MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE DE SÓLIDOS MULTI-FRATURADOS BOUNDARY ELEMENT METHOD APPLIED TO ANALYSIS OF MULTI- FRACTURED BODIES

MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE DE

SÓLIDOS MULTI-FRATURADOS

Edson Denner Leonel 1 _{& Wilson Sergio Venturini} 2

R e s u m o

Este trabalho trata da análise de corpos com múltiplas fissuras utilizando o método dos elementos de contorno. Esse método numérico é conhecido por ser robusto e preciso nesse tipo de problema e também por requerer pequeno esforço computacional na criação da malha de elementos durante o crescimento das fissuras. Duas metodologias para a análise do comportamento estrutural das fissuras são consideradas. A primeira é a já consagrada metodologia dual por meio da qual duas equações integrais distintas são utilizadas na discretização das faces da fissura. Na segunda metodologia a fissura é considerada como uma descontinuidade no domínio sendo as suas faces separadas por uma pequena distância. Nesse último modelo emprega-se somente a equação integral escrita em termos de deslocamentos. O processo de crescimento das fissuras é efetuado considerando-se um procedimento adaptativo objetivando a correta determinação da direção de crescimento das fissuras. Os fatores de intensidade de tensão são calculados por meio da técnica de correlação de deslocamentos enquanto a direção de propagação das fissuras é determinada via teoria da máxima tensão circunferencial. Foram analisadas estruturas com os resultados sendo comparados aos previstos analiticamente e também numericamente. As respostas obtidas foram satisfatórias validando assim a metodologia proposta nesse trabalho.

Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno. Mecânica da fratura. Propagação de fissuras.

BOUNDARY ELEMENT METHOD APPLIED TO ANALYSIS OF

MULTI-FRACTURED BODIES

A b s t r a c t

This work deals with analysis of multi-fractured bodies using boundary element method. This numerical method is recognized as a robust and accurate tool for numerical analysis of problems involving crack propagation, requiring reduced computational efforts when generation of new elements are necessary to capture crack growth. Two methodologies to analyze the structural behavior of cracks are considered. The first one is the dual formulation of boundary elements where it adopts two types of integral equations in the discretization of crack lips. In the second methodology the cracks are considered as a discontinuity in the domain being your lips separate by a small distance. In this last model the integral equation written in terms of displacements is employed. The crack growth process is made using an adaptive procedure which deals with the correct determination of crack growth direction. The stress intensity factors are calculated using the displacement correlation technique while the crack growth direction is determined with the maximum circumferential stress theory. Examples of multi-fractured bodies that are loaded to the rupture are shown to illustrate the applicability of the proposed scheme.

Keywords: Boundary Element Method. Fracture mechanics. Crack propagation.

1 _{Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, edleonel@sc.usp.br}

1 INTRODUÇÃO

O A análise do comportamento de corpos contendo fissuras é um problema de grande importância em engenharia estrutural. A coalescência das fissuras, decorrente da ação do carregamento, gera concentração da danificação e assim a estrutura pode entrar em colapso com carregamentos muito inferiores a aqueles previstos em projeto. Para tratar esses tipos de problemas o método dos elementos de contorno tem-se mostrado uma ferramenta robusta e muito precisa. Além de fornecer bons resultados, nesse método numérico os esforços na redefinição da malha, durante o processo de propagação das fissuras, são pequenos o que o torna um método eficiente para a análise de problemas de fratura.

Cruse (1972) foi o primeiro a utilizar o método das equações integrais no estudo de fissuras. Depois desse trabalho o estudo do método apresentou substanciais melhoramentos tornando-se muito eficiente para modelos lineares e também não-lineares. Muitas formulações foram propostas e testadas sendo várias delas apontadas como de grande potencialidade na determinação dos fatores de intensidade de tensão e em modelos de propagação. Dentre os trabalhos que empregam esses tipos de formulação alguns podem ser destacados como Cen & Maier (1992), Bladford et al (1981), Cruse (1988) e Portela et al (1992), que utilizam a formulação singular, sub-regiões, funções de Green e metodologia Dual respectivamente. Pode-se destacar também uma interessante alternativa proposta em Venturini (1994) o qual emprega campo de tensões iniciais.

Neste artigo serão utilizadas as formulações singular e dual do método dos elementos de contorno para a análise de corpos, cujo material obedeça às condições previstas pela teoria da mecânica da fratura elástico-linear, com o objetivo de estudar o crescimento de fissuras em domínios multi-fraturados. O tamanho e a direção do incremento no comprimento das fissuras são efetuados por meio de um procedimento que minimiza o erro relacionado à determinação dessas duas grandezas. Além disso, um processo de otimização de malha é utilizado para a redução do número de equações presente na análise. Foram analisadas, neste trabalho, estruturas bidimensionais sujeitas à presença de múltiplas fissuras. Serão apresentados os resultados da análise da propagação das fissuras objetivando-se determinar a linha de ruína formada pela coalescência das fissuras.

