Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e temperatura T

3. Convecção Forçada no Interior de Dutos

Neste item serão considerados escoamento internos em dutos e canais com convecção térmica forçada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e podem ocorrer as seguintes combinações: 1) escoamento laminar hidrodinâmica e termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento simultâneo e 4) escoamentos turbulentos

3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial

Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e temperatura T entra num tubo de raio 0 r , de comprimento L, cuja temperatura de w parede é mantida à temperatura T . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e w se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haverá troca de calor e o desenvolvimento do perfil de temperatura.

Em coordenadas cilíndricas, sob hipótese de regime permanente, propriedades constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de equações a seguir, já simplificadas:

1) Equação de Continuidade

( )

0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ r rv r z u (3.1)

2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r

z: F_z r u r r r z u z p r u v z u u _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 1 2 2 ν ρ ; (3.2) r: Fr r v r v r r v z v r p r v v z v u _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 1 _ν ρ (3.3)

3) Conservação de Energia Térmica

q r T r r r z T r T v z T u _⎟⎟+ ′′′ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 2 2 α (3.4)

As condições de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas por: ) ( ) ( 0 z p p r u u v = = = (3.5)

Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = dr du r dr u d dz dp 1 2 2 μ . (3.6)

A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou seja, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = = dr du r dr u d te cons dz dp 1 tan ₂ 2 μ (3.7)

Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,

L

Le << , pode-se aproximar o gradiente de pressão como

L p p L P dz dp =−Δ =− 0 − L (3.8)

As condições de contorno para solução da Eq. (3.7) são:

0 ; 0 ; 0 = = = = r dr du r r u _w (3.9)

Portanto, a solução da Eq. 3.7 é da forma:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 1 4 _w w r r dz dp r u μ (3.10)

A velocidade média é definida

rdr r r dz dp r r dA r u A U w r w w w A π μ π 4 1 2 1 ) ( 1 0 2 2 2

∫

∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = = (3.11)

Efetuando a integral na Eq. (3.11), resulta

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = dz dp r U w μ 8 2 (3.12)

Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtém o perfil de velocidade do escoamento completamente desenvolvido, na forma:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 w r r U u (3.13)

3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas

Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaçamento entre as placas. Uma análise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para o perfil de velocidade ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 3 h y U u (3.14)

em que a velocidade média é dada por

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = dx dp h U μ 12 2 2 (3.15)

e h é metade do espaçamento entre as placas.

3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão

A tensão na parede é definida por, no caso do escoamento laminar no tubo, como w r r w r U dr du w μ μ τ ⎟ =4 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = = (3.16)

D w w UD U r U U f Re 16 16 2 1 1 4 2 1 2 2 = = = = μ ρ ρ μ ρ τ (3.17) com μ ρUD D =

Re . Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach

D f f Re 64 4 * = = (3.18)

Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma

P A D_h = 4 ⎩ ⎨ ⎧ = = molhado perímetro P al transvers seção da área A (3.19)

Alguns casos de dutos de seções não circulares são:

a) duto de seção quadrada; D_h = (onde a a é o lado do quadrado) b) duto de seção retangular a×4a; D_h a

5 8

= (onde a é o comprimento do menor

lado)

c) canal de placas paralelas; D_h =2a (onde a é o espaçamento entre as placas) d) triângulo equilátero;

3

a

D_h = ( onde a é o lado do triângulo)

A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de forças PL pA=τw Δ 2 2 1 /P U A L f p = ρ Δ 2 2 1 4 U D L f p h ρ = Δ (3.20)

Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma: h D C f Re = (3.21)

na qual C depende da forma da seção transversal do duto. ReD_h =UDh /ν . Na literatura encontram-se correlações do tipo

) 318 , 0 068 , 0 294 , 0 exp( 16 2 + − ≅ B B C (3.22) com A D B h /4 2 π = .

Ex. 3.1 Calcule ΔP /L para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com o comprimento adotado na prática (L_e =0,05DRe_D).

