Sistemas gradientes, decomposição de Morse e funções de Lyapunov sob perturbação

(1)

IXQo}HVGH/\DSXQRYVRESHUWXUEDomR

(2)

(3)

6LVWHPDVJUDGLHQWHVGHFRPSRVLomRGH0RUVHHIXQo}HVGH

/\DSXQRYVRESHUWXUEDomR

Éder Ritis Aragão Costa

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Março de 2012

(4)

A659s

Aragão Costa, Éder Ritis

Sistemas gradientes, decomposição de Morse e

funções de Lyapunov sob perturbação / Éder Ritis Aragão Costa; orientador Alexandre Nolasco de Carvalho. --São Carlos, 2012.

181 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

1. Sistemas gradientes. 2. Decomposição de Morse. 3. Funções de Lyapunov. 4. Estabilidade dos

semigrupos gradientes sob perturbação. 5. Equações com acoplamento unilateral. I. Nolasco de Carvalho,

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Agrade¸co a todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribu´ıram para minha forma¸c˜ao profissional e pessoal. Dentre elas, meus familiares e amigos que fiz durante

toda minha vida. Principalmente, meus pais, Vera e Belmiro, e todos os meus profes-sores, desde o da primeira série que pegou na minha mão e me ensinou a escrever as primeiras letras até meu orientador de doutorado, Alexandre Nolasco. Obrigado!

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Neste trabalho investigamos a existência de uma fun¸cão de Lyapunov associada a um sistema de tipo gradiente, semigrupos ou processos de evolu¸cão. Para isso, um estudo detalhado da te-oria de Morse desempenha um papel decisivo. Como principal consequência deste estudo obtemos a estabilidade dos sistemas gradientes sob perturba¸cão (autônoma ou não).

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In this work we investigated the existence of a Lyapunov func-tion associated to a gradient-like system, semigroups or evolufunc-tion processes. For that, a detailed study of Morse theory plays a cen-tral role. As the main consequence of this study we obtain the stability of gradient systems under perturbation (autonomous or not).

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Introdu¸c˜ao xi

1 Atratores Globais 1

1.1 Primeiras defini¸c˜oes . . . 1 1.2 Conjuntosω-limites . . . 8 1.3 Existˆencia de atratores . . . 15

2 Semigrupos Gradientes 19

2.1 Fun¸c˜ao de Lyapunov . . . 19 2.2 Estrutura dos semigrupos gradientes . . . 22 2.3 Existˆencia de atratores para semigrupos gradientes . . . 25

3 Semigrupos de tipo Gradiente 27

3.1 Defini¸c˜ao . . . 27 3.2 Estabilidade por perturba¸c˜ao . . . 28

4 Teoria de Morse-Conley 37

4.1 Pares atrator-repulsor . . . 37 4.2 Fun¸cão de Lyapunov para um par atrator-repulsor . . . 45 4.3 Decomposi¸cão de Morse . . . 50 4.4 Equivalência entre as no¸cões de semigrupos gradiente e de tipo gradiente 59

5 Estabilidade da fun¸c˜ao de Lyapunov 65

5.1 Continuidade da fam´ılia de atratores . . . 65 5.2 Convergˆencia das fun¸c˜oes de Lyapunov . . . 68

6 N´ıveis de energia de um semigrupo gradiente 77

6.1 Estrutura dos n´ıveis . . . 77

(14)

6.2 Perturba¸c˜ao de n´ıveis . . . 84

7 Decomposi¸cão de Morse não autônoma 91

7.1 Processos de evolu¸cão . . . 92 7.2 Processos de evolu¸cão de tipo gradiente . . . 96 7.3 Decomposi¸cão de Morse não autônoma . . . 98 7.4 Fun¸cão de Lyapunov para um processo de evolu¸cão de tipo gradiente . 108 7.5 Perturba¸cão não autônoma de um semigrupo gradiente . . . 119 7.5.1 Convergência das fun¸cões de Lyapunov . . . 132

8 Aplica¸c˜ao a problemas com acoplamento unilateral 141

8.1 Teoria abstrata . . . 142 8.2 A desigualdade de Lojasiewicz-Simon . . . 150 8.3 Aplica¸cão da desigualdade de Lojasiewicz-Simon a problemas abstratos 158 8.3.1 Equa¸cões de primeira ordem . . . 158 8.3.2 Equa¸cões de segunda ordem . . . 166

9 Conclus˜oes e problemas em aberto 175

(15)

A análise das propriedades qualitativas dos semigrupos em espa¸cos de fases ge-rais (espa¸cos de Banach infinito dimensionais ou espa¸cos métricos arbitrários), recebeu muita aten¸cão durante as últimas quatro decádas. Em particular, o estudo dos con-juntos compactos invariantes e atratores desenvolveu uma ampla e profunda linha de pesquisa, dando informa¸cões cruciais sobre um número crescente de fenômenos de dis-tintos ramos da Ciência, como F´ısica, Biologia, Economia, Engenharia e outros.

Quando se mostra que um dado sistema dinâmico possui atrator global, todo seu comportamento assintótico pode ser descrito, fazendo-se uma análise detalhada da dinâ-mica interna deste conjunto compacto invariante. Para se entender a dinâdinâ-mica interna do atrator global, um estudo cuidadoso da estrutura geométrica (e sua estabilidade por perturba¸cão) aparece como um fator fundamental. Provavelmente, o resultado mais geral nesta linha é o que se conhece como o“Teorema Fundamental dos Sistemas

Dinˆa-micos”, sugerido em [17] a partir dos resultados de [12], o qual estabelece que qualquer

grupo (ou “fluxo”) em um espa¸co métrico compacto, decompõe o espa¸co em partes invariantes isoladas recorrentes por cadeia e as conexões entre elas. Na terminologia de [12], isto é o que se chama uma decomposi¸cão de Morse de um conjunto compacto invariante (confira a Defini¸cão 4.3.1), e foi considerado em diferentes marcos, como no caso dos grupos em [12], e também dos semigrupos em espa¸cos compactos como em [20], ou ainda, em espa¸cos topológicos não compactos como em [15], [18], [19].

Por outro lado, muito recentemente, foi introduzido em [8] os denominados semi-grupos de tipo gradiente (veja a Defini¸cão 3.1.1), como um conceito intermediário entre os semigrupos gradientes (aqueles que possuem uma fun¸cão de Lyapunov) e os semi-grupos que possuem atrator de tipo gradiente (aqueles possuindo atrator escrito como a reunião dos conjuntos instáveis de seus conjuntos invariantes isolados).

Neste texto, em um primeiro momento, trabalharemos com um semigrupo de tipo gradiente em um espa¸co métrico arbitrário e construiremos uma fun¸cão de Lyapunov

(16)

para ele, mostrando que todo sistema de tipo gradiente é efetivamente um sistema gradiente. Nossos resultados evitam qualquer hipótese de compacidade associada ao espa¸co de fase sobre o qual atuam os semigrupos que consideramos. Por outro lado, nossas provas, ainda que inspiradas em trabalhos clássicos, como [12],[20], são diferentes das a´ı inclu´ıdas e portanto são novas.

Para a constru¸cão da fun¸cão de Lyapunov, primeiramente provaremos que a fam´ılia disjunta dos conjuntos invariantes isolados de um semigrupo de tipo gradiente em um espa¸co métrico geral, pode ser reordenada de tal maneira a dar lugar a uma decompo-si¸cão de Morse do atrator. Com provas bastante intuitivas, centradas na dinâmica do semigrupo e, por exemplo, não fazendo uso das no¸cões de recorrência por cadeia, que é um conceito bastante tradicional nesta teoria.

Um refinamento dos resultados de [12] nos levará a uma defini¸cão de fun¸cão de Lyapunov generalizada, não simplesmente definida no atrator, mas sim, em todo o espa¸co de fase e também associada a uma fam´ılia de conjuntos invariantes isolados arbitrária, não necessariamente um conjunto de equil´ıbrios.

Por outro lado, em um segundo momento, trabalharemos no contexto não autônomo da teoria dos sistemas dinâmicos, onde estudaremos a mesma natureza de problemas estudados no caso autônomo. Trabalharemos, portanto, com processos de evolu¸cão de tipo gradiente (veja a Defini¸cão 7.2.4) buscando introduzir, para estes, as no¸cões de decomposi¸cão de Morse e de fun¸cão de Lyapunov e então, motivados pela teoria autônoma, provar, baixo certas condi¸cões, a existência de uma fun¸cão de Lyapunov para tais processos.

Cabe dizer que, não encontramos, na literatura atual, nenhum resultado sobre a caracteriza¸cão da existência de uma fun¸cão de Lyapunov baseada na dinâmica de um semigrupo ou de um processo não autônomo, como os que provamos aqui.

Com o objetivo de apresentar, passo a passo, as técnicas que costumam ser usadas no estudo dos semigrupos não lineares e também introduzir as ferramentas necessárias para o entendimento do resultado principal de equivalência entre os conceitos de semigrupos gradiente e tipo gradiente e sobre o tratamento do mesmo problema no marco não autônomo, ordenamos o texto da seguinte forma:

No primeiro cap´ıtulo, apresentamos defini¸cões dos conceitos básicos nesta teoria e estabelecemos as primeiras propriedades dos sistemas dinâmicos autônomos, como as importantes propriedades dos conjuntos ω-limites de um sistema assintoticamente compacto, o que será crucial para o primeiro resultado sobre existência de atrator global que apresentamos.

