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MINIATURIZAÇO DE NANOMAGNETOS COM ESTADO DE

VÓRTICE UTILIZANDO-SE FERROMAGNETOS TOROIDAIS

Tese apresentada à Universidade

Federal de Viçosa, omo parte das

exigên ias do Programa de

Pós-Graduação em Físi a, para

obtenção do título de Do tor

S ientiae.

VIÇOSA

MINAS GERAIS - BRASIL

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numa or um éu profundo

ter namão a innidade

num minuto a eternidade...!

•

À omissão orientadora, por tudoo que meensinou epelo in entivo.

•

Aosmeus lhos Pedro eGiulia,que me amaramsempre,mesmo om adistân ia de um paique estava quase sempre em asa, entretando distantedela.

•

A minha esposa Josemeire, que mea ompanhou ( om amores e desamores) du-ranteum períodode grandes di uldadesafetivaseprossionais. Essa onquista

é nossa.

•

A minha mãe, que meapoiou emtodos osmomentos de minha vida.

•

Aos meus amigos de Senhor do Bonm, que mesmo estando distantes, sei que estão tor endo pormim.

•

Aos professores Sílvio e José Arnaldo, por tudo o que me ensinaram no período de nivelamento, sem o qualnão teria segurança de seguirem frenteno urso.

•

AoDepartamentodeFísi adaUniversidadeFederalde Viçosa,quemedeu opor-tunidade de ingressar no urso de Pós-Graduação em Físi a Apli ada, mesmo

om minha pou a formação formalnaárea.

•

Aos professores e olegasda Físi a.

•

À direção doInstituto Federal de Edu ação, Ciên ia eTe nologiaBaiano, Cam-pus: Senhor doBonm, pelaoportunidade e onança.

Lista de Figuras vii

Resumo viii

Abstra t ix

1 Motivação para o desenvolvimento do trabalho 1

2 Modelo teóri o 14

2.1 Breve introdução àteoria domagnetismo . . . 14

2.2 Modelo para o ál ulodaenergia . . . 20

2.3 Geometria do toro . . . 22

2.4 Conguraçõesmagnéti as estudadas. . . 25

3 Ex itações topológi as de spins no toro 27 4 Congurações de mínima energia em nanomagnetos toroidais 34 4.1 Resultados analíti os . . . 34

4.1.1 Energiade tro a . . . 34

4.1.2 Energiamagnetostáti a . . . 36

4.2 Resultados numéri ose dis ussões . . . 38

4.3 Estabilidade do vórti e na presença de um ampo magnéti o . . . 43

5 Con lusões e perspe tivas 47

A Obtenção da equação (4.2) 49

C.1 Avaliaçãoda eq. (4.3). . . 53

C.1.1 Avaliaçãodas eqs. (4.4) e (4.5) . . . 54

1.1 Imagem de uma suspensão de mi rodis os magnéti os. . . 3

1.2 Con eito de destruição de élulas de ân er via magnetome âni a. . . . 3

1.3 Prin ipais ongurações en ontradas emnanomagnetos ir ulares. . . . 4

1.4 Nanomagnetos produzidosexperimentalmente. . . 7

1.5 Estados de polarizaçãodovórti e emum nanodis o. . . 9

1.6 Representações de nanoestruturas de arbono (nanotubose nanotoros). 11 2.1 Representação esquemáti a de tiposde materiaismagnéti os. . . 17

2.2 Densidade de estadospara elétrons om spin up e down. . . 19

2.3 Aparên ia de um toro embebidonum espaço tridimensional. . . 23

2.4 Tipo mais omum de toro, o toro dotipoanel. . . 24

2.5 Algumas onguraçõesmagnéti as onsideradasneste trabalho. . . 25

3.1 Grá o daenergia em função de

R

para o aso de um vórti e notoro. . 32

4.1 Energia de tro a omo uma função darazão,

R/r

. . . 35

4.2 Representação de um toroide o o. . . 37

4.3 Energia magnetostáti a dos estados ferromagéti os aolongo de

z

e

xy

.. 39

4.4 Ilustraçõesde ongurações tipo ebola. . . 40

4.5 A energia total orrespondente aovórti e, ebola e DU

xy

(

q = 1

). . . . 41

4.6 Diagrama de estadospara nanotoros magnéti os. . . 42

4.7 Diagramas de estado para um toroide o o. . . 42

4.8 Valores de ampomagnéti o que desestabilizamo estado vórti e. . . 45

4.9 Energia dovórti e nonanotoro para

r = 1, 2, 5, 10 e 20

nm. . . 45

SANTOS,Vagson Luiz de Carvalho,D.S .,UniversidadeFederaldeViçosa,fevereiro

de

2010

. Miniaturização de nanomagnetos om estado vórti e utilizando-se ferromagnetos toroidais. Orientador: Winder Alexander de

MouraMelo. Co-Orientadores: AfrânioRodriguesPereiraeDanielHeberTheodoro

Fran o.

O ál ulo da energia asso iada às ongurações de magnetização

ferromagné-ti a, vórti eeestado ebolasão expli itamente omputadospara ageometriatoroidal.

A análise dos dados revela que o vórti e apare e omo o estado mais provável,

mini-mizando a energia total em todo toroide om raio interno

r & 10 nm

, oumesmo para

raios internosmenores, segarantirmosque

R/ℓ

ex

&

1, 5

(

R

é oraioexterno dotoroide e

ℓ

ex

é o omprimento de tro a). A possibilidade de obtermos nanomagnetos muito pequenos ontendo um estado tipo vórti e deve ter importân ia emapli açõesem

ló-gi a binária e/ou armazenamento de dados e em novos me anismos de apli ações em

SANTOS,VagsonLuizde Carvalho,D.S .,UniversidadeFederaldeViçosa,February,

2010

. Miniaturization of vortex- omprising system using ferromagneti nanotori. Adviser: Winder Alexander de Moura Melo. Co-Advisers: Afrânio

Rodrigues Pereira and Daniel HeberTheodoro Fran o.

The energeti s asso iated to the ferromagneti , vortex and onion-like

magneti-zation ongurations are expli itly omputed in the toroidal geometry. The analysis

reveals that the vortex appears to be the most prominent of su h states, minimizing

total energy in every torus with internal radius

r & 10 nm

, or even in smaller ones

provided that

R/ℓ

ex

&

1.5

(

R

is the torus external radius and

ℓ

ex

is the ex hange length). This possibility of having very small nanomagnets omprising a vortex-type

state,mighthaveimportan einhigherdensitybinarylogi and/orstorageandinnovel

Motivação para o desenvolvimento do

trabalho

Há milhares de anos, a uriosidade humana nos levou à des oberta do

magne-tismo,e,pormuitossé ulos,o onhe imentodaspropriedadesmagnéti asdosmateriais

tem estimulado o progresso ientí o e te nológi o. Por um longo tempo o prin ipal

fo o de pesquisa estava rela ionado ao magnetismo ma ros ópi o, isto é, às

proprie-dades eapli açõesemsistemasgrandes, omo asapli açõesde magnetos embússolas,

geradorese motoreselétri os,as quaissetornaram possíveisgraçasao ampo

geomag-néti oe à habilidade de eletromagnetos e magnetos permanentes emrealizartrabalho

me âni o. Ointeresseemestudarosfenmenosmagnéti osemes alaatmi a omeçou

a partir do desenvolvimento da Me âni a Quânti a, o que nos ajudou a ompreender

a interação de tro a de origem quanto-me âni a, a interação om o ampo ristalino

e o a oplamento spin órbita relativísti o. Tais fenmenos só foram des obertos na

primeira metade do sé ulo passado, abrindo aminho para que eles fossem utilizados

em apli ações práti as e te nológi as na atualidade. Entretanto, apenas nas últimas

dé adas, ou laroqueomagnetismoemestadosólidoéumfenmenonanoestrutural.

A importân ia ientí a e te nológi a de nanoestruturas magnéti as tem três razões

prin ipais[1℄:

•

Há uma grande variedade de estruturas om propriedades físi as interessantes, desdenanomagnetosqueapare emnaturalmentenanaturezaaténano ompósitos

relativamentefá eis de produzir para apli açõesque demandam nanoestruturas

arti iais.

•

O nanomagnetismo tem aberto aminhopara te nologias ompletamentenovas.

Nesse ontexto,onanomagnetismovemdespertandograndeinteresse ientí oe

te nológi o. Espera-se,dentre outras onsequên ias,inúmeraspossibilidadesde

apli a-çõesutilizandonanoestruturas,bem omo,dopontode vistafundamental,umamelhor

ompreensãodas propriedadeselementares demateriaismagnéti osestruturadosnessa

es ala de tamanho. De fato, o avanço na te nologia de fabri ação de estruturas em

es ala mi roe nanométri aabriuapossibilidadede estudarestruturas quese

ompor-tam omo sistemasmagnéti osquase unidimensionais, osquaisexibemuma variedade

de estadosmagnéti osinteressantes, ompossíveisapli açõesemelementoseletrni os.

