Um estudo do comportamento assintótico para equações em diferenças com retardo infinito

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(1)Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática. Giovana Siracusa Gouveia. Um Estudo do Comportamento Assintótico para Equações em Diferenças com Retardo Innito. Recife 2009.

(2) Giovana Siracusa Gouveia. Um Estudo do Comportamento Assintótico para Equações em Diferenças com Retardo Innito1. Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Claudio Rodrigo Cuevas Henríquez Recife 2009 1 Este. trabalho contou com o apoio nanceiro da CAPES..

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(5) Agradecimentos A Deus, por tudo que me proporcionou. A minha família, pois sem eles nada disso seria possível. Em especial agradeço a painho, mainha e Rapha, por todo incentivo, amor e apoio dados. Aos funcionários do Dmat, Carlos, Cláudia, Fátima, Jymmy, Lucas, Nilza, Oscar e Tânia, por me ajudarem a resolver problemas de ordens diversas. Aos professores, Aírton Castro, Antônio Carlos, Antônio Zumpano, César Castilho, Claudio Cuevas, Cleide Martins, Eduardo Leandro, Henrique Araújo, Hildeberto Cabral, Lucas Catão, Manoel Lemos, Miguel Loayza, Pablo Silva, Paulo Figueiredo, Sóstenes Lins e Tetsuo Usuo, pelos cursos e por toda matemática ensinada. A Rodrigo Gondim por ter me apresentado a esse país das maravilhas que é a matemática (como ele mesmo diz) e por todo seu carinho comigo. Aos meus companheiros da matemática, Adecarlos, Alejandro, Allan, Allyson, André Bebê, André Ventura, Anete, Arlucio, Barbara, Bruna, Bruno, Cabecinha, Débora, Dk, Eudes Naziazeno, Felipe Gigante, Formiga, Gabriel, Gersonilo, Humerto, Jesus, Joilson, Juliano, Karla, Laudelino, Lito, Luis, Macarrão, Manaíra, Marcelo, Paulo Roberto, Renata, Renato Gabarito, Renato Pescador, Ricatti, Rodrigo, Tarci, Tiago, Vini, Waguinho, Wilber, Zaqueu e todos que zeram parte desses anos de matemática e não estão na lista, por terem feito momentos diversas vezes difíceis terem sido divertidos.

(6) 5 e inesquecíveis. Aos meus amigos do Rugby. Em especial ao meu treinador Chelo pela amizade. A minha amiga de todos os momentos Gabi. A CAPES pelo apoio nanceiro..

(7) Resumo Neste trabalho estudamos uma teoria assintótica para um sistema homogêneo de equações em diferenças funcionais. O enfoque é na existência de soluções convergentes, comportamento assintótico e propriedades desta classe de soluções para perturbações não lineares do sistema homogêneo. O problema é abordado via teoria das dicotomias. Especicamente estudamos o caso no qual a equação homogênea, possui um determinado tipo de dicotomia. Alguns dos resultados usados para demonstrar os teoremas de convergência são os teoremas de Krasnoselky e o critério de compacidade. Também analisaremos informações com respeito ao conjunto das soluções convergentes.. Palavras-chave: Equações em diferença com retardo innito; Comportamento Assintótico; Propriedades de compacidade; Equações em diferença do tipo Volterra..

(8) Abstract In this work we study an asymptotic theory of a homogeneous system of Functional Dierence Equations. The main point is to analyze the existence of convergent solutions, the asymptotic behavior and proprieties of this class of solutions for this systems, but with nonlinear perturbations. The problem is attacked via Dichotomy Theory. More specically, we study the case for which the homogeneous equation has an specic kind of dichotomy. Some of the results we use to prove the convergence theorems involve the Krasnoselky's Theorem and The Compacity Criterion. We also present some information about the set of the convergent solutions.. 5.

(9) Introdução O estudo de equações em diferenças funcionais sobre um espaço de fase tem grande importância em aplicações nos sistemas do tipo Volterra, que por sua vez aparecem de maneira natural em diversos modelos Biológicos, Econômicos, Químicos e Físicos. Os espaços de fase abstratos foram introduzidos por Hale e Kato [8] am de estudar a teoria qualitativa de equações em diferenças funcionais com retardo innito. A teoria da convergência tem um papel importante no estudo de diversos problemas em equações em diferença. Nesta dissertação nos concentraremos no sistema linear homogêneo de equações em diferenças funcionais x(n + 1) = L(n, xn ), n ≥ n0 ≥ 0,. (1). e o correspondente sistema perturbado x(n + 1) = L(n, xn ) + f1 (n, xn ) + f2 (n, x• ),. (2). onde L : N(n0 ) × B → Cr é uma aplicação limitada com respeito à segunda variável, a qual pertence ao espaço de fase B. Os resultados que apresentaremos foram obtidos por Del Campo em sua tese de doutorado (ver [5]). Tais resultados abordam a existência, comportamento assintótico e propriedades de compacidade de soluções convergentes para uma equação em diferença funcional em um espaço de fase submetido a pertubações não lineares, f1 e f2 , com a hipótese que a equação (1) tenha uma dicotomia p-somável ou uma (k1 , k2 )-dicotomia. A diculdade 6.

(10) desse tipo de abordagem, consiste em construir projeções convenientes am de decidir quando um sistema tem uma determinada dicotomia. A relevância dos resultados aqui apresentados reside no fato que existem importantes aplicações devido a generalidade da equação tratada. Como modelo concreto desta classe de equações nós estudamos sistemas em diferenças do tipo Volterra. A dissertação está dividida em quatro capítulos. O primeiro, focado em denições e resultados preliminares, podendo destacar o lema de compacidade e o teorema de Krasnoselky, que serão usados na demonstração dos principais resultados. Nos capítulos dois e três, podemos destacar dois teoremas que tratam o comportamento assintótico de soluções do sistema (2), assumindo que o sistema (1) possui uma (k1 , k2 )-dicotomia e dicotomia p-somável. E no quarto capítulo generalizamos os resultados até então obtidos e apresen-. tamos aplicações em equações em diferença do tipo Volterra..

(11) Sumário 1 Notações e resultados preliminares. 9. 2 Resultados de convergência para sistemas com pensada. (k1 , k2 )-dicotomia. com23. 3 Resultados de convergência para sistemas com dicotomia p-somável em peso 45 4 Aplicações. 62. 4.1 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Sistemas em diferença do tipo Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 8.

(12) Capítulo 1 Notações e resultados preliminares Vamos inicialmente apresentar os espaços que iremos trabalhar ao longo da dissertação. Denotaremos por F(Z− , Cr ), a família de todas as funções de Z− em Cr , onde Z− é o conjunto dos inteiros não positivos e Cr é o espaço Euclidiano complexo de dimensão r com norma | · |. Para uma função x : Z −→ Cr e n ∈ Z, denotamos por xn um elemento de F(Z− , Cr ) denido por xn (s) = x(n + s). Denimos o espaço de fase B (⊆ F(Z− , Cr )), como sendo um espaço de Banach com norma k · kB e que satisfaz os seguintes axiomas:. (A) Existe uma constante positiva J e funções não negativas N (·) e M (·) denidas em. Z+ , onde Z+ é o conjunto dos inteiros não-negativos, com a propriedade que se x : Z −→ Cr é uma função tal que x0 ∈ B, então para todo n ∈ Z+ :. (i) (ii). xn ∈ B, J|x(n)| ≤ kxn kB ≤ N (n) sup |x(s)| + M (n)kx0 kB . 0≤s≤n. (B) A aplicação inclusão. i : (B(Z− , Cr ), k · k∞ ) −→ (B, k · kB ) é contínua, ou seja, existe K ≥ 0 tal que kϕkB ≤ Kkϕk∞ , para todo ϕ ∈ B(Z− , Cr ), onde B(Z− , Cr ) representa o espaço das funções limitadas de Z− em Cr .. Exemplo 1.1. Considere α : Z+ −→ R+ uma sequência positiva crescente. Denamos o 9.

(13) 10 conjunto Bα por. { } |φ(−n)| − r Bα = φ : Z −→ C : sup < +∞ , n∈Z+ α(n). |φ(−n)| , φ ∈ Bα . Tomando J = n∈Z+ α(n) K = α(0)−1 e M (n) = 1, vejamos que Bα satisfaz as condições (A) e (B). Se x : Z −→ Cr , é tal que x0 ∈ Bα , então para n ∈ Z+ : { } | xn (−m)| | xn (−m)| |xn (−m)| kxn kBα = sup = max sup , sup . α(m) α(m) α(m) 0≤m<n m≥n m∈Z+. que é um espaço de Banach com norma kφkBα = sup. E como temos que |xn (−m)| |x0 (n − m)| |x0 (−(m − n)| = sup < sup < ∞, α(m) α(m) α(m − n) m>n m>n m>n sup. pois α é crescente. Logo o item (i) da condição (A) é satisfeita. kxn kBα =. sup m∈Z+. |xn (−m)| |x(n − m)| |x(n − 0)| = sup ≥ . α(m) α(m) α(0) m∈Z+. Assim, α(0)−1 |x(n)| ≤ kxn kBα. Por outro lado, |xn (−m)| |x(n − m)| = sup α(m) α(m) m∈Z+ m∈Z+ { } |x(n − m)| |x0 (n − m)| = max sup , sup α(m) α(m) 0≤m<n n≥m. kxn kBα =. sup. |x0 (n − m)| α(m) n≥m. ≤ sup. |x0 (n − m)| n≥m α(m − n). ≤ sup. = kx0 kBα ≤ kx0 kBα + α(0)−1 sup |x(s)|. 0≤s≤n.

