ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS

Texto

(1)ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS UTILIZAÇÃO INTEGRADA DE MODELOS DE IDENTIFICAÇÃO MODAL E MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS. Lisboa, 2008. Paulo Mendes Sérgio Oliveira.

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(3) i. Prefácio Este trabalho surge na sequência das actividades desenvolvidas pelo Eng.º Paulo Mendes, Assistente do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL), sob a orientação do Investigador Sérgio Oliveira, no Departamento de Barragens de Betão (DDB), do Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC). O Eng.º Paulo Mendes encontra-se a realizar um estágio no LNEC, com vista à elaboração da sua tese de doutoramento (a dissertação será apresentada na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – FEUP), suportado pelo ISEL, com o apoio da Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT). Ao abrigo do protocolo celebrado entre o ISEL e o LNEC, este trabalho, resultante de actividades de investigação desenvolvidas com o apoio destas duas instituições, é agora compilado e publicado nas edições do LNEC. Lisboa, Outubro de 2008 Paulo Mendes Sérgio Oliveira.

(4) ii.

(5) iii. Análise dinâmica de estruturas. Utilização integrada de modelos de. Resumo. identificação modal e modelos de elementos finitos Neste trabalho aborda-se o tema da análise dinâmica de estruturas de engenharia civil, utilizando, em paralelo, modelos numéricos de elementos finitos e modelos de identificação modal no domínio da frequência, para avaliar as grandezas físicas que caracterizam o seu comportamento dinâmico. Após a introdução dos fundamentos da dinâmica de estruturas, efectua-se a descrição de alguns dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, que se têm mostrado adequados para caracterizar o comportamento dinâmico de estruturas, a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente. Apresenta-se um estudo sobre o comportamento dinâmico de uma parede em consola submetida à acção da água – problema de interacção estrutura-fluido – recorrendo à utilização em paralelo de modelos numéricos de elementos finitos e resultados experimentais obtidos sobre um modelo físico. Com este exemplo pretende-se salientar o interesse da utilização conjunta de resultados experimentais e modelos numéricos na análise dinâmica de estruturas.. Dynamic analysis of structures. Using modal identification models and finite elements models This work is related with the study of the dynamic behaviour of civil engineering structures, using both: numerical models and stochastic modal identification methods on frequency domain, to evaluate the physical parameters which characterize his dynamic behaviour. After the introduction of some structural dynamic principles, some of the most promissory methods of stochastic modal identification on frequency domain are described. A study of the dynamic behaviour of a simple continuous structure is presented, using this structure the structure-fluid interaction problem is also presented, using both: finite element models and experimental results obtained on a physical model. With this example we intend to show, two fundamental issues: the importance of experimental data on the development of numerical models, and; the utility of preliminary numerical models to prepare vibration tests.. Abstract.

(6) iv.

(7) v. CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 1 1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS .................................................................................................................................................... 1. CAPÍTULO 2 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE .................................................................................................................................................... 5 2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................................... 5 2.2 EXCITAÇÃO DETERMINÍSTICA ............................................................................................................................................ 7 2.2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA ESTRUTURAS DISCRETIZADAS ........................................................................................ 7 2.2.2 FORMULAÇÃO MODAL ....................................................................................................................................................... 9 2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento .................................................... 9 2.2.2.2 Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional ................................. 12 2.2.2.3 Funções de resposta em frequência.............................................................................................................................. 13 2.3 EXCITAÇÃO ESTOCÁSTICA ................................................................................................................................................ 16 2.3.1 CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS .......................................................................................... 17 2.3.2 FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DA RESPOSTA ......................................................................................................... 20 2.4 CONCLUSÕES ..................................................................................................................................................................... 23. CAPÍTULO 3 – IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ............................. 25 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.7 3.7.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................................... 25 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE A ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................... 27 MATRIZ DAS FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DA RESPOSTA ............................................................ 34 MÉTODO BÁSICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .............................................................................................................. 43 IDENTIFICAÇÃO DE FREQUÊNCIAS NATURAIS. ESPECTRO NORMALIZADO MÉDIO ............................................................. 44 FUNÇÕES DE COERÊNCIA ................................................................................................................................................. 46 IDENTIFICAÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES MODAIS ................................................................................................................ 48 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE AMORTECIMENTOS MODAIS .................................................................................... 51 MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................................... 54 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES ..................................................................................................................... 55 VERSÃO BASE (FDD)....................................................................................................................................................... 55 VERSÃO MELHORADA (EFDD) ........................................................................................................................................ 58 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ANTERIORES A RESULTADOS EXPERIMENTAIS .................................................................... 64 DESCRIÇÃO DO MODELO FÍSICO E DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO AMBIENTAL ......................................................................... 65 EXEMPLO DE APLICAÇÃO EXPERIMENTAL ........................................................................................................................ 66 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A PARTIR DAS FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO ...... 75 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 87. CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS ........................ 89 4.1 4.2 4.2.1 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................................... 89 SISTEMAS ESTRUTURAIS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDAS ...................................................................................... 90 SOLUÇÃO PARA SISTEMAS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDA ...................................................................................... 90 MODELOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS .............................................................................. 94 UTILIZAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE BARRAGENS DE BETÃO ........... 95 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ESTRUTURAL................................................................................................. 96 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................................................................................. 98 INTERACÇÃO ESTRUTURA-FLUIDO. PAREDE EM CONSOLA............................................................................................ 101.

(8) vi 4.4.1 SOLUÇÃO OBTIDA COM BASE NA FORMULAÇÃO DOS OSCILADORES CONTÍNUOS ............................................................ 102 4.4.2 MODELOS PLANOS DE ELEMENTOS FINITOS .................................................................................................................... 104 4.4.3 IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS ............................... 108 4.4.4 CASO DE ESTUDO ........................................................................................................................................................... 120 4.5 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 133. CAPÍTULO 5 ...............................................................................................................................................135 5.1. SÍNTESE DO TRABALHO ................................................................................................................................................... 135. ANEXO A ...................................................................................................................................................139 A.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................. 139 A.2 SÉRIES TEMPORAIS DE DADOS. AMOSTRAGEM .............................................................................................................. 140 A.3 ANÁLISE ESPECTRAL. FUNDAMENTOS ........................................................................................................................... 141 A.3.1 DA SERIE DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER ................................................................................................. 142 A.3.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A SÉRIES TEMPORAIS ............................................................. 144 A.3.3 ERROS ........................................................................................................................................................................... 145 A.4 FILTRAGEM DE SINAIS .................................................................................................................................................... 151 A.4.1.1 Tipos básicos de filtros.............................................................................................................................................. 152 A.5 DECIMAÇÃO .................................................................................................................................................................... 154 A.6 ZOOM .............................................................................................................................................................................. 155 A.7 CONCLUSÕES .................................................................................................................................................................. 155. ANEXO B....................................................................................................................................................157 B.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................................................... 157 B.1.1 FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO......................................................................................................................... 158 B.1.2 CONDIÇÕES INICIAIS ...................................................................................................................................................... 158.