2 METODOLOGIA

Serão apresentados nesse item alguns tópicos importantes sobre mecânica da fratura e método dos elementos de contorno utilizados neste trabalho.

2.1 Técnica de correlação de deslocamentos

A determinação dos fatores de intensidade de tensão, por meio da técnica de correlação de deslocamentos, é efetuada mediante o correlacionamento dos deslocamentos determinados numericamente, nos pontos nodais dos elementos localizados na extremidade da fissura, com soluções analíticas. Por meio das funções de tensão de Westergaard (1939) é possível obter as equações que descrevem o campo de deslocamentos na região próxima a extremidade da fissura as quais são apresentadas nas Eq. (1) e Eq. (2).

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 cos 2 1 2 sin 2 2 2 sin 2 1 2 cos 2 2 2 2 θ _κ θ π μ θ κ θ π μ r K r K u I II (1)

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 sin 2 1 2 cos 2 2 2 cos 2 1 2 sin 2 2 2 2 θ _κ θ π μ θ κ θ π μ r K r K v I II (2)

em que:

μ

módulo de elasticidade ao cisalhamento. Pode ser definido como:

)

1

(

2

υ

μ

+

⋅

=

E

κ

igual a 3− 4⋅

υ

se Estado Plano de Deformação e

υ

υ

+

⋅

−

1

4

3

Estado Plano de Tensão.

θ

ângulo de inclinação do ponto considerado em relação a extremidade da fissura.

r

distância do ponto considerado a extremidade da fissura.

u deslocamento paralelo as faces da fissura.

v deslocamento normal as faces da fissura.

υ

coeficiente de Poison.

A determinação das expressões para a avaliação dos fatores de intensidade de tensão é efetuada avaliando-se as Eq. (1) e Eq. (2) para ângulos iguais a

π

e

−

π

, ou seja, nas faces da fissura conforme apresenta a Figura 1.

π

−π

Faces da

Fissura

Figura 1 – Avaliação equações de deslocamentos nas faces da fissura.

Em seguida as expressões obtidas para os ângulos já citados devem ser subtraídas de forma a se obter equações que sejam função da diferença de deslocamentos entre as faces da fissura. Efetuando essa operação são obtidas as Eq. (3) e Eq. (4) as quais referenciam os fatores de intensidade de tensão aos deslocamentos relativos das faces da fissura.

(

)

COD

r

K

_I

⋅

+

⋅

⋅

=

1

2

κ

μ

π

(3)

(

)

CSD

r

K

_II

⋅

+

⋅

⋅

=

1

2

κ

μ

π

(4) sendo:

COD “Crack Opening Displacement” diferença entre os deslocamentos perpendiculares ao plano da fissura.

CSD “Crack Sliding Displacement” diferença entre os deslocamentos paralelos ao plano da fissura. No código computacional desenvolvido os fatores de intensidade de tensão são calculados considerando os deslocamentos dos dois pares de nós mais próximos à ponta da fissura.

2.2 Critério da máxima tensão circunferencial

O critério da máxima tensão circunferencial foi proposto por Erdogan e Sih (1963) e define que a fissura irá crescer perpendicularmente à direção de atuação da máxima tensão circunferencial

atuante na extremidade da fissura. Assim a formulação para a determinação do ângulo de propagação é baseada nas expressões que relacionam o estado de tensão na extremidade da fissura aos fatores de intensidade de tensão. Empregando as funções de tensão de Westergaard (1939) o estado de tensão na extremidade da fissura é dada pelas seguintes relações:

( )

2

1

3

cos

cos

2

2

2

2

r

K

I

K

II

sen

θθ

θ

θ

σ

θ

π

⎡

⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

=

⋅

_{⎜ ⎟}

⋅

_⎢

⋅

_{⎜ ⎟}

− ⋅

⋅

_⎥

⋅ ⋅

⎝ ⎠

⎣

⎝ ⎠

⎦

₍₅₎

( )

(

( )

)

1

cos

3 cos

1

2

2

2

r

K sen

I

K

II

r

θ

θ

σ

θ

θ

π

⎛ ⎞ ⎡

⎤

=

⋅

_{⎜ ⎟ ⎣}

⋅

⋅

+

⋅ ⋅

−

_⎦

⋅

⋅ ⋅

⎝ ⎠

(6)

( )

2 1 3 cos 1 2 tan 2 2 2 2 2 rr KI sen KII sen KII r

θ

θ

θ

σ

θ

π

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ _{⎜ ⎟}⋅_⎢ ⋅ +_{⎜ ⎜ ⎟⎟}+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ _{⎜ ⎟⎥} ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎦ (7) sendo: θθ

σ

Tensão Circunferencial. rr

σ

Tensão Radial. θ

τ

_r Tensão Cisalhante. I

K fator de intensidade de tensão para o modo I de fraturamento.