(14) 11 Mostrando assim que o item (ii) da condição (A) é válido. Como kϕkBα =. sup m∈Z+. = sup t∈Z−. |ϕ(−m)| α(m). |ϕ(t)| |ϕ(t)| ≤ sup α(−t) t∈Z− α(0). = α(0)−1 sup |ϕ(t)| = α(0)−1 kϕk∞ , t∈Z−. segue que a inclusão dada na condição (B) é contínua. Mostrando assim que Bα é um espaço de fase. Nesta dissertação sempre que escrevermos B, estaremos nos referindo a um espaço de fase. Suponhamos que {k(n)}n∈Z+ seja uma sequência positiva arbitrária. Denotaremos por Xk o espaço de Banach de todas as funções η : N(n0 ) −→ B que são k-limitadas, ou limitadas com peso k, munido da norma: kηkk = sup kη(n)kB k(n)−1 < +∞, n≥n0. onde N(n0 ) = {n ∈ N ; n ≥ n0 }, com n0 ∈ Z+ . Neste espaço consideramos o subespaço X∞, k das funções ξ ∈ Xk que são k -convergentes, ou convergentes em peso k, ou seja, para k os quais existe o limite lim ξ(n)k(n)−1 (que denotaremos por Z∞ (ξ) = lim ξ(n)k(n)−1 ), n→∞ n→∞ munido com a norma k · kk . Denotaremos por X∞,k [λ], para λ > 0, bola kξkk ≤ λ em X∞, k. O objetivo é estudar o seguinte sistema linear homogêneo de equações em diferenças funcionais: x(n + 1) = L(n, xn ), n ≥ n0 ≥ 0, (1.1) e seu sistema perturbado x(n + 1) = L(n, xn ) + f1 (n, xn ) + f2 (n, x• ),. (1.2). onde L : N(n0 ) × B → Cr é uma aplicação limitada com respeito à segunda variável, e no que se segue L sempre denotará um operador com essa propriedade; f1 : N(n0 ) × B → Cr e f2 : N(n0 ) × Xk → Cr são funções sob certas condições que especicaremos mais adiante e, x• : N(n0 ) → B é a função denida por x• (n) = xn ..

(15) 12 Para qualquer n ≥ τ, denimos o operador T (n, τ ) : B → B por T (n, τ )ϕ = xn (·, τ, ϕ), ϕ ∈ B,. onde x(·, τ, ϕ) denota a solução do sistema linear homogêneo (1.1) que passa por (τ, ϕ), ou seja, xτ (·, τ, ϕ) = ϕ.. Armação 1.. O operador T (n, τ ), chamado de operador solução do sistema linear ho-. mogêneo (1.1) é linear limitado, isto é, T (n, τ ) ∈ L(B).. Armação 2.. O operador T (n, τ ) tem as seguintes propriedades de semigrupo:. T (n, s)T (s, τ ) = T (n, τ ), T (τ, τ ) = I, n ≥ s ≥ τ. Aqui I denota a identidade de L(B).. De fato, T (n, τ )ϕ = xn (·, τ, ϕ) ⇒ T (τ, τ )ϕ = xτ (·, τ, ϕ) = ϕ. Logo T (τ, τ ) = I.. Note que T (n, s)T (s, τ )ϕ = xn (·, s, xs (·, τ, ϕ)), fazendo y(t) = x(t, s, xs (·, τ, ϕ)), daí temos que y(t) é solução de   y(t + 1) = L(t, y ), t ≥ τ, t  y = ϕ. τ. Logo xn = yn = T (n, τ ). Assim T (n, s)T (s, τ )ϕ = T (n, τ )ϕ.. Denição 1.1. (a). Sejam k1 e k2 duas sequências positivas.. Dizemos que o sistema linear homogêneo de equações em diferenças funcionais (1.1) tem uma (k1 , k2 )-dicotomia, se o operador solução T (n, τ ) satisfaz as seguintes propriedades: Existe uma constante positiva M e um operador projeção P (τ ) : B →. B, (P (τ )2 = P (τ )), τ ∈ Z+ , tal que se Q(τ ) = I − P (τ ), então. (a.1) (a.2). T (n, τ )P (τ ) = P (n)T (n, τ ), n ≥ τ. A restrição T (n, τ ) |R(Q(τ )) , n ≥ τ, é um isomorsmo de R(Q(τ )) sobre. R(Q(n)), onde R(Q(·)) denota a imagem de Q(·), e denotaremos por T (τ, n) a aplicação inversa..

(16) 13. (b). (a.3). kT (n, τ )P (τ )k ≤ M k1 (n)k1 (τ )−1 , n ≥ τ.. (a.4). kT (n, τ )Q(τ )k ≤ M k2 (n)k2 (τ )−1 , τ ≥ n.. Dizemos que a (k1 , k2 )-dicotomia é compensada se existe uma constante positiva C ≥. 1, tal que: k1 (n)k1 (m)−1 ≤ Ck2 (n)k2 (m)−1 , n ≥ m.. Denição 1.2.. Seja p ≥ 1, e sejam a1 e a2 duas sequências positivas. Dizemos que. o sistema (1.1) tem uma dicotomia p-somável em peso (a1 , a2 ) se o operador solução. T (n, τ ) satisfaz as condições (a.1) e tal que: uma constante positiva K (. (i). kΓ(n, ·)ka2 ,p :=. ∞ ∑. (a.2). da denição anterior e, além disso, existe. )1/p a1 (n), para n ≥ n0 , onde Γ(n, s) denota ≤K. kΓ(n, s)kp a2 (s). s=n0. a função:.    T (n, s + 1)P (s + 1),   Γ(n, s) =. se n − 1 ≥ s,.     −T (n, s + 1)Q(s + 1) se n − 1 < s,. chamada a Função de Green associada a equação (1.1).. Exemplo 1.2. Consideremos o espaço de fase {. Bα =. } |φ(−n)| φ : Z → C : sup < +∞ , n∈Z+ α(n) −. 2. onde α(n) = 2n . Sejam k1 (n) = k2 (n) = 2−n . Nestas condições, consideremos o seguinte sistema em diferenças y(n + 1) = Ay(n), n ≥ 0, (1.3) . onde A = . . 1 2. 0. 0 2. ..

(17) 14 Denotemos por T (n) como sendo T (n, 0). Armamos que T (n) é um operador limitado no espaço Bα , T (n)φ = yn (·, 0, φ) T (n)φ(θ) = yn (θ, 0, φ), θ ≤ 0 = y(n + θ, 0, φ), θ ≤ 0.. Da equação (1.3), temos que y(1) = Ay(0) y(2) = Ay(1) = A2 y(0). .. .. y(n + θ) = A(n+θ) y(0)    −(n+θ) 1 2 0 θ (0)   =  n+θ 2 0 2 θ (0)   2−(n+θ) θ1 (0) . =  2n+θ θ2 (0). No caso n + θ < 0, temos T (n)φ(θ) = φ(n + θ), onde φ(·) = (φ1 (·), φ2 (·)) ∈ Bα . Daí vemos que T (n) é denido por   y(n + θ, 0, φ) = (2−(n+θ) φ1 (0), 2(n+θ) φ2 (0)), −n ≤ θ ≤ 0, T (n)φ(θ) =  φ(n + θ), θ < −n.. Denamos as seguintes projeções, P (n) : Bα → Bα e Q(n) : Bα → Bα , com Q(n) = I − P (n), denidas por :   (φ1 (θ) − 2−θ φ1 (0), φ2 (θ) − 2θ φ2 (0)), −n ≤ θ ≤ 0, P (n)φ(θ) =  (0, 0), θ < −n,   (2−θ φ1 (0), 2θ φ2 (0)), −n ≤ θ ≤ 0, Q(n)φ(θ) =  (φ1 (θ), φ2 (θ)) θ < −n..

(18) 15 Mostremos que P (n) é uma projeção: O caso θ < −n é imediato e no caso −n ≤ θ ≤ 0, temos : P (n)(P (n)φ)(θ) = P (n)ψ(θ) = (ψ 1 (θ) − 2−θ ψ 1 (0), ψ 2 (θ) − 2θ ψ 2 (0)) = (φ1 (θ) − 2−θ φ1 (0) − 2−θ (φ1 (0) − 20 φ1 (0)), φ2 (θ) − 2θ φ2 (0) − 2θ (φ2 (0) − 20 φ2 (0))) = (φ1 (θ) − 2−θ φ1 (0), φ2 (θ) − 2θ φ2 (0)) = P (n)φ(θ).. Mostremos que Q(n) é projeção: Q(n)2 = (I−P (n))2 = I−P (n)−P (n)+P (n)2 = I−P (n)−P (n)+P (n) = I−P (n). Daí, Q(n)2 = Q(n).  ψ1 (θ) ψ2 (θ)   {  z −θ}|1 { z θ }| 2 ( 2 φ (0), 2 φ (0)), −n ≤ θ ≤ 0, Q(t)φ(θ) =    (φ1 (θ), φ2 (θ)) θ < −n,   (2−(n−t+θ) φ1 (0), 2(n−t+θ) φ2 (0)), −(n − t) ≤ θ ≤ 0, T (n − t)φ(θ) =  φ(n − t + θ) θ < −(n − t).. Para o cálculo de T (n − t)Q(t)φ(θ), temos alguns casos a considerar:. (i). θ < −(n − t) e n − t + θ < −t. Nesse caso temos n − t + θ < 0 e θ < −n, então T (n − t)ψ(θ) = ψ(n − t + θ) = φ(n − t + θ). Logo temos que T (n − t)Q(t)φ(θ) = φ(n − t + θ).. (ii). θ < −(n − t) e −t ≤ n − t + θ ≤ 0. Nesse caso temos n − t + θ < 0 e −n ≤ θ ≤ 0.. Então T (n − t)ψ(θ) = (2−(n−t+θ) φ1 (0), 2n−t+θ φ2 (0)).. No caso em que −(n − t) ≤ θ ≤ 0, temos n − t + θ ≥ 0. T (n − t)ψ(θ) = (2−(n−t+θ) ψ 1 (0), 2n−t+θ ψ 2 (0))..

(19) 16 Temos os seguintes casos a considerar: (iii) 0 < −t ⇒ t < 0, nesse caso não faz sentido T (n − t)Q(t). (iv) −t ≤ 0 ⇒ t ≥ 0 e n − t + θ ≥ 0 ⇒ n + θ ≥ t ≥ 0 ⇒ −n ≤ θ ≤ 0. T (n − t)ψ(θ) = (2−(n−t+θ) φ1 (0), 2n−t+θ φ2 (0)).. Portanto, para n ≥ t, T (n − t) : Q(t)Bα → Q(n)Bα é dado por:.   (2−(n−t+θ) φ1 (0), 2n−t+θ φ2 (0)), −n ≤ θ ≤ 0, T (n − t)Q(t)φ(θ) =  (φ1 (n − t + θ), φ2 (n − t + θ)), θ < −n.. Analisando da mesma forma a obter T (n − t)Q(t), obtemos que para n ≥ t, T (n − t)Q(t) = Q(n)T (n − t), T (n − t)P (t) = P (n)T (n − t).. Armamos que T (n − t), para n ≥ t denido acima é um isomorsmo de Q(t)Bα sobre Q(n)Bα . E sua aplicação inversa é dada por: T (n − t)Q(t)φ(θ) =.  . (2n−t φ1 (0), 2−(n−t) φ2 (0)),.  (φ1 (t − n + θ), φ2 (t − n + θ)),. Temos que T (n − t)P (t)Q(θ) =.  . (0, 0),.  ψ(n − t + θ),. −t ≤ θ ≤ 0, θ < −t.. −n + t ≤ θ ≤ 0, θ < −n + t.. Quando θ < −n + t, temos 2 casos a considerar:. (i). −t ≤ n − t ≤ 0. (ii). n − t + θ < −t. No caso (ii) temos ψ(n − t + θ) = (0, 0). No primeiro caso temos |(φ(n − t + θ) − 2−n+t+θ φ1 (0), φ2 (n − t + θ) − 2n−t+θ φ2 (0))| |ψ(n − t + θ)| = 2−θ 2−θ ≤. |φ(n − t + θ)| 2n−t+θ |φ(0)| + 2−θ 2−θ. ≤ 2t−n. |φ(n − t + θ)| + 2n−t+2θ |φ(0)| −(n−t+θ) 2.

