O fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos em espaços de Hilbert

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(1)O fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm autoadjuntos em espa¸ cos de Hilbert Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo. ˜ o apresentada Dissertac ¸a ao ´ tica e Estat´ıstica Instituto de Matema da ˜ o Paulo Universidade de Sa para ˜ obtenc ¸ ao do t´ıtulo de ˆncias Mestre em Cie ´ Area de Concentra¸cão: Matemática Orientador: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CNPq São Paulo, outubro de 2013.

(2) 2. O fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm autoadjuntos em espa¸ cos de Hilbert. Esta disserta¸caõ trata-se da versão original do aluno Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo..

(3) Resumo O objetivo principal desta disserta¸cão é apresentar o fluxo espectral de um caminho de operadores de Fredholm auto-adjuntos em um espa¸co de Hilbert e suas propriedades. Pelos resultados clássicos de teoria espectral, sabemos que se H é um espa¸co de Hilbert e L : H → H é um operador linear, limitado e auto-adjunto, H pode ser escrito como soma direta ortogonal H = H+ (L) ⊕ H− (L) ⊕ Ker L, onde H+ (L) e H− (L) são os subespa¸cos espectrais positivo e negativo de L, respectivamente. No trabalho damos uma defini¸caõ de fluxo espectral baseada na decomposi¸caõ acima, aprofundando as conexões deste conceito com a teoria espectral dos operadores de Fredholm em espa¸cos de Hilbert. Entre as propriedades do fluxo espectral, será analisada a invariância homotópica que se apresenta em várias formas. Veremos o conceito de ´ındice de Morse relativo, que estende o clássico ´ındice de Morse, e sua rela¸cão com o fluxo espectral. A constru¸caõ do fluxo espectral dada neste trabalho segue a abordagem de P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz e L. Recht em [9]. Palavras-chave: fluxo espectral, ´ındice de Morse, operadores de Fredholm, espa¸cos de Hilbert, teoria espectral.. i.

(4) Abstract The main purpose of this dissertation is to present the spectral flow of a path of selfadjoint Fredholm operators in a Hilbert space and its properties. By classical results in spectral theory, we know that, if H is a Hilbert space and L : H → H is a bounded self-adjoint linear operator, H may be written as the following orthogonal direct sum H = H+ (L) ⊕ H− (L) ⊕ Ker L, where H+ (L) and H− (L) are the positive and negative spectral subspaces of L, respectively. In this work we give a definition of spectral flow which is based on the above splitting, examining in depth the connection between this concept and the spectral theory of Fredholm operators in Hilbert spaces. Among the properties of the spectral flow we will analyze the homotopic invariance, which appears on different ways. We will see the concept of relative Morse index, which generalize the classical Morse index, and its relation with the spectral flow. The construction of the spectral flow given in this work follows the approach of P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz and L. Recht in [9]. Key-words: spectral flow, Morse index, Fredholm operators, Hilbert spaces, spectral theory.. ii.

(5) Conte´ udo Lista de S´ımbolos. i. Introdu¸c˜ ao. iv. 1 Preliminares 1.1 Alguns resultados clássicos da análise funcional . . . . . . 1.2 Soma, produto e quociente de espa¸cos vetoriais e normados 1.3 Matriz de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Espa¸cos métricos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 1 1 7 13 16. 2 Operadores de 2.1 Operadores 2.2 Operadores 2.3 Operadores 2.4 Operadores. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 20 21 29 33 40. 3 Operadores de Fredholm em espa¸cos de Hilbert 3.1 Preliminares: algumas propriedades dos espa¸cos de Hilbert . . 3.2 Operadores em espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 No¸co˜es básicas da teoria espectral em espa¸cos normados . . . 3.4 Operadores de Fredholm auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 44 45 48 55 72. . . . . . .. 86 87. Fredholm e compactos de Fredholm em espa¸cos vetoriais reais de Fredholm em espa¸cos de Banach . . compactos em espa¸cos de Banach . . . congruentes módulo operador compacto. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4 Assinatura e ´ındice de Morse relativo 4.1 A assinatura em espa¸cos de Hilbert de dimensão finita . . . 4.2 A assinatura generalizada para perturba¸co˜es compactas auto-adjuntas de uma simetria . . . . . . . . . . 4.3 Fun¸co˜es de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Pares de operadores de Fredholm e ´ındice de Morse relativo .. . . . . . . 93 . . . . . . 104 . . . . . . 122. 5 O fluxo espectral 137 5.1 Parametrix cogradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 Fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos 151 iii.

(6) 5.3 5.4. Fluxo espectral para caminhos gerais de operadores de Fredholm autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Fluxo espectral em pontos singulares isolados . . . . . . . . . . . . . . 166. Bibliografia. 177.

(7) Lista de S´ımbolos A⊥ A\B. 45 8. C c0. 1 36. c00 coKer L d(x0 , E) E1 + E2 E1 ⊕ E2 E1 × E2 E/E1 b E f 0 (λ0 ) f (k) f ? (π) f˙(λ0 ) F (E, F ). 36 21 7 7 7 9 10 57 167 108 139 167 21. GL(E, F ). 4. GL+ S (H). 78. ˚ Γ [Γ(t1 ), Γ(t2 )] G H+. 105 105 140 93. H−. 93. H− (L). 69. conjunto ortogonal de A conjunto dos pontos que estão em A que não estão em B corpo dos n´ umeros complexos espa¸co das sequências com valores em R que convergem a 0 espa¸co das sequências quase nulas em c0 con´ ucleo do operador L distância de x0 a E1 soma algébrica dos espa¸cos E1 e E2 soma direta dos espa¸cos E1 e E2 produto cartesiano dos espa¸cos E1 × E2 quociente de dois espa¸cos vetoriais E e E1 complexifica¸cão de um espa¸co real E diferencial de f em λ0 derivada k-ésima de f pullback induzido por f e o fibrado π derivada de um caminho f em λ0 espa¸co dos operadores de E em F com imagem de dimensão finita operadores limitados invers´ıveis de E em F conjunto dos isomorfismos definidos positivos interior de uma curva fechada Γ imagem Γ([t1 , t2 ]) conjunto GL(H) × KS (H) subespa¸co espectral positivo da simetria J subespa¸co espectral negativo da simetria J subespa¸co espectral negativo de L i.

(8) LISTA DE SÍMBOLOS. ii. H+ (L) ind L ind(P, Q) Im R L f (ζ)dζ Γ J J K(E, F ). 69 21 123 1 107 152 93 33. Ker L KS (H). 1 93. K b L L≥T. 1 59 62. L+. 72. L−. 72. L(E, F ). 1. L∼ =T LS (H) (L1 , L2 ) L `2. 40 49 10 4 30. ΛΓ µ(L). 105 87. µrel (L, T ) N PH+ (L). 127 8 70. PH− (L). 70. PKer L kP k π. 70 106 140. ∂ω. 109. subespa¸co espectral positivo de L ´ındice de um operador de Fredholm L ´ındice de um par de Fredholm (P, Q) imagem do operador L integral da aplica¸cão f na curva Γ intervalo [a, b] simetria fortemente indefinida conjunto dos operadores compactos de E em F n´ ucleo do operador L espa¸co dos operadores compactos autoadjuntos em H corpo dos n´ umeros reais ou complexos complexifica¸cão de um operador real L denota que L − T é um operador não negativo resti¸caõ do operador L a seu subespa¸co espectral positivo resti¸caõ do operador L a seu subespa¸co espectral negativo espa¸co dos operadores lineares limitados de E em F congruência módulo operador compacto espa¸co dos operadores auto-adjuntos reais produto direto dos operadores L1 e L2 aplica¸cão L 7→ L−1 , onde L ∈ GL(E) espa¸co das sequêP ncias reais ou complexas 2 ∞ (xn )n=1 tais que ∞ n=1 |xn | converge comprimento e uma curva retificável Γ dimensão do subespa¸co espectral negativo de L ´ındice de Morse relativo do par (L, T ) conjunto dos n´ umeros naturais proje¸caõ ortogonal sobre o subespa¸co espectral positivo de L proje¸caõ ortogonal sobre o subespa¸co espectral negativo de L proje¸caõ ortogonal sobre o n´ ucleo de L norma da parti¸caõ P fibrado localmente trivial com fibra π −1 (J ) fronteira de ω.

(9) LISTA DE SÍMBOLOS. iii. Φ(E, F ). 29. Φn (E, F ). 29. ΦS (H). 44. Φ+ S (H). 72. Φ− S (H). 73. ΦiS (H). 73. Q(L, λ0 ) R R+ R− Re(Ω) r(L) R(λ) R ρ(L) S 1/2 S(P, E, f ). 167 1 72 72 117 108 56 142 55 142 106. sf(L, J). 152. sf(L, λ0 ) 166 signJ (J +K, (ei ± )∞ ) 98 i=1 signJ (J + K) 99 sign L 87 span{A} σ(L) σ + (L) σ − (L) Σ(L) T∗ τ Υ % ς X Z. 8 55 72 72 166 48 141 79 144 141 2 29. conjunto dos operadores de Fredholm de E em F conjunto dos operadores de Fredholm de E em F de ´ındice n conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos essencialmente positivos conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos essencialmente negativos conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos fortemente indefinidos forma crossing de L em λ0 corpo dos n´ umeros reais conjunto dos n´ umeros reais positivos conjunto dos n´ umeros reais negativos parte real dos elementos do conjunto Ω raio espectral de L resolvente de L, para λ ∈ ρ(L) aplica¸caõ raiz quadrada de operadores conjunto resolvente de L raiz quadrada não negativa do operador S soma de Riemann da parti¸cão P , a escolha E e a aplica¸cão f fluxo espectral do caminho L no intervalo J fluxo espectral de L através de λ0 assinatura generalizada de J + K assinatura generalizada de J + K assinatura de um isomorfismo autoadjunto L espa¸co vetorial gerado pelo conjunto A espectro de L espectro positivo de L espectro negativo de L conjunto singular de L adjunto do operador T a¸caõ de G em ΦS (H) a¸cão cogradiente se¸caõ do fibrado π a¸caõ de G em si mesmo fecho do conjunto X conjunto dos n´ umeros inteiros.