Comoexemplo,podemos itarapli açõesemmemórialógi a,armazenamentode dados

e sensores de alta sensibilidade [2℄, mais espe i amente, a melhoria na performan e

e apa idade de dis os rígidos deverá demandar que sua própria estrutura venha a

ser omposta por arranjos de nanoelementos magnéti os [3, 4℄, os quais já têm sido

onsiderados omo onstituintes de memória de omputadores [5℄. Tal interesse tem

sido renovado e reforçado em virtude dare ente proposta de utilizar mi rodis os om

vórti es magnéti os omo estado fundamental (Fig. 1.1) em terapias anti- ân er [6℄.

Nesta proposta,háainduçãode umatritome âni odevidoaos ilaçãodosmi rodis os

medianteum ampomagnéti o apli ado om frequên iade algumasdezenas de Hertz.

Tal pro edimento pare e ativar ertos anais de ál io intra elular que desen adeia a

programação da morte da élula (apoptose) (Fig. 1.2). Frequentemente, apli ações

te nológi as de nanomagnetos são baseadas emnovosme anismos magneto-eletni os

que demandam o ontrole de estados estáveis de magnetização, omo domínios

úni- os, paredes de domínio, vórti es, et . Além disso, esses magnetos são um ex elente

laboratórioexperimental para seestudar teoremas fundamentaisem magnetostáti a e

mi romagnetismo [7,8℄.

O omportamentodos materiais magnéti os depende não apenas de sua

estru-tura mole ular, mas também da geometria e da ompetição entre as energias

mag-netostáti a, de tro a e de anisotropia. Com relação a isso, um dos teoremas mais

fundamentaissobre estruturas magnéti as é por onta devido a Brown [9, 10℄, o qual

estabele e quepor ausa da ompetiçãoentre aenergiamagnetostáti a e ade tro a, a

formação de multidomínios deveria ser suprimidapara partí ulas muito pequenas, de

magnéti os de Permalloy utilizados emexperimentos para tratamento de élulas

an- erígenas. Osdis os têm espessura da ordemde

60

nm e diâmetro

∼ 1µ

m. A amostra

foi preparada viamagnetron sputtering e litograaóti a (retiradode [6℄).

Figura 1.2: Con eito de destruição de élulas de ân er via pro essos

magnetome â-ni os. Os mi rodis os são biofun ionalizados om anti orpo anti-humano-

IL13α2R

,

espe i amente atingindo élulas de glioblastoma humano (uma forma agressiva de

ân erde érebro). Quandoum ampomagnéti o alternadoéapli ado,os dis os

mag-néti osos ilam, omprometendoaintegridadedamembranaeini iandoamorte elular

ir ulares. A gura da esquerda mostra, esquemati amente, o estado de vórti e no

nanodis o, aopasso queàdireita,vemosuma representaçãodoestado ebolanoplano

do dis o, o qual onsiste em uma onguração de domínio úni o om um pequeno

desviodadireçãoparalela. Ovórti eapare eemnanomagnetossu ientementegrandes

(diâmetro daordemde

90 nm

emnanodis osde Permalloy). Umoutroestadopossível

onsiste na onguração de domínio úni o perpendi ular ao plano do dis o quando a

espessura

t

do mesmoé su ientemente grande (

t ≈ 1, 8R

[18℄.)

Entre os possíveis estados magnéti os para nanomagnetos ir ulares, a maioria

dos trabalhos dá atenção a três deles: a onguração vórti e, onde a magnetização

forma uma estrutura de ir ulação de spins, sem pólos magnéti os; domínio úni o, o

qual apare e emnanomagnetos alongadosoumuitopequenos, sendoque osmomentos

magnéti osestão ompletamentealinhados;eoestado ebola, onsistindodeumestado

de domínioúni o om uma pequena não-uniformidade(momentosmagnéti osnão são

paralelos entre si) namagnetização próximaàs bordas domagneto (Fig. 1.3). O fato

dessas três onguraçõesseremasmaisestudadasteori amentesedeveasuaapli ação

tantoemtrabalhos experimentaisquantoemmi rosimulação. Taistrabalhos mostram

que essas são as onguraçõesque apare em ese mantêm estáveis emnanomagnetos.

Inúmerostrabalhos têmsededi ado adeterminar a onguraçãoda

magnetiza-ção que minimizaa energia em nanomagnetos. Dentre as diversas geometrias

estuda-das, as retangularese ilíndri assão aquelas que têm re ebido mais atenção, uma vez

que sua simpli idade geométri a as torna de mais fá il fabri ação e, eventualmente,

apontam quea onguração vórti e setorna o estado de menor energiaquando o raio

donanomagnetoémaiordoqueumraio ríti o

R

C

(daordemde

45 nm

parao Permal-loy). Nos nanodis os, o vórti e apresenta um nú leo, o qual se forma para evitar um

aumento exa erbado da energia de tro a. Dessa forma, por ausa do alto usto tanto

daenergiamagnetostáti adevidoa argasmagnéti assuper iaisquantodaenergiade

tro aasso iadaatalestrutura,essevórti etendeasedesestabilizaremnanodis os om

a redução de seu raio ou aumento daespessura [13℄. Estudos experimentaismostram

que nanodis os ir ulares de obalto (Co) e de Permalloy (Py) 1

(FeNi, na proporção

aproximada de 20% de ferroe 80%de níquel),o vórti eé estável para diâmetros

> 90

nm e espessura

< 15

nm [13, 14℄.

A instabilidadedo vórti e om a redução doraio tambémé uma ara terísti a

de nanoanéis, os quais onsistem em nanodis os ilíndri os om um bura o entral.

Entretanto, apresença desse bura oimpede a formação donú leo, tornando ovórti e

uma estrutura maisestávelnessa geometria, fazendo om queodiâmetro ríti o

dimi-nua para valores da ordem de

50

nm, om espessura ríti a

∼ 5 − 6

nm. Nanoanéis

ideais devem ter não somente um raio interno e externo bem denidos, mas também

umaespessurapequenaosu ienteparatornara onguraçãovórti eestável[15℄,uma

vez que, omoaumentodaespessura,a onguraçãoferromagnéti anadireçãodoeixo

z

, apontando perpendi ularmente ao plano do anel, torna-se energeti amente favorá-vel. Krav huk et al [16℄ mostraram, em um estudo teóri o detalhado que, quando o

raiointernodonanoanel ésu ientemente grande,nãoháoapare imentode nenhuma

omponente fora do plano para o vórti e. No entanto, quando o valor desse raio

in-terno de res e, atingindo um valor ríti o, há o apare imento de uma omponente

fora do plano, a qual não é perpendi ular ao plano do anel. Quando o raio interno

é zero, esta omponente desenvolve seu valor máximo, sendo perpendi ular ao plano

do nanomagneto (ou seja, temos novamente um nanodis o sem bura o). Zhu et al.

[15℄ produziramnanoanéis ferromagnéti osassimétri os (em que obura o interno não

é entral, mas deslo ado em direção à borda) e mostraram que assim omo nanoanel

simétri os,quandoessessãomuitograndes, ovórti eéoestadoqueminimizaaenergia

1

O Permalloy, Fe

_x

Ni

1

−

x

; om

x

∼ 15 − 25%

é um dos materiais mais utilizados na indústria magnéti a. Aspropriedadesmagnéti asdoPermalloyvêmdasua onstituiçãoquími a,umavezque

oFeeoNisãodoisdosmateriaisquesatisfazemao ritériodeStonerparaomagnetismo,oqualserá

dis utidomais adiante. Além disso, oCo,quetambémsatisfaz ao ritériode Stoner,éummaterial

externo, aspropriedades de inversão da polaridadedo nú leo do vórti e dependem da

direção do ampomagnéti o apli ado.

Beleggia et al. [18℄ obtiveram,a partir de um tratamento puramenteteóri o, o

diagramade fasesparaa onguraçãoqueminimizaaenergiaemfunçãodarazãoentre

os raios externo e interno e a espessura do nanoanel. O estado ebola foi onsiderado

numtrabalhoposteriorporLanderosetal. [19℄,noqualosautorespropuseramum

mo-deloteóri oparaessa onguração. Eles on luiramque,quandoa onguração ebola

é estável, odesvio damagnetizaçãodoestado de domínioúni oémuito pequeno, om

uma modi ação irrelevante no diagrama de fases obtido por Beleggia et al. [19, 20℄.

Ainda parao asode nanoanéis,Zhanget al. [21℄usaramomodelode análisede es ala

para onstruirumdiagramadefasesparananoanéisenanopartí ulaselípti as,obtendo

diagramas de fases que on ordam bem om aqueles obtidos experimentalmente, bem

omo, por outras té ni as numéri as.

