A assinatura generalizada para perturba¸c˜ oes

Nesta se¸cão estenderemos a defini¸cão da assinatura, dada na se¸cão anterior, para perturba¸cões compactas auto-adjuntas de uma simetria em um espa¸co de Hilbert real, separável de dimensão infinita, lembrando, inclusive, a defini¸cão de simetria. Além disso, veremos algumas propriedades que possui esta extensão. A assinatura generalizada será definida fazendo uso da aproxima¸cão de Galerkin para operadores em um espa¸co de Hilbert separável. Mostraremos que esta generalizacão não é invariante pela a¸cão cogradiente.

No resto do trabalho H denotará um espa¸co de Hilbert real de dimensão infinita e separável. Denotaremos por KS(H) o espa¸co dos operadores compactos auto-adjuntos

em H. Observe que KS(H) é um subespa¸co fechado de L(H), pois é a interse¸cão dos

subespa¸cos fechados K(H) e LS(H).

Sejam H− e H+ dois subespa¸cos fechados de H, de dimens˜ao infinita, ortogonais e

tais que

H = H+⊕ H−. (4.2.1)

Tomemos o operador J ∈ L(H) que tem a seguinte matriz de operadores associada `a decomposi¸c˜ao (4.2.1):

J = IH+ 0

0 −IH−

onde IH+ e IH− são as identidades de H+ e H−, respectivamente. É claro que J é um

isomorfismo auto-adjunto. Al´em disso,

H+(J ) = H+ e H−(J ) = H−.

Consequentemente, J ´e um operador fortemente indefinido, pois H+ e H− tˆem di-

mens˜ao infinita.

O operador J ´e uma simetria, isto ´e, J2 _{= I. No resto do trabalho, se n˜}_{ao temos}

ambiguidade, o termo simetria será usado para chamar operadores do tipo definido acima, denotados por J , e, além disso, H+ e H− denotarão os subespa¸cos H+(J ) e

H−(J ), respectivamente.

Sejam (e+_i )∞_i=1 e (e_i−)∞_i=1 bases de Hilbert de H+ e H−, respectivamente. Logo,

J e+ i = e + i para todo i ∈ N e J e − i = −e − i para todo i ∈ N. (4.2.2)

Para cada n´umero natural n, denotamos por Hn o subespa¸co de H de dimens˜ao 2n

gerado por (e±_i )n_i=1, isto ´e,

Hn= span{e±i : i = 1, ..., n} = {x ∈ H : x = n

i=1

Consequentemente, (e±_i )∞_i=n+1 se torna uma base de Hilbert para o espa¸co H_n⊥. Assim, para cada n´umero inteiro k ≥ 1, temos

Hn+k∩ Hn⊥ = span{e ±

i : i = n + 1, ..., n + k}. (4.2.3)

Observa¸cão 4.2.1. É fácil provar que

J (Hn) = Hn e J (Hn⊥) = H ⊥ n.

Consideremos as restri¸c˜oes

J |Hn : Hn → Hn e J |Hn+k∩Hn⊥ : Hn+k∩ H

⊥

n → Hn+k∩ Hn⊥.

Da express˜ao dada em (4.2.2) temos H+(J |Hn) = span{e + i : i = 1, ..., n} e H−(J |Hn) = span{e − i : i = 1, ..., n}. Logo,

sign(J |Hn) = dim(H+(J |Hn)) − dim(H−(J |Hn)) = 0.

Por outro lado, as igualdades (4.2.2) e (4.2.3) implicam que H+(J |Hn+k∩Hn⊥) = span{e + i : i = n + 1, ..., n + k} e H−(J |Hn+k∩Hn⊥) = span{e − i : i = n + 1, ..., n + k}. Portanto, sign(J |_H_n+k∩H⊥ n) = 0.

Como t´ınhamos falado acima, a seguir definiremos a assinatura de uma perturba¸cão compacta auto-adjunta da simetria J usando a aproxima¸cão de Galerkin de operadores em espa¸cos de Hilbert separáveis.

