Aula 7 – Senado Federal
Aula 7 – Senado Federal Proposições
Proposições ... ... 22 Proposições simples
Proposições simples e e compostas compostas ... 6... 6 Modificador ... Modificador ... ... 66 Conjunção Conjunção p p ∧∧qq ... 7... 7 Disjunção Inclusiva Disjunção Inclusiva p p∨∨qq ... ... 88 Condicional Condicional p p→→qq ... ... 99 Bicondicional Bicondicional p p ↔↔ qq ... ... 1010 Argumentos ... Argumentos ... ... 1818 Condição suficiente
Condição suficiente e e condição necessária condição necessária ... 27... 27 Equivalências
Equivalências lógicas lógicas ... 29... 29 Negação das
Negação das ProposiçõProposições es Usuais ...Usuais ... 34... 34 Sentenças
Sentenças abertas, abertas, quantificadores ...quantificadores ... 37... 37 Relação das
Relação das questões comentadas ...questões comentadas ... 44... 44 Gabaritos
Proposições
Proposições
O conceito de proposição é fundamental para o estudo de toda a lógica O conceito de proposição é fundamental para o estudo de toda a lógica formal.
formal.
Chama-se proposição, ou sentença, toda oração declarativa que pode ser Chama-se proposição, ou sentença, toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente utilizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse utilizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse propósito são
propósito são p, q, p, q, r, r, ss... O valor lógico de uma proposição verdadeira é... O valor lógico de uma proposição verdadeira é
representado por V; e o de uma proposição falsa, por F. representado por V; e o de uma proposição falsa, por F. Por sinal, esses são os
Por sinal, esses são os únicosúnicos valores lógicos que existem na Lógicavalores lógicos que existem na Lógica Aristotélica.
Aristotélica.
São exemplos de proposições: São exemplos de proposições:
p
p : Todo recifense é : Todo recifense é pernambucano.pernambucano. q
q:: O Brasil está situado na Europa.O Brasil está situado na Europa.
s
s : Existe vida fora da Terra.: Existe vida fora da Terra.
A proposição
A proposição p p é verdadeira (V);é verdadeira (V);
a proposição
a proposição qqé falsa (F);é falsa (F);
e a proposição
e a proposição ss não sabemos o seu valor lógico, mas ela, apesar de ainda nãonão sabemos o seu valor lógico, mas ela, apesar de ainda não
sabermos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma sabermos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma proposição. Ou seja, nós não sabemos se existe ou não vida fora da Terra, proposição. Ou seja, nós não sabemos se existe ou não vida fora da Terra, mas com certeza: existe ou não existe. Nós, humanos, é que somos ignorantes mas com certeza: existe ou não existe. Nós, humanos, é que somos ignorantes e ainda não sabemos. Posso afirmar apenas uma coisa: “Existe vida fora da e ainda não sabemos. Posso afirmar apenas uma coisa: “Existe vida fora da Terra” é uma proposição verdadeira ou f
Terra” é uma proposição verdadeira ou falsa – não há outra alsa – não há outra possibilidade.possibilidade. Considere as frases:
Considere as frases: 1.
1. Qual Qual seu seu nome?nome? 2.
2. Leia Leia isto isto atenciosamente.atenciosamente. 3.
3. X X + + 1 1 = = 22 4.
4. Eu Eu sou sou mentiroso.mentiroso.
As frases acima não são consideradas proposições lógicas. As frases 1 e 2 As frases acima não são consideradas proposições lógicas. As frases 1 e 2 não são declarativas, são interrogativa e imperativa, respectivamente.
não são declarativas, são interrogativa e imperativa, respectivamente.
Imagine que a frase 3 seja uma proposição. Qual o seu valor lógico? Imagine que a frase 3 seja uma proposição. Qual o seu valor lógico? Depende!! Depende de que? Do valor de X. Se X for igual a 1, então ela é Depende!! Depende de que? Do valor de X. Se X for igual a 1, então ela é verdadeira, caso contrário será falsa!! Portanto, não é verdadeira nem falsa, verdadeira, caso contrário será falsa!! Portanto, não é verdadeira nem falsa, pois não foi dado um valor para x (por isso, é chamada de sentença aberta pois não foi dado um valor para x (por isso, é chamada de sentença aberta ou função proposicional).
A frase 4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo. A frase 4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo. Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um absurdo, pois um mentiroso não declara
absurdo, pois um mentiroso não declara verdade. Suponha agora que o seuverdade. Suponha agora que o seu valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não pode ser verdadeira nem falsa, portanto
pode ser verdadeira nem falsa, portanto não é uma proposição lógica.não é uma proposição lógica.
01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma 01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
característica.