(17)

consideramos associados a uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados qualquer, não necessariamente um conjunto finito de pontos de equil´ıbrio. Para estes semigrupos estudaremos, em detalhes, a estrutura de seu atrator, provando que este se escreve como reunião dos conjuntos instáveis dos invariantes isolados, isto é, que seu atrator é de tipo gradiente. Para finalizar o cap´ıtulo, estabelecemos um critério de existência de atrator para semigrupos gradientes, baseado no resultado mais geral contido no primeiro cap´ıtulo.

Uma vez que se conhecem os principais resultados dos primeiros cap´ıtulos, estamos em condi¸cões de analizar o conteúdo verdadeiramente novo deste trabalho, e mais preci-samente, quando se define uma nova classe de sistemas dinâmicos (os de tipo gradiente, segundo [8]), que são sistemas dinâmicos que possuem a dinâmica de um sistema gradi-ente. Nestas condi¸cões, o objetivo do cap´ıtulo três é proporcionar condi¸cões suficientes que garantam a estabilidade por perturba¸cão deste novo conceito.

O cap´ıtulo quatro contém as ferramentas que serão decisivas para estabelecer nosso resultado de equivalência. Nele definiremos a no¸cão de decomposi¸cão de Morse de um atrator em termos dos pares atrator-repulsor. A importância destes pares é que se podem construir, para eles, uma espécie de “fun¸cão de Lyapunov” com propriedades muito especiais, o que será crucial para obter a fun¸cão de Lyapunov clássica para os semigrupos de tipo gradiente, provando assim o principal resultado deste trabalho, no marco autônomo. Além disso, forneceremos condi¸cões suficientes para que, ao perturbar um dado semigrupo gradiente, estas fun¸cões convirjam uniformemente sobre compactos, o que é o objetivo do cap´ıtulo cinco, e também que tais fun¸cões sejam diferenciáveis ao longo de solu¸cões.

No cap´ıtulo seis, apresentamos outra forma de obter uma decomposi¸cão de Morse para o atrator de um semigrupo de tipo gradiente, em termos de um conceito novo que chamamos n´ıvel de energia, e que nos dá informa¸cão adicional sobre o comporta-mento assintótico das solu¸cões do sistema, “empacotando” aqueles conjuntos invariantes isolados que possuem caracter´ısticas dinâmicas semelhantes. Além disso, fornecemos condi¸cões suficientes para a estabilidade por perturba¸cão destes n´ıveis, o que ocorre, por exemplo, quando as conexões entre os invariantes isolados se mantêm.

(18)

forma consistente, todas as ferramentas que foram cruciais para a solu¸cão autônoma do problema, bem como, por exemplo, a idéia de pares atrator-repulsor.

Devemos adiantar que, no estudo não autônomo dos problemas relacionados à de-composi¸cão de Morse e as fun¸cões de Lyapunov, algumas restri¸cões deverão ser feitas, o que nos obrigará a buscar exemplos onde verificam-se tais exigências. Mais pre-cisamente, mostraremos que perturba¸cões não autônomas de semigrupos gradientes, verificam as condi¸cões exigidas, evidenciando, assim, que as imposi¸cões feitas são bas-tante razoáveis.

Um exemplo mais concreto, por assim dizer, de aplica¸cão de nossos resultados abs-tratos, está contido no cap´ıtulo oito. Lá estudamos um problema com acoplamento uni-lateral, onde, usando nossa teoria abstrata, forneceremos condi¸cões para que o mesmo “gere” um semigrupo de tipo gradiente e, portanto, gradiente. Além disso, no marco dos espa¸cos de Hilbert, consideraremos a possibilidade de haver uma quantidade infi-nita de pontos estacionários, quando estudamos a Desigualdade de Lojasiewicz-Simon e estendemos alguns dos resultados contidos em [24].

Finalizamos o texto destacando as conclus˜oes que obtivemos neste trabalho e os artigos que a partir dele foram escritos, al´em de apontar certos problemas que ficaram em aberto durante o desenvolvimento da tese, abrindo a possibilidade para poss´ıveis trabalhos futuros.

(19)

1

Atratores Globais

Neste cap´ıtulo apresentaremos os conceitos básicos e desenvolvemos os primeiros resultados da teoria dos sistemas dinâmicos autônomos, a fim de que possamos tratar, posteriormente, o problema de perturba¸cão de sistemas gradientes.

Deixemos aqui registrado, antes de come¸carmos a discussão, que para nós, sempre e em todos os casos, o s´ımbolo N _{representará o conjunto dos n´}_{umero naturais, que}

tem como seu primeiro elemento o n´umero um, ou seja, N₌_{₁_,₂_,₃_,_{· · · }}_.

1.1 Primeiras defini¸

c˜

oes

Seja X um espa¸co m´etrico com distˆancia d:X_×X _→R_.

Defini¸cão 1.1.1. Uma fam´ılia{T(t) :t≥0}de aplica¸cões cont´ınuas do espa¸co métrico

X em si mesmo chama-se umsemigrupo em X, quando verificam-se as seguintes trˆes

propriedades:

(i) T(0) =I, a aplica¸c˜ao identidade do espa¸co X.

(ii) T(t+s) =T(t)T(s) qualquer que seja o par de n´umeros reais n˜ao negativos t

e s (propriedade de semigrupo).

(iii) A aplica¸cão [0,∞)×X ∋(t, x)7−→T(t)x∈X é uma aplica¸cão cont´ınua.

Na defini¸c˜ao anterior, estamos considerando o conjunto [0,_∞)_×X dotado da to-pologia produto.

Semigrupos são também chamados sistemas dinâmicos autônomos e, neste texto, utilizaremos indistintamente ambas nomenclaturas.

(20)

Observemos que, pela propriedade de semigrupo, a fam´ılia de aplica¸c˜oes_{T(t) :t _≥

0} é comutativa com respeito à composi¸cão, visto que quaisquer que sejam t, s ≥ 0,

temosT(s)T(t) =T(s+t) = T(t+s) = T(t)T(s).

Observemos ainda que, se _{T(t) : t _≥ 0_} é um semigrupo com a propriedade de que a aplica¸cão T(t) :X →X é um homeomorfismo para cada t >0, então definindo, parat <0,T(t) :=T(₋t)−1 _:_X _→_X_{, a fam´ılia de aplica¸cões cont´ınuas}_{_T₍_t_{) :}_t _∈_R_}

costuma ser chamada um grupo em X. Aqui, contudo, trabalharemos apenas com semigrupos, ou seja, com o caso onde n˜ao se tem, necessariamente, T(t) : X → X

invert´ıvel para cada t >0.

O conceito de espa¸co métrico, em conjunto com sua estrutura topológica, e a no¸cão de semigrupo, como definimos acima, são os únicos ingredientes teóricos que utilizare-mos para desenvolver toda a teoria que compõe a parte autônoma inicial deste trabalho. Fixemos, de uma vez por todas, um semigrupo_{T(t) :t_≥0_}, que também indica-mos por T(·), em um espa¸co métrico X := (X, d), que as vezes chamamos o espa¸co de fase do semigrupo.

Neste contexto, podemos dar as seguintes defini¸c˜oes necess´arias para que possamos definir o que se entende por atrator global para um semigrupo:

Diz-se que um subconjuntoA_⊂X ´einvariante pelo semigrupo_{T(t) :t_≥0_},ou simplesmente invariante, quando para todo t_≥0 tem-se T(t)A=A.

Seja (Aλ)λ∈L uma fam´ılia de subconjuntos de X invariantes pelo semigrupo T (·), ent˜ao sua reuni˜ao,A:= [

λ∈L

Aλ, ´e tamb´em invariante.

Com efeito, basta observar que para todo t≥0, T(t) [ λ∈L

Aλ

!

= [

λ∈L

T(t)Aλ, e que

para todoλ_∈L, T(t)Aλ =Aλ.

Por outro lado, a interse¸cão de uma fam´ılia de conjuntos invariantes não é, ne-cessariamente, um conjunto invariante. Entretanto, se para cada t > 0 a aplica¸cão

T(t) :X _→X é injetiva então, é fácil ver, do fato de que T(t) \ λ∈L

Aλ

!

= \

λ∈L

T(t)Aλ,

qualquer que seja a fam´ılia (Aλ)λ∈L de subconjuntos de X, que a interse¸c˜ao de invari-antes ´e invariante.

A no¸cão de conjunto invariante está intimamente ligada a de solu¸cão global, cuja defini¸cão é a seguinte:

Diz-se que uma aplicac˜ao ξ : R _→ _X _{´e uma} _solu¸c˜_{ao global} _{para o semigrupo}

{T(t) :t_≥0_}, quando para todo t_≥0 e todo τ _∈R_,

(21)

Se ξ : R _→ _X _{´e uma solu¸c˜ao global, sua imagem indica-se pelo s´ımbolo} _γ₍_ξ₎_,

ou seja, γ(ξ) := {ξ(τ) : τ ∈ R_}_{, e chama-se a} _´_orbita _de _ξ _{ou, as vezes, para evitar}

confusões, diz-se aindaórbita globalda solu¸cão ξ. Quandoξ(0) =x_∈X, costuma-se dizer que ξ é uma solu¸cão global que passa pelo ponto x ou, simplesmente, uma solu¸cão global por x.

Verifica-se que toda ´orbita global de um semigrupo ´e invariante. Com efeito, dado

x_∈γ(ξ) temos que x se escreve como x=ξ(τ) para algum τ _∈R_, _{ent˜ao se} _t_≥_{0 vem}

que T(t)x = T(t)ξ(τ) = ξ(t+τ) ∈ γ(ξ). Reciprocamente, se t ≥ 0 e x ∈ T (t)γ(ξ),

ent˜ao existe z ∈ γ(ξ) de maneira que x = T(t)z, e portanto, como z = ξ(τ) para um certo n´umero real τ, teremos x = T(t)z = T(t)ξ(τ) = ξ(t+τ), donde x _∈ γ(ξ),

concluindo a invariˆancia.