II

K fator de intensidade de tensão para o modo II de fraturamento.

Para a determinação do ângulo de propagação a tensão circunferencial,

σ

_θθ , deve ser máxima e conseqüentemente uma tensão principal. De acordo com os conceitos da Mecânica dos Sólidos para que essa situação ocorra a tensão de cisalhamento deve ser nula. Assim para determinar a direção de propagação da fissura,

θ

_p, deve-se fazer

σ

_rθ

=

0

.

K sen

I

⋅

( )

θ

p

+

K

II

⋅ ⋅

(

3 cos

( )

θ

p

− =

1

)

0

(8) Empregando relações trigonométricas é possível reescrever a relação acima como:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ± = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 8 4 1 2 tan 2 II I II I p K K K K

θ

(9)

Através da resolução da Eq. (9) são obtidos dois ângulos sendo que o ângulo a ser considerado como o de propagação é aquele que maximiza o valor da tensão circunferencial, Eq. (5).

Essa teoria também prevê a determinação do fator de intensidade de tensão equivalente calculado numericamente. Na literatura, Mi (1996), essa grandeza é obtida pela seguinte expressão:

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 sin 2 cos 3 2 cos3 2 p p II p I Eq K K K

θ

θ

θ

(10)

A denominação de fator de intensidade de tensão equivalente é atribuída por ser essa variável uma combinação dos fatores de intensidade de tensão para os modos I e II.

2.3 Equações do Método dos Elementos de Contorno

Tomando um domínio bidimensional homogêneo,

Ω

, limitado externamente por um contorno,

Γ

, o equilíbrio escrito em termos de deslocamentos pode ser expresso segundo a Eq. (11)

_,

1

_,

0

1 2

i i jj j ji

b

u

u

υ

μ

+

⋅

+

=

− ⋅

(11) onde: u componentes de deslocamento.

Empregando o teorema de Betti é possível a obtenção da representação integral dos deslocamentos, desconsiderando a ação de forças de corpo, a qual pode ser visualizada na Eq. (12).

* *

( , )

( )

( , )

( )

( )

( , )

il l il l l il

c f c u f

P f c u c d

P c u f c d

Γ Γ

⋅

+

_∫

⋅

Γ =

_∫

⋅

Γ

(12) sendo:

∫

integral de valor principal de Cauchy.

Nessa equação o termo

c

_il é igual a

δ

il

₂

_{para contornos do tipo suave. Já os termos}

contendo * representam as soluções fundamentais do problema elástico as quais são apresentadas nas Eq. (13) e Eq. (14).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

_{lk l k} lk

r

r

r

c

f

u

*

₍

₃

₄

₎

_ln

1

_{, ,}

)

1

(

8

1

)

,

(

υ

δ

υ

μ

π

(13)

[

]

[

(1 2 ) 2 (1 2 ) ( )

]

) 1 ( 4 1 ) , ( , , , , , * l k k l k l lk n lk r r r r r r c f P ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =

υ

δ

υ

η

η

υ

π

(14)

A Eq. (12) pode ser diferenciada com o objetivo de obter a representação integral de contorno em termos de força de superfície. Efetuando esse procedimento obtém-se:

∫

∫

Γ Γ

Γ

⋅

⋅

=

Γ

⋅

⋅

+

⋅

P

_j

(

f

)

_k

S

_kij

(

f

,

c

)

u

_k

(

c

)

d

_k

D

_kij

(

f

,

c

)

P

_k

(

c

)

d

2

1

_η

_η

(15) em que:

∫

integral de valor principal de Hadamard.

{

k ij j ki i jk i j k

}

kij

r

r

r

r

r

r

r

c

f

D

(

1

2

)

(

_{, , ,}

)

2

_{, , ,}

)

1

(

4

1

)

,

(

⋅

−

⋅

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

υ

δ

δ

δ

υ

π

(16)

{

, , , , , , , 2 2

( , )

2

(1 2 )

(

) 4

4

(1

)

kij n k ij j ik i jk i j k

E

S

f c

r

r

r

r

r r r

r

υ

δ

υ

δ

δ

π

υ

⎡

⎤

=

⋅ ⋅ ⋅

_⎣

− ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

_⎦

⋅ ⋅ −

⋅

+

2

⋅

υ

⋅

(

η

_,i

⋅

r

_,j

⋅

r

_,k

+

η

_,j

⋅

r

_,i

⋅

r

_,k

)

(17)

}

ij k jk i ik j j i k

r

r

η

δ

η

δ

υ

η

δ

η

υ

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

−

−

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

(

1

2

)

(

2

_{, , , , ,}

)

(

1

4

)

_,

A Eq. (15) requer a continuidade dos deslocamentos e também de suas derivadas. Assim nos contornos onde essa equação é aplicada somente elementos de contorno do tipo descontínuos devem ser utilizados.