Defini¸c˜ao 4.2.2. Seja Pn a proje¸c˜ao ortogonal de H sobre Hn. Para um operador

L ∈ L(H) e um inteiro positivo n, o operador Ln : Hn→ Hn definido como a restri¸c˜ao

de PnL ao subespa¸co Hné chamado de n-ésima aproxima¸cão de Galerkin de L.

Daqui à frente, se não se diz o contrario, a n-ésima aproxima¸cão de Galerkin será tomada a respeito dos subespa¸cos Hn e das bases (e±i )

∞

i=n+1 dadas anteriormente.

Observe que, se x ∈ H, ent˜ao x = ∞ X n=1 (ane+n + bne−n) = lim n→+∞Pnx,

isto é, a sequência (Pn)∞n=1 converge pontualmente a I. Não é dif´ıcil provar que

kPn− Pmk = 1 para todo n, m ∈ N, com n 6= m.

Consequentemente, (Pn)∞n=1 n˜ao converge a I em L(H). Por´em, (Pn)∞n=1 converge

uniformemente a I em qualquer subconjunto compacto de H. Para mostrar este fato, vejamos primeiro o seguinte lema.

Lema 4.2.3. Sejam (Tn)∞n=1 uma sequˆencia de operadores em L(E, F ) e T ∈ L(E, F ),

onde E e F s˜ao espa¸cos de Banach. Suponhamos que exista M > 0 tal que kTnk ≤ M

para todo n ∈ N. Se Tnx → T x para todo x ∈ E, ent˜ao Tn converge uniformemente a

T em qualquer subconjunto compacto de E, isto ´e, sup

x∈C

kTnx − T xk → 0 quando n → ∞

para qualquer subconjunto compacto C de E.

Demonstra¸cão. Já que C é um subconjunto compacto de E, ele é totalmente limitado (Teorema 1.4.2), isto é, para qualquer ε > 0, existe um número finito de elementos x1, x2, ..., xm em C tais que C ⊆ ∪mi=1B(xi, ε), onde B(xi, ε) é a bola com centro em xi

e raio ε. Dado que, para i = 1, 2, ...m, Tnxi → T xi quando n → ∞, existe um n´umero

ni ∈ N, em correspondˆencia a xi, tal que

kTnxi− T xik < ε para n > ni.

Sejam x ∈ C e n > max{ni : i = 1, 2, ..., m}. Como C ⊆ ∪mi=1B(xi, ε), temos que

kx − xik < ε para algum xi. Consequentemente,

kTnx − T xk ≤ kTnx − Tnxik + kTnxi− T xik + kT xi− T xk ≤ kTnkkx − xik + ε + kT kkx − xik ≤ M ε + ε + kT kε = (M + 1 + kT k)ε. Logo, sup x∈C kTnx − T xk → 0 quando n → ∞,

o que prova o lema.

Dado que cada uma das proje¸c˜oes Pn tem norma 1 e que a sequˆencia (Pn)∞n=1

converge pontualmente a I, se segue do lema anterior que esta sequência converge uniformemente a I em qualquer subconjunto compacto de H. O seguinte lema é uma consequência do fato anterior.

Lema 4.2.4. Se K ´e um operador compacto, a sequˆencia (PnK)∞n=1 converge unifor-

memente a K em L(H).

Demonstra¸cão. Tomemos C = K(B), onde B é a bola de raio 1 e centro em 0 ∈ H. Seja ε > 0 fixado. Dado que C é compacto, do lema anterior se segue que existe um inteiro positivo N tal que, se n ≥ N, então sup_y∈Cky − Pnyk < ε. Portanto, se n ≥ N,

kK − PnKk = sup x∈B k(K − PnK)xk = sup x∈B k(I − Pn)Kxk = sup y∈K(B)

k(I − Pn)yk = sup y∈C

ky − Pnyk < ε.

A proposi¸cão que apresentaremos a seguir é fundamental para a defini¸cão da assinatura de uma perturba¸cão compacta auto-adjunta da simetria J .

Proposi¸c˜ao 4.2.5. Sejam L = J + K ∈ GLS(H) uma perturba¸c˜ao compacta auto-

adjunta de J e, para n natural, Ln a n-ésima aproxima¸cão de Galerkin de L. Então,

existe um inteiro positivo N tal que sign Ln ´e independente de n ≥ N .