Observemos também, que toda solu¸cão global de um semigrupo T(·) é necessaria-mente cont´ınua. Porque, dados t0 real e δ >0, fixando qualquer real τ com τ < t0−δ

e usando a defini¸c˜ao de solu¸c˜ao, para todo real t_∈(t0−δ, t0+δ) podemos escrever

d(ξ(t), ξ(t0)) =d(T(t−τ)ξ(τ), T(t0−τ)ξ(τ)),

e da´ı a conclus˜ao segue pela propriedade (iii) que define o conceito de semigrupo.

Os conceitos de conjunto invariante e de solu¸cão global estão conectados por meio do próximo resultado, que também explica a estrutura geométrica que têm os conjuntos invariantes em termos de órbitas globais do semigrupo.

Proposi¸c˜ao 1.1.2. Um subconjuntoA_⊂X ´e invariante por T(_·) se, e somente se, A

é uma reunião de órbitas globais de T(_·).

Demonstra¸cão: Como vimos, toda órbita global é um conjunto invariante, logo se A

é uma reunião de órbitas globais, então Aé invariante, porque a reunião de conjuntos invariantes é invariante.

Por outro lado, suponhamos que A seja um conjunto invariante e tomemos um ponto qualquer x0 ∈A, imediatamente da invariˆancia resulta que T(t)x0 ∈ A sempre

que t ≥ 0. Agora, ainda pela invariˆancia, existe um ponto x−1 ∈ A de forma que

x0 = T(1)x−1. Pelo mesmo motivo, existe x−2 ∈ A tal que x−1 = T(1)x−2, donde,

x0 =T (2)x−2.Prosseguindo analogamente, obteremos que para cada natural n existe

um ponto x−n ∈ A satisfazendo que x−n+1 = T(1)x−n, assim T(n)x−n = x0 e mais

geralmente, por um argumento de indu¸c˜ao, vemos que T(n)x−m =xn−m toda vez que

(22)

Finalmente, definindoξ :R_→_X _pondo

ξ(τ) :=

T(τ)x0, se τ ≥0

T(τ+n)x−n seτ ∈[−n,1−n]

,

vemos queξ est´a bem definida, no sentido de que, os valores de ξ no extremo comum dos intervalos [₋n₋1,₋n] e [₋n,1₋n] coincidem para todo naturaln e, pela maneira com a qual ξ foi constru´ıda, ξ(τ) ∈ A para todo real τ. Provemos que, al´em disso,

ξ:R_→_X _{satisfaz a defini¸c˜ao de solu¸c˜ao global.}

De fato, fixado t _≥ 0, dado τ _∈ R_, _se _τ _≥ _{0 temos, em primeiro lugar, que}

T(t)ξ(τ) = T(t)T(τ)x0 =T(t+τ)x0 =ξ(t+τ),porque t+τ ≥0.

Agora, se τ < 0 existe n _∈ N _{de maneira que} _τ _∈ _[₋_n,₁₋_n_{] e temos dois casos a}

considerar:

Caso1 : t+τ ≥0. Neste caso obt´em-se

T(t)ξ(τ) =T(t)T(τ+n)x−n=T([t+τ] +n)x−n=

T(t+τ)T(n)x−n=T(t+τ)x0 =ξ(t+τ),

uma vez queT (n)x−n=x0, simplesmente pela constru¸c˜ao da sequˆencia (x−n)n∈N.

Caso 2 : t+τ <0. Para tratar esta situa¸c˜ao consideremos m ∈ N _{tal que} _t₊_τ _∈

[₋m,1₋m], ent˜ao, claramente, m _≤n, donde obt´em-se que

T(t)ξ(τ) =T(t)T(τ+n)x−n=T(t+ [τ+n])x−n=

T([t+τ +m] + [n₋m])x−n=T(t+τ +m)T(n−m)x−n.

Assim, lembrando que x−m =T(n−m)x−n, a ´ultima igualdade nos d´a

T (t)ξ(τ) =T (t+τ+m)x−m =ξ(t+τ),

o que completa a demonstra¸c˜ao.

Quando se deseja estudar o comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos, uma ferramenta bastante útil é a semidistância de Hausdorff, a qual será a “medida” respon-sável por descrever a no¸cão de proximidade entre os objetos relacionados a dinâmica do sistema.

DadosA eB, subconjuntos n˜ao vazios de X, a semidistˆancia de Hausdorff de

A até B define-se como o número real não negativo

dist(A, B) := sup a∈A

inf

b∈Bd(a, b) = sup_a_∈_Ad(a, B),

onded(a, B) := inf

(23)

Agora, a distância simétrica de Hausdorff entre A e B é definida por

dH(A, B) := dist(A, B) +dist(B, A).

Um fato que faz da semidistância de Hausdorff uma ferramenta útil nesta teoria é que ela satisfaz a desigualdade triangular, ou seja, porque vale o seguinte resultado

Lema 1.1.3. Para todos os subconjuntos n˜ao vazios A, B e C de X vale

dist(A, C)≤dist(A, B) +dist(B, C). (1.1.1)

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, dados arbitr´arios a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C tem-se

d(a, c)_≤d(a, b) +d(b, c),donde tomando-se o ´ınfimo em C obt´em-se

d(a, C)_≤d(a, b) +d(b, C), (1.1.2)

e da´ı

d(a, C)_≤d(a, B) +dist(B, C),

qualquer que sejaa_∈A. A conclus˜ao agora segue facilmente tomando-se o supremo em A.

´

E evidente da defini¸cão que se A ⊂ B, então dist(A, B) = 0 e vale também uma espécie de rec´ıproca, ou seja, que para quaisquer subconjuntos AeB deX tem-se que

dist(A, B) = 0 se, e somente se,A _⊂B. Porque, sedist(A, B) = 0 ent˜ao, fixado a_∈A

temos d(a, B) = 0, logo, simplesmente pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, para cada natural n

existe um ponto an ∈ B tal que d(a, an) < 1_n, portanto an → a, e isso significa que

a_∈B.

Desta observa¸cão podemos concluir, junto com o lema anterior, que a distância simétrica de Hausdorff define, em sentido estrito, uma distância na cole¸cão de todos os subconjuntos fechados deX.

Uma vez definida a semidistˆancia de Hausdorff podemos dar sentido ao conceito de “atra¸c˜ao”.

Diz-se que um subconjunto A de X atrai um subconjunto B de X, ou que o subconjuntoB ´eatra´ıdopelo subconjunto A, por meio (ou a¸c˜ao) do semigrupoT(·),

quando

lim

t→∞dist(T(t)B, A) = 0.

Recordemos que, dados um subconjunto A _⊂ X e um n´umero real positivo ε, a

ε-vizinhan¸ca deA, indicada porOε(A),´e definida como a reuni˜ao de todas as bolas abertas centradas em pontos de A e possuindo raio ε. Simbolicamente

Oε(A) :=

[

a∈A

(24)

Da defini¸c˜ao anterior deduz-se que um subconjuntoB´e atra´ıdo por um subconjunto

A se, e somente se, para todoε >0 existe τ =τ(ε, B)≥0 de maneira que

T(t)B _{⊂ O}ε(A) para todo t≥τ. (1.1.3)

Agora podemos introduzir a no¸c˜ao de atrator global.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Um subconjunto A de X chama-se um atrator globalpara o

semi-grupo {T(t) :t ≥0}, quando ´e compacto, invariante e atrai cada um dos subconjuntos

limitados de X pela a¸c˜ao de T(_·).

Observemos que, pela maneira como definimos o conceito de atrator global, a priori, parece ser permitido que um certo semigrupo possua mais do que um atrator global. N˜ao obstante, podemos provar facilmente que todo semigrupo possui, no m´aximo, um ´

unico atrator global no sentido da Defini¸c˜ao 1.1.4.

Proposi¸c˜ao 1.1.5. Se existe um atrator global para um semigrupo {T(t) : t ≥ 0},

então este atrator é único.

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, sejam A1 e A2 atratores globais para o semigrupo

{T(t) : t ≥ 0}. Então, como A2 é compacto, ele é um subconjunto limitado de X, e

assim, usando que_A1 ´e um atrator global, teremos

lim

t→∞dist(T(t)A2,A1) = 0.

Mas, a invariˆancia de A2 por T(·) implica T(t)A2 = A2 qualquer que seja t ≥ 0.

Levando em conta esse fato, o limite precedente nos d´a

0 = lim

t→∞dist(T(t)A2,A1) = limt→∞dist(A2,A1) = dist(A2,A1),

ou seja,dist(_A2,A1) = 0.

Logo, como vimos antes, isto implica _A2 ⊂ A1 = A1, j´a que A1 ´e um conjunto

fechado.

Invertendo os papeis de_A1 eA2 no argumento anterior, conclui-se a outra inclus˜ao,

A1 ⊂ A2, mostrando a igualdade entre os dois atratores.

Um dos principais problemas no estudo dos sistemas dinâmicos é descrever a es-trutura geométrica que tem seu atrator global. Uma classe importante de sistemas dinâmicos autônomos para os quais se conhece muito bem a estrutura de seus atra-tores, são os chamados semigrupos gradientes, os quais serão estudados em detalhes neste trabalho, a partir do próximo cap´ıtulo.

(25)

Teorema 1.1.6. Se um semigrupo_{T(t) :t_≥0_}em um espa¸co m´etricoX possui

atra-tor global A,ent˜ao A se exprime como a reuni˜ao de todos os subconjuntos invariantes

limitados de X.