Re entemente,ageometriaesféri atambémtemsido onsideradaeseudiagrama

de fasesforaobtido pormeio de ál ulosanalíti osesimulaçõesmi romagnéti as[22℄.

Assim omo no aso de nanoanéis e nanodis os, o vórti e torna-se um estado

instá-vel quando o raio da esfera é muito pequeno (da ordem de

35 nm

para o Permalloy),

tendo neste aso, o estado ebola omo a onguração que minimiza energia. Além

de nanomagnetos ir ulares re eberem atenção, ela também tem sido dada a

nanoes-truturas retangulares, nas quais, em geral, o estado de Landau se faz presente omo

onguração fundamental [5, 23℄. Na Fig. 1.4 vemos alguns exemplos de geometrias

de nanomagnetos produzidosexperimentalmente.

Sabe-se que a energia total de um magneto om magnetização arbitrária não

é fá il de ser al ulada, mesmo assumindo-se uma geometria simples e anisotropias

muito pequenas. Com essas simpli ações, restamapenas as ontribuiçõesda energia

de tro a e magnetostáti a a serem avaliadas [8,24℄. Em geral, a energia

magnetostá-ti a é muito difí il de ser omputada devido às interações entre dipolos, as quais são

de longo al an e. Para ongurações espe iais, omo vórti es ou estados alinhados,

e/ou geometrias simples, omo aquelas sem urvatura, por exemplo, planar ou

ilín-dri a, sua avaliação é simpli adae, algumas vezes, pode ser omputada exatamente.

Para situações mais gerais, as ferramentas disponíveis nos permitem apenas realizar

aproximações, omo por exemplo, tomar o magneto omo um ontínuo (tratamento

analíti o) e/ou avaliar numeri amente para a energia [8℄. Para os asos espe í os

(b), pode-se ver nanodis os magnéti os om diâmetro da ordem de 1

µ

m. Abaixo, a

esquerda vemos nanoesferas om raio da ordem de 150 nm. À direita, um arranjo de

talmente [4℄. No aso de outras geometrias, um onhe imento mais detalhado ainda

está em desenvolvimento, embora alguns trabalhos explorando outras geometrias já

venham sendo realizados om nanoesferas magnéti as [22℄, nanoos [25℄, nanotubos

[26℄ enanoanéis [27℄.

Quando pensamos em me anismos magneto-eletrni os baseados em estados

tipo vórti e, omo por exemplo aqueles para memória lógi a ou armazenamento de

dados, um assunto de grande importân ia está rela ionado à miniaturização de ada

nanomagneto e, onsequentemente, de um arranjo ontendo um grande número deles.

Já que elementos de memória baseados em transistores têm atingido omprimentos

abaixo da es ala de

100 nm

por elemento, me anismos nanomagnéti os baseados em

vórti es deveriam ofere er real poten ialidade de suportar taisestados estáveisem

es- alas muito menores, isto é, em es alas no máximo em torno de

20 − 30 nm

. Dessa

forma, existe um problema envolvendo nanodis os produzidos om materiais de

pe-quena anisotropia, onde a estabilidade do vórti e é perdida se o raio do dis o atinge

um valormenorque

∼ 45 nm

(valorparaodis odePermalloy omespessurade

10 nm

)

devido ao alto usto da energia de tro a requerido pelo nú leo do vórti e [13℄. Como

foi dito anteriormente, para remediar essa situação par ialmente, introduz-se um

bu-ra o no entrododis o, obtendo assim um nanoanel, onde um estadovórti e deve ser

estabilizado a tamanhos menores (raio externo

∼ 20 nm

, om raiointerno e espessura

em torno de

10 nm

) [18℄. Fisi amente, a presença do bura o torna desne essária a

formação donú leo, diminuindoassimo usto daenergiade tro a onsideravelmentee

dando uma estabilidadeextra, mesmoaes alas menores. Entretanto, om o

desapare- imento do nú leo, perde-se imediatamente a polarização dovórti e, restando apenas

a quiralidade (sentido de rotação de dipolos, horário ou anti-horário). Além disso, a

dinâmi a de dipolos na borda pode omprometer a estabilidade do vórti e devido a

grandesutuaçõesde argasmagnéti assuper iais,

σ

mag

= ~

M · ˆn

,umavez quenesses pontoso vetor normal

n

ˆ

não é bem denido (em outras palavras,a urvatura diverge

nas bordasdodis oedobura o). Taisutuaçõesdevemserevitadasde algumaforma,

assim omo seus efeitos minimizados. Por exemplo, se o bura o for muito grande, tal

que a largurado nanoanel seja su ientemente pequena, istoé, menor que otamanho

de uma parede de domínio,em torno do omprimentode tro a (

ℓ

ex

∼ 5 − 6 nm

, para Permalloy), garantimos que nenhum nú leo do vórti e pode ser formado no nanoanel

mos asso iar a ada um desses estados um bit de informação, por exemplo, 0 ou 1

onforme o dipolo no nú leo do vórti e esteja apontando para ima ou para baixo,

respe tivamente. Além da polarização, em nanodis os há a possibilidade de ontrole

da quiralidade do vórti e, deixando-nos assim, om um elemento magneto-eletrni o

quepoderiaarmazenar doisbits de informação. Emnanoanéis, apresençadobura o

entralimpedeaformaçãodonú leo,restandoapenasaquiralidadepara,porexemplo,

ser usada omo me anismo de armazenamentode dados.

Oproblema teóri odaminimizaçãodaenergiamagnéti aé onhe ido omo

mi- romagnetismo[8,10℄, oqual onsistenuma aproximação teóri a emque o materialé

des rito omo um meio ontínuo, o que impli aque essa aproximação é válida apenas

se as dimensões do magneto são muito grandes quando omparadas ao parâmetro de

rede [8℄. O estado magnéti o do sistema é denido pelo vetor magnetização, que é

uma função daposiçãoe seu valoréassumido omo sendoaquele damagnetizaçãode

saturação

M

S

(T )

emtodos os pontos. A fundamentação teóri ado mi romagnetismo se deve a Landau e Lifshitz [28℄ e pou as soluções analíti as são onhe idas a partir

desse formalismo teóri o devido a omplexidade das equações envolvidas. Por ausa

dessadi uldade,simulaçõesmi romagnéti assetornaramumaimportanteferramenta

para investigarproblemas rela ionados om oestado que minimizaa energiatotal em

nanomagnetos. Entre os programas públi os utilizados para realizar mi rosimulações

resolvendoaequaçãodeLandau-Lifshits-Gilbert,o ódigoOOMMF[29℄temsido

utili-zadoem umagrande quantidadede trabalhos. Outros exemplosde mi rossimuladores

são Amumag [30℄, Simulmag[31℄, Magpar [32℄ eLLG [33℄ osquais têm sido utilizados

para realizar simulações e determinar, por exemplo, o estado fundamental magnéti o

para uma dada geometria. No entanto, tais mi rossimuladores não são úteis apenas

em situações estáti as e também podem ser utilizados para estudar a dinâmi a da

aproximação de es ala, a qual onsiste em um modelo de rede dis reta de momentos

magnéti os. Com o objetivo de avaliara energia total do nanomagneto, é feita a

pro-posição de uma mudança de es ala para a energia de tro a por um fator

x ≤ 1

, ou

seja, tro ar

J

por

xJ

na expressão para a energia total. Nesse aso, a dimensão da

espessura domagnetosimuladoparaoqualopontotriplo 2

o orrepassa aser

t

′

_{= Ax}

η

,

onde

η ≈ 0, 55

e

A = 91, 1

nm, enquanto o número de átomos no ponto triplo es ala

om

x

de a ordo om a relação

N = N

0

x

3η

, om

N

0

≈ 6, 5 × 10

7

[34, 35℄. Em alguns

trabalhos que utilizam essa té ni a, pde-se obter o diagrama de fases para sistemas

omdimensões omparáveisàquelesestudadosexperimentalmente, ujonúmerode

mo-mentos atmi os é muito grande, fazendo om que simulações omputa ionais om a

te nologia atual setornem proibitivas[34℄. De fato,emnanomagnetos om dimensões

omparáveis àquelas obtidas experimentalmente (por exemplo, nanodis os ilíndri os

om espessura

L ∼ 15 nm

e raio

r ∼ 100

nm), teríamos um número

N

de

molé u-las da ordem de

10

8

, e o tempo ne essário para simulações omputa ionais aumenta

onsideravelmente om esse número.

