UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
Realimentação de Estados baseada em
Regras Fuzzy Tipo-2 para Servocontrole de
Sistemas Não Lineares
Missilene da Silva Farias
Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas), como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutora em Ciências.
Número de ordem: D262
Natal, RN, dezembro de 2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Farias, Missilene da Silva.
Realimentação de estados baseada em regras fuzzy tipo-2 para servocontrole de sistemas não lineares / Missilene da Silva Farias. - 2020.
148 f.: il.
Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação, Natal, RN, 2020.
Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo. 1. Lógica fuzzy tipo-2 - Tese. 2. Realimentação de estados - Tese. 3. Servocontrole - Tese. 4. Sistemas não lineares - Tese. 5. Base de regras fuzzy - Tese. I. Araújo, Fábio Meneghetti Ugulino de. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 004.312
À Deus, e aos meus pais: Josefa Soares da Silva e Agustinho Miguel Farias.
“...A vitória, todavia, nem sempre é de quem se empenha mais, assim como a derrota nem sempre é do arrogante.... este será um duelo entre dois hábeis espadachins: um, que possui aptidão natural e é arrogante; o outro, que sabe de suas limitações e se empenhou em polir a própria habilidade... o segundo, não nasceu com o dom. Nada nele lembra a displicência do gênio que confia cegamente em seu talento. Ele sabe que é um homem comum e por isso se empenha incessantemente em polir suas habilidades. A agonia por que passa nesse processo só ele sabe. E quando, em determinado momento, essa habilidade alcançada com tanto custo explode em cores, o povo diz que a pessoa tem aptidão natural...” (Musashi por Eiji Yoshika)
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Agradecimentos
Ao Senhor, meu Deus, por seu amor infinito. À minha família pelo exemplo e compreensão. A Ronualdo por todo apoio e incentivo.A todos os companheiros de laboratório, especialmente Mário, Alcemy, Ícaro, André Luiz e Willians pela amizade e por toda ajuda.
Ao meu orientador Fábio Meneghetti pela paciência, incentivo e dedicação.
Às minhas queridas amigas Fernanda Mittelbach, Sofia Coradini, Sarah Ariane, Tatiane Andrade e Beatriz Libânio, por me apoiarem sempre e entenderem minha ausência.
Aos professores Nuriel, Lara e Magson pela compreensão e torcida.
A todos que de alguma maneira contribuíram para realização desse trabalho. Muito obrigada a todos!
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Resumo
Muitas pesquisas usam modelos fuzzy Takagi-Sugeno para representar com precisão sistemas dinâmicos não lineares. No entanto, modelos fuzzy Takagi-Sugeno tornam a implementação do controlador fuzzy mais complexa à medida que a ordem do sistema e as não linearidades aumentam. Assim, o presente trabalho tem como objetivo superar essas limitações usando um sistema baseado em regras fuzzy tipo-2 intervalar, no qual as funções de pertinência e o número de regras podem ser escolhidas livremente, simplificando a implementação da técnica. Para esse fim, é estabelecido um servocontrole fuzzy tipo-2 direto por realimentação de estados para gerar a ação de controle não linear usando técnicas de compensação paralela distribuída, sem a necessidade de incluir modelos fuzzy para descrever o sistema dinâmico. A estratégia proposta é aplicada a um gerador síncrono e também a um sistema de levitação magnética. A partir dos resultados, verificou-se que o servocontrolador fuzzy proposto é capaz de estabilizar os sistemas analisados em diferentes pontos de equilíbrio, com maior desempenho e menor tempo de estabilização em relação aos demais servocontroladores analisados, dadas as incertezas no modelo linearizado. De fato, o sistema de controle fuzzy desenvolvido provou ser uma maneira adequada e eficaz de realizar essa tarefa, uma vez que o controle lógico fuzzy em si não depende de um modelo preciso.
Palavras-chave: Lógica fuzzy tipo-2, realimentação de estados, servocontrole, sistemas não lineares, base de regras fuzzy.
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Abstract
Many researches use Takagi-Sugeno fuzzy models to accurately represent nonlinear dynamic systems. However, Takagi-Sugeno fuzzy makes the implementation of fuzzy controller more complex as system order and nonlinearities increase. Thus, the present work is aimed to overcome these limitations by using an interval type-2 fuzzy rule-based system in which the membership functions and the number of rules can be freely chosen simplifying the implementation of the technique. To this end, it is established a direct state feedback servo control to generate the nonlinear control action using parallel distributed compensation techniques with no need to include fuzzy models to describe the dynamic system. The proposed strategy is applied to a synchronous generator and also to a magnetic levitation system. From the results, it was verified that the proposed fuzzy servo control is able to stabilize the systems analyzed at different equilibrium points with higher performance and less settling times compared to the other servo controllers analyzed, given the uncertainties in the linearized model. In fact, the developed fuzzy control proved to be a proper way to accomplish this task, because fuzzy logic control itself does not depend on an accurate model.
Key Words: Type-2 fuzzy logic, state feedback, servo control, nonlinear systems, fuzzy rule-base.
v
Lista de Figuras
2.1. Conjuntos clássicos versus conjuntos fuzzy ... 30
2.2. Conjunto fuzzy tipo-2 representado em duas dimensões ... 32
2.3. Conjunto fuzzy tipo-2... 34
2.4. Exemplo de uma FOU e suas funções de pertinências primária superior e inferior ... 34
2.5. Grau de pertinência secundário, funções de pertinência primária e secundária de um conjunto fuzzy T2 ... 35
2.6. Exemplo de função de pertinência fuzzy triangular T2 intervalar ... 36
3.1. Diferença entre MF T1 e MF T2I utilizadas ... 57
3.2. SBRF T2I proposto... 58
4.1. Esquema da planta MAGLEV... 63
4.2. MFs T2 utilizadas para caracterizar 𝑥 (𝑡)... 71
4.3. MFs T2 utilizadas para caracterizar 𝑣̇ (𝑡) ... 71
4.4. MFs T2 usadas para caracterizar 𝛿(𝑡)... 81
4.5. MFs T2 usadas para caracterizar 𝑣̇ (𝑡)... 81
5.1. Desempenho do SBRF T1 em relação a controladores de realimentação de estados padrão para o Estudo de Caso 1 ... 86
5.2. Desempenho do SBRF T1 em relação ao SBRF T2I para o Estudo de Caso 1 ... 88
5.3. Desempenho do SBRF T2I em relação ao uso do modelo T-S para o Estudo de Caso 1 ... 90
vi 5.4. Desempenho do SBRF T1 para o controle de 𝛿(𝑡) em relação a controladores de realimentação de estados padrão para o Estudo de Caso 2 ... 92 5.5. Desempenho do SBRF T1, para o controle de 𝜓 (𝑡), em relação a controladores de realimentação de estados padrão para o Estudo de Caso 2 ... 93 5.6. Tensão terminal 𝑉 (𝑡) usando o SBRF T1 em relação ao uso de controladores de realimentação de estados padrão para o Estudo de Caso 2 ... 94 5.7. Desempenho do SBRF T1, no controle de 𝛿(𝑡), em relação ao SBRF T2I para o Estudo de Caso 2 ... 95 5.8. Desempenho do SBRF T1, no controle de 𝜓 (𝑡), em relação ao SBRF T2I para o Estudo de Caso 2 ... 96 5.9. Tensão terminal 𝑉 (𝑡) usando o SBRF T1 em relação ao uso do SBRF T2I para o Estudo de Caso 2 ... 97
vii
Lista de Quadros
4.1. Pontos quiescentes (𝑥 , 𝑖 ) definidos ...66 4.2. MFs T1 dos cunjuntos fuzzy T1 usadas para caracterizar a posição da esfera 𝑥 (𝑡) e o erro 𝑣̇ (𝑡)... 68 4.3. MFs T2 dos conjuntos fuzzy T2 usadas para caracterizar a posição da esfera 𝑥 (𝑡) e o erro 𝑣̇ (𝑡) ... 70 4.4. Lista dos principais símbolos utilizados no Estudo de Caso 2 ... 73 4.5. Valores dos parâmetros utilizados nas simulações ... 76
4.6. Valores dos parâmetros de simulação utilizados no Estudo de Caso 2.... 77
4.7. Pontos quiescentes (𝛿 , 𝜓 ) usados...78 4.8. MFs T2 usadas para caracterizar 𝛿(𝑡) e 𝑣̇ (𝑡) ... 82
ix
Lista de Tabelas
5.1. Indicadores de desempenho obtidos em relação à saída 𝑥 (𝑡) do MAGLEV
...