Demonstra¸cão: E evidente, do fato de que´ A é limitado e invariante, que A está contido na reunião de todos os subconjuntos invariantes limitados deX.

Reciprocamente, seja B um subconjunto invariante limitado de X. Como A ´e o atrator global, A atrai B, isto ´e, lim

t→∞dist(T(t)B,A) = 0. Mas, T(t)B = B para todo

t ≥ 0, donde segue-se que dist(B,A) = 0, o que implica, como vimos, B ⊂ A = A, completando a prova.

Este último resultado possui um simples corolário que é, na verdade, o primeiro resultado sobre caracteriza¸cão de atratores em termos de solu¸cões do sistema.

Corol´ario 1.1.7. Se um semigrupo {T(t) : t ≥ 0} em um espa¸co m´etrico X possui

atrator global _A, então _A é a reunião de todas as órbitas globais limitadas de _{T(t) :

t_≥0_}.

Demonstra¸cão: Como vimos na Proposi¸cão 1.1.2, todo conjunto invariante é uma reunião de órbitas globais, assim, como _A é um conjunto invariante, resulta que _A é uma reunião de órbitas globais, as quais são obrigatoriamente limitadas porque A o é. Por outro lado, se ξ : R _→ _X _{é uma solu¸cão global limitada, também vimos que}

sua órbita, γ(ξ), é um subconjunto invariante limitado, logo está contido em _A pelo teorema anterior e a conclusão segue.

O objetivo deste cap´ıtulo é desenvolver resultados gerais que nos forne¸cam condi-¸cões suficientes para garantir a existência de atrator global, uma vez conhecido um semigrupo _{T(t) : t _≥ 0_}. Antes de come¸carmos com a discussão sobre tais resulta-dos, o que será feito na próxima se¸cão, terminemos esta apresentando mais algumas nota¸cões e defini¸cões.

Dado um subconjunto B de X , denotemos por γ+₍_B_{) sua} _semi´_{orbita positiva}

relativa ao semigrupoT(·),ou seja, o conjunto

γ+(B) :=_{T(t)x:t_≥0, x_∈B_}= [ x∈B

γ+(x).

As vezes é útil considerar “peda¸cos” de órbitas para tempos arbitrariamente grandes, isto é, dadosB _⊂X e τ _≥0 indiquemos por γ+

τ (B) o conjuntoγ+(T(τ)B),ou seja,

γ+

(26)

que costuma ser chamado asemi´orbita positiva deB `a direita de τ.

Diz-se que um semigrupo_{T(t) : t _≥0_}é limitado, quando a semiórbita positiva de qualquer subconjunto limitado de X é um limitado de X, enquanto diz-se que ele é eventualmente limitado, quando para cada subconjunto limitado B _⊂ X existe

τ =τ(B)_≥0 de maneira que γ+

τ (B) ´e um limitado de X.

Observemos que, se um semigrupo {T(t) :t ≥ 0} em um espa¸co métrico X possui atrator global_A, então _{T(t) :t _≥0_} é necessariamente eventualmente limitado, pois dado um limitadoB _⊂X e fazendoε= 1 na defini¸cão de atra¸cão teremos, em primeiro lugar, que O1(A) é lmitado e, em segundo, por (1.1.3), existe τ =τ(B) de modo que

γ+

τ(B)⊂ O1(A), dondeγτ+(B) é limitado. Em particular, se ξ:R→X é uma solu¸cão global paraT(_·) então, para todo real τ,o conjunto _{ξ(t) :t _≥τ_}é limitado.

Dados dois subconjuntos B e D de X, diz-se que D absorve o conjunto B, pela a¸c˜ao do semigrupo, quando existe um real τ =τ(B) _≥ 0 de maneira que T(t)B _⊂ D

sempre que t≥τ.

Um semigrupo {T(t) : t ≥ 0} chama-se limitado dissipativo, quando existe um subconjunto limitadoD deX que absorve cada um dos subconjuntos limitados de X

sob a a¸c˜ao de T(_·).

Finalmente, diz-se que _{T(t) :t _≥0_} ´e um semigrupoponto dissipativo, quando existe um subconjunto limitado D de X absorvendo cada um dos pontos de X pela a¸c˜ao de T(·), ou seja, quando existe um limitado D tal que para todo ponto x ∈ X

existe τ :=τ(x, D)_≥0 de modo que T(t)x_∈Dsempre que t_≥τ.

As no¸cões de atra¸cão e absor¸cão são equivalentes no sentido de que, um semigrupo

T(·) é dissipativo se, e somente se, existe um subconjunto limitadoAque atrai cada um dos subconjuntos limitados de X.Com efeito, é claro da defini¸cão da semidistância de Hausdorff que seD absorve cada um dos limitados de X, então ele atrai cada um dos subconjuntos limitados deX.Reciprocamente, supondo queA atrai todos os limitados então, fixando um ε > 0 qualquer, é imediato da observa¸cão em (1.1.3) que, pondo

D := _Oε(A), resulta que D ´e limitado e satisfaz a defini¸c˜ao de dissipatividade, como quer´ıamos.

1.2 Conjuntos

ω-limites

(27)

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dado um subconjunto B de X, seu conjunto ω-limite com respeito

a T(·), denotado por ω(B), ´e o conjunto

ω(B) := \ t≥0

[

s≥t

T(s)B

!

=\

t≥0

γt+(B).

´

E imediato constatar que o conjunto ω-limite de qualquer subconjunto B de X ´e um conjunto fechado, simplesmente por ser uma interse¸c˜ao de fechados.

Do ponto de vista prático, quer dizer, na hora de se utilizar este conceito para se demonstrar teoremas, esta defini¸cão não é muito útil. Contudo, podemos substitu´ı-la por outra mais eficiente, em termos de limites de sequências, como nos mostra a seguinte caracteriza¸cão, onde pelo s´ımboloR+

0 estamos indicando o conjunto dos n´umeros reais

n˜ao negativos [0,∞).

Lema 1.2.2. O conjunto ω-limite de um subconjunto B _⊂X est´a caracterizado por

ω(B) =_{x_∈X :existem sequˆencias (tn)n∈N em R+₀ com tn→ ∞ e

(xn)n∈N em B, tais que x= lim

n→∞T(tn)xn}. (1.2.4)

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, seja ω′₍_B_{) o conjunto definido como sendo o do lado}

direito em (1.2.4). Por um lado, dado x _∈ ω(B), para cada natural n temos, pela defini¸c˜ao de ω(B), x ∈ γ+

n(B). Logo, para cada n deve existir zn ∈ γn+(B) tal que

d(x, zn) < 1_n. Mas, pela defini¸c˜ao de γn+(B), existem tn ≥n e xn ∈B de maneira que

zn =T(tn)xn. Da´ı, evidentemente, vem que x = lim

n→∞T(tn)xn, com tn→ ∞ e (xn)n∈N

em B, ou seja, x∈ω′₍_B₎_.

Por outro lado, seja x _∈ ω′₍_B₎_, _ent˜ao _x _{= lim}

n→∞T(tn)xn, para certas sequˆencias

(tn)n∈N em R+₀, com tn→ ∞, e (xn)n∈N em B.

Agora, dadot _≥0 qualquer, escolhamos um naturaln(t) de modo quetn≥tsempre que n _≥ n(t). Nestas condi¸c˜oes, vemos facilmente que T(tn)xn ∈ γt(B) toda vez que

n ≥ n(t), donde resulta que x ∈ γt(B), e pela arbitrariedade com a qual t ≥ 0 foi tomado, conclui-se que x_∈\

t≥0

γt+(B), isto ´e,x∈ω(B) e o lema fica demonstrado.

Com a ajuda deste último resultado é muito simples ver que, paraB eC subconjun-tos deX, ω(B∪C)⊂ω(B)∪ω(C), seB ⊂C então ω(B)⊂ω(C) e que se ξ:R_→_X

é uma solu¸cão global deT(_·) tem-seω(ξ(t)) =ω(ξ(s)) quaisquer que sejam os números reais s e t.

(28)

a uma solu¸cão global (isto é, não trabalharemos com conjuntosα-limites associados a um subconjunto arbitrário B deX). Mais precisamente

Defini¸c˜ao 1.2.3. Seja ξ : R _→ _X _{uma solu¸c˜ao global do semigrupo} _{_T₍_t_{) :} _t _≥ ₀_}_.

Definimos seu conjuntoα-limite como:

α(ξ) :={x∈X :existe (tn)n∈N em R com tn → −∞ tal que x= lim

n→∞ξ(tn)}

As principais propriedades dos conjuntos ω-limites, necess´arias para o estudo que faremos dos atratores globais, sempre se verificam para os semigrupos assintoticamente compactos, que a seguir definimos.

Defini¸cão 1.2.4. Um semigrupo _{T(t) : t _≥ 0_} em um espa¸co métrico X chama-se assintoticamente compacto quando para toda sequência limitada de pontos de

X, (xn)n∈N, e toda sequência de números reais não negativos (tn)n∈N com tn → ∞, a

sequˆencia de pontos de X, (T(tn)xn)n∈N, possui uma subsequˆencia convergente.

Exemplos práticos de semigrupos assintoticamente compactos, em problemas es-pec´ıficos, podem ser encontrados sem muita dificultade. Dentre eles, destacamos os chamados semigrupos eventualmente compatos (veja a defini¸cão abaixo) que são tam-bém eventualmente limitados.

Defini¸cão 1.2.5. Diz-se que um semigrupo {T(t) :t ≥0} em um espa¸co métricoX é

eventualmente compacto, quando existe t0 >0 tal que a aplica¸c˜ao T(t0) :X → X

é uma aplica¸cão compacta, isto é, quando para cada subconjunto limitado B de X sua

imagem por T(t0)´e um conjunto relativamente compacto de X.

