Redução do erro de iteração e aceleração do método Multigrid com o uso de extrapoladores
Márcio A. M. de Anunciação
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE), Universidade Federal do Paraná, UFPR
81531-990, Curitiba, PR; E-mail: marcioalexandro@ufpr.br
Marcio A. V. Pinto, Luciano K. Araki, Carlos H. Marchi
Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Paraná, UFPR, Curitiba, PR E-mails: marcio_villela@ufpr.br; lucaraki@ufpr.br; marchi@ufpr.br
Márcio A. Martins
Depto. de Matemática, Universidade Estadual do Centro Oeste, UNICENTRO, Guarapuava, PR E-mail: mandre@unicentro.br
Resumo:
Neste trabalho foi resolvido numericamente o problema de condução de calor linear bidimensional, governado pela equação de Poisson, com condições de contorno de Dirichlet, empregando o método Multigrid geométrico associado aos seguintes métodos de extrapolação:
Aitken, Empírico, Mitin, Épsilon (escalar e topológico), Rho (escalar e topológico) e múltiplas extrapolações de Aitken e Mitin. O objetivo deste trabalho foi a redução do erro de iteração, tempo de CPU e fatores de convergência. De acordo com os resultados, verificou-se a redução da magnitude do erro de iteração, redução do resíduo adimensionalizado com base na estimativa inicial e redução do fator de convergência, em um tempo praticamente equivalente ao da aplicação do método Multigrid puro.
Palavras-chave: métodos de extrapolação, Multigrid, aceleração de convergência, erro de iteração.
1. Introdução
No processo de discretização de um modelo matemático em problemas de Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD) é comum a obtenção de sistemas de equações algébricas do tipo Au=f, onde A é a matriz dos coeficientes, f é o vetor independente e u é o vetor incógnita. A solução desses sistemas, em geral, é feita através de métodos iterativos, que embora mais rápidos que os métodos diretos, geralmente apresentam convergência lenta para problemas de grande porte. A aceleração de convergência de processos iterativos pode se dar de duas formas: modificando o processo iterativo, ou transformando a sequência que converge lentamente em outra, com melhores propriedades de convergência [2].
Nas últimas décadas, uma alternativa que se tem mostrado muito eficiente na aceleração de processos iterativos é o método Multigrid. Sua filosofia está baseada no emprego de várias malhas com diferentes graus de refinamento, as quais são percorridas durante o processo iterativo. Outra abordagem que visa acelerar a convergência dos métodos iterativos é associá-los a métodos de extrapolação, cuja finalidade é transformar uma sequência de vetores em uma nova sequência que converge mais rapidamente do que a inicial.
No presente trabalho foram associados métodos de extrapolação ao método Multigrid, com o objetivo de acelerar o processo iterativo e reduzir o erro de iteração. Tal formulação mostrou-se atraente, em especial por não se ter na literatura citações sobre tal procedimento.
2. Métodos numéricos
2.1 Método Multigrid
O método Multigrid se vale das características de suavização do erro por parte dos métodos
iterativos clássicos: ela ocorre rapidamente (nas iterações iniciais) para componentes oscilatórias,
enquanto para componentes suaves, há uma grande perda de desempenho, sendo que para um número grande de iterações tais métodos perdem sua eficiência. Assim, o método Multigrid trabalha com um esquema de malhas auxiliares mais grosseiras (com menor número de pontos) nas quais as componentes do erro são rapidamente suavizadas, para então retornar-se à malha original. A informação é transferida entre malhas através de operadores, chamados de operadores de restrição (informações de uma malha fina para a grossa seguinte) ou de prolongação (informações da malha grossa para a fina). O operador de restrição utilizado neste trabalho foi o operador de ponderação completa e o operador de prolongação foi a interpolação bilinear [3]. Neste trabalho utilizou-se ainda o ciclo V, por ser bastante referenciado e computacionalmente eficiente [3]. Além disso, como o problema resolvido é linear, utilizou-se o Esquema de Correção (CS – Correction Scheme) que transfere apenas o resíduo para as malhas mais grossas [3].