Demonstra¸c˜ao. Provemos que existe um inteiro positivo N tal que, para n ≥ m ≥ N e 0 ≤ t ≤ 1, o operador

Jn,m(t) = t[J + PnK]|Hn+ (1 − t)[J + PmKPm]|Hn : Hn→ Hn (4.2.4)

e invers´ıvel, onde Hn ´e o subespa¸co definido acima. Supondo por absurdo que n˜ao

exista tal N , ent˜_{ao, para cada k ∈ N, existem t}k ∈ [0, 1] e duas sequˆencias estritamente

crescentes de inteiros positivos, (mk)∞k=1 e (nk)∞k=1, tais que nk ≥ mk e, al´em disso,

Jnk,mk(t) : Hnk → Hnk

n˜ao ´e invers´ıvel. Logo, para cada k, existe um vetor unk em Hnk, que podemos pegar

sem perda de generalidade de norma 1, tal que

tkJ unk + PnkKunk + (1 − tk)J unk + (1 − tk)PmkKPmkunk = 0.

Assim,

J unk + tkPnkKunk + (1 − tk)PmkKPmkunk = 0 para todo k. (4.2.5)

Pela compacidade de [0, 1], podemos supor que tk → t ∈ [0, 1].

O Teorema 2.3.10 implica que

−tJ−1_{K − (1 − t)J}−1_{K = −J}−1_K

e um operador compacto. Logo, da Proposi¸c˜ao 2.3.4 obtemos que −tJ−1Kunk − (1 − t)J

−1

Kunk = −J

−1

Kunk

possui uma subsequˆencia, `a qual podemos dar o mesmo nome sem perda de generalidade, convergente a algum u ∈ H.

Como consequˆencia do Lema 4.2.4 temos que −tkJ−1PnkK − (1 − tk)J

−1_P

mkKPmk

converge uniformemente a −tJ−1K − (1 − t)J−1K. Da´ı, dado ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que, se k ≥ N ,

k − tJ−1K − (1 − t)J−1K − (−tkJ−1PnkK − (1 − tk)J

−1

Logo, como −tJ−1K − (1 − t)J−1K = −J−1K, k − J−1Kunk − (−tkJ −1 PnkK − (1 − tk)J −1 PmkKPmk)unkk ≤ k − J−1K − (−tkJ−1PnkK − (1 − tk)J −1 PmkKPmk)kkunkk = k − J−1K − (−tkJ−1PnkK − (1 − tk)J −1 PmkKPmk)k < ε.

Este fato implica que −tkJ−1PnkKunk − (1 − tk)J

−1_P mkKPmkunk converge a u. De (4.2.5) se segue que unk = −tkJ −1 PnkKunk − (1 − tk)J −1 PmkKPmkunk para todo k. (4.2.6)

Assim, unk converge a u, que se torna portanto de norma 1.

Do Lema 4.2.4 obtemos que a sequˆencia J + tkPnkK + (1 − tk)PmkKPmk converge

uniformemente a J + tK + (1 − t)K = J + K. Portanto, dado que unk converge a u,

J unk+ tkPnkKunk + (1 − tk)PmkKPmkunk converge a J u + Ku.

J´a que J unk+ tkPnkKunk+ (1 − tk)PmkKPmkunk = 0 para todo k, ent˜ao J u + Ku = 0,

contradizendo o fato de que J + K é invers´ıvel. Em conclusão, existe N > 0 tal que, para n ≥ m ≥ N e 0 ≤ t ≤ 1, o operador Jn,m(t) definido em (4.2.4) é um isomorfismo.

Consideremos portanto um inteiro positivo N tal que, para n ≥ m ≥ N e 0 ≤ t ≤ 1, o operador Jn,m(t) definido na f´ormula (4.2.4) seja invers´ıvel. Sejam n ≥ m ≥ N

n´umeros fixos. Os operadores

[J + PnK]|Hn = [J + PnKPn]|Hn : Hn → Hn e [J + PmKPm]|Hn : Hn → Hn

s˜ao auto-adjuntos, pois J , PnKPn e PmKPm s˜ao auto-adjuntos. Consequentemente,

Jn,m(t) : Hn → Hn ´e um caminho de isomorfismos auto-adjuntos. Pela continuidade

da assinatura se segue sign Jn,m(0) = sign Jn,m(1), isto ´e,

sign([J + PmKPm]|Hn) = sign([J + PnK]|Hn) = sign([Pn(J + K)]|Hn) = sign Ln.