(9) CAPÍTULO. 1. INTRODUÇÃO SUMÁRIO: As crescentes preocupações da sociedade com as questões de segurança têm-se reflectido, ao nível da engenharia de estruturas, na revisão da regulamentação de segurança, nomeadamente no que concerne ao comportamento das estruturas sob acções dinâmicas, e em particular, sob acções sísmicas. Os novos avanços ao nível da regulamentação têm sido conseguidos com base num maior conhecimento do comportamento estrutural, resultante dos recentes desenvolvimentos ao nível das tecnologias que permitem a observação do comportamento dinâmico de estruturas reais (e de modelos físicos), ao nível das metodologias de identificação modal e ao nível dos modelos computacionais para simulação e interpretação do comportamento dinâmico. Neste sentido, a observação do comportamento dinâmico de estruturas e o desenvolvimento de modelos numéricos para análise e interpretação do seu comportamento, são objecto de abordagem neste trabalho. Assim, neste capítulo introdutório refere-se a motivação e os principais objectivos do trabalho.. 1.1 Considerações gerais A análise do comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil deve ser efectuada recorrendo a resultados experimentais obtidos em ensaios de vibrações e a modelos numéricos computacionais. Normalmente, a utilização de modelos numéricos está associada à concepção e projecto de novas estruturas ou então a actividades relacionadas com o acompanhamento e/ou a avaliação de segurança de estruturas existentes que apresentem um risco potencial significativo, como é o caso das pontes e das grandes barragens (ver Figura 1.1). O recurso à realização de ensaios de vibrações está usualmente associado aos designados ensaios de recepção, realizados após a construção das estruturas e antes da sua entrada em serviço, para avaliar as condições de segurança iniciais, bem como a ensaios periódicos ao longo da vida útil das estruturas, enquadrados nas actividades de observação do seu comportamento dinâmico. Recentemente, têm-se verificado importantes desenvolvimentos, quer ao nível da modelação numérica, quer ao nível da tecnologia utilizada para a realização de ensaios de vibrações, os quais estão alicerçados nas crescentes capacidades computacionais e nos mais recentes desenvolvimentos tecnológicos verificados ao nível dos equipamentos utilizados para medir a resposta dinâmica das estruturas (sistemas de aquisição de dados, condicionadores de sinal, sensores, etc.).. O recurso a modelos numéricos na concepção, projecto e controlo de segurança de estruturas é essencial, nomeadamente sempre que se recorre à utilização de novos materiais, novas formas estruturais e/ou novas metodologias de observação.. Figura 1.1 Barragem da Aguieira..

(10) 2. Capítulo 1: Introdução. Estas evoluções têm impulsionado o desenvolvimento de modelos numéricos (elementos finitos, elementos discretos, etc.), tornando-os cada vez mais adequados para a análise do comportamento dinâmico de estruturas, bem como o desenvolvimento das metodologias de identificação modal, utilizadas para avaliar as características dinâmicas das estruturas a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente. Por outro lado, é de salientar que, muitos dos progressos verificados ao nível da modelação do comportamento dinâmico de estruturas se deve à cada vez maior quantidade de informação experimental disponível, a qual tem permitido uma melhor compreensão dos fenómenos físicos envolvidos, tendo como consequência lógica a adopção de hipóteses mais adequadas para simular o comportamento dinâmico das estruturas.. Densidade Espectral de Potência Média Modelo numérico Resultados experimentais. f. Figura 1.2 Esquema representativo da utilização integrada de modelos de identificação modal e modelos numéricos de elementos finitos.. Globalmente, a análise do comportamento dinâmico de estruturas deverá ser efectuada, recorrendo à utilização integrada da modelação numérica e da identificação experimental de parâmetros modais (frequências naturais, modos de vibração e amortecimentos modais), tal como se mostra no esquema da Figura 1.2. No presente trabalho apresentam-se os fundamentos da análise dinâmica de estruturas numa perspectiva que potencia a utilização integrada de resultados experimentais da observação do comportamento dinâmico de estruturas e de modelos numéricos de elementos finitos. Assim o presente trabalho tem como principais objectivos: •. • •. Apresentar alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, necessários para a implementação de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, nomeadamente relacionados com a formulação modal no domínio da frequência, para osciladores com vários graus de liberdade; Descrever os principais métodos de identificação modal no domínio da frequência, salientando algumas das potencialidades da sua aplicação; Apresentar os fundamentos das metodologias de processamento e análise de sinais digitais;.

(11) 1.1 Considerações gerais. • •. Abordar o problema do comportamento dinâmico de estruturas contínuas, utilizando e comparando resultados analíticos, numéricos e experimentais; Debater o problema da interacção estrutura-fluido, com base na apresentação de resultados numéricos e experimentais, obtidos para o exemplo de um modelo físico, de uma parede em consola submetida à acção da água.. Este trabalho é igualmente desenvolvido com o objectivo de constituir um elemento introdutório à identificação modal de estruturas, sendo por vezes exaustivo na apresentação de alguns dos conceitos fundamentais. Por outro lado, também tem como objectivo, apresentar alguns exemplos de aplicação nesta área. Finalmente, importa salientar que a introdução do problema da interacção estruturafluido, utilizando para o efeito um modelo físico simples, visa abordar de uma forma simplificada, o problema da interacção barragem-albufeira. Neste contexto os resultados analíticos, numéricos e experimentais apresentados, têm por objectivo compilar um conjunto de elementos a partir dos quais poderá ser possível extrapolar algumas conclusões para o caso concreto de barragens de betão.. 3.

(12) 4. Capítulo 1: Introdução.

(13) CAPÍTULO. 2. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE. SUMÁRIO: O estudo do comportamento dinâmico de modelos estruturais com um ou vários graus de liberdade, é essencial para a introdução de alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, essenciais para o desenvolvimento de estudos mais avançados. Pelo que, a introdução deste capítulo visa introduzir alguns desses fundamentos, essenciais para os conceitos que são apresentados nos capítulos seguintes, os quais estão associados ao estudo da resposta de modelos estruturais com vários graus de liberdade, no domínio da frequência, a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas, bem como, a partir de excitações desconhecidas, designadas por estocásticas.. 2.1 Introdução A análise e caracterização do comportamento dinâmico de estruturas baseia-se num conjunto de fundamentos, que usualmente são descritos em aplicações a modelos estruturais com um e/ou vários graus de liberdade [Clough e Penzien, 1993; Chopra, 2000]. Neste capítulo apresentam-se estes fundamentos, realçando em particular, alguns conceitos essenciais para o desenvolvimento de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (capítulo 3). Os métodos de identificação modal estocástica têm por objectivo a identificação das principais características dinâmicas das estruturas, a partir de dados sobre a sua resposta (em geral obtidos experimentalmente), sob as acções dinâmicas que normalmente as solicitam, as quais apresentam em geral uma variação temporal de natureza aleatória, podendo ser caracterizadas através de conceitos probabilísticos, como mais à frente se verá. Todavia, em primeiro lugar apresentam-se os conceitos clássicos, associados ao estudo da resposta das estruturas a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas. Para além de uma adequada idealização das acções actuantes é igualmente importante a consideração de um modelo matemático capaz de descrever de uma forma suficientemente aproximada o funcionamento estrutural, o qual deverá permitir a obtenção de relações matemáticas entre as características essenciais da excitação e da resposta estrutural resultante. Estes modelos matemáticos, utilizados para caracterizar o comportamento dinâmico das estruturas, podem recorrer a diferentes formulações, nomeadamente, formulações no domínio do tempo e no domínio da frequência, em coordenadas estruturais ou coordenadas modais. Genericamente, e independentemente do tipo de excitação, o processo relativo à caracterização do comportamento dinâmico de estruturas (ver Figura 2.1), baseia-se no estabelecimento de um modelo matemático e de relações excitação-resposta, bem.