89 5.2. Indicadores de desempenho obtidos em relação à saída 𝛿(𝑡) do Gerador Síncrono ... 98 5.3. Indicadores de desempenho obtidos em relação à saída 𝜓 (𝑡) do Gerador Síncrono ... 98xi
Lista de Símbolos
𝑡 instante de tempo
𝑥 variável fuzzy de entrada qualquer
𝑈 universo de discurso de uma variável fuzzy 𝑥 qualquer 𝑈 universos de discurso das variáveis fuzzy 𝑥
𝑋 subconjunto de uma variável fuzzy 𝑥 ⊂ 𝑈 𝑋 subconjuntos das variáveis fuzzy 𝑥 ⊂ 𝑈
𝜇 (𝑥) função de pertinência que caracteriza a variável fuzzy 𝑥 no subconjunto 𝑋, tal que 𝜇 (𝑥): 𝑈 → 1
𝑓 (𝑥) função de pertinência
à conjunto fuzzy T2 em um universo de discurso 𝑋 𝑢 grau primário ∈ [0,1] da função de pertinência primária 𝜇Ã(𝑥, 𝑢) grau secundário ∈ [0,1] da função de pertinência secundária 𝐽 subconjunto de 𝑥 dentro do intervalo [0,1]
𝑌 saída da 𝑖-ésima regra em um SIF Sugeno
𝐴 conjuntos fuzzy T2 antecedentes, com 𝑘 = 1, … , 𝑒, em um SIF Sugeno
𝑒 número de antecedentes em um SIF Sugeno
𝐶 conjuntos fuzzy T1 consequentes, com 𝑗 = 1, … , 𝑟, em um SIF Sugeno
xii 𝑝 , … , 𝑝 número de funções de pertinência
𝑅 grau de ativação da 𝑗-ésima regra. Corresponde ao grau de pertinência de uma variável fuzzy 𝑥 na 𝑗-ésima regra
𝜇 𝑤-ésimo graus de pertinência da relação 𝑅 sobre 𝑈 , 𝑈 , . . . , 𝑈 𝑅 vetor de pertinências em ℜ , consistindo nos valores
de 𝑅: 𝜇 → [0,1]
𝑤 dimensão da base de regras
ℜ dimensão do vetor de pertinências 𝑅 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑋) conjunto suporte de 𝑋
𝑦 𝑝-ésima saída de interesse
𝑣̇ sinal de erro da 𝑝-ésima saída de interesse
P sobrescrito para referir-se à p-ésima saída de interesse 𝑗 sobrescrito para referir-se à 𝑗-ésima regra
𝑚𝐿 matriz de limites extremos para ajuste inicial dos controladores locais para a 𝑗-ésima regra
𝑚𝑒𝑑(𝑚𝐿𝑗) média aritmética dos elementos da matriz 𝑚𝐿
𝑢 sinal de controle fuzzy global
𝑍 ∈ ℱ(ℜ ) vetor contendo as contribuições de controle de todas as regras da base de regras do SBRF
𝑍 contribuição de controle da 𝑗-ésima regra sobre 𝑈 , 𝑈 , . . . , 𝑈 𝜑 variáveis fuzzy de entrada
𝑣 integral do erro 𝑣̇ Erro
xiii 𝐾(𝛼) controlador local calculado para a região de equilíbrio 𝛼
𝐾(𝛼) controlador local 𝐾(𝛼) atribuído à consequência da 𝑗-ésima regra 𝐾 matriz 𝑚 × 𝑛 dos ganhos de realimentação para estados
𝐾 matriz 𝑚 × 𝑝 dos ganhos de realimentação para os sinais de erro 𝐾 matriz 𝑚 × 𝑝 dos ganhos de realimentação para as saídas do
sistema
𝑐 matriz 𝑚 × 𝑝 dos ganhos de realimentação para as constantes de integração
𝑢 sinal de controle fuzzy com base nas funções de pertinência inferiores
𝑢 sinal de controle fuzzy com base nas funções de pertinência 𝑥̇(𝑡) variáveis de estados de um sistema
𝐴 matriz 𝑛 × 𝑛 de estados do sistema 𝐵 matriz 𝑛 × 𝑚 de entradas do sistema 𝐶 matriz 𝑝 × 𝑛 de saídas do sistema 𝐷 matriz 𝑝 × 𝑚 de transmissão direta 𝑢(𝑡) Entradas
𝑟(𝑡) sinal de referência no instante 𝑡
𝑥 posição da esfera de aço no MAGLEV 𝑥̇ velocidade da esfera de aço no MAGLEV 𝑥̈ aceleração da esfera de aço no MAGLEV 𝑖 corrente de excitação no MAGLEV
𝑥 posição de equilíbrio da esfera de aço no MAGLEV 𝑖 corrente de excitação no ponto de equilíbrio no MAGLEV
xiv 𝑟 referência desejada para a esfera de aço no MAGLEV
𝑔 aceleração da gravidade 𝑅 resistência da bobina 𝐿 indutância da bobina 𝐼 corrente da bobina 𝑉 tensão aplicada à bobina 𝑅 resistência do sensor
𝐹 força de atração gerada pela ação do eletromagneto sobre a esfera
𝐹 força devida à ação da gravidade sobre a esfera 𝐹 força externa total sobre a esfera
𝑀 massa da esfera
𝐾 constante de força do eletromagneto (𝑥 , 𝑖 ) ponto de equilíbrio no MAGLEV 𝛿 ângulo rotórico, ou ângulo de carga 𝜔 velocidade angular do rotor
𝜓 fluxo concatenado no enrolamento de campo 𝐸 tensão no enrolamento de campo
𝑇 torque mecânico aplicado ao rotor
𝑃 potência mecânica de saída da governadora 𝑉 tensão no barramento infinito
𝑉𝑡 tensão no terminal do gerador
xv 𝑟 resistência de campo
𝑥 reatância de campo
𝑥 reatância de armadura de eixo direto 𝑥 reatância transitória de eixo direto
𝑥 reatância da armadura de eixo em quadratura 𝑥 reatância mútua de eixo direto
𝑥 reatância da linha de transmissão 𝐻 constante de inércia
𝑑 constante de amortecimento 𝑘 ganho da excitação de campo
𝑢 sinal atuante sobre a válvula de velocidade da governadora 𝑢 sinal atuante sobre a excitação de campo
𝑇 constante de tempo da turbina 𝑇 constante de tempo da governadora
𝑇 constante de tempo da excitação de campo 𝜔 velocidade síncrona
𝑓 frequência em hertz
𝛿 ângulo de carga no ponto de equilíbrio 𝜓 fluxo de campo no ponto de equilíbrio 𝑟 referência desejada para o ângulo de carga 𝑟 referência desejada para o fluxo de campo 𝑣̇ sinal de erro no ângulo de carga
xvi (𝛿 , 𝜓 ) ponto de equilíbrio na máquina síncrona
X2 função de pertinência T1 para 𝑥 de 0 a 3 mm X3 função de pertinência T1 para 𝑥 de 2 a 4 mm X4 função de pertinência T1 para 𝑥 de 3 a 5 mm X5 função de pertinência T1 para 𝑥 de 4 a 6 mm X6 função de pertinência T1 para 𝑥 de 5 a 7 mm X7 função de pertinência T1 para 𝑥 de 6 a 8 mm X8 função de pertinência T1 para 𝑥 de 7 a 9 mm X9 função de pertinência T1 para 𝑥 de 8 a 10 mm X10 função de pertinência T1 para 𝑥 de 9 a 11 mm X11 função de pertinência T1 para 𝑥 de 10 a 12 mm X12 função de pertinência T1 para 𝑥 de 11 a 14 mm x2 função de pertinência T2 para 𝑥 de 0 a 3.5 mm x3,5 função de pertinência T2 para 𝑥 de 2 a 5 mm x5 função de pertinência T2 para 𝑥 de 3.5 a 6 mm x6 função de pertinência T2 para 𝑥 de 5 a 7 mm x7 função de pertinência T2 para 𝑥 de 6 a 8 mm x8 função de pertinência T2 para 𝑥 de 7 a 9 mm x9 função de pertinência T2 para 𝑥 de 8 a 10,5 mm x10,5 função de pertinência T2 para 𝑥 de 9 a 12 mm x12 função de pertinência T2 para 𝑥 de 10,5 a 14 mm Nmax função de pertinência para 𝑣̇ máximo negativo Ng função de pertinência para 𝑣̇ grande negativo
xvii Nm função de pertinência para 𝑣̇ médio negativo
Ns função de pertinência para 𝑣̇ pequeno negativo Nmin função de pertinência para 𝑣̇ mínimo negativo Z função de pertinência para 𝑣̇ zero