E claro que Hm e Hn∩ Hm⊥ s˜ao invariantes por J + PmKPm, pois s˜ao invariantes

por J e PmKPm. Como Hn = Hm⊕ [Hn∩ Hm⊥], do Lema 4.1.5 e da Observa¸c˜ao 4.2.1

temos

sign([J + PmKPm]|Hn) = sign([J + PmKPm]|Hm) + sign([J + PmKPm]|Hn∩Hm⊥)

= sign Lm+ sign([J ]|Hn∩Hm⊥+ [PmKPm]|Hn∩Hm⊥)

= sign Lm+ sign([J ]|Hn∩Hm⊥)

= sign Lm.

Como consequˆencia obtemos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 4.2.6. Seja L = J + K ∈ GL(H) uma perturba¸cão compacta auto-adjunta de J . Então, sua assinatura, denotada por signJ(L, (ei±)∞i=1), é definida por

sign_J(L, (ei±)∞i=1) = lim_n→∞sign Ln.

Provemos que a Defini¸c˜ao 4.2.6 n˜ao depende da escolha das bases de H+ e H−. De

fato, sejam (_ee+_i )∞_i=1 e (e_e−_i )∞_i=1 outras bases de Hilbert de H+ e H−, respectivamente.

Sejam O+: H+→ H+ e O− : H− → H− os operadores ortogonais definidos por

O+ee

i = ei+ e O−ee

−

i = ei− para todo i ∈ N.

Tomemos O ∈ L(H) definido por

O_ee±_i = O±_ee±_i = ei± para todo i ∈ N.

Não é dif´ıcil provar que O é ortogonal.

Mostremos que O−1J O = J . De fato, seja x = P∞

i=1(aiee + i + biee − i ) ∈ H fixado. Da´ı, O−1J Ox = O−1J (O ∞ X i=1 (aiee + i + biee − i )) = O −1_{J (} ∞ X i=1 (aie+i + bie−i )) = O−1( ∞ X i=1 (aie+i − bie−i )) = ∞ X i=1 (aiee + i − biee − i ) = J ( ∞ X i=1 (aiee + i + biee − i )) = J x,

isto ´e, O−1J Ox = J x para todo x ∈ H.

Denotemos por eHn o espa¸co gerado por {ee

k : 1 ≤ k ≤ n} e por ePn a proje¸c˜ao

ortogonal sobre eHn. Da defini¸c˜ao de O temos Hn = O( eHn). Logo, as restri¸c˜oes

O : eHn → Hn e O−1 : Hn → eHn s˜ao bem definidas e, al´em disso, isomorfismos.

Observe que O ePn|Hen = PnO|Hen. De fato, se x ∈ eHn, ent˜ao Ox ∈ Hn. Consequente-

mente,

O ePnx = Ox = PnOx para todo x ∈ eHn.

Por outro lado, vejamos que O−1Pn = ePnO−1. Seja x ∈ H fixado. Da´ı, x =

x1+ x2 ∈ Hn⊕ Hn⊥, onde x1 ∈ Hn e x2 ∈ Hn⊥. Portanto, O −1_x 1 ∈ eHn e O−1x2 ∈ eHn⊥. Assim, e PnO−1(x1+ x2) = ePnO−1x1+ ePnO−1x2 = O−1x1 = O−1Pnx1 = O−1Pn(x1+ x2),

Dado que O−1 = O∗, o operador compacto O−1KO ´e auto-adjunto. Logo, da Proposi¸c˜ao 4.2.5 se segue que existe n suficientemente grande tal que

sign_J(J + K, (ei±)∞i=1) = sign([J + PnKPn]|Hn) (4.2.7)

sign_J(J + O−1KO, (_ee±_i )∞_i=1) = sign([J + ePnO−1KO ePn]|Hen).

