FILTRAGEM ESTOCÁSTICA APLICADA A SISTEMAS MAX-PLUS LINEARES
DIEGOFIGUEIRÊDO ESILVA∗, RAFAELSANTOSMENDES∗, LAURENTHARDOUIN†, CARLOSANDREYMAIA‡,
BERTRANDCOTTENCEAU†
∗Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação - UNICAMP
DCA/FEEC/UNICAMP-C.P. 6101 13083-970 Campinas - SP - Brasil
†Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes Automatisés - ISTIA/Université d’Angers
Av. Notre Dame du Lac 62 49000 Angers - França
‡Depto. de Engenharia Elétrica - UFMG
Av. Antônio Carlos 6627 - Pampulha 31270-010 Belo Horizonte - MG - Brasil
Emails: dfs@dr.com, rafael@dca.fee.unicamp.br, laurent.hardouin@istia.univ-angers.fr, maia@cpdee.ufmg.br, bertrand.cottenceau@istia.univ-angers.fr
Abstract— This paper proposes a particle filter for linear max-plus systems. A brief introduction to discrete event systems is presented in a max-plus context. The paper describes some fundamental results in particle filtering and applies these results to the max-plus linear systems leading to a stochastic filtering algorithm. An example illustrates the method and some conclusions are drawn.
Keywords— Stochastic Filtering, Discrete Event Systems, Max-plus Algebra, Particle Filters
Resumo— Este trabalho propõe um filtro estocástico do tipo filtro de partículas para sistemas max-plus lineares. Uma pequena introdução aos sistemas a eventos discretos no contexto da abordagem max-plus é apresentada. Em seguida os fundamentos de filtros de partículas, aplicados aos sistemas max-plus, são descritos, chegando assim a um algoritmo de filtragem estocástica. Um exemplo ilustrativo é apresentado e são esboçadas conclusões.
Palavras-chave— Filtragem Estocástica, Sistemas a Eventos Discretos, Álgebra Max-plus, Filtros de Partículas
1 Introdução
O desenvolvimento das técnicas de filtragem estocás-tica (Brown and Hwang, 1997) vem permitindo os avanços em várias áreas de pesquisa, em especial na geração de tecnologia espacial e militar (Bar-Shalom et al., 2001). Pode-se citar particularmente o filtro de Kalman (Brown and Hwang, 1997), cuja presença se tornou indispensável em equipamentos eletrônicos de comunicação via frequência modulada (FM) e em sistemas de rastreamento aéreo e de navegação (Bar-Shalom et al., 2001).
Os Sistemas a Eventos Discretos (SED)
(Cassandras and Lafortune, 1999) constituem
uma classe de sistemas caracterizados pelo fato de sua dinâmica ser dirigida pela ocorrência de eventos, em oposição aos sistemas contínuos cuja dinâmica é determinada pela passagem do tempo. Num SED as mudanças de estado ocorrem única e exclusivamente devido à ocorrência de eventos. O estudo destes siste-mas é de fundamental importância em diversas áreas como redes de computadores, sistemas de tráfego e no planejamento de atividades de carácter logístico, podendo-se destacar a sua aplicação nos sistemas de manufatura, onde é utilizado para otimizar o tempo de produção e o uso do estoque (Maia et al., 2005). Dentre os modelos existentes para o tratamento de tais sistemas, destacam-se as Redes de Petri (RP) (Murata, 1989) e a abordagem baseada na álgebra de
dióides, ou mais simplesmente, na álgebra max-plus (Baccelli et al., 1992). Esta última é a abordagem utilizada neste trabalho.
Um enfoque possível para os SED considera como variáveis de modelagem os “datadores”, isto é, as informações relativas aos instantes de ocorrência de eventos. Neste contexto, podem ocorrer situações práticas onde nem todos os datadores são diretamente observados, de forma análoga ao que ocorre em sis-temas contínuos nos quais o estado não é totalmente observado. Além disso, é comum que os datadores não observados tenham seus valores influenciados por variáveis aleatórias, que combinadas com os aspectos estruturais do sistema provocam variações aleatórias nos instantes de ocorrência dos eventos.
