CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

Aula 2 e 3

Revisão Cálculo

¨ 

Uma função f definida em um conjunto X de número

reais tem o

limite

L

em x

, escrito como:

se dado qualquer número real

_ε

> 0, existe um número

real

_δ

> 0, tal que:

quando e

Definição 1: Limite

lim

x→x₀

f x

( )

= L,

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 4/31

Conceito de Limite

Definição 2: Continuidade

¨  Seja f uma função definida em um conjunto X de números

reais e . Então f é contínua em x₀ se:

¨  A função f é contínua no conjunto X se for contínua em cada

número de X.

¨  C (X) denota o conjunto de todas as funções que são

contínuas em X.

x

∈ X

lim

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 6/31

Propriedades de funções contínuas

¨  Se e , então: ¤  ; ¤  ; ¤  , sempre que .

f ∈ C a, b

_[

_]

g ∈ C a, b

_[

_]

f ± g

(

)

∈ C a, b

[

]

f ⋅ g

(

)

∈ C a, b

[

]

f g

(

)

∈ C a, b

[

]

g x

( )

≠ 0

Definição 3: Convergência

¨  Seja uma sequência infinita de números reais, isto é:

¨  Esta sequência possui limite x* ou converge para x* se

para cada _ε > 0, existe um inteiro positivo N(_ε) tal que sempre que n > N(_ε). Denotaremos a convergência por:

x

{ }

x

{ }

= x

_{

, x

, x

,

!

_}

lim

x

= x *

x

→ x * quando n → ∞

x

→

x *

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 8/31

Teorema 1

¨  Se f é uma função definida no conjunto X de números reais

e , então as seguintes afirmações são equivalentes:

¤  f é contínua em x*;

¤  Se é qualquer sequência em X que converge para x*,

então:

x

∈ X

{ }

( )

( )

¨  Os métodos aproximativos dependem da capacidade de se

estimar o comportamento global de uma função em termos de informações locais.

¨  Vamos considerar apenas funções contínuas, já que este é

um requisito mínimo para um comportamento previsível.

¨  Função que não são contínuas podem pular pontos de

interesse, o que pode causar dificuldade na tentativa de aproximar uma solução de um problema.

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 10/31

Definição 4: Diferenciabilidade

¨  Uma função com gráfico liso se comporta de maneira mais

previsível.

Definição 4: Diferenciabilidade

¨  Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo

x₀ . A função f é diferenciável em x₀ se:

existe. O número f’(x₀) é chamado derivada de f em x₀ .

¨  Se f possui derivada em cada número do conjunto X é

diferenciável em X.

f ' x

_{( )}

= lim

x→x₀

f x

_{( )}

− f x

( )

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Teorema 2

¨  Se a função f é diferenciável em x₀ , então f é contínua em

x₀ .

¨  NOTAÇÃO:

, quando f possui n derivadas contínuas em X.

Para polinômios:

As funções trigonométricas, racionais, logarítimicas e exponenciais também estão em .

f ∈ C

_{( )}

X

P x

_{( )}

∈ C

_{( )}

X

C

_{( )}

X

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 14/31

Principais Teoremas

¨  Teorema de Rolle;

¨  Teorema do Valor Médio;

¨  Teorema do Valor Extremo;

Teorema 3: Teorema de Rolle

¨  Suponha (isto é, é contínua em [a, b] e

diferenciável em ]a, b[ ). Se f (a) = f (b) então existe um número tal que f’ (c) = 0.

f ∈ C

_[

a, b

_]

c ∈ a, b

₍

₎

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 16/31

Teorema de Rolle

Teorema 4: Teorema do Valor Médio

¨  Se , então existe um número tal

que:

f ∈ C

a, b

[

]

c ∈ a, b

₍

₎

f ' c

_{( )}

=

f b

( )

− f a

( )

b − a

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 18/31

Teorema do Valor Médio

Teorema 5: Teorema do Valor Extremo

¨  Se , então existem , tais

que .

