Convergˆ encia das fun¸ c˜ oes de Lyapuno

Aqui, simplesmente para completar a an´alise sobre perturba¸c˜oes n˜ao autˆonomas de um semigrupo gradiente, seguindo as id´eias desenvolvidas na Se¸c˜ao 5.2, damos condi- ¸c˜oes suficientes para garantir a convergˆencia das fun¸c˜oes de Lyapunov dos processos perturbados, em um sentido a ser precisado no pr´oximo teorema, para a fun¸c˜ao de Lyapunov do semigrupo limite.

Teorema 7.5.12. Seja _{Tη(t, s) : t ≥ s}η∈[0,1] uma fam´ılia coletivamente assintotica-

mente compacta de processos de evolu¸c˜ao em um espa¸co m´etrico X com correspondente fam´ılia de atratores pullback (_Aη)η∈[0,1], satisfazendo as condi¸c˜oes (a) e (d) do Teorema

7.5.1.

Suponhamos que T0(t, s) = S(t− s) sempre que t ≥ s, para um certo semigrupo

{S(t) : t ≥ 0}.

Para cada η ∈ [0, 1], seja Aη := {Aη(t) : t ∈ R} um atrator local para {Tη(t, s) :

t≥ s} com correspondente repulsor complementar A∗

η :={A∗η(t) : t∈ R} de modo que

A0(t) = A0 para todo real t, onde A0´e um atrator local para o semigrupo {S(t) : t ≥ 0}.

Suponhamos tamb´em, que as fam´ılias (Aη)η∈[0,1], (A∗η)η∈[0,1] e (Aη)η∈[0,1] sejam con-

t´ınuas em η = 0, isto ´e, que se cumpram as convergˆencias lim η→0+sup_t∈R dH(Aη(t), A0) = 0, lim η→0+sup t∈R dH(A∗η(t), A ∗ 0) = 0 e lim η→0+sup_t∈RdH(Aη(t),A0) = 0.

Finalmente, para cada η _{∈ [0, 1], seja f}η : R × X → R a fun¸c˜ao de Lyapunov

associada ao par atrator-repulsor (Aη, A∗η) definida, como antes, por

fη(t, x) := kη(t, x) + hη(t, x), (t, x)∈ R × X, onde hη(t, x) := sup r≥0 d(Tη(r + t, t)x,Aη(t + r)), (t, x)∈ R × X, e kη(t, x) := sup r≥0 lη(t+r, T (t+r, t)x), sendo lη(t, x) := d(x, Aη(t)) d(x, Aη(t)) + d(x, A∗η(t)) , (t, x) ∈ R×X. Ent˜ao, para cado compacto K de X tem-se

lim

η→0+sup_t∈R sup_x∈K|fη(t, x)− f0(x)| = 0.

Demonstra¸c˜ao: Como fizemos no caso autˆonomo, dividimos a demonstra¸c˜ao em trˆes passos:

Passo 1: Convergˆencia uniforme das lη para l0 sobre todo o produto R×X, ou seja,

lim

Com efeito, pela desigualdade triangular da semidistˆancia de Hausdorff, para cada η∈ [0, 1], x ∈ X e t ∈ R temos |d(x, Aη(t))− d(x, A0)| ≤ dH(Aη(t), A0) (7.5.43) e  d(x, A∗ η(t))− d(x, A∗0)   ≤ dH(A∗η(t), A∗0). (7.5.44)

Agora, dados η ∈ [0, 1], t ∈ R e x ∈ X tem-se a seguinte igualdade lη(t, x)− l0(x) =

[d(x, Aη(t))− d(x, A0)]d(x, A∗0) + d(x, A0)[d(x, A∗0)− d(x, A∗η(t))]

[d(x, Aη(t)) + d(x, A∗η(t))][d(x, A0) + d(x, A∗0)]

. Como d(A0, A∗0) > µ para algum µ > 0, usando o fato de que as fam´ılias de

atratores e repulsores s˜ao cont´ınuas, existe ˜η _{∈ (0, 1] tal que d(A}η(t), A∗η(t))≥ µ 2, para

todo η_{∈ [0, ˜η] e todo t ∈ R (observemos que, da´ı, segue-se tamb´em que as fun¸c˜oes l}η

est˜ao bem definidas para η suficientemente pequeno). De (7.5.43) e (7.5.44) obt´em-se, levando em conta a ´ultima igualdade, que

|lη(t, x)− l0(x)| ≤ 1 d(x, Aη(t)) + d(x, A∗η(t)) [dH(Aη(t), A0) + dH(A∗η(t), A ∗ 0)] ≤ _µ1[dH(Aη(t), A0) + dH(A∗η(t), A∗0)],

para todo t_{∈ R, x ∈ X e η ∈ [0, ˜η] e, portanto, para η ∈ [0, ˜η] temos} sup t∈R sup x∈X|l η(t, x)− l0(x)| ≤ 1 µ[supt∈R dH(Aη(t), A0) + sup t∈R dH(A∗η(t), A∗0)].