Pmin função de pertinência para 𝑣̇ mínimo positivo Pp função de pertinência para 𝑣̇ pequeno positivo Pm função de pertinência para 𝑣̇ médio positivo Pmax função de pertinência para 𝑣̇ máximo positivo mf𝛿 função de pertinência T2 para 𝛿 de 0º a 15º mf𝛿 função de pertinência T2 para 𝛿 de 2º a 25º mf𝛿 função de pertinência T2 para 𝛿 de 10º a 45º mf𝛿 função de pertinência T2 para 𝛿 de 25º a 70º mf𝛿 função de pertinência T2 para 𝛿 de 45º a 90º 𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ grande negativo 𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ médio negativo 𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ pequeno negativo 𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ zero
𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ pequeno positivo 𝑣̇
função de pertinência T2 para 𝑣̇ médio positivo 𝑣̇ função de pertinência T2 para 𝑣̇ grande positivo
𝐻∞ espaço das funções matriciais de uma variável complexa limitado em norma 𝐻∞
xviii 𝑃 diferentes matrizes positivas definidas
𝑒(∞) erro de regime igual a zero 𝑧(𝑡) vetor de premissas
𝐴 ∈ 𝑅 ×
matriz de estados do 𝑖-ésimo modelo local 𝐵 ∈ 𝑅 × matriz de entradas do 𝑖-ésimo modelo local
𝐶 ∈ 𝑅 × matriz de saídas do 𝑖-ésimo modelo local ℳ 𝑗𝑖-ésimo conjunto fuzzy;
ℎ 𝑧 (𝑡) peso normalizado de cada regra de modelo 𝑤 𝑧(𝑡) peso associado a cada 𝑖-ésima regra
𝑎 ℓ e 𝑏 ℓ variáveis para obter a forma generalizada dos modelos T-S 𝑓 (𝑧(𝑡)) função de 𝑧(𝑡)
𝑔 (𝑧(𝑡)) função de 𝑧(𝑡)
𝑥(∞) variáveis de estados em regime permanente 𝑦(∞) saída do sistema em regime permanente 𝑣(∞) sinal de erro em regime permanente 𝑢(∞) entrada em regime permanente
𝑞 , … , 𝑞 constantes para cálculo de 𝛿 e 𝜓 na máquina síncrona
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Lista de Abreviaturas
KM Karnika-Mendel PI Proporcional-Integral
PID Proporcional-Integral-derivativo CPD Compensação Paralela Distribuída DESs Discrete-Event Systems
T1 Tipo-1 ou Convencional
T2 Tipo-2
T2I Tipo-2 Intervalar IA Inteligência Artificial AI Artificial Intelligence LMI Linear Matrix Inequality MAGLEV Levitador Magnético
MF Membership Function (ou função de pertinência) MIMO Multiple Input, Multiple Output
SISO Single Input, Single Output
SBRF Sistema Baseado em Regras Fuzzy SLF Sistema de Lógica Fuzzy
SLF T1 Sistema de Lógica Fuzzy Tipo-1 SLF T2 Sistema de Lógica Fuzzy Tipo-2
xx SIF Sistema de Inferência Fuzzy
SBRF T1 Sistema Baseado em Regras Fuzzy do Tipo-1 SBRF T2 Sistema Baseado em Regras Fuzzy do Tipo-2 SEDs Sistemas de Eventos Discretos
T-S Takagi-Sugeno T-S-K Takagi-Sugeno-Kang FCM Fuzzy C-Means method FDES Fuzzy Discrete-Event System
HIV Human Immunodeficiency Virus
GA Genetic Algorithms
IAE Integral Absolute value of Error
ITAE Integral Time weighted Absolute Error ITSE Integral Time of Square value of Error IG Índice de Goodhart
IAE. ( ) Índice IAE medido com relação à variável 𝑥 (𝑡) ITAE. ( ) Índice ITAE medido com relação à variável 𝑥 (𝑡) ITSE. ( ) Índice ITSE medido com relação à variável 𝑥 (𝑡) IG. ( ) Índice IG medido com relação à variável 𝑥 (𝑡) IAE. ( ) Índice IAE medido com relação à variável 𝜓 (𝑡)
ITAE. ( ) Índice ITAE medido com relação à variável 𝜓 (𝑡) ITSE. ( ) Índice ITSE medido com relação à variável 𝜓 (𝑡) IG. ( ) Índice IG medido com relação à variável 𝜓 (𝑡)
xxi ITAE. ( ) Índice ITAE medido com relação à variável 𝛿(𝑡)
ITSE. ( ) Índice ITSE medido com relação à variável 𝛿(𝑡)
Sumário
1 Introdução ... 1 1.1.Lógica Fuzzy e Sistemas Não Lineares ...3
1.1.1.Sistemas de Realimentação de Estados ... 4 1.1.2.Lógica Fuzzy e Realimentação de Estados ... 4 1.1.3.Modelagem Fuzzy ... 5 1.1.4. Controle Fuzzy de Sistemas Não Lineares com Modelos T-S ... 8 1.1.5.Controle de Rastreamento Fuzzy ... 12 1.2. A Lógica Fuzzy Tipo-2 ... 14 1.3.Controladores Fuzzy Tipo-2 ... 18 1.4.Compêndio Suplementar ... 23 1.5.Objetivo, Metodologia e Contribuições ... 25 1.6.Organização do Trabalho ... 27 2 Fundamentação Teórica ... 29
2.1.Lógica Fuzzy ... 29 2.2.Conjuntos Fuzzy ... 30 2.2.1.Funções de Pertinência ... 31 2.2.2.Sistemas de Inferência Fuzzy ... 31 2.3. Lógica Fuzzy Tipo-2 ... 31 2.3.1.Conjunto Fuzzy Tipo-2 Intervalar 35 2.4.Sistemas de Inferência Fuzzy Takagi-Sugeno T2 ... 37 2.5. Modelo Fuzzy T-S ... 38 2.5.1. Sistemas Ordinários Fuzzy T-S ... 38 2.5.2.Forma Generalizada dos Modelos Fuzzy T-S ... 40 2.6.Indicadores de Desempenho ... 43 2.6.1.Integral do Módulo do Erro ... 43 2.6.2.Integral do Tempo multiplicado pelo Módulo do Erro ... 43 2.6.3.Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Quadrático ... 43
2.6.4.Índice de Goodhart ... 44 2.7.Considerações Finais do Capítulo ... 45 3 Aspectos Metodológicos ... 47
3.1.Realimentação de Estados e Rastreamento de Referências ... 48 3.2.Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) Proposto ... 49 3.2.1.Sistema Baseado em Regras Fuzzy T1 ... 49 Processador de entrada 49 Sistema de Inferência Fuzzy Proposto 53 Processador de Saída 56 3.2.2. Sistema Baseado em Regras Fuzzy Tipo-2 Intervalar ... 56 3.3. Considerações Finais do Capítulo ... 59 4 Estudos de Caso ... 60
4.1.Estudo de Caso 1: Sistema de Levitação Magnética (MAGLEV) ... 62 4.1.1.Modelo Não Linear ...63 4.1.2. Modelo Linearizado ... 64 4.1.3. O SBRF Proposto Adaptado ao Estudo de Caso 1 ... 67 Variáveis Fuzzy de Entrada 67 Funções de Pertinência (MFs) 67 Base de Regras 68 4.1.4.Controlador Fuzzy T2 ... 69 4.2.Estudo de Caso 2: Máquina Síncrona ... 72 4.2.1.Modelo Não Linear ...74 4.2.2.Modelo Linear ... 76 4.2.3.O SBRF proposto adaptado ao Estudo de Caso 2 ... 78 Variáveis Fuzzy de entrada 79 Funções de Pertinência T2 79 Base de Regras 82 4.3.Consideração Finais do Capítulo ... 83 5 Resultados e Análises ... 85
5.1. Estudo de Caso 1... 85 5.1.1.SBRF T1 versus Realimentação de Estados Padrão ... 86 5.1.2.SBRF T2I versus SBRF T1 ... 87
5.1.3.Indicadores de Desempenho para o Estudo de Caso 1 ... 88 5.1.4.SBRF T2I usando Modelos T-S ... 89 5.2. Estudo de Caso 2 ... 91 5.2.1. SBRF T1 versus Realimentação de Estados Padrão ... 91 5.2.2. SBRF T2I versus SBRF T1 ... 94 5.2.3. Indicadores de Desempenho para o Estudo de Caso 2 ... 97 5.3.Considerações Finais do Capítulo ... 99 6 Conclusões e Perspectivas ... 103 Referências Bibliográficas ... 107
Capítulo 1
Introdução
Com base em uma definição simplificada de inteligência, diversos pesquisadores dedicaram-se à busca por soluções computacionais capazes de emular a capacidade racional do ser humano em tomar decisões, dado um conjunto de entradas e uma variedade de possíveis ações. Essa área de pesquisa ficou conhecida como Inteligência Artificial ou IA (do inglês, AI - Artificial Intelligence).