(10) Introdu¸ c˜ ao Um instrumento que se tornou um clássico entre os métodos topológicos em Análise não linear é o conceito de ´ındice de Morse. Suponhamos ter um espa¸co de Hilbert H e um operador linear auto-adjunto L : H → H. Sabemos da teoria espectral que H possui a decomposi¸caõ em soma direta ortogonal H = H+ (L) ⊕ H− (L) ⊕ Ker L, onde H+ (L) e H− (L) são os subespa¸cos espectrais positivo e negativo de L, respectivamente. Se dim H− (L) < ∞, este n´ umero é conhecido como ´ındice de Morse de L e é denotado por µ(L). O ´ındice de Morse foi por exemplo aplicado por Mawhin e Willem na abordagem do problema de bifurca¸caõ seguinte. Sejam J = [a, b] e U uma vizinhan¸ca de J × {0} em R × H, onde H é um espa¸co de Hilbert real e separável. Suponhamos que f : U → R seja uma aplica¸caõ cont´ınua tal que f (λ, 0) = 0 para todo λ ∈ J. Se diz que λ0 ∈ J é um ponto de bifurca¸cão para a equa¸cão f (λ, x) = 0 se toda vizinhan¸ca de (λ0 , 0) em U contém ao menos um solu¸cão (λ, x) da equa¸cão tal que x 6= 0. Consideremos agora uma aplica¸caõ ψ : U → R de classe C 2 tal que, para cada λ ∈ J, 0 seja um ponto cr´ıtico do funcional ψλ = ψ(λ, ·). Para λ ∈ J, denotemos por Lλ o Hessiano de ψλ = ψ(λ, ·) e suponhamos que La e Lb sejam não singulares. Mawhin e Willem em [20] mostram o seguinte resultado. Teorema 1. Se Lλ é um operador de Fredholm auto-adjunto, com dim H− (Lλ ) < ∞, para cada λ ∈ J, e µ(La ) 6= µ(Lb ), existe λ0 ∈ J tal que (λ0 , 0) é um ponto de bifurca¸cão da equa¸cão ∇ψ(λ, x) = 0. O fluxo espectral de um caminho L = {Lλ }λ∈J de operadores de Fredholm autoadjuntos cujos extremos são invers´ıveis, que denotaremos por sf(L, J), é um conceito que foi introduzido por Atiyah, Patodi e Singer em [5] e se aplica nos casos onde o ´ındice de Morse é infinito. Em [9], P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz e L. Recht provam o seguinte resultado, que generaliza o teorema acima. iv.

(11) ˜ INTRODUC ¸ AO. v. Teorema 2. Seja ψ : U → R como acima. Se Lλ é de Fredholm, para todo λ ∈ J, e o fluxo espectral do caminho {Lλ }λ∈J é não nulo, então toda vizinhan¸ca de J × {0} contém pontos da forma (λ, x), onde x 6= 0 é um ponto cr´ıtico de ψλ . Ao lado do fluxo espectral, um outro conceito que generaliza o ´ındice de Morse é o ´ındice de Morse relativo. Seja (L, T ) um par de isomorfismos auto-adjuntos cuja diferen¸ca é compacta. Neste caso, dim(H− (L)∩H+ (T )) < ∞ e dim(H− (T )∩H+ (L)) < ∞, como veremos no Cap´ıtulo 4. O ´ındice de Morse relativo de (L, T ) é definido como µrel (L, T ) = dim(H− (L) ∩ H+ (T )) − dim(H− (T ) ∩ H+ (L)). Na Proposi¸caõ 5.2.6 mostraremos que, se L é um caminho de operadores de Fredholm auto-adjuntos tal que Lλ − La é compacto para todo λ ∈ J, então sf(L, J) = µrel (La , Lb ). Assim, o seguinte corolário é uma consequência de teorema anterior. Corol´ ario 0.0.1. Seja ψ : U → R como acima. Assuma que ∇ψ(λ, x) = Ax + C(λ, x), onde A é um operador de Fredholm auto-adjunto e C é uma aplica¸cão compacta. Ent˜ ao, o intervalo J contém pontos de bifurca¸cão para a equa¸cão ∇ψ(λ, x) = 0 sempre que µrel (La , Lb ) 6= 0. O objetivo desta disserta¸caõ é a introdu¸cão do fluxo espectral, de sua defini¸cão e de algumas de suas propriedades. A abordagem deste trabalho é baseada no artigo de P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz e L. Recht: Spectral Flow and Bifurcation of Critical Points of Strongly-Indefinite Functionals, Part I. General Theory, Journal of Functional Analysis, 162, 52-95, Academic Press, (1999). No primeiro cap´ıtulo veremos vários teoremas e resultados conhecidos da análise funcional, da a´lgebra linear e da topologia geral, que servirão como ferramenta u ´til em todo o trabalho. No segundo cap´ıtulo trataremos dos operadores de Fredholm em espa¸cos vetoriais (ou de Banach) reais, assim como do ´ındice de um operador de Fredholm. Uma dessas propriedades é que o conjunto dos operadores de Fredholm em espa¸cos de Banach é um subconjunto aberto do espa¸co dos operadores lineares limitados. Os operadores compactos em espa¸cos de Banach, dos quais lembraremos defini¸caõ na Se¸cão 3, estão estritamente relacionados com os operadores de Fredholm, como veremos na Se¸caõ 4. Tal rela¸cão será de grande importância na constru¸cão do fluxo espectral..

(12) ˜ INTRODUC ¸ AO. vi. O propósito do terceiro cap´ıtulo é apresentar algumas das propriedades dos operadores de Fredholm auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert. Para este fim, as duas primeiras se¸cões serão dedicadas a destacar algumas caracter´ısticas dos espa¸cos de Hilbert e dos operadores auto-adjuntos. Um dos resultados mais interessantes que veremos neste cap´ıtulo diz que o conjunto dos operadores de Fredholm auto-adjuntos possui três componentes conexas, que são: o conjunto dos operadores essencialmente positivos (tais que o subespa¸co espectral negativo tem dimensão finita), o dos operadores essencialmente negativos (tais que o subespa¸co espectral positivo tem dimensão finita) e o dos operadores fortemente indefinidos (que tem ambos os subespa¸cos espectrais infinito-dimensionais). Trata-se de um resultado conhecido mas, por outro lado, não fácil de ser encontrado na literatura, razão pela qual decidimos prová-lo. Na primeira parte do Cap´ıtulo 4 veremos a no¸caõ de assinatura generalizada para operadores da forma J + K, onde J um oportuno operador de Fredholm auto-adjunto tal que J 2 = I e K é um operador compacto e auto-adjunto. O fluxo espectral será definido usando a assinatura generalizada. Na Se¸caõ 4.4 trataremos o ´ındice de Morse relativo e suas propriedades. Apresentaremos na Proposi¸cão 4.4.9 uma rela¸caõ entre o ´ındice de Morse relativo e o ´ındice de Morse clássico. O fluxo espectral de caminhos de Fredholm auto-adjuntos será definido no Cap´ıtulo 5. Uma das propriedades mais importantes do fluxo espectral, que veremos na Se¸caõ 5.2, é a invariância homotópica. No Teorema 5.3.3 provaremos que, se L = {Lλ }λ∈J é um caminho de operadores de Fredholm com dim H− (Lλ ) < ∞ para todo λ ∈ J, então sf(L, J) = µ(La ) − µ(Lb ). Assim, o Teorema 1, dado acima, se torna uma consequência do Teorema 2. Finalizaremos o trabalho com a no¸caõ de fluxo espectral em pontos singulares isolados de um caminho de operadores de Fredholm auto-adjuntos..

(13) Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados conhecidos que serão utilizados como ferramenta ao longo deste trabalho. A maioria deles não será provada. Damos como pré-requisitos as no¸co˜es de produto interno, métrica, assim como também os conceitos de espa¸co vetorial, topológico, métrico, normado e de Banach. A primeira parte dos preliminares tratará de conceitos clássicos da análise funcional. Teoremas como o da aplica¸cão aberta, o de Hahn-Banach, o de Riesz-Fischer, entre outros, serão recordados. Na segunda se¸caõ lembraremos as defini¸cões da soma, produto e o quociente de espa¸cos vetoriais. Usando os teoremas apresentados na primeira se¸caõ mostraremos algumas propriedades que possuem o produto e o quociente de espa¸cos de Banach. Além disso, veremos a defini¸cão do produto direto de dois operadores lineares. Na terceira se¸caõ veremos que podemos representar um operador linear L : E → F entre dois espa¸cos vetoriais com uma matriz de operadores, no caso em que os espa¸cos E e F sejam escritos como soma direta de dois subespa¸cos. Na u ´ltima se¸cão veremos algumas propriedades dos espa¸cos métricos compactos e lembraremos a defini¸cão de espa¸co métrico totalmente limitado. Este conceito será usado no próximo cap´ıtulo.. 1.1. Alguns resultados cl´ assicos da an´ alise funcional. Dados dois espa¸cos vetoriais E e F sobre o corpo K = R ou C, denotaremos por L(E, F ), ou simplesmente por L(E) quando F = E, o espa¸co vetorial dos operadores lineares de E a F . A imagem de L ∈ L(E, F ) será denotada por Im L e seu n´ ucleo por Ker L. Suponhamos que E e F sejam espa¸cos normados. Um operador linear T : E → F é dito limitado se sup{kT xk : x ∈ E, kxk = 1} < ∞.. 1.