3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Térmica

No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na forma 1 m p A p T c uTdA c UA ρ ρ =

∫

(3.23)

O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como

m w w T T q h − ′′ = (3.24)

No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo tem-se

w m w r r r T T r T w − ≈ ∂ ∂ = (3.25)

Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta

Pdz q dA i i u _w A z dz z − = ′′

∫

ρ ( + ) Pdz q dTdA uc _w A p = ′′

∫

ρ

(

_A p

)

w d

∫

ρc uTdA =q Pdz′′ U c q A P dz dT p w m ρ ′′ = (3.26)

No caso de tubo resulta

p m w p w w m c m T T D h U c q r dz dT  ) ( 2 ′′ ₌ − = π ρ (3.27)

A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente é: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r T r r r k z T r u c_p ( ) 1 ρ (3.28)

Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que

2 1 w p w w p r T k U c q r U c ′′ ≈ Δ ρ ρ ou w r k h≈ (constante) (3.29)

Como o número de Nusselt é definido por

k hD

Nu h

Dh = , então, NuD ≈O(1).

Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da forma:

[

]

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = w m w w r r z T z T z T z r T( , ) ( ) ( ) ( )φ (3.30)

na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme resulta dz dT dz dTw = m (3.31) e dz dT dz dT z T = w = m ∂ ∂ (3.32)

Neste caso, pode-se obter

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Δ ′′ dr d r dr d r T kr q U r u w w 1 φ ) ( (3.33) Com ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 w r r U u e ) ( 0 ) 0 ( 0 ) ( simetria r_w = ′ = φ φ (3.34)

resulta a solução da Eq. (3.33) na forma ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ ′′ = 4 2 4 1 4 3 ) ( w w w w r r r r T k r q r φ (3.35)

Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt

(

q cte

)

NuD =48/11=4,364 w′′ = (3.36)

Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento de entrada quanto para a região completamente desenvolvida:

(

)

[

]

[

(

)

]

[

(

)

]

3 / 1 2 / 3 3 / 1 2 2 / 1 3 / 2 6 / 1 2 6 , 29 / 1 0207 , 0 Pr/ 1 04 , 19 / 1 6 , 29 / 1 364 , 4 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = + Gz Gz Gz NuD (3.37)

na qual Gz é o número de Graetz definido como

1 2 Pr Re / 4 4 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = D D z z U D Gz π α π (3.38)

Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como

(

T T (z)

)

h

q_w′′ = _w − _m (3.39)

e o gradiente da temperatura média de mistura será:

[

( )

]

2 z T T U c r h dz dT m w p w m = − ρ (3.40)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − = − − U c r z z h T T z T T p w m w m w ρ ) ( 2 exp ) ( 1 1 , (3.41)

No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do escoamento completamente desenvolvido será

66 , 3 = D Nu (3.42)

e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como

(

)

(

1

)

1 2 3 66 3 66 w w m , w , z z k q , T T exp D r U α ⎡ − ⎤ ′′ = − _⎢− _⎥ ⎣ ⎦ (3.43)

Ex. 3.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 0,1 ₂

cm W

q_w′′ = . O escoamento é completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é

s g

m =10 / e o raio do tubo é rw =1cm. As propriedades da água na temperatura são

s cm g ⋅ = 010, μ e K cm W k ⋅

= 0060, . Calcule a) a velocidade média U; b) o número de

Reynolds baseado no diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre a temperatura local de parede e a temperatura média local.

3.4 Escoamentos Turbulentos

A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais são turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de escoamento laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de 2000 a 2300. Geralmente, considera-se

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≅ = o) (turbulent 2300 ) (transição 2300 a 2000 (laminar) 2000 até ReD

As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:

1) Equação de Continuidade

( )

0 1 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ r v r r z u (3.44)

2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r

z:

(

t

)

(

t

)

Fz z u z r u r r r z p r u v z u u _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ _{ν ν ν ν} ρ 1 1 ; (3.45) r:

(

_t

)

(

_t

)

(

_t

)

F_r z v z r v r v r r r r p r v v z v u _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ _{ν ν ν ν ν ν} ρ 2 1 1 (3.46) 3) Conservação de Energia Térmica

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ z T z r T r r r r T v z T u 1 α α_t α α_t (3.47)

No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o fluxo de calor aparentes como

r u r u t ap ∂ ∂ − ∂ ∂ − = μ ρν τ (3.48) r T c r T k q_{ap p t} ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ρ α (3.49)

O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 3.2

Figura 3.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.