Donde conclui-se a convergˆencia uniforme, em R× X, simplesmente usando a hip´otese de continuidade das fam´ılias de atratores e seus repulsores.

Passo 2: Para cada compacto K ⊂ X temos

lim η→0+sup t∈R sup x∈K|k η(t, x)− k0(x)| = 0.

Com efeito, dado x_{∈ X, pelo item (ii) do Lema 4.1.7, temos S(t)x →}

t→∞A0∪ A ∗ 0, e

da´ı seguem-se trˆes casos a considerar:

Caso 1: S(t)x →

t→∞ A0 com l0(x) > 0.

Neste caso, escolhamos 0 < θ < l0(x). Uma vez que l0 : X → R ´e cont´ınua (confira

a prova da Proposi¸c˜ao 4.2.2), existe σ1 > 0 tal que l0(Oσ1(x)) ⊂ (

θ

2, 1]. Usando a

convergˆencia lη → η→0+

l0 obtida no Passo 1, existe η0 ∈ (0, 1] tal que lη(t,Oσ1(x)) ⊂ (θ, 1]

Usando, novamente, a continuidade da fun¸c˜ao l0 : X → R, dado 0 < α < θ₂, existe

δ > 0 de maneira que l0(Oδ(A0)) ⊂ [0, α). Agora, devido ao Lema 7.5.9, existem

δ′ _{∈ (0,} δ

2) e η1 ∈ (0, η0] tais que

Tη(t, s)(Oδ′(A_η(s)))⊂ Oδ

2(Aη(t)) para t≥ s e η ∈ [0, η1] quaisquer. (7.5.45)

Pela semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1]em η = 0, podemos escolher η2 ∈ (0, η1]

tal que

A0 ⊂ Oδ′

2(Aη(t)) para todo t ∈ R e η ∈ [0, η2]. (7.5.46)

Pelo fato de que S(t)x →

t→∞A0, escolhamos t0 > 0 de maneira que S(t0)x∈ Oδ′4(A0) e

pela continuidade da aplica¸c˜ao S(t0) : X → X seja σ2 ∈ (0, σ1] tal que S(t0)(Oσ2(x)) ⊂

Oδ′

4(A0). Gra¸cas a hip´otese de convergˆencia dada em (d), podemos encontrar σ3 ∈

(0, σ2] e η3 ∈ (0, η2] tais que para todo η ∈ [0, η3] tem-se Tη(t0+s, s)(Oσ3(x))⊂ Oδ′ 2(A0)

qualquer que seja s_{∈ R. Da´ı e de (7.5.46), obt´em-se T}η(t0+ s, s)(Oσ3(x))⊂ Oδ′(Aη(t))

para todo par s e t de n´umeros reais, sempre que η ∈ [0, η3], e de (7.5.45), em particular,

conclui-se que

Tη(t + s, s)(Oσ3(x)) ⊂ Oδ

2(Aη(t + s)) para todo t≥ t0, η ∈ [0, η3] e s∈ R. (7.5.47)

Por outro lado, observemos que, da convergˆencia uniforme lη →

η→0+ l0 em R× X,

obt´em-se η4 ∈ (0, η3] de maneira que, para todo η ∈ [0, η4], lη(t,Oδ(A0)) ⊂ [0, 2α)

para todo t_{∈ R. Pela semicontinuidade superior da fam´ılia (A}η)η∈[0,1] em η = 0 existe

η5 ∈ (0, η4] de modo que, se η ∈ [0, η5], ent˜ao Aη(t)⊂ Oδ

2(A0) para todo t ∈ R. Da´ı,

Oδ

2(Aη(t)) ⊂ Oδ(A0) para todo η ∈ [0, η5] e t ∈ R. Ent˜ao, lη(t,O δ

2(Aη(τ ))) ⊂ [0, 2α)

para todo η_{∈ [0, η}5] e t e τ em R. De (7.5.47) conclui-se que

sup

t≥t0

lη(t + s, Tη(t + s, s)z)≤ 2α < θ < lη(s, z)≤ kη(s, z),

para cada η∈ [0, η5], s∈ R e z ∈ Oσ3(x)⊂ Oσ1(x). Consequentemente

kη(s, z) = sup 0≤t≤t0

lη(t + s, Tη(t + s, s)z)

para todo η_{∈ [0, η}5], s∈ R e z ∈ Oσ3(x).