Por meio das técnicas de IA desenvolvidas, foi possível reproduzir certos conceitos e dinâmicas do mundo real e torná-los administráveis no mundo discreto.
Dentre as técnicas de IA mais conhecidas encontra-se a Lógica Fuzzy, introduzida em meados da década de 60 por Lotfi A. Zadeh, cujos trabalhos deram origem, em 1965, ao conceito da teoria dos conjuntos difusos, lógica difusa ou lógica fuzzy (ZADEH, 1965).
A lógica fuzzy foi idealizada graças à dificuldade inerente à teoria clássica de conjuntos em lidar com problemas em que se verifica ausência de critérios suficientemente conhecidos para a definição de membros em determinada classe. Contrariamente à teoria clássica, os conjuntos fuzzy são compostos por meio de especificações tais que dependem da subjetividade associada aos critérios de classificação utilizados na intuição humana, dadas por meio de premissas expressas na forma de linguagem ou percepção mental. Em outras palavras, afirma-se que existe uma correlação estreita entre a lógica fuzzy e a linguística (ZADEH, 1994).
Ao conceber a lógica fuzzy, Zadeh esperava de antemão que esta tivesse um impacto de grande alcance, uma vez que amplamente entendida, poderia, então, ser aplicada (ZADEH, 1994). De fato, tal formulação constituiu um ponto de partida para a construção de uma estrutura semelhante àquela utilizada nos conjuntos bivalentes, porém, mais geral, possibilitando maior aplicabilidade.
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO As aplicações são variadas e a infinidade de adequações deve-se graças ao conceito de uma classe de elementos que admite graus intermediários de pertinência em determinado conjunto, modelados por meio de correspondências conhecidas como funções de pertinência, tal que possibilitam não somente uma análise quantitativa, mas também qualitativa de diversos sistemas encontrados no mundo real, os quais eram, até então, considerados complexos e/ou insuficientemente definidos para serem suscetíveis a uma análise exata (ZADEH, 1969; ZADEH, 1968; ZADEH,1994).
A maior contribuição da lógica fuzzy foi prover uma metodologia para computação utilizando palavras ao invés de apenas números e símbolos (ZADEH, 1996), de modo que os trabalhos em questão originaram, em 1968, o conceito de algoritmo fuzzy, que pode ser entendido como uma generalização dos algoritmos convencionais (ZADEH, 1968).
Um algoritmo fuzzy contém declarações com os nomes dos conjuntos fuzzy (ZADEH, 1965), para os quais as variáveis envolvidas podem pertencer a um intervalo fechado de zero a um, assumindo qualquer valor dentro desse intervalo (ZADEH, 1965, 1968, 1969, 1996).
A designação de valores correspondentes ao grau de pertencimento das variáveis envolvidas em determinado conjunto fuzzy institui uma premissa que pode ser associada à existência de imprecisão no que tange à construção do pensamento humano, a partir do qual a lógica não é concebida com base em dois valores (ou mesmo vários valores) da lógica clássica, mas em uma lógica composta de verdades imprecisas, conectivos difusos e regras de inferência nebulosas (ZADEH, 1975).
Tal característica foi determinante para a incorporação da lógica fuzzy ao campo da IA, de modo a torná-la uma temática promissora no que diz respeito ao estudo de controle de plantas complexas, com dinâmicas não lineares. E assim, tendo em vista que incerteza é uma característica inerentemente interligada aos sistemas reais, a pesquisa de novos métodos para lidar com informações incompletas ou não confiáveis tornou-se um campo de grande interesse (MENDEL, 2001).
Em paralelo com o aumento do número de aplicações industriais, alguns esforços teóricos têm continuado a melhorar a validade e robustez dos modelos e suas aplicações (ZADEH , 1994). Em 1974, Ebrahim H. Mamdani demonstrou eficientemente a aplicação da lógica fuzzy em um sistema de controle. Para Mamdani (1974), a metodologia de Zadeh fornecia uma abordagem geral para expressar regras linguisticas que pudessem ser rapidamente processadas por um computador, tornando-a um meio para que
3 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO um operador experiente pudesse expressar a estratégia ou protocolo para o controle de uma planta fazendo uso destas variáveis linguísticas, assim como um conjunto de regras a serem utilizadas em diferentes situações.
Posto que uma das vantagens do controle fuzzy consiste no fato da informação linguística poder ser diretamente incorporada ao controlador, não havendo, portanto, a necessidade de um modelo matemático preciso do sistema (BARKATI et al. 2008).
Os resultados dos estudos de Mamdani demonstraram que a teoria fuzzy é principalmente aplicável a plantas de difícil modelagem (MAMDANI, 1974), permitindo que essa classe de problemas fossem doravante tratáveis sob a ótica de um novo paradigma de controle denominado de controle fuzzy.
Os controladores lógicos fuzzy são basicamente não lineares e suficientemente gerais para fornecer as ações de controle não lineares desejadas, ajustando cuidadosamente os parâmetros de controle de acordo com a situação vigente. Assim, é possível controlar efetivamente sistemas não lineares usando controladores fuzzy.
1.1. Lógica Fuzzy e Sistemas Não Lineares
Os sistemas dinâmicos encontrados no mundo real contêm não linearidades e durante algum tempo foram considerados insuficientemente definidos para serem suscetíveis a uma análise precisa (ZADEH, 1969; MANAMANNI et al., 2007). Para sistemas mais complexos, quando os sinais de controle ultrapassam as zonas de operação linear, o sistema deixa de apresentar dinâmica aproximadamente linear (DING et al., 2017).
Além do mais, muitos sistemas presentes em aplicações industriais contêm incertezas que podem ser devidas a estruturas mal compreendidas ou a algum grau de incerteza na especificação de parâmetros, ou mesmo uma combinação de ambos (DIAMOND, 2001).
A modelagem matemática tradicional empenha-se em fornecer estruturas úteis para essa classe de problemas, os quais são considerados de difícil tratamento matemático em comparação à sofisticação e variedade de técnicas disponíveis na teoria de sistemas lineares. Por vezes, a utilização de modelos matemáticos convencionais em sistemas mais complexos não fornece resultados satisfatórios na descrição de dinâmicas não lineares (WANG;
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO LANGARI, 1995), restringindo a teoria dos sistemas lineares apenas a algumas categorias especiais.
1.1.1. Sistemas de Realimentação de Estados
Em relação a utilização dos modelos matemáticos convencionais para representação de sistemas dinâmicos, verificou-se que durante algum tempo grande parte das pesquisas envolvendo sistemas de controle fuzzy revelaram uma prevalência pela escolha de modelos cujos mecanismos de causa e efeito entre as variáveis de entrada e saída do processo são desconhecidos. Como exemplo, cita-se o caso das funções de transferência.
Uma alternativa a esse modo de representação são os modelos em espaço de estados, os quais permitem explicitar as relações entre as variáveis internas do sistema.
Por meio da utilização do modelo em espaço de estados, existe a possibilidade de se fazer a realimentação de cada variável de estado do sistema, o que implica em um controle mais eficaz (MAYA; LEONARD, 2011), sendo particularmente conveniente para sistemas multivariáveis.
Além de vantagens em termos de cálculos computacionais, a estratégia de realimentação de estados pode ser usada para adquirir maior percepção sobre o comportamento interno do sistema. Seu uso permite o projeto de sistemas de controle respeitando várias especificações de desempenho e ainda considerando as condições iniciais do sistema (OGATA, 2010).
Essas particularidades foram determinantes para sugerir que a lógica fuzzy em associação com técnicas de realimentação de estados seria uma temática promissora em relação ao estudo do controle de plantas mais complexas com dinâmica não linear.
1.1.2. Lógica Fuzzy e Realimentação de Estados
O modelo em espaço de estados constitui um modelo alternativo mais poderoso, válido tanto para sistemas SISO (do inglês: Single Input, Single Output) quanto para a classe de sistemas MIMO (Multiple Input, Multiple Output), representável no domínio do tempo e da frequência. Sobretudo, este tipo de representação não apresenta as dificuldades inerentes às funções de transferência, uma vez que funções de transferência aplicam-se a sistemas lineares invariantes no tempo, de entrada e saída únicas e com condições iniciais nulas (MAYA; LEONARD, 2011).