Escrevendo as Eq. (12) e Eq. (15) convenientemente para todos os pontos de colocação do modelo tem-se um sistema resultante da ordem de duas vezes o número de nós da malha e que pode ser representado genericamente como:

[ ]

H

{ }

u =

[ ]

G

{ }

P (18)

A resolução do sistema matricial apresentado na Eq.(18) é possível aplicando-se as condições de contorno do problema. Para introduzi-las no sistema as matrizes

[ ] [ ]

H e G devem ser manipuladas de tal forma que todas as variáveis conhecidas estejam no primeiro membro da equação enquanto as incógnitas são reunidas no segundo membro. Esse procedimento é feito mediante troca de colunas entre as duas matrizes citadas obtendo-se o seguinte sistema:

[ ]

A

{ }

Inc =

[ ]

B

{ }

VP (19)

sendo:

[ ] [ ]

A e B formas modificadas das matrizes

[ ] [ ]

H e G respectivamente.

{ }

Inc vetor das incógnitas.

{ }

VP vetor das variáveis prescritas.

2.4 Estratégias de modelagem e discretização

No processo de discretização a malha de elementos de contorno é definida para aproximar tanto a geometria do contorno quanto as variáveis envolvidas no problema. Além dos elementos e nós o processo de discretização gera também pontos fontes ao longo do contorno, os quais são usualmente relacionados ao posicionamento dos nós, e que são de grande importância para o emprego e definição das equações integrais.

Para a realização da discretização torna-se necessária a definição de uma estratégia a qual está intrinsecamente ligada às exigências da análise como, por exemplo, das condições de existência das equações integrais. O atendimento dessas exigências conduz a uma correta utilização da formulação possibilitando assim análises consistentes do problema. No método dos elementos de contorno Dual algumas condições devem ser observadas para a definição de uma estratégia de discretização dentre as quais podem ser citadas:

¬ Discretização simétrica das faces da fissura para obtenção dos valores principais de Cauchy e Hadamard.

¬ Para a existência das equações integrais de deslocamento e força de superfície a continuidade de deslocamento e força de superfície deve ser observada. As continuidades necessárias na formulação são: α , 0

)

(

f

C

u

∈

para valor principal de Cauchy.

α

, 1

)

(

f

C

u

∈

e

_T

₍

_f

₎

_∈

_C

0,α _{para valor principal de Hadamard.}

Devido principalmente as condições de continuidade exigidas pelos deslocamentos e forças de superfície para a existência de suas respectivas equações integrais considerações especiais devem ser efetuadas a respeito do tipo de elemento a ser utilizado na discretização das faces da fissura o qual deve ser descontínuo.

Já em termos do emprego das equações integrais via método dos elementos de contorno Dual a estratégia de utilização das mesmas podem ser enunciadas:

¬ Para cada fissura a equação integral de deslocamentos é aplicada aos pontos fontes pertencentes a uma face da fissura.

¬ Para os pontos fontes pertencentes a face oposta é aplicada a equação integral de força de superfície.

¬ Para as partes do contorno não pertencentes às fissuras a equação integral em deslocamentos é aplicada.

Por meio dessas considerações sobre a modelagem a formulação do método dos elementos de contorno Dual torna-se uma ferramenta robusta para a análise de fissuras que estejam totalmente imersas no domínio do problema quanto aquelas que interceptam o contorno do problema (trincas de aresta). A Figura 2 apresenta o emprego das equações integrais via metodologia dual.

ED EFS ED ED ED ED ED Localização do Nó

Localização do Ponto de Colocação

ED Equação em Deslocamento

EFS Equação em Força de Superfície EFS

ED

Figura 2 – Estratégia de discretização para o Método dos Elementos de Contorno Dual.

Via formulação singular a estratégia de modelagem e discretização é consideravelmente mais simples se comparada a formulação dual. A discretização de todo o contorno do problema, através da formulação singular, é efetuada empregando somente a equação integral escrita em termos de deslocamentos. Nessa discretização podem ser utilizados tanto elementos contínuos quanto descontínuos, já que por essa formulação somente a continuidade dos deslocamentos é exigida. Os elementos das faces da fissura não precisam ser necessariamente simétricos. No entanto a simetria da malha é considerada para a correta determinação do fator de intensidade de tensão pela técnica de correlação dos deslocamentos. A única exigência dessa formulação é a presença de um espaço entre as faces da fissura de forma a não tornar o sistema final de equações singular. Assim a fissura é representada geometricamente como uma descontinuidade no domínio.

3 DESENVOLVIMENTO

Serão discutidos nesse item os modelos construídos para a realização do crescimento das fissuras e também da otimização da malha.

3.1 Modelo para o crescimento das fissuras

O programa computacional desenvolvido neste trabalho tem como objetivo a análise de corpos sujeitos a presença de múltiplas fissuras em seu domínio. Assim torna-se necessária a correta avaliação do comportamento das fissuras bem como do seu processo de crescimento.