(20) 17 Logo, kT (n − t)P (t)φk ≤ 2.2t−n kφk ⇒ kT (n − t)P (t)k ≤ 2.2t−n .. Analogamente, obtemos kT (n − t)P (t)k ≤ 2.2−(n−t) , n ≥ t, kT (n − t)Q(t)k ≤ 2.2−(n−t) , t ≥ n.. Assim, o sistema (1.3) tem uma (2−n , 2−n )-dicotomia, que de fato é compensada, onde a constante da denição é C = 1.. Exemplo 1.3. Consideremos o espaço de fase {. } |φ(−n)| Bα = φ : Z → C : sup < +∞ , n∈Z+ α(n) √ onde α(n) = 2n . Sejam a1 (n) = (1/ 2)n , a2 (n) = (1/4)n+1 e a > 1. Então consideremos −. a equação em diferença homogênea: x(n + 1) = an x(n), n ≥ n0 ≥ 0.. (1.4). A solução da equação (1.4) é x(·, m, ϕ) tal que xm (·, m, ϕ) = ϕ. Temos que x(n) = an−1 x(n − 1) = an−1 an−2 . . . am x(m) √ (n+m−1)(n−m) √ (n+m−1)(n−m) = a x(m) = a ϕ(0).. Logo temos que o operador solução para este problema é denido da seguinte forma:   √a(n+θ+m−1)(n+θ−m) ϕ(0), m − n ≤ θ ≤ 0, T (n, m)ϕ(θ) =  ϕ(n + θ − m), n + θ ≤ m.. Como T (n, τ ) é o operador solução do sistema (1.4), então satisfaz as propriedades de semigrupo: T (n, s)T (s, m) = T (n, m), n ≥ s ≥ m e T (n, n) = I. As projeções tomadas neste exemplo são denidas por P (n) : Bα → Bα ,   ϕ(θ) − ϕ(0)√a(2nθ+θ2 −θ) , −n ≤ θ ≤ 0, P (n)ϕ(θ) =  0, θ < −n,.

(21) 18 e Q(n) = I − P (n) : Bα → Bα denida por:.   ϕ(0)√a(2nθ+θ2 −θ) , −n ≤ θ ≤ 0, Q(n)ϕ(θ) =  ϕ(θ), θ < −n.. Para n ≥ τ, temos: T (n, τ )P (τ ) = P (n)T (n, τ ), T (n, τ )Q(τ ) = Q(n)T (n, τ ).. Para n ≥ τ, temos que T (n, τ ) : Q(τ )Bα → Q(n)Bα é dado por:.   ϕ(0)√a(τ +θ−n)(n+θ+τ −1) , −n ≤ θ ≤ 0, T (n, τ )Q(τ )ϕ(θ) =  ϕ(τ − n + θ), θ < −n,. e obtemos que: kT (n, s)P (s)ϕkBα ≤ 2(1/2)n−s kϕkBα , n ≥ s, kT (n, s)Q(s)ϕkBα ≤ 2s−n kϕkBα , s ≥ n,. o que implica que: kΓ(n, ·)ka2,1 ≤ 2a1 (n), n ≥ n0 .. Daí, temos que (1.4) tem uma dicotomia 1-somável.. Denição 1.3. O espaço `∞ := `∞ (N(n0 ), Rm ) é denido como sendo o espaço de Banach das sequências limitadas.. Denição 1.4.. Um conjunto S de sequências x : N(n0 ) → Rm é dito equiconvergente em. ∞ se toda sequência de S é convergente no ponto ∞ e para todo > 0, existe um N ∈ N 1 tal que | x(n) − Z∞ (x)| < , ∀n ≥ N, ∀x ∈ S.. Lema 1.1. (Critério de Compacidade em. X∞, k ) Seja S um subconjunto de X∞, k . Suponhamos que as seguintes condições são satisfeitas: (C1 ) O conjunto Hnk (S) := {ξ(n)k(n)−1 : ξ ∈ S} é relativamente compacto em B para todo n ∈ N(n0 ),.

(22) 19 (C2 ) S é equiconvergente em peso k em ∞; isto é, para qualquer > 0, existe N ∈ N tal que k kξ(n)k(n)−1 − Z∞ (ξ)kB < , para todo n ≥ N, para todo ξ ∈ S. Então, S é relativamente compacto em X∞, k .. Demonstração.. Seja {ξm }m uma sequência em S. Como (C1 ) nos diz que Hnk (S) é. relativamente compacto em B, temos que existe uma subsequência {ξmj }mj de {ξm }m tal que o limite a(n) = lim ξmj (n)k(n)−1 existe para cada n ∈ N(n0 ). j→∞. k k Armação: O conjunto Z∞ (S) = {Z∞ (ξ) : ξ ∈ S}, é relativamente compacto em B. k Temos de (C1 ) e (C2 ) que Z∞ (S) é limite uniforme dos conjuntos relativamente k compactos Hnk (S), e assim ele é relativamente compacto em B. Vemos que {Z∞ (ξmj )}j é. uma sequência de Cauchy em B. De fato,. kξmi (n)k(n)−1 − ξmj (n)k(n)−1 kB = kξmi (n)k(n)−1 − a(n) + a(n) − ξmj (n)k(n)−1 kB ≤ kξmi (n)k(n)−1 − a(n)kB + ka(n) − ξmj (n)k(n)−1 kB Mostremos agora que {ξm }m é uma sequência de Cauchy em X∞, k . Seja N dado pela condição (C2 ), se n0 ≤ n ≤ N :. kξmj (n) − ξmi (n)kB k(n)−1 ≤ kξmj (n)k(n)−1 − a(n)kB + ka(n) − ξmi (n)k(n)−1 kB . Para n > N, temos k k kξmj (n) − ξmi (n)kB k(n)−1 ≤ kξmj (n)k(n)−1 − Z∞ (ξmj )kB + kξmi (n)k(n)−1 − Z∞ (ξmi )kB k k + kZ∞ (ξmi ) − Z∞ (ξmj )kB .. Então de fato {ξmj }j é uma sequência de Cauchy em X∞, k , portanto o conjunto S é relativamente compacto em X∞, k .. . Observação 1.1. A condição (C2 ) pode ser substituida pela seguinte condição equivalente: (C2 )∗ S é uniformemente de Cauchy em peso k ; isto é, dado > 0, existe N0 ∈ N tal que kξ(m)k(m)−1 − ξ(n)k(n)−1 kB < , para todo m ≥ n ≥ N0 , para todo ξ ∈ S..

(23) 20 k (C2 ) ⇒ (C2∗ ): Temos que kξ(n)k(n)−1 − Z∞ (ξ)kB < , para todo n ≥ N e para todo ξ ∈ S. Então, para n, m ≥ N, k k kξ(m)k(m)−1 − ξ(n)k(n)−1 kB = kξ(m)k(m)−1 − Z∞ (ξ) + Z∞ (ξ) − ξ(n)k(n)−1 kB k k ≤ kξ(m)k(m)−1 − Z∞ (ξ)kB + kZ∞ (ξ) − ξ(n)k(n)−1 kB .. Logo temos que S é uniformemente de Cauchy. (C2∗ ) ⇒ (C2 ): Temos que {ξ(n)k(n)−1 }n é uma sequência de Cauchy em B, para cada k (ξ) = lim ξ(n)k(n)−1 existe. ξ ∈ S. Como ξ ∈ S temos que o limite Z∞ n→∞. Seja n ≥ N0 , n xo. Então temos:. kξ(m)k(m)−1 − ξ(n)k(n)−1 kB < ,. para todo m ≥ n, para todo ξ ∈ S. Portanto, a = sup sup kξ(m)k(m)−1 − ξ(n)k(n)−1 kB ≤ , ξ∈S m≥n. para todo m ≥ n, para todo ξ ∈ S. k Daí temos que kZ∞ (ξ) − ξ(n)k(n)−1 kB ≤ a ≤ , para n ≥ N0 , para todo ξ ∈ S. Mostrando assim a equivalência entre as condições. Consideremos a função com valores nas matrizes r × r, E 0 (t), para t ∈ Z− , denida por:.   I (matriz identidade r × r), t = 0, 0 E (t) =  0 (matriz nula), t < 0.. e. E 0 (v)(t) := E 0 (t)(v), t ∈ Z− , v ∈ Cr .. Lema 1.2.. Assumamos que a função z : [τ, +∞) → B satisfaz a relação. z(n) = T (n, τ )z(τ ) +. n−1 ∑. T (n, s + 1)E 0 p(s), n ≥ τ,. (1.5). s=τ. e denamos a função y : Z → Cr por:   z(n)(0), n ≥ τ, y(n) =  z(τ )(n − τ ), n < τ.. (1.6).

(24) 21 Então, y satisfaz a equação. y(n + 1) = L(n, yn ) + p(n), n ≥ τ,. (1.7). e a relação yn = z(n), n ≥ τ.. Demonstração. Pelo Teorema de representações de soluções de Murakami (ver Teorema. 2.1 em [11]) para equações de diferença funcionais em espaços de fase, temos que a solução x(·, τ, φ, p) de (1.7) passando por (τ, φ) satisfaz a relação: xn (·, τ, φ, p) = T (n, τ )φ +. n−1 ∑. T (n, s + 1)E 0 (p(s)), n ≥ τ.. (1.8). s=τ. Assim, de (1.5) e (1.8) temos que: z(n) = xn (·, τ, z(τ ), p).. (1.9). z(n)(s) = x(n + s, τ, z(τ ), p), s ≤ 0 e n ≥ τ.. (1.10). Portanto, Logo, z(n)(0) = x(n, τ, z(τ ), p).. De (1.6), (1.9) e (1.10) temos:  .   x(n + s, τ, z(τ ), p), s ≥ τ − n, z(n + s)(0), s ≥ τ − n, y(n + s) = =  z(τ )(n + s − τ ), s < τ − n,  x(n + s, τ, z(τ ), p), s < τ − n,. ou seja, yn (s) = xn (s, τ, z(τ ), p), para s ≤ 0.. Assim: yn = xn (·, τ, z(τ ), p).. (1.11). De (1.9) e (1.11), tem-se que yn = z(n), para n ≥ τ. E como z(n)(0) = yn (0) = y(n), de (1.11) obtemos y(n) = x(n, τ, z(τ ), p) = x(n, τ, a, yτ , p), para n ≥ τ.. Portanto y(n) é solução de (1.7) passando por (τ, φ). Os próximos resultados serão usados na demonstração dos teoremas que estudam o comportamento assintótico do sistema (1.2)..