Suponhamos que _{T(t) : t _≥ 0_} seja um semigrupo eventualmente compacto e fixemos t0 > 0 de modo que T (t0) : X → X seja uma aplica¸c˜ao compacta. Ent˜ao,

do fato de que uma aplica¸c˜ao cont´ınua transforma conjuntos compactos em conjuntos compactos e da propriedade de semigrupo, deduz-se que para todot_≥t0, T(t) :X →

X ´e uma aplica¸c˜ao compacta, poisT(t) = T(t₋t0)T(t0) toda vez que t≥t0.

Para ver que um semigrupo eventualmente compacto{T(t) :t ≥0}e eventualmente limitado é assintoticamente compacto, sejam (tn)n∈N uma sequência de números com

tn → ∞ e (xn)n∈N uma sequˆencia limitada de pontos de X. Sejam, pelo fato de que

T(·) é eventualmente compacto, t0 > 0 tal que T(t0) : X → X é uma aplica¸cão

(29)

γ+

τ(B0), seja limitada. Finalmente, escolhamos um naturaln0 tal que tn ≥t0+τ para

todo n ≥ n0. Definindo agora o conjunto limitado B := {T(tn−t0)xn : n ≥ n0} ⊂

γ+

τ(B0),da compacidade eventual, resulta queT(t0)B´e relativamente compacto e sendo

(T(tn)xn)n≥n0 uma sequência cujos pontos são (exatamente) os pontos de T (t0)B, a conclusão segue.

Apresentemos agora as principais propriedades dos conjuntos ω-limites para semi-grupos assintoticamente compactos, as quais se encontram resumidas no seguinte lema.

Lema 1.2.6. Seja {T(t) : t ≥ 0} um semigrupo assintoticamente compacto em um

espa¸co m´etrico X. Para todo subconjunto limitado n˜ao vazio B _⊂ X, seu conjunto

ω-limite satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ω(B)é não vazio, compacto, invariante e atrai B pela a¸cão de T(·).

(ii) ω(B)´e o menor conjunto fechado de X que atrai B.

(iii) Se B ´e um conjunto conexo ou, mais geralmente, se existe um conexo C que

contém B e que é atra´ıdo por ω(B), entãoω(B) é conexo.

Demonstra¸cão: (i) Para ver que ω(B) é não vazio, escolhamos uma sequência arbitrária de números reais não negativos (tn)n∈Ncomtn→ ∞e uma sequência (xn)n∈N

de pontos de B. Da compacidade assint´otica deduz-se que a sequˆencia (T(tn)xn)n∈N

possui uma subsequˆencia convergente e o Lema 1.2.2 nos diz que este limite pertence aω(B).

A compacidade pode ser provada da seguinte maneira: Seja (xn)n∈N uma sequˆencia

de pontos em ω(B). Gra¸cas ao Lema 1.2.2, a cada n _∈ N _{est´a associado um par}

de sequˆencias (t(jn))j∈N em R+₀, com t(

n)

j →

j→∞ ∞, e (x

(n)

j )j∈N em B tais que xn = lim

j→∞T(t

(n)

j )x

(n)

j , donde concluimos que para cada natural n existe um natural jn de meneira que

d(xn, T(t( n)

jn )x

(n)

jn )< 1

n com t

(n)

jn ≥n. (1.2.5)

Como t(_jnn) _→

n→∞ ∞, pela compacidade assint´otica, podemos extrair uma

subsequˆen-cia convergente de (T(t(_jnn))x_jn(n))n∈N,a qual denotaremos por

(T(t(nk) j_nk )x

(nk) j_nk )k∈N

e seu limite por x. O Lema 1.2.2 implica agora que x∈ω(B), e de (1.2.5) obt´em-se

d(xnk, T(t( nk) j_nk )x

(nk) j_nk )<

1

nk

,

donde resulta, ap´os tomar o limite para k _{→ ∞}, que xnk →

k→∞ x, o que demonstra a

(30)

Provemos agora queω(B) ´e invariante porT(_·). Em primeiro lugar, sejamx_∈ω(B), (tn)n∈N emR+₀,com tn→ ∞,e (xn)n∈Nem B de maneira que x= lim

n→∞T(tn)xn.Ent˜ao,

se t _≥ 0 ´e dado, da continuidade do operador T(t) : X _→ X e da propriedade de semigrupo segue-se que

T(t)x=T(t)( lim

n→∞T(tn)xn) = limn→∞T(t+tn)xn,

com t +tn → ∞ e (xn)n∈N em B, o que significa que T(t)x ∈ ω(B) e estabelece a

inclus˜ao T(t)ω(B) _⊂ ω(B). Reciprocamente, sejam x _∈ ω(B), (tn)n∈N em R+₀, com

tn→ ∞, e (xn)n∈N em B de maneira que x= lim

n→∞T(tn)xn. Fixandot≥0, vemos que

x= lim

n→∞T(tn)xn= limn→∞T(t+ (tn−t))xn= limn→∞T(t)T(tn−t)xn. (1.2.6)

Por outro lado, usando novamente a compacidade assint´otica, obt´em-se um ponto z ∈

X e uma subsequˆencia (T(tnj −t)xnj)j∈N de (T(tn−t)xn)n∈N de modo que

z = lim

j→∞T(tnj −t)xnj,

donde segue-se, gra¸cas ao Lema 1.2.2, quez ∈ω(B), e usando a continuidade deT(t) :

X_→X em (1.2.6) e o fato de que toda subsequência de uma sequência convergente é convergente e converge ao mesmo limite, obtém-se

x=T(t)( lim

j→∞T(tnj−t)xnj) =T(t)z,

mostrando que x _∈ T(t)ω(B), concluindo a inclus˜ao T(t)ω(B) _⊃ ω(B) e, portanto, a invariˆancia de ω(B).

Vejamos agora queω(B) atraiBpela a¸c˜ao deT(·),ou seja, que lim

t→∞dist(T(t)B, ω(B)) =

0. Suponhamos que isto não seja certo, então deve existir ε > 0 e podemos construir uma sequência (tn)n∈N de números reais positivos com tn→ ∞ tais que

dist(T(tn)B, ω(B))> ε para todon∈N.

Por outro lado, a defini¸c˜ao da semidistˆancia nos diz que para cada natural n pode-mos encontrar um pontoxn∈B tal que

d(T(tn)xn, ω(B))> ε, (1.2.7)

mas, a compacidade assintótica de T(_·) nos permite extrair uma subsequência de (T(tn)xn)n∈N que converge a um ponto x que, obrigatoriamente, está em ω(B).

(31)

Provemos (ii) : Da defini¸cão de ω(B),segue-se que o mesmo é fechado e, pelo item anterior, atrai B porT(·). Para provar que é, precisamente, o menor fechado com esta propiedade, consideremos F um subconjunto fechado de X que atrai B por T(_·) e mostremos queω(B)_⊂F.

Com efeito, caso contr´ario, existiria um ponto x_∈ω(B) comx_6∈F.Como F ´e um conjunto fechado, tem-sed(x, F) =:δ >0.Agora, sejam (tn)n∈N em R+₀, comtn→ ∞, e (xn)n∈N em B tais que x= lim

n→∞T(tn)xn.

Por outro lado, como F atrai B, podemos encontrart∗ _>_{0 de modo que}

dist(T(t)B, F)< δ

2 sempre que t≥t

∗_.

Logo

d(T(t)z, F)< δ

2para todo z ∈B e todo t≥t

∗_.

Mas, escolhendo n(t∗₎ _∈ _N _{tal que} _t

n ≥ t∗ sempre que n ≥ n(t∗), conclui-se que para todon _≥n(t∗_{) vale}

d(T(tn)xn, F)<

δ

2,

donde, pela continuidade da fun¸c˜ao X _∋ w_7−→ d(w, F)_∈R_{, ap´os passarmos o limite}

emn, deduz-se qued(x, F)≤ δ

2,o que contraria a escolha dexe demonstra o item (ii).

Para provar (iii) suponhamos que exista um conjunto conexo C contendoB e que seja atra´ıdo por ω(B), mas que ω(B) não seja conexo. Então, podemos escrever ω(B) como reunião de dois conjuntos fechados (em ω(B)) disjuntos e não vazios F1 e F2.

Segue-se do item (i) que F1 eF2 s˜ao compactos, logo d(F1, F2) =: δ >0,onde

d(F1, F2) := inf{d(a, b) :a∈F1, b∈F2}.

Agora, como ω(B) atraiC, existe t∗ _>_{0 tal que}

T(t)C _{⊂ O}δ

2(ω(B)) para todo t≥t

∗_,

portanto

γt+∗(C)⊂ Oδ

2(ω(B)) =O δ

2(F1)∪ O δ 2(F2).

Mas γt+∗(C) é a imagem do conjunto conexo [t∗,∞)×C pela aplica¸cão cont´ınua [0,_∞)_×X _∋ (t, x) _7−→ T(t)x _∈ X e, por isso, γt+∗(C) é um conjunto conexo. Como

Oδ

2(F1) e O δ

2(F2) s˜ao abertos disjuntos, γ

+

t∗(C) deve estar inteiramente contido em exatamente um destes dois conjuntos. Suponhamos, para fixar id´eias, que sejaγt+∗(C)⊂

Oδ

2(F1). Ent˜ao,

(32)

dizendo que d(F2, F1) ≤ δ₂. O que contradiz a defini¸c˜ao de δ e permite concluir que

ω(B) ´e um conjunto conexo quando ω(B) atrai um conexo que cont´em B.