(14) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 2. Neste caso, abusando um pouco da nota¸cão, L(E, F ) consistirá dos operadores lineares limitados de E em F . O conjunto L(E, F ) é um espa¸co vetorial normado, com norma dada por kT k = sup{kT xk : x ∈ E, kxk = 1} para T ∈ L(E, F ). Um resultado clássico da análise funcional diz que, se F é um espa¸co de Banach, então L(E, F ) é um espa¸co de Banach (ver por exemplo [8], pág. 11, Proposi¸caõ 1.9). Na seguinte proposi¸caõ mostraremos algumas condi¸co˜es necessárias e suficientes para que um operador linear definido em espa¸cos normados seja cont´ınuo. Em [8], pág. 10, Proposi¸cão 1.17, podemos ver uma prova deste fato. Proposi¸c˜ ao 1.1.1. Sejam E e F dois espa¸cos normados e L um operador linear de E em F . As seguintes condi¸co˜es são equivalentes: i. L é cont´ınuo. ii. L é cont´ınuo na origem de E. iii. Existe C > 0 tal que kLxk ≤ Ckxk para todo x ∈ E. iv. Existe C > 0 tal que kLx − Lyk ≤ Ckx − yk para todo x, y ∈ E. Segue-se da proposi¸caõ anterior que todo operador limitado é cont´ınuo e vice-versa. Usaremos os termos “cont´ınuo” ou “limitado” dependendo do fato de querer marcar a continuidade ou a limita¸cão do operador, mas com o mesmo significado. Outro resultado clássico da análise funcional é apresentado no seguinte teorema. Ele mostra uma condi¸caõ necessária e suficiente para que um espa¸co normado seja de Banach. Podemos ver uma prova deste fato em [8], pág. 8, Lema 1.15. Teorema 1.1.2. Seja EP um espa¸co normado. Então, E é um espa¸co de Banach se, e somente se, toda série ∞ e absolutamente convergente, isto k=0 xk convergente em E ´ P∞ é, k=0 kxk k é convergente em R. Defini¸c˜ ao 1.1.3. Seja X um subconjunto de um espa¸co normado E. Denotaremos por X o fecho de X em E, isto é, X = {x ∈ E : existe (xn )∞ n=1 em X convergente a x}. Não é dif´ıcil ver que o fecho de um subespa¸co de E é um subespa¸co de E. Teorema 1.1.4. Sejam E um espa¸co normado, F um subespa¸co de E e G um espa¸co de Banach. Seja L : F → G um operador limitado. Existe uma u ńica extensão de L a um operador limitado L : F → G tal que kLk = kLk..

(15) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 3. Podemos ver uma prova do teorema anterior em [18], pág. 75, Teorema 3.1. O operador L : F → G é definido como Lx = lim Lxn , n→∞. onde (xn )∞ e uma sequência em F convergente a x ∈ F . n=1 ´ O seguinte corolário é uma consequência imediata do teorema anterior. Corol´ ario 1.1.5. Sejam E1 e E2 dois subespa¸cos de um espa¸co de Banach E e L ∈ L(E1 , E2 ). Então, existe uma u ńica extensão de L a um operador L ∈ L(E 1 , E 2 ) tal que kLk = kLk. Defini¸c˜ ao 1.1.6. Sejam E e F espa¸cos vetoriais. Diremos que L ∈ L(E, F ) é um operador invers´ıvel (ou um isomorfismo) se é bijetor. No caso em que E e F sejam normados, diremos que L é invers´ıvel se é bijetor, limitado e L−1 é limitado. A palavra “isomorfismo” serve seja no caso só vetorial ou no caso topológico. Se for claro do contexto, usaremos sempre este termo, mesmo tenha significados diferentes. O seguinte teorema mostra que, se E é um espa¸co de Banach e L ∈ L(E) com kLk < 1, então I − L é um isomorfismo. Uma prova deste fato se pode ver em [16], pág. 375. Teorema 1.1.7. Seja L ∈ L(E), onde E é um espa¸co de Banach. Se kLk < 1, ent˜ ao I − L é invers´ıvel e, além disso, (I − L)−1 =. ∞ X. Lk = I + L + L2 + ...,. k=0. onde a série na direita é convergente na norma de L(E). Como consequência do Teorema 1.1.7 temos o seguinte corolário. Corol´ ario 1.1.8. Seja L ∈ L(E, F ) um operador invers´ıvel, onde E e F são espa¸cos de Banach. Se A ∈ L(E, F ) e kA − Lk < 1/kL−1 k, então A é invers´ıvel. Demonstra¸cão. Suponhamos que kA − Lk < 1/kL−1 k. Então, kL−1 (A − L)k ≤ kL−1 kkA − Lk < kL−1 k(1/kL−1 k) = 1. Assim, o teorema anterior implica que I +L−1 (A−L) é invers´ıvel, onde I é a identidade de E. Dado que L é invers´ıvel, a composi¸cão L(I + L−1 (A − L)) = L + A − L = A também é invers´ıvel..

(16) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 4. Do corolário anterior temos que, se E e F são espa¸cos de Banach, então o conjunto dos operadores invers´ıveis de E em F , denotado por GL(E, F ), é um subconjunto aberto de L(E, F ). Observe que, se L e T ∈ G(E, F ), então L−1 − T −1 = −L−1 (L − T )T −1 .. (1.1.1). De fato, L−1 − T −1 = L−1 L(L−1 − T −1 )T T −1 = L−1 (I − LT −1 )T T −1 = −L−1 (L − T )T −1 . Lema 1.1.9. Se E é um espa¸co de Banach, a aplica¸cão L : GL(E) → GL(E) L 7→ L−1 é cont´ınua. Demonstra¸cão. Tomemos L ∈ GL(E) fixado. Seja T ∈ GL(E) tal que kL − T k < 1/kL−1 k. Assim, k(L − T )L−1 k ≤ kL − T kkL−1 k < 1. Se segue do Teorema 1.1.7 que I + (L − T )L−1 é invers´ıvel em L(E). Além disso, −1 −1. (I + (L − T )L ). =. ∞ X. ((T − L)L−1 )k .. k=0. Portanto, −1 −1. k(I +(L−T )L ) k ≤. ∞ X k=0. k(T −L)L−1 kk =. 1 1 ≤ . −1 1 − k(T − L)L k 1 − kT − LkkL−1 k. Dado que T = (I − (L − T )L−1 )L, então T −1 = L−1 (I + (L − T )L−1 )−1 . Consequentemente, kT −1 k ≤ kL−1 kk(I + (L − T )L−1 )−1 k ≤ kL−1 k(1 − kT − LkkL−1 k)−1 . Da´ı, como kL − T kkL−1 k < 1, de (1.1.1) temos kL−1 − T −1 k = k − L−1 (L − T )T −1 k ≤ kL−1 kkL − T kkT −1 k ≤ kL−1 kkL − T kkL−1 k(1 − kT − LkkL−1 k)−1 < kL−1 kkL − T kkL−1 k. Portanto, para qualquer ε > 0, se T ∈ L(E) é tal que kL − T k < min{ε/kL−1 k2 , 1/kL−1 k}, então kL−1 − T −1 k < ε. Este fato prova que L é cont´ınua..

(17) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 5. Proposi¸c˜ ao 1.1.10. Sejam E um espa¸co de Banach e F é um espa¸co normado. Suponhamos que T ∈ L(E, F ) seja injetor. Então, T −1 : T (E) → E é cont´ınuo se, e somente se, existe c > 0 tal que kT xk ≥ ckxk para todo x ∈ E. Além disso, se T −1 : T (E) → E é cont´ınuo, então T (E) é um espa¸co de Banach. Demonstra¸cão. Suponhamos primeiro que exista c > 0 tal que kT xk ≥ ckxk para todo x ∈ E e provemos que T −1 : T (E) → E é cont´ınuo. De fato, é claro que T −1 : T (E) → E é bijetor. Se y ∈ T (E), temos kyk = kT T −1 yk ≥ ckT −1 yk. Isto é, kT −1 yk ≤ (1/c)kyk para todo y ∈ T (E), o que prova que T −1 : T (E) → E é cont´ınuo. Reciprocamente, se T −1 : T (E) → E é cont´ınuo, existe C > 0 tal que kT −1 yk ≤ Ckyk para todo y ∈ T (E). Como T é injetor, então T −1 T x = x para todo x ∈ E. Da´ı, kxk = kT −1 T xk ≤ CkT xk. para todo x ∈ E.. Consequentemente, existe 1/C > 0 tal que (1/C)kxk ≤ kT xk para todo x ∈ E. Agora provemos que T (E) é de Banach. Seja (yn )∞ encia de Cauchy em n=1 uma sequˆ ∞ T (E). Então, yn = T xn para uma sequência (xn )n=1 em E. Agora, por hipótese, kxn − xm k ≤ (1/c)kT (xn − xm )k = (1/c)kyn − ym k. e uma sequência de Cauchy. Como E é de Banach, Este fato implica que (xn )∞ n=1 ´ ∞ (xn )n=1 converge a um x ∈ E. Portanto, da continuidade de T temos que (yn )∞ n=1 converge a T (x) ∈ T (E). Logo, T (E) é de Banach. O seguinte teorema é um dos mais conhecidos de análise funcional: o Teorema da aplica¸caõ aberta. Ele será de grande importância neste trabalho. Teorema 1.1.11 (Teorema da aplica¸caõ aberta). Sejam E, F espa¸cos de Banach e L : E → F um operador linear cont´ınuo sobrejetor. Então, L é aberto, isto é, para todo subconjunto aberto ∆ de E, L(∆) é aberto em F . Uma consequência do Teorema da aplica¸caõ aberta é dada no seguinte corolário. A prova é imediata. Corol´ ario 1.1.12. Nas condi¸cões do teorema anterior, se L é injetor, então L é um isomorfismo. O Teorema de Hahn-Banach para espa¸cos normados, que apresentamos abaixo, será uma ferramenta de grande importância neste trabalho. Podemos ver uma prova deste teorema em [16], pág. 221, Teorema 4.3-2..