Apesar da grande quantidade de trabalhos dedi ados a estudar a estabilidade

de diferentes ongurações magnéti as, a geometria toroidal ainda permane e

prati- amente inexplorada, o que, par ialmente, deve estar asso iado ao fato de nanotoros

magnéti os ainda não terem sido produzidos experimentalmente. Outro motivo pode

ser ofatodageometria toroidalser inerentemente urva, om urvaturavariávelponto

a ponto. No entanto, essa geometria tem re ebido onsiderável atenção em outras

áreas. Por exemplo, em armadilhas para ondensados de Bose-Einstein, dentro dos

quais os átomos desenvolvem omportamento quase unidimensional sujeitos a

ondi-ções de ontorno periódi as [36, 37℄. Além disso, estruturas que se assemelham a

nanotoros já foramproduzidas através de um pro esso que envolve a redução de íons

de prata onhe ido omo ele troless [38℄. Do ponto de vista da produção de

nano-magnetos toroidais, a fabri ação de nanotoros de arbono [39℄ trouxe a possibilidade

da obtenção dessas estruturas,abrindouma novaperspe tivanessa área, uma vez que

pode haver a possibilidade de obter taisnanomagnetos viaen apsulação de um

mate-rial magnéti o dentro dos nanotoros de arbono, o que já fora obtido para nanotubos

de arbono na Ref. [40℄. Teori amente, nanotoros de arbono podem ser formados

pela junção de duas pontas de nanotubos de arbono onven ionais [41℄. Então,

as-2

Pontotriploéopontonoqualastrês onguraçõesemestudo(vórti e,domínioúni onadireção

bono. No entro e à direita, observamos a representação de nanotoros onstruídos a

partir de nanotubos ondutores e semi ondutores, respe tivamente. Abaixo,

observa-mos imagens de mi ros ópio de tunelamento eletrni o de nanotubos de arbono om

multi amadas (NCMC) preen hidos om diferentes tiposde nanoos ferromagnéti os,

exibindo um alto grau de ristalinidade nas paredes do nanotubo. (a) Nanoo de Fe

dentro de NCMC; (b) Imagem de um nanotubo de arbono preen hido o Permalloy;

( ) e (d) Imagens de um nanoo de FeCo en apsulado por um nanotubo de arbono

altamente ristalino; (d) Imagem mostrando uma ampli ação de ( ), onde o plano

(110) FeCo pode ser visto ao longo da direção (111), e apare e paralelo à G (002),

sugerindouma direçãopreferen ialde res imentodonanoodentrodotubo(retirado

de ontençãoparaapli açõesemnanobini aenanobiométri a[42℄,aen apsulaçãode

materiaismagnéti osemnanotorosde arbonopoderiaserrealizadaparaapli açõesem

magneto-eletrni a,dentre outras possibilidades. Ésabido quepara nanotoros de

ar-bono formados a partir de nanotubosmetáli os pode o orrer um fenmeno onhe ido

omo paramagnetismo gigante a temperaturas próximo de 0

K

, enquanto nanotoros

formados a partir de nanotubossemi ondutores exibemum diamagnetismofra o[43℄.

Noentanto,paramagnetismogiganteéumfenmenoqueo orreapenasatemperaturas

muitobaixas, oqueimpli aquetantoosnanotorosmetáli osquantoossemi ondutores

poderiamser andidatos aen apsular materiaismagnéti os sem uma grandemudança

nas propriedadesmagnéti as donanomagnetoa temperaturas signi ativamentealtas

(temperaturaambiente). Éimportantenotarque,alémdaspropriedades ondutorasdo

nanotoro de arbono, efeitos de urvatura e desordem inuen iam no omportamento

magnéti o dessas estruturas, no entanto, taisefeitos não são muito grandes etambém

só apare emparabaixas temperaturas[41,44℄. Outraspossibilidadespara aprodução

de nanotorosmagnéti os poderia ser aen apsulação de um materialmagnéti odentro

de membranas biológi as que se assemelham a toros, as quais têm sido observadas,

porexemplo, emum grande número de proteínas envolvidas nometabolismode DNA

[45℄. Finalmente, nanotoros magnéti os poderiam ser obtidos en urvando-se nanoos

magnéti os, uja produçãotem sido reportada emdiversos trabalhos [46℄.

Além dos diversos trabalhos experimentaisque são reportados, sistemas om a

geometria toroidal têm sido, por sua vez, estudados teori amente om o objetivo de

entender algumas propriedades físi as nessa geometria. Por exemplo, a aproximação

ontínuadomodelo deHeisenberg foi usadapara obteraenergiade ex itações

topoló-gi as de spins (sólitonsevórti es)nasuperfí iedotoro [47,48℄,bem omo determinar

a onguração de mínima energia para a magnetização no nanotoro [53, 54℄. Além

disso, o poten ial eletrostáti o foi al ulado para um ondutor toroidal arregando

uma orrente azimutal [49℄. Tal poten ial fora determinado também para se estudar

fenmenos de absorção ópti a em nanopartí ulas metáli as toroidais [50, 51℄.

Retor-nandoadis ussãodosnanotorosde arbono, ál ulosteóri osbaseadosnaminimização

daenergialivrepodem determinarqualodiâmetroótimode toros onstruídosapartir

de nanotubosde arbono de paredesimples [52℄.

Dessaforma,propomosuma análiseteóri apara determinara onguraçãodos

estados estáveis em nanotoros ferromagnéti os. São onsideradas três ongurações

plano

xy

. Aenergiade adaumdessesestadosédeterminadaanaliti amenteemfunção

dos raios externo

R

e interno

r

do toro. O estadofundamentalé dado por aquele que

minimizaasomadas ontribuiçõesdaenergiade tro aemagnetostáti aparaum dado

par (

r, R

). Parti ularmente, veri amos que a onguraçãoferromagnéti a nadireção

doeixo

z

nãotem estabilidadeemnanomagnetos toroidais. Construimosum diagrama

de fases mostrando oestado esperado emfunção de (

R, r

). Tal diagramaindi aque o

vórti e é uma onguração altamente estável nessa geometria para

r & 10

nm,

impli- andoque,provavelmente, oestado ebolanoplanonãodeveráapare er emnanotoros

produzidosexperimentalmente om a te nologia disponívelatualmente. Umavez que

há dois estados equivalentes de vórti e asso iados om a quiralidade (sentido

horá-rio ou sentido anti-horário), temos a possibilidade de armazenar bits de informação

asso iando-se

0

e

1

ataisestados, tornandoessa estruturamuitointeressante, in lusive

do ponto de vista apli ado. De fato, omo foi dito anteriormente, essa onguração

tem sido proposta omo andidata a armazenamento de dados em nú leos de

memó-ria e há trabalhos teóri os e experimentais investigando o me anismo de inversão da

quiralidade e polaridade de vórti es tanto em nanoanéis [55℄, quanto em nanodis os

ilíndri os[56℄. Desse modo,oestudodas propriedadesmagnéti asde nanotoros

ferro-magnéti ospode viraser degranderelevân ia,umavez quenanotorosapresentandoo

vórti e omo estado fundamental podem ser produzidos, e o estudo do me anismo de

inversãoda quiralidadedovórti epoderia trazera possibilidadede um novo elemento

magneto-eletrni o para armazenamento de dados. Além disso, a miniaturização de

nanoelementosmagnéti os om a onguraçãovórti e omoestadofundamental ria a

Modelo teóri o

2.1 Breve introdução à teoria do magnetismo

A palavramagnetismotem suaorigemligada aonomede uma idadedaregião

da Turquia que era ri a em minério de ferro, a Magnésia. A palavra surgiu durante

a Antiguidade e está asso iada à apa idade que fragmentos de ferro têm de serem

atraídospelamagnetita,um materialen ontrado naNatureza,de omposição quími a

Fe

3

O

4

. Os fenmenos magnéti os foram os primeiros a despertar a uriosidade do

homem sobre o interior da matéria [57℄. Os primeiros relatos de experiên ias om a

magnetita são atribuídos aos gregos edatam de

800

a.C.

Apesarde ter sidodes oberto muito edo,oestudodomagnetismosósetornou

mais sistemáti o no sé ulo XVII, a partir de estudos realizados pelo médi o inglês

William Gilbert. O interesse ini ial de Gilbert pelos fenmenos magnéti os

deveu-se, em parte, às renças de sua épo a, pois a reditava-se que omo um ímã poderia

interagir om alguns materiais, produziria também ertos efeitos urativos no orpo

humano [58℄. No entanto, em seu livro De Magnete Magneti isque Corporibus et de

MagnoMagneteTellure (Sobreo ímã,osCorpos Magnéti oseo Grandeímã,aTerra),

Gilbert só des reveu as propriedades magnéti as dos ímãs e apresentou sua teoria de

que a Terra se apresenta omo um grande ímã.

Durante maisde dois sé ulos atentativadohomem ementender anatureza do

magnetismofoifrustradadevidoà omplexidadedessefenmeno. Só omoadventoda

Me âni aQuânti apde-se ompreendereexpli araorigemdomagnetismo,bem omo

diversas propriedades e ara terísti asdo omportamento magnéti o dos materiais.