5 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Por outro lado, quando comparada a outras estratégias de modelagem, o método de descrição por variáveis de estados permite superar estas limitações, além de vantagens adicionais, como (MAYA; LEONARD, 2011): a) as equações diferenciais do modelo possuem formato adequado para a sistematização da solução por meio de computadores; b) as variáveis de estado constituem uma poderosa estrutura unificada, conveniente para o estudo de sistemas lineares e não lineares; c) permitem o desenvolvimento de métodos mais robustos e eficientes para simulação digital.
A despeito da grande quantidade de não linearidades existentes no mundo real, os avanços significativos verificados forneceram algum conhecimento sobre a estrutura do sistema, no entanto, por meio de uma modelagem tradicional, os parâmetros permanecem vagos ou dependem do consenso entre os especialistas para sua definição apropriada (DIAMOND, 2001).
Uma solução encontrada para definir uma abordagem para relacionar o ajuste adequado de parâmetros em relação à acepção de um consenso entre especialistas tem sido a aplicação de variáveis linguísticas e lógica fuzzy. Para tal, associam-se implicações do método Takagi-Sugeno e uma base de regras fuzzy para definição de modelos locais nítidos (DIAMOND, 2001).
1.1.3. Modelagem Fuzzy
Paralelamente, a lógica fuzzy tem sido utilizada como uma ferramenta não apenas para o controle de plantas cujos modelos matemáticos são insuficientemente definidos (KIM; LEE, 2000), mas também para modelagem de plantas com dinâmicas não lineares (HU et al., 2018). O aspecto preponderante para a eficácia da aplicação da modelagem fuzzy, é o fato de a lógica fuzzy ser capaz de providenciar os fundamentos teóricos para a captura de incertezas associadas aos processos de pensamento humano (LINDA; MANIC, 2010), uma vez que, por meio de descrições fuzzy é possível obter não apenas uma análise quantitativa, mas também qualitativa de vários sistemas dinâmicos encontrados no mundo real (YING, 1999).
Há dois modos principais de modelagem fuzzy: a) é feita a identificação do modelo fuzzy usando dados de entrada-saída (TAKAGI; SUGENO, 1985; SUGENO; KANG, 1988; WANG; LANGARI, 1995); b) emprega-se uma formulação para definir modelos locais explícitos que utilizam uma base de regras fuzzy e implicações do método Takagi-Sugeno para concepção do modelo fuzzy global (LI; WANG; CHEN, 2017; MANAMANNI et al., 2007; DIAMOND, 2001).
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Os modelos concebidos por meio das metodologias descritas em ambos os modos são denominados Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno, cuja forma genérica foi inicialmente proposta por Takagi e Sugeno (1985) e por Sugeno e Kang (1988) e, por essa razão, são também conhecidos como: modelos fuzzy T-S, modelos T-S-K, ou simplesmente, modelos T-S.
Em Takagi e Sugeno (1985) foi proposta uma ferramenta matemática para desenvolver um método para estimação de parâmetros de um modelo fuzzy. Consiste em um tipo de sistema de inferência fuzzy conhecido como modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) que combina a flexibilidade da lógica fuzzy e teoria matemática do sistema (linear ou não linear) em uma estrutura unificada. E, em Sugeno e Kang (1988) os autores, além de apresentarem critérios para ajuste de parâmetros, também abordaram o problema de identificação de estruturas de modelos fuzzy.
A partir da concepção destas estruturas de modelos T-S, nas últimas décadas cresceu rapidamente o interesse em aplicações dos conjuntos fuzzy para controle de sistemas complexos (WU; LI, 2012). Na maior parte dos casos, tais aplicações são relativas à tarefa de controlar eficazmente sistemas não lineares descritos por modelos T-S, combinando as vantagens oferecidas tanto pela lógica fuzzy quanto pela teoria de sistemas lineares (QIU; FENG; GAO, 2013).
Embora o uso dos modelos T-S propostos em Takagi e Sugeno (1985) e Sugeno e Kang (1988) permitissem a representação exata (global ou semi globalmente) de dinâmicas não lineares de sistemas físicos, uma extensa base de regras era necessária para construir um modelo adequado para sistemas com alto número de não linearidades.
Para este problema, a redução de regras torna-se uma perspectiva valorosa, pois o esforço computacional para o projeto de otimização convexa baseado em condições de LMI (Linear Matrix inequallity) está fortemente relacionado ao número de regras. Por essa razão, Taniguchi et al. (2001) apresentou um procedimento sistemático para construção de modelos fuzzy, com redução de regras e compensação robusta para sistemas não lineares, os quais ficaram conhecidos pela denominação de Forma Generalizada dos Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno.
Ao especular-se a equivalência entre os modelos fuzzy T-S inicialmente propostos (TAKAGI; SUGENO, 1985; SUGENO; KANG, 1988) e a forma generalizada dos modelos T-S (TANIGUCHI et al., 2001), uma distinção significativa consiste no fato de que a forma generalizada possui uma estrutura
7 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO conveniente para a construção efetiva de regras, permitindo redução no número de regras SE-ENTÃO.
Graças a essa especificidade, e por disporem de uma extensa aplicabilidade, os modelos T-S em sua forma generalizada passaram a ser largamente utilizados pela comunidade científica para descrição de plantas complexas com não linearidades.
No entanto, por depender de regras fuzzy, podem, por vezes, omitir parte da estrutura conceitual dos princípios físicos e científicos conhecidos relativos a determinado processo.
É importante incorporar esse conhecimento específico em modelos que possam explorar a imprecisão e a estrutura causal conhecida com base em princípios científicos conhecidos, e simultaneamente, obter um modelo tratável de um sistema dinâmico por meio do qual o procedimento de síntese seja suficientemente simples, mantendo-se os recursos essenciais do sistema. Desse modo, foram propostas outras formas de modelos T-S para aplicação em classes específicas de sistemas não lineares.
Como exemplo citam-se: o modelo fuzzy T-S bilinear, proposto por Li e Tsai (2007), em que os autores propõem um método para modelagem de uma classe de sistemas não lineares, pelo qual um sistema não linear com um termo bilinear1 é transformado em um sistema bilinear fuzzy por meio de uma expansão por Série de Taylor e modelagem fuzzy T-S; como também, o modelo fuzzy T-S não linear, proposto por Rajesh e Kaimal (2007), em que as regras possuem implicações não lineares.
Em contrapartida, outros pesquisadores dedicaram-se à temática relativa a arquitetura de modelos linguísticos como uma alternativa face à infinidade de arranjos dos modelos fuzzy desenvolvidos até então. Com base nessa perspectiva, os modelos linguísticos são organizados em um nível mais alto de abstração em contraste com os modelos numéricos “padrão”.
Uma classe de modelos linguísticos muito utilizada são os modelos fuzzy granulares, em que os dados são agrupados de tal forma que levam à formação de grânulos de informação no espaço de saída e subsequentemente produzem grânulos de informação induzidos posicionados no espaço de entrada. Um dos primeiros modelos que se enquadram nessa categoria foi proposto em Tanaka e Sugeno (1992). Em Galaviz e Pedrycz (2015) foi proposta uma metodologia em que o espaço de saída é fracionado com os
1 função com duas variáveis vetoriais, a qual é linear em ambas as variáveis
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO grânulos de informações baseados em intervalos otimizados, produzindo resultados sob a forma de intervalos e, em 2018, Zhu, Pedrycz e Li (2018) propõe uma nova abordagem para a construção de modelos fuzzy granulares em que o algoritmo FCM (do inglês, Fuzzy C-Means method) ponderado é empregado para agrupar subespaços fuzzy de entrada, além de utilizar alocação ótima da granularidade da informação para os conjuntos fuzzy nas partes antecedentes das regras.
Os modelos fuzzy T-S tornaram-se onipresentes na modelagem fuzzy, tal e qual as técnicas de controle fuzzy com base nesse tipo de modelos têm sido amplamente utilizadas pelo fato de permitir a aplicação da teoria clássica de sistemas lineares na análise e síntese de controladores para sistemas não lineares (DING et al., 2012; LI; WANG; CHEN, 2017; ZHU; PEDRYCZ; LI, 2018).
1.1.4. Controle Fuzzy de Sistemas Não Lineares com Modelos
T-S
Nas estratégias de controle direcionado a aplicações envolvendo modelos T-S, inicialmente é feita a "partição fuzzy" do espaço de entrada, entendida como uma expansão linear por partes (CERVANTES; YU; SALAZAR, 2017). Em seguida utilizam-se técnicas de CPD (Compensação Paralela Distribuída), em que um controlador é projetado para estabilizar determinado subsistema local descrito para cada regra do modelo fuzzy. A saída do controlador global resultante, geralmente não linear, é uma combinação fuzzy de cada controlador linear individual (MANAMANNI et al., 2007).