2.2 Métodos de extrapolação
Os métodos de extrapolação têm por finalidade transformar uma sequência que converge lentamente em outra, com melhores propriedades de convergência. Tais extrapoladores podem ser classificados em escalares e vetoriais, de acordo com a forma com que suas informações são manipuladas. Os extrapoladores (ou métodos de extrapolação) escalares utilizados nesse trabalho são:
Aitken [1] e Empírico [7], que aceleram a convergência de sequências que convergem linearmente;
Mitin [8], que é recomendado para sequências oscilatórias; Épsilon escalar [1], recomendado na literatura como o melhor método para fins de aceleração de sequências que convergem lentamente [5,6]; e Rho escalar [1], que não acelera sequências com convergência linear, mas é recomendado para sequências logaritmicamente convergentes [5, 6]. Os métodos de extrapolação Épsilon e Rho podem ser generalizados para o caso vetorial, podendo ser aplicados de forma recursiva chamada formulação topológica [1] e que foi utilizada neste trabalho. Além dos extrapoladores citados, extrapolações múltiplas (extrapolação de dados já extrapolados) também foram realizadas com os extrapoladores Aitken e Mitin. Mais detalhes sobre métodos de extrapolação podem ser encontrados em [1].
2.3 Metodologia
Foram estudados nove casos, resultantes da combinação dos valores relativos ao dimensionamento da malha mais fina (N = 129x129, N = 1025x1025 e N = 4097x4097) e ao critério de parada (10
-6, 10
-10e 10
-15). As extrapolações se deram em dois momentos: ao final do processo iterativo e durante o processo iterativo.
O objetivo deste estudo é mostrar como o uso de extrapoladores associados ao método Multigrid pode reduzir o erro de iteração e acelerar o processo iterativo. Para isso, escolheu-se um problema simples, com uma geometria simples e solução analítica conhecida a fim de analisar especificamente os efeitos desta metodologia. Assim, neste trabalho, resolveu-se o problema de condução de calor linear bidimensional em regime permanente descrito pela equação de Poisson, em um domínio quadrado de lado unitário, com termo fonte e solução analítica obtida pelo método de soluções fabricadas e dadas em [9].
O modelo numérico foi obtido discretizando-se a equação de Poisson com o método das diferenças finitas (MDF) [10], com aproximações por diferença central (CDS – Central Difference Scheme) em malhas quadradas uniformes.
3. Resultados
3.1 Uso de extrapoladores no final do Multigrid
Para esta metodologia, cada caso foi resolvido de três maneiras distintas:
(a) usando apenas o método Multigrid até atingir o critério de parada (MG);
(b) usando o método Multigrid com um ciclo V além daqueles necessários para se atingir o critério
(MG + 1 ITE); e
(c) usando o método Multigrid até atingir o critério de parada e extrapolando as soluções obtidas nas últimas iterações (MG + Extrapolador).
Os parâmetros analisados foram: tempo de CPU (t
CPU) em segundos (s), pico de memória de armazenamento M(MB), norma adimensionalizada do resíduo com base na estimativa inicial (||R||
2), fator de convergência empírico q
(k)[11], fator de convergência média empírico
(k)[11], norma infinito do erro de iteração (||E
n||
∞) e norma euclidiana do erro de iteração (||E
n||
2). A Tabela 1 apresenta os resultados para N = 1025x1025 e a tolerância 10
-15.