(25) 22. Lema 1.3. (Teorema de Krasnoselky). Se S é um conjunto convexo e completo de. um espaço normado E, T : S → S é uma aplicação contínua com imagem relativamente compacta, B : S → E é uma contração e T x + By ∈ S, para x, y ∈ S, então T + B tem um ponto xo.. Denição 1.5.. Sejam Ω ⊆ Rn , um aberto, u : Ω ⊆ Rn → R uma função mensurável e. 1 ≤ p. Dizemos que u ∈ Lp se. para 1 ≤ p < +∞ : kukp =. (∫. )1/p |u(x)| dx. < ∞,. p. Ω. para p = +∞ : kuk∞ = ess sup |u(x)| = inf {C; |u(x)| ≤ C q.t.p. em Ω} < ∞. x∈Ω. Lema 1.4. (Desigualdade de Hölder) 1 p. +. 1 q. Sejam 1 < p < +∞ e q denido pela relação. = 1. Se u ∈ L (Ω) e v ∈ L (Ω), então uv ∈ L1 (Ω) e p. q. kuvk1 ≤ kukp kvkq .. Lema 1.5. (Desigualdade de Gronwall discreta)Sejam z(n) e h(n) duas sequências de números reais, n ≥ n0 ≥ 0. Se [. z(n) ≤ M z(n0 ) +. n−1 ∑. ] h(j)z(j) , para algum M > 0,. j=n0. então. z(n) ≤ z(n0 ). n−1 ∏. [(1 + M h(j))], n ≥ 0,. j=n0. ou. z(n) ≤ z(n0 )exp. [ n−1 ∑ j=n0. ] M h(j) , n ≥ n0 ..

(26) Capítulo 2 Resultados de convergência para sistemas com (k1, k2)-dicotomia compensada Para o que segue, vamos requerer que a equação linear homogênea (1.1), tenha uma (k1 , k2 )− dicotomia compensada, e a equação em diferença quase linear (1.2) seja submetida a duas perturbações não lineares. Introduzimos a seguinte notação, para ϕ ∈ B : Zϕ (n) := T (n, n0 )P (n0 )ϕ.. Para os resultados seguintes, vamos precisar da seguinte hipótese: (D) As seguintes condições valem: (d-1) A função f1 (n, ϕ) é localmente Lipschitz em ϕ ∈ B; isto é, para cada número positivo R e para todo ϕ, ψ ∈ B, com kϕkB , kψkB ≤ R, verica-se que: | f1 (n, ϕ) − f1 (n, ψ) | ≤ k1 (n)−1 F1 (n, R)kϕ − ψkB ,. onde F1 : N(n0 ) × R+ → R+ é uma função contínua não decrescente com respeito à segunda variável, f1 (n, 0) = 0 e F1 (n, 0) = 0, para n ≥ n0 . 23.

(27) 24 (d-2) Existem constantes positivas µ1j , j = 1, 2 tais que ∞ ∑. F1 (s, µ1j kj (s)) k1 (s + 1)−1 < +∞.. s=n0. (d-3) Existem constantes positivas λj , e funções F2j : N (n0 )×R+ → R+ não decrescentes com respeito à segunda variável, com j = 1, 2, tais que para cada (n, ξ) ∈ N (n0 ) × Xkj , com kξkkj ≤ λj , verica-se que: ( ) |f2 (n, ξ)| ≤ F2j n, kξkkj .. (d-4) Existem constantes positivas µj , j = 1, 2 tais que δj (γ) < 1, γ γ∈(0,µj ]. βµj = sup. onde δj (γ) := Γ1. com. ∞ ∑. F2j (s, γ) k1 (s + 1)−1 ,. s=n0. { } Γ1 := KM C max 1, Ck1 (n0 ) k2 (n0 )−1 ,. K é a constante do axioma (B) e M, C são as constantes da denição de (k1 , k2 )-. Dicotomia Compensada. No teorema seguinte vamos estudar convergência das soluções de (1.2) sob certas condições acerca do sistema linear homogêneo (1.1). Devido à tecnicalidade da demonstração, vamos descrever seu esquema: iremos aplicar o Teorema de Krasnoselky para operadores adequados B j e T j , denidos sobre o espaço onde estarão as soluções convergentes, X∞, k , de modo que a equação que o ponto xo obtido satisfaz corresponda à equação do Lema (1.2). O ponto xo estará em X∞, k , e será a solução procurada. As hipóteses que assumiremos são: (A) e (B) dos axiomas de espaço de fase, (a) e (b) dos axiomas de dicotomia compensada, (D) que são condições sobre as perturbações (f1 ) e (f2 ) e a tese é dado ψ ∈ B, com P (n0 )ψ de norma sucientemente pequena, existe uma solução de (1.2) passando por (n0 , ψ) que converge em peso kj , j = 1, 2. As etapas da demonstração são: Denir B j : X∞, kj [γj ] −→ X∞, kj , operador sobre elementos de norma ≤ γj sucientemente pequena. Mostraremos que B j está bem denido e que é uma contração. Em seguida deniremos T j : X∞, kj [γj ] −→ X∞, kj [γj ] operador sobre elementos.

(28) 25 de norma ≤ γj , mostraremos que T j está bem denido e que se ξ, µ ∈ X∞, kj [γj ], então T j ξ + B j µ ∈ X∞, kj [γj ], ou seja, que T j + B j é fechado sobre X∞, kj [γj ]. Em seguida vamos demonstrar que o operador T j é contínuo e que Im(T j ) é relativamente compacta usando o critério de compacidade (Lema 1.1) . Com isso estaremos prontos pra usar o Teorema de Krasnoselky (Lema 1.3) e mostrar que a equação satisfeita pelo ponto xo dene uma solução.. Teorema 2.1. Assumamos que a condição (D) vale.. Suponhamos também que as seguintes. condições são satisfeitas: (D1 ) O sistema (1.1) tem uma (k1 , k2 )-dicotomia compensada tal que. lim k1 (m)−1 T (m, n) P (n) = 0,. m→∞. para qualquer n ∈ N (n0 ). (D2 ) Para qualquer n ≥ n0 e j = 1, 2 as funções. gj (n, · ) := F2j (n, µj )−1 f2 (n, ·) , são contínuas. 1 (D3 ) Os limites π (ξ) := Z∞ (gj (•, ξ)), j = 1, 2 existem uniformemente em ξ ∈ X∞,kj [λj ].. fj , para j = 1, 2 tais que para cada Então, existem constantes positivas γj , M ( ) −1 f , existe uma solução y j = y j (ϕ) = ϕ ∈ P (n0 ) B com kϕkB ≤ γj βµj − δj (γj ) M j. y j (n, n0 , ψ), j = 1, 2 com P (n0 ) ψ = ϕ, da equação (1.2) tal que lim kj (n)−1 ynj = 0. n→∞ Além disso, temos a seguinte fórmula assintótica: ynj (ϕ) = o (kj (n)) , quando n → ∞.. Demonstração.. (2.1). Seja. C(µ1j ) =. ∞ ∑. F1 (s, µ1j kj (s)) k1 (s + 1)−1 < ∞.. s=n0. Como F1 é contínua e F1 (s, 0) = 0, temos que C(·) se anula em 0, logo podemos escolher. 0 < γj < µ1j de modo que C(µ1j ) seja sucientemente pequeno. Se tomarmos γj < µj , temos βµj < 1. Então tomemos 0 < γj < min {λj , µj , µ1j } , com j = 1, 2, tal que ( ∞ ) ∑ τj := βµj + K M C F1 (s, µ1j kj (s)) k1 (s + 1)−1 < 1, s=n0.

(29) 26 onde βµj é dado por (d − 4). Consideremos o operador B j : X∞, kj [γj ] → X∞, kj , denido por: j. B µ(n) :=. ∞ ∑. Γ(n, s) E 0 (f1 (s, µ(s))).. s=n0. Então Z∞j (B j µ) = 0 ou seja, lim B j µ(n) kj (n)−1 = 0. k. n→∞. Com efeito, para cada s ∈ N(n0 ) temos. kµ(s)kB kj (s)−1 ≤ γj < µ1j ⇒ kµ(s)kB < µ1j kj (s).. −1. kB µ(n)kB kj (n) j. ≤. ∞ ∑. kΓ(n, s)k kE 0 (f1 (s, µ(s)))kB kj (n)−1. s=n0. ≤ K. ∞ ∑. kΓ(n, s)k kf1 (s, µ(s))k∞ kj (n)−1. s=n0. ≤ K. ∞ ∑. kΓ(n, s)k k1 (s)−1 F1 (s, µ1j kj (s))kµ(s)kB kj (n)−1. s=n0. z ≤ K. (A) n∑ 1 −1. }|. {. kT (n, s + 1)P (s + 1)k F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s)−1 kj (n)−1 kµ(s)kB. s=n0. z + K. (B). }|. n−1 ∑. {. kT (n, s + 1)P (s + 1)k F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s)−1 kj (n)−1 kµ(s)kB. s=n1. z + K. (C) ∞ ∑. }|. {. kT (s, s + 1)Q(s + 1)k F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s)−1 kj (n)−1 kµ(s)kB .. s=n. Estimemos (A), (B) e (C) separadamente. Como. T (n, s + 1)P (s + 1) = T (n, n1 )T (n1 , s + 1)P 2 (s + 1) = T (n, n1 )P (n1 )T (n1 , s + 1)P (s + 1)..