I. Que belo dia! I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado?
III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em
IV. Existe vida em outros planetas do universo.outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a A frase que não possui essa característica comum é a a) I. a) I. b) II. b) II. c) III. c) III. d) IV. d) IV. e) V. e) V. Resolução Resolução
A frase I é exclamativa, portanto não é uma proposição lógica. A frase II não A frase I é exclamativa, portanto não é uma proposição lógica. A frase II não possui verbo, não sendo assim uma proposição. A frase III é interrogativa e a possui verbo, não sendo assim uma proposição. A frase III é interrogativa e a frase V é imperativa. Não são, portanto, proposições. Portanto a característica frase V é imperativa. Não são, portanto, proposições. Portanto a característica comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de
classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico.não sabermos o seu valor lógico. Letra D
Letra D
02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem 02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação
se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças:que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova!
1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 2. Que horas são?
3. Três vezes dois são cinco. 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 5. Policiais são confiáveis.
6. Exercícios físicos são saudáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis.
De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números
acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5.
(A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5.
(C) 3, 5 e 6. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6. (E) 5 e 6. Resolução Resolução
A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2 A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2 é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças. é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças. As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5
As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5 e 6.e 6. Letra C
Letra C
03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma 03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
característica. I – Que belo dia! I – Que belo dia!
II – Um excelente livro de raciocínio lógico. II – Um excelente livro de raciocínio lógico. III – O jogo terminou empatado?
III – O jogo terminou empatado?
IV – Existe vida em outros planetas do universo. IV – Existe vida em outros planetas do universo. V – Escreva uma poesia.
V – Escreva uma poesia.
A frase que não possui esta característica comum é a: A frase que não possui esta característica comum é a: a) I a) I b) II b) II c) III c) III d) IV d) IV e) V e) V Resolução. Resolução.
A frase I é uma exclamação. Não é proposição. A frase I é uma exclamação. Não é proposição.
A frase II contém uma opinião sobre o livro, não sendo possível julgar em A frase II contém uma opinião sobre o livro, não sendo possível julgar em verdadeiro ou falso. Não é
verdadeiro ou falso. Não é proposição.proposição.
A frase III é uma pergunta, que também não é proposição. A frase III é uma pergunta, que também não é proposição.
A frase IV pode ser julgada em verdadeiro ou falso. É uma proposição. A frase IV pode ser julgada em verdadeiro ou falso. É uma proposição. A frase V é uma ordem. Não é proposição.
A frase V é uma ordem. Não é proposição. Só a frase IV é
Só a frase IV é proposição.proposição. Letra D
Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada
Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentençasentença aberta ou função
aberta ou função proposicionalproposicional.. Exemplo: Exemplo: 0 0 5 5== − − x x Nã
Não podemos julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porqueo podemos julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de f
não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato,ato, x x−−55==00..
Caso contrário, se x for diferente de 5, a
Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada.igualdade acima está errada. “x” é uma
“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores.variável, pode assumir inúmeros valores.
Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma
Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentençasentença aberta.
aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ouEla tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é
falso. Logo, não é proposição.proposição.
Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro ou falso, não é
ou falso, não é uma proposição.uma proposição. 04.
04. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:(ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.jogador do mundo em 2005. II. II. 5 5 x x yy++ é um número inteiro. é um número inteiro.
III. João da Silva foi o secretário da
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS:
É verdade que APENAS: a) I e II
a) I e II são sentenças abertas.são sentenças abertas. b) I e III
b) I e III são sentenças abertas.são sentenças abertas. c) II e
c) II e III são sentenças abertas.III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. Resolução
Resolução
A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois não sabemos sobre q
não sabemos sobre quem estamos falando. uem estamos falando. A frase I seria uma proposição A frase I seria uma proposição se,se, por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor jogador
jogador do do mundo mundo em em 2005”. 2005”. A A frase frase II II é, é, sem sem dúvida, dúvida, uma uma sentença sentença aberta,aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F.
verificar o sujeito e classificá-la em V ou F. Letra A
Proposições simples e compostas
Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de conectivos. Quando “ligamos” duas ou mais proposições simples, obtemos as denominadas proposições compostas. Os “entes” lógicos que ligam as proposições são denominados conectivos lógicos.
Exemplos de proposições simples: p : O número 2 é primo. (V)
q: 15 : 3 = 6 (F)
r : O retângulo é um polígono regular. (F)
A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos, como “e” (símbolo ), “ou” (símbolo v), os condicionais “se... então” (símbolo ՜), “se e somente se” (símbolo ՞) e o modificador “não” (o
símbolo pode ser ou ¬). Exemplos:
p : A Lua é um satélite da Terra, e Recife é a capital de Pernambuco. q: Carlos é solteiro ou Pedro é estudante.
r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango. : Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango. O que precisamos saber para resolver questões envolvendo proposições compostas?
i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos. ii) Argumentar.
Vamos começar com as regras de cada conectivo e do modificador.