No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente tem-se

) ( ) ( 0 z p p r u u v = = = (3.50)

As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada

( )

r r r dz p d ap ∂ ∂ − − = τ ρ ρ 1 1 0 (3.51)

[ ]

ap p rq r r c z T u ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ 1 (3.52)

Integrando a Eq. (3.51) obtém-se

∫

∫

+ = w rw ap r r d rdr dz p d 0 0 ) ( 0 τ

0 2 2 = + w w w r r dz p d _τ w w r dz p d 2τ = − (3.53)

Substituindo a Eq. (3.53) em (3.51) e integrando até um r genérico resulta

w w ap r r = τ τ (3.54)

Bem próximo da parede, τ_ap ≅τ_w e com as coordenadas de parede, u+ =u/

(

τ_w/ρ

)

1/2,

(

)

1/2 /ρ τ ν w y y+ = resulta ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >> + >> = ₊ + + ν ν ν t v B y k y u se ) ln( 1 se _t (3.55) ou

( )

1/7 7 , 8 + + ₌ y u (3.56)

Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se, por exemplo, integrar a Eq. (3.56). A velocidade média no, caso será

∫

∫

= rw w rdr u d r U 0 2 0 2 1 π_θ π (3.57)

A velocidade no centro do tubo (r =0) é u = . Assim obtém-se u_c

(

)

7 / 1 2 / 1 2 / 1 8,7 / ⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ρ τ ν ρ τ w w w c r u (3.58)

Da definição do fator de atrito, 2 2 1 U f w ρ τ = resulta 2 / 1 2 / 1 2⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ f U w ρ τ (3.59)

Combinando as Eqs. (3.58) e (3.59) pode-se mostrar que

(

)

1/4 Re 079 , 0 D f ≅ ; 2x103 <Re_D <2x104 (3.60)

Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para tubos lisos e altos números de Reynolds tem-se

(

)

1/5 Re 046 , 0 D f ≅ ; 2x104 <Re_D <2x106 (3.61)

A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo

1/ 2 1/ 2

1

1, 737 ln(f Re ) 0, 396_D

f = − (3.62)

Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se

2 28 , 2 ln 74 , 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = s k D f (3.63)

na qual k é a rugosidade da parede do tubo. _s

ap r p rdr rq z T u c π ρ π 2 2 0 = ∂ ∂

∫

(3.64) Para r= , resulta r_w w w r p rdr r q z T u c w ′′ = ∂ ∂

∫

0 ρ (3.65)

Combinando as Eqs. (3.64) e (3.65) resulta

w w ap r r M q q = ′′ (3.66) em que

∫

∫

∂ ∂∂ ∂ = w r w r rdr z T u r rdr z T u r M 0 2 0 2 1 1 (3.67) Se q ′′ é independente de z, _w z T ∂ ∂

é independente de r, a Eq. (3.67) fica então na forma

∫

∫

= w r w r rdr u r rdr u r M 0 2 0 2 1 1 (3.68)

O perfil de velocidade u(r) é quase plano, desta forma, M ≅1, obtendo-se a relação do calor aparente para o calor da parede

w w ap r r q q ≅ ′′ (3.69)

Para r≤ , r_w q_ap =cte=q_w′′. O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela analogia entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor. Sabe-se o número de Stanton e definido como

5 , 0 Pr ; Pr / 2 1 2/3 ≥ = = f U c h S p t _ρ (3.70)

Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor 6 4 3 / 1 5 / 4 10 Re 10 2 ; Pr Re 023 , 0 < < = = D D D x k hD Nu (3.71)

Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = > = > < < < < = = m w m w D n D D T T n T T n D L x k hD Nu se 3 , 0 se 4 , 0 60 / 120 Pr 7 , 0 10 24 , 1 Re 2500 ; Pr Re 023 , 0 5 5 / 4 (3.72)

Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a T . Para aplicações em _m

que a influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate propuseram ⎩ ⎨ ⎧ < < > ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 16700 Pr 7 , 0 10 Re ; Pr Re 027 , 0 4 4 , 0 3 / 1 5 / 4 D w D D k hD Nu μ μ (3.73)

com as propriedades avaliadas a T , exceto _m μ_w que é avaliada na temperatura de parede T . w

(

)

(

)

(

)

(

)

_⎪⎩⎪⎨ ⎧ < < < < − + − = = 6 6 3 / 2 2 / 1 3 10 Pr 5 , 0 10 5 Re 2300 ; 1 Pr 2 / 7 , 12 1 Pr 10 Re 2 / x f f k hD NuD D D (3.74)

Na Eq. (3.74) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 3.3

Figura 3.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente desenvolvido em um tubo.

Outras correlações alternativas, propostas por Gnielinski, a Eq. (3.74) aparecem na literatura, são elas:

(

)

⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − = = 5 , 1 Pr 5 , 0 10 5 Re 10 ; Pr 100 Re 0214 , 0 6 4 4 , 0 8 , 0 x k hD NuD D D (3.75)

(

)

⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − = = 500 Pr 5 , 1 10 Re 10 3 ; Pr 280 Re 012 , 0 6 3 4 , 0 8 , 0 D D D x k hD Nu (3.76)

(

)

(

)

⎩⎨ ⎧ < < < < ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ′′ + = = _{4 6} 93 , 0 85 , 0 93 , 0 85 , 0 10 Re 10 01 Pr 004 , 0 ; ; Pr Re 0156 , 0 8 , 4 ; Pr Re 0167 , 0 3 , 6 D w D w D D cte T cte q k hD Nu (3.77)

com as propriedades avaliadas a T . _m

3.5 Variação da temperatura média de mistura

A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e fluxo de calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 3.4

Figura 3.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, T_w =cte; direita, w

q ′′ =cte.

Para calcular as propriedades é recomendável fazer T_m =

(

T_e +T_s

)

/2, em que T_e =T_m,e

e T_s =T_m,s

Ex. 3.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo de água é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.

3.6 Taxa total de transferência de calor

lm w T

hA

q= Δ (3.78)

Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica, m

w T

T

T = −

Δ decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na entrada do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ΔTe =Tw −Te e ΔTs =Tw −Ts,

lm

T

Δ está entre Δ e T_e Δ . Também a taxa de calor pode ser calculada como T_s

(

s e

)

p

[

(

w e

) (

w s

)

]

p

(

e s

)

p T T mc T T T T mc T T

c m

q=  − =  − − − =  Δ −Δ (3.79)

O fluxo de calor na parede pode ser estimado como

(

w m

)

w hT T q′′ = − (3.80) como U c q A P dz dT p w m ρ ′′ = , obtém-se dz U c h A P T T dT p m w m ρ = − (3.81)

a qual integrada entre z=0;(Tm =Te) e z= L;(Tm =Ts) resulta

p s w e w UAc hPL T T T T ρ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ln ou p w s e c m hA T T  = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ ln (3.82)

Comparando as Eqs. (3.79) e (3.82) pode-se concluir que

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ Δ − Δ = Δ s e e lm T T T T T ln (3.83)

que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − Δ = p w e p c m hA T c m q   1 exp (3.84) Se o coeficiente h=h(z), então h h z dz L L / ) (

∫

= .

Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na parede: s e lm T T T =Δ =Δ Δ (3.85)

que é um caso especial da Eq. (3.83) quando →1 Δ Δ s e T T .

3.7 Experimento 01: Convecção Forçada em Dutos

O objetivo nesta primeira experiência é determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção forçada, h, o número de Reynolds e uma correlação para o número de Nusselt, Nu= f(Re, Pr), para escoamento no interior de dutos.