O presente trabalho pretende abordar exatamente esta situação, tratando do problema de obter estima-tivas ótimas, num contexto ruidoso, de instantes de ocorrência de eventos não-observáveis em SED. Es-tas estimativas deverão ser obtidas de modo análogo ao utilizado nos filtros de Kalman para sistemas con-tínuos, isto é, a partir de observações de algumas va-riáveis do sistema, obter-se-ão estimativas de outras variáveis não-observadas sujeitas a perturbações esto-cásticas previamente modeladas. A técnica de filtra-gem conhecida como “Filtro de Partículas” será utili-zada neste trabalho. Os filtros de partículas utilizam o conceito de simulação de Monte-Carlo, isto é, pro-duzem uma aproximação de uma distribuição
proba-bilística através de um grande número de amostras às quais são atribuídos pesos. Estas amostras evoluem de acordo com a dinâmica do sistema e têm seus pe-sos atualizados a partir da existência de medidas das saídas do sistema.
O artigo está organizado como segue. Na
se-ção 2 os sistemas max-plus são brevemente descri-tos, definindo-se também o cenário de perturbações que afetam o sistema. A seção 3 descreve o princí-pio de funcionamento do filtro de partículas e a ma-neira pela qual ele pode ser aplicado aos sistemas max-plus lineares com perturbação. Finalmente, na seção 4 apresentam-se alguns resultados de simulação numé-rica e na seção 5 esboçam-se algumas conclusões.
2 Álgebra Max-Plus
É possível modelar um sistema a eventos discretos como uma rede de Petri (Baccelli et al., 1992). Uma rede de Petri é um objeto abstrato constituído de um
grafo bi-partido e de uma marcação (função). No
grafo os nós podem ser de dois tipos: lugares e tran-sições. A marcação associa a cada lugar um número inteiro (diz-se que o lugar contém fichas). As transi-ções estão relacionadas aos eventos do sistema e os lu-gares definem condições para que estes eventos ocor-ram. Uma transição pode disparar se os lugares acima dela contêm fichas. Neste trabalho consideraremos RP p-temporizadas, nas quais os lugares têm um tempo de permanência mínimo para as fichas. O disparo de uma transição altera a marcação da rede, redefinindo as condições de disparo e produzindo a dinâmica do sistema. Neste contexto, os recursos do sistema são representados por fichas nas diversas posições do pro-cesso de produção, as durações das atividades são re-presentadas pelo tempo de permanência das fichas nos lugares e as ocorrências dos eventos são representadas pelos disparos das transições, que consomem fichas nos lugares anteriores à transição e produzem fichas nos lugares seguintes à transição. Uma classe impor-tante de redes de Petri são os Grafos de Eventos Tem-porizados (GET), caracterizados por apresentarem um único arco de entrada e um único arco de saída em cada lugar. Na figura 1 apresenta-se um grafo de even-tos temporizado.
Figura 1: Exemplo de Grafo de Eventos Temporizado
Nesta figura é importante observar a existência de transições não condicionadas por nenhuma outra tran-sição do sistema (trantran-sição u na figura) e transições que não condicionam nenhuma outra transição do sis-tema (transição z na figura). Estas transições são cha-madas respectivamente de entrada e de saída do sis-tema; as outras transições são chamadas de internas ou transições de estado. Assume-se que apenas as transi-ções de saída do sistema são observadas no contexto de filtragem desenvolvido na próxima seção.