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de p pode ser formada escrevendo-se “É falso que...” antes de p ou, se possível,
inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por
p
~ ou ¬ p.
Exemplo:
p: Paris está na França. p
~ : É falso que Paris está na França.
p
~ : Paris não está na França.
p
~ : Não é verdade que Paris está na França.
Conjunção p ∧q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por p ∧q.
A conjunção p ∧q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa então p ∧q é falsa.
Exemplo:
p : João é gordo e Mário é alto.
Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não seja alto. Dessa forma,
p ~ p
V F
A conjunção “João é gordo e Mário é alto” é falsa, pois a proposição “Mário é alto” é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições “João é gordo” e “Mário é alto” fossem verdadeiras.
Disjunção Inclusiva p ∨q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é
designada por p∨q.
A disjunção inclusiva p∨q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; p∨q é falsa se e somente se ambas p e
q são falsas.
Exemplo:
p : Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano. Fulano foi à festa. Portanto, a proposição “Vou à festa” é verdadeira.
A proposição “não me chamo Fulano” é falsa, pois quem a disse foi Fulano.
Temos o seguinte esquema:
A disjunção “Vou à festa ou não me chamo Fulano” só seria falsa se ambas as proposições “Vou à festa” e “Não me chamo Fulano” fossem falsas. Como a proposição “Vou à festa” é verdadeira, temos que a composta é verdadeira. Assim,
Condicional p→q
Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas a proposição resultante é composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, p→q. Em
uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o “se” e o “então” é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a palavra “então” é chamado consequente. Por exemplo, na proposição “Se vou à praia, então tomo banho de mar”, “vou à praia” é o antecedente e “tomo banho de mar” é o consequente.
O condicional p→q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa;
caso contrário, p→q é verdadeiro.
Coloquemos um exemplo para resumi-lo.
Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano.
Guilherme é recifense Guilherme é pernambucano
1º caso verdadeira verdadeira
2º caso verdadeira falsa
3º caso falsa verdadeira
4º caso falsa falsa
Analisemos cada um deles.
1º caso antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente
Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a proposição condicional é considerada verdadeira.
2º caso antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação,
temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em Pernambuco. A condicional é considerada falsa.
3º caso antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu
no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição condicional é verdadeira.
I
I
I R
R
R A
A
A 2
2
2 2
2
2
4º caso antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife
nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.
Bicondicional p ↔ q
Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos
uma nova proposição p ↔ q, que se lê “ p se e somente se q”. O bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais p→qe
q → p.
Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro” e “Se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal”.
O bicondicional p ↔ qé verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes.
No nosso exemplo acima,
Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.
p q p ∧q p∨q p→q p ↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras.
Conjunção p ∧q As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção p ∨q Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Condicional p→q Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.
Bicondicional p ↔ q Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
Falei anteriormente que para resolver questões envolvendo proposições deveríamos saber:
i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos. ii) Argumentar.
Deixe-me resolver algumas questões sobre os conectivos e em seguida ensinarei e resolverei questões sobre argumentos.
(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições, e os símbolos ¬ , ∧ e são operadores lógicos que constroem novas
proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo:
P Q ¬P P ∧ Q P Q
V V F V V
V F F F F
F V V F V
Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
05. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)
06. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q
07. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P
Q é falsa.
08. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9.
Resolução
05. A proposição “Hoje não choveu” é a negação da proposição P e deve ser representada por ¬P. A sentença “Maria não foi ao comércio” é a negação de R e, portanto, é representada por ¬R. Analogamente, a proposição “José não foi à praia” é representada por ¬Q. Concluímos que a composta “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” é representada por ¬P
(¬R ∧ ¬Q) e o item está certo.
06. Usando o raciocínio do item 1, temos que o item 05 também é certo. 07. P: Hoje choveu.
¬P: Hoje não choveu. Q: José foi a praia.
O antecedente (¬P) da condicional ¬P Q foi valorado como F. Sabemos que
quando o antecedente de uma condicional é falso, a composta condicional é verdadeira. Segue-se que o item está errado. Vale a pena lembrar que uma composta condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira. 08. Vale a pena lembrar que o número de linhas de uma tabela-verdade (valorações) composta de n proposições simples é igual a 2n. Como n=3, temos que o número de valorações possíveis para a proposição composta (Q ∧ ¬R)
P é igual a 23=8. O item está certo.
09. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista”.
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Resolução
A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando ambas, A e B são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto (consequente falso).
Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo “se...,então...” só é falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então ocorreu VF.
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista. O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto. Letra B
10. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo:
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa. Resolução
Vimos que o bicondicional p ↔ q (se e somente se) equipara-se à conjunção de dois condicionais p → qe q → p.
Letra C
11. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações: − “Sou inteligente e não trabalho.”