(18) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 6. Teorema 1.1.13 (Teorema de Hahn-Banach para espa¸cos normados). Sejam E um espa¸co normado e E1 um subespa¸co de E. Se ϕ : E1 → K é um funcional linear limitado, existe uma extensão de ϕ a um funcional linear limitado ϕ de E, tal que kϕk = kϕk. Neste trabalho os espa¸cos de Hilbert separáveis têm um papel importante. Lembramos que um espa¸co normado E é dito separável se existe uma sequência em E que é densa em E. No resto desta se¸caõ apresentamos algumas propriedades que possuem os espa¸cos de Hilbert separáveis. Lembramos que um espa¸co normado H (real ou complexo) é um espa¸co com produto interno se sua norma, denotada por k · k, provém de um produto interno h·, ·i, isto é, se p kxk = hx, xi para todo x ∈ H. Um espa¸co de Hilbert é um espa¸co de Banach com produto interno. Uma caracteriza¸caõ dos espa¸cos com produto interno é apresentada no teorema seguinte. Podemos ver uma prova dele em [8], pág. 17. Teorema 1.1.14. Suponhamos que H seja um espa¸co normado. Então, H é um espa¸co com produto interno se, e somente se, sua norma satisfaz a igualdade do paralelogramo, isto é, kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 para todo x, y ∈ H. No resto desta se¸caõ H denotará um espa¸co com produto interno h·, ·i e com norma induzida k · k. Uma caracter´ıstica que possuem os espa¸cos com produto interno é a bem conhecida desigualdade de Cauchy-Schwarz : |hx, yi| ≤ kxkkyk para todo x, y ∈ H.. (1.1.2). Defini¸c˜ ao 1.1.15 (Ortogonalidade). Dizemos que dois elementos x1 e x2 em H são ortogonais se hx1 , x2 i = 0. Seja X um subconjunto não vazio de H. Dizemos que X é ortonormal se, para todo x1 , x2 ∈ X com x1 6= x2 , hx1 , x2 i = 0 e hx, xi = 1 para todo x ∈ X. Dizemos que um subconjunto ortonormal X de H é uma base ortonormal de H se X é um conjunto maximal ortonormal em H, isto é, para todo y ∈ H\X, existe x ∈ X tal que hx, yi 6= 0. Se X é uma base ortonormal de H enumerável dizemos que X é uma base de Hilbert de H. O seguinte é um resultado clássico da álgebra linear. O método da demostra¸caõ é chamado de processo de ortogonaliza¸cão de Gram-Schmidt (veja-se, por exemplo, [11], pág. 278, Teorema 3)..

(19) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 7. Teorema 1.1.16. Seja β = {x1 , x2 , ..., xn } um subconjunto linearmente independente de H. Então, existe um subconjunto ortonormal α = {y1 , y2 , ..., yn } de H que gera o mesmo espa¸co gerado por β. Apresentaremos agora duas propriedades que possuem os espa¸cos de Hilbert separáveis, cujas provas se podem ver, por exemplo, em [8], pág. 19, Teorema 1.36 e pág. 20, Teorema 1.38, respectivamente. Teorema 1.1.17. Todo espa¸co de Hilbert separável de dimensão infinita H possui uma base de Hilbert (en )∞ em disso, se x ∈ H, então n=1 . Al´ x=. ∞ X. hx, ei iei .. i=1. O seguinte teorema mostra que todo espa¸co de Hilbert separável de dimensão infinita H é linearmente isométrico a `2 , isto é, existe um isomorfismo L ∈ L(H, `2 ) tal que kLxk = kxk para todo x ∈ H. Teorema 1.1.18 (Riesz-Fischer). Todo espa¸co de Hilbert separável de dimensão infinita H é isométrico a `2 .. 1.2. Soma, produto e quociente de espa¸ cos vetoriais e normados. Nesta se¸cão apresentaremos as defini¸co˜es da soma, produto e quociente de espa¸cos vetoriais e algumas das suas propriedades algébricas para o caso em que os espa¸cos não sejam normados e das propriedades topológicas para o caso em que os espa¸cos sejam normados. Os espa¸cos desta se¸caõ serão considerados sobre o corpo dos n´ umeros reais ou complexos. Primeiro lembremos a defini¸caõ da soma de dois espa¸cos vetoriais. Defini¸c˜ ao 1.2.1 (Soma de espa¸cos vetoriais). Sejam E1 e E2 dois subespa¸cos vetoriais de um espa¸co vetorial E. A soma dos espa¸cos E1 e E2 é definida por E1 + E2 = {x1 + x2 : x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 }. Se E1 ∩ E2 = {0} dizemos que E1 + E2 é uma soma direta. Neste caso denotaremos por E1 ⊕ E2 a soma de E1 e E2 . ´ claro que a soma de dois subespa¸cos de um espa¸co E é um subespa¸co de E. E Defini¸c˜ ao 1.2.2. Sejam E1 um subespa¸co de um espa¸co normado E e x0 ∈ E. A distância de x0 a E1 é definida por d(x0 , E1 ) = inf kx0 − xk. x∈E1.

(20) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 8. Vejamos a seguinte propriedade da soma de dois subespa¸cos de um espa¸co normado. Lema 1.2.3. Seja E um espa¸co normado. Se E1 é um subespa¸co fechado de E e E2 é de dimensão finita, então E1 + E2 é fechado. Demonstra¸cão. Demonstraremos o lema por indu¸caõ sobre a dimensão de E2 . Suponhamos que E2 tenha dimensão 1. Assim, E2 = span{x0 } para algum x0 ∈ E com kx0 k = 1. Se x0 ∈ E1 , então E1 + E2 = E1 e portanto a soma é fechada. Suponhamos encia em E1 +E2 convergente a y ∈ E. que x0 não perten¸ca a E1 . Seja (yn )∞ n=1 uma sequˆ Então, yn = xn + λn x0 , onde xn ∈ E1 e λn ∈ K para todo n ∈ N. Provemos que (λn )∞ n=1 é limitada. De fato, dado que E1 é fechado, então d = d(x0 , E1 ) = inf kx0 − xk > 0. x∈E1. Além disso, para λ ∈ K, com λ 6= 0, d(λx0 , E1 ) = inf kλx0 − xk = inf |λ|kx0 − x/λk = |λ| inf kx0 − yk = |λ|d. x∈E1. x∈E1. y∈E1. ao fosse limitada, então Se (λn )∞ n=1 n˜ kxn + λn x0 k ≥ inf kλn x0 − xk = |λn |d, x∈E1. isto é, (yn )∞ ao ser´ıa limitada. Este fato contradiz a convergência de (yn )∞ n=1 n˜ n=1 , que portanto é limitada. Dado que (λn )∞ e limitada, ela possui uma subsequência convergente a λ ∈ K. n=1 ´ ∞ encia converConsequentemente, (yn − λn x0 )∞ n=1 = (xn )n=1 ∈ E1 possui uma subsequˆ ∞ gente a x ∈ E1 , pois E1 é fechado. Assim, (xn + λn x0 )n=1 possui uma subsequência convergente a x + λx0 ∈ E1 + E2 . Portanto, y = x + λx0 ∈ E1 + E2 . Suponhamos agora que E1 + E10 seja fechado para qualquer subespa¸co E10 de dimensão n − 1. Seja E2 um subespa¸co de dimensão n. Então, E2 = E20 + span{x0 }, onde E20 é um subespa¸co de E2 de dimensão n − 1 e x0 ∈ E2 \E20 . Por hipótese de indu¸caõ, E1 + E20 é fechado. Pelo resultado da primeira parte da demonstra¸caõ temos que E1 + E20 + span{x0 } = E1 + E2 é fechado. A seguinte proposi¸caõ é uma consequência do Teorema de Hahn-Banach para espa¸cos normados. Proposi¸c˜ ao 1.2.4. Sejam E um espa¸co normado e E1 um subespa¸co de dimens˜ ao finita. Então, E1 tem um subespa¸co complementar fechado, isto é, existe um subespa¸co fechado E2 de E tal que E = E1 ⊕ E2 ..