O caso em que B ´e conexo, segue do que acabamos de provar acima simplesmente fazendoC =B e usando o item (i), terminando a demonstra¸c˜ao do lema.

Para os conjuntos α-limites das solu¸cões globais limitadas dos semigrupos assin-toticamente compactos podem ser demonstradas, com provas inteiramente análogas, propriedades similares às apresentadas no lema anterior, mais precisamente, tem-se o seguinte resultado:

Lema 1.2.7. Seja ξ : R _→ _X _{uma solu¸c˜ao global limitada para um semigrupo}

assin-toticamente compacto _{T(t) : t _≥ 0_} em um espa¸co m´etrico X. Ent˜ao, o conjunto

α-limite de ξ, α(ξ), ´e n˜ao vazio, compacto, invariante, conexo e

lim

t→−∞d(ξ(t), α(ξ)) = 0. (1.2.8)

Demonstra¸cão: Provemos apenas que α(ξ) é não vazio e que vale a convergência em (1.2.8), porque as demais propriedades se demonstram analogamente ao caso do conjunto ω-limite.

Com efeito, seja (tn)n∈N uma sequência arbitrária de números não positivos com

tn→ −∞. Escrevendo para cada natural n

ξ(tn) =T(−tn)ξ(2tn),

como₋tn → ∞,e (ξ(2tn))n∈N´e uma sequˆencia limitada de pontos deX,a compacidade

assint´otica de T(·) assegura que (T(−tn)ξ(2tn))n∈N possui uma subsequˆencia

conver-gente e, portanto, (ξ(tn))n∈Npossui uma subsequência convergente então, por defini¸cão,

o limite de uma tal subsequˆencia deve pertencer aα(ξ), provando queα(ξ)₆=∅_.

Por outro lado, suponhamos que não se tenha a atra¸cão afirmada em (1.2.8).Então, existem ε > 0 e uma sequência (tn)n∈N de números não positivos com tn → −∞ de modo que

d(ξ(tn), α(ξ))≥ε para todo n∈N. (1.2.9)

Mas, repetindo o argumento que usamos para provar queα(ξ)6=∅_{conclui-se que a}

sequˆencia (ξ(tn))n∈Npossui uma subsequˆencia convergente para um pontox∈X,e este

ponto dever´a pertencer aα(ξ),o que contradiz (1.2.9) e, portanto, (1.2.8) ´e correto.

(33)

Lema 1.2.8. Sejam _{T(t) : t _≥0_} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X e A_⊂ X

um conjunto fechado e invariante. Ent˜ao

ω(A) =A.

Demonstra¸cão: Com efeito, por um lado, seja x_∈ A, então, pela invariância de A,

resulta que para cada naturaln existe um pontoxn ∈A tal quex=T(n)xn e, eviden-temente, x = lim

n→∞T(n)xn, logo x ∈ ω(A) em virtude do Lema 1.2.2, estabelecendo a

inclus˜ao A_⊂ω(A).

Por outro, sejamx∈ω(A),(tn)n∈NemR+₀ e (xn)n∈NemAtais quex= lim

n→∞T(tn)xn.

Usando a invariˆancia de A vemos que T(tn)xn ∈ A para todo natural n, donde x ∈

A=A,porque A´e fechado, dizendo que ω(A)_⊂A e a prova est´a terminada.

Observemos que a primeira parte da demonstra¸c˜ao acima, estabelece que para todo conjunto invarianteA (n˜ao necessariamente fechado) tem-se A_⊂ω(A).

1.3 Existˆ

encia de atratores

Analizemos agora o problema de se estabelecer condi¸cões suficientes que assegurem a existência de atrator global para um dado semigrupo _{T(t) : t _≥ 0_} em um espa¸co métricoX = (X, d).Provamos aqui, que a existência de atrator global para um sistema autônomo é um fenômeno equivalente à compacidade assintótica com dissipatividade, o que é o conteúdo do seguinte resultado:

Teorema 1.3.1. Seja {T(t) : t ≥0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X. Ent˜ao,

{T(t) :t ≥0} possui atrator global A se, e somente se, ´e assintoticamente compacto e

limitado dissipativo. Al´em disso, em caso afirmativo, se _B denota a cole¸c˜ao de todos

os subconjuntos limitados n˜ao vazios de X, ent˜ao o atrator A vem dado por

A= [

B∈B

ω(B). (1.3.10)

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos primeiramente que exista o atrator global _A para

{T(t) :t _≥0_}.Então, como vimos no final da Se¸cão 1.1, necessariamente_{T(t) :t_≥0_} é dissipativo. Para ver que é também assintoticamente compacto, sejam (xn)n∈N uma

sequência limitada de pontos de X e (tn)n∈N uma sequência de números não negativos

com tn → ∞.

Por um lado, considerando o conjunto limitado B :={xn:n ∈N}tem-se

lim

(34)

em particular,

lim n→∞_xsup′_∈_B

d(T(tn)x′,A) = lim

n→∞dist(T(tn)B,A) = 0. (1.3.11)

Então, simplesmente aplicando a defini¸cão de limite de sequências em (1.3.11), para cadaj _∈N_{podemos encontrar um ponto} _z_j _{∈ A} _{de maneira que}

d(T(tnj)xnj, zj)< 1

j. (1.3.12)

Agora, como_A´e um conjunto compacto, a sequˆencia (zj)j∈Npossui uma

subsequên-cia convergente. Denotando tal subsequênsubsequên-cia da mesma maneira, sejax∈ Aseu limite. Então, por (1.3.12),

d(T(tnj)xnj, x)≤d(T(tnj)xnj, zj) +d(zj, x)< 1

j +d(zj, x),

dondeT(tnj)xnj →

j→∞ x,provando a compacidade assint´otica de {T(t) :t≥0}.

Reciprocamente, suponhamos que _{T(t) : t _≥ 0_} ´e assintoticamente compacto e limitado dissipativo. Seja A := [

B∈B

ω(B) o conjunto definido em (1.3.10) e provemos

que_A ´e, de fato, o atrator global de _{T(t) :t _≥0_}.

Em primeiro lugar, notemos que, gra¸cas ao Lema 1.2.6, para cadaB ∈ B, o conjunto

ω(B) é não vazio, compacto e invariante atraindoB pela a¸cão deT(·).Da´ı, vemos que

Aé invariante, por ser uma reunião de conjuntos invariantes e, além disso, atrai cada um dos limitados de X por meio de T(·). Logo o teorema resultará demonstrado se provarmos queAé um conjunto compacto, o que faremos usando a dissipatividade de

{T(t) :t_≥0_}.

Com efeito, sejaD⊂Xum subconjunto limitado que absorve todos os subconjuntos limitados deX por meio deT(·).Tomando o fecho deD, caso seja necessário, podemos supor que D é fechado, então sua propriedade de absor¸cão junto com a propriedade (ii) dada no Lema 1.2.6, nos dizem que ω(B) ⊂ D para todo B ∈ B. Assim A ⊂ D

e portanto ω(A) ⊂ ω(D). Como A ´e invariante temos A ⊂ ω(A) e da´ı conclui-se a cadeia de inclus˜oes

A ⊂ω(A)⊂ω(D)⊂ A,

sendo a ´ultima delas devida ao fato de que D _{∈ B}. Consequentemente ω(D) = _A, concluindo a compacidade deA, levando em conta o Lema 1.2.6.

(35)

Corol´ario 1.3.2. Seja _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X. Se

T(·)´e eventualmente compacto, eventualmente limitado e ponto dissipativo, ent˜aoT(·)

possui atrator global.

Demonstra¸cão: Como T(_·) é eventualmente compacto e eventualmente limitado, ele é assintoticamente compacto, assim, em virtude do teorema anterior, é suficiente provarmos queT(·) é também limitado dissipativo.

Com efeito, sejaD0 um subconjunto limitado deX que absorve cada um dos pontos

deX pela a¸c˜ao de T(·) e consideremos o conjunto limitado D1 :=O1(D0). SendoT(·)

um semigrupo eventualmente limitado, existe τ∗ _≥_{0 de modo que o conjunto}

D:=γ+

τ∗(D1)

´e limitado.

Provemos que Dabsorve cada um dos subconjuntos limitados X.

Em primeiro lugar, observemos que D absorve subconjuntos compactos de X pela a¸c˜ao T(_·). De fato, dado K _⊂ X um subconjunto compacto, para cada x _∈ K seja

τx ≥0 tal que

T(t)x_∈D1 para todot ≥τx. (1.3.13)

Como D1 ´e um conjunto aberto, para cada x ∈K, pela continuidade do operador

T(τx) :X→X, existe δx >0 tal que

T(τx)Oδx(x)⊂D1.

Da´ı, a defini¸c˜ao do conjunto D nos mostra que

T(t)_Oδx(x)⊂D para todot ≥τx+τ∗. (1.3.14)

Pela compacidade deK, sejamx1, x2,· · · , xn,um n´umero finito de pontos deK,de modo que pondo, para j = 1,2,_{· · ·} , n, por simplicidade, δj :=δxj eτj =τxj, tem-se

K _⊂

n

[

j=1

Oδj(xj).

Usando este fato junto com (1.3.14) vemos que se τK := max

1≤j≤pτj ent˜ao

T(t)K ⊂D para todo t≥τ∗+τK. (1.3.15)

Finalmente, pelo fato de que T(_·) ´e eventualmente compacto, existet0 >0 de modo

(36)

qualquerB _⊂X o conjunto K :=T(t0)B é um compacto que contém T (t0)B e então

(1.3.15) nos diz que

T(t)T(t0)B ⊂T(t)K ⊂D para todo t≥τ∗+τK.