No entanto, apesar de todos os avanços relacionados aos métodos de modelagem fuzzy, diversos processos industriais costumam ter uma dinâmica complexa e, assim, difícil de descrever a partir de suas equações fenomenológicas, de modo que, na prática, há sempre dinâmicas e perturbações não modeladas que não são consideradas, o que aumenta o erro entre o modelo e o processo (BAYAS; SKRJANC; SÁEZ, 2018).
Por essa razão, alguns autores investigaram o modo como a incerteza associada a esses processos pode afetar o desempenho das estratégias de controle que pudessem ser usadas. Para tal, buscam-se modelos capazes de representar as incertezas adicionadas sob a forma de ruídos de entrada/saída ou medição, ou incerteza paramétrica a fim de se obter representações apropriadas do processo.
9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Nesse contexto, estratégias de controle robusto baseadas em modelos fuzzy T-S tornaram-se uma abordagem muito popular e útil por provarem ser muito eficientes em diferentes aplicações.
Dentre esses trabalhos, em Han et al. (2000) são apresentados projeto de controle fuzzy robusto para sistemas não lineares complexos, representados por modelos fuzzy.
Em Chang e Shing (2004) é fornecido um procedimento sistemático de projeto de controlador fuzzy para sistemas estocásticos não lineares de tempo discreto, representados por modelos fuzzy T-S.
Baseado no funcional de Lyapunov-Krasovskii, Gassara et al. (2012) enfoca o problema de projeto de controle robusto para sistemas fuzzy T-S com atraso variável e saturação do atuador.
Derakhshan e Fatehi e Sharabiany (2012) propõe uma abordagem que utiliza CPD e uma função não monotônica de Lyapunov para projetar controladores de realimentação de estados para sistemas fuzzy T-S conhecidos.
Em Feng e Chang (2018) foi proposto um controlador fuzzy robusto para o controle de turbinas hidráulicas cuja dinâmica é fortemente influenciada por atraso e distúrbios aleatórios. Para descrição do sistema hidráulico foi utilizada modelagem fuzzy T-S em sua forma generalizada.
Em Bayas, Skrjanc e Sáez (2018), as informações sobre as incertezas, fornecidas por intervalos de confiança fuzzy nos modelos T-S, sejam usadas para derivar controladores para garantir a estabilidade robusta e que também levem em consideração as especificações de desempenho para um coletor solar.
Sun et al. (2019) propôs um modelo fuzzy T-S de um sistema de levitação magnética em veículos que leva em consideração as incertezas do modelo e distúrbios exógenos. Para o controle, com base em técnicas de CPD e no modelo T-S proposto, foi utilizado um controlador robusto de realimentação de estados.
Em Zhang et al. (2019), os autores investigaram o problema de controle fuzzy acionado por eventos para realimentação dinâmica de saídas para redes não lineares sujeitas a interrupção de pacotes e falha do atuador. Foi utilizado um modelo T-S para descrever os sistemas analisados e, com base na teoria de estabilidade de Lyapunov, foram propostos critérios suficientes para projetar os ganhos do controlador com desempenho 𝐻∞.
Outros trabalhos presentes na literatura especializada ocuparam-se em integrar tais modelos fuzzy com estratégias que utilizam controladores
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO clássicos projetados para operarem com desempenho robusto como em Ho e Lin (2003) ou, ainda, a partir de algoritmos de otimização para abordar o conservadorismo de parâmetros e a robustez nos problemas de controle, tal como em Karer e Skrjanc (2016).
Apesar de todas as aplicações verificadas no sentido de desenvolver um modelo adequado que possa gerenciar incertezas e modelar o comportamento não linear de um processo, os modelos fuzzy são ad hoc seja qual for a estrutura de controlador e representam parte da dinâmica desconhecida. Em grande parte dos trabalhos na literatura, uma certa estrutura e valores para a incerteza associada aos modelos são assumidos sem descrever um método formal para sua modelagem (BAYAS, 2018).
Existem, ainda, sistemas cujas transições de estados são observadas em pontos discretos no tempo em decorrência de eventos (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008), conhecidos como SEDs (do inglês, Discrete-Event Systems - DESs). Em SEDs descritos com auxílio de modelos fuzzy T-S, os estados são valores fuzzy e cada transição é associada a um grau de possibilidade (CAO; YING; CHEN, 2007).
Também surgiram pesquisas voltadas à investigação de controladores fuzzy de realimentação de estados para esta classe de sistemas, como os trabalhos de Cao, Ying e Chen (2007) que investigou o problema de controle baseado em estado para um FDES (Fuzzy DES) modelado por autômatos para encontrar todos os estados fuzzy acessíveis pelo sistema de controle, e Lin e Ying (2010), no qual os autores propuseram um controle de realimentação de estados de um FDES usando o espaço de estados para descrever os comportamentos do sistema e, assim, encontrar uma condição de existência para o controlador.
Em contrapartida, alguns poucos trabalhos focaram na análise e projeto de controladores fuzzy com realimentação de estados, mas não fizeram uso de modelos T-S. Nestes trabalhos é utilizada uma base de regras fuzzy para agir como uma espécie de seletor dos ganhos de realimentação para os estados. São eles: Chen e Jang (1990), Lam e Leung (2004), Faucher e Maussion (2005) e, Banu e Uma (2007).
Em Chen e Jang (1990) buscou-se reproduzir a performance de um controlador de realimentação de estados, explorando a possibilidade de usar as regras de controle linguísticas para imitar a ação de controle.
Em Lam e Leung (2004), foi proposta uma metodologia de projeto de controle fuzzy para sistemas não lineares sujeitos a incertezas de parâmetros. O controlador desenvolvido é uma combinação fuzzy dos controladores de
11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO realimentação de estados linear e de comutação calculado para as situações em que o sistema afasta-se da região próxima ao ponto de linearização.
Em Faucher e Maussion (2005) é apresentado um método para sintonia de controladores fuzzy de realimentação de estados por meio de dados experimentais, sem qualquer modelo de sistema.
Em Banu e Uma (2007), é investigada uma estratégia de controle fuzzy de realimentação de estados aplicada a um reator de tanque. Os parâmetros do controlador são selecionados usando lógica fuzzy para fornecer os valores apropriados em diferentes regiões.
Como é possível verificar, os trabalhos citados que utilizam como estratégia de controle fuzzy a realimentação de estados baseiam-se geralmente na lógica fuzzy T1. Nestes casos, tanto os modelos fuzzy quanto os controladores fuzzy compartilham as mesmas premissas para construção das funções de pertinência, e deste modo, assume-se que estas funções de pertinência não contêm incertezas.
No entanto, se há incertezas nos parâmetros da planta não linear, então estas incertezas paramétricas serão transmitidas às funções de pertinência do modelo fuzzy, e deste modo, os graus de pertinência corresponderão a valores também incertos (Li et al., 2015). Por essa razão, afirma-se que apesar de que a lógica fuzzy T1 conseguir efetivamente capturar as não linearidades do sistema, ela torna-se ineficiente em capturar adequadamente as incertezas presentes (SUN et al., 2014).
Diversos estudos focaram na investigação do problema de estabilização de sistemas não lineares descritos por modelos T-S (TANAKA; SUGENO, 1992; KIM; AHN; KWON, 1995; TANAKA; GRIFFIN, 1996; QIU; FENG; GAO, 2013; DING et al., 2012). A síntese dos controladores desenvolvidos com base nestas abordagens considera o uso de realimentação de estados, consistindo em estratégias de controle mais sofisticadas e eficientes, principalmente quando se considera lidar com elevado número de variáveis.
Tais trabalhos demonstraram que a estabilidade de qualquer sistema dinâmico fuzzy T-S pode ser determinada pela verificação de uma equação de Lyapunov ou um conjunto de Desigualdades Matriciais Lineares (do inglês: Linear Matrix Inequalities, ou LMIs).
Ao se utilizarem LMIs no projeto de controladores fuzzy para estabilizar sistemas dinâmicos representados por modelos T-S, especificamente no que diz respeito à ordenação dos modelos T-S, cada regra fuzzy utiliza a dinâmica local para compor um modelo de sistema linear e as implicações fuzzy são utilizadas para expressar as regras de controle (TAKAGI; SUGENO, 1985). No
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO entanto, a estabilidade de todos esses subsistemas localmente lineares não pode garantir que o sistema não linear seja globalmente estável.