(21) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 9. Demonstra¸cão. Seja {α1 , α2 , ..., αn } uma base de E1 . Para i = 1, 2, ..., n, tomemos o funcional linear αi∗ : E1 → K definido por 0 se j 6= i ∗ αi (αj ) = 1 se j = i. ´ claro que αi∗ é limitado, para i = 1, 2, ..., n. Pelo Teorema de Hahn-Banach, podemos E estender cada αi∗ a um funcional limitado de E. Podemos dar o mesmo nome a estas extensões. Seja α∗ : E → Kn o operador linear definido por α∗ (x) = (α1∗ (x), α2∗ (x), ..., αn∗ (x)). Observe que α∗ é limitado, pois os αi∗ são limitados. Consequentemente, Ker α∗ é ´ fácil ver que fechado. E n \ ∗ Ker α = Ker αi∗ . i=1. Da´ı, E1 ∩ Ker α∗ = {0}. Além disso, dado x ∈ E, existe um, e somente um, x1 ∈ E1 tal que α∗ (x) = α∗ (x1 ). Logo, x = x1 + (x − x1 ), onde x − x1 ∈ Ker α∗ . Os fatos acima mostram que E = E1 ⊕ Ker α∗ , o que prova a proposi¸caõ. Defini¸c˜ ao 1.2.5. O produto cartesiano E1 × E2 de dois espa¸cos vetoriais E1 e E2 é um espa¸co vetorial com as seguintes opera¸co˜es: i. (x, y) + (z, w) = (x + z, y + w) ii. λ(x, y) = (λx, λy). para (x, y), (z, w) ∈ E1 × E2 .. para λ ∈ K e (x, y) ∈ E1 × E2 .. Se E1 e E2 são dois espa¸cos normados com as normas k · k1 e k · k2 , respectivamente, então o produto E1 × E2 é um espa¸co normado com a norma q k(x, y)k = kxk21 + kyk22 para (x, y) ∈ E1 × E2 . ´ fácil provar que, se E1 e E2 são de Banach, então E1 × E2 é de Banach. E O resultado seguinte é uma consequência do Teorema da aplica¸cão aberta. Proposi¸c˜ ao 1.2.6. Suponhamos que E seja um espa¸co de Banach e que E = E1 ⊕ E2 , onde E1 e E2 são subespa¸cos fechados de E. O operador T : E1 × E2 → E definido por T (x, y) = x + y é um isomorfismo..

(22) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 10. Demonstra¸cão. De fato, o operador T é cont´ınuo, pois, para (x, y) ∈ E1 × E2 , √ √ p kT (x, y)k = kx + yk ≤ kxk + kyk ≤ 2 kxk2 + kyk2 = 2k(x, y)k. Por outro lado, dado que E1 + E2 = E e E1 ∩ E2 = {0}, então T é bijetor. Pelo Teorema da aplica¸caõ aberta temos que T é um isomorfismo. Sejam E e F espa¸cos de Banach e L ∈ L(E, F ) fixado. Suponhamos que E = E1 ⊕ E2 e F = F1 ⊕ F2 , onde E1 e E2 são subespa¸cos fechados de E, F1 e F2 são subespa¸cos fechados de F e, além disso, L(E1 ) ⊆ F1 e L(E2 ) ⊆ F2 . Tomemos as restri¸co˜es L1 = L|E1 : E1 → F1 e L2 = L|E2 : E2 → F2 do operador L. Então, podemos dizer que L é soma direta de L1 e L2 , em s´ımbolos L = L1 ⊕ L1 .. (1.2.1). Por outro lado, se E1 , E2 , F1 e F2 são espa¸cos de Banach e L1 ∈ L(E1 , F1 ) e L2 ∈ L(E2 , F2 ), definimos o produto direto de L1 e L2 como o operador (L1 , L2 ) : E1 × E2 → F1 × F2 dado por (L1 , L2 )(x, y) = (L1 x, L2 y). (1.2.2) Neste caso, k(L1 x, L2 y)k2 = kL1 xk2 + kL2 yk2 ≤ kL1 k2 kxk2 + kL2 k2 kyk2 ≤ (kL1 k2 + kL2 k2 )(kxk2 + kyk2 ) = (kL1 k2 + kL2 k2 )k(x, y)k2 , isto é, k(L1 , L2 )k ≤. p (kL1 k2 + kL2 k2 ).. Este fato prova que (L1 , L2 ) ∈ L(E1 × E2 , F1 × F2 ). Neste trabalho também usaremos algumas propriedades do espa¸co quociente. Defini¸c˜ ao 1.2.7. Sejam E um espa¸co vetorial e E1 um subespa¸co de E. O quociente E/E1 é o conjunto de todos os elementos da forma x = x + E1 = {x + z : z ∈ E1 }, ´ fácil ver que E/E1 é um espa¸co vetorial com as opera¸co˜es: onde x ∈ E. E i. x + y = x + y ii. αx = αx. se x, y ∈ E,. para x ∈ E e α ∈ K.. Defini¸c˜ ao 1.2.8. A codimensão de E1 em E é a dimensão de E/E1 ..

(23) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 11. Denotemos por π : E → E/E1 a proje¸cão canônica de E em E/E1 , isto é, π(x) = x + E1 , para x ∈ E. Observa¸c˜ ao 1.2.9. Observe que a codimensão de um subespa¸co E1 em E é finita se, e somente se, existe um subespa¸co de dimensão finita E2 tal que E = E1 ⊕ E2 . De fato, é claro que Ker π = E1 . Seja E2 um subespa¸co complementar de E1 em E, isto é, E = E1 ⊕ E2 (este complementar existe sempre para espa¸cos vetoriais). Tomemos ´ fácil ver que π(β) = {π(x) : x ∈ β} é uma base de π(E) = E/E1 . uma base β de E2 . E Consequentemente, dim E2 é finita se, e somente se, dim(E/E1 ) é finita. Neste caso dim E2 = dim(E/E1 ). Mostraremos agora duas propriedades ligadas ao conceito da codimensão de subespa¸cos vetoriais. Lema 1.2.10. Se E1 e E2 são dois subespa¸cos de codimensão finita de um espa¸co vetorial E, então E1 ∩ E2 tem codimensão finita em E. Demonstra¸cão. Suponhamos por contradi¸cão que o resultado não seja verdadeiro. Consideremos um complementar E10 de E1 ∩ E2 em E1 . Assim, E1 = (E1 ∩ E2 ) ⊕ E10 . Dado que a codimensão de E1 ∩ E2 é infinita e a codimensão de E1 é finita, então a dimensão de E10 é infinita. Além disso, E10 ∩ E2 = E10 ∩ (E1 ∩ E2 ) = {0}. Portanto, a soma E10 + E2 é direta. Este fato contradiz a codimensão finita de E2 . Lema 1.2.11. Sejam E1 e E2 subespa¸cos de um espa¸co vetorial E. Se a codimens˜ ao de E1 é finita e a dimensão de E2 é infinita, então E1 ∩ E2 tem dimensão infinita. Demonstra¸cão. Suponhamos por contradi¸caõ que a dimensão de E1 ∩ E2 seja finita. Tomemos um complementar E10 de E1 ∩ E2 em E1 . Assim, E1 = (E1 ∩ E2 ) ⊕ E10 . ´ Como a codimensão de E1 em E é finita, então a codimensão de E10 em E é finita. E claro que E10 ∩E2 = {0}. Logo, a soma E10 ⊕E2 é direta em contradi¸cão com a dimensão infinita de E2 . Se E é um espa¸co normado e E1 é um subespa¸co fechado de E, então E/E1 se torna um espa¸co normado com a introdu¸caõ da norma kxk = inf kyk = inf kz − xk. y∈x. z∈E1. (1.2.3). Não é dif´ıcil ver que (1.2.3) define uma norma para E/E1 . O seguinte teorema mostra que, se E e E1 são espa¸cos de Banach, então E/E1 é também de Banach. Além disso, com estas condi¸cões, a proje¸caõ π é cont´ınua. Uma prova deste fato se pode ver em [7], pág. 70..

(24) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 12. Teorema 1.2.12. Se E é um espa¸co de Banach e E1 é um subespa¸co fechado de E, então: i. E/E1 é um espa¸co de Banach. ii. kπ(x)k ≤ kxk para todo x ∈ E e assim π é cont´ınua. Uma propriedade muito importante dos operadores lineares limitados é que, se a imagem de um operador limitado tem codimensão finita, então ela é fechada. Este fato é mostrado na seguinte proposi¸cão. Proposi¸c˜ ao 1.2.13. Seja L ∈ L(E, F ), onde E e F são espa¸cos de Banach. Se a codimensão da imagem de L é finita, então Im L é um subespa¸co fechado de F . Demonstra¸cão. De fato, do Teorema 1.2.12 se segue que E/ Ker L é de Banach. Tomemos L : E/ Ker L → F dado por L(x) = Lx para x ∈ E. Vejamos que L está bem definido. Se x = y, para x, y ∈ E, então x − y ∈ Ker L. Portanto, L(x) = L(x) = L(y) = L(y). ´ fácil ver que L é linear. Além disso, para x ∈ E e x0 ∈ Ker L, E kL(x)k = kL(x)k = kL(x − x0 )k ≤ kLkkx − x0 k. Este fato prova que kL(x)k ≤ kLk. inf. x0 ∈Ker L. kx − x0 k = kLkkxk,. isto é, L é limitado. ´ claro que L é injetor e que Im L = Im L. E Dado que Im L tem codimensão finita, se segue da Observa¸caõ 1.2.9 que existe um subespa¸co de dimensão finita F1 de F tal que F = Im L ⊕ F1 . Como F1 é fechado, F/F1 é de Banach. Consequentemente, a proje¸caõ canônica de F em F/F1 , que denotamos por π1 : F → F/F1 , é limitada. Da´ı, a composi¸caõ π1 L : E/ Ker L → F/F1 , é limitada. Não é dif´ıcil provar que a restri¸cão π1 |Im L : Im L → F/F1.