J´a que O−1Pn= ePnO−1 e O ePn|Hen = PnO|Hen, do Lema 4.1.4 temos

Como na prova da Proposi¸c˜_{ao 4.2.5, temos que existe N ∈ N tal que, se n > N e} 0 6 t 6 1,

J + t ePnK ePn+ (1 − t) ePnO−1KO ePn: eHn→ eHn

e um isomorfismo auto-adjunto. A continuidade da assinatura (ver Proposi¸c˜ao 4.1.7) implica que

sign([J + ePnK ePn]|Hen) = sign([J + ePnO

−1

KO ePn]|Hen). (4.2.9)

Assim, de (4.2.7), (4.2.8) e (4.2.9) temos

sign_J(J + K, (ei±)∞i=1) = sign([J + PnKPn]|Hn) = sign([J + ePnK ePn]|Hen),

isto ´e,

sign_J(J + K, (ei±)∞i=1) = signJ(J + K, (ee

± i )

∞ i=1).

Este fato prova que a Defini¸c˜ao 4.2.6 n˜ao depende das bases escolhidas para H+ e H−,

respectivamente. Consequentemente, daqui `a frente denotaremos simplesmente por signJ(J + K)

a assinatura generalizada do operador J + K.

O seguinte resultado é consequência da independência da assinatura da escolha das bases de H+ e H−.

Proposi¸cão 4.2.7. Seja K ∈ L(H) um operador auto-adjunto com imagem de di- mensão finita. Suponhamos que V seja um subespa¸co de dimensão finita de H, invariante por J e tal que Im K ⊆ V. Então,

sign_J L = sign([J + K]|V) − sign([J ]|V), (4.2.10)

Demonstra¸c˜ao. De fato, tomemos uma base {v1, v2, ..., vs} de V. Consideremos bases

de Hilbert (e±_i )∞_i=1 de H±. Assim,

vk= ∞ X i=1 xk_ie+_i + ∞ X i=1 y_ike−_i para k = 1, 2, ..., s. Sejam v_k+ = ∞ X i=1 xk_ie+_i ∈ H+ e vk−= ∞ X i=1 y_ike−_i ∈ H− para k = 1, 2, ..., s.

Pelo processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt, para k = 1, 2, ..., s, existem vetores ortonormais u+_k ∈ H+ e u−k ∈ H− tais que

span{u±_k : k = 1, 2, ..., s} = span{v_k±: k = 1, 2..., s}. Portanto, V ´e um subespa¸co de eHs= eH+s ⊕ eH−s, onde

H_±s = span{u±_k : k = 1, ..., s}. Podemos estender as bases de eHs

± a bases de Hilbert de H±. Denotaremos por eHn

o espa¸co gerado pelos n primeiros termos das novas bases de H±. Seja n ≥ s tal que

sign_J(J + K) = sign([J + K]|

e Hn).

Ponhamos V_n⊥ = V⊥∩ eHn. Assim, eHn = V ⊕ Vn⊥. Observe que V ⊥

n ´e invariante

por J . De fato, seja x ∈ V_n⊥ fixado. Dado que V ´e invariante por J , para todo y ∈ V, temos que J y ∈ V. Da´ı,

hJ x, yi = hx, J∗yi = hx, J yi = 0 para todo y ∈ V, isto ´e, J x ∈ V⊥∩ eHn = Vn⊥.

Sejam PV : eHn → V e PV⊥

n : eHn → V

⊥

n as proje¸c˜oes ortogonais sobre V e Vn⊥,

respectivamente. Se x ∈ eHn, ent˜ao x = v + v⊥, onde v ∈ V e v⊥ ∈ Vn⊥. J´a que V e V ⊥ n

s˜ao invariantes por J , se segue que PV⊥

n J v = 0 e PVJ v

⊥ _{= 0. Como a imagem de K}

est´a contida em V , temos que PV⊥

nKv = 0 e PVn⊥Kv ⊥_{= 0. Ent˜}_ao, (J + K)x = (PV + PV⊥ n )(J + K)(PV + PVn⊥)x = PV(J + K)v + PV(J + K)v⊥+ PV⊥ n (J + K)v + PVn⊥(J + K)v ⊥ = PV(J + K)v + PVKv⊥+ PV⊥ n J v ⊥ . Se segue do Corol´ario 3.2.10 que Kv⊥= 0. Da´ı,