Pode-se associar a cada transição de um GET uma seqüência crescente de números inteiros {x(k)}, para k = 0, 1, 2, . . ., onde cada elemento da série repre-senta o instante do k-ésimo disparo dessa transição. Supondo agora conhecida a seqüência associada às transições de entrada de um GET, é possível determi-nar as seqüências de disparo de todas as transições do GET. De fato, considerando novamente o GET da fi-gura 1, é possível escrever as seguintes relações entre os instantes de disparo das transições:
x1(k) = 1 + x2(k − 1) (1a)
x2(k) = max{2 + x2(k − 1); u(k)} (1b)
z(k) = max{2 + x1(k); 1 + x2(k)} (1c)
Renomeando o operador max como sendo ⊕ e o ope-rador + como sendo ⊗, pode-se reescrever:
x1(k) = 1 ⊗ x2(k − 1) (2a)
x2(k) = 2 ⊗ x2(k − 1) ⊕ u(k) (2b)
z(k) = 2 ⊗ x1(k) ⊕ 1 ⊗ x2(k) (2c)
ou, em forma matricial:
xk = A ⊗ xk−1⊕ B ⊗ uk (3) zk = C ⊗ xk sendo: A =−∞ 1 −∞ 2 ; B =−∞ 0 ; C = 2 1 xk = x1(k) x2(k) T ; uk = u(k) e zk= z(k)
Tem-se portanto um sistema de equações recursi-vas lineares numa nova álgebra. De modo geral, um semi-anel idempotente (ou dióide) é caracterizado por um conjunto e duas operações (soma e produto), no-tado (D, ⊕, ⊗), tal que a soma seja associativa, comu-tativa e idempotente (a ⊕ a = a), e o produto seja associativo (mas não necessariamente comutativo) e distributivo à esquerda e à direita em relação à soma. Além disso, devem existir elementos neutros para am-bas as operações, notados por ε (elemento nulo) e por e (elemento unitário), e o elemento nulo deve ser ab-sorvente em relação ao produto. Isto é, ∀a ∈ D, a ⊕ ε = a, a ⊗ e = a, a ⊗ ε = ε. É imediato perceber que o conjunto Z ∪ {−∞} munido das duas operações ⊕ ≡ max e ⊗ ≡ + é um dióide, no qual ε = −∞ e e = 0. Um dióide é completo se ele for fechado em relação a somas infinitas e se o produto for
distributivo em relação a somas infinitas. A estrutura (Z ∪ {−∞} ∪ {∞}, max, +) é um dióide completo
usualmente denominado Max-plus e notado por Zmax.
Este exemplo utiliza o que se convenciona chamar de datadores, isto é, sequências crescentes {x(k)} que representam as datas ou instantes de ocorrência dos disparos da transição x. Observa-se que, formalmente, as equações 3 são muito similares às equações de es-tado em sistemas com dinâmica contínua.
Os sistemas abordados neste trabalho são, por de-finição os sistemas a eventos discretos que podem ser descritos pelas equações 3 admitindo-se em geral que xk ∈ Rn×1, uk ∈ Rp×1 e zk ∈ Rq×1e que as matri-zes A, B e C tem dimensões apropriadas. Além disso, duas hipóteses adicionais são consideradas.
Por um lado admite-se que a matriz C contém exatamente um elemento e em cada linha, sendo todos os outros iguais a havendo no máximo um elemento e em cada coluna. Esta hipótese não é restritiva pois qualquer sistema do tipo da equação 3 pode ser colo-cado nesta forma pela inclusão de linhas e colunas nas matrizes A e B (Hardouin et al., 2010). Em outras palavras assume-se que a matriz C tem a matriz iden-tidade como sub-matriz e que algumas das variáveis internas são diretamente observadas. Pode-se portanto reescrever o modelo dado pela equação 3 da seguinte forma: xk = A ⊗ xk−1⊕ B ⊗ uk (4) zk = x00k sendo xk = x0 k x00k e A = A 0 A00 . A partir destas equações é possível escrever:
zk= A00⊗ xk−1 ⊕ B ⊗ uk (5)
Por outro lado, assume-se que as perturbações que afetam o sistema atuam exclusivamente nos elementos da matriz A e da matriz B, admitindo-se que os ele-mentos aij e bij destas matrizes são variáveis aleató-rias independentes entre si com distribuições unifor-mes e conhecidas.
No contexto deste trabalho o problema de filtra-gem consiste portanto em obter estimativas para os
estados não diretamente observados x0k
conhecendo-se uma conhecendo-sequência de medidas zj e de entradas uj,
j = 1, . . . , k e a distribuições de probabilidade dos elementos das matrizes A e B.