− “Se não tiro férias, então trabalho.”
Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma
(A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha.
(D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. Resolução
O enunciado já informou que as duas proposições são verdadeiras.
“Sou inteligente e não trabalho.”
Esta é uma proposição composta pelo conectivo “e”. Lembra quando uma frase composta pelo “e” é verdadeira? Quando as duas proposições componentes são verdadeiras. Desta maneira, concluímos que “Sou inteligente” é verdade e “Não trabalho” também é verdade.
Se “não trabalho” é verdade, então “trabalho” é falso. Letra C
Vamos analisar a segunda proposição.
“Se não tiro férias, então trabalho.”
Já sabemos que a proposição “não trabalho” é verdade. Portanto, a sua negação é falsa.
Ora, para que uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...” seja verdadeira, não pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Em suma, não pode acontecer VF nesta ordem. Como o consequente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso.
Conclui-se que a proposição “não tiro férias” é falsa. Isto quer dizer que “tiro férias” é verdade.
12. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.
“Se não tiro férias, então trabalho.”
F
“Se não tiro férias, então trabalho.”
F F
Considere as proposições abaixo: p: 4 é um número par;
q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil.
Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.
Resolução
Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa. A disjunção p ∨ q só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma
delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a proposição p ∨ q é verdadeira e o item está certo.
13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo: I. Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:
Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela pista da esquerda.
II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras coisas, você diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então, ela concluiu que você não foi à praia.
III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente certo assunto:
- A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão. - B: Ocorre que eu não sou ladrão.
- A: Você é safado, tá me chamando de ladrão.
Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na argumentação:
a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas. b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas. c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas. d) as três conclusões são verdadeiras.
e) as três conclusões são falsas. Resolução
p q p ∨ q
I. Caminhões Pista da Direita
F
Vimos anteriormente que “se não ocorre p a condicional p→q é verdadeira
qualquer que seja o valor verdade de q.” Ou seja, se o antecedente for falso, nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (não pode acontecer VF). Portanto, se você está dirigindo um automóvel, poderás dirigir na pista da direita ou da esquerda. O item é FALSO. Da mesma forma, se houver um veículo na pista da direita (o consequente é verdadeiro), não podemos concluir que o veículo é um caminhão.
II. Domingo próximo fizer sol eu irei à praia.
F
A situação é idêntica ao item anterior. Se o antecedente é falso, nada podemos concluir sobre o consequente. O item é FALSO. Destacamos novamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmar sobre o antecedente, ou seja, se o indivíduo foi à praia, não podemos concluir se no domingo fez sol ou não.
III. O terceiro item obviamente é FALSO, pois nem o político A chamou o político B de ladrão, nem o político B chamou o político A de ladrão. O político A apenas afirmou que “na Câmara tá cheio de ladrão” e o político B afirmou que ele próprio não era um dos ladrões.
Letra E
14. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você não joga golfe.
Fernanda retrucou: – isso não é verdade.
Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que: a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.
b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe. c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe. d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe. e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe.
Resolução
Fernanda nos disse a verdade. Ela afirmou que a proposição enunciada por Leonardo, que é uma disjunção, é falsa. Vimos que uma disjunção p ∨q é falsa se e somente se ambas p e q são falsas.
Temos então o seguinte esquema:
F
Eu jogo futebol ou você não joga golfe
F F
Conclusão: Leonardo não joga futebol (pois a proposição “Eu jogo futebol” é falsa) e Fernanda joga golfe (pois a proposição “Você não joga golfe” é falsa). Letra C
15. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (), em que as
proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os consequentes. Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.
Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula: a) 1 é falso. b) 2 é falso. c) 5 é falso. d) 6 é verdadeiro. e) 8 é verdadeiro. Resolução
A célula 4 nos informa que a proposição composta q → pé falsa. Uma proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (VF nesta ordem). Portanto, a proposição q é verdadeira e a proposição p é falsa. A célula 7 nos informa que a proposição composta r → p é verdadeira. Para que a composta r → p seja verdadeira “não pode
acontecer VF, nesta ordem”. Ou seja, não pode ocorrer o fato de o antecedente ser verdadeiro e o consequente falso. Como o consequente p é falso, concluímos que o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser falso. A proposição r é falsa. Completemos então a tabela lembrando que a proposição p é falsa, ou seja V(p)=F; a proposição q é verdadeira, ou seja , V(q)=V e V(r)=F. Lembre-se de que, quando o antecedente é falso, a composta condicional é sempre verdadeira. Portanto, se o antecedente for a proposição p ou a proposição r, a composta será verdadeira independentemente de qual seja o consequente. Logo as células 1,2,3,7,8,9 são todas verdadeiras. Nas
células 4, 5 e 6, onde o antecedente é a proposição q cujo valor lógico é V, a composta só será falsa quando o consequente for falso (VF), ou seja, quando o consequente for a proposição p ou a proposição r.
p q r
p V V V
q F V F
r V V V
Letra E
Vamos aplicar esses conhecimentos sobre conectivos e proposições em questões envolvendo argumentos.