¨  Isto é, existem pontos de mínimo e máximo, não

exclusivamente únicos.

¨  Se , então os pontos c₁ e c₂ ocorrem ou nos

extremos de [a, b] ou nos pontos em que f’(x) é zero.

f ∈ C

_[

a, b

_]

c

, c

∈ a, b

[

]

f c

_{( )}

≤ f x

( )

≤ f c

( )

, ∀ x ∈ a, b

_[

_]

.

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 20/31

Teorema do Valor Extremo

Teorema 6: Teorema do Valor Intermediário

¨  Se e k é um número qualquer entre f (a) e

f (b), f (a) < k < f (b), então existe um número tal

que f (c) = k.

¨  ATENÇÃO: O teorema afirma a existência de ao menos um.

Não diz que é único.

f ∈ C

_[

a, b

_]

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 22/31

Teorema do Valor Intermediário

Definição 5: Integral de Riemann

¨  A integral de Riemann da função f no intervalo [a, b] é o

limite seguinte, desde que ele exista:

onde os números x₀ , x₁ , ... , x_n satisfazem:

e onde , para cada i = 1, 2, ..., n e z_i é

arbitrariamente escolhido no intervalo [x_i-1 , x_i].

f x

_{( )}

dx

∫

= lim

f z

( )

Δx

∑

a = x

≤ x

≤

! ≤ x

= b

Δx

= x

− x

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 24/31

Integral de Riemann

¨  Uma função f que é contínua em [a, b], também é

integrável em [a, b].

¨  Isto nos permite escolher, para conveniência de cálculo, que

os pontos x_i sejam igualmente espaçados em [a, b] e, para cada i = 1, 2, ... , n, escolher z_i = x_i . Neste caso,

f x

_{( )}

dx

∫

= lim

b − a

n

f x

( )

∑

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 26/31

Polinômios e Séries

de Taylor

¨  EXTREMAMENTE IMPORTANTE PARA A ANÁLISE

NUMÉRICA!

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 28/31

Teorema 7: Teorema de Taylor

¨  Suponha que , que exista em [a, b] e

que . Para todo , existe um número entre x₀ e x, tal que , onde:

f ∈ C

_[

a, b

_]

_f

x

∈ [a, b]

x ∈ [a, b]

ξ

_{( )}

x

f x

_{( )}

= P

_{( )}

x

+ R

_{( )}

x

P

_{( )}

x

= f x

( )

+ f ' x

( )

₍

x − x

₎

+

f " x

( )

2!

(

x − x

)

+!+

f

_x

( )

n!

(

x − x

)

Teorema de Taylor

ou ainda:

¨  P_n(x) é chamado polinômio de Taylor de grau n de f em x₀

e

¨  R_n (x) é chamado resto (ou erro de truncamento)

relativo a P_n (x).

P

_{( )}

x

=

f

_x

( )

k!

(

x − x

)

∑

R

_{( )}

x

=

f

_ξ

_x

( )

(

)

n +1!

(

x − x

)

Aula 2 e 3 – Revisão de Cálculo

Cálculo Numérico 30/31

¨  ξ é um valor que depende de x, porém não sabemos

determiná-lo explicitamente.

¨  O Teorema de Taylor apenas garante que tal função existe

e que seu valor está entre x e x₀ .

¨  PROBLEMA nos métodos numéricos: Determinar uma

limitação realística para o valor de quando está definido em um intervalo específico, tal que a

aproximação f (x) ≈ P_n (x) seja razoável.

Série de Taylor

¨  A série infinita obtida pelo limite de P_n (x) quando é

chamada Série de Taylor de f em x₀ .

¨  Quando x₀ = 0, o polinômio de Taylor é chamado polinômio

de Maclaurin e a série de Taylor é geralmente chamada

Série de Maclaurin.