Para a correta definição do comprimento e do ângulo na propagação das fissuras é efetuado um procedimento com o objetivo de minimizar os erros provenientes desse processo. Inicialmente o crescimento das múltiplas fissuras é efetuado admitindo-se proporcionalidade com o fator de intensidade de tensão equivalente presente em cada uma. Dessa forma admite-se que o crescimento

de cada fissura é linearmente proporcional ao fator de intensidade de tensão equivalente atuante em cada uma das diversas fissuras. A fissura que apresentar o fator de intensidade de tensão equivalente mais elevado terá seu comprimento acrescido por um valor pré-definido na análise enquanto as demais fissuras apresentarão comprimento de propagação linearmente proporcional ao comprimento de propagação pré-definido na análise de acordo com o fator de intensidade de tensão equivalente atuante.

Definidos os comprimentos iniciais de propagação deve-se então determinar o ângulo de propagação. Para a correta definição dessa grandeza propõe-se aqui uma metodologia a qual pode ser executada em duas etapas. Na primeira o comprimento de propagação da fissura é igual ao determinado inicialmente sendo proporcional ao fator de intensidade de tensão equivalente atuante. Após a criação dos nós e elementos da fissura é calculada a direção da propagação do próximo incremento do comprimento. Na segunda etapa o procedimento é repetido, no entanto o comprimento no incremento da fissura considerado é igual a metade do incremento inicial da fissura. Compara-se o ângulo de propagação obtido na primeira etapa com o ângulo de propagação fornecido na segundo etapa. Se a diferença entre eles encontrar-se dentro de uma tolerância pré-estabelecida na análise o incremento no comprimento empregado na primeira etapa é criado e o fator de intensidade de tensão equivalente é novamente calculado. Caso contrário o processo é repetido, efetuando-se uma nova iteração, considerando como comprimento de propagação da primeira etapa o comprimento do tramo de propagação da segunda etapa da iteração anterior. Essa metodologia pode ser entendida mais facilmente com o auxilio das Figuras 3 e Figura 4.

Faces da Fissura

L

i θ Faces da Fissura

L

/2

i θ i 1 i 2 Erro = θ − θi 1 i 2

Figura 3 – Procedimentos para cálculo da 1º iteração para cálculo do ângulo de propagação.

Faces da Fissura

L

/

2

i+1 θ Faces da Fissura

L

i+.1 i+1θ 1 i+₁ 2 Erro = θ − θi+1 1 i+1 2 L =_i+1 L _i 2

3.2 Modelo para a otimização da malha

Foi desenvolvido também um algoritmo com o objetivo de otimizar a malha de elementos de contorno existente na discretização. Esse algoritmo reduz o número de elementos presentes nas partes da fissura já distantes de sua extremidade. Dessa forma a discretização é mais refinada na região próxima a extremidade da fissura, ou seja, onde grandes concentrações de tensões e deformações estão presentes.

Esse modelo pode ser entendido com o auxílio da Figura 5. Primeiramente a fissura inicial presente no domínio do problema é discretizada utilizando elementos com comprimento máximo igual ao pré-especificado na análise. Durante o processo de propagação da fissura a determinação do comprimento de crescimento da fissura bem como do seu ângulo de inclinação são determinados segundo os procedimentos descritos na seção anterior. Durante esse processo a discretização do trecho que será acrescido à fissura também é efetuada observando-se o comprimento máximo de elemento pré-especificado na análise. Após determinado o comprimento e ângulo de propagação a discretização do trecho anterior é eliminada sendo esse trecho representado somente por dois elementos de contorno cada um discretizando uma face da fissura.

Esse processo é repetido sendo otimizada a discretização dos trechos distantes da extremidade da fissura. Por fim apenas os dois trechos mais próximos à ponta da fissura, o último convergido e o trecho em que é efetuado o processo descrito na seção anterior, apresentam discretização conforme especificado pelo usuário.

A grande vantagem desse procedimento é a utilização da discretização refinada somente onde necessário. Neste trabalho todos os exemplos empregam esse procedimento de otimização de malha. Testes preliminares mostraram que os resultados obtidos com o processo de otimização são iguais aos verificados sem a otimização da malha. Assim esse procedimento reduz o tempo de processamento levando a resultados também confiáveis.

Fissura Inicial Discretização Verificação Comprimento e ângulo Verificação Comprimento Nova discretização Fissura Inicial e ângulo 1º tramo Discretização

Figura 5 – Procedimentos para otimização de malha.

4 RESULTADOS

OBTIDOS

4.1 Chapa com fissura central

Nesse exemplo será apresentada a análise da propagação da fissura presente na estrutura mostrada na Figura 6. Trata-se de uma chapa quadrada com o comprimento do lado igual a dois metros contendo uma fissura simetricamente posicionada em seu centro. A estrutura é engastada em sua base sendo em seu topo prescrito um deslocamento igual a 5 mm.