Argumentos
E o que é um argumento?
“A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se sustenta ou cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada argumento é composto de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de proposições: uma proposição ‘premissa’ e uma proposição ‘conclusão’. Uma premissa é uma proposição que sustenta. É o ponto inicial de um argumento que contém a verdade conhecida, da qual parte o processo inferencial. Uma conclusão é uma proposição sustentada, a proposição aceita como verdade na base da premissa.” (D.Q. McInerny )
Argumento é toda afirmação de que uma sequência finita de proposições, chamadas premissas, P 1, P 2, P 3,..., P n tem como consequência uma proposição final Q, chamada conclusão do argumento. Diz-se que um argumento é válido se e somente se a conclusão for verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Desse modo, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma ou falácia. Um argumento composto de duas premissas e uma conclusão é chamado de silogismo.
Vejamos um exemplo para sedimentar a teoria.
Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo: a) Jair não está machucado nem quer jogar.
b) Jair não quer jogar nem quer jogar. c) Jair não está machucado e quer jogar.
d) Jair está machucado e não quer jogar. e) Jair está machucado e quer jogar.
O enunciado nada fala sobre a verdade das proposições expostas. Perguntamo-nos: Quem é Jair? Quem está nos falando que Jair está machucado? Isto é verdade? Como podemos inferir uma conclusão se não tenho certeza sobre o valor lógico das premissas? Em suma, como testar a validade de um argumento? Existe um teste semântico, isto é, um teste que se baseia nos valores de verdade das suas premissas e conclusão. Um argumento é válido se, e só se, não for possível ter conclusão falsa e premissas verdadeiras. Portanto, para termos um argumento válido devemos
supor que as premissas são verdadeiras. Se (e este é um grande se) as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será.
Ora, se admitimos a proposição “Jair quer jogar” como verdadeira, devemos assumir a proposição “Jair não quer jogar” como falsa. Temos então o seguinte esquema:
Perguntamo-nos: Quando é que uma disjunção (proposição composta pelo conectivo “ou”) p∨q é verdadeira? Se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; p∨q é falsa se e somente se ambas p e q são falsas. No nosso caso, temos uma disjunção que é verdadeira, e uma das proposições que a compõe é falsa. Concluímos que a outra proposição “Jair está machucado” é verdadeira.
Letra E
Jair está machucado e quer jogar.
Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:
Jair está machucado e quer jogar.
Não estamos afirmando que premissas do enunciado são verdadeiras nem que a conclusão também o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.
Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A validade de um argumento depende da conexão das premissas com a conclusão, não do valor lógico das premissas que formam o argumento.
Então,comrminaravalidadedeumargumento?
Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser falsa? Se isso pode acontecer (premissas verdadeiras e conclusão falsa) então o argumento é inválido, um sofisma, uma falácia. Se não, então o argumento é válido.
Utilizaremos agora as ferramentas que temos a disposição (proposições, conectivos e argumentação) para resolver algumas questões de concursos. 16. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.
O que esta questão está nos pedindo? Que escolhamos uma conclusão adequada para que o argumento seja válido. Devemos então, de acordo com a teoria exposta, assumir que as premissas são verdadeiras. Temos o seguinte esquema:
A proposição “Não velejo” é verdadeira. Como a proposição “Velejo” é a sua negação, temos que seu valor lógico é falso.
A proposição acima é uma disjunção e, para que seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdadeira. Como a proposição “Velejo” é falsa, concluímos que “Não estudo” é verdadeira. “Estudo”, que é a negação de “Não estudo”, é, portanto, falsa.
Analogamente, a proposição “Surfo” é verdadeira e a sua negação “Não surfo” é falsa.
Da mesma maneira, temos que a proposição “Fumo” é verdadeira.
Conclusão: Surfo, não estudo, fumo, não velejo. Letra E
Observação: Daqui em diante, por motivos tipográficos, também para evitar uma “poluição visual”, não colocaremos mais as chaves nas proposições compostas que assumiremos como verdadeiras. Estará implícito, levando em consideração a teoria exposta. Simplesmente aplicaremos as regras dos conectivos para que as compostas sejam verdadeiras. Por exemplo:
Em resumo, as seguintes regras tornam as proposições compostas verdadeiras.