3 Filtros de Partículas aplicados a Sistemas
Max-Plus
Os Filtros de Partículas utilizam uma representação por partículas da densidade de probabilidade do es-tado do sistema para realizar uma estimação
sequen-cial de Monte-Carlo1 deste estado. Uma
representa-ção por partículas é um conjunto de amostras da variá-vel que se deseja estimar, amostradas de acordo com 1Uma estimação sequencial de Monte-Carlo é uma técnica para a implementação de um filtro Bayesiano recursivo através de simu-lações de Monte-Carlo (Ristic et al., 2004)
uma densidade chamada "densidade de importância". O método de Monte-Carlo é baseado no seguinte fato.
Seja I = R g(x) dx uma integral que se deseja
ava-liar e π(x) uma densidade de probabilidade tal que g(x) = f (x) · π(x). Se for possível sortear N amos-tras da variável x de acordo com a densidade π(x) {xi, i = 1, . . . , N }, então I
N = N1 P N i=1f (x
i) é uma estimativa não-polarizada da integral I. Além disso, se as amostras da variável x forem sorteadas
segundo uma outra densidade q(x), similar2 a π(x),
então IN = PNi=1f (xi) · w(xi), sendo w(xi) = ˜ w(xi) 1 N PN j=1w(x˜ j) e ˜w(xi) = π(xq(xii)). A densidade q(x) é a densidade de importância.
Considerando agora um sistema max-plus linear conforme descrito na seção anterior, seja Xk= {xj}, j = 0, . . . , k o conjunto de todos os valores das
variá-veis de estado x até o instante k e seja Zk definido
de modo análogo. Uma abordagem comum para o problema de filtragem consiste em realizar o cálculo da probabilidade p(Xk|Zk) a partir da probabilidade p(Xk−1|Zk−1) e do valor da medida zk. Contudo, le-vando em conta a equação 4 e que os elementos da ma-triz A são variáveis aleatórias independentes, conclui-se que, dado xk−1, os vetores x0k e x00k = zksão inde-pendentes. Em outras palavras: p(X0k|Xk−1, zk) =
p(X0k|Xk−1). A melhor estimativa que se pode ter
do estado x0k depende exclusivamente da estimativa
do estado xk−1. Por este motivo busca-se neste
tra-balho um procedimento recursivo para a obtenção da
probabilidade p(Xk−1|Zk), em função da
probabili-dade p(Xk−2|Zk−1) e da medida zk. A
representa-ção para as densidades de probabilidade acima é feita através do conceito de "partículas", isto é, supõe-se a existência de um conjunto de amostras (ou partí-culas) {Xik−1}, i = 1, . . . , N amostrado segundo a
densidade de importância q(Xk−1|Zk) com os
res-pectivos pesos {wik} que representam a probabilidade p(Xk−1|Zk), isto é: p(Xk−1|Zk) ∼= N X i=1 wik· δ(Xk−1− Xik−1) (6)
Conforme a discussão ao início desta seção tem-se que: wki ∝p(X i k−1|Zk) q(Xi k−1|Zk)
Deseja-se portanto, a partir de uma representação de p(Xk−2|Zk−1) (do tipo definido pela equação 6) e da medida zk, obter uma representação por partículas para p(Xk−1|Zk). Para obter fórmulas recursivas ade-quadas, deve-se escolher uma densidade de importân-cia que satisfaça a seguinte condição de fatorização:
q(Xk−1|Zk) , q(xk−1|Xk−2, Zk) · q(Xk−2|Zk−1). (7) 2Uma densidade de probabilidade q(x) é similar a π(x) se ∀x : π(x) > 0 ⇒ q(x) > 0.