Finalmente, dado ε > 0, pelo Paso 1, existe η6 ∈ (0, η5] tal que

|lη(t, w)− l0(w)| <

ε

2 para todo η∈ [0, η6], w ∈ X e t ∈ R.

Pela continuidade uniforme da fun¸c˜ao l0 : X → R, consideremos β > 0 tal que se w

e w′ _{est˜ao X e satisfazem d(w, w}′_{) < β ent˜ao |l}

0(w)− l0(w′)| < ε₂ e, pela hip´otese de

convergˆencia (d) podemos escolher η7 ∈ (0, η6] e σ4 ∈ (0, σ3] tais que

sup s∈R sup z∈O_σ4(x) sup 0≤t≤t0 d(Tη(t + s, s)z, S(t)z) < β para todo η∈ [0, η7].

Da´ı, podemos escrever

|lη(t + s, Tη(t + s, s)z)− l0(S(t)z)| ≤

|lη(t + s, Tη(t + s, s)z)− l0(Tη(t + s, s)z)| + |l0(Tη(t + s, s)z)− l0(T0(t)z)| < ε,

para todo z ∈ Oσ4(x), t∈ [0, t0], s∈ R e η ∈ [0, η7]. O que implica

sup

s∈R

sup

z∈O_σ4(x)|k

η(s, z)− k0(z)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η7], (7.5.48)

onde σ4 > 0 e η7 > 0 dependem somente do ponto x∈ X, do conjunto A0 e do ε > 0

dado.

Caso 2: l0(x) = 0.

Neste caso temos x_{∈ A}0 e, consequentemente, k0(x) = 0 (porque S(t)x∈ A0 para

todo t≥ 0 e l−1

0 (0) = A0).

Dado ε > 0, pela continuidade de l0 : X → R , tomemos δ > 0 tal que l0(Oδ(A0))⊂

[0,ε 4).

Agora, devido a convergˆencia uniforme de (lη)η∈[0,1]para l0 em todo o produto R×X

existe η0 ∈ (0, 1] tal que

lη(t,Oδ(A0))⊂ [0,

ε

2) para cada η∈ [0, η0] e t∈ R. (7.5.49)

Da semicontinuidade superior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0 obt´em-se a existˆencia de

η1 ∈ (0, η0] tal que para todo η ∈ [0, η1] e todo t ∈ R tem-se Aη(t) ⊂ Oδ

2(A0), donde

conclui-se que_Oδ

2(Aη(t))⊂ Oδ(A0) se η ∈ [0, η1] e t∈ R. De (7.5.49) resulta que para

todo η∈ [0, η1]

lη(t,Oδ

2(Aη(s)))⊂ [0,

ε

2) quaisquer que sejam s e t em R. (7.5.50)

Escolhamos agora η2 ∈ (0, η1] e δ′ ∈ (0, δ₂), gra¸cas ao Lema 7.5.9, tais que

Tη(t, s)(Oδ′(A_η(s)))⊂ Oδ

2(Aη(t)) toda vez que t≥ s e η ∈ [0, η2]. (7.5.51)

Finalmente, pela semicontinuidade inferior da fam´ılia (Aη)η∈[0,1] em η = 0 existe

η3 ∈ (0, η2] tal que

A0 ⊂ Oδ′

2 (Aη(t)) para todo η ∈ [0, η3] e t∈ R. (7.5.52)

Assim, por (7.5.52) e por (7.5.51), para η_{∈ [0, η}3], s∈ R e z ∈ Oδ′

2(A0)⊂ Oδ′(Aη(s)),

obt´em-se que Tη(t + s, s)z ∈ Oδ

2(Aη(t + s)) para todo t ≥ 0, e ent˜ao, de (7.5.50),

segue-se que kη(s, z) = sup t≥0 lη(t + s, Tη(t + s, s)z)≤ ε 2,

para todo η_{∈ [0, η}3], s∈ R e z ∈ Oδ′ 2 (A0). Em particular, sup s∈R sup z∈Oδ′ 2 (A0) |kη(s, z)− k0(z)| ≤ ε para todo η ∈ [0, η3], (7.5.53) onde δ′ _{> 0 e η}

3 > 0 dependem somente de A0 e do ε > 0 dado.