Conjunção p ∧q As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção p ∨q Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Condicional
q p→
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal,
dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional
p ↔ q
Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
17. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. Resolução
Relembrando o que falamos a respeito de argumentação. Em um argumento válido, é impossível ao assumirmos que as premissas sejam verdadeiras que a conclusão seja falsa. Dessa forma, admitiremos que TODAS as proposições, simples e compostas, são verdadeiras. Para tal, deveremos aplicar as regras de cada um dos conectivos. Assim, supomos que a proposição “Jorge é irmão de Maria” é verdadeira. Ora, uma proposição condicional não pode ter o antecedente verdadeiro e o consequente falso. De fato, na proposição condicional “Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto”, o antecedente é verdadeiro. Para não ocorrer VF, o consequente não pode ser falso, deve ser verdadeiro. Assim, “Breno não é neto de Beto” é verdade. A sua negação é falsa. Novamente, na condicional “Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto”, o consequente é falso. Para não ocorrer VF, o antecedente não pode ser verdadeiro, deve ser falso. Consequentemente “Carlos é filho de Pedro” é falso. Para que uma disjunção seja verdadeira, ao menos uma das proposições que a compõe deve ser verdade. Na composta “Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro”, tem-se que “Carlos é filho de
Pedro” é falsa. Dessa forma, “Ana é prima de Bia” deve ser verdade. Temos então que Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Letra E
As questões que seguem apresentam uma peculiaridade em relação às questões anteriormente resolvidas. Até agora, as questões apresentavam uma proposição simples, que servia de passo inicial para a nossa estratégia de argumentação. As próximas questões não apresentam proposições simples. A solução geral é a seguinte: escolha uma proposição qualquer e dê o seu palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite der certo, ótimo! Caso contrário, troque-o. Se você escolheu V, troque por F e vice-versa.
18. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
Resolução
Esta questão não apresenta a proposição simples que usualmente aparece em questões de argumentação. Adotaremos então a estratégia descrita acima. Escolheremos uma proposição qualquer e arbitrariamente daremos um valor lógico a ela. Por exemplo, escolheremos a primeira “Homero não é honesto” e diremos que ela é verdadeira. Não há razão específica para termos feito essa escolha. Como estamos assumindo que “Homero não é honesto” é uma proposição verdadeira, a sua negação “Homero é honesto” é falsa. Para que a disjunção “Beto não é bondoso,ou Homero é honesto” seja verdadeira, a proposição “Beto não é bondoso” deve ser verdadeira e, consequentemente, a sua negação “Beto é bondoso” é falsa. Analogamente, “Júlio não é justo” é verdade, e sua negação “Júlio é justo” é falsa. Dessa forma, “Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso” é uma proposição composta
falsa, pois é uma disjunção em que todas as proposições que a compõem são falsas. Ora, mas, para testarmos a validade de um argumento, temos que ter TODAS as premissas verdadeiras. Temos então que trocar a nossa escolha inicial. Admitiremos então que a proposição “Homero não é honesto” seja falsa. Construiremos então o seguinte esquema:
Letra C
19. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são respectivamente:
a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor. Resolução
Utilizando a mesma estratégia da questão anterior, escolhemos uma proposição qualquer e arbitrariamente damos um valor lógico a ela.
Escolhemos (ao acaso) a proposição “Ricardo é médico” e diremos que ela é verdadeira. Como cada um deles possui uma única profissão, a proposição “Ricardo é professor” é falsa. Assim, para que a disjunção seja verdadeira, “Rogério é músico” tem que ser uma proposição verdadeira (uma disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições que a compõe é verdadeira). Sendo “Rogério é músico” uma verdade, “Rogério é professor” é falsa. Portanto, “Renato é professor” é verdade. Não tivemos proposições compostas falsas, nenhuma contradição. O nosso palpite foi correto, por acaso. Letra E
20. (Ipea 2004/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:
a)vejo,enãoestoudeprimidoenãochove,efazcalor. b)nãovejo,eestoudeprimido,echove,efazcalor. c)nãovejo,eestoudeprimido,enãochove,enãofazcalor. d)vejo,enãoestoudeprimido,echove,efazcalor. e)vejo,eestoudeprimido,enãochove,efazcalor. Resolução
“Passeio” é verdade; “não passeio” é falso. Preenchemos as chaves do esquema acima onde aparecem essas proposições. Olhemos para a quarta premissa: o consequente é falso, e, assim, o antecedente também o é. Observe que o consequente da segunda premissa é uma conjunção e uma das proposições que compõe essa conjunção (não passeio) é falsa. Ora, sabemos que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições simples componentes são verdadeiras. Como esse fato não ocorre, a conjunção “não
passeio e fico deprimido” é falsa. Consequentemente o antecedente “chove” é falso e a sua negação “não chove” é verdade. Coloquemos nossa atenção agora na quarta premissa. O consequente “não passeio” é falso e assim temos queoantecedente(queéaconjunção“Nãochovstoudeprimido”)também
é falso.Temos então uma conjunção falsa em que uma das proposições que a constitui (“não chove”) é verdadeira. Para que a conjunção seja falsa, a outra componente “estou deprimido” deve ser falsa. Vamos para a primeira premissa. O consequente da condicional “Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido” é uma disjunção que é falsa, pois ambas as proposições componentes (“não passeio”, “fico deprimido”) são falsas. Dessa forma, o antecedente “não vejo Lúcia” deve ser falsa (para que a proposição condicional seja verdadeira não deve ocorrer VF). Finalmente indo para a terceira premissa, o consequente “não vejo Lúcia” é falso, logo o antecedente “Não faz calor e passeio” também é falso. Temos então uma conjunção falsa e uma das proposições que a constitui (“passeio”) é verdadeira. A outra, “não faz calor” deve então ser falsa e, consequentemente, a sua negação “faz calor” é verdadeira.