(14) 6. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. como a adopção de um modelo espacial discreto ou contínuo que represente aproximadamente as propriedades geométricas e físicas das estruturas, usualmente expressas através das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, bem como a aplicação das leis da Mecânica, resultando daí um sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural, a partir do qual é possível obter relações excitação-resposta, quer numa óptica determinística, quer numa óptica estocástica. Acção do tipo ruído ambiente. Acção do vento p (t). (desconhecida). 0. (desconhecida). p (t). 0. t. t. u (t). Resposta estrutural. .. . m.u(t)+c.u(t)+k.u(t)=p(t). Propriedades estruturais: massa - m rigidez - k amortecimento - c. Acção impulsiva. τ. Acção harmónica. Caracteríticas modais: frequências naturais - f i configurações modais - φ i amortecimentos modais - ξ i. p (t) (conhecida / desconhecida) p. 0. t. p (t) (conhecida / desconhecida). 0. t. t. Acção sísmica p (t). 0. (desconhecida) .. p (t) = - m.u b(t) t. .. u b(t) - aceleração da base de fundação. Figura 2.1 Esquema representativo da caracterização do comportamento dinâmico de estruturas.. Neste capítulo, o estudo do comportamento dinâmico de estruturas é efectuado, assumindo simplificadamente a hipótese de comportamento elástico linear e que as características estruturais são invariantes no tempo. Nos modelos matemáticos utilizados para estudar o comportamento dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade, as propriedades estruturais são usualmente representadas por intermédio de matrizes, que resultam de uma prévia discretização, normalmente efectuada recorrendo a elementos finitos, como se verá no capítulo 4. As propriedades estruturais são relacionadas com as forças externas, através do estabelecimento de equações diferenciais de equilíbrio. Tendo em conta o tipo de excitação, é efectuada a apresentação dos diversos conceitos, recorrendo a um exemplo de aplicação que também será utilizado no capítulo 3, o qual se refere ao modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos (ver Figura 2.2).. u 1 (t). u 2 (t). u 3 (t). Figura 2.2 Exemplo de um oscilador com 3 graus de liberdade. Modelo plano da estrutura de um modelo físico um edifício de 3 pisos..

(15) 2.2 Excitação determinística. 7. 2.2 Excitação determinística A caracterização do comportamento dinâmico de estruturas, com base numa excitação do tipo determinística é usualmente designada como o processo clássico da análise dinâmica de estruturas. Na perspectiva da utilização de modelos analíticos, este processo, baseia-se na determinação da resposta dinâmica das estruturas, a partir de excitações conhecidas, adoptando um modelo matemático adequado, que contemple as já mencionadas propriedades físicas e geométricas, bem como a aplicação das leis da Mecânica, utilizando, o já mencionado sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural.. No âmbito da dinâmica de estruturas, as acções ou excitações (dinâmicas), são muitas vezes designadas também por vibrações.. Por outro lado, este processo também é utilizado para caracterizar a resposta dinâmica de estruturas a partir de dados experimentais. Neste tipo de caracterização são utilizados modelos experimentais que se baseiam nas relações excitação-resposta, a partir das quais é possível avaliar as características dinâmicas das estruturas. Nesta secção apresentam-se os conceitos utilizadas neste tipo de abordagem, designadamente para o caso da análise no domínio da frequência de estruturas discretizadas em vários graus de liberdade.. 2.2.1 Equação do movimento para estruturas discretizadas O estudo do comportamento dinâmico de estruturas, discretizadas em n graus de liberdade e sujeitas à acção de forças externas p(t), pode ser efectuado através da seguinte equação matricial, que representa um sistema de n equações diferenciais de 2ª ordem: m ⋅ u ( t ) + c ⋅ u ( t ) + k ⋅ u ( t ) = p ( t ) . As matrizes m, c e k , representam, respectivamente, a matriz de massas, amortecimento e rigidez, cujos elementos mij, cij e kij representam as forças generalizadas que ocorrem no grau de liberdade i, quando no grau de liberdade j é imposta uma aceleração, uma velocidade ou um deslocamento generalizado unitário, respectivamente. Por sua vez os vectores u ( t ) , u ( t ) e u ( t ) , contêm as acelerações, velocidades e relativos deslocamentos generalizados a cada um dos graus de liberdade da estrutura, enquanto o vector p ( t ) contém as forças aplicadas em cada um dos graus de liberdade. A resolução deste sistema de equações diferenciais de segunda ordem, pode ser efectuada: − no domínio do tempo, recorrendo a funções de resposta a impulsos, ou; − no domínio da frequência, pela aplicação da transformada de Fourier a ambos os membros (para condições iniciais não nulas deverá aplicar-se a transformada de Laplace). Uma vez que o objectivo deste trabalho é analisar o comportamento dinâmico de estruturas com base na análise de resultados experimentais no domínio da frequência (utilizando para o efeito, a transformada de Fourier), então a análise do anterior sistema de equações diferenciais de segunda ordem, no domínio da frequência, é. Em geral, quando se aplica a transformada de Fourier, admite-se que as condições iniciais são nulas..