(J + K)(v + v⊥) = PV(J + K)v + PV⊥ n J v

Logo, a matriz de operadores da restri¸c˜ao [J + K]|

Hn : eHn → eHn associada `a decom-

posi¸c˜ao eHn= V ⊕ Vn⊥ ´e dada por

[J + K]|_H_e n = [J + K]|V 0 0 [J ]|V⊥ n . O Lema 4.1.5 implica que

sign([J + K]|_H_e

n) = sign([J + K]|V) + sign([J ]|Vn⊥).

o que prova a proposi¸c˜ao.

Se um operador L pode ser escrito como uma perturba¸c˜ao auto-adjunta compacta de duas simetrias J e J0 poder´ıamos ter sign_J0L 6= sign_J L. Este fato ´e mostrado

no seguinte exemplo, onde, inclusive, provamos que signJ L não é invariante pela a¸cão

cogradiente.

Exemplo 4.2.8. Seja J0 ∈ Φi

S(H) uma simetria tal que, para uma base de Hilbert

{ei : −∞ < i < ∞} de H,

H+(J0) = span{ei : i ≥ 0} e H−(J0) = span{ei : i ≤ −1}.

Seja S : H → H definido por

Sei = ei−1 para − ∞ < i < ∞.

Observe que S ´e ortogonal (S leva base ortonormal a base ortonormal). Tomemos J00 _{= S}∗_J0_{S. Assim,}

J00ei = ei se i ≥ 1 e J00ei = −ei se i ≤ 0.

Portanto, J00 ´e uma simetria em Φi_S(H), onde

H+(J00) = {ei : i ≥ 1} e H−(J00) = {ei : i ≤ 0}.

Seja K : H → H o operador tal que

E fácil ver que J0 = J00− K. A imagem de K, que é o subespa¸co H0 = span{e0}, é

invariante por J00. Da Proposi¸c˜ao 4.2.7 se segue

signJ00J0 = sign_J00(J00− K) = sign([J00− K]|_H₀) − sign([J00]|_H₀).

Como (J00 − K)e0 = J0e0 = e0, ent˜ao sign([J00− K]|H0) = 1. Agora, J

00_e

0 = −e0.

Assim, sign([J00]|H0) = −1. Da´ı,

signJ00J0 = 2 6= 0 = sign_J00J00.

Na Proposi¸c˜ao 4.2.11 apresentaremos uma outra propriedade da assinatura generalizada, que tem a ver com o produto direto de dois operadores em espa¸cos de Hilbert. Para este fim, vejamos primeiro os seguintes resultados.

Sejam H1 e H2 dois espa¸cos de Hilbert reais. Consideremos o espa¸co de Hilbert

H1×H2com o produto interno definido em (3.1.1). De (3.2.1) temos que, se L1 ∈ L(H1)

e L2 ∈ L(H2), ent˜ao (L1, L2)∗ = (L∗1, L∗2).

Lema 4.2.9. Se L1 ∈ L(H1) e L2 ∈ L(H2) s˜ao operadores auto-adjuntos, ent˜ao

H+(L1, L2) = H+(L1) × H+(L2), H+(L1, L2) = H+(L1) × H+(L2)

e Ker(L1, L2) = Ker L1× Ker L2.

Demonstra¸c˜ao. De fato,

(L1, L2)(H+(L1) × H+(L2)) = L1(H+(L1)) × L2(H+(L2)) ⊆ H+(L1) × H+(L2),

isto ´e, H+(L1) × H+(L2) ´e invariante por (L1, L2).

Por outro lado, se (x1, x2) ∈ H+(L1) × H+(L2), com x1, x2 6= 0, de (3.1.1) temos

h(L1, L2)(x1, x2), (x1, x2)i = h(L1x1, L2x2), (x1, x2)i = hL1x1, x1i + hL2x2, x2i > 0.

