — A r e c i a A H é v e r t i c c s s o b i ' e a unia mediana e AC è 7
uma altura. oasG OU sobrc O
pi'olonga-mento d'esta chama-se altura do triân
gulo (fig. lOõ).
A recta que une um dos vertices do triân
gulo ao meio do lado
opposto chama-se me
diana (fig. 105).
Todo o triângulo Flg. lOS.—Tnangulo escaleno.
tem tres alturas^ três bissectrí;:jes "e tres
m e d i a n a s .
Os triângulos em relação á grandeza de
seus lados são :
Escalenos, seos ladossào
des-eguaes (fig. 106).
Isosceles ou Symeírícos
eedois de seus lados são eo-nnpl
( n g . 1 0 7 ) ,
^
®
Flg. 107. „ Triângulo 86 OS ladoS S'1n
•Boscelea. egUaCS (flg. 108)- ^
— 6 3 —
Em relação á grandeza de seus ângulos são
A c u t a n g u l o s , s e t o d o s o s â n g u l o s s ã o a g u d o s ( fi g .
109);
Obtusan-gulos, se têm ura angulo obtuso (fia*. 110); flg-108-—Triângulo Fír 109. — Triangnlo^ ' e q u i l a l e r o . a c u l a n g u l o .
Rectangulos, se têm um angulo recto (fig. Ill);
E q u i a n g u
l o s o u ' i s o
-gonos, se to
dos os
angu-Fig. m. - Triângulo lossãoe-ffuaes
r c c i a n g u l o .
tfig.112).
■
Todo o triângulo equilatero é
equian-g i i l o .
No triangúlo rectangulo o lado opposto
ao angulo recto chama-se
kifpothenusa eosladosd'esse
angulo charaam-s0
cathe-t o s .
Uma circuniferencia pôde
ser inscvipta ou circum
scripta a um triângulo.
F i g . 11 0 . — Tr i â n g u l o o b t u s a n g u l o .
F i g . l i a . — Tr i â n g u l o e q u i a n g u l o .
— 6 4 —
6 5 — S y n o p s e
Os triângulos dividem-se :
1." Em relação á grandeza de seus lados,
Triângulos. . . .
f Escalenos ou irregulares Isosceles ou symetrlcos
E o u l l a t e r o s
2° Em relação á grandeza de seus ângulos
Triângulos. . . .
Acutangulos Obtusangulos
fíectangutos
Equiangulos ou isogonos
Casos de egualdade de triângulos
D o i s
t r i â n g u l o s
são eguaes •
Q u a n d o
t ê m
I ' Um angulo egual comprehendido entre dois lados respectioamente
e g u a e s .
Um lado egual adjacente a dois ongulos respectioamente eguaes.
Os tres lados respectioamente
e g u a e s .
Problema 24. — Determinar o centro de um triângulo 'jualquer.
Seja ABDotriangulo (flg. 113).
Ti r e m o s a s b i s s e c t r i z e s d o s
ângulos A e D.
E - < s a s b i s s e c t r i z e s c o r t a m - s e
em C que é o centro do triân gulo, isto é, o ponto equidistante
dos tres lados d esse triângulo: se abaixarmos de C,perpendiculares a AB, B D e A D, veridcarcmos que eilas são eguaes.
Nota. — A bissectriz do angulo B também passa
oor C.
Problema 25. — Traçar a altura de um triângulo
qualquer.
Seja MNP o triângulo (figs. 114 e 115).
K i g . Í Í 3 .
Fig. 114- Fig. 115.
Abaixemos do ponto P uma perpendicular PF sobres
base MN (fig ou sobre o seu prolongamento (fig.llõ);
esa perpendicular é a altura do triângulo.
Problema 26. — Dado um lado, construir um triân
gulo equilatero. Seja AB (flg. ^^
116) o lado dado.
MX sobre a qual tomemos MN (fig. 117) egual a AB.
Façamos centro em M e N e com um raio egual a AB
determinemos o ponto C, que, unido nos pon
tos M e N, resolverá problema. P r o b l e m a 2 7 . — Traçar um triângulo equiiatero conhecendu-se-lhe a altura.
Tracemos uma recta P
C tomado sobre ella (Bg. 118) íaçamoa centro descrevendo
e , n u m p o n t o a r b i t r á r i o com um raio qualquero a r c o E F . \
C e n t r o e m E e c o m o ^
mesmo raio, determi
nemos D ponto G; tra cemos de C uma recta
que passe por G e de
pois a bisseetriz do jr'
a n g u l o G C E .
AppliquemosemCM
a m e d i d a d a a l t u r a C B
d a d a e p e l o p o n t o M l - i g n s .
façamos passar uma perpendicular a CM. O triângulo
> j C D N r e s o l v e o p r o b l e m a .
Outro processo. — Se>a MN (fig. 119) a altura.
Pelo ponto N façamos pas
sar uma perpendicular e do
ponto M, como centro, e com um raio qualquer descreva
mos um arco. Do ponto A o f . k
« nemos Od pontos B e C. De A
Í Í 9 ° d e t e r m i-1
V c /
— 6 7 —
eC marquemos E e de A c B, F. Do vertice M tiremos duas rertas, uma que passe porE e outra por F.
GHM é o triângulo pedido.
Problema 28. — Construir um triângulo isosceles co-nlieccndo-se a base e a
a l t u r a .
Seja B a base e A a altura (fig. 120).