Osprin ipaisobjetivosdapesquisa queos ientistas têmnesse amposão a

ompreen-são das origens mi ros ópi as das propriedades magnéti as dos materiais, des oberta

de novos materiaise fenmenos, o estudo das propriedades termodinâmi as e das

ex- itações elementares dos materiaismagnéti os, bem omo odesenvolvimentode novas

apli açõeste nológi as [59℄.

Existem três quantidades importantes para a des rição do magnetismo na

ma-téria: o ampo

H

, o ampo magnéti o

B

e a magnetização

M

. No vá uo, o ampo

magnéti o édiretamentepropor ionalao ampo

H

,ou seja,

B

= µ

0

H,

(2.1)

ondea onstantede propor ionalidade

µ

0

éapermeabilidademagnéti a. As quantida-des

B

e

H

estão rela ionados somente om a densidade de orrente elétri a

J

~

, e suas

intensidades podem ser determinadasa partir daexpressão de Biot-Savart(no regime

não-relativísti o:

v/c ≪ 1

):

B(~x) =

µ

0

4π

Z

_J

(x

′

_{) × (x − x}

′

₎

|x − x

′

_|

3

d

3

_x

′

_,

(2.2)

onde aintegração éfeita sobre todaa região da orrente.

Na presença de um meio magnéti o,o ampomagnéti o não terá mais aforma

simples da equação (2.2), pois o meio responde à presença do ampo magnéti o om

umamagnetização

M

que ontribui tantopara

B

quantopara

H

. Dessaforma,dentro

de um meio material,

B

e

H

devem diferiremmagnitude edireção devido a

magneti-zação

M

:

B

= µ

0

(H + M).

(2.3)

Se amagnetizaçãoélinearmenterela ionadaao ampo

H

,osólidoéditolinear,

istoé,

M

= χH

, om

χ

sendo asus etibilidademagnéti a. Nessa situação,existe uma

relaçãolinear entre

B

e

H

:

B

= µ

0

(1 + χ)H = µ

0

µ

r

H,

(2.4)

om

µ

r

= 1 + χ

sendo a permeabilidaderelativadomaterial.

Mi ros opi amente, a expli ação das propriedades magnéti as adquiridas por

um orpo está asso iada à existên ia de elétrons que se movemem torno dos nú leos

dos átomos, bem omo ao momento angular intrínse o dos elétrons (spin). A

de momentosde dipolomagnéti os porunidade dovolume domaterial:

M

= lim

∆V →0

1

∆V

X

i

µ

i

.

(2.5)

Podemos notar, a partir de uma análise da equação (2.5), que para haver

magnetiza-ção éne essário queexistam momentos de dipolomagnéti os

µ

i

equeestes, namédia,

apontemnamesmadireção,oqueo orreseum ampomagnéti oatuarnosistemae/ou

atemperaturaforsu ientementebaixa. Experimentalmente,as urvasde

|M|

vs.

|H|

ou

|B|

vs.

|H|

trazeminformaçõessobreadureza magnéti a domaterial,sua

anisotro-pia ristalina, o ampo de oer isividade, a magnetização remanente, et . [8, 24, 60℄.

Por outro lado, deve-se men ionar que qualquer material magneti amente ordenado

deixa de sê-lo a uma temperatura su ientemente elevada, denominada temperatura

ríti a ou temperaturade Curie

(T

c

)

.

Omomentode dipolomagnéti odeumátomolivretemtrês fontesprin ipais: o

spin, omoqualoselétronssãodotados,seusmomentosangularesorbitais,eamudança

no momentoinduzidoporum ampomagnéti o apli ado[8,24, 61℄. Arelação entre o

momentode dipolomagnéti o eo momentoangular orbital

L

é dada por

µ

l

= −g

_l

e~

2m

L,

(2.6)

e, similarmente, entre o momentomagnéti o intrínse oe ospin

S

:

µ

s

= −g

_s

e~

2m

S.

(2.7)

Naequação(2.6),tem-searelação omomomentoangular,onde

g

l

= 1

éofator

g

orbital. Ao passo que na equação (2.7), tem-se a relação om o momento angular intrínse o, e

g

s

≈ 2

é o fator

g

de spin. Momentos magnéti os interagem entre si e, omo já foi dito, om amposmagnéti os externos.

EmMe âni aQuânti aomomentomagnéti o

~µ

de umátomo estádiretamente

rela ionado ao seu momento angulartotal

J

= L + S

,seguindo arelação:

µ = gµ

B

 J

~



,

(2.8)

onde

µ

B

= e~/2m

é uma unidade usual de momento magnéti o, hamada magneton

de Bohr,

m

é a massa doelétrone

g

é ofator de Landé, dado por:

g = 1 +

J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)

tentes nanatureza. A)Paramagnéti o;B)Ferromagnéti o; C) Antiferromagnéti o;D)

Ferrimagnéti o.

Os materiais magnéti os podem ser lassi ados de a ordo om sua resposta

à apli ação de ampos magnéti os, e tal resposta pode ser quanti ada através da

sus etibilidademagnéti a

χ

. Ostiposde materiaismais onhe idos são (Fig. 2.1):

•

Diamagnéti os, uja sus etibilidadetem valorpequeno e énegativa.

•

Paramagnéti os,quesão ara terizadosporumasus etibilidadepositivaquevaria linearmente om oinverso datemperatura.

•

Ferromagnéti os, que têm uma ordem magnéti a espontânea abaixo de uma de-terminada temperatura ríti ae tambémtêm uma dependên ia linearde

χ

om

1/T

a ima dessa temperatura. Além disso, mi ros opi amente, o arranjo dos momentos magnéti os é paralelo e, ma ros opi amente, obtemos

M 6= 0

~

para

T < T

C

.

•

Ferrimagnéti os, queembora apresentem uma magnetizaçãoespontânea não são lassi ados omo ferromagnetos, pois, ao ontrário do ferromagnetismo, o

ar-ranjodos momentos magnéti os emsítios vizinhos é antiparalelo. A

magnetiza-ção espontânea de orre dofato damagnitudedos momentosantiparalelosserem

tornando-se paramagnéti os.

•

Antiferromagnéti os,que se ara terizam pela ausên ia de magnetização espon-tânea, não devendo ser onfundido, no entanto, om o aso paramagnéti o. A

temperaturaabaixo daqual um materialparamagnéti osetorna

atiferromagné-ti o denomina-setemperaturade Néel

(T

N

)

.

Quando um ampo magnéti o externo é apli ado sobre um material

paramag-néti o, há o res imento do número de elétrons que apontam na direção do ampo,

dando origem a uma magnetização diferente de zero para o material. Em nível

at-mi o, oferromagnetismopodeser expli adopelapresençadeelétronsdesemparelhados

em uma das sub-bandas atmi as, que o orre mesmo na ausên ia de um ampo

ex-terno. Tal desemparelhamento pode ser expli ado, aproximadamente, por uma teoria

de ampomédio,naqual osmomentos atmi ossão inuen iadosporum ampo

λM

,

o qualé ausado portodos osoutroselétrons. Poroutrolado, oelétronémagnetizado

poresse ampomédio,aumentando assim, aresultantedamagnetização,que, porsua

vez, aumenta o ampo médio, o qual inuen ia outros momentosmagnéti os e assim

su essivamente. Tomandobase nofatode queanaturezatentaminimizaraenergiade

um sistema, temos que olhar se é possível de res er a energia de um sistema aso ele

se torne ferromagnéti osem aapli açãode um ampo externo.

Essa situação pode ser idealizada se nós passarmos alguns elétrons om spin

down para a sub-banda da superfí ie de Fermi na qual  am os elétrons de spin up.

Dessa forma, os elétrons om spin down om energias entre

E

F

− δE

e

E

F

devem integrar a banda de spin up om energias entre

E

F

+ δE

e

E

F

(Ver Fig. 2.2). Nesse

aso, o número de elétrons movidos é

1

2

g(E

F

)δE

e o res imento na energia inéti a será então [24℄:

∆E

cin

=

1

2

g(E

F

)(δE)

2

_.

(2.10)

Dessa forma, vemos que essa situação não pare e favorável uma vez que há um

res- imento de energia inéti a. Entretanto, esse aumento pode ser ompensado por um

de rés imo na energia de tro a da magnetização om o ampo mole ular. Ou seja,

om a polarizaçãoespontânea, os números de elétrons up e down são dados,

respe ti-vamente, por:

n

_↑

=

1

2

n +

1

2

g(E

F

)δE

(2.11)

n

↓

=

1

2

n −

1

2

g(E

F

)δE,

(2.12)

deslo amentoespontâneo de spin sem aapli açãode um ampomagnéti o externo.

sendo

n

o número de elétrons no nível de Fermi no aso paramagnéti o. Como ada

elétron arrega momento igual a 1 magneton de Bohr (

µ

B

), a magnetização pode ser es rita omo:

M = µ

B

(n

↑

− n

↓

)

(2.13)

ea energia poten ialouenergia de ampomole ularé dada por:

∆E

pot

= −

1

2

µ

0

M · λM = −

1

2

µ

0

λM

2

= −

1

2

µ

0

µ

2

B

λ(n

↑

− n

↓

)

2

.