(25) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 13. de π1 a Im L é bijetora. Logo, como L é injetor e Im L = Im L, a composi¸caõ π1 L é bijetora. Assim, o Teorema da aplica¸cão aberta implica que π1 L é um isomorfismo. Consideremos agora a composi¸caõ L(π1 L)−1 : F/F1 → Im L = Im L. Observe que (π1 |Im L )L(π1 L)−1 = (π1 L)(π1 L)−1 = IF/F1 ,. (1.2.4). onde IF/F1 é a identidade de F/F1 . Por outro lado, se y ∈ Im L, existe x ∈ E tal que y = Lx = Lx. Da´ı, L(π1 L)−1 π1 (y) = L(π1 L)−1 (π1 L)x = Lx = y. Este fato prova que L(π1 L)−1 (π1 |Im L ) = IIm L ,. (1.2.5). onde IIm L é a identidade de Im L. De (1.2.4) e (1.2.5) se segue que π1 |Im L : Im L → F/F1 é um isomorfismo. Em conclusão, Im L é de Banach sendo isomorfo a F/F1 .. 1.3. Matriz de operadores. Na primeira parte desta se¸cão suporemos que E, F e G são espa¸cos vetoriais reais ou complexos. Lembramos que usaremos o termo isomorfismo para um operador linear L entre espa¸cos vetoriais quando L for injetor e sobrejetor, enquanto se M for um operador linear injetor e sobrejetor entre espa¸cos de Banach (ou normados), o termo isomorfismo denotará que M é limitado com inversa limitada. Quando os espa¸cos E e F são escritos como soma direta de dois subespa¸cos, podemos representar um operador L ∈ L(E, F ) por uma matriz de operadores os quais têm como dom´ınio e contradom´ınio os subespa¸cos das decomposi¸cões de E e de F . Esta representa¸cão vai ser de grande utilidade em todo o trabalho, já que facilita ver o comportamento dos operadores e cada um dos subespa¸cos considerados na soma direta de seu dom´ınio e contradom´ınio. Para ver esta representa¸caõ suponhamos que temos as decomposi¸co˜es E = E1 ⊕ E2. e. F = F1 ⊕ F2 .. Seja PE1 : E1 ⊕ E2 → E1 a proje¸cão sobre E1 associada à decomposi¸caõ de E, isto é, PE1 : E1 ⊕ E2 → E1 ,. x1 + x2 7→ x1 ,. onde x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 . Assim, Im PE1 = E1. e. Ker PE1 = E2 ..

(26) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 14. De igual forma definimos as proje¸co˜es PE2 : E1 ⊕ E2 → E2 , PF1 : F1 ⊕ F2 → F1 e PF2 : F1 ⊕ F2 → F2 . Dado L : E → F linear, sejam Lij : Ej → Fi , com i, j = 1, 2, definidos por Lij = PFi LPEj |Ej . O operador L pode ser representado pela matriz de operadores L11 L12 L= , L21 L22. (1.3.1). onde a matriz age usando o produto usual de matrizes em dimensões finitas, isto é, para x = x1 + x2 ∈ E, onde x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 , L11 L12 x1 L11 x1 + L12 x2 = L11 x1 + L12 x2 + L21 x1 + L22 x2 . = L21 L22 x2 L21 x1 + L22 x2 Defini¸c˜ ao 1.3.1. A matriz dada em (1.3.1) é chamada de matriz de operadores associada a L e às decomposi¸cões de E e F . Suponhamos agora que temos as decomposi¸co˜es E = E1 ⊕ E2 , F = F1 ⊕ F2 e G = G1 ⊕ G2 . Consideremos os operadores L ∈ L(E, F ) e T ∈ L(F, G), com matrizes de operadores associadas às decomposi¸co˜es de E, F e G dadas por L11 L12 T11 T12 L= e T = . L21 L22 T21 T22 Seja x = x1 + x2 ∈ E, com x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 . Então, T Lx = T L(x1 + x2 ) = T ((L11 x1 + L12 x2 ) + (L21 x1 + L22 x2 )) = T11 (L11 x1 + L12 x2 ) + T12 (L21 x1 + L22 x2 ) + T21 (L11 x1 + L12 x2 ) + T22 (L21 x1 + L22 x2 ) = T11 L11 x1 + T12 L21 x1 + T11 L12 x2 + T12 L22 x2 + T21 L11 x1 + T22 L21 x1 + T21 L12 x2 + T22 L22 x2 = (T11 L11 + T12 L21 )x1 + (T11 L12 + T12 L22 )x2 + (T21 L11 + T22 L21 )x1 + (T21 L12 + T22 L22 )x2 . Assim, a matriz da composi¸caõ T L associadas às decomposi¸co˜es de E e G é dada pelo produto das matrizes de T e L, isto é, T11 T12 L11 L12 T11 L11 + T12 L21 T11 L12 + T12 L22 TL = = . T21 T22 L21 L22 T21 L11 + T22 L21 T21 L12 + T22 L22 Fazendo uso das matrizes de operadores, o seguinte lema dará uma condi¸caõ suficiente para que um operador linear seja um isomorfismo..

(27) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 15. Lema 1.3.2. Dadas as decomposi¸cões E = E1 ⊕ E2. e. F = F1 ⊕ F2 ,. sejam L ∈ L(E, F ) e L=. L11 0 L21 L22. . a matriz de operadores de L associada às decomposi¸cões de E e F , onde 0 é o operador nulo. Se L11 e L22 são isomorfismos, então L é um isomorfismo. Demonstra¸cão. Primeiro, provemos que L é injetor. De fato, fixemos x ∈ E. Da descomposi¸caõ de E, temos x = x1 + x2 , onde x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 . Suponhamos que Lx = 0. Da´ı, 0 = Lx = L11 x1 + L21 x1 + L22 x2 . Agora, L11 x1 ∈ F1 e L21 x1 + L22 x2 ∈ F2 , assim L11 x1 = 0 e L21 x1 + L22 x2 = 0. Como L11 é um isomorfismo, então x1 = 0. Da´ı, L22 x2 = 0. Portanto, x2 = 0, pois L22 também é um isomorfismo. Logo, x = 0. Este fato prova que L é injetor. Por outro lado, provemos que L é sobrejetor. Seja y ∈ F fixado. Da decomposi¸caõ de F , temos y = y1 + y2 , onde y1 ∈ F1 e y2 ∈ F2 . Já que o operador L11 é sobrejetor, existe x1 ∈ E1 tal que L11 x1 = y1 . Da´ı, L21 x1 ∈ F2 , e como L22 é também sobrejetor, existe x2 ∈ E2 tal que L22 x2 = y2 − L21 x1 . Assim, L(x1 + x2 ) = L11 x1 + L21 x1 + L22 x2 = y1 + L21 x1 + y2 − L21 x1 = y1 + y2 = y. Logo, L é sobrejetor. Em conclusão, L é um isomorfismo. De forma análoga podemos provar que L11 L12 L= 0 L22 é um isomorfismo se assim são L11 e L22 . Uma consequência imediata do lema anterior é dada no seguinte corolário. Corol´ ario 1.3.3. Nas condi¸cões do lema anterior, se L11 0 L= , 0 L22 onde L11 e L22 são isomorfismos, então L é um isomorfismo..

(28) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 16. Observa¸c˜ ao 1.3.4. Sejam E e F espa¸cos de Banach. Da Proposi¸cão 1.2.6 temos que, se E = E1 ⊕ E2 , onde E1 e E2 são subespa¸cos fechados de E, então T : E1 × E2 → E, definido por T (x1 , x2 ) = x1 + x2 é um isomorfismo. Observe que o operador PE0 1 : E1 × E2 → E1 definido por PE0 1 (x1 , x2 ) = x1 é limitado. De fato, kPE0 1 (x, y)k = kxk ≤. p kxk2 + kyk2 = k(x, y)k para (x, y) ∈ E1 × E2 .. ´ claro que PE1 = P 0 T −1 , o que prova que PE1 é uma proje¸cão limitada. E E1 Analogamente, PE2 , PF1 e PF2 são proje¸co˜es limitadas. Consequentemente, se L ∈ L(E, F ), então L11 L12 L= , L21 L22 onde Lij = PFi LPEj |Ej : Ej → Fi para i, j = 1, 2, é uma matriz de operadores limitados.. 1.4. Espa¸cos m´ etricos compactos. A compacidade em espa¸cos métricos é uma ferramenta importante para a introdu¸cão dos operadores lineares compactos entre espa¸cos de Banach, que será feita no próximo cap´ıtulo. Nesta se¸caõ veremos algumas propriedades dos espa¸cos métricos compactos. Defini¸c˜ ao 1.4.1. Seja Λ um espa¸co topológico Hausdorff. S Dizemos que {Uα }α∈J é uma cobertura aberta de Λ se Uα é aberto para todo α e Λ = α∈J Uα . Uma sub-cobertura de {Uα }α∈J é uma cobertura {Uβ }β∈S de Λ tal que, para todo β ∈ S, β = α para algum α ∈ J. Um subconjunto X de Λ é dito compacto se toda cobertura de X admite uma sub-cobertura com um n´ umero finito de elementos. Dizemos que X é completo se toda sequência de Cauchy em X é convergente em X. O seguinte teorema é uma caracteriza¸caõ dos espa¸cos métricos compactos. Podemos ver uma prova deste resultado em [18], pág. 34, Teorema 3.8. Teorema 1.4.2. Seja X um subconjunto de um espa¸co métrico M . As seguintes condi¸cões são equivalêntes. i. X é compacto. ii. Toda sequência em X possui uma subsequência convergente em X. iii. X é completo e totalmente limitado, isto é, para todo r > 0, X pode ser coberto por um n´ umero finito de bolas de raio r..