O requisito fundamental para garantir que um sistema fuzzy T-S seja globalmente estável é a existência de uma matriz definida positiva 𝑃 comum que considera as interações entre todos os subsistemas locais (KIM; LEE, 2000). No entanto, quanto ao uso de LMIs para definições dos critérios de estabilidade em sistemas com modelos T-S, projetistas deparam-se com questões do tipo (CERVANTES; YU; SALAZAR, 2017): 1) somente após os requisitos para cálculo do controlador serem estabelecidos, é possível verificar se a matriz definida positiva comum existe e se a estabilidade global é garantida; 2) a função quadrática comum de Lyapunov tende a ser conservadora para sistemas complexos altamente não lineares; 3) a complexidade computacional aumenta a medida que aumenta-se o número de regras fuzzy.
Assim, quanto maior o número de não linearidades presentes no sistema dinâmico, maior será o volume de regras fuzzy SE-ENTÃO necessárias à elaboração do modelo matemático fuzzy, e nesse caso, se a quantidade de regras fuzzy for demasiada, talvez não exista uma matriz comum 𝑃 > 0 para todos os subsistemas locais (JUANG; YAN; HUANG, 2014).
Mesmo em casos para os quais aplicam-se condições relaxadas para resolver funções quadráticas de Lyapunov, inevitavelmente alguns resultados existentes envolvem condições não restritas para as LMIs.
Além do requisito de estabilização, a prática de rastreamento constitui outro problema típico da área de controle e, por conseguinte, o problema de controle de rastreamento fuzzy tem atraído interesse dos pesquisadores da comunidade de controle fuzzy.
1.1.5. Controle de Rastreamento Fuzzy
Apesar de imprescindível em diversas aplicações práticas na área da engenharia, em se tratando de sistemas não lineares, o problema de controle para rastrear trajetórias é ocasionalmente considerado relativamente difícil em relação aos problemas de estabilidade (TSENG; CHEN; UANG, 2001), uma vez que espera-se que os estados do sistema não linear sigam os do modelo estável (TSENG; CHEN; UANG, 2001; LAM; SENEVIRATNE, 2009).
Nada obstante, verifica-se que resultados dados para problemas de estabilização não podem ser transpostos diretamente para o rastreamento de trajetórias. De fato, apesar do uso das mesmas estratégias de controle, não é
13 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO trivial encontrar as condições de estabilidade que garantam o rastreamento e resolvê-las, o que tornam as condições obtidas para o rastreamento diferentes das condições de estabilização (MANAMANNI et al., 2007).
Além do mais, apesar dos trabalhos sobre estabilização de modelos fuzzy T-S serem recorrentes na literatura, e a despeito dos projetos de controle de rastreamento também serem consideradas questões importantes para inúmeras aplicações práticas, apenas alguns autores abordaram o problema de rastreamento para sistemas complexos recentemente.
Em Kung e Li (1997) e em Ying (1999), com base na técnica de linearização por realimentação de saídas, são propostas sistemáticas para projeto de um controlador fuzzy para rastreamento em sistemas fuzzy T-S obtidos a partir de algoritmos de identificação. No entanto, verificou-se que o controlador fuzzy derivado da linearização por realimentação de saídas pode não ser estável para sistemas de fase não-mínima (YING, 1999).
Em Tseng, Chen e Uang (2001) os autores utilizam um modelo T-S para representar um sistema não linear com perturbações externas e ruído de medição e, com base no modelo, um controlador fuzzy parametrizado em termos de LMI e observador fuzzy é desenvolvido para reduzir o erro de rastreamento o menor possível para todas as entradas de referência limitadas.
O trabalho desenvolvido em Manamanni et al. (2007) diz respeito ao desempenho de rastreamento com condições relaxadas para sistemas T-S com perturbações externas.
Uma abordagem de controle fuzzy de dados amostrados para rastreamento baseados em modelos fuzzy T-S é apresentada em Lam e Seneviratne (2009).
Em Allagui, Abid e Derbel (2018) foi desenvolvido um controlador fuzzy PI de parâmetros autoajustáveis para resolver problemas de navegação e rastreamento de trajetórias.
Como é possível observar, as estratégias de controle referidas até então dizem respeito a aplicações envolvendo a lógica fuzzy.
No entanto, paradoxalmente ao significado do termo fuzzy (o qual possui conotação de incerteza), constatou-se que quando um sistema fuzzy é completamente determinado, totalmente especificado em forma e parâmetros, não há incerteza relativa ao sistema (MENDEL, 2003b).
Por outro lado, no que diz respeito à natureza da incerteza, Klir e Wierman (1998 apud MENDEL 2003) afirma:
Três tipos de incerteza são agora reconhecidas ... as que resultam das fronteiras imprecisas dos sistemas fuzzy; ... imprecisão com base em informação, ligada aos tamanhos de
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
discordância), que expressam os conflitos entre os vários
conjuntos de alternativas.
As incertezas citadas envolvem algo sobre conjuntos, e, como um sistema fuzzy é caracterizado por suas funções de pertinência, interpretam-se todas e quaisquer tipos de incertezas como sendo transferidas para as funções de pertinência do sistema (MENDEL, 2003).
No caso dos Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRFs), o conhecimento usado para construção das regras também é incerto, podendo ocorrer sob três aspectos (MENDEL, 2003): 1) as palavras que são usadas nos antecedentes e consequências das regras podem ter significados diferentes para pessoas diferentes; 2) circunstâncias em que a imputação das consequências para determinada regra for diferente para grupos diferentes de especialistas, uma vez que estes não estarão necessariamente de acordo; e, 3) haver acesso apenas a um conjunto de dados ruidosos.
Somente mais tarde foram percebidas estas deficiências da lógica fuzzy tradicional quando se intenta aplicá-la para modelar palavras ou nas situações em que as incertezas predominam (MENDEL, 2003).
1.2. A Lógica Fuzzy Tipo-2
O controle com lógica fuzzy tradicional não pode inteiramente lidar com as incertezas linguísticas e numéricas associadas a ambientes não estruturados dinâmicos. Por esta razão, a escolha do controle com lógica fuzzy tipo-1 pode nem sempre representar a solução ótima para determinado problema de controle, ao passo que uma alternativa possível é usar controladores que façam uso de uma lógica capaz de tratar essas incertezas (MEZIANE; BOUMHIDI, 2015).
A fim de eliminar esse paradoxo relativo à conotação do termo "fuzzy", em 1975, o conceito de fuzzy tipo-2 foi apresentado por Zadeh como uma extensão da lógica fuzzy tradicional, a qual doravante passou a ser conhecida também como lógica fuzzy tipo-1.
Por meio da introdução de uma dimensão adicional, os graus de pertinência das variáveis fuzzy tornaram-se também conjuntos fuzzy, de modo que os sistemas fuzzy tradicionais puderam então ser formulados como um problema em que os graus de pertinência são eles próprios conjuntos de números reais (MIZUMOTO; TANAKA, 1976; ATACAK; BAY, 2012).
15 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Para tal, as funções de pertinência dos conjuntos fuzzy tipo-2 incluem uma mancha de incerteza (Footprint Of Uncertainty - FOU) capaz de fornecer os graus adicionais de liberdade que tornam possível modelar e lidar diretamente com as incertezas (HAGRAS, 2004).
Como consequência, os conjuntos fuzzy tipo-2 puderam, então, ser utilizados eficientemente nas situações em que há incerteza a respeito de suas próprias funções de pertinência e em alguns de seus parâmetros (LIANG; MENDEL 2000). Ou, mais especificamente, de acordo com Mendel e John (2002), quando: 1) os dados são variáveis no tempo, mas a descrição matemática da variabilidade no tempo é desconhecida; 2) o ruído de medição é não estacionário ao passo que a descrição matemática da não estacionariedade é desconhecida; 3) aplicações de reconhecimento de padrões cujos atributos estatísticos são não-estacionários e as descrições matemáticas das não estacionariedades são desconhecidas; 4) o conhecimento é extraído de um grupo de especialistas com questionários que envolvem palavras incertas; e 5) termos linguísticos usados em um domínio não mensurável.
Resumidamente, é possível afirmar que os conjuntos fuzzy tipo-2 são empregados eficientemente nos casos em que o nível de imprecisão é relativamente alto (DERELI et al., 2011).
Contudo, embora tenha sido introduzida em 1975 e apesar de os conjuntos fuzzy tipo-2 permitirem modelar e minimizar os efeitos de incertezas na base de regras e demais vantagens sugeridas, até final dos anos noventa muito pouco foi publicado sobre esta nova estratégia.