Caso 3: S(t)x →

t→∞A

∗ 0.

Neste caso ´e f´acil ver que k0(x) = 1. Pela continuidade de l0 : X → R, dado ε > 0,

seja δ > 0 tal que

l0(Oδ(A∗0))⊂ (1 −

ε 4, 1] e, pela convergˆencia uniforme lη →

η→0+ l0 em R× X, seja η0 ∈ (0, 1] tal que

lη(t,Oδ(A∗0))⊂ (1 −

ε

2, 1] para η∈ [0, η0] e t∈ R. (7.5.54)

Por outro lado, consideremos t0 > 0 tal que S(t0)x∈ Oδ

2(A

∗

0) e, pela continuidade

da aplica¸c˜ao S(t0) : X → X, tomemos σ1 > 0 tal que S(t0)(Oσ1(x)) ⊂ Oδ

2(A

∗ 0).

Usando a hip´otese de convergˆencia (d), sejam η1 ∈ (0, η0] e σ2 ∈ (0, σ1] tais que Tη(t0+

s, s)(_Oσ2(x)) ⊂ Oδ(A

∗

0) para η ∈ [0, η1] e s∈ R quaisquer.

Finalmente, de (7.5.54) deduz-se que lη(t0 + s, Tη(t0 + s, s)(Oσ2(x))) ⊂ (1 −

ε 2, 1]

para todo η ∈ [0, η1] e todo s ∈ R. Portanto, 1 − ε₂ < lη(t0 + s, Tη(t0 + s, s)z) ≤

kη(s, z) ≤ 1 quaisquer que sejam z ∈ Oσ2(x), s ∈ R e η ∈ [0, η1]. Isto obriga a que

|kη(s, z)− k0(z)| ≤ ε para η ∈ [0, η1], s∈ R e z ∈ Oσ2(x) e ent˜ao sup s∈R sup z∈O_σ2(x)|k η(s, z)− k0(z)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η1], (7.5.55)

onde σ2 > 0 e η1 dependem apenas do conjunto A∗0, do ponto x∈ X e do ε > 0 dado.

Agora, reunindo as conlus˜oes dos Casos 1, 2 e 3 obt´em-se que:

Dados um subconjunto compacto K _{⊂ X e ε > 0, por (7.5.48), (7.5.53) e (7.5.55),} existe um conjunto aberto U = U (ε, K)_{⊂ X, com K ⊂ U, e um ´ındice η}′ _{= η}′_{(ε, K) >}

0 tais que sup s∈R sup x∈U|k η(s, x)− k0(x)| ≤ ε sempre que η ∈ [0, η′],

donde conclui-se que lim

η→0+sup_s∈Rx∈Ksup|kη(s, x)− k0(x)| = 0.

Passo 3 : Para todo conjunto compacto K _{⊂ X temos}

lim

η→0+sup_t∈Rx∈Ksup|hη(t, x)− h0(x)| = 0.

De fato, dado x_{∈ X consideraremos agora dois casos:}

Assumindo esta condi¸c˜ao, dado α > 0 com 0 < α < d(x,_A0), sejam, pelo Lema

7.5.9, α′ _{∈ (0, α) e η}

0 ∈ (0, 1] tais que

Tη(t, s)(Oα′(A_η(s)))⊂ O_α(A_η(t)) sempre que t≥ s e η ∈ [0, η₀]. (7.5.56)

Escolhamos t0 > 0 tal que S(t0)x ∈ Oα′

4 (A0) e, pela continuidade da aplica¸c˜ao

S(t0) : X → X, seja σ1 > 0 tal que S(t0)(Oσ1(x)) ⊂ Oα′ 4 (A0).

Agora, pela hip´otese de convergˆencia (d), sejam η1 ∈ (0, η0] e σ2 ∈ (0, σ1] tais

que Tη(t0 + s, s)(Oσ2(x)) ⊂ Oα′

2 (A0) para todo η ∈ [0, η1] e todo s ∈ R, e, pela

semicontinuidade inferior de (Aη)η∈[0,1] em η = 0, escolhamos η2 ∈ (0, η1] tal que

A0 ⊂ Oα′

2 (Aη(t)) para todo η ∈ [0, η2] e t ∈ R. Portanto, O α′

2 (A0)⊂ Oα

′(A_η(t)) para

η _{∈ [0, η}2] e t ∈ R quaisquer. Em particular, Tη(t0+ s, s)(Oσ2(x)) ⊂ Oα′(Aη(t0 + s))

para todo η∈ [0, η2] e s∈ R. De (7.5.56) obt´em-se Tη(t+s, s)(Oσ2(x)) ⊂ Oα(Aη(t+s))

para todo η_{∈ [0, η}2], s∈ R e t ≥ t0. Consequentemente

sup

t≥t0

d(Tη(t + s, s)z,Aη(t + s))≤ α para η ∈ [0, η2], s∈ R e z ∈ Oσ2(x). (7.5.57)