Logo, pondo τ(B) := t0+τK +τ∗, conclui-se que

T(t)B ⊂Dpara todo t≥τ(B),

(37)

2

Semigrupos Gradientes

Apresentaremos agora a classe dos semigrupos gradientes. Nosso principal resul-tado, no caso autˆonomo, consiste em caracterizar estes sistemas por meio da dinˆamica que possuem.

Neste cap´ıtulo, veremos que os semigrupos gradientes possuem uma dinâmica que pode ser compreendida de forma bastante detalhada. Mostraremos que sua dinâmica fica completamente determinada por meio de uma fun¸cão auxiliar, chamada fun¸cão de Lyapunov, possuindo propriedades bastante particulares, evidenciando, assim, que os sistemas gradientes compõem uma classe bastante nobre de semigrupos.

2.1 Fun¸

c˜

ao de Lyapunov

A fim de introduzir o conceito de fun¸cão de Lyapunov, precisaremos definir mais algumas no¸cões; uma delas é a de conjunto invariante isolado.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja {T(t) :t≥0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X.

(i)Diz-se que um conjunto invarianteΞ_⊂X´e umconjunto invariante isolado,

quando existe δ > 0 tal que Ξ ´e o conjunto invariante maximal de T(_·) contido em

Oδ(Ξ), em outros palavras, se A ´e um conjunto invariante por T(·) contido em Oδ(Ξ),

ent˜ao A_⊂Ξ.

(ii) Seja Ξ := _{Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn} um conjunto finito de conjuntos invariantes por

T(·). Diz-se que Ξ ´e uma fam´ılia (finita) disjunta de conjuntos invariantes

isolados, quando cada um de seus elementos ´e um conjunto invariante isolado,

se-gundo(i), e existeε >0de maneira que_Oε(Ξi)∩Oε(Ξj) = ∅sempre que1≤i < j ≤n.

(38)

Não é dif´ıcil ver que, se T(_·) possui atrator global, então o fecho de cada um de seus subconjuntos invariantes limitados é também invariante, de onde resulta que para estes semigrupos, seus invariantes isolados limitados são conjuntos fechados.

Outro conceito fundamental relacionado ao anterior é o de ponto de equil´ıbrio. Os pontos de equil´ıbrio e, mais geralmente, os conjuntos invariantes isolados, são objetos responsáveis pela organiza¸cão da dinâmica do sistema.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Uma solu¸c˜ao global ξ : R _→ _X _{chama-se uma} _solu¸_c˜_ao

estacio-nária ou um ponto (ou solu¸cão) de equl´ıbrio de {T(t) : t ≥ 0}, quando é uma

aplica¸c˜ao constante, ou seja, quando ´e da forma ξ(t) =z∗ _{para todo real} _t _{e um certo}

pontoz∗ _∈_X. _{Indicaremos por} _E _{o conjunto dos pontos de equil´ıbrio de} _T₍_·₎_.

Sez∗ _{´e um ponto de equil´ıbrio de} _T₍_·_{), ent˜ao} _T₍_t₎_z∗ ₌_z∗ _{qualquer que seja} _t_≥₀_.

Sejam I _⊂R _{um conjunto de n´}_{umeros reais e} _ϕ _:_I _→R _{uma fun¸c˜ao real definida}

em I, recordemos:

Diz-se que ϕ ´e decrescente (resp. crescente) quando dados t < s em I tem-se

ϕ(t)> ϕ(s) (resp. ϕ(t)< ϕ(s)).

Diz-se que ϕénão crescente (resp. não decrescente) quando dadost < s em I

tem-seϕ(t)≥ϕ(s) (resp. ϕ(t)≤ϕ(s)).

J´a temos tudo o que precisamos para definir os semigrupos gradientes.

Defini¸c˜ao 2.1.3. Sejam _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X e

Ξ := {Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn} uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados.

Diz-se que {T(t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo gradiente generalizado com respeito

`a fam´ılia Ξ, quando existe uma fun¸c˜ao V : X _→ R _{satisfazendo as seguintes quatro}

propriedades:

(i) V :X →R _{´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.}

(ii) V : X _→ R _{é não crescente ao longo de solu¸cões, isto é, para todo} _x _∈ _X _a

fun¸cão real de uma variável real [0,∞)∋t 7−→V(T(t)x)∈R _{é não crescente.}

(iii) Se para algum x∈X tem-se V(T(t)x) = V(x) para todot ≥0, ent˜ao x∈Ξpara

algum Ξ_∈Ξ.

(iv) V : X → R _{´e constante sobre cada subconjunto invariante isolado pertencente a}

Ξ.

Uma fun¸c˜ao V : X _→ R _{satisfazendo estas condi¸c˜oes chama-se uma} _fun¸_c˜_{ao de}

(39)

No caso especial em que se tem Ξ=_E :=_{z∗

1, z∗2· · ·, zn∗}, diz-se simplesmente que

T(·) ´e um semigrupo gradiente e a fun¸c˜ao V :X →R _{associada, uma} _fun¸_c˜_{ao de}

Lyapunov paraT(_·).

Observemos que um semigrupo gradiente pode ser entendido como uma terna (T(_·),Ξ, V),ondeT(_·) representa o semigrupo,Ξ a fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados eV a fun¸c˜ao de Lyapunov correspondente.

Podemos ilustrar a defini¸cão anterior de fun¸cão de Lyapunov com o seguinte exem-plo, o qual é o protótipo dos sistemas gradientes que costumam ser encontrados nas aplica¸cões. Sua leitura, contudo, pode ser omitida sem nenhum prejuizo ao entendi-mento do restante do texto.

Exemplo 2.1.4. Sejam N ∈ N _e _f _{uma fun¸c˜ao} _C2"_RN_;_R _{tal que para alguma} constanteC > 0 tem-se

|∇f(x)_{| ≤}C(1 +_|x_|) qualquer que seja x_∈RN_. _(2.1.1)

Consideremos o problema de Cauchy

˙

x=_−∇f(x), t >0

x(0) =x0 ∈RN , (2.1.2)

onde, evidentemente, _∇f(x) representa o gradiente da fun¸c˜ao f avaliado no ponto

x∈RN_.

Sendo ∇f : RN _→ RN _{um campo de vetores de classe} _C1_, _{portanto localmente}

Lipschitz, e levando em conta (2.1.1), sabemos que o operador solu¸c˜ao associado ao problema (2.1.2) define um semigrupo (de fato um grupo) no espa¸co m´etricoRN_{. Em} outras palavras, definindo para t ≥ 0 e x0 ∈ RN T(t)x0 := x(t, x0), onde x(·, x0) :

[0,_∞) _→RN _{é a ´}_{unica solu¸cão (em sentido clássico) do problema (2}_.₁_.₂₎_, _{resulta que}

{T(t) : t _≥ 0_} ´e um semigrupo em RN_. _{Suponhamos que} _∇_f _: _RN _→ _RN _possua somente um n´umero finito de zeros emRN_,_digamos, _E _:=_{_z∗

1, z2∗,· · · , z∗n}.

Nestas condi¸cões, a fun¸cãof :RN _→R_{é uma fun¸cão de Lyapunov para o semigrupo}

{T(t) :t _≥0_} com respeito ao conjunto _E.

Demonstra¸cão: Evidentemente, f : RN _→ _R _{é uma fun¸cão cont´ınua, já que é} de classe C2_, _e _E ₌ _{_z∗

(40)

Com efeito, dado x0 ∈ RN, a fun¸c˜ao real de uma vari´avel real [0,∞) ∋ t 7−→

f(T(t)x0) = f(x(t, x0)) ∈ R ´e de classe C1 e ent˜ao, a regra da cadeia e o fato de que

x(_·, x0) : [0,∞)→RN ´e solu¸c˜ao do problema (2.1.2), nos dizem que, para todo t >0

d

dt(f◦x(·, x0))(t) =∇f(x(t, x0))·x˙(t, x0) = − |∇f(x(t, x0))|

2

≤0, (2.1.3)

onde o ponto “_·” representa o produto escalar euclidiano emRN _e _|·|_{sua norma} corres-pondente.

A igualdade (2.1.3) mostra que a derivada da fun¸c˜ao

[0,_∞)_∋t_7−→f(T(t)x0) = f(x(t, x0))∈R

é não positiva, logo tal fun¸cão deve ser não crescente, ficando estabelecida a condi¸cão (ii).

Finalmente, suponhamos que x0 ∈ RN seja tal que f(T(t)x0) = f(x0) para todo

t_≥0.Ent˜ao (2.1.3) nos mostra que para todo t >0 temos

0 = d

dtf(x0) = d

dt(f ◦x(·, x0))(t) = − |∇f(x(t, x0))|

2

=_{− |}x˙(t, x0)|2,

ou seja, ˙x(t, x0) = 0 para todo t > 0, donde x(t, x0) = x0 para todo t > 0, portanto

x0 ∈ E, completando a justificativa do exemplo.

2.2 Estrutura dos semigrupos gradientes

Os semigrupos gradientes constituem um dos poucos exemplos de sistemas, que se conhecem, para os quais é poss´ıvel descrever, de maneira bastante precisa, a dinâmica que possuem. Comecemos o estudo do comportamento das solu¸cões globais de um sistema desta natureza sendo necessário, para isto, introduzir a no¸cão de estrutura homocl´ınica como segue:

Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X

pos-suindo atrator global _A e uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados

limitados Ξ := {Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn}. Uma estrutura homocl´ınica em A relativa a ÷

consiste em um subconjunto _{Ξl1,Ξl2,· · · ,Ξlk} ⊂ Ξ em conjunto com uma fam´ılia de

solu¸c˜oes globais _{ξj : R → X : j = 1,· · · , k} tais que, pondo Ξl(k+1) := Ξl1, para todo

j = 1,2,· · · , k, tem-se:

(i) Para cada j existe tj ∈R com ξj(tj)6∈(Ξlj ∪Ξl(j+1)) e

(ii)

lim

(41)

Uma estrutura homocl´ınica pode ser entendida como uma espécie de pol´ıgono con-tido emA, onde os vértices estão representados pelos conjuntos invariantes isolados e as arestas representadas pelas órbitas das solu¸cões globais que os conectam, mas sempre levando em conta uma certa “orienta¸cão” nas arestas quando se passa de um vértice a outro.