(2.14) Denindo

U = µ

0

µ

2

B

λ

, temos:

∆E

pot

= −

1

2

U · [g(E

F

)δE]

2

(2.15)

ea variação naenergia total será de:

∆E = ∆E

cin

+ ∆E

pot

=

1

2

g(E

F

)(δE)

2

[1 − U · g(E

F

)].

(2.16)

Dessaforma, amagnetizaçãoespontânea é dada para

∆E < 0

, ouseja:

quími os onhe idos, apenas o Fe, Co e Ni satisfazem a esse ritério, sendo, dessa

forma, ferromagnéti os.

2.2 Modelo para o ál ulo da energia

Tendosido dadaumabreveexpli açãoparaofenmenoferromagnéti onos

ma-teriais, dis utiremos um pou o a respeito das ontribuições de energia para sistemas

magnéti os. Adotaremos aqui uma aproximação ontínua, na qual a granulosidade

atmi a não élevada em onta eas dimensões onsideradas são muito maiores doque

o parâmetro de rede (distân ia intermole ular,

∼ 3 A

o

, tipi amente). Nesse tipo de

aproximação,omagnetoédes ritoemtermosde umafunção daposiçãonointeriordo

objeto,o vetor magnetização,denido naEq. (2.5). A função quedenea

magnetiza-ção é onsiderada omotendoomesmomóduloemtodos ospontosdentrodomagneto

(

M

S

), variando apenas sua direção. Nesse aso, a energia domagneto, na ausên ia de ampo externo, é dada pela soma de três termos orrespondentes às ontribuições da

energia magnetostáti a (

E

mag ), da energia de tro a (

E

ex ) e de anisotropias (

E

ani ). A

ompetiçãodessestermospodelevaraoapare imentodeestruturasbem onhe idasem

magnetismo,tais omoparedes dedomínio, onguraçõestipovórti e,paredesdeNeél,

et . Nesse tipode aproximação,oestadofundamentaldamagnetizaçãoédeterminado

pela minimização da energia total. Neste trabalho, onsideraremos que a anisotropia

é muito pequena,podendo ser negligen iadano mputo daenergiatotal. Tal

aproxi-mação érazoável para nanomagnetos queapresentam uma orientação aleatóriade sua

estrutura ristalina, omo o Permalloy (neste aso, dizemos que, ma ros opi amente,

o magnetoé isotrópi o). Dessaforma, aenergia total de ada onguração magnéti a

é dada por:

E

tot

= E

ex

+ E

mag

.

(2.18)

A ontribuição magnetostáti a para a energia é a interação da distribuição da

magnetização om o ampo riado pela própria distribuição, isto é, vem da interação

dipolo-dipolo. O ampo gerado por

M(r)

pode ser denido diretamente a partir das

equações de Maxwell. Quando não há densidade de orrente livre,

j

= 0

, temos

∇ ×

H

(r) = 0

,o que impli aque o ampo magnetostáti o gerado por argas volumétri as,

ρ = ∇ · M(r)

, e super iais, oriundas da omponente de

M(r)

normal à superfí ie,

onhe ida omo poten ial magnetostáti o, ou seja,

H

(r) = −∇Φ(r)

. Já da relaçãode

Gauss,

∇ · B = 0

, onde

B

= µ

0

H

+ M

, on luimos que:

∇ · H = −

_µ

1

0

∇ · M ⇒ ∇

2

_{Φ =}

1

µ

0

∇ · M.

(2.19)

Umavezqueestamoslidando omummagnetotoroidalnito,temosque

M

= 0

noespaço livrefora doobjeto,então aEq. (2.19) pode ser aí es rita omo:

∇

2

Φ

out

= 0,

(2.20)

que é a equação de Lapla e. As ondições de ontorno são obtidas do fato de que no

ontorno do material a omponente de

H

paralelo à superfí ie e a omponente de

B

perpendi ular à superfí ie são ontínuas:

(

Φ

in

= Φ

out

∂Φ

in

∂n

−

∂Φ

out

∂n

= M · n

(2.21)

onde

n

é o vetor normal à superfí ie. A solução formal para o onjunto de equações

a ima pode ser es rita naforma:

Φ(r) = −

M

_4π

S

Z

V

′

∇

′

_{· m(r}

′

₎

|r − r

′

_|

dv

′

₊

M

S

4π

Z

S

′

n

′

_{· m(r}

′

₎

|r − r

′

_|

da

′

_,

(2.22)

om

m

≡ M(r)/M

S

e

S

(

V

) sendo a área (volume) do magneto. Uma vez que o

poten ialmagnetostáti o foi determinado,a energia magnetostáti a édada por:

E

mag

=

µ

0

M

S

2

Z

V

m

_{(r) · ∇Φ(r)dv > 0.}

(2.23)

A energia magnetostáti a é de natureza lássi a e não lo al, de onde vemos

que essa grandeza é obtida através da integração dupla sobre o mesmo volume,

tor-nandoesse termoparaaenergiadiferentedaquelereferente àenergiadetro aosquais

são lo ais, envolvendo uma integração no volume de uma densidade de energia. Esta

propriedade está asso iada ao aspe to de longo al an e das forças de interação entre

dipolos. Dessa forma,é muito difí il al ular aenergia magnetostáti a para uma

geo-metriaarbitrária. Paraumadis ussãomais ompletaa er adaenergiamagnetostáti a,

reportamoso leitoràs Refs. [8,24℄.

O outro termo que será levado em onta para determinar a energia total do

nanotoro magnéti o é a energia de tro a, que é de urto al an e e de natureza lo al.

Sua origem não tem análogo lássi o e vem da sobreposição de funções de onda em

entre momentosmagnéti osvizinhoseespera-sequeestessejamsemprepequenos,uma

vez quea urtasdistân ias, as forças de tro asão muito intensas. Dessa forma,temos

que, parapequenosângulos,a energiade tro apode ser es rita, apartirdomodelo de

Heisenberg, omo:

E

ex

disc

= −J

X

ij

S

i

· S

j

= −JS

2

X

ij

cos φ

i,j

≈ JS

2

X

ij

φ

2

_i,j

,

(2.24)

onde

J

é a onstante de tro a do material e

S

é o vetor (no espaço interno) de spin.

Na Equação a ima, foi feita a subtração do termo que onta para a energia na qual

todos os spins estão alinhados, o qual é o estado fundamental (de tro a) ou estado

ferromagnéti o. Para ângulos muito pequenos, e após alguma manipulação algébri a

[8℄, temosqueomodelode Heisenberga imades ritonos levaaaproximação ontínua,

o qual, tantono volume do magnetoquanto nas variáveis de magnetização/spin toma

a formado modelo

σ

-não linear:

E

ex

= A

Z

v



 ~

_∇m

_x



2

+

 ~

_∇m

y



2

+

 ~

_∇m

z



2



dv.

(2.25) onde

A =

2JS

2

a

c

, om

a

sendo o parâmetro de rede do material e

c = 1, 2

ou

4

para uma rede úbi asimples, úbi ade orpo entrado ou úbi ade fa e entrada,

respe -tivamente. Conforme

A < 0

ou

A > 0

, a equação a ima des reve um sistema ferro

ou antiferromagnéti o, respe tivamente. Aqui,

m = (m

~

x

, m

y

, m

z

)

é o vetor de spin lássi o (supostamente des revendo a magnetização unitária,

m = ~

~

M/M

S

) valorado numa esfera unitária (espaço interno). Para a maioria dos asos de interesse práti o,

a Eq. (2.25) pode ser tomada omo uma boa aproximação. A onstante

A

é tomada

então omoum dos parâmetrosfísi osdo material, ujovaloré obtidopara ajustar os

resultados dateoria àqueles obtidosexperimentalmente.

2.3 Geometria do toro

Nosso objetivo éestudar o modelo des ritoa ima na geometria dotoro, a qual

onsistenuma superfí ie urva om umavariaçãosuaveemsua urvatura. Otoromais

simpleséaquele possuindoumbura oe,noespaçotridimensional,seassemelhaauma

rosquinha (veja Fig.2.3). Dependendo dos tamanhos relativos de

R

(raio externo) e

esquerda para a direita, vemos o toro do tipo anel, o horn torus e o toro om auto

interseção no eixo

z

.

orrespondeaotorodotipoanel,

R = r

orrespondeaumhorntorus 1

oqualétangente

a si mesmo noponto

(0, 0, 0)

,e

R < r

orresponde a um toro om auto-interseção no

eixo

z

(ilustrações são apresentadas na Fig. 2.3). Aqui onsideraremos apenas o aso

do toro do tipo anel, uma vez que este é o mais fa tíveldo ponto de vista físi o (Ver

Fig. 2.4).