A densidade q(xk−1|Xk−2, Zk) deve ser utili-zada para expandir a partícula Xik−2 para Xik−1, in-cluindo um novo estado xik−1. A equação de atualiza-ção do respectivo peso wki é obtida a seguir. Tem-se:
p(Xk−1|Zk) = = p(Xk−1|zk, Zk−1)
= p(zk|Xk−1, Zk−1) · p(Xk−1|Zk−1) p(zk|Zk−1)
, (8) mas dado que:
p(Xk−1|Zk−1) =
= p(xk−1|Xk−2, Zk−1) · p(Xk−2|Zk−1) ∼
= p(xk−1|xk−2) · p(Xk−2|Zk−1), (9)
pode-se substituir (9) em (8) obtendo-se a seguinte ex-pressão: p(Xk−1|Zk) = ∼ = p(zk|xk−1) · p(xk−1|xk−2) · p(Xk−2|Zk−1) p(zk|Zk−1) ∝ p(zk|xk−1) · p(xk−1|xk−2) · p(Xk−2|Zk−1). Mas: wik ∝ p(X i k−1|Zk) q(Xi k−1|Zk) ∝ p(zk|x i k−1) · p(xik−1|xik−2) · p(Xik−2|Zk−1) q(xi k−1|Xik−2, Zk) · q(Xik−2|Zk−1) ∝ p(zk|x i k−1) · p(x i k−1|x i k−2) q(xi k−1|X i k−2, Zk) · wi k−1, Portanto: wki = wik−1·p(zk|x i k−1) · p(x i k−1|x i k−2) q(xik−1|Xi k−2, Zk) . Admite-se ainda: q(xik−1|Xi k−2, Zk) = q(xik|x i k−2, zk) e finalmente: wki = wik−1·p(zk|x i k−1) · p(x i k−1|x i k−2) q(xi k−1|x i k−2, zk) .(10) Desde que respeitada a condição de similaridade citada no início desta seção, em princípio a função de densidade de importância pode ser escolhida com li-berdade. Entretanto, segundo (Ristic et al., 2004) esta escolha é um aspecto crítico em filtros de partículas. Mostra-se em (Doucet and Andrieu, 2000) que a esco-lha ótima é dada por:
qopt(xik−1|xik−2, zk) = p(xik−1|xik−2, zk). Visando a simplicidade do algoritmo, neste traba-lho adotar-se-á uma escolha sub-ótima para a densi-dade de importância dada por:
q(xik−1|xi
k−2, zk) = p(xik−1|x i
k−2). (11)
Esta escolha permite avançar o contador k no pro-cesso de filtragem simplesmente multiplicando-se (⊗) uma nova realização das matrizes A e B por cada par-tícula xik−2, i = 1, . . . , N e pelos valores conheci-dos de uk−1, expandindo assim a partícula Xik−2para Xi
k−1. Esta etapa é similar, em filtragem de Kalman,
ao procedimento de previsão do estado.
A substituição da equação 11 na equação 10 re-sulta em:
wki = wik−1· p(zk|xik−1). (12)
Esta equação é utilizada para atualizar os pesos
das partículas no momento em que a medida zk se
torna disponível. Em filtragem de Kalman isto equi-vale ao procedimento de atualização das previsões, isto é, o procedimento de correção da estimativa feita no procedimento de previsão, à luz de uma nova
me-dida. Levando-se em conta que tanto a medida zk
quanto a partícula xi
k−1 e as variáveis de entrada uk são conhecidas no momento deste cálculo, conclui-se que a atualização deve ser feita por:
wik = wk−1i · V (ηk, zk), (13)
sendo a função de verossimilhança V (η, z) deduzida no apêndice (equação 15) e ηkT = [xiT
k−1| u T k]. Observa-se que o procedimento de previsão base-ado na equação 11 não depende da ocorrência da
k-ésima medida zk. Portanto nada impede que seja
rea-lizado logo após a atualização da estimativa de Xk−1, resultando, conforme discutido anteriormente, na
me-lhor estimativa possível para xkdadas as medidas em
k. A estimativa de xké portanto dada por:
ˆ xk= N X i=1 xik· wi k. (14)
É usual na evolução de um algoritmo de filtragem por partículas a observação de um fenômeno de co-lapso de probabilidades no qual ao longo das itera-ções, muitas partículas adquirem pesos muito baixos e poucas assumem peso não desprezível. A ocorrência deste fato leva a um mal-condicionamento da repre-sentação por partículas da densidade de probabilidade
de Xk. Para evitar este problema, quando se detecta
que o número efetivo de partículas que representa a função de densidade de probabilidade é muito baixo, utiliza-se um procedimento de reamostragem de partí-culas, que pode ser resumido como segue. Cada par-tícula é clonada um número de vezes proporcional ao seu peso. Como o número total de partículas deve per-manecer igual a N , resulta que as patículas com peso muito baixo não terão clones, sendo assim abandona-das. Após o procedimento de clonagem, os pesos das partículas sobreviventes são reajustados, assumindo o valor 1/N . Este procedimento é formalmente descrito em (Ristic et al., 2004).