(16) 8. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. evidentemente mais interessante. Aplicando a transformada de Fourier a ambos os membros da anterior equação matricial F ⎡⎣ m ⋅ u ( t ) + c ⋅ u ( t ) + k ⋅ u ( t ) ⎤⎦ = F ⎡⎣ p ( t ) ⎤⎦ . F [ u ( t ) ]= U ( ω ) F ⎡⎣ p ( t ) ⎤⎦ = P ( ω) . obtém-se uma nova expressão matricial, que relaciona, no domínio da frequência a resposta com a excitação: − m ⋅ ω2 ⋅ U ( ω) + i ⋅ ω⋅ c ⋅ U ( ω) + k ⋅ U ( ω) = P ( ω) . Propriedades Fourier:. da. transformada. de. Transformada da 1ª derivada do vector dos deslocamentos. A solução anterior é uma função complexa, definida no domínio da frequência, que simplificadamente pode ser escrita na forma seguinte:. F ⎡⎣ u ( t ) ⎤⎦ = i ⋅ ω ⋅ U ( ω ) . Transformada da 2ª derivada do vector dos deslocamentos. U ( ω) = H ( ω) ⋅ P ( ω) . em que U ( ω) e P ( ω) , são vectores que representam as transformadas de Fourier da resposta e da excitação, respectivamente. Já H ( ω) é uma matriz composta por um conjunto de componentes Hij ( ω) , as quais são funções de resposta em frequência (FRF) do sistema, que relacionam a resposta no grau de liberdade i com a força generalizada aplicada no grau de liberdade j. Esta matriz, relaciona-se com as matrizes m, c e k , que caracterizam a estrutura, através da seguinte relação: H ( ω) = ⎡⎣ −ω2 ⋅ m + i ⋅ ω⋅ c + k ⎤⎦. Transformadas de Fourier dos vectores dos deslocamentos e das forças:. F ⎣⎡ u ( t ) ⎦⎤ = −ω2 ⋅ U ( ω ) . −1. A determinação da matriz anterior pode ser uma operação computacionalmente dispendiosa, pois obriga ao cálculo da inversa de uma matriz complexa para cada frequência pretendida. Recorrendo à designada formulação modal, é possível obter a matriz H ( ω) , das funções de resposta em frequência de uma forma numericamente mais eficiente. Exemplo 2.1 Modelo plano de um modelo físico da estrutura de um edifício de três pisos. Para uma melhor interpretação dos conceitos que vão sendo apresentados ao longo deste trabalho, é utilizado com exemplo, um pequeno modelo físico da estrutura de um edifício, o qual é constituído por três pisos suportados por quatro pilares. Os pisos são materializados por chapas de aço com 1.5 cm de espessura, enquanto que os pilares são lâminas de alumínio, com uma altura entre pisos de 20 cm e uma secção transversal de 3×18 mm, como se mostra na Figura 2.3. Por uma questão de simplificação, apenas se efectua uma análise plana do modelo, considerando-se para o efeito a direcção mais flexível da estrutura do edifício. Atendendo às características mecânicas dos materiais utilizados na construção do modelo, os pisos funcionam como diafragmas rígidos no seu próprio plano. Desta forma pode-se representar simplificadamente o modelo, como se mostra na Figura 2.3 (b). Tendo em conta as simplificações introduzidas, determinaram-se as seguintes matrizes de rigidez e de massa: 0 ⎡ 20833.33 −20833.33 ⎤ ⎢ k = −20833.33 41666.67 −20833.33⎥ [ N / m ] ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 −20833.33 41666.67 ⎥⎦. ⎡5 0 0 ⎤ m = ⎢ 0 5 0 ⎥ [ kg ] ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 5 ⎥⎦.

(17) 2.2 Excitação determinística. x2. placa ( aço ). m. k/2. placa ( aço ). p 2 (t). u 1 (t). k/2 m. u 2 (t). 200 mm. 15 mm. 200 mm. p 1 (t). k/2. k/2. placa ( aço ). p 3 (t). m. u 3 (t). 200 mm. Pilares : (alumínio) 3 mm x 18 mm. k/2. 0m m. k/2. 20. 200 mm. x1. (a) (b) Figura 2.3 Modelo físico da estrutura do edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana.. 2.2.2 Formulação modal A formulação modal permite transformar o sistema de equações diferenciais anterior, num conjunto de equações diferenciais independentes (ou desacopladas). A operação de desacoplar, consiste em expressar o vector dos deslocamentos numa combinação linear de vectores independentes, designados por modos de vibração, os quais são combinados linearmente através das designadas coordenadas modais.. 2.2.2.1. Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento. Os fundamentos da formulação modal desenvolvem-se a partir do caso teórico de estruturas sem amortecimento e sem forças externas aplicadas, com base no qual se determinam os seus valores e vectores próprios, os quais correspondem respectivamente às suas frequências próprias e modos de vibração. Considerando a equação do movimento para a situação de vibração livre sem amortecimento, ou seja m ⋅ u(t) + k ⋅ u(t) = 0 . a equação anterior também pode ser representada na forma seguinte − m ⋅ ω2 ⋅ u ( t ) + k ⋅ u ( t ) = 0 . ou. ⎡⎣ k − m ⋅ ω2 ⎤⎦ ⋅ u ( t ) = 0 . que corresponde a um sistema algébrico cuja solução é genericamente dada por −1. u ( t ) = ⎡⎣ k − m ⋅ ω2 ⎤⎦ ⋅ 0 . ou, tendo em conta que a inversa de uma matriz é a correspondente matriz adjunta a dividir pelo seu determinante, u(t) = . Adj( k − m ⋅ ω2 ) k − m ⋅ ω2. ⋅0 . Com este resultado conclui-se que a solução u ( t ) será a solução trivial (nula) sempre . 9.

(18) 10. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. que o determinante (em denominador) for não nulo. Assim para obtermos as soluções não nulas que nos interessam o determinante k − m ⋅ ω2 deverá ser nulo. Neste caso, a solução u ( t ) será não nula, mas indeterminada. Assim, conclui-se que a equação diferencial apenas poderá ter uma solução não nula se o determinante em denominador for nulo k − m ⋅ ω2 = 0. Desta forma, verifica-se que as soluções da equação anterior são da forma u ( t ) = Φ ⋅ u* ( t ) . em que Φ corresponde à designada matriz modal, que contém em cada coluna os modos de vibração da estrutura (vectores próprios reais do sistema, correspondentes às soluções não triviais) enquanto que u * ( t ) corresponde às denominadas . coordenadas modais (que são funções do tempo). Matematicamente os conceitos de massa modal e de rigidez modal surgem quando, na equação diferencial em análise, se introduz a forma u ( t ) = Φ ⋅ u* ( t ) . ficando m ⋅ Φ ⋅ u(t) + k ⋅ Φ ⋅ u(t) = 0 . a qual pode ser facilmente resolvida se multiplicarmos ambos os membros por Φ T já que, em resultado desta multiplicação, obtemos o seguinte sistema de três equações diferenciais desacopladas Φ T ⋅ m ⋅ Φ ⋅ u* ( t ) + Φ T ⋅ k ⋅ Φ ⋅ u* ( t ) = 0 . pois as matrizes Φ T ⋅ m ⋅ Φ e Φ T ⋅ k ⋅ Φ são matrizes diagonais, usualmente designadas como a matriz das massas modais e a matriz da rigidez modal ⎡% ⎤ ⎥ m* = Φ T ⋅ m ⋅ Φ = ⎢⎢ m*i ⎥ ⎢⎣ %⎥⎦. ⎡% ⎤ ⎥ k * = Φ T ⋅ k ⋅ Φ = ⎢⎢ k *i ⎥ ⎢⎣ %⎥⎦. Φ = ⎡⎣" ϕi "⎤⎦ . em que mi e ki são, respectivamente a massa modal e a rigidez modal correspondentes ao modo de vibração i, verificando-se a seguinte relação ωi =. ki mi. Assim, a equação diferencial anterior pode escrever-se na forma m*i ⋅ u *i ( t ) + k *i ⋅ u *i ( t ) = 0. Importa referir que os vectores próprios são sempre determinados a menos de um factor de escala, podendo-se, por conveniência para a resolução da equação do movimento, normalizá-los relativamente à matriz de massa, de modo a que se verifiquem as relações:.