(30) 27 Então,. kT (n, s + 1)P (s + 1)k ≤ kT (n, n1 )P (n1 )k.kT (n1 , s + 1)P (s + 1)k ≤ kT (n, n1 )P (n1 )k M k1 (n1 )k1 (s + 1)−1 . Logo,. (A) ≤ γj K M kT (n, n1 )P (n1 )k k1 (n1 ). n∑ 1 −1. k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 kj (n)−1 kj (s)F1 (s, µ1j kj (s)).. s=n0. Analisemos a seguinte expressão:. k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 kj (n)−1 kj (s) = k1 (n)−1 k1 (n)k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 kj (n)−1 kj (s) = (∗). Temos 2 casos a considerar:. (j=1). (∗) = k1 (s + 1)−1 k1 (s)k1 (n)−1 k1 (s) = k1 (n)−1 k1 (s + 1)−1 ≤ C k1 (n)−1 k1 (s + 1)−1 ,. (j=2). (∗) = k1 (n)−1 (k1 (n)k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 k2 (n)−1 k2 (s)) ≤ C k1 (n)−1 k1 (s + 1)−1 .. Portanto,. (A) ≤ γj KM C k1 (n1 )kT (n, n1 )P (n1 )k k1 (n)−1. n∑ 1 −1. F1 (s, µ1j kj (s)) k1 (s + 1)−1 .. s=n0. Como antes,. (B) ≤ γj KM. n−1 ∑. k1 (n)k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 kj (n)−1 kj (s)F1 (s, µ1j kj (s)). s=n1. ≤ γj KM C. n−1 ∑. F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s + 1)−1 ,. s=n1. (C) ≤ γj KM. ∞ ∑. k2 (n)k2 (s + 1)−1 k1 (s)−1 kj (n)−1 kj (s)F1 (s, µ1j kj (s)). s=n. ≤ γj KM C. ∞ ∑ s=n. F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s + 1)−1 ..

(31) 28 Portanto temos que. kB j µ(n)kB kj (n)−1 ≤ γj KM C k1 (n1 )kT (n, n1 )P (n1 )k k1 (n)−1. n∑ 1 −1. F1 (s, µ1j kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n0. +γj KM C. ∞ ∑. F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s + 1)−1 .. s=n1. De (d − 2) temos que grande temos que temente grande. ∞ ∑. ∞ ∑. F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s + 1)−1 < ∞. Tomando n1 sucientemente. s=n0. F1 (s, µ1j kj (s))k1 (s + 1)−1 < , e de (D1 ) segue que para n sucien-. s=n1. k1 (n1 )kT (n, n1 )P (n1 )kk1 (n)−1 −→ 0, logo temos que. kB j µ(n)kB kj (n)−1 −→ 0, para n e n1 tomados acima, com n > n1 . Além disso, tomando µ, ξ ∈ X∞, kj [γj ], temos. |f1 (s, µ(s)) − f1 (s, ξ(s))| ≤ k1 (s)−1 F1 (s, γk kj (s))kµ(s) − ξ(s)kB . Logo pela propriedade (b) da dicotomia,. kB j µ(n) − B j ξ(n)kB kj (n)−1. ≤ KM. n−1 ∑. k1 (n)k1 (s + 1)−1 k1 (s)−1 F1 (s, γj kj (s))kµ(s) − ξ(s)kB kj (n)−1. s=n0. + KM. ∞ ∑. k2 (n)k2 (s + 1)−1 k1 (s)−1 F1 (s, γj kj (s)) kµ(s) − ξ(s)kB kj (n)−1 .. s=n. Tomando o supremo temos que:. ( kB j µ(n) − B j ξ(n)kB kj (n)−1 ≤ KM C. ∞ ∑. s=n0. ) F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1. kµ − ξkkj ,.

(32) 29 mostrando assim que o operador B j é uma contração. ˜ j := M C j−1 kj (n0 )−1 e seja ϕ ∈ P (n0 )B tal que: Denotemos por M. ( ) −1 ˜ , para j = 1, 2. kϕkB ≤ γj βµj − δ(γj ) M j Denamos o operador T j sobre o conjunto X∞, kj [γj ], j = 1, 2, por: j. T ξ(n) := Zϕ (n) +. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 f2 (s, ξ),. s=n0. para ξ ∈ X∞, kj [γj ] e n ≥ n0 . Mostremos que T j ξ ∈ X∞, kj [γj ] : (D). kT j ξ(n)kB kj (n)−1. z }| { ≤ kZϕ (n)kB kj (n)−1 z + K. (E) ∞ ∑. }|. {. kΓ(n, s)k kf2 (s, ξ)kkj (n)−1 .. s=n0. Temos que Zϕ (n) = T (n, n0 )P (n0 )ϕ, então. kT (n, n0 )P (n0 )ϕkB ≤ kT (n, n0 )P (n0 k kϕkB ≤ M k1 (n)k1 (n0 )−1 kϕkB ( ) −1 ˜ ≤ M k1 (n)k1 (n0 )−1 γj βµj − δj (γj ) M j ( ) = M k1 (n)k1 (n0 )−1 γj βµj − δj (γj ) M −1 (C j−1 )−1 kj (n0 ). Analisando o caso j = 1, 2, vemos que:. (D) ≤ γj βµj − δj (γj ),.

(33) 30 Façamos agora a estimativa de (E):. (E) = K. n−1 ∑. kT (n, s + 1)P (s + 1)kF2j (s, νj )kj (n)−1. s=n0. + K. ∞ ∑. kT (n, s + 1)Q(s + 1)kF2j (s, νj )kj (n)−1. s=n. ≤. n−1 ∑. KM k1 (n)k1 (s + 1)−1 kj (n)−1 F2j (s, γj ). s=n0. +. ∞ ∑. KM k2 (n)k2 (s + 1)−1 kj (n)−1 F2j (s, γj ).. s=n0. Da denição de Γ1 e das propriedades de dicotomia temos que:. (E) ≤ Γ1. ∞ ∑. F2j (s, γj )k1 (s + 1)−1 .. s=n0. Portanto. kT j ξ(n)kB kj (n)−1 ≤ γj βµj ≤ γj . k. Mostremos agora que Z∞j (T j ξ) = 0 uniformemente em ξ ∈ X∞, kj [γj ] :. kT j ξ(n)kB kj (n)−1 ≤ kT (n, n0 )P (n0 )k kϕkB kj (n)−1. +. z n∑ 1 −1. (F ). }|. {. kΓ(n, s)E 0 f2 (s, ξ)kB kj (n)−1. s=n0. +. z ∞ ∑. (G). }|. {. kΓ(n, s)E 0 f2 (s, ξ)kB kj (n)−1 .. s=n1. Estimemos inicialmente (F ) :. (F ) ≤ KM k1 (n1 )kT (n, n1 )P (n1 )kkj (n)−1 +. n∑ 1 −1. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 .. s=n0. Como antes,. kT (n, s + 1)P (s + 1)k ≤ kT (n, n1 )P (n1 )kM k1 (n1 )k1 (s + 1)−1 ,.

(34) 31 e da condição de (k1 , k2 )-dicotomia temos que:. k1 (n)k1 (n0 )−1 ≤ C j−1 kj (n)kj (n0 )−1 ⇒ kj (n)−1 ≤ C j−1 kj (n0 )−1 k1 (n)−1 k1 (n0 ). Portanto: n∑ 1 −1. kΓ(n, s)E 0 f2 (s, ξ)kB kj (n)−1. s=n0. ≤ KM C. j−1. −1. −1. kj (n0 ) k1 (n0 )kT (n, n1 )P (n1 )kk1 (n). n∑ 1 −1. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 .. s=n0. Com o mesmo argumento mostramos que. (G) ≤ KM C. j−1. −1. k1 (n0 )kj (n0 ). ∞ ∑. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 ,. s=n1. e dessa forma temos que:. kT j ξ(n)kβ kj (n)−1 ≤ kT (n, n0 )P (n0 )kkj (n)−1 kϕkB. + KM C. j−1. −1. k1 (n0 )kj (n0 ) kT (n, n1 )P (n1 )kk1 (n). −1. n∑ 1 −1. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1. s=n0. + KM C j−1 k1 (n0 )kj (n0 )−1. ∞ ∑. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 ,. s=n1. e das condições (d − 1) e (D1 ) temos que para n1 e n sucientemente grande temos que. kT j ξkB kj (n)−1 → 0 uniformemente. Assim temos que T j ξ ∈ X∞, kj [γj ]. Se ξ, µ ∈ X∞,kj [γj ], mostremos que T j ξ + B j µ ∈ X∞, kj [γj ]. kT j ξ + B j µkB kj (n)−1 ≤ kT j ξ(n)kB kj (n)−1 + kB j µ(n)kB kj (n)−1 ≤ γj + KM C. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1 kµkkj. s=n0. ≤ γj + (τj − βµj )γj = τj γj < γj ..

(35) 32 Usando a condição (D2 ) vamos provar que o operador T j é contínuo. Para isso, consideremos uma sequência {ξm }m tal que ξm → ξ em X∞, kj [γj ]. Seja n1 ≥ n0 sucientemente grande, (H). z kT j (ξm (n)) − T j ξ(n)kB kj (n)−1 ≤ k. n∑ 1 −1. }|. {. Γ(n, s)E 0 [f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)] kB kj (n)−1. s=n0 (I). z + k. }|. n−1 ∑. {. Γ(n, s)E 0 [f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)] kB kj (n)−1. s=n1 (J). z + k. ∞ ∑. }|. {. Γ(n, s)E 0 [f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)] kB kj (n)−1 .. s=n. Estimemos (H) :. (H) ≤ K. n∑ 1 −1. kT (n, s + 1)P (s + 1)k |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)| kj (n)−1. s=n0. ≤ KM. n∑ 1 −1. k1 (n)kj (n)−1 |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)| F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1. s=n0. ≤ KM. max. n0 ≤s≤n1 −1. ≤ KM C. j−1. |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)|. n∑ 1 −1. k1 (n)kj (n)−1 F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1. s=n0 −1. max. n0 ≤s≤n1 −1. −1. |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)|k1 (n0 ) kj (n0 ). n∑ 1 −1. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 .. s=n0. Estimemos (I) :. (I) ≤ K. n−1 ∑. kT (n, s + 1)P (s + 1)k |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)| kj (n)−1. s=n1. ≤ KM. n−1 ∑. k1 (n)k1 (s + 1)−1 |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)| kj (n)−1. s=n1. ≤ KM C. j−1. −1. k1 (n0 )kj (n0 ). n−1 ∑ s=n1. |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)|k1 (s + 1)−1 ..