Dentre os inúmerossistemas de oordenadas possíveis, dois deles são mais

on-venientes para des rever o toro no espaço: oordenadas tipo-esféri as, nas quais as

equações paramétri aspara um ponto

~r

lo alizadono torosão:

x = (R + rsenθ) cos φ, y = (R + rsenθ)senφ

e

z = r cos θ

(2.26)

onde

r ∈ [0, a]

,

θ ∈ [0, 2π]

e

φ ∈ [0, 2π]

. O operador gradientee o elemento de volume

nesse sistema de oordenadas são fa ilmente al ulados. Esse sistema de oordenadas

érepresentado na Fig. 2.4.

Ooutrosistema onvenienteé onhe ido omosistemade oordenadas toroidal,

(

α, β, ϕ

). Talsistema de oordenadas éobtidopelarotaçãodosistemade oordenadas

bipolarbidimensionalsobre um eixo separando seus fo os e édenido por:

x = b

senhα cos ϕ

cosh α − cos β

,

y = b

senhαsenϕ

cosh α − cos β

,

z = b

senβ

cosh α − cos β

,

(2.27)

onde

b

é uma onstante que dá o raio de um ír ulo no plano

z = 0

, des rito por

α → ∞

(isto é, quando

α → ∞

nós obtemos

x = b cos ϕ

,

y = bsenϕ

e

z = 0

). Os

1

Atraduçãoparaoportuguêsdapalavrahorné hifre,dessa forma,manteremosanomen latura

R

r

x

z

φ

θ

Figura 2.4: Tipo mais omum de toro, o toro do tipo anel, e um possível sistema de

oordenadas sobre ele,

(θ, φ) ∈ [0, 2π]

. Os parâmetros

r

e

R

são os raios interno e

externo do toro, respe tivamente.

valores assumidos pelas variáveis no sistema de oordenadas toroidalsão

0 6 α < ∞

,

0 6 β 6 2π

e

0 6 ϕ 6 2π

. emtermos de

R

e

r

, temosque, nasuperfí iedo toro:

b =

p(R + r)(R − r), cosh α

0

=

R

r

,

(2.28)

o que permite a interpretação de

b

e

α

0

omo raio geométri o e o ângulo ex êntri o, respe tivamente (veja [48, 54℄ e referên ias itadas neles). Em ontrapartida, temos

que

R = b tanh α

e

r = bsenhα

,bem omo

φ = ϕ

.

Algumas relações nesse sistema de oordenadas que serão importantes na

dis- ussãodesse trabalhosão aquelasentre vetores unitáriosCartesianos(

x, y, z

)evetores

unitários toroidais(

α, ˆ

ˆ

β, ˆ

ϕ

):

ˆ

α =

1 − cosh α cos β

cosh α − cos β

R

−

senhαsenβ

cosh α − cos β

z,

(2.29)

ˆ

β = −

senhαsenβ

cosh α − cos β

R

−

1 − cosh α cos β

cosh α − cos β

z,

(2.30)

ˆ

ϕ = (−xsenϕ + y cos ϕ),

(2.31)

onde

R

= x cos ϕ + ysenϕ

. Umasimples substituição de valores de

ϕ

e

β

mostra que

ˆ

α

é um vetor unitário perpendi ular à superfí ie e apontando para o interior dotoro. Dessa forma, assumiremos que

n

= −ˆ

α

é o vetor normal à superfí ie. Ao ontrário

do primeiro sistema de oordenadas, o operador gradiente aqui não é tão fa ilmente

obtido, e lê-se:

∇ =

cosh α − cos β

_b



ˆ

α

∂

∂α

+ ˆ

β

∂

∂β

+

ˆ

ϕ

senhα

∂

∂ϕ



.

(2.32)

a direita, podem-se ver as ongurações de domínio úni o (ao longo da direção

z

),

o vórti e, ferromagnéti o e ebola ( om

q = 7

; ver o texto para maiores detalhes),

respe tivamente(as últimastrês, om os dipolosaolongo doplano

xy

).

Finalmente, odo elementode volume é dado por:

dv =

b

3

_senhα

(cosh α − cos β)

3

dαdβdϕ.

(2.33)

2.4 Congurações magnéti as estudadas

Aqui,queremosdeterminare ompararaenergiadetrêsdiferentes ongurações

para ovetor de magnetização: o estado vórti e (

V

), oestado ferromagnéti o (domínio

úni o)na direçãodoeixo

z

(

F

z

) e oestado ebola(

O

)no plano

xy

(verFig. 2.5). No intuito de ontinuar nossos ál ulos, é ne essário espe i ar a função

m(r)

referente

a ada uma dessas ongurações. Para o aso ferromagnéti o na direção do eixo

z

,

temos

m

F

z

= z

, enquanto a onguração de domínio úni o na direção do plano

xy

é um aso espe ial do estado ebola e pode ser dado por

m

F

xy

= x

. O estado vórti e é

representado por

m

V

= ˆ

ϕ

,onde

ϕ

ˆ

éovetorazimutalunitárionoplano

xy

. Finalmente, a onguração ebolaserá dada pelomodelo proposto por Landeros et al [19℄, onde o

vetor de magnetizaçãoé des ritopor:

m

_O

= m

r

(ϕ)R + m

ϕ

(ϕ) ˆ

ϕ,

(2.34)

onde asexpressõespara as omponentes reduzidas

m

r

e

m

ϕ

da magnetizaçãosão:

m

r

(ϕ) =























f (ϕ),

0 < ϕ < π/2

−f(π − ϕ),

π/2 < ϕ < π

−f(ϕ − π), π < ϕ < 3π/2

f (2π − ϕ), 3π/2 < ϕ < 2π

(2.35)

m

ϕ

(ϕ) =























−p1 − f

2

_(ϕ),

_{0 < ϕ < π/2}

−p1 − f

2

_{(π − ϕ),}

_{π/2 < ϕ < π}

p1 − f

2

_{(ϕ − π),}

_{π < ϕ < 3π/2}

p1 − f

2

_{(2π − ϕ), 3π/2 < ϕ < 2π,}

(2.36)

onde

f

é uma função limitadatal que

−1 ≤ f(ϕ) ≤ 1

. Na Ref. ([19℄)foi sugerido que

a função

f

pode ser daforma:

f (q, ϕ) = cos

q

ϕ,

(2.37)

onde

q ≥ 1 ∈ R

. Ovalorde

q

deveseres olhidodeformaqueaenergiada onguração

para adapar(

r, R

)éminimizado,oquea onte equando

∂E/∂q = 0

. Omodeloa ima

permiteumatransição ontínuada onguraçãode domínioúni o nadireçãodoplano

xy

(

q = 1

)paraoestado ebola(

q > 1

). Odesviodo asoferromagnéti osetornamais

pronun iadoàmedidaqueovalorde

q

aumenta. Este modelofoiutilizadopreviamente

paradeterminaraenergiadoestadofundamentalnonanoanel[19℄enananoesfera[22℄.

Apesar da onguração ebola ser oestado real de magnetização, já foi demonstrado,

para o aso de nanoanéis [18, 19℄ e nanoesferas [22℄, que o desvio da direção paralela

( onguração de domínio úni o) é muito pequeno, isto é,

q ≈ 1

dentro dos limites

nos quaisa onguração ebolaé estável, de formaque, nesses asos, pode-se tomar o

estado ferromagnéti onoplanopara realizaraanálise doproblemade minimizaçãode

Ex itações topológi as de spins no

toro

Nesta seção, estudaremos ex itações de aráter topológi o da energia de tro a

na superfí ie do toro, isto é, estaremos analisando o modelo de Heisenberg em duas

dimensões. Na seçãoanterior, mostramos que,numa aproximação ontínua, a energia

de tro ade um magneto pode ser determinada a partir dolimite ontínuo do modelo

de Heisenberg, Eq. (2.25). No entanto, partindo do ponto de vista de teoria de

am-pos apli ada a um espaço urvo, tal termo de energia pode ser es rito de uma forma

ligeiramentediferente, nointuito de mostrarmos que o vórti e apare e omo uma das

ex itações sobre o estado fundamental daenergia de tro a, isto é, o estado

ferromag-néti o. Dessa forma, podemos tomar a Eq. (2.25) e rees revê-la, em duas dimensões,

noformalismode teoria de ampos, omo aHamiltoniana:

H

1

= J

Z

Z

2

X

i,j=1

3

X

a,b=1

g

ij

h

ab

 ∂S

a

∂η

i

 ∂S

b

∂η

j



p|g|dη

1

dη

2

,

(3.1)

onde

η

1

e

η

2

são as oordenadas urvilíneasdasuperfí ie, além disso,

S

= (S

x

, S

y

, S

z

) ≡ (senΘ cos Φ, senΘsenΦ, cos Θ)

éo ampovetorialde spin lássi oavaliadonumaesfera unitária(espaçointerno),logo

Θ = Θ(η

1

, η

2

)

e

Φ = Φ(η

1

, η

2

)

,

g

ij

e

h

ab

são elementos da métri a do espaço físi o e do espaço interno (esfera de spins), respe tivamente e

p|g| = p|det[g

ij

]|

. Quando apli amosomodeloa imaaosistemade oordenadasdadopelaequação(2.26),usando

oordenadas artesianas,de formaque

h

ab

= δ

ab

, aHamiltoniana(3.1) toma aforma:

H = J

Z

π

−π

Z

2π

0

(

r

R + rsenθ

 ∂S

x

∂φ



2

+

 ∂S

y

∂φ



2

+

 ∂S

z

∂φ



2



+

+

R + rsenθ

r

 ∂S

x

∂θ



2

+

 ∂S

y

∂θ



2

+

 ∂S

z

∂θ



2



)

dφdθ.