Finalmente, é possível sintetizar o algoritmo pro-posto para filtragem por partículas de sistemas max-plus da seguinte forma:
1. k=0;
2. Inicializar N partículas, X0i, i = 1, . . . , N ;
3. Para cada k:
Ler a medida zk;
Atualizar os pesos de Xk−1i (eq. 13);
Se necessário, reamostrar; Gerar as partículas para k (eq. 4); Estimar xk(eq. 14);
4. Fim
Na próxima seção um exemplo permite avaliar o desempenho do algoritmo de filtragem proposto.
4 Resultados
Consideremos o sistema descrito pela matriz A abaixo, proposto em (Loreto et al., 2010). Supõe-se que as entradas sejam nulas (sistema autônomo) e que os estados de número 3, 6 e 8 sejam diretamente obser-vados. Os elementos (2, 1), (5, 2), e (5, 4) da matriz A são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas segundo os valores entre colchetes. Os outros valores são determinísticos. A = ε ε 4 ε ε ε 2 ε ε [1, 7] ε ε ε ε ε ε 3 ε ε 5 ε ε ε ε ε ε 1 4 ε ε ε ε 3 ε ε ε ε [3, 5] ε [1, 3] ε ε ε ε ε ε ε 5 ε 4 ε ε ε ε ε ε ε 4 ε ε ε ε 3 ε ε ε ε 3 ε 5 ε ε ε ε ε ε ε 2 ε ε ε
A este sistema foi aplicado o filtro de partículas des-crito anteriormente e comparado com o observador de estado proposto em (Hardouin et al., 2010), caracteri-zado por determinar um limite inferior para cada va-riável de estado. As figuras 2 e 3 e as tabelas compa-rativas dos erros médio e máximo para cada estado são apresentadas a seguir.
Figura 2: Trajetória da transição 2
Figura 3: Trajetória da transição 5
Erro Médio
Est. Filt. Obs.
x1 0,00 0,00 x2 1,19 2,61 x3 0,00 0,00 x4 0,00 0,00 x5 0,58 3,17 x6 0,00 0,00 x7 0,00 0,00 x8 0,00 0,00 x9 0,00 0,00 Erro Máximo
Est. Filt. Obs.
x1 0,00 0,00 x2 2,44 5,85 x3 0,00 0,00 x4 0,00 0,00 x5 1,25 5,66 x6 0,00 0,00 x7 0,00 0,00 x8 0,00 0,00 x9 0,00 0,00
Observa-se que, exceto os estados 2 e 5, todos os outros são observados e filtrados com precisão. As figuras mostram que nos trechos selecionados as es-timativas produzidos pelo filtro de partículas são em geral mais próximas do estado real que o seu limiar inferior. Este fato é confirmado pelas estimativas de erro dos dois algoritmos mostradas nas tabelas.
5 Conclusão
Neste trabalho desenvolveu-se um algoritmo de filtra-gem estocástica para sistemas max-plus lineares ba-seado na técnica conhecida como filtro de partículas. Mostrou-se uma maneira simples de realizar a amos-tragem por importância, baseada na geração de previ-sões a partir de partículas do estado no valor prece-dente de contagem. Mostrou-se também como atuali-zar os pesos das partículas a partir da obtenção de uma nova medida, utilizando unicamente a função de ve-rossimilhança obtida a partir da probabilidade da me-dida condicionada ao estado. Uma expressão para esta função de verossimilhança foi deduzida para o caso max-plus linear em que as perturbações estocásticas estão associadas aos elementos das matrizes A e B do modelo dinâmico do sistema, sendo variáveis aleató-rias uniformemente distribuídas. Os resultados apre-sentados mostram que as técnicas de filtragem de par-tículas aplicadas a sistemas max-plus lineares, embora envolvendo uma escolha sub-ótima da densidade de
importância, levam a estimativas próximas aos valores reais do estado do sistema. Estudos estão em curso visando a utilização da amostragem ótima, que tem como contrapartida maior complexidade tanto na fase de previsão como na fase de atualização.