O aparato experimental consiste de um tubo com aquecimento por resistência elétrica (efeito Joule) equipado com um medidor de vazão do tipo placa de orifício e doze termopares: um para medir a temperatura na entrada do tubo, outro parta medir a temperatura na saída do tubo e dez termopares para medir as temperaturas em dez pontos na superfície do tubo. A resistência é enrolada em torno do tubo e o conjunto é isolado termicamente do meio externo. O tubo possui um comprimento de 2002 mm e a resistência elétrica possui comprimento de 1830 mm. Os diâmetros interno e externo do tubo são 32 e 38 mm respectivamente. A razão entre as áreas do furo da placa de orifício e área da seção transversal do tubo é A_d /A_st =0, 45. A Figura 3.5 ilustra o aparato experimental.

Figura 3.5 – Aparato experimental para medida de h em escoamento de ar. (por mvtn)

No caso, a taxa de transferência de calor constante para ar escoando dentro do tubo é dada por

Na qual E é a tensão elétrica e I a corrente passando pela resistência. Consequentemente, o fluxo de calor será

E I q DL π ⋅ ′′ = (3.87)

Da definição do coeficiente de transferência de calor

, , w z m z q h T T ′′ = − (3.88)

na qual T_{w z,} é a temperatura da parede na posição z e T_{m z,} pode ser obtida diretamente da integração da equação (3.89) U c q A P dz dT p w m ρ ′′ = (3.89)

resultando, no presente caso, de fluxo de calor constante, a equação

, , er w m z m e p P q T T z c m ′′ = +  (3.90)

A vazão mássica de ar é determinada como m =ρ_arUA_st. Pelo uso da placa de orifício, mede-se a diferença de pressão através da placa de orifício e determina-se a velocidade no orifício, a partir da Equação de Bernoulli e de conservação da massa, por

(

)

2 4 1 2 1 2 1 1 / d ar ar d st p p u A A ρ β ρ Δ Δ = = − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ ; /β =d D (3.91)

A vazão mássica teórica é determinada como m_t =ρ_aru A_{d d}, ou seja

4 4 2 2 1 1 ar d t d ar ar A p m A ρ ρ p ρ β β Δ = = Δ − −  (3.92)

Pode-se demonstrar também que a diferença de pressão está relacionada com diferença de coluna do fluido manométrico

1 2 agua

p p p gρ H

Δ = − = Δ (3.93)

Para se calcular a vazão mássica real, multiplica-se a vazão mássica teórica pelo coeficiente de descarga 4 2 2 1 d d d t ar q d ar C A m C m ρ p C A ρ p β = = Δ = Δ −   (3.94)

A velocidade média do escoamento será 2 2 0, 45 agua d q q st ar ar g H A p U C C A ρ ρ ρ Δ Δ = = (3.95)

O número de Reynolds do escoamento é calculado como 0, 45 2 Re ar ar q agua D ar DC g H UD ρ ρ ρ μ μ ρ Δ = = (3.96)

O coeficiente de vazão da placa de orifício é função do Reynolds, por sua vez o número de Reynolds depende de Cq, desta foram o cálculo de Cq é feito de forma iterativa, resolvendo a equação, por exemplo, pelo método de Newton-Raphson:

(

Re

)

0, 45 2 Re_D ar q D agua 0 ar DC g H ρ ρ μ ρ Δ − = (3.97)

Calculado o número de Reynolds, determina-se a vazão mássica por Re

4 D

D

m =π μ (3.98)

Portanto, a sequência de cálculo e de medidas é:

1) Calcula-se Re_D: Re_D ar q

(

ReD

)

0, 45 2 agua 0 ar DC g H ρ ρ μ ρ Δ − = ; após medir HΔ e

estimar o coeficiente de vazão:

( )

Re 0, 67522 0, 01164 exp 60000 Re 30806,98 q C = + ⎛_⎜ − ⎞_⎟ ⎝ ⎠ 2) Calcula-se Re 4 D D m =π μ

3) Calcula-se a temperatura média de mistura _{, ,} er w m z m e p P q T T z c m ′′ = +  após calcular E I q DL π ⋅ ′′ = com E e I medidos

4) Mede-se a temperatura T_{w z,} nas posições: z [m] = 0,06; 0,14; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6 1,8 5) Calcula-se h: , , w z m z q h T T ′′ = −

6) Calcula-se o número de Nusselt local, para cada vazão medida: ,_z ar

hD Nu

k

=

7) Calcula-se o número de Nusselt médio, para cada vazão medida: 1 , N z i Nu Nu N = =

∑

8) Obtenha uma correlação Nu=Nu

(

Re Pr

)

9) Compare o Nu experimental com o Nu da literatura.