(3.2)

Tomando agora a representação de

S

emtermos de

Θ

e

Φ

( oordenadas

esféri- as), obtemos:

H = J

Z

π

−π

Z

2π

0

(

r

R + rsenθ

(∂

φ

Θ)

2

+ sen

2

Θ (∂

φ

Φ)

2

 +

+

R + rsenθ

r

(∂

θ

Θ)

2

+ sen

2

Θ (∂

θ

Φ)

2



)

dφdθ,

(3.3) onde adotamos

∂

θ

≡

∂

∂θ

e

∂

φ

≡

∂

∂φ

.

Agora, podemosdeterminarasequaçõesde movimentoreferentes a(3.3). Essas

expressõessãoobtidasapartirdodesenvolvimentodaequaçãodeEuler-Lagrange para

ampos. Adotaremos aqui aforma omo elaé denida na referên ia[62℄, ou seja,

∂L

∂ϕ

−

∂

∂x

µ



∂L

∂(∂

µ

ϕ)



= 0,

(3.4) Aqui,

x

µ

_{= (x}

1

_{, x}

2

_{) = (φ, θ)}

e adotamos a onvenção de Einstein na qual índi es

repetidos (um ovariante eoutro ontravariante) representam somas.

Como estamospro urando porsoluçõesestáti as, o papeldesempenhadopor

L

em(3.4)éassumidopeladensidade daHamiltoniana,

h

,porém om sinalnegativo,ou

seja:

H =

X

π(q, ˙q) ˙q − L ⇒ H = −L,

onde

q

,

π(q, ˙q)

,

H

e

L

são, respe tivamente, a oordenada anni a, o momento

on-jugado, a Hamiltoniana e a Lagrangiana do sistema. A densidade da Hamiltoniana

para o nosso aso é dada por:

h =

(

r

R + rsenθ

(∂

φ

Θ)

2

+ sen

2

Θ (∂

φ

Φ)

2

 +

+

R + rsenθ

r

(∂

θ

Θ)

2

+ sen

2

Θ (∂

θ

Φ)

2



)

.

(3.5)

∂h

∂Θ

−

∂

∂φ



∂h

∂(∂

φ

Θ)



−

_∂θ

∂



∂h

∂(∂

θ

Θ)



= 0.

(3.6)

Logo, realizando asdevidas operações, hegamos àseguinterelação:

senΘ cos Θ

(

r

R + rsenθ

(∂

φ

Φ)

2

_{ +}

R + rsenθ

r

λ (∂

θ

Θ)

2

+ (∂

θ

Φ)

2



)

=

cos θ (∂

θ

Θ) +

R + rsenθ

r

∂

2

θ

Θ +

r

R + rsenθ

∂

2

φ

Θ.

(3.7)

Analogamente, obtem-se a equação:

cos θsen

2

Θ∂

θ

Φ +

R + rsenθ

r

∂

θ

sen

2

_Θ∂

θ

Φ
+

r

R + rsenθ

∂

φ

sen

2

_Θ∂

φ

Φ
= 0.

(3.8)

Apesardosistemade oordenadasdadopor(2.27)possuirsoluçõesmaissimples

para omodelo adotado, iremostrabalhar om o sistema (2.26). A razão dessa es olha

sedeveaofatodequeessasexpressõesseassemelhamasuas omponentesparaos asos

planar,esféri ooupseudo-esféri o. Ou seja,se

R + rsenθ

foridenti ado om

r

,

R

senθ

ou

̺τ

, enquanto

φ

mantém seu papel de ângulo azimultal, aquela expressão re upera

osseusanálogosplanar,esféri ooupseudo-esféri o[63,64℄(aqui,

r

= |~r|

respondepela

distân iaradialem oordenadaspolares,

R

éoraioem oordenadas esféri asenquanto

̺τ

respondepeladistân iamedidaaolongode uma geodési anapseudo-esfera,istoé, uma hipérbole).

Para al ançarnossos objetivos, ouseja, en ontrar ex itações de aráter

topoló-gi o na superfí iedo toro, onsideraremos as soluções onnadas ao plano XY. Como

estaremos lidando om soluções estáti as, apenas a variável de spin

Φ

terá dinâmi a

(espa ial) enquanto

Θ

permane erá onstante, de forma que tomaremos

Θ = π/2

.

Então, a Hamiltoniana(3.3)para este sistema passa a ser es rita omo:

H

RP

= J

Z

π

−π

Z

2π

0



r

R + rsenθ

(∂

φ

Φ)

2

+

R + rsenθ

r

(∂

θ

Φ)

2



dφdθ.

(3.9)

Assumindoqueexistam soluçõesnão-triviais( aso ferromagnéti o) om simetria

ilín-dri a em

Φ

,isto é,

Φ = Φ(φ)

, temos, daequação (3.9), que:

H

RP

= J

Z

Z

_r

R + rsenθ

(∂

φ

Φ)

2

dφdθ.

(3.10) então:

∂

_φ

2

Φ = 0,

(3.11)

Φ(φ) = κφ + φ

0

,

κ ∈ Z,

(3.12)

aqual,quandotomamos

φ

0

= π/2

e

κ = 1

,obtemosaexpressãodenidaanteriormente

para a onguraçãovórti e,istoé,

m

V

= ˆ

ϕ

. Aqui,

κ

éa argadovórti e(vorti idade), enquanto

φ

0

é uma onstante de integração, quenão ontribui para a energia,apenas para seu aspe to global. A arga é formalmentedenida, nolimite ontínuo, omo:

κ =

1

2π

I

C

(∇Φ) · dl.

(3.13)

Podemosagora al ularaenergiade tro aasso iadaàex itaçãotipovórti ena

super-fí iedotoro, tomandoasoluçãodadaem(3.12)esubstituindonaHamiltoniana(3.10),

en ontrando,no aso dotoro do tipoanel

(R > r)

:

E

vφ

= 4π

2

Jκ

2

r

√

R

2

_{− r}

2

,

(3.14)

donde se nota que, diferentemente dos asos, esféri o, planar ou pseudo-esféri o, a

energiadovórti e notoro dotipoanelnão apresentadivergên iasespúrias, geralmente

asso iadas ao entro do vórti e, onde a aproximação ontínua não é, muitas vezes,

apropriada. Emoutras palavras, o genus (bura o interno do toro) é um regularizador

natural para a onguração vórti e no toro do tipo anel, não permitindo que essa

ex itação possa apresentar um aroçosingular. Nos outros asos (

R = r

ou

R < r

), é

ne essário introduzirum ortepara impedirasdivergên ias nonú leodovórti e. Para

maiores detalhes sobre tal pro edimento,oleitor é remetidoàsreferên ias [63, 64℄.

Analisandoolimiteonde

R → ∞

,tem-sequeaenergiadovórti eseanula. Esse

resultado éesperado,uma vez queneste limite,efetivamente, estamoslidando omum

vórti e num anel innito (não um plano innito) om raios interno e externo dados,

respe tivamente, por

R − πr

e

R + πr

. Alternativamente,tambémpodemospensarque

nesselimiteovórti eélevadoàsuperfí iedeum ilindroinnito,aolongodoeixode

si-metria. Nesse aso, osspins apare emprati amenteparalelos(no asoferromagnéti o)

uns aos outros, de tal formaque ao invés de um vórti e, temos o estado fundamental

de tro a, uja energia normalizada se anula. Isto poderia sugerir, a prin ípio, que a

onguraçãoem questão seria oestadofundamentaldoferromagnetopara asuperfí ie

do toro. Entretanto vemos que existe uma arga topológi a mesmo neste limite, o

que não o orre para o estado fundamental de um ferromagneto ilíndri o,de onde se