(29) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 17. O seguinte lema sobre espa¸cos métricos permite provar um corolário do teorema acima. Lema 1.4.3. Se X é um subconjunto totalmente limitado de um espa¸co métrico, ent˜ ao X é totalmente limitado. Demonstra¸cão. Seja r > 0 dado. Já que X é totalmente limitado, existe um n´ umero finito de bolas B(x1 , r/2), B(x2 , r/2), ..., B(xn , r/2), de raio r/2 e centradas nos pontos x1 , x2 , ..., xn , tais que n [ X⊆ B(xi , r/2). i=1. Assim, X⊆. n [. B(xi , r/2) =. i=1. n [. B(xi , r/2) ⊆. i=1. n [. B(xi , r).. i=1. Logo, X é totalmente limitado. Defini¸c˜ ao 1.4.4. Se diz que um subconjunto de um espa¸co topológico é relativamente compacto se seu fecho é compacto. Do Lema 1.4.3 e do Teorema 1.4.2 obtemos o seguinte corolário. A prova é imediata e portanto é omitida. Corol´ ario 1.4.5. Todo subconjunto totalmente limitado de um espa¸co métrico completo é relativamente compacto. Observa¸c˜ ao 1.4.6. Suponhamos que X e Y sejam subconjuntos compactos de um espa¸co normado E. Então, X × Y é um subconjunto compacto de E × E. Consequentemente, X + Y = {x + y : x ∈ X e y ∈ Y } é compacto, sendo a imagem do operador cont´ınuo T : X × Y → X + Y definido por T (x, y) = x + y. Veremos agora que em um espa¸co normado de dimensão infinita a esfera de raio 1 com centro na origem não é compacta. Proposi¸c˜ ao 1.4.7. Seja F um subespa¸co fechado de um espa¸co vetorial normado E com F 6= E. Seja ε > 0 fixado. Então, existe x ∈ E, com kxk = 1, tal que d(x, F ) = inf kx − yk ≥ 1 − ε. y∈F.

(30) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 18. Demonstra¸cão. Escolhamos z ∈ E que não esteja em F . Seja yo ∈ F tal que kz − yo k 6 ( inf kz − yk)(1 + ε). y∈F. Tomemos x =. z − yo . Então, para y ∈ F, temos kz − yo k z − yo z − yo − kz − yo ky − yk = k k kz − yo k kz − yo k z − (yo + kz − yo ky) 1 =k k ≥ ( inf kz − yk) y∈F kz − zo k kz − yo k kz − yo k 1 ≥ = kz − yo k(1 + ε) 1+ε ≥ 1 − ε,. kx − yk = k. e a prova é conclu´ıda. Corol´ ario 1.4.8. Seja E um espa¸co normado de dimensão infinita. Então, o conjunto S = {x ∈ E : kxk = 1} não é compacto. Demonstra¸cão. Seja ε > 0 fixado. Tomemos x1 ∈ E, com x1 6= 0, e denotemos por F1 o espa¸co gerado por x1 . Dado que F1 é fechado, da proposi¸cão anterior temos que existe x2 ∈ E de norma 1 tal que x2 não pertence a F1 e d(x2 , F1 ) ≥ 1 − ε. Seja F2 o espa¸co gerado por x1 e x2 . Assim, F2 tem dimensão 2 e portanto é fechado. Logo, existe x3 ∈ E de norma 1 tal que x3 não pertence a F2 e d(x3 , F2 ) ≥ 1 − ε. Seja F3 o espa¸co F2 ⊕ span{x3 }. Desta forma, constru´ımos uma sequência de subespa¸cos F1 ⊆ F2 ⊆ ... ⊆ Fn , onde cada Fi tem dimensão i. Como E tem dimensão infinita, temos Fn 6= E para n ∈ N. Dado que Fn é fechado, existe xn+1 ∈ E de norma 1 tal que xn+1 não pertence a Fn e d(xn+1 , Fn ) ≥ 1 − ε. Consequentemente, obtemos uma sequência (xn )∞ n=1 em S ´ claro que esta sequência não possui tal que kxn − xm k ≥ 1 − ε para todo n 6= m. E subsequência convergente. Em conclusão, S não é compacto. Por u ´ltimo vejamos as seguintes no¸co˜es. Defini¸c˜ ao 1.4.9. Seja Λ um espa¸co topológico Hausdorff. Dizemos que uma cobertura aberta {Uα }α∈J de Λ possui um refinamento localmente finito se existe uma cobertura {Vβ }β∈J 0 de Λ com a propriedade que, para todo β ∈ J 0 , existe α ∈ J tal que Vβ ⊆ Uα e, para todo x ∈ Λ, existe uma vizinhan¸ca Bx de x com Bx ∩ Vβ 6= ∅ exceto para um n´ umero finito de ´ındices β. Dizemos que Λ é paracompacto se qualquer cobertura possui um refinamento localmente finito..

(31) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES ´ fácil ver que todo espa¸co métrico compacto é paracompacto. E. 19.

(32) Cap´ıtulo 2 Operadores de Fredholm e operadores compactos Como foi dito na introdu¸caõ, esta disserta¸caõ trata da constru¸caõ do fluxo espectral para caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert reais. Para este fim, precisamos analisar algumas das propriedades básicas dos operadores de Fredholm e, inclusive, dos operadores compactos, porque a rela¸cão entre eles é muito estrita. Algumas destas propriedades são de tipo algébrico, ou seja, concernem somente a estrutura linear e portanto podem ser dadas para operadores de Fredholm em espa¸cos vetoriais. Outras propriedades, desta vez de tipo topológico, são mais logicamente analisadas em espa¸cos normados ou de Banach. Os resultados apresentados servem para conhecer os operadores de Fredholm e passar no cap´ıtulo seguinte ao ambiente dos espa¸cos de Hilbert, onde é feita a constru¸caõ do fluxo espectral. Na primeira se¸caõ deste cap´ıtulo apresentaremos várias propriedades dos operadores de Fredholm em espa¸cos vetoriais reais que têm uma natureza só algébrica. Provaremos que a soma de um operador de Fredholm e um operador com imagem de dimensão finita é um operador de Fredholm. Mostraremos que a composi¸caõ de dois operadores de Fredholm é um operador de Fredholm e que o ´ındice é igual a` soma dos ´ındices dos dois operadores. são baseados na no¸caõ de transversalidade, que é um conceito clássico da álgebra linear e da topologia diferencial. as propriedades apresentadas são conhecidas, porém não se encontram com facilidade na literatura. Resolvemos portando providenciar diretamente uma prova delas. Na segunda se¸cão definiremos os operadores de Fredholm em espa¸cos de Banach. Provaremos que a imagem de um operador de Fredholm é fechada. Os resultados mostrados para operadores de Fredholm definidos em espa¸cos vetoriais (não necessariamente normados) continuam sendo válidos para operadores de Fredholm definidos em espa¸cos de Banach. Mostraremos também que o conjunto dos operadores de Fredholm é um subconjunto aberto do espa¸co dos operadores lineares limitados e que o ´ındice definido no conjunto dos operadores de Fredholm é uma aplica¸caõ cont´ınua. 20.

(33) CAPÍTULO 2. OPERADORES DE FREDHOLM E COMPACTOS. 21. Na terceira se¸caõ lembraremos a defini¸cão e algumas das principais propriedades dos operadores compactos. O resultado mais interessante que apresentaremos nesta se¸caõ é que a soma do operador identidade e um operador compacto é um operador de Fredholm de ´ındice 0. Como consequencia obteremos na u ´ltima se¸caõ que a soma de um operador de Fredholm e um operador compacto é um operador de Fredholm. Na u ´ltima se¸caõ deste cap´ıtulo veremos uma rela¸caõ que liga os operadores de Fredholm aos operadores compactos. Daremos a defini¸cão de operadores congruentes módulo operador compacto e de operador invers´ıvel modulo operador compacto. Mostraremos que um operador é de Fredholm se, e somente se, ele é invers´ıvel módulo operador compacto. Fazendo uso deste resultado, provaremos no final do cap´ıtulo que a soma de um operador de Fredholm e um operador compacto é um operador de Fredholm.. 2.1. Operadores de Fredholm em espa¸ cos vetoriais reais. Como já dito na introdu¸cão, este trabalho trata do fluxo espectral para curvas de operadores de Fredholm auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert reais. Mesmo tendo recordados no cap´ıtulo anterior vários resultados de analise funcional e álgebra linear no corpo complexo, que por sua vez serão utilizados, focamos aqui a nossa aten¸cão sobre os operadores de Fredholm em espa¸cos (vetoriais e de Banach) em R. Esta escolha nos aproxima ao ponto central do nosso trabalho, ou seja, a constru¸cão do fluxo espectral. Nesta se¸cão E e F representarão espa¸cos vetoriais reais (de dimensão finita ou infinita). O s´ımbolo F (E, F ), ou F (E) quando F = E, denotará o subespa¸co do L(E, F ) dos operadores lineares com imagem de dimensão finita. O con´ ucleo de um operador L ∈ L(E, F ) é o espa¸co quociente F/ Im L e será denotado por coKer L. Defini¸c˜ ao 2.1.1 (Operador de Fredholm). Um operador linear L : E → F é dito de Fredholm se Ker L e coKer L têm dimensão finita. Neste caso, o seu ´ındice é o inteiro ind L = dim Ker L − dim coKer L. Observa¸c˜ ao 2.1.2. Suponhamos que E e F sejam espa¸cos de dimensão finita e que ´ claro que L é um operador de Fredholm. Além disso, do Teorema do L ∈ L(E, F ). E n´ ucleo e da imagem temos dim E = dim Ker L + dim Im L..