Tal carência devia-se ao fato de que a estrutura matemática ainda apresentava dificuldades de aplicação, sendo necessárias, portanto, algumas simplificações, pois a complexidade associada às operações matemáticas e carência de recursos computacionais limitaram sua aplicação (MENDEL; JOHN, 2002; MENDEL, 2003; ZUFFO, 2010).
Alguns trabalhos procuraram facilitar ou simplificar os procedimentos matemáticos necessários à aplicação da teoria fuzzy tipo-2, dentre as quais destacaram-se: Mizumoto e Tanaka (1976, 1981), Nieminen (1977), Dubois e Prade (1978, 1979, 1980) e Gorzalczany (1987).
Nos anos seguintes a estes trabalhos não foram detectadas produções de grande relevância envolvendo a estrutura dos conjuntos fuzzy tipo-2, a qual voltou a ser abordada pela comunidade científica apenas ao final dos anos 90 com os trabalhos de Jerry M. Mandel e Nilesh N. Karnik (1998a, 1998b, 1999). No decorrer destes trabalhos foram desenvolvidas propostas capazes de lidar com incertezas presentes nas regras, além de focarem na implementação de
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO sistemas de lógica fuzzy tipo-2, como também, o porquê de tais conjuntos possibilitarem a minimização dos efeitos das incertezas na base de regras.
Paralelamente a esse período, com objetivo de fornecer uma opção de implementação ao já fundamentado Sistema Mamdani de lógica fuzzy tipo-2, Liang e Mendel (1999) desenvolveram os SLFs T2 T-S-K (Sistemas de Lógica Fuzzy Tipo-2 Takagi-Sugeno-Kang) e, no mesmo ano, John e Czarnecki (1999 apud MENDEL; JOHN, 2002) desenvolveram um sistema de aprendizado que utilizou dados de treinamento para obtenção das funções de pertinência de sistemas fuzzy do tipo-2.
A complexidade computacional sempre foi considerada um aspecto de natureza preocupante, e a limitação de recursos computacionais durante muito tempo também foi considerada um fator restritivo à utilização da lógica tipo-2 em aplicações práticas em comparação aos conjuntos fuzzy tipo-1 (PIMENTA, 2010).
Somente após as enormes melhorias verificadas nas capacidades computacionais nos últimos anos associada à estruturação matemática dos sistemas fuzzy tipo-2, estes passaram a ser utilizados em diversos problemas de controle e tomada de decisão (ZAHEER; KIM, 2011).
Tais avanços também podem ser atribuídos a abordagens que propõem métodos que permitem que as operações entre conjuntos fuzzy tipo-2 que geralmente envolviam problemas combinatórios intratáveis, fossem, então, reduzidas a operações mais simples.
Como exemplo de uma simplificação bem sucedida, cita-se a proposta de Liang e Mendel (2000a), na qual os autores definiram cálculos teóricos e aritméticas para uma classe de SLFs tipo-2 cujos graus de pertinência secundários não correspondessem necessariamente a valores divergentes entre si, mas a valores com distribuição uniforme. Esta abordagem tornou-se conhecida como lógica fuzzy tipo-2 intervalar (MENDEL, 2003), para os quais o processo de cálculo do redutor de tipo tornou-se um procedimento mais simples.
Graças a essa simplificação, os conjuntos fuzzy tipo-2 intervalares puderam ser empregados nos mais diversos campos de aplicação (PIMENTA, 2010).
Em Liang e Mendel (2000a, 2000b) foi elaborada uma teoria completa para SLFs tipo-2 intervalares, com diferentes tipos de fuzzificadores, e demonstraram como cada um desses sistemas pode ser designado. E em Mendel e John (2002) foi proposto o calculo das operações de intersecção, união e complemento de conjuntos fuzzy intervalares do tipo-2 sem que para
17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO isso fosse necessária a aplicação do Principio da Extensão (MENDEL; JOHN, 2002; PIMENTA, 2010).
Em Karnik e Mendel (2001), foi desenvolvido o conceito de centróide de um conjunto fuzzy tipo-2, assim como um algoritmo prático, denominado Algoritmo Karnik-Mendel (ou algoritmo KM), cujo principal objetivo seria constituir uma maneira de se calcular o centróide (caso existisse) de conjuntos fuzzy intervalares tipo-2 (KARNIK; MENDEL, 2001).
O algoritmo KM tornou-se o procedimento iterativo utilizado de maneira mais extensiva no cálculo de centróides, redução de tipo, variância e assimetria de sistemas tipo-2 intervalares (WU; MENDEL, 2009). No entanto, observou-se que o método utilizado para cálculo do centróide demandava elevada carga computacional (KARNIK; MENDEL, 2001). Na tentativa de solucionar esse problema, Wu e Mendel (2002) propuseram um método conhecido como Método dos Limites Incertos, que permitiu rápida execução do módulo redutor do SBRF tipo-2 (SBRF T2), permitindo que fosse aplicável, inclusive, à área de controle de sistemas em tempo real.
Com objetivo de reduzir ainda mais a complexidade computacional, Wu e Mendel (2009) propuseram um algoritmo KM melhorado que mostrou-se eficaz na redução de mais de 39% no tempo computacional e, uma economia adicional de cerca de 29% caso não seja necessária nenhuma ordenação das entradas.
Em relação ao problema de cálculo de centróides, citam-se os trabalhos de Yeh et al. (2011), Zhai e Mendel (2011) e Salazar, Serrano e Soriano (2011).
Devido a complexidade computacional associada aos sistemas fuzzy tipo-2, geralmente tem-se observado a prevalência da lógica intervalar em detrimento à lógica tipo-2 tradicional (LIANG; MENDEL, 2000). Mas, mesmo a lógica intervalar apresenta alta complexidade computacional.
Por essa razão, em Mendel, John e Liu (2006), demonstrou-se que todas as consequências necessárias à implementação de um SLF tipo-2 Intervalar poderiam ser obtidas fazendo uso da matemática de sistemas fuzzy tipo-1. Consequentemente, ao se utilizar a matemática de sistemas fuzzy convencionais, não somente permite-se a elaboração de SLFs tipo-2 intervalares de maneira mais simples, mas também torna sua utilização mais acessível, uma vez que minimizam-se o tempo e esforço requeridos no aprendizado.
Todos os esforços realizados no sentido de facilitar a utilização da matemática fuzzy tipo-2 contribuíram para que esta pudesse ser explorada de maneira cada vez mais conveniente em diversas aplicações práticas.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Diversos estudos objetivaram demonstrar a superioridade da estrutura fuzzy tipo-2. Tal superioridade deve-se ao fato de sua grande capacidade em capturar uma combinação de valores em um conjunto de associações relevantes, de modo que a incerteza possa ser tratada com maior precisão (DERELI et al., 2011).
Nos trabalhos de Zeng e Liu (2006), foi demonstrado que os modelos ocultos de Markov utilizando lógica fuzzy tipo-2 podem lidar efetivamente com o ruídos e incertezas de dialeto nos sinais de voz, além de prover melhor desempenho em classificação.
Em Castillo, Jafelice e Santana (2015) foi estudada a taxa de retorno de um grupo de indivíduos HIV positivos que receberam tratamento antirretroviral. A partir de dados laboratoriais, foram obtidos os valores das taxas de retorno por meio de SBRF T1 e SBRF T2 ajustados por superfícies pelo método dos mínimos quadrados. As superfícies foram comparadas e verificou-se que aquelas que melhor se ajustam aos valores das taxas de retorno foram obtidas pelos SBRF T2.
Na área de controle de processos industriais, as técnicas de controle fuzzy têm sido eficientemente empregadas com diversos resultados teóricos importantes (HELLENDOORN; PRECUPA, 2011), visto que as incertezas dinâmicas, que se manifestam como ruído de entrada ou condições ambientais variáveis, são uma parte inerente da maioria das aplicações de controle do mundo real (LINDA; MANIC, 2010).
Sendo assim, em alternativa à utilização de conjuntos fuzzy tipo-1 em associação à estratégia de controle de realimentação de estados, um número reduzido de autores propuseram o emprego de conjuntos fuzzy do tipo-2 com a mesma finalidade, porém com maior eficiência.
1.3. Controladores Fuzzy Tipo-2
Os sistemas de controle fuzzy tipo-2 apresentam vantagens relevantes em relação aos sistemas fuzzy convencionais, sendo: 1) as funções de pertinência tipo-2 contém a chamada FOU que é capaz de trabalhar com incertezas nas entradas e saídas do controlador fuzzy; 2) as funções de pertinência tipo-2 na entrada dos controladores podem resultar na diminuição do numero de regras da base de regras em comparação às funções de pertinência fuzzy tipo-1; 3) o controlador fuzzy tipo-2 é capaz de responder a sistemas que não podiam ser