(19) 2.2 Excitação determinística. Φ Tm ⋅ m ⋅ Φ m = I. 11. Φ Tm ⋅ k ⋅ Φ m = Ω 2. em que Φ m é a matriz que tem como colunas os vectores próprios ϕmi normalizados relativamente à matriz de massa, que podem ser determinados através de ϕi ϕmi = mi . enquanto, I é a matriz identidade e Ω 2 é a matriz espectral. Finalmente, refere-se ainda que, a resposta dinâmica de uma estrutura, dada pela expressão u ( t ) = Φ ⋅ u * ( t ) também pode ser escrita na forma . . N. u ( t ) = ∑ ϕi ⋅ u *i ( t ) i =1 . em que N corresponde ao número de graus de liberdade considerado. Exemplo 2.2 Determinação das frequências próprias e dos modos de vibração do modelo plano do edifício de 3 pisos, desprezando o efeito do amortecimento. Tendo em conta as matrizes de rigidez e de massa anteriormente apresentadas, apresentam-se agora, os valores próprios, frequências próprias, matriz modal e matriz modal normalizada, os quais se obtiveram a partir da utilização de rotinas de cálculo desenvolvidas em MatLab (Math Works, 2000): Valores próprios[(rad/s)2]. Frequências angulares naturais [rad/s]. ⎡ 825 ⎤ 2 ωi = ⎢ 6479 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣13529 ⎥⎦. ⎡ 28.72 ⎤ ωi = ⎢ 80.49 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣116.31⎥⎦. Frequências naturais [Hz]. 0 0 ⎤ ⎡ 28.72 ⎢ Ω= 0 80.49 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 116.31⎥⎦. ⎡ 4.57 ⎤ f i = ⎢12.81⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣18.51⎥⎦. Matriz modal (vectores próprios). ⎡ −0.3296 −0.2643 0.1467 ⎤ Φ = ⎢ −0.2643 0.1467 −0.3296 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −0.1467 0.3296 0.2643 ⎥⎦ Na figura seguinte apresentam-se as configurações modais, aplicando um valor de escala, considerado adequado, aos valores obtidos para a matriz modal previamente apresentada. 1º MODO - 4.572Hz. 2º MODO - 12.81Hz. 3º MODO - 18.51Hz. 0.6. 0.6. 0.6. 0.5. 0.5. 0.5. 0.4. 0.4. 0.4. 0.3. 0.3. 0.3. 0.2. 0.2. 0.2. 0.1. 0.1. 0.1. 0 -0.1. 0. 0.1. 0.2. 0 -0.1. 0. 0.1. 0.2. 0 -0.1. 0. 0.1. 0.2. Figura 2.4 Modelo físico da estrutura de um edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana..

(20) 12. 2.2.2.2. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional. Considere-se agora estruturas com amortecimento, para as quais é necessário assumir a ortogonalidade dos modos de vibração em relação à matriz de amortecimento, nestas circunstâncias considera-se ⎡% ⎤ ⎡% ⎤ ⎥=⎢ ⎥ c * = Φ T ⋅ c ⋅ Φ = ⎢⎢ c*i 2 m ⋅ ξ ⋅ ⋅ ω i i i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ %⎥⎦ ⎢⎣ %⎥⎦. nas igualdades anteriores é estabelecida a definição de amortecimento modal c*i . Um caso especial de amortecimento proporcional é o designado amortecimento de Rayleigh, cuja matriz de amortecimento resulta da combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez, através da seguinte expressão c = α⋅m +β⋅k. em que α e β são duas constantes. Este modelo de amortecimento admite que a distribuição do amortecimento nas estruturas é proporcional à distribuição de massa e de rigidez. Esta hipótese simplificativa facilita o tratamento matemático do problema, sendo na prática muito utilizada pelo facto de fornecer uma boa aproximação para um grande grupo de estruturas. Nestas circunstâncias, a solução geral do anterior sistema de equações diferenciais pode ser obtida transformando-se num conjunto de equações diferenciais independentes (ou desacopladas), como se mostra na seguinte expressão m*i ⋅ u *i ( t ) + c*i ⋅ u *i ( t ) + k*i ⋅ u *i ( t ) = p*i ( t ) . onde as componentes modais da excitação p*i ( t ) , resultam do produto da transposição do vector correspondente ao do modo de vibração i pelo vector da excitação p ( t ) , isto é p*i ( t ) = ϕiT ⋅ p ( t ) . Salienta-se o facto de os vectores próprios dum sistema com amortecimento proporcional coincidirem com os vectores próprios desse mesmo sistema sem amortecimento, uma vez que a matriz de amortecimento c também é diagonalizada pela matriz modal Φ , como aliás já se verificou. Todavia, para a obtenção de valores próprios é necessário satisfazer a equação característica λ i2 + 2 ⋅ ξi ⋅ ωi ⋅ λ i + ωi2 = 0 , cuja solução permite escrever: λ i = −ξi ⋅ ωi + j ⋅ ωi ⋅ 1 − ξi2. ωi = λ i. , λ i⊗ = −ξi ⋅ ωi − j ⋅ ωi ⋅ 1 − ξi2. ⎛λ ⎞ , ξi = − Re ⎜ i ⎟ ⎜λ ⎟ ⎝ i ⎠. nas relações anteriores o índice ♦⊗ significa complexo conjugado. Exemplo 2.3 Edifício de 3 pisos. Determinação da matriz de amortecimento e dos coeficientes de amortecimento, considerando a formulação de amortecimento de Rayleigh (proporcional à massa e à rigidez)..

(21) 2.2 Excitação determinística. 13. Considerando as matrizes de massa e rigidez anteriormente apresentadas, determinou-se uma matriz de amortecimento viscoso proporcional, obtida com base na aplicação da formulação de amortecimento Rayleigh, dada pela expressão c = α ⋅ m + β ⋅ k , em que se arbitraram as seguintes constantes α = 0.05 e β = 0.0001 .. ⎡ 2.3333. −2.0833. ⎢ ⎣⎢. 4.4167. −2.0833⎥ [ N ⋅ s m ]. −2.0833. 4.4167 ⎦⎥. c = ⎢ −2.0833. 2.2.2.3. 0. 0. ⎤ ⎥. ⇒. ⎡ 0.23⎤ ⎢ ⎥ [%] ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0.60 ⎦⎥. ξ i = 0.43. Funções de resposta em frequência. A equação do movimento escrita em coordenadas modais (desacoplada), é idêntica à que descreve o movimento do oscilador de 1 grau de liberdade, podendo ser resolvida no domínio do tempo através do integral de Duhamel ou ser transformada para o domínio da frequência (recorrendo à transformada de Fourier), podendo-se escrever na seguinte forma U i ( ω) = H di ( ω) ⋅ Pi ( ω) . Cada uma das funções de resposta em frequência no espaço modal H i ( ω) é definida, em função dos parâmetros modais, pela expressão: 1 H di ( ω) = 2 ωi − ω2 + 2 ⋅ j ⋅ ξi ⋅ ω⋅ ωi. A matriz das funções de resposta em frequência completa, no sistema de coordenadas generalizadas iniciais, pode ser obtida através da seguinte expressão N. H ( ω) = Φ ⋅ H d ( ω) ⋅ Φ T = ∑ H di ⋅ ϕi ⋅ ϕiT i =1 . na qual a matriz H d (ω ) é uma matriz diagonal que contém, na sua diagonal principal, as funções de resposta em frequência no espaço modal, encontrando-se os modos de vibração normalizados em relação à matriz de massa. A partir da segunda igualdade da última expressão, pode-se obter facilmente a equação seguinte a qual permite o cálculo dos vários elementos da matriz das FRFs N. H ( m,n ) ( ω) = ∑. ( ϕ m )i ⋅ ( ϕ n )i. 2 2 i =1 ωi − ω + 2 ⋅ j ⋅ ξi ⋅ ω⋅ ωi. onde ( ϕm )i é a componente m do modo de vibração i. O cálculo da matriz das FRFs através da formulação modal é muito mais eficiente, não só pelo facto das operações matemáticas envolvidas serem mais simples, mas também porque é possível ter em consideração um número de modos de vibração limitado, bastando para tal alterar o limite superior dos somatórios das expressões, para contabilizar apenas a contribuição dos primeiros modos, que se julguem representativos do sistema dinâmico. Finalmente, é possível obter a resposta, no domínio da frequência, considerando a seguinte expressão:. Recorde-se a equação do oscilador de 1GL: m ⋅ u ( t ) + c ⋅ u ( t ) + k ⋅ u ( t ) = p ( t ) .