O módulo de elasticidade do material foi admitido igual a

E

=

210 10

⋅

6

kN m

2 e o coeficiente de Poisson

υ

=

0,30

. O valor do fator de intensidade de tensão resistente da estrutura foi adotado igual a 40080 kN/m3/2_{. Esse valor corresponde a liga metálica INCONEL 600 cujas características}

foram determinadas por Godefroid et. al. (2004).

2,00 5,0 mm 0,10

Δ

y 2, 00

Figura 6 – Estrutura e carregamentos para o exemplo. Dimensões em m.

Foram utilizados 160 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,02 m. A análise foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. O carregamento foi aplicado considerando 50 passos de carga com tolerância à convergência igual a 1%. Nesse exemplo as formulações dual e em deslocamentos foram utilizadas. Por meio dessa última metodologia a distância de separação das faces da fissura é igual a 0,001 m.

Os resultados para a análise realizada podem ser observados nas figuras a seguir. Inicialmente será comentado o caminho de propagação das fissuras. Por meio das duas formulações empregadas constatou-se que o caminho de crescimento das fissuras foi o mesmo. As Figura 7, Figura 8, Figura 9 e Figura 10 apresentam o caminho da propagação da fissura em alguns incrementos no comprimento.

Figura 9 – 5º Incremento. Figura 10 – Separação do corpo.

Esse exemplo é conhecido na literatura, Cruse (1988) e Mi (1996), por apresentar somente modo de fratura I. Assim os resultados obtidos são coerentes já que a propagação da fissura ocorreu sem mudanças consideráveis de inclinação em relação à inclinação inicial da fissura.

O campo de deslocamentos apresenta também interessante resultado. O processo de crescimento da fissura evoluiu até a ocorrência da separação da estrutura em duas partes. Como o carregamento aplicado é constituído por um deslocamento não nulo a configuração de equilíbrio da estrutura após a ruína é obtida com a parte superior do corpo apresentando um deslocamento igual ao aplicado enquanto a parte inferior do corpo permanece com deslocamento nulo, ou seja, sem deformação. Esse comportamento é o encontrado na análise. Pode-se verificar esse resultado na Figura 11. Deve-se notar que essa resposta somente é possível devido ao fato do carregamento externo ser um deslocamento não nulo. Assim é possível obter uma configuração de equilíbrio após a ruptura do corpo em duas partes. Sendo o carregamento composto por uma força de superfície o sistema de equações seria singular no momento da ruptura do corpo.

Figura 11 – Campo de deslocamento direção y final.

Outro resultado de grande importância é o apresentado na Figura 12. Trata-se do comportamento da tensão principal de tração,

σ

₁. Pode-se verificar a grande concentração de tensão presente nas extremidades da fissura. Deve-se notar também a simetria das tensões em relação às faces da fissura o que torna mais evidente o caminho de crescimento da fissura.

Figura 12 – Diagrama de tensão principal de tração

σ

₁2º incremento no comprimento.

4.2 Viga sob flexão em três pontos

Nesse exemplo considera-se a análise da viga apresentada na Figura 13. Trata-se de uma sob flexão em três pontos contendo uma fissura posicionada em sua face inferior. A viga apresenta comprimento de dois metros sendo oitenta centímetros sua altura. O carregamento da análise é formado por uma carga concentrada igual a 1,0 kN posicionada no centro da face superior da estrutura. O módulo de elasticidade do material foi admitido igual a

E

=

210 10

⋅

6

kN m

2 e o coeficiente de Poisson

υ

=

0, 20

. O valor do fator de intensidade de tensão resistente da estrutura foi adotado igual a 1 kN/m3/2_{. Esse procedimento foi considerado pois não se está interessado nesse exemplo na}

determinação da estabilidade ao crescimento da fissura mas sim no caminho de propagação a ser desenvolvido no crescimento da fissura.

F

2,00

0,80

0,04

Figura 13 – Estrutura analisada. Dimensões em m.

A análise do problema foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram empregados 560 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo

igual a 0,02 m. O carregamento foi aplicado considerando-se 10 passos de carga com tolerância à convergência igual a 1%. Nesse exemplo optou-se por utilizar somente a formulação dual.

Os resultados desse exemplo foram comparados aos previstos pelo programa FRANC2D desenvolvido pela Universidade de Cornell/EUA. Esse programa trata problemas de mecânica da fratura utilizando as equações do método dos elementos finitos.

Será analisado o caminho percorrido pela fissura durante a sua propagação. A Figura 14 mostra um comparativo entre a trajetória de propagação da fissura obtida pelo modelo via método dos elementos de contorno e pelo FRANC2D.

Por meio da Figura 14 pode-se verificar que o caminho de propagação desenvolvido pela fissura, através dos dois programas considerados, é muito semelhante. A coordenada cartesiana em que a fissura analisada corta a face superior da viga é a mesma por meio dos dois modelos considerados. Dessa forma considera-se validado o procedimento proposto para o crescimento das fissuras.