Os dados medidos podem ser organizados numa tabela como a ilustrada a seguir med E[V] I[A] HΔ [m] T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12

1 0,144 2 0,135 3 0,124 4 0,113 5 0,104 6 0,094 7 0,084 8 0,075 9 0,064 10 0,053

A curva de calibração dos termopares é da forma

[ ]

22,819 4, 229

o

3.8 Experimento 02: Trocador de Calor Duplo Tubo

O objetivo nesta experiência é calcular o coeficiente global de transferência de calor U em um trocador de calor duplo tubo e verificar o princípio de conservação de energia.

O experimento consiste em medir as temperaturas de entrada e de saída dos fluidos quente e frio em um trocador de calor de tubos concêntricos, denominado trocador duplo tubo. O fluido quente escoa no tubo interno e o fluido frio no tubo externo, podendo o escoamento ser paralelo (mesmo sentido) ou em contra corrente (sentidos opostos). O aparato experimental é ilustrado na Figura 3.6.

Figura 3.6 – Aparato experimental para medir o coeficiente global de transferência de calor. (por mvtn)

As dimensões do trocador de calor são: L = 5,2m; D_{i q,} =0, 0415m; , 0, 048

e q

D = m; D_{e f,} =0, 089m; D_{i f,} =0, 079m

O cálculo do coeficiente global baseia-se na expressão

lm

q=UA TΔ (3.99)

(

11 22

)

ln / lm T T T T T Δ − Δ Δ = Δ Δ (3.100) e 1 q e, f e, T T T

Δ = − ; Δ =T₂ T_{q s,} −T_{f s,} para o trocador de correntes paralelas;

1 q e, f s,

T T T

Δ = − ; Δ =T2 Tq s, −Tf e, para o trocador de correntes opostas.

Na expressão de cálculo de U, a taxa de calor pode ser estimada como

2 f q q q q= + na qual

(

)

, , , f f p f f s f e q =m c T −T ; qq =m cq p q,

(

Tq e, −Tq s,

)

. (3.101) O coeficiente global pode ser baseado ou na área interna ou externa da parede

i i lm e e lm q=U A TΔ =U A TΔ (3.102) Desta forma e e lm q U A T = Δ ; Ae =πD Le q, . (3.103)

Pela literatura, U pode ser calculado na forma

(

1

)

ln / 1 2 e e e i e i i w e U A D D A h A πk L h = + + (3.104)

em que os coeficientes h e _i h podem ser estimados pelas correlações de Petukov _e

(

)

(

)

(

)

(

)

3 1/ 2 _{2 / 3} / 2 Re 10 Pr 1 12, 7 / 2 Pr 1 D D f Nu f − = + − ; 6 6 0, 5 Pr 10 2300 Re_D 5 10x ⎧ ≤ ≤ ⎪ ⎨ ≤ ≤ ⎪⎩ (3.105)

com f obtido do Diagrama de Moody. Duas correlações alternativas são:

(

0,8

)

0,4 0, 0214 Re 100 Pr D D Nu = − ; _{4 6} 0, 5 Pr 1, 5 10 Re_D 5 10x ≤ ≤ ⎧ ⎨ ≤ ≤ ⎩ (3.106)

(

0,87

)

0,4 0, 012 Re 280 Pr D D Nu = − ; 1, 5 ₃Pr 500 ₆ 3 10x Re_D 10 ≤ ≤ ⎧ ⎨ ≤ ≤ ⎩ (3.107)

As medidas podem ser organizadas na forma

q m [l/h] m [l/h] _f T_{f e,} [K] T_{f s,} [K] T [K] _{q e,} T [K] _{q s,} 800 800 800 700 800 600 800 500 800 400 800 300