(22) 14. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. N. U ( ω) = ∑ ϕi ⋅ H di ( ω) ⋅ Pi ( ω) i =1 . Exemplo 2.4 Edifício de 3 pisos. Matriz das funções de resposta em frequência. Tendo em conta os parâmetros previamente calculados e apresentados, determinaram-se as funções de resposta em frequências (FRF), programando as expressões das FRF (matriz H previamente apresentada) em rotinas de MatLab . Atendendo ao facto de estas funções serem complexas, são necessárias duas funções para as definir completamente, assim, apresenta-se na Figura 2.5, uma matriz que contém as amplitudes daquelas funções, em função da frequência (em Hz), enquanto que na Figura 2.6, se apresenta a matriz das fases. É de salientar que, para calcular as FRF utilizaram-se os coeficientes de amortecimento modais apresentados no exemplo anterior, determinados com base na hipótese de amortecimento proporcional. 10. Amplitude [(m/s2)/Hz]. 10 10 10 10 10. 10. Amplitude [m/kN]. 10 10 10 10 10. 10. Amplitude [m/kN]. 10 10 10 10 10. H[1,1]. 0. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. H[2,1]. 0. 10. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. H[3,1]. 0. 10. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. 20. 25. 10. H[1,2]. 0. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. H[2,2]. 0. 10. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. H[3,2]. 0. 10. 10. -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. f [Hz]. 10. H[1,3]. 0. -1. -2. -3. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 20. 25. 20. 25. H[2,3]. 0. -1. -2. -3. -4. -5. 0. 5. 10. 15. H[3,3]. 0. -1. -2. -3. -4. -5. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. Figura 2.5 Matriz das amplitudes das FRFs.. Analisando a figura anterior, verifica-se claramente que em qualquer um dos espectros de amplitude, surgem 3 picos para as frequências naturais do modelo estrutural. Na Figura 2.6, apresentam-se também sob a forma de matriz, a variação da fase em função da frequência, para os vários elementos das funções de resposta em frequência, tendo em conta os valores de amortecimento no exemplo 2.3..

(23) 2.2 Excitação determinística. Fase [º]. H[1,1]. H[1,2] 180. 180. 90. 90. 90. 0. 0. 0. -90. -90. -90. -180 0. 5. 10. 15. 20. 25. -180 0. 5. Fase [º]. H[2,1]. 10. 15. 20. 25. 0. 180. 180. 90. 90. 90. 0. 0. 0. -90. -90. -90. -180 5. 10. 15. 20. 25. 5. 10. 15. 20. 25. 0. 180. 90. 90. 90. 0. 0. 0. -90. -90. -90. -180 10. 15 f [Hz]. 20. 25. 20. 25. 10. 15. 20. 25. 20. 25. H[3,3]. 180. 5. 5. H[3,2]. 180. 0. 15. -180 0. H[3,1]. -180. 10. H[2,3]. 180. 0. 5. H[2,2]. -180. Fase [º]. H[1,3]. 180. -180. 15. -180 0. 5. 10. 15. 20. f [Hz]. 25. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. Figura 2.6 Matriz das fases das FRFs.. Todavia a informação contida nas duas anteriores figuras, pode ser resumida numa única, tal como se apresenta na Figura 2.7, com a vantagem de permitir uma análise e interpretação física dos resultados obtidos, mais imediata. Analisando a Figura 2.7, verifica-se claramente que sempre que existe um pico ou um vale aguçado (pico invertido), ocorre uma mudança de fase! E que nos vales não aguçados ocorre de - 180 para 180 ou vice-versa..

(24) 16. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. 10. 10 10 10 10. 10. 10 10 10 10. 10. 10 10 10 10. 90. -2. 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[2,1]. 0. 180 -1. 90. -2. 10 10. 10 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[3,1]. 0. 180 -1. 90. -2. 10 10. 10 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. 20. -180 25. 10 10. H[1,2]. 0. 180 -1. 90. -2. 10 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[2,2]. 0. 180 -1. 90. -2. 10 10. 10 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[3,2]. 0. 180 -1. 90. -2. 10 10. 10 10 10. 0. -3. 10 -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. 10 10. f [Hz]. Figura 2.7 Matriz completa das FRFs.. 2.3 Excitação estocástica A designação de excitação estocástica, encontra-se associada a acções dinâmicas desconhecidas, cuja variação temporal é de natureza aleatória, isto é, quando não é possível prever o seu comportamento futuro. Nestas circunstâncias, a caracterização do comportamento dinâmico de estruturas só pode ser alcançada através da adopção de conceitos probabilísticos, como aliás já foi mencionado anteriormente. Atendendo ao facto de a excitação ser desconhecida, o processo referente à caracterização do comportamento dinâmico, baseia-se na consideração de hipóteses simplificativas sobre as características estatísticas da excitação, procurando-se o estabelecimento da relação destas, com as características estatísticas da resposta (conhecidas) e com as propriedades dinâmicas das estruturas, as quais interessa avaliar. Assim, este tipo de processo baseia-se na análise e interpretação da resposta das estruturas, e está especialmente vocacionado para a vertente experimental. Nesta secção introduzem-se alguns conceitos básicos de estatística e processos estocásticos, os quais visam a introdução e o estudo da representação analítica das funções de. H[1,3]. 0. 180 -1. 90. -2. 0. -3. -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[2,3]. 0. 180 -1. 90. -2. 0. -3. -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15. 20. -180 25. H[3,3]. 0. 180 -1. 90. -2. 0. -3. -90. -4. -5. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. 20. -180 25. Fase [º]. Amplitude [m/kN]. 10. -1. 10. Fase [º]. Amplitude [m/kN]. 10. 180. Fase [º]. Amplitude [m/kN]. 10. H[1,1]. 0.