Figura 14 – Comparativo da trajetória de crescimento da fissura. Modelo Método dos Elementos de Contorno e FRANC 2D.

Deve-se destacar também a substancial redução do número de elementos na análise pelo procedimento desenvolvido via método dos elementos de contorno em comparação ao utilizado pelo FRANC2D. Considerando o modelo criado no FRANC2D foram empregados 50752 elementos. Já pela análise via método dos elementos de contorno esse número cai bruscamente sendo necessários somente 630 elementos. Assim pode-se dizer que a metodologia de análise proposta via método dos elementos de contorno é mais eficaz na modelagem desse tipo de problema.

4.3 Viga engastada multi-fissurada

Esse exemplo trata da análise da estrutura mostrada na Figura 15. Trata-se de uma viga em balanço com quatro metros de comprimento e dois metros de altura onde são prescritos dois deslocamentos posicionados em sua face lateral direita. Nessa estrutura são posicionadas cinqüenta fissuras aleatoriamente distribuídas no domínio da viga. A distribuição das fissuras na estrutura está mostrada na Figura 16.

Figura 15 – Geometria e carregamentos para a análise.

O carregamento aplicado à viga refere-se a dois deslocamentos prescritos não nulos na extremidade do balanço sendo seus valores iguais a u−_x= 0.005 m e u−_y= -0.003 m. O fator de intensidade de tensão resistente do material foi considerado igual a 104000 kN/m3/2_{, que corresponde}

ao aço SAE 1020.

Figura 16 – Distribuição inicial das fissuras.

O problema foi analisado considerando-se a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram utilizados 300 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,05 m. O carregamento externo foi aplicado por meio de 50 passos de carga com tolerância à convergência igual a 3%. Nesse exemplo foi utilizada somente a formulação dos elementos de contorno dual.

Inicialmente é analisado o comportamento do crescimento das fissuras e sua coalescência. Nas Figura 17, Figura 18 e Figura 19 são apresentados os diagramas ilustrativos do crescimento das fissuras e da localização da danificação para alguns incrementos no comprimento das fissuras.

Figura 18 – 12º Incremento no comprimento das fissuras.

Figura 19 – Separação do corpo em duas partes.

Por meio das figuras que ilustram o crescimento das fissuras apresentadas anteriormente pode-se perceber que grande parte das fissuras que tiveram seu comprimento aumentado estavam localizadas no centro do vão. Portanto para a distribuição das fissuras iniciais considerada é nessa a região que ocorre a localização de dano e a linha ruína do corpo. Após a coalescência das fissuras houve a ruptura da viga a qual foi dividida em duas partes.

O campo de deslocamento é também analisado. Na Figura 20 é apresentado o campo de deslocamento atuante na direção x obtido para o último incremento de carga da análise.

Figura 20 – Campo de deslocamento final da análise.

4.4 Placa com furos

Nesse último exemplo será analisada a estrutura mostrada na Figura 21. Trata-se de uma estrutura plana contendo três furos distribuídos em seu interior. Esse sistema estrutural analisado é largamente utilizado na indústria mecânica para a ligação de elementos estruturais. A estrutura é formada por uma chapa quadrada com 100 cm de comprimento de lado tendo três furos de diâmetro igual a 5 mm simetricamente posicionados em seu centro. A chapa está vinculada somente na metade inferior dos furos conforme ilustra a Figura 21 sendo que em seu topo é aplicado um deslocamento

não nulo. Existem seis fissuras presentes no corpo em análise. Essas fissuras são posicionadas nas bordas dos furos conforme indica a Figura 21.

Figura 21 – Geometria e condições de contorno para este exemplo.

O carregamento é composto por um deslocamento prescrito na extremidade superior sendo o valor aplicado igual a v− 1,0 mm. O fator de intensidade de tensão resistente adotado para o material é igual a 104000 kN/m3/2_{, que corresponde ao aço SAE 1020.}

A análise dessa estrutura foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram utilizados 640 elementos na discretização do contorno da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,06 m. O carregamento foi aplicado considerando-se 200 passos de carga com tolerância à convergência igual a 3%. Nesse exemplo foi utilizada somente a formulação em elementos de contorno dual.

A análise da propagação das fissuras foi efetuada considerando-se duas hipóteses para o comprimento inicial das fissuras. Em ambas hipóteses o comprimento é gerado aleatoriamente, no entanto a diferença encontra-se no intervalo considerado para a determinação do comprimento. Na primeira hipótese as fissuras apresentam comprimento máximo igual a

6,0 10

⋅

−5 m e mínimo de

5

4,0 10

_⋅

− _{m, enquanto na segunda hipótese o intervalo de consideração dos comprimentos é limitado}

por

_{1,1 10}

_⋅

−5 _{m e}

_{1,0 10}

_⋅

−5_m.