Sobre iima reída ap-pliquemos M N (fig. 121) egual d base e faça mos passar pelo meio
d e M N u m a p e r p e n
dicular de cujo pé C, reproduzamos em CD a m e d i d a d a a l t u r a n
Unamos os pontos M
e N ao ponto D e teremos resolvido o problema. Problema 29. — Construir um triângulo isosceles
co-nhecendo-sea base e um lado adjacente.
Sobre uma recta marquemos AB(fig. 122) egual á base
c o n h e c i d a .
Dos pontos A e B, como
centros, e com um raio egual ao lado adjacente, determi
nemos o ponto C.
Unamos C a A e B e
obtere-Pjg j22. ° triângulo pedido
ABC-F i g . 1 2 1 . ABC-F i g . 1 2 0 .
Problema 30. — Construir um
triângulo isosceles conhecendo-se a
base e um angulo adjacente a esta
base.
Seja M a base e E o angulo adja
cente (fig. 123).
M
— 6 8 —
Tracemos uma recta e a partir de uma extremidade,
re-produzamos em A13 (íig. 124)
a m e d i d a M .
Façamos em cada um dos pon
tos A e B um angulo egual ao angulo E.
Os lados d'esses ângulos encon tram-se em Ceo triângulo ABC
resolve o problema.
FÍR. 124.
k'' ~ um triângulo isosoele»,
co-o n n co-o T co-o
o
= " > K u l o
opposto a mesma base.
SejaN a basee V o angulo do vértice ffig. 125)
Tracemos uma recta e, a partir do uma e.Ktremidade.
reproduzamos em AB (Bg.
126) a medida N. Faça
mos passar pelo meio de
AB uma perpendicular e
por um pouto arbitrário P tomado n'esaa perpendicu
lar, tracemos um angulo
egual ao angulo dado V, de sorte que abissectriz se
coufunda com a perpen
d i c u l a r .
Do ponto A t-acemos Fig. 12G. p,..
a ao Iddo PM do mesmo auvnln •
duas rectas determin»^, * r' ,
pedido ABC. ° P""'" C e formam o triângulo
Outro processo. — tj A
dida AB çgual a N (fii» ^ ^PPliquemos a me
mos um angulo egual a V ffíE°l2^7l"
oom o ponto E (fig. 128^ ' o vertice
- 6 9 —
Tracemos a bissectriz BM du angulo A BE e na extre midade A reproduzamos o angulo ABM.
Ffg. 128. Fig. 127.
O lado AF determina o vertice F do triângulo pedido
A B F .
Problema 32. — Construir um triângulo isosceles
co-nhecendo-se a base e o raio do ^
circulo inscripto.
Pelo meio de AB. base conhe
cida (íig. 129). façamos passar
uma perpendicular e applique-mos M N egual ao raio do circulo inscripto. Com esse raio, e centro em N, descrevamos uma
círcum-fereneia de circulo.
De cada um dos pontos A e
B, e com um mesmo raio AM,
marquemos P e Q.
Do ponto A tiremos uma
recta que passe por P e do
ponto B, outra que passe por Q. O ponto C é o resultado
do encontro d'estas duas rectas e ABC é o triângulo isos
celes pedido.
— 7 0
-n
c e i e s c o
-fi g . 1 3 0 .
Problema 33. - Construir nm triângulo isosceles
co-nhecendo-se a base e o raio do circulo circumscripto.
Pelo meio da base conhecida
AB (flg. 130) façamos pa.ssar
u m a p e r p e n d i c u l a r .
Po ponto A ou B e com um
raio egual ao do circulo
circurn-scripío, determinemos o fonlo do qual, como centro e cora
o mesmo raio RB, descrevamos uma circuinferencia de circulo
que determinará o ponto C, vér
tice do triângulo pedido ABC.
nheoe^ndo^^^'^tt^ triângulo iso.sceles co
d a b t s e ^
( a g % 2 ) ° ^
Pelo ponto B tracemos uma
perpendi-^lar a recta AB. Com um raio qualquer
MVdescrevamo.sum arco que determine
o ponto N; unamos M a N e tracemos a •
b i B s e c t n z d o a n g u l o M . F i p . i s j .
Façamos centro em A e com um mesmo raio MV des
crevamos um arco.
Do ponto C, e com
umraioegualaRV de-term^emos „s l í i e .rracemos as rectas
AEPeAFQ, e
resul-M N - 7 1-Problema 35. — Construir um triângulo isosceles
co-n h e c e co-n d o - s e a a l t u r a
o o perímetro.
Tracemos pelo meio
da recta MN, períme
tro conhecido (fig. 133), uma perpendicular e appliquemos em CB a m e d i d a d a a l t u r a dada; unamos M e N a B .
Façamos os angules MBE e NBF.eguaes, cada um, ao
a u p n l o M o u N .
É F B é o triângulo pedido.
/
Problema 36. — Construir ura triângulo isosceles co-nhecendo-se a altura e o angulo do
v e r t i c e .
Tracemos a bissectriz do angulo
dado A e sobre ella (íig. 134)
applí-quemos AN eguaí ã altura conhe
cida. Façamos passar por N uma
perpendicular a AN, a qual
de-cC' terminará nos lados do angulo os
pontos B e C e resolverá o
pro-F i g 1 3 J . b l e m a .
Problema 37. — Construir um triângulo isosceles
co-nhecendo-se ura dos lados
syme-tricos e um dos ângulos da
base.
Sejá A ura dos ângulos da base e BC um dos lados syme-ti-icos (fig. 135).
Pormemos em V um angulo fig. 135.
^fiual ao angulo A e appliquemos em um de seus lados, ^ partir do vertice, a medida VD —BC.