(25) 2.3 Excitação estocástica. densidade espectral de potência da resposta das estruturas, elemento chave na abordagem deste tipo de processo, no domínio da frequência.. 2.3.1 Conceitos de estatística e de processos estocásticos Considere-se a evolução no tempo de um conjunto de variáveis aleatórias, as quais correspondem a um determinado conjunto de realizações de um processo estocástico. Pode-se definir a evolução de uma variável aleatória ao longo do tempo como xk(t), em que o índice k indica a realização a que se refere (k∈[0,N]) e t indica o instante temporal (t∈[0,T]). Considerando que as realizações então compreendidas num intervalo limitado (t∈[0,T]), no fundo está-se a considerar apenas uma amostra da população total de valores (t∈]-∞,+∞[, para a população total), representativa de cada uma das realizações k. Nestas circunstâncias para cada amostra da evolução de uma variável aleatória dá-se a designação de função aleatória, sendo que nenhuma delas é decomponível em nenhuma função conhecida. Suponha-se que cada variável aleatória xk(t), pode assumir qualquer valor no intervalo de tempo em que está compreendida, e que está relacionada com a descrição da evolução de uma determinada grandeza física (ex. aceleração), para a qual interessa conhecer a sua tendência e dispersão. Na prática, uma função aleatória resulta da medição ou registo de uma grandeza física, cuja variação é devida a causas não controladas pelo observador. Todavia, o conceito de aleatoridade é reforçado, caso se meçam várias amostras em simultâneo, obtendo-se assim um conjunto de diferentes registos (resultantes de experiências idênticas) aos quais se dá a designação de processo estocástico. Na Figura 2.8, faz-se a representação das n variáveis de um processo estocástico ao longo do tempo.. Figura 2.8 Representação de um processo estocástico escalar (adaptado de [Magalhães, 2004]).. Tendo em conta o processo estocástico xk(t) apresentado na Figura 2.8, definem-se agora, na Tabela 2.1,algumas grandezas estatísticas, para o instante t e para os instantes t e t+τ.. 17.

(26) 18. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. Tabela 2.1 Grandezas estatísticas de variáveis aleatórias Amostra [0, N]. Designação. Média Valor quadrático médio Variância. 1 N x t = E ⎡⎣ x k ( t ) ⎤⎦ = ⋅ ∑ x k ( t ) N k =1 1 N 2 2 x 2t = E ⎡ x k ( t ) ⎤ = ⋅ ∑ x k ( t ) ⎣ ⎦ N k =1 2 2 1 N s 2t = E ⎡ ⎣⎡ x k ( t ) − x ⎦⎤ ⎤ = ⋅ ∑ ( x k ( t ) − x ) ⎣ ⎦ N k =1. s t = s 2t. Desvio padrão Auto-correlação. Auto-covariância. R xx ( t, t + τ ) = E ⎡⎣ x k ( t ) ⋅ x k ( t + τ ) ⎤⎦ =. 1 N ⋅ ∑ xk ( t ) ⋅ xk ( t + τ ) N k =1. C xx ( t, t + τ ) = E ⎣⎡( x k ( t ) − x t ) ⋅ ( x k ( t + τ ) − x t +τ ) ⎦⎤ = =. 1 N ⋅ ∑ ( x k ( t ) − x t ) ⋅ ( x k ( t + τ ) − x t +τ ) N k =1. Para as grandezas estatísticas apresentadas na tabela anterior importa referir que, x t , x 2t , s 2t e s t são considerados como estimadores das grandezas µ t , µ 2t , σ2t e σ t , as quais seriam os valores obtidos se fosse possível calcular estes parâmetros para toda a população. Todavia, a caracterização completa de um processo estocástico, envolve um exigente tratamento matemático, pelo que é usual, em diversas aplicações práticas, simplificar esse tratamento matemático, assumindo que os processos estocásticos são estacionários e ergódicos. Um processo diz-se estacionário quando as suas características estatísticas são independentes do instante temporal. Para estas condições apresentam-se as funções a utilizar para determinar a média e a função de auto-correlação: 1 N ⋅ ∑ xk ( t ) N →∞ N k =1. µ x ( t ) = lim. 1 N ⋅ ∑ xk ( t) ⋅ xk ( t + τ ) N →∞ N k =1. R xx ( t, t + τ ) = lim. Um processo é dito ergódico quando o valor dos parâmetros estatísticos avaliados tendo em conta as diferentes realizações, para um determinado instante de tempo, é igual ao dos mesmos parâmetros estatísticos avaliados apenas numa realização ao longo do tempo. Para avaliar o conceito de ergocidade apresentam-se também as funções a utilizar para determinar a média e a função de auto-correlação:. µ x ( k ) = lim. N →∞. 1 T ⋅ x k ( t ) dt T ∫0. R xx (τ ,k ) = lim. N →∞. 1 T ⋅ x k ( t ) ⋅ x k ( t + τ ) dt T ∫0. Usualmente, assim como neste trabalho, é também admitido que os processos estocásticos apresentam média nula e natureza Gaussiana (ou normal). Ao se admitir a natureza Gaussiana, no fundo está-se a admitir que a função de auto-correlação caracteriza completamente o processo [Carvalhal, 1989]. É de salientar que, a natureza Gaussiana é comum a muitos fenómenos naturais, segundo o Teorema do Limite Central, a soma de um grande número de variáveis.

(27) 19. 2.3 Excitação estocástica. aleatórias independentes, cada uma com diferentes distribuições individuais, tende para uma distribuição normal. Ao admitir-se que o processo estocástico é estacionário e ergódico, a função de autocorrelação apenas contempla uma única realização k e um desfasamento temporal τ, podendo ser determinada simplesmente através da seguinte expressão: 1 T x k ( t ) ⋅ x k ( t + τ ) dt T →∞ T ∫0. R xx ( τ ) = lim. As funções de auto-correlação associadas a processos estocásticos estacionários de média nula, são funções simétricas com um máximo na origem, cuja ordenada é igual à variância do processo. Aplicando a transformada de Fourier à função de auto-correlação obtém-se uma nova função que se designa por função de densidade espectral de potência ou autoespectro, definida no domínio da frequência. +∞. Sxx ( ω) = ∫ R xx ( τ ) ⋅ e−i⋅ω⋅τ dτ. De notar que também é possível determinar a função de autocorrelação aplicando a inversa da transformada de Fourier à função de densidade espectral de potência:. R xx ( τ ) =. 1 +∞ Sxx ( ω) ⋅ ei⋅ω⋅τ dω 2π ∫−∞. −∞. x(t). Os auto-espectros são funções reais que quantificam a distribuição do conteúdo energético de um sinal (série temporal) em frequência. Para sinais de média nula, a área do gráfico que representa o conteúdo energético total do sinal é igual ao valor da sua variância.. t. R(τ). Nesta fase importa definir o conceito de ruído branco. Trata-se de um tipo de sinal que é caracterizado por ser idealmente aleatório e no limite pode-se afirmar que, contém a contribuição, com conteúdo energético significativo, de todas as frequências. Nestas circunstâncias a área das funções de densidade espectral será infinita, enquanto que a função de auto-correlação apresentará uma ordenada com valor infinito na origem, que deriva do facto da variância ser infinita, apresentando ordenadas nulas em todas as restantes abcissas, pelo facto do sinal ser idealmente aleatório. Em termos práticos, a obtenção de uma variância infinita não é realista, pelo que é usual considerar-se um ruído branco de banda limitada, isto é, um processo estocástico que é caracterizado por um auto-espectro com intensidade constante dentro de um determinado intervalo de frequências, tal como se apresenta na Figura 2.9. Para a aplicação de métodos de identificação modal estocástica, é usual assumir que a excitação tem as propriedades de um ruído branco: espectro de potência constante e função de auto-correlação com ordenada na origem igual à variância do processo e valor nulo em todas as restantes abcissas. Os conceitos referidos anteriormente podem ser generalizados, por exemplo ao considerarem-se dois processos estocásticos (xi(t) e xj(t)), é possível introduzir os conceitos de função de correlação cruzada e função de densidade espectral de potência cruzada (ou espectro cruzado), dadas pelas seguintes expressões: 1 T x i ( t ) ⋅ x j ( t + τ ) dt T →∞ T ∫0. R ij ( τ ) = lim ∞. Sij ( ω) = ∫ R ij ( τ ) ⋅ e − i⋅ω⋅τ dτ −∞. No âmbito da identificação modal estocástica, as funções de densidade espectral de. σ. 0. τ. S(ω) S0. − ω2. − ω1. 0. ω1. ω2. ω. Figura 2.9 Exemplo de um sinal representativo de um processo de banda larga, com função de autocorrelação e função de densidade espectral de potência..

