DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECÇÃO DE ESTRUTURAS
Análise Avançada de Estruturas
2020-01-20
Sem consulta (exceto formulário fornecido) Duração: 3h00m
1 – (3.5 val.) Considere um muro de betão armado com a geometria que se encontra
representada na figura. Esta estrutura encontra-se nas condições geométricas e de carregamento que a permitem classificar como um estado plano de deformação (E.P.D.), apresentando um desenvolvimento muito extenso na direção perpendicular ao plano (x1,x2). O muro tem duas
aberturas que se encontram indicadas na figura. Esta estrutura encontra-se rigidamente ligada a um maciço de fundação. As únicas ações que devem ser aqui consideradas são as forças de 400 kN e de 600 kN que atuam no ponto P (Nota: o peso próprio deve ser desprezado). Considerando que a análise vai ser feita pelo método dos deslocamentos,
a) proponha uma malha de elementos finitos quadriláteros que discretize a metade esquerda da estrutura e que permita a obtenção de resultados suficientemente rigorosos (faça o desenho na folha anexa);
b) indique quais são os graus de liberdade que se consideram em cada nó dos elementos finitos a utilizar e descreva as condições de apoio na base da estrutura;
c) supondo que o carregamento vai ser decomposto numa componente simétrica e numa componente antissimétrica, e que apenas vai ser discretizada a metade esquerda da estrutura, descreva as condições de apoio nos nós coincidentes com o eixo x2 e os
2 – (2.0 val.) Considere o elemento finito quadrilátero de 6 nós representado na figura.
Este elemento destina-se à discretização de um estado plano de tensão. Recorrendo ao procedimento genérico, determine a função interpoladora associada ao nó 4, N4 (x1,x2).
3 – (2.0 val.) Mostre que em problemas axissimétricos a deformação circunferencial é 1 1 x u
4 – (6.0 val.) Considere os dois elementos finitos de estado plano de tensão (E.P.T.) que se
encontram representados na figura. O módulo de Young é E = 30 GPa, o coeficiente de Poisson é = 0.0 e a espessura do E.P.T é h = 0.3 m, sendo estes valores constantes em todo o domínio. A estrutura constituída por estes dois elementos encontra-se solicitada por uma carga concentrada de 75 kN e por uma carga distribuída que varia de 3 a 6 kN/m (Nota: o peso próprio deve ser desprezado). Os graus de liberdade em cada nó são o deslocamento segundo x1 e o
deslocamento segundo x2. Considerando uma substituição de variáveis e respeitando todas as
numerações indicadas,
a) relativamente ao elemento da esquerda, determine a matriz Jacobiana da transformação de coordenadas (J), o respetivo determinante (J) e a respetiva matriz inversa(J -1); b) recorrendo à quadratura de Gauss com um ponto de Gauss em cada direção local (1x1),
calcule o termo K11 da matriz de rigidez do elemento da esquerda (força horizontal no
nó 1 que provoca apenas um deslocamento unitário nesse nó segundo x1);
c) para o elemento da direita e com base na expressão de F p que se encontra no formulário, calcule o vetor das forças nodais equivalentes à carga distribuída;
d) tendo em vista a análise da estrutura com base na relação K a = F, calcule as 12 componentes do vetor F, incluindo as contribuições da carga concentrada e da carga distribuída. Formulário adicional: [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑] −1 = 1 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐[ 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ]
5 – (3.0 val.) Considere um elemento finito de Euler Bernoulli com 3 nós com as características indicadas na figura.
Este elemento apresenta material e secção constantes, sendo E I = 3 150 000 kN m2. Os graus de liberdade do elemento associados à flexão são os deslocamentos laterais e as rotações nodais indicados na figura.
Sem efetuar qualquer substituição de variáveis,
a) determine a função de forma Hermitiana N6(x1);
b) calcule o termo K66 da matriz de rigidez do elemento.
Formulário adicional:
os elementos da matriz B (1x6) são: d2Ni dx12;
L T dx I E B B K 16 – (3.5 val.) Considere um elemento finito de Timoshenko com 3 nós com as características indicadas na figura.
Este elemento apresenta material e secção constantes, sendo E I = 3 150 000 kN m2. Recorrendo a uma substituição de variável que transforma o domínio para o intervalo s = [-1,1],
a) determine a lei de transformação x1(s);
b) sabendo que no ponto de coordenada x1 = 6.75 m atua um momento concentrado no
sentido anti-horário de valor M = 80 kN m, calcule o vetor das forças nodais equivalentes à ação do momento M (calcule as seis componentes que estão em correspondência com os graus de liberdade ai indicados na figura);
c) sabendo que os deslocamentos nodais finais são a = (a1,a2,a3,a4,a5,a6) =
(0 , 0 , 0.05 , 0.01 , 0 , 0) (m;rad), calcule o momento fletor final instalado no ponto de coordenada x1 = 6.75 m. Formulário adicional: 𝑀 = 𝐸 𝐼 𝐵 𝑏 𝑎 𝐵 𝑏= [0 −𝑑 𝑁𝑑𝑥1 1 0 − 𝑑 𝑁2 𝑑𝑥1 0 − 𝑑 𝑁3 𝑑𝑥1] FIM