(36) 33 Estimemos (J) :. (J) ≤ K. ∞ ∑. kT (n, s + 1)Q(s + 1)k F2j (s, µj ) |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)|kj (n)−1. s=n. ≤ KM. ∞ ∑. k2 (n)k2 (s + 1)−1 |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)|kj (n)−1. s=n. ≤ KM C. ∞ ∑. k1 (n)kj (n)−1 |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)|k1 (s + 1)−1. s=n −1. ≤ KM C k1 (n0 )kj (n0 ) j. ∞ ∑. |f2 (s, ξm ) − f2 (s, ξ)|k1 (s + 1)−1. s=n. ≤ Lj δj (µj ) onde Lj =. max. n0 ≤s≤n1 −1. |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)| + 2Γ1 Lj. ∞ ∑. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 ,. s=n1. 1 KM C j k1 (n0 )kj (n0 )−1 Γ1. e δj (µj ) é dada por (d − 4). Assim obtemos que :. kT j ξm − T j ξkkj ≤ Lj δj (µj ). + 2Γ1 Lj. max. n0 ≤s≤n1 −1. ∞ ∑. |gj (s, ξm ) − gj (s, ξ)|. F2j (s, µj )k1 (s + 1)−1 ,. s=n1. mostrando assim que o operador T j é contínuo. Mostremos agora que a imagem de T j é relativamente compacta em B para todo n ≥ n0 . Para isso provaremos que o conjunto. { } Hnkj (T j X∞, kj [γj ]) = T j ξ(n)kj (n)−1 ; ξ ∈ X∞, kj [γj ] , é relativamente compacto em B para todo n ≥ n0 . Consideremos uma sequência arbitrária. {ξm }m em X∞, kj [γj ] . Então {gj (•, ξm )}m é relativamente compacto em `∞ . Com efeito, temos de (d − 3): |gj (n, ξm )| ≤ F2j (n, µj )−1 F2j (n, kξm kkj ) ≤ 1, e (D3 ) garante a equiconvergência. Mostrando a armação acima. Assim, existe uma subsequência {gj (•, ξmi )}i uniformemente convergente para algum ψj ∈ `∞ . Fazendo. ϕj (n) := F2j (n, µj )ψj (n),.

(37) 34 mostremos que a sequência T j ξmi (n)kj (n)−1 converge para −1. Zϕ (n)kj (n). +. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 ϕj (s)kj (n)−1 .. s=n0. De fato,. kT j ξmi (n) − Zϕ (n) −. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 ϕj (s)kB kj (n)−1 ≤. s=n0. ≤K. ∞ ∑. kΓ(n, s)kF2j (s, µj ) |gj (s, ξmi ) − ψj (s)| kj (n)−1. s=n0. ≤ Kkgj (•, ξmi ) − ψj k∞. ∞ ∑. kΓ(n, s)kF2j (s, µj )kj (n)−1. s=n0. ≤ Lj δj (µj )kgj (•, ξmi ) − ψj k∞ . A equiconvergência em peso em ∞ da imagem de T j é uma consequência imediata do fato que kj - limite de T j ξ é zero uniformemente em ξ ∈ X∞, kj [γj ] . Construimos operadores B j e T j em X∞,kj [γj ] , tais que B j é uma contração, T j é contínua com imagem relativamente compacta e T j ξ + B j µ ∈ X∞, kj [γj ] , para quaisquer. ξ, µ ∈ X∞, kj [γj ] . Aplicando o teorema de Krasnoselky, temos que T j + B j tem um ponto xo ξ ∈ X∞, kj [γj ] , ou seja, temos ξ(n) = T j ξ(n) + B j ξ(n), para n ≥ n0 , ou seja ξ(n) = Zϕ (n) +. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 (f1 (s, ξ(s)) + f2 (s, ξ)) , n ≥ n0 ,. s=n0. em particular, quando n = n0 , temos:. ξ(n0 ) = P (n0 )ϕ −. ∞ ∑. T (n0 , s + 1)Q(s + 1)E 0 (f1 (s, ξ(s)) + f2 (s, ξ)) ,. s=n0. ou seja,. P (n0 )ϕ = ξ(n0 ) +. ∞ ∑. T (n0 , s + 1)Q(s + 1)E 0 Λ(s, ξ),. s=n0. onde Λ(s, ξ) = f1 (s, ξ(s)) + f2 (s, ξ). Logo [ ] ∞ ∑ Zϕ (n) = T (n, n0 ) ξ(n0 ) + T (n, s + 1)Q(s + 1)E 0 Λ(s, ξ) . s=n0.

(38) 35 Portanto. ( ξ(n) = T (n, n0 ) ξ(n0 ) +. ∞ ∑. ) T (n, s + 1)Q(s + 1)E 0 Λ(s, ξ). s=n0. +. n−1 ∑. T (n, s + 1)P (s + 1)E 0 Λ(s, ξ). s=n0. −. ∞ ∑. T (n, s + 1)Q(s + 1)E 0 Λ(s, ξ). s=n. = T (n, n0 )ξ(n0 ) +. n−1 ∑. T (n, s + 1)E 0 Λ(s, ξ).. s=n0. Portanto ξ satisfaz as condições do Lema 1.2 com perturbação Λ(s, ξ) = f1 (s, ξ(s)) +. f2 (s, ξ). Assim, denindo y por: y(n) =.  . ξ(n)(0),. n ≥ n0 ,.  ξ(n )(n − n ), n < n , 0 0 0. temos que y é uma solução da equação (1.2) e yn = ξ(n), n ≥ n0 . O que conclui a demonstração do teorema.. . Observação 2.1.. Com as hipóteses que temos no Teorema 2.1 não garantimos a con-. tinuidade da aplicação ϕ → y• (ϕ), mas a mesma é garantida se substituirmos a condição. (D2 ) pela seguinte condição :. (D4 ) Existem constantes positivas µ2j , j = 1, 2 e funções Gj : N (n0 ) × R+ × R+ nãodecrescentes com respeito à segunda e à terceira variáveis, tal que Gj (n, 0, 0) = 0, para n ≥ n0 , além de ∞ ∑. F2j (s, µj ) Gj (s, µ2j , µ2j ) k1 (s + 1)−1 < +∞,. s=n0. e. ( ) |gj (n, ξ) − gj (n, η)| ≤ Gj n, kξkkj , kηkkj kξ − ηkkj ,. para todo ξ, η ∈ Xkj ..

(39) 36 Para provar a continuidade de tal aplicação, começamos escolhendo γj do Teorema 2.1 com 0 < γj < min{λj , µj , µ1j , µ2j } tal que τj := βµj + KM C. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n0. + Γ1. ∞ ∑. F2j (s, µj ) Gj (s, γj , γj ) k1 (s + 1)−1 < 1.. s=n0. Além disso, temos as seguintes estimativas responsáveis pela continuidade das aplicações precedentes:. ∞. ∑ )) ) ( ( (. j 0 j Γ (n, s) E f2 s, y• (ϕ) − f2 s, y• (ϕ0 ) kj (n)−1. s=n0. ≤ Γ1. B. ∞ ∑. ( j ) j. j. Gj s, y• (ϕ) j , y• (ϕ0 ) j y• (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj F2j (s, µj ) k1 (s + 1)−1. s=n0.  ≤ Γ1 . ∞ ∑. . F2j (s, µj ) Gj (s, γj , γj ) k1 (s + 1)−1  y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj .. s=n0. Vemos que:. ∞. ∑. ( ( ) ( )) 0 j j. kj (n)−1 Γ (n, s) E f s, y (ϕ) − f s, y (ϕ ) 1 1 0 s s. s=n0. B   ∞ ∑. j ≤ KM C F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1  y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj . s=n0. Por outro lado,. j yn (ϕ) − ynj (ϕ0 ) kj (n)−1 ≤ M C j−1 kj (n0 )−1 kϕ − ϕ0 k B B ( +Γ1. ). ∞ ∑. F2j (s, µj ) Gj (s, γj , γj ) k1 (s + 1)−1. s=n0. (. +KM C. ∞ ∑. s=n0. ) F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. j. y• (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj. j. y• (ϕ) − y•j (ϕ0 ) , kj.

(40) 37 Assim,. (. ou seja,. ) fj kϕ − ϕ0 k , 1 − τj + βµj y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj ≤ M B fj j. M y• (ϕ) − y•j (ϕ0 ) ≤ ( ) kϕ − ϕ0 kB , kj 1 − τj + βµj. fj é a constante dada na prova do Teorema 2.1 onde M. Usando o mesmo tipo de argumento temos a seguinte desigualdade:. j. ( ) y• (ϕ) − y•j (ϕ0 ) ≤ kZϕ − Zϕ0 k + τj − βµ y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) , j kj kj kj. onde. (. ) 1 − τj + βµj y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj ≤ kZϕ − Zϕ0 kkj .. Notamos que Γj = T j + B j é uma τj -contração. De fato, kΓj ξ (n) − Γj η (n)kB kj (n)−1 ( ∞ ) ∑ −1 ≤ Γ1 F2j (s, µj ) Gj (s, γj , γj ) k1 (s + 1) kξ − ηkkj s=n0 ( ∞ ) ∑ −1 + KM C F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1) kξ − ηkkj s=n0. ≤ τj kξ − ηkkj .. Mostremos agora que para qualquer n ≥ n0 , se as funções ϕ → gj (n, y•j (ϕ)), j = 1, 2 são contínuas, então as funções ϕ → y•j (ϕ), j = 1, 2 também são contínuas. De fato, para cada ξ ∈ X∞,kj [γj ], temos: (. ) fj kϕ − ϕ0 k δj (µj ) 1 − τj + βµj y•j (ϕ) − y•j (ϕ0 ) kj ≤ M B

(41) ( j )

(42) ) ( max

(43) gj s, y• (ϕ) − gj s, y•j (ϕ0 )

(44) s≥n0. + 2Γ1. ∞ ∑. k1 (s + 1)−1 F2j (s, µj ) .. s=n1. A última condição não garante a continuidade de Zϕ → y•j (ϕ) ..