Nas Figura 22 e Figura 23 são apresentadas as trajetórias de propagação das fissuras para as duas hipóteses consideradas. De acordo essas figuras constata-se que em ambas hipóteses houve a ruptura do corpo em duas partes, sendo o caminho de propagação muito semelhante. Constate-se a coalescência das fissuras no centro da chapa e a interseção das fissuras com a borda da chapa. Esse resultado é coerente uma vez que a estrutura é solicitada predominantemente ao modo I de fraturamento. Assim o modo II de fraturamento é solicitado na proximidade da ponta da fissura com algum contorno da estrutura. Esse comportamento pode ser claramente observado na coalescência das fissuras onde as fissuras mudam de direção para se interceptarem.

Figura 22 – Trajetória de crescimento das fissuras 1º hipótese.

Figura 23 – Trajetória de crescimento das fissuras. 2º hipótese.

O campo de deslocamento final da análise é apresentado na Figura 24. Por meio dessa figura observa-se a ruptura do corpo em duas partes. Na parte superior do corpo é observado o deslocamento de corpo rígido indicando a sua separação da estrutura original.

O trabalho necessário para o rompimento da chapa pode ser analisado por meio do diagrama Carga x Deslocamento. Esse diagrama é apresentado na Figura 25 destacando-se o fato da ruptura frágil para a análise realizada.

Figura 25 – Diagrama carga x deslocamento para a estrutura em análise.

5 CONCLUSÕES

Neste trabalho alguns aspectos relacionados às formulações do método dos elementos de contorno bem como das teorias da mecânica da fratura foram apresentados. Foi também discutido um modelo para a propagação de fissuras considerando o erro no ângulo de crescimento das fissuras. Nesse modelo a trajetória de propagação das fissuras é mais preciso já que o incremento no comprimento é controlado. Além disso, foi também apresentado um modelo de otimização de malha com o objetivo de se reduzir os elementos presentes na malha, assim tornando o sistema de equações a resolver menor e conseqüentemente mais rápido computacionalmente.

Em relação às estruturas tratadas pode se perceber que o modelo dual forneceu resultados confiáveis e precisos consagrando ainda mais esse método no campo da análise de problemas de fratura. Sem dúvida o método dos elementos de contorno Dual é um método robusto e confiável para a análise do comportamento e da estabilidade ao crescimento arbitrário de fissuras.

A formulação singular também foi considerada. No entanto, por meio dessa metodologia, a geometria da fissura não é corretamente descrita levando a erros na determinação dos fatores de intensidade de tensão. O erro na avaliação dessas grandezas compromete substancialmente a determinação da direção da propagação o que torna essa metodologia pouco eficaz na análise do problema. Nos exemplos de crescimento de fissuras tratados somente em um foi utilizada a formulação singular. O exemplo em questão é bastante simples, no entanto em exemplos com maior grau de complexidade do estado de tensão atuante na estrutura os resultados não são satisfatórios.

Os procedimentos desenvolvidos de determinação da trajetória de crescimento das fissuras bem como de otimização de malha mostraram-se muito estáveis levando a resultados precisos.

6 AGRADECIMENTOS

7 REFERÊNCIAS

BLANDFORD, G. E; INGRAFFEA, A. R; LIGGET, J. A. Two-dimensional stress intensify factor

computations using the boundary element method. Int. J. Num. Meth. Engn., v. 17, p. 387-404, 1981. CEN, Z; MAIER, G. Bifurcations and instabilities in fracture of cohesive-softening structures: a

boundary element analysis. Fatigue Fract. Engng Mater., v. 15, p. 911-928, 1992.

CRUSE, T. A. Numerical Evaluation of elastic stress intensity factor by the boundary –integral equation method. In: SWEDLON, J. L., (Ed.). The surface crack: physical problems and computational

solutions. New York, 1972.

CRUSE, T. A. Boundary element analysis in computational fracture mechanics. Dordrecht: Computational Mechanics Publications, 1988.

ERDOGAN, F; SIH, G. C. On then crack extension in plates under plane loading and transverse shear. J. Basic Engng., v. 85, p. 519-527, 1963.

GODEFROID, L. M; LOPES ,M; AL-RUBAIE, K.S. (2004). Tenacidade à fratura e propagação de trinca de fadiga de uma superliga INCONEL 600, Revista Matéria, v.9, p. 315-324, 2004.

LEONEL, E. D. Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos

multi-fraturados. 2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2006.

MI, Y. Three-dimensional analysis of crack growth. Topics in Engineering, v.28, Comp. Mech. Publications, 1996.

PORTELA, A; ALIABADI, M. H; ROOKE, D. P. Dual boundary element method: efficient implementation for cracked problems. Int. J. Num. Meth. Engn., v. 33, p. 1269-1287, 1992.

VENTURINI, W. S. A new boundary element formulation for crack analysis. In: BREBBIA, C. A. (Ed.). Boundary element method. v. 16. Southampton/Boston: Computational Methods Publ., p. 405-412, 1997.