(34) CAPÍTULO 2. OPERADORES DE FREDHOLM E COMPACTOS. 22. Consequentemente, ind L = dim Ker L − dim coKer L = dim E − dim Im L − (dim F − dim Im L) = dim E − dim F. Claramente um isomorfismo é um operador de Fredholm de ´ındice 0. Provaremos nesta se¸caõ que, se L é um operador de Fredholm e K é um operador com imagem de dimensão finita, então a soma L + K é um operador de Fredholm do mesmo ´ındice de L. Defini¸c˜ ao 2.1.3. Dado um operador linear L : E → F , um subespa¸co F1 de F diz-se transverso a L se Im L + F1 = F . Um primeiro resultado que liga os operadores de Fredholm e a transversalidade é apresentado na seguinte proposi¸cão. Proposi¸c˜ ao 2.1.4. Sejam L : E → F um operador de Fredholm e F1 um subespa¸co de F transverso a L. Então, a restri¸cão L1 : L−1 (F1 ) → F1 , de L a L−1 (F1 ), é de Fredholm com ind L1 = ind L. ´ claro que Ker L1 está contido em Ker L, pois L1 é uma restri¸cão de Demonstra¸cão. E L. Por outro lado, se x ∈ Ker L, claramente x ∈ L−1 (F1 ), portanto Ker L ⊆ Ker L1 . Assim, Ker L = Ker L1 . (2.1.1) Tomemos um subespa¸co E1 de L−1 (F1 ) tal que L−1 (F1 ) = E1 ⊕ Ker L1 ,. (2.1.2). e um subespa¸co F2 de F1 tal que F1 = L(E1 ) ⊕ F2 .. (2.1.3). Da´ı, L(L−1 (F1 )) = L(E1 ⊕ Ker L1 ) = L(E1 ), isto é, a imagem de L1 é L(E1 ). Vejamos que F = L(E) ⊕ F2 . Dado que F1 é transverso a L, temos que, se y ∈ F , então y = y1 + y2 , onde y1 ∈ L(E) e y2 ∈ F1 (esta soma pode não ser univocamente dada). Pela igualdade dada em (2.1.3), existem z1 ∈ L(E1 ) e z2 ∈ F2 tais que y2 = z1 + z2 , e assim, y = (y1 + z1 ) + z2 . Como y1 + z1 ∈ L(E) e z2 ∈ F2 , então F = L(E) + F2 ..

(35) CAPÍTULO 2. OPERADORES DE FREDHOLM E COMPACTOS. 23. Agora, consideremos um elemento v em L(E) ∩ F2 . Seja w ∈ E tal que v = Lw. O subespa¸co F2 está contido em F1 , logo Lw ∈ F1 , isto é, w ∈ L−1 (F1 ). De (2.1.2) temos w = w1 + w2 , onde w1 ∈ E1 e w2 ∈ Ker L1 . Então, v = Lw = L(w1 + w2 ) = Lw1 , e portanto v ∈ L(E1 ). Assim, v ∈ L(E1 ) ∩ F2 e de (2.1.3) segue-se v = 0. Este fato prova que L(E) ∩ F2 = {0}. Logo, F = L(E) ⊕ F2 .. (2.1.4). A dimensão de F2 é finita, pois L é de Fredholm. As fórmulas (2.1.3) e (2.1.4) provam que dim F2 = dim coKer L = dim coKer L1 . (2.1.5) O resultado segue-se das igualdades (2.1.1) e (2.1.5). Observa¸c˜ ao 2.1.5. Nas condi¸cões da proposi¸cão anterior segue-se claramente que, se F1 tem dimensão finita, então L−1 (F1 ) tem dimensão finita. Além disso, a Observa¸cão 2.1.2 implica que o ´ındice do operador L é ind L = dim L−1 (F1 ) − dim F1 . No final desta se¸cão provaremos que a composicão de dois operadores de Fredholm é também um operador de Fredholm. No próximo lema damos a prova no caso particular das composi¸co˜es T L e LS, onde T e S são isomorfismos e L é um operador de Fredholm. Lema 2.1.6. Sejam E, F, G e H espa¸cos vetoriais. Suponhamos que L ∈ L(E, F ) seja um operador de Fredholm. Se T ∈ L(F, G) é um isomorfismo, então T L : E → G é de Fredholm com ind L = ind T L. Analogamente, se S ∈ L(H, E) é um isomorfismo, então LS : H → F é de Fredholm com ind L = ind LS. ´ fácil ver que Demonstra¸cão. Provemos a primeira parte do lema. E Ker T L = Ker L, pois T é um isomorfismo. Dado que L é de Fredholm, existe um subespa¸co de dimensão finita F2 de F tal que F = Im L ⊕ F2 . Agora, G = T (Im L) ⊕ T (F2 ) = Im T L ⊕ T (F2 )..

(36) CAPÍTULO 2. OPERADORES DE FREDHOLM E COMPACTOS. 24. Sendo T um isomorfismo, dim T (F2 ) = dim F2 . Portanto, dim coKer T L = dim T (F2 ) = dim F2 = dim coKer L. Em conclusão, T L é de Fredholm com ind L = ind T L. A prova da segunda parte do lema é análoga e portanto é omitida. A seguinte proposi¸caõ mostra uma caracteriza¸cão dos operadores de Fredholm de ´ındice 0. Proposi¸c˜ ao 2.1.7. Se L : E → F é um operador de Fredholm de ´ındice 0, existe um operador K com imagem de dimensão finita tal que L + K é um isomorfismo. Demonstra¸cão. Sejam E0 e F1 subespa¸cos de E e F , respectivamente, tais que E = E0 ⊕ Ker L. e. F = Im L ⊕ F1 .. Lembrando a constru¸cão da Se¸cão 3 do Cap´ıtulo 1, a matriz associada a L e a`s decomposi¸co˜es de E e F é dada por L00 0 L= , 0 0 onde L00 : E0 → Im L é um isomorfismo. Como L é um operador de Fredholm de ´ındice 0, temos dim Ker L = dim F1 < ∞. Portanto, existe um isomorfismo K 0 de Ker L em F1 . Se x ∈ E, então x = x0 + x1 , onde x0 ∈ E0 e x1 ∈ Ker L. Seja K : E → F definido por Kx = K(x0 + x1 ) = K 0 x1 . Assim, dim Im K = dim Im K 0 = dim F1 < ∞. Além disso, a matriz associada a K e às decomposi¸co˜es de E e F é dada por 0 0 K= . 0 K0 Consequentemente, a matriz de operadores de L + K é dada por L00 0 L+K = . 0 K0 Dado que L00 : E0 → Im L e K 0 : Ker L → F1 são isomorfismos, o Corolário 1.3.3 prova que L + K é um isomorfismo. Provaremos agora que a soma de um operador de Fredholm L e um operador K com imagem de dimensão finita é um operador de Fredholm, e que, além disso, o ´ındice de L + K é igual ao ´ındice do operador L. Primeiro vejamos o seguinte lema..

(37) CAPÍTULO 2. OPERADORES DE FREDHOLM E COMPACTOS. 25. Lema 2.1.8. Assuma que E = E1 ⊕ E2 e F = F1 ⊕ F2 . Sejam L : E → F um operador de Fredholm e A B L= C D a matriz de L associada às decomposi¸cões de E e F . Se A é invert´ıvel, então o operador D − CA−1 B ∈ L(E2 , F2 ) é de Fredholm e ind L = ind(D − CA−1 B). Demonstra¸cão. Seja T : F → F o operador associado à matriz IF1 0 T = , −CA−1 IF2 onde IF1 e IF2 são as identidades de F1 e F2 , respectivamente. Do Lema 1.3.2 temos que T é um isomorfismo. Assim, segue-se do Lema 2.1.6 que T L é de Fredholm e ind T L = ind L. Agora, TL =. IF1 0 −CA−1 IF2. . A B C D. . =. A B 0 D − CA−1 B. .. Tomemos o isomorfismo S : E → E associado a` matriz IE1 −A−1 B S= . 0 IE2 Novamente pelo Lema 2.1.6 temos que o operador T LS é de Fredholm com ind T LS = ind T L = ind L. Fazendo a composi¸caõ, obtemos A B IE1 −A−1 B A 0 T LS = = . 0 D − CA−1 B 0 IE2 0 D − CA−1 B. (2.1.6). Da´ı, F2 é transverso a T LS, pois F1 = A(E1 ) = (T LS)(E1 ) ⊆ Im(T LS). Provemos que (T LS)−1 (F2 ) = E2 . De fato, seja x ∈ E tal que T LSx ∈ F2 . Então, x = x1 + x2 , onde x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 , e T LS(x1 + x2 ) = Ax1 + (D − CA−1 B)x2 ∈ F2 . Dado que Ax1 ∈ F1 e (D − CA−1 B)x2 ∈ F2 , se segue que Ax1 = 0. Logo, x1 = 0, pois A é um isomorfismo. Portanto, x = x2 ∈ E2 . Este fato prova que (T LS)−1 (F2 ) = E2 . Da Proposi¸cão 2.1.4 conclu´ımos que (D − CA−1 B) = T LS|E2 : E2 → F2 é um operador de Fredholm com ind(D − CA−1 B) = ind T LS, o que prova o lema..