(45) 38. Observação 2.2.. Se eliminamos a hipótese f1 (n, 0) = 0, em (d-1), o Teorema 2.1 não é. alterado de maneira essencial, pois é possível obter um resultado análogo para o sistema. (2.2). x (n + 1) = L (n, xn ) + f1 (n, xn ) + f2 (n, x• ) − f1 (n, 0). Antes do próximo resultado, observamos que pelo fato de k1 e k2 satisfazer a propriedade de compensação, temos que 0 ≤ inf. n≥n0. k1 (n) ≤ c2 . k2 (n). Seja ω = inf kk21 (n) . Se ω 6= 0, as sequências k1 e k2 são equivalentes, e então tem-se (n) n≥n0 que L2 = ωL1 , como pode-se vericar por um cálculo direto. Caso contrario, ω = 0, as sequências não são equivalentes e tem-se que L2 = 0. Vamos adotar ω 0 = 1 para qualquer ω real não negativo.. Teorema 2.2. Assumamos as hipóteses do Teorema 2.1, exceto (D1 ), a qual é substituída pela seguinte condição:. (D5 ) O sistema (1.1) tem uma (k1 , k2 )-dicotomia a qual é compensada e tal que lim kj (m)−1 T (m, n) P (n) = ω j−1 L1 (n) ,. m→∞. com j = 1, 2 para todo n ≥ n0 . fj tais que para cada ϕ ∈ P (n0 ) B com Então, existem constantes positivas γj , M ( ) −1 f , existe uma solução y j = y j (ϕ) = y j (n, n0 , ψ), com kϕkB ≤ γj βµj − δj (γj ) M j P (n0 ) ψ = ϕ, da equação (1.2) tal que o kj -limites de y•j existe e ky•j kkj ≤ γj , para j = 1, 2. Além disso, temos a seguinte fórmula assintótica: ynj (ϕ) = Zϕ (n) +. n−1 ∑ s=n0. )) ( ) ( ( Γ (n, s) E 0 f1 s, ysj (ϕ) + f2 s, y•j (ϕ) + o (kj (n)) ,. quando n → ∞. O kj -limite de y•j é dado por: kj Z∞. (. y•j. ) kj (ϕ) = ω j−1 L1 (n0 ) ϕ + Z∞. ( •−1 ∑. s=n0. Γ (•, s) E. 0. (. (. f1 s, ysj. ). (ϕ) + f2. (. s, y•j. (2.3). ) )) (ϕ) .. (2.4).

(46) 39 Por outro lado, se bj := sup kL1 (n)k kj (n) < +∞, então n≥n0. ∞ ( ( ) ( )) ) ( j ∑ kj L1 (s + 1) E 0 f1 s, ysj (ϕ) + f2 s, y•j (ϕ) . y• (ϕ) = ω j−1 L1 (n0 ) ϕ + ω j−1 Z∞ s=n0. (2.5). Demonstração. Usando a notação do Teorema 2.1, destacamos alguns argumentos da prova. Inicialmente notamos que os limites. kj lim A (m, ξ) kj (m)−1 = Z∞ (A (•, ξ)) ,. m→∞. j = 1, 2 existem uniformemente em ξ ∈ X∞,kj [γj ], onde γj é sucientemente pequeno e A (m, ξ) =. m−1 ∑. Γ (m, s) E 0 f2 (s, ξ) .. s=n0. De fato, é suciente provar que para todo ε > 0, existe um número M0 ∈ N, tal que:. A (m, ξ) kj (m)−1 − A (n, ξ) kj (n)−1 < ε, B. para qualquer m ≥ n ≥ M0 , para todo ξ ∈ X∞,kj [γj ]. O fato que A (m, ξ) verica a última armação é consequência das seguintes duas estimativas: Seja n1 sucientemente grande, e xemos M0 ≥ n1 . Para cada m e n, satisfazendo m ≥ n ≥ M0 , temos: n −1. 1 ∑. [ −1 −1 ] 0. Γ (n, s) k (n) − Γ (m, s) k (m) E f (s, ξ) j j 2. s=n0. ≤K. n∑ 1 −1. F2j (s, γj ). s=n0. +. B. [. max. Γ (n, s) kj (n)−1 − ω j−1 L1 (s + 1) n0 ≤s≤n1 −1 ]. Γ (m, s) kj (m)−1 − ω j−1 L1 (s + 1) . max. n0 ≤s≤n1 −1. Nossa segunda estimativa é:. n−1 ∑ ( −1 −1 ) 0. Γ (n, s) k (n) − Γ (m, s) k (m) E f (s, ξ) j j 2. s=n1 B. m−1 ∑ −1 0. Γ (m, s) k (m) E f (s, ξ) + j 2. s=n. ≤ 3Γ1. ∞ ∑ s=n1. B. F2j (s, γj ) k2 (s + 1)−1 ,.

(47) 40 onde Γ1 é dada por (d-4). Assim, temos provada nossa armação. Se B (n, η) =. n−1 ∑. s=n0. Γ (n, s) E 0 f1 (s, η (s)), então os limites Z∞j (B (•, η)), j = 1, 2 existem k. para cada η ∈ X∞,kj [γj ]. O argumento para provar isto é análogo ao anterior. Sejam m, n, M, n1 como antes. Então temos as seguintes estimativas:. n −1 1. ∑ ( ) 0 −1 −1. Γ (n, s) k (n) − Γ (m, s) k (m) E f (s, η (s)) j j 1. s=n0. B. ≤ c2 (n1 ) max Γ (n, s) kj (n)−1 − ω j−1 L1 (s + 1) n0 ≤s≤n1. + max Γ (m, s) kj (m)−1 − ω j−1 L1 (s + 1) , n0 ≤s≤n1. onde c2 (n1 ) é uma constante que depende de n1 , para n1 sucientemente grande. A segunda estimativa é:. n−1. ) 0 ∑ ( −1 −1. Γ (n, s) k (n) − Γ (m, s) k (m) E f (s, η (s)) j j 1. s=n1. B. m−1. ∑ −1 0 + Γ (m, s) kj (m) E f1 (s, η (s)). s=n. ≤ 3γj KM C. B. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n1 kj Assim os kj -limites de B j η são explicitamente calculáveis, e de fato temos que Z∞ (B j η) = k Z∞j (B (•, η)). A equiconvergência em ∞ da imagem de T j é consequência imediata do k kj (T j ξ) = ω j−1 L1 (n0 ) ϕ + Z∞j (A (•, ξ)), uniformemente em ξ ∈ X∞,kj [γj ]. fato que Z∞. Assumamos que bj := sup kL1 (n)k kj (n) < ∞, e denotemos por Aj (s) := f1 (s, ysj )+ f2 (s, y•j ). Provaremos que: lim kj (n)−1. n→∞. n≥n0. n−1 ∑. Γ (n, s) E 0 Aj (s) = ω j−1. s=n0. ∞ ∑. L1 (s + 1) E 0 Aj (s) .. s=n0. Notamos que a última série esta bem denida, pois de fato temos:. ∞. j−1 ∑ 1 0. ω L (s + 1) E A (s) j. s=n0. B.

(48) 41 ∞ ( ∑. ≤ Kbj ω j−1. s=n0. ( )) k1 (s)−1 F1 (s, γj kj (s)) kysj kB + F2j s, ky•j kkj kj (s + 1)−1. ≤ Kbj ω j−1 C j−1 ky•j kkj + Kbj ω. j−1. C. j−1. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n0. k1 (n0 ) kj (n0 )−1 ∞ ( ∑. ≤ Kbj ω j−1 C j−1 γj. ∞ ∑. F2j (s, γj ) kj (s + 1)−1. s=n0. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n0. +. 1 Kbj ω j−1 C j−1 k1 Γ1. Ou seja, a série. ∞ ∑ s=n0. (n0 ) kj (n0 )−1 δj (γj ) . Lj (s + 1) E 0 Aj (s) é dominada pelas séries convergentes ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n0. e δj (γj ) .. Para provar o kj -limite, temos a seguinte estimativa: Escolhamos n1 sucientemente grande e seja n ≥ n1 arbitrario. Então:. n−1 ∞. ∑ ∑ −1 0 j−1 1 0 kj (n). Γ (n, s) E A (s) − ω L (s + 1) E A (s) j j. s=n0. ≤ c (n1 ). s=n0. max. n0 ≤s≤n1 −1 n−1 ∑ (. kj (n)−1 Γ (n, s) − ω j−1 L1 (s + 1). B. ) γj F1 (s, γj kj (s)) + k1 (n0 ) kj (n0 )−1 F2j (s, γj ) k1 (s + 1)−1. + KM C. s=n1. + Kbj ω j−1 C. ∞ ( ∑. ) γj F1 (s, γj kj (s)) + k1 (n0 ) kj (n0 )−1 F2j (s, γj ) k1 (s + 1)−1. s=n. ≤ c (n1 ). max. n0 ≤s≤n1 −1. kj (n)−1 Γ (n, s) − ω j−1 L1 (s + 1) +d. ∞ ∑. s=n1. (F1 (s, γj kj (s)) + F2j (s, γj )) k1 (s + 1)−1 ,. (2.6). onde notamos que c (n1 ) é uma constante que depende de n1 e d é uma constante independente de n. . Observação 2.3.. soluções. y•j ,. O Teorema 2.2 nos fornece a seguinte estimativa para os kj -limites das. kj j Z∞ (y• ) ≤ γj . Tal estimativa pode ser melhorada usando a desigualdade B.

(49) 42 de Gronwall discreta, para isso vamos tomar τj , denido na demostração do Teorema 2.1 tal que aj = τj e aj < 1, então:. kj (n)−1 kynj kB ≤ γj βµj − δ(γj ). + KM C. n−1 ∑. F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1 kysj kB k1 (s)−1. s=n0. + KM C ky•j kkj. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s)) k1 (s + 1)−1. s=n. + Γ1. ∞ ∑. F2j (s, γj )k1 (s + 1)−1. s=n0. ≤ γj βµj. + KM Cγj. ∞ ∑. F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1. s=n. +. n−1 ∑. KM C F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1 kysj kB k1 (s)−1 .. s=n0. Assim, denindo as seguintes funções hj (s) := KM C F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1 , uj (s) := ∞ ∑ −1 j kj (s) kys kB e pj (s) := γj βµj + KM Cγj F1 (s, γj kj (s))k1 (s + 1)−1 , temos que: s=n. uj (n) ≤ pj (n) +. n−1 ∑. hj (s)uj (s),. s=n0. ou. n−1 ∑. uj (n) ≤ γj τj +. hj (s)uj (s),. s=n0. e pela desigualdade de Gronwall discreta, temos que: n−1 ∏. uj (n) ≤ γj τj. (1 + hj (τ )),. τ =n0. onde. uj (n) ≤ γj τj exp. ( n−1 ∑ τ =n0. ) hj (s). ) ( ≤ γj τj exp τj − βµj ≤ aj γj ,.