Observemos que a condi¸cão: “Para cadaj existetj ∈Rcomξj(tj)6∈(Ξlj∪Ξl₍j+1))”, exigida no item (i) da defini¸cão acima, somente é necessária no caso em que se tem

k = 1, uma vez que, sendo Ξ uma fam´ılia finita disjunta de invariantes isolados, ´e evidente que quando (2.2.4) se verifica, a solu¸c˜ao ξj, devido a sua continuidade, deve deixar ambos os conjuntos Ξlj e Ξl₍j+1) em algum instante tj.

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Sejam _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo gradiente generalizado com

respeito `a uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isoladoslimitadosΞ:=

{Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn}, possuindo atrator global A e V : X → R sua fun¸c˜ao de Lyapunov

correspondente.

Verificam-se as duas propriedades seguintes:

(i) Se ξ : R _→ _X _{´e uma solu¸c˜ao global limitada de} _T₍_·₎_{, existem ´ındices} _{i, j} _∈

{1,2,· · · , n} tais que

lim

t→−∞d(ξ(t),Ξi) = 0 e tlim→∞d(ξ(t),Ξj) = 0.

(ii) O atrator A n˜ao possui estruturas homocl´ınicas relativas a Ξ.

Demonstra¸c˜ao: Para provar (i) consideremos ξ : R _→ _X _{uma solu¸c˜ao global}

limitada para _{T(t) : t_≥0_} então, gra¸cas a (ii) na Defini¸cão 2.1.3, a fun¸cão R_∋_t _7→

V(ξ(t))_∈ R_{é monótona e pelo fato de que} _ξ₍_t_{) está no compacto}_A _{para todo}_t _∈R_,

segue-se a existˆencia dos limites

L:= lim

t→−∞V(ξ(t)) e l:= limt→∞V(ξ(t)). (2.2.5)

Sejamα(ξ) eω(ξ), respectivamente, os conjuntosαeω-limites associados `a solu¸c˜ao

ξ. De (2.2.5) acima e da caracteriza¸cão dos conjuntos limites em termos de limites de sequências, segue-se que V, restrita a α(ξ), é constante igual a L e, por sua vez, restrita a ω(ξ) é constante igual a l. Então, dado x _∈ ω(ξ), como ω(ξ) é invariante,

T(t)x∈ω(ξ) para todo t ≥0, dondeV(x) =V(T(t)x) =l para todo t ≥0 e por (iii) da Defini¸c˜ao 2.1.3, isto obrigax a estar em Ξj para algum j ∈ {1,2,· · · , n}.

(42)

conta as propriedades de atra¸c˜ao que possuem os conjuntosα eω-limites, terminamos a prova do item (i) desta proposi¸c˜ao.

Para o item (ii), sejam _{Ξl1,· · · ,Ξlk} ⊂ Ξ e {ξj : R → X : j = 1,· · · , k}, um conjunto de solu¸c˜oes globais, formando uma estrutura homocl´ınica relativa aΞ, isto ´e, pondo Ξl₍k+1) := Ξl1, tem-se para cadaj = 1,2,· · ·, k

lim

t→−∞d(ξj(t),Ξlj) = 0 e limt→∞d(ξj(t),Ξl(j+1)) = 0. (2.2.6) Sejam, de acordo com a propriedade (iv) da Defini¸cão 2.1.3, para cadaj = 1,2,_{· · ·} , k+ 1, Lj o valor constante que a fun¸cão V assume sobre o conjunto Ξlj. Da continuidade deV e da propriedade (ii) da Defini¸cão 2.1.3 resultaL1 ≥L2 ≥ · · · ≥Lk≥Lk+1 =L1,

logo todos osLj’s devem ser iguais entre si e, digamos, que valhamL.

Por outro lado, fixado j = 1,2,_{· · ·} , k como a solu¸c˜ao ξj ´e tal que Lj ≥V (ξj(t))≥

Lj+1, para todo t ∈ R, e Lj = Lj+1 = L, ent˜ao, para todo real s V(T(t)ξj(s)) =

V(ξj(t+s)) =L=V(ξj(s)) para todot≥0.Agora, a condi¸cão (iii) da Defini¸cão 2.1.3 diz que, nestas condi¸cões, ξj(s) ∈ Ξ para algum Ξ ∈ Ξ, donde conclui-se facilmente que, na verdade, ξ(t) ∈ Ξ para todo t ∈ R_. _{Logo, por (2}_.₂_.₆₎_, _Ξ_lj _{= Ξ}_l

(j+1) = Ξ, pela arbitrariedade com a qual escolhemos j = 1,2,_{· · ·} , k, conclui-se que todos os invariantes Ξl1,· · · ,Ξlk são iguais entre si, digamos iguais a Ξ, e que, portanto, todas as solu¸cões ξj :R → X, j = 1,· · · , k estão contidas em Ξ, o que está em contradi¸cão com o fato de que _{Ξl1,· · · ,Ξlk} ⊂ Ξ juntamente com {ξj : R → X : j = 1,· · · , k} constituem uma estrutura homocl´ınica, estabelecendo a propriedade (ii) e completando a demonstra¸cão.

Com base na proposi¸cão anterior e no Corolário 1.1.7 podemos obter uma infor-ma¸cão adicional sobre a estrutura geométrica dos atratores dos semigrupos gradientes. Para isso, devemos definir os conceitos de conjuntos estáveis e instáveis associados a um conjunto invariante.

Defini¸c˜ao 2.2.3. Sejam _{T(t) : t _≥ 0_} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X e Ξ

um conjunto invariante. Define-se:

(a) O conjunto inst´avel de Ξ como

Wu_{(Ξ) :=}

{x_∈X :existe ξ :R_→_X_{, solu¸c˜ao global, com} _ξ_{(0) =}_x

tal que lim

t→−∞d(ξ(t),Ξ) = 0}.

(b) O conjunto est´avel de Ξ como

Ws(Ξ) :={x∈X : lim

(43)

Observemos que, se x _∈ Wu_{(Ξ) e} _ξ _: _R _→ _X _{´e uma solu¸c˜ao global para} _T₍_·_{) com}

ξ(0) = x e lim

t→−∞d(ξ(t),Ξ) = 0, ent˜ao ξ(s) ∈ W

u_{(Ξ) para todo real} _s, _{uma vez que,}

dado s ∈ R_{, definindo} _ξ_s _: R _→ _X _por _ξ_s₍_t_{) :=} _ξ₍_t₊_s_{) para cada real} _t_{, ´e imediato}

que ξs : R → X é solu¸cão global para T(·) e, além disso, satisfaz lim

t→−∞d(ξs(t),Ξ) =

lim

t→−∞d(ξ(t+s),Ξ) = 0, com ξs(0) =ξ(s).

Corol´ario 2.2.4. Sejam {T(t) : t ≥ 0} um semigrupo gradiente generalizado com

respeito `a fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados limitados Ξ :=

{Ξ1,Ξ2,· · · ,Ξn}. Se {T(t) : t ≥ 0} possui atrator global A, então A é a reunião

dos conjuntos inst´aveis dos conjuntos invariantes isolados pertencentes a Ξ.

Simboli-camente:

A =

n

[

j=1

Wu(Ξj). (2.2.7)

Demonstra¸cão: Com efeito, por um lado, do Corolário 1.1.7, temos que A é a reunião de todas as órbitas globais limitadas de T(·), então, se ξ : R _→ _X _{é uma}

solu¸cão global limitada, (i) da Proposi¸cão 2.2.2 assegura que a ela está associado um elemento Ξ∈ Ξ de maneira que lim

t→−∞d(ξ(t),Ξ) = 0, o que significa, como observamos

acima, que para todo realt,ξ(t)_∈Wu_(Ξ)_, _{estabelecendo a inclus˜ao} _{A ⊂} n

[

j=1

Wu_(Ξ j).

Reciprocamente, sejam x _∈ Wu_(Ξ)_, _{para algum Ξ}

∈ Ξ, e ξ : R _→_X _{uma solu¸c˜ao}

global para T(_·) com ξ(0) = x e lim

t→−∞d(ξ(t),Ξ) = 0, como Ξ ´e limitado, segue-se que

para todo real τ o conjunto _{ξ(t) : t _≤ τ_} é limitado e como já vimos, para todo real τ o conjunto _{ξ(t) : t _≥ τ_} é também limitado, mostrando que a solu¸cão ξ tem órbita limitada, donde segue, pelo Corolário 1.1.7, que tal órbita está contida em A

e, em particular, x _{∈ A}, dizendo que a inclus˜ao n

[

j=1

Wu_(Ξ

j) ⊂ A tamb´em se verifica,

terminando a demonstra¸c˜ao.

Se um semigrupo T(_·) possui atrator global _Ae uma fam´ılia finita disjunta de con-juntos invariantes isoladosΞ ={Ξ1,· · · ,Ξn}de maneira queAadmite a representa¸c˜ao dada em (2.2.7), costuma-se dizer que T(_·) possui atrator de tipo gradiente.