Por outro lado, pela desigualdade triangular da semidistˆancia de Hausdorff, quais- quer que sejam o ponto z∈ X, t ∈ R e η ∈ [0, 1] tem-se

|d(z, Aη(t))− d(z, A0)| ≤ dH(Aη(t),A0). (7.5.58)

Ent˜ao, se escolhemos η3 ∈ (0, η2] e σ3 ∈ (0, σ2] tais que d(z,Aη(t)) > α para todo

η_{∈ [0, η}3], t∈ R e z ∈ Oσ3(x) conclu´ımos, de (7.5.57), que

sup

t≥t0

d(Tη(t + s, s)z,Aη(t + s))≤ α < d(z, Aη(s))

sempre que η∈ [0, η3], s ∈ R e z ∈ Oσ3(x). Ent˜ao, hη(s, z) = sup

0≤t≤t0

d(Tη(t+s, s)z,Aη(t+

s)) para η _{∈ [0, η}3], s∈ R e z ∈ Oσ3(x).

Observemos agora que, tamb´em pela desigualdade triangular da semidistˆancia de Hausdorff, para todo z ∈ X, η ∈ [0, 1], s ∈ R e t ≥ 0 temos

|d(Tη(t + s, s)z,Aη(t + s))− d(S(t)z, A0)| ≤ dH(Aη(t + s),A0) + d(Tη(t + s, s)z, S(t)z),

donde, para todo η_{∈ [0, η}3]

sup s∈R sup z∈O_σ3(x)|h η(s, z)− h0(z)| ≤ sup s∈R dH(Aη(s),A0)+sup s∈R sup z∈O_σ3(x) sup 0≤t≤t0 d(Tη(t+s, s)z, S(t)z),

e da´ı conclui-se facilmente que, dado ε > 0 existem σ4 ∈ (0, σ3] e η4 ∈ (0, η3] tais que

sup

s∈R

sup

z∈O_σ4(x)|h

Caso 2: d(x,_A0) = 0, isto ´e, x∈ A0.

Neste caso, pelo Lema 7.5.9, dado ε > 0, existem ε′ _{∈ (0,} ε

2) e η0 ∈ (0, 1] tais que

Tη(t, s)(Oε′(A_η(s)))⊂ Oε

2(Aη(t)) para t≥ s e η ∈ [0, η0]. (7.5.59)

Tamb´em, como (_Aη)η∈[0,1]´e semicont´ınua inferiormente em η = 0, podemos escolher

η1 ∈ (0, η0] tal que A0 ⊂ Oε′

2(Aη(s)) toda vez que η ∈ [0, η1] e s ∈ R ´e qualquer. Da´ı

segue-se ent˜ao que_Oε′

2(A0)⊂ Oε

′(A_η(s)) para todo η∈ [0, η₁] e s∈ R. Por este ´ultimo

fato e por (7.5.59) temos Tη(t, s)(Oε′ 2(A0))⊂ O ε 2(Aη(t)) se η ∈ [0, η1] e t≥ s. Consequentemente, hη(s, z) = sup t≥0 d(Tη(t + s, s)z,Aη(t + s))≤ ε₂ sempre que η∈ [0, η1] e z_{∈ O}ε′

2(A0), donde conclui-se que

sup s∈R sup z∈Oε′ 2 (A0) |hη(s, z)− h0(z)| ≤ ε para todo η ∈ [0, η1].

Das conclus˜oes obtidas nos Casos 1 e 2 resulta que, dados ε > 0 e x ∈ X existem σ = σ(ε, x) > 0 e η′ _{= η}′_{(ε, z) > 0 tais que}

sup

s∈R

sup

w∈Oσ(x)

|hη(s, z)− h0(z)| ≤ ε toda vez que η ∈ [0, η′].

Assim, dado um compacto K _{⊂ X, analogamente ao que fizemos no final do Paso 2,}

podemos concluir a convergˆencia lim

η→0+sup

t∈R

sup

x∈K|h

η(t, x)− h0(x)| = 0, e este fato completa

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Aplica¸c˜ao a problemas com

No documento Sistemas gradientes, decomposição de Morse e funções de Lyapunov sob perturbação (páginas 150-159)