Letra A
21. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? 3) Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são respectivamente:
a) não, sim, não. b) não, não, sim. c) sim, sim, sim. d) não, sim, sim. e) sim, não, sim. Resolução
Na primeira pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é falsa. Uma proposição bicondicional só é falsa quando os valores lógicos das proposições componentes são diferentes. Como ele também supõe que o dragão desaparecerá amanhã, conclui-se que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, a resposta para a primeira pergunta é não.
Na segunda pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é verdadeira. Ora, uma proposição bicondicional só é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições são iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. O rei supõe também que o dragão desaparecerá amanhã. Portanto, Aladim beijou a princesa ontem e a reposta para a segunda pergunta é sim.
Na terceira pergunta, a suposição do rei é que a afirmação do mago é falsa (os valores lógicos das proposições componentes da bicondicional devem ser diferentes) e que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, o dragão desaparecerá amanhã e a resposta para a terceira pergunta é sim.
Letra D
Condição suficiente e condição necessária
Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p →q . Em outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição
necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária
aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição “Se João é pernambucano, então João é brasileiro” pode ser lida das seguintes maneiras:
João ser brasileiro é condição necessária para João ser pernambucano.
Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é
condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p ↔ q. Por exemplo, a proposição “Uma pessoa é recifense se, e somente se, nasceu no Recife” pode ser lida das seguintes maneiras:
Ser recifense é condição necessária e suficiente para ter nascido no Recife. Ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para ser recifense. Em resumo:
22. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta:
a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista. b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense.
c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.
d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro. e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro.
Resolução
a) Brasileiro ↔ paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser
brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é brasileira.
b) Brasileiro →paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa
ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma condicional.
c) Carioca ↔ brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A.
p →q p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
p ↔ q p é condição necessária e suficiente para q
q é condição necessária e suficiente
d) Baiano → brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja
baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
e) Brasileiro →maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B.
Letra D
23. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implicaq, então:
a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Resolução
Dizer que p implica q, significa dizer que Se p, então q. Ou seja, temos uma proposição do tipo ՜ .
Sabemos que:
p é condição suficiente para q. q é condição necessária para p. Portanto:
A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária para A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
Letra E
Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se p ↔ qé uma tautologia. E o que é tautologia? É uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes.
Numa linguagem coloquial, podemos dizer que duas proposições são equivalentes quando dizem “a mesma coisa, de formas diferentes”.
Quando p é equivalente a q escrevemos p ⇔ q.
Voltemos ao conceito de equivalência. Dissemos que Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se p ↔ qé uma tautologia. E tautologia é a proposição que é sempre verdadeira. E quando é que uma proposição bicondicional (se e somente se) é sempre verdadeira? Quando os valores de p e q são sempre iguais: ou ambas são verdadeiras, ou ambas são falsas.
Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição p ↔q equivalente a
( p → q )∧ (q → p). Ou seja, que ( p ↔ ⇔ q ) (
[
p → ∧ →q ) (q p)]
. Construímos atabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são sempre iguais. p q p →q q → p ( p → q )∧ (q → p) p ↔q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V
Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à conjunção de dois condicionais.
Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las.
Teorema: As proposições p →q , ~ q →~ p e ~ p q∨ são logicamente
equivalentes. Demonstração: p q ~ q ~ p p → q ~ q →~ p ~ p q∨ V V F F V V V V F V F F F F F V F V V V V F F V V V V V
Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes.
Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p →q .
~ q →~ p Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então”
~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque
o conectivo por “ou”.
Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo”, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela:
i) Se dirijo, então não bebo. ii) Não bebo ou não dirijo.
24. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não dirijo” é
(A) Se não bebo, então não dirijo. (B) Se não dirijo, então não bebo. (C) Se não dirijo, então bebo. (D) Se não bebo, então dirijo. (E) Se dirijo, então não bebo. Resolução
Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis): i) Se dirijo, então não bebo.
ii) Não bebo ou não dirijo. Letra E
25. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente equivalente a:
a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo.
d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso Resolução
Dada a proposição “penso existo”, temos, trivialmente, duas proposições
equivalentes a ela:
i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.)
ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”). Letra C
26. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Resolução
Dada uma proposição p →q podemos construir uma proposição logicamente equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por “ou” obtendo a proposição ~ p q∨ . Podemos seguir o caminho contrário; dada uma
proposição com o conectivo “ou”, construímos uma equivalente negando a primeira proposição e trocando o conectivo por “se..., então”. Assim, a proposição “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é equivalente a “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”, que, por sua vez, é equivalente a “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista”.
Letra D
27. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo: a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Resolução
Temos que:
i) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar. ii) Elisa não estudar é condição necessária para Elaine não ensaiar.
Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição necessária.
A proposição “Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda” é equivalente a “Se Elisa estuda, então Elaine ensaia”. Temos que:
i) Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. ii) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Letra E
28. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.
É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 4 Resolução
Chamando de p : “Jaime trabalha no Tribunal de Contas” e de q: “Jaime é eficiente”, as proposições (1), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser reescritas das seguintes maneiras:
(1) p →q (2) ~ p →~ q (3) ~ ( p ∧~ )q (4) q ∨~ p
Vamos então construir a tabela-verdade e verificar quais são equivalentes. p q ~ p ~ q p ∧~ q (1): p →q (2):~ p →~ q (3):~ ( p ∧ ~ )q (4):q ∨ ~ p
V V F F F V V V V
V F F V V F V F F
F V V F F V F V V
F F V V F V V V V
Observe que as proposições (1), (3) e (4) possuem as mesmas valorações e, portanto, são equivalentes.
Letra E
29. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição:
“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
Resolução
Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:
i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.)
ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”).
O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é perfeitamente permitido, já que a o conectivo “ou” permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido.
Letra E
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de p, pode ser formada escrevendo-se “É falso que ...” antes de p ou, se possível,
inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por
p
~ ou ¬ p. Para que ~ p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor lógico oposto de p , isto é, ~ p é verdadeira quando pé falsa e ~ p é falsa quando pé verdadeira.
Exemplo:
p: Paris está na França. p
~ : É falso que Paris está na França.
p
~ : Paris não está na França.
p
~ : Não é verdade que Paris está na França.
Para evitar dúvidas, enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições compostas e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso.
Negação das proposições usuais
Afirmação Negação p ~ p p q∧ ~ p ∨ ~ q p q∨ ~ p ∧ ~ q p →q p ∧~ q p ↔ q ( ~ ) ( ~ ) p ∧ q ∨ q ∧ p ՞ ~ ~ ՞ p ~ p V F F V
p v q
Como você pode observar, existem várias maneiras de negar uma proposição composta pelo “se e somente se”. Sinceramente, não acho que você deva perder tempo com essa negação.
Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor entendimento do leitor iniciante.
Afirmação Negação
p q∧ Negue as duas proposições e troque o conectivo
“e” pelo conectivo “ou”
p q∨ Negue as duas proposições e troque o conectivo
“ou” pelo conectivo “e”
p →q Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o
consequente.
As fórmulas de negação do conectivo “e” e do conectivo “ou” são comumente denominadas “Leis de De Morgan”.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Conjunção ~ ( p ∧ q) ⇔ ~ p∨ ~ q Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.
Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.
Exemplo 2: Disjunção ~ ( p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q
Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme. Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.
Afirmação: Se for beber, então não dirija. Negação: Bebo e dirijo.
Sentenças abertas, quantificadores Observe as seguintes expressões:
a)2 x+ 6 0=
b) x− >3 0
Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do valor atribuído à variável.
a) 2 x+ 6 0= é verdadeira se trocarmos x por −3 e é falsa para qualquer outro
valor atribuído a
b) x− >3 0 é verdadeira, por exemplo, para x =8 e falsa, por exemplo, para
1
= .
Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Como já comentamos no início da aula, tais expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar quantificadores.
Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral, não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica.
Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos. Vejamos exemplos de proposições quantificadas.
Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano.
Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano.
Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é pernambucano” equivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano”. Dessa forma, a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão “todo... não ...”.
O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀, que se lê: “todo”,
“qualquer que seja”, “para todo”.
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃, que se lê: “algum”,
“existe”, “existe pelo menos um”, ”pelo menos um”, “existe um”.
Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma proposição. Então, como proposições, podem ser negadas.
Negação de proposições quantificadas
Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas.
Afirmação Negação
Particular afirmativa (“algum...”) Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não ...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou “todo... não...”)
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal afirmativa (“todo...”) Particular negativa (“algum... não”) Particular negativa (“algum... não”) Universal afirmativa (“todo...”)
Vejamos alguns exemplos:
p: Algum político é honesto. p: Existe político honesto.
~ p: Nenhum político é honesto.
~ p: Todo político não é honesto.
Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano.
Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano.