(28) 20. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade. potência são determinadas a partir de séries temporais, podendo-se nessas circunstâncias aplicar a seguinte expressão: 1 N FT,r ⎣⎡ x i ( t ) ⎦⎤ ⋅ FT,r ⎡⎣ x j ( t ) ⎤⎦ ∑ T →∞ N T r =1 N →∞ *. Sij ( ω) = lim. em que FT,r ⎡⎣ x i ( t ) ⎤⎦ , representa a transformada de Fourier da realização r, do processo estocástico xi(t), no intervalo [0, T]. Salienta-se o facto de a expressão anterior também ser adequada para determinar auto-espectros, fazendo xi = xj. Analisando a expressão anterior, facilmente se verifica que os auto-espectros são funções reais, enquanto que os espectros cruzados são funções complexas.. Os auto-espectros são funções reais pois resultam da multiplicação de números complexos pelos seus complexos conjugados.. Refere-se ainda que, é usual agrupar em vectores os processos estocásticos. Nestas circunstâncias é usual definir uma matriz das funções de correlação (ou matriz de correlação), que contém nos elementos da diagonal principal as funções de autocorrelação e fora dessa diagonal as funções de correlação cruzada. De forma idêntica é usual definir uma matriz das funções de densidade espectral (ou matriz espectral) que contém na sua diagonal principal os auto-espectros e os espectros cruzados fora dessa diagonal.. 2.3.2 Funções de densidade espectral da resposta As funções de densidade espectral da resposta para estruturas com vários graus de liberdade podem-se definir com base na seguinte expressão: S u ( ω ) = H ( ω ) ⋅ Sp ( ω ) ⋅ ( H T ) ( ω ) *. na expressão anterior H(ω) representa a matriz das funções de resposta em frequência, Su(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da resposta da estrutura, enquanto que Sp(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da excitação. Assumindo que a excitação que actua os diferentes graus de liberdade tem características semelhantes às de um ruído branco, então a matriz dos espectros da excitação é constante e depende da matriz das correlações (Rp), pelo que a matriz dos espectros da resposta passa a depender exclusivamente da matriz de funções de resposta em frequência e de uma matriz constante: Su ( ω ) = H ( ω ) ⋅ R p ⋅ ( H T ) ( ω ) *. Admitindo que a excitação é do tipo ruído branco e assumindo que as excitações que actuam cada um dos graus de liberdade são estatisticamente independentes entre si, então as correlações cruzadas são nulas sendo a matriz Rp uma matriz diagonal. Nestas circunstâncias pode-se obter uma expressão que fornece a contribuição de cada modo genérico, para qualquer elemento da matriz das funções de densidade espectral da resposta: N. Sy ( m,n )i ( ω) = ∑. ( ϕ m )i ⋅ ( ϕ k ) i. 2 2 k =1 ωi − ω + 2 ⋅ j ⋅ ξi ⋅ ω⋅ ωi. ⋅ R p rr ⋅. ( ϕ n ) i ⋅ ( ϕ k )i ωi2 − ω2 + 2 ⋅ j ⋅ ξi ⋅ ω⋅ ωi. A expressão anterior, é muito interessante pois permite obter individualmente a função de densidade espectral de cada modo de vibração, a partir das quais é possível. N. (ϕ ) ⋅ (ϕ ). i =1. ω − ω2 + 2 ⋅ j ⋅ ξ i ⋅ ω ⋅ ωi. H ( m ,n ) ( ω ) = ∑. m. 2 i. i. n. i.

(29) 21. 2.3 Excitação estocástica. obter as características modais das estruturas. Exemplo 2.5 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração para a estrutura do modelo físico do edifício de 3 pisos.. 10. Gy [1,2]. 0. 10. 10. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. 0 25. 180. 10. 10. Gy [2,1]. 0. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. 10. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. 0 25. 10. 10. 10. 90. -10. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. 20. 0 25. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. 0 25. Gy [2,3]. 0. 180. 10. 10. Gy [3,2]. 0. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15 f [Hz]. 20. 0 25. 0 25. Gy [3,3]. 0. 180. 10. 0 25. 180. 10. 10. -5. 90. -10. 0. 5. 10. 15. 20. Fase [º]. 10. -5. 10. 10. 180. 10. 10. 180. Gy [3,1]. 0. 0 25. 180. Gy [2,2]. 0. 180. 10. Gy [1,3]. 0. Fase [º]. Densidade Espectral de Potência [(m/s2)2/Hz]. 10 180. 10. Densidade Espectral de Potência [(m/s2)2/Hz]. Gy [1,1]. 0. Fase [º]. Densidade Espectral de Potência [(m/s2)2/Hz]. Para o exemplo em análise, determinou-se a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, considerando para matriz das funções de densidade espectral da excitação a matriz identidade. Desta forma, admite-se que as fontes de excitação que ocorrem nos diferentes graus de liberdade são independentes entre si, sendo ruídos brancos. Na Figura 2.10, apresenta-se a matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. De notar que apenas se apresentam as funções para valores de frequência positivos, pelo que tomam a designação de Gy (esta é uma sigla usualmente utilizada na bibliografia da especialidade).. 0 25. f [Hz]. Figura 2.10 Matriz completa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos.. Comparando a Figura 2.10, com a Figura 2.7, verificam-se algumas semelhanças, a mais evidente e mais interessante relaciona-se com o facto de se confirmar que os picos que surgem na matriz das FRFs também ocorrerem na matriz dos espectros. Este aspecto é fundamental, pois é com base nele que se utilizam as funções de densidade espectral de potência nos métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, para se estimarem as características modais das estruturas. É de salientar o facto de os elementos correspondentes à fase serem nulos na diagonal principal, o que se deve ao relacionamento de um grau de liberdade com ele mesmo. De notar que a arrumação das amplitudes e das fases num mesmo gráfico, facilita a interpretação de resultados. Nomeadamente, permite verificar um aspecto curioso, o qual está relacionada com o facto de se verificar que a mudança de fase está associada a vales com picos.