Portanto, (L1, L2) ´e definido positivo em H+(L1) × H+(L2).

Analogamente, H−(L1) × H−(L2) é invariante por (L1, L2) e, além disso, (L1, L2) é

definido negativo em H−(L1) × H−(L2).

E f´acil ver que

Ker(L1, L2) = Ker L1× Ker L2.

Consequentemente, o Teorema 3.3.19 implica que H+(L1, L2) = H+(L1)×H+(L2) e

H−(L1, L2) = H−(L1)×H−(L2).

Lema 4.2.10. Se P1 : H1 → H1 e P2 : H2 → H2 s˜ao proje¸c˜oes ortogonais sobre

Im P1 e Im P2, respectivamente, então (P1, P2) : H1× H2 → Im P1× Im P2 é a proje¸cão

Demonstra¸c˜ao. ´E claro que Im(P1, P2) = Im P1× Im P2. Agora,

(P1, P2)2 = (P1, P2)(P1, P2) = (P1P1, P2P2) = (P1, P2),

isto é, (P1, P2) é uma proje¸cão. Por outro lado, dado que

(P1, P2)∗ = (P1∗, P ∗

2) = (P1, P2),

(P1, P2) é auto-adjunto. Consequentemente, a Proposi¸cão 3.2.13 implica que (P1, P2) é

a proje¸c˜ao ortogonal sobre Im P1× Im P2.

Observe que, se J1 e J2 s˜ao simetrias em H1 e H2, respectivamente, ent˜ao (J1, J2)

e uma simetria em H1×H2. De fato,

(J1, J2)2 = (J1, J2)(J1, J2) = (J12, J 2

2) = (IH1, IH2) = IH1×H2 (4.2.11)

e, al´em disso, o Lema 4.2.9 implica que

H+(J1, J2) = H+(J1)×H+(J2) e H−(J1, J2) = H−(J1) × H−(J2).

Por outro lado, do Lema 2.3.8 temos que o produto direto de operadores compactos ´

e compacto.

Proposi¸c˜ao 4.2.11 (Assinatura do produto). Sejam L1 = J1+ K1 ∈ GL(H1) e L2 =

J2 + K2 ∈ GL(H2) perturba¸c˜oes compactas auto-adjuntas das simetrias J1 ∈ ΦiS(H1)

e J2 ∈ ΦiS(H2), respectivamente. Ent˜ao,

sign_(J₁_,J₂₎[(J1, J2) + (K1, K2)] = signJ1(J1+ K1) + signJ2(J2+ K2).

Demonstra¸c˜ao. Sejam (e±_1,i)∞_i=1 e (e±_2,i)∞_i=1 bases de Hilbert para H±(J1) e H±(J2), res-

pectivamente. Consideremos os subespa¸cos

H1,n = span{e±1,i : i = 1, ..., n} e H2,n= span{e±2,i : i = 1, ..., n}.

Denotemos por L1,n e L2,n as n-´esimas aproxima¸c˜oes de Galerkin de L1 e L2, respec-

tivamente, com respeito as bases dadas acima. Ent˜ao, L1,n = P1,nL1 e L2,n = P2,nL2,

onde P1,n e P1,ns˜ao as proje¸c˜oes sobre H1,n e H2,n, respectivamente. Se segue do lema

anterior que (P1,n, P2,n) ´e a proje¸c˜ao sobre H1,n× H2,n. Logo,

(L1,n, L2,n) = (P1,nL1, P2,nL2) = (P1,n, P2,n)(L1, L2),

isto é, (L1,n, L2,n) é a proje¸cão de Galerkin do operador (L1, L2).

Seja n um inteiro positivo tal que sign_J

Do Lema 4.1.5 temos

sign(L1,n, L2,n) = sign L1,n+ sign L2,n= signJ1(J1+ K1) + signJ2(J2+ K2).

Assim,

sign_(J₁_,J₂₎[(J1, J2) + (K1, K2)] = lim

n→∞sign(L1,n, L2,n)

= sign_J₁(J1+ K1) + signJ2(J2+ K2),

o que prova a proposi¸c˜ao.

No documento O fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos em espaços de Hilbert (páginas 105-116)