(50) 43. kj j e assim Z∞ (y• ) ≤ aj γj , o que melhora a estimativa anterior. B. A próxima observação é acerca do conjunto das soluções convergentes de (1.2).. Observação 2.4.. ( ) −1 ˜ Denotemos por Rj := γj βµj − δj (γj ) M e seja P (n0 )B[Rj ] a bola. kϕkB ≤ Rj em P (n0 )B. Sob as condições do Teorema 2.2 deduzimos que o conjunto Ω de todas as soluções convergentes y•j (ϕ) da equação (1.2) com ϕ ∈ P (n0 )B[Rj ] é equiconvergente em peso em ∞ no espaço X∞, kj . Isso segue de (2.6) combinado com o fato de. lim kj (n)−1 o(kj (n)) = 0 uniformemente em Ω, onde o(kj (n)) é dado por (2.3). Não podemos garantir que Ω seja relativamente compacto em X∞, kj . Porém, se tomarmos ˜ como sendo o conjunto dos y j (ϕ) − Zϕ (·), com ϕ ∈ P (n0 )B[Rj ] e introduzimos uma Ω, n→∞. •. condição similar à (D3 ) do Teorema 2.1, dada por: 1 (D6 ) Os limites π ˜ (ξ) := Z∞ (˜ gj (·, ξ)), para j = 1, 2 existem uniformemente em ξ ∈ X∞, kj [λj ], onde. g˜j (n, ξ) = k1 (n)kj (n)−1 F1 (n, µ1j kj (n))−1 f1 (n, ξ(n)). ˜ é relativamente compacto Então, usando o critério de compacidade, podemos provar que Ω em X∞, kj . Com efeito, consideremos o conjunto. { } ˜ = y j (ϕ)kj (n)−1 − Zϕ (n)kj (n)−1 : ϕ ∈ P (n0 )B[Rj ] . Hnkj (Ω) n Considere sequência {ϕm }m em P (n0 )B[Rj ]. Usando o mesmo argumento que o da demonstração do Teorema 2.1, concluimos que existe uma subsequência {ϕmi }i tal que. {gj (·, y•j (ϕmi ))}i é uniformemente convergente para algum ψj ∈ `∞ . Além disso temos |˜ gj (n, y•j (ϕmi ))| ≤ ky•j (ϕmi )kkj ≤ γj . Assim, a sequência {˜ gj (·, y•j (ϕmi ))}i é limitada, e de (D6 ) é equiconvergente. Portanto, existe uma subsequência desta, uniformemente convergente para algum ψ˜j ∈ `∞ . Denamos. ϕj (n) := F2j (n, µj )ψj (n) + k1 (n)−1 kj (n)F1 (n, µ1j kj (n))ψ˜j (n)..

(51) 44 Então, temos as seguintes estimativas:. ∞. ∑ j. Γ(n, s)E 0 ϕj (s) kj (n)−1 yn (ϕmi ) − Zϕmi (n) −. s=n0. ≤ KM C. ∞ ∑. B. F1 (s, µ1j kj (s))k2 (s + 1)−1 g˜j (·, y•j (ϕm )) − ψ˜j . ∞. s=n0. +Lj δj (µj ) gj (·, y•j (ϕmi )) − ψj ∞ . Isso mostra que (ynj (ϕmi ) − Zϕmi (n))kj (n)−1 é convergente e converge para ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 ϕj (s)kj (n)−1. s=n0. quando i → ∞.. ˜ segue dos resultados anteriores. Assim, pelo critério de comA equiconvergência de Ω pacidade temos que é relativamente compacto ..

(52) Capítulo 3 Resultados de convergência para sistemas com dicotomia p-somável em peso Neste capítulo analisaremos o problema de convergência considerando dicotomias p-somáveis em peso. A partir de agora consideraremos p e q expoentes conjugados, isto é, 1 + 1q = 1, e não consideraremos o caso p = 1. Para provarmos os resultados deste capítulo p vamos precisar da seguinte hipótese: (D)∗ As seguintes condições valem: (d − 1)∗ A função f1 (n, ϕ) é localmente Lipschitz em ϕ ∈ B; isto é, para cada número positivo R, para todo ϕ, ψ ∈ B, com kϕkB , kψkB ≤ R, tem-se: |f1 (n, ϕ) − f1 (n, ψ)| ≤ a2 (n)1/p F1 (n, R)1/q kϕ − ψkB ,. onde F1 : N(n0 ) × R+ → R+ é uma função contínua e não decrescente com respeito à segunda variável, f1 (n, 0) = 0 e F1 (n, 0) = 0, para n ≥ n0 . (d − 2)∗ Existe uma constante positiva ν˜ tal que ∞ ∑ F1 (s, ν˜a1 (s))aq1 (s) < ∞. s=n0. 45.

(53) 46 (d − 3)∗ Existe uma constante positiva λ e uma função F2 : N(n0 ) × R+ → R+ não. decrescente com respeito à segunda variável tais que ρ[F2 ] = sup F2 (n, λ) < ∞. n≥n0. Também existe uma função l ∈ `q tal que, para cada (n, ξ) ∈ N(n0 ) × Xa1 , com kξka1 ≤ λ : |f2 (n, ξ)| ≤ ν(n)F2 (n, kξka1 ),. onde ν(n) = a2 (n)1/p l(n). (d − 4)∗ Existe uma constante positiva µ tal que δ(γ) < 1, γ∈(0,µ] γ. βµ := sup. ˜ q kF2 (·, γ)k∞ . Onde K é a constante do axioma (B) da denição onde δ(γ) := K Kklk de espaço de fase e K˜ a constante da Denição 1.2 de dicotomia p-somável em peso.. O seguinte teorema fornece soluções convergentes da equação (1.2) supondo que o sistema homogêneo (1.1) tem uma dicotomia p-somável em peso.. Teorema 3.1.. Sejam p e q expoentes conjugados e assumamos que a condição (D)∗ vale.. Suponhamos que as seguintes condições são satisfeitas:. (D1 )∗ O sistema (1.1) tem uma dicotomia p-somável em peso (a1 , a2 ) tal que lim a1 (m)−1 T (m, n)P (n) = 0,. m→∞. para cada n ≥ n0 .. (D2 )∗ Para qualquer n ≥ n0 , a função g(n, ·) = ν(n)−1 f2 (n, ·) é contínua. a1 (D3 )∗ O limite π(ξ) = Z∞ (g(·, ξ)) existe uniformemente em ξ ∈ X∞, a1 [λ].. ˜ , tais que, para cada ϕ ∈ P (n0 )B, com kϕkB ≤ Então existem constantes positivas γ˜ , M ˜ −1 , existe uma solução y = y(ϕ) = y(n, n0 , ψ), com P (n0 )ψ = ϕ, da (˜ γ βµ − δ(˜ γ ))M equação (1.2) tal que lim a1 (n)−1 yn = 0. Além disso temos a fórmula assintótica: n→∞. yn (ϕ) = o(a1 (n)), quando n → ∞.. (3.1).

(54) 47. Demonstração.. Temos por (d − 2)∗ que existe uma constante positiva ν˜ tal que ∞ ∑. F1 (s, ν˜a1 (s))a1 (s)q < ∞.. s=n0. Seja 0 < γ˜ < min{λ, µ, ν˜}, uma constante apropriada. Como F1 é contínua e não decrescente, então ∞ ∑. F1 (s, γ˜ a1 (s))a1 (s)q < , para todo > 0.. s=n0. ˜ são constantes positivas, segue que Como temos que βµ < 1 e K, K ∞ ∑. ˜ δ˜ := βµ + K K(. F1 (s, γ˜ a1 (s))a1 (s)q )1/q < 1.. s=n0. Tomemos o operador B : X∞, a1 [˜ γ ] → X∞, a1 denido por:. Bµ(n) :=. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 f1 (s, µ(s)).. s=n0. Mostremos que B está bem denido: −1. kBµ(n)kB a1 (n). = k. ∞ ∑. Γ(n, s)E 0 f1 (s, µ(s))kB a1 (n)−1. s=n0. ≤. ∞ ∑. kΓ(n, s)k kE 0 f1 (s, µ(s))kB a1 (n)−1. s=n0. ≤. ∞ ∑. kΓ(n, s)k K |f1 (s, µ(s))| a1 (n)−1. s=n0. = K. ∞ ∑. kΓ(n, s)k.|f1 (s, µ(s)) − f1 (s, 0)|a1 (n)−1. s=n0. ≤ K. ∞ ∑. kΓ(n, s)ka2 (s)1/p F1 (s, a1 (s)˜ γ )1/q kµ(s)kB a1 (n)−1. s=n0. ( ≤ K γ˜. ∞ ∑. s=n0. )1/p ( kΓ(n, s)kp a2 (s). ∞ ∑ s=n0. )1/q F1 (s, γ˜ a1 (s)q ). a1 (n)−1.

(55) 48. ( ˜ 1 (n) ≤ K γ˜ Ka. ∞ ∑. )1/q F1 (s, γ˜ a1 (s)q ). a1 (n)−1. s=n0. ( ˜ ≤ γ˜ K K. ∞ ∑. )1/q F1 (s, γ˜ a1 (s))a1 (s)q. s=n0. ≤ γ˜ (δ˜ − βµ ). Por outro lado, devemos provar que o a1 -limite de Bµ existe, com µ ∈ X∞, a1 [˜ γ ]. Seja > 0 e n1 sucientemente grande, então para n ≥ n1 , temos:. z kBµ(n)kB a1 (n)−1 ≤ K. (A) n∑ 1 −1. }|. {. kΓ(n, s)ka2 (s)1/p F1 (s, a1 (s)˜ γ )1/q a1 (s)˜ γ a1 (n)−1. s=n0. z + K. (B) ∞ ∑. }|. {. kΓ(n, s)ka2 (s)1/p F1 (s, a1 (s)˜ γ )1/q a1 (s)˜ γ a1 (n)−1 .. s=n1. A seguir calculemos estimativas para (A) e (B):. (A) = K. n∑ 1 −1. kT (n, s + 1)P (s + 1)ka2 (s)1/p F1 (s, a1 (s)˜ γ )1/q a1 (s)˜ γ a1 (n)−1. s=n0. = K. n∑ 1 −1. kT (n, n1 )T (n1 , s + 1)P (s + 1)ka2 (s)1/p F1 (s, a1 (s)˜ γ )1/q a1 (s)˜ γ a1 (n)−1 .. s=n0. Temos que. kT (n, n1 )T (n1 , s + 1)P (s + 1)k = kT (n, n1 )T (n1 , s + 1)P (s + 1)2 k = kT (n, n1 )P (n1 )T (n1 , s + 1)P (s + 1)k = kT (n, n1 )P (n1 )k kΓ(n1 , s)k,.