Agradecimentos
Este trabalho é parte das atividades do projeto CA-PES/COFECUB 642/09 e contou com o financia-mento do CNPq através do projeto PIBIC (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica - Uni-camp)
Referências
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Doucet, A., G. S. and Andrieu, C. (2000). On sequen-tial monte-carlo sampling methods for bayesian filtering, Statistics and Computing 10: 197–208. Hardouin, L., C.A.Maia, Cottenceau, B. and Lhom-meau, M. (2010). Observer design for (max,+) linear systems, IEEE Trans. on Automatic Con-trol55-2: 538–543.
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Maia, C., Santos-Mendes, R., Luders, R. and Har-douin, L. (2005). Estratégias de controle por mo-delo de referência de sistemas a eventos discretos max-plus lineares, SBA 16(3): 263–278.
Murata, T. (1989). Petri nets : properties,
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Ristic, B., Arulampalam, S. and Gordon, N. (2004). Beyond the Kalman Filter - Particle Filters for Tracking Applications, Artech House.
Apêndice: Cálculo da função de verossimilhança
Consideremos a equação max-plus z = A00 ⊗ x ⊕
B ⊗ u, sendo x ∈ Rn×1, z ∈ Rq×1, u ∈ Rp×1,
A00∈ Rq×ne B ∈ Rq×p. Definindo ηT = [xT | uT],
e H = [A00| B], tem-se z = H ⊗ η, sendo η ∈ Rr×1,
H ∈ Rq×re r = n + p. Supõe-se que os elementos
da matriz H, notados por hij, sejam variáveis aleató-rias independentes e uniformemente distribuídas entre hije hij, sendo suas funções de probabilidade acumu-lada e de densidade de probabilidade respectivamente dadas por: Fij(τ ) = 0 se τ ≤ hij τ −hij hij−hij se hij < τ ≤ hij 1 se τ > hij pij(τ ) = 1 hij−hij se hij< τ ≤ hij 0 se τ ≤ hij ou τ > hij
Determina-se a seguir a densidade de probabilidade da variável aleatória z, condicionada pelo vetor η, isto é, pz(t|η), sendo t = [t1. . . tq]T ∈ Rq×1. Em razão da independência dos elementos de H tem-se que: P [z ≤ t] = P [z1≤ t1e . . . e zq≤ tq] = q Y i=1 P [zi≤ ti] Porém: P [zi ≤ ti] = P [max j (hij+ ηj) ≤ ti] = P [hi1≤ ti− η1e . . . e hir≤ ti− ηr] = r Y j=1 Fij(ti− ηj)
Portanto a função de probabilidade acumulada con-junta do vetor z, condicionada por η, é dada por:
Fz(t|η) = q Y i=1 r Y j=1 Fij(ti− ηj)
Derivando-se sucessivamente em relação a t1. . . tq obtém-se a densidade de probabilidade procurada:
pz(t|η) = q Y i=1 ∂ ∂ti ( r Y j=1 Fij(ti− ηj)) = q Y i=1 ( r X j=1 ∂ ∂ti (Fij(ti− ηj)) r Y k6=j Fik(ti− ηk)) = q Y i=1 ( r X j=1 pij(ti− ηj) r Y k6=j Fik(ti− ηk))
Se o vetor z for conhecido, a função acima é cha-mada de função de verossimilhança de η. Neste caso, substituindo-se t pelo valor conhecido de z, obtém-se:
V (η, z) = q Y i=1 ( r X j=1 pij(zi− ηj) r Y k6=j Fik(zi− ηk)) (15)