Metodologia t
CPU(s) M(MB) ||R||
2q
(k) (k)||E
n||
∞||E
n||
2MG 21,871 119,640 6,272E-16 4,238E-02 4,149E-02 3,672E-17 1,816E-17 MG + 1 ITE 23,775 119,636 2,663E-17 4,246E-02 4,157E-02 1,553E-18 7,749E-19 MG + Aitken 119,076 218,468 3,145E-14 5,014E+01 7,495E-02 4,118E-18 7,301E-20 MG + Empírico 119,076 218,468 3,145E-14 5,014E+01 7,495E-02 4,118E-18 7,301E-20 MG + Mitin 119,029 251,360 8,701E-14 1,387E+02 8,158E-02 9,630E-18 3,349E-19 MG + Épsilon escalar 29,874 251,556 3,044E-11 4,854E+04 1,329E-01 5,152E-15 7,111E-18 MG + Rho escalar 29,921 251,564 4,511E-12 7,193E+03 1,133E-01 2,066E-14 1,000E-14 MG + Épsilon topológico 121,525 399,444 1,648E-19 2,628E-04 2,721E-02 1,213E-21 5,165E-22 MG + Rho topológico 31,169 399,656 3,498E-13 5,577E+02 9,161E-02 2,066E-14 9,998E-15 MG + Múlt. ext. Aitken 29,952 251,576 4,716E-12 7,519E+03 1,137E-01 7,045E-16 1,856E-18 MG + Múlt. ext. Mitin 30,405 317,368 4,702E-10 7,497E+05 1,669E-01 6,402E-14 1,098E-16
Tabela 1: Resultados dos parâmetros estudados (Extrapolações ao final do Multigrid)
Percebe-se, para este caso, que o uso do extrapolador Épsilon topológico foi a metodologia que apresentou os melhores resultados para a norma do resíduo, para os fatores de convergência e para as normas do erro de iteração. Os resultados para os outros casos (outros valores de N) foram análogos. Desta forma, conclui-se que o extrapolador que se mostrou mais eficiente na maioria dos parâmetros foi o Épsilon topológico. Em relação ao tempo de CPU e a memória, os valores para esses dois parâmetros mostraram-se maiores para todos os problemas resolvidos com algum extrapolador.
Isso ocorre porque os vetores com as soluções usadas nos cálculos das extrapolações precisam ser armazenados e os cálculos das extrapolações demandam um tempo excedente em comparação com o simples uso do método Multigrid.
3.2 Uso de extrapoladores durante o Multigrid
Nesta abordagem utilizou-se o extrapolador Épsilon topológico durante os ciclos do Multigrid, ou seja, a cada cinco soluções, estas são combinadas com o extrapolador e geram uma nova solução.
Esta solução serve de estimativa inicial para o próximo ciclo Multigrid e o processo iterativo prossegue. Ao se obter outras cinco soluções, uma nova extrapolação é realizada e assim por diante, até se atingir o critério de parada estabelecido.
A Tabela 2 apresenta os resultados para N = 4097x4097 e tolerância 10
-15. Nesta tabela apenas as metodologias Multigrid (MG) e extrapolador Épsilon topológico durante o Multigrid (MG + Épsilon topológico) são comparadas.
Metodologia t
CPU(s) M(MB) ||R||
2q
(k) (k)||E
n||
∞||E
n||
2MG 351,579 1,844 6,270E-16 4,238E-02 4,148E-02 3,673E-17 1,818E-17 MG + Épsilon topológico 364,699 3,946 2,320E-16 2,417E-02 1,831E-02 1,912E-18 8,251E-19
Tabela 2: Resultados dos parâmetros estudados (Extrapolações durante o Multigrid)
Analisando este caso, pode-se perceber que o tempo de CPU do uso do extrapolador foi
levemente maior quando comparado ao uso do Multigrid puro. Quanto à norma adimensionalizada do
resíduo, o uso do extrapolador mostrou-se mais eficiente do que o Multigrid puro. O mesmo pode ser
percebido para os fatores de convergência. Quanto ao erro de iteração, houve uma redução de sua
magnitude em relação às duas normas, e esta redução chegou a aproximadamente 95%, enquanto o
tempo de CPU teve um aumento de menos de 4%.
Buscando resultados mais precisos em relação ao tempo de CPU, foram realizados testes adicionais, com N variando de 33x33 a 8193x8193 e tolerância de 10
-20. Nestes testes, pode-se perceber que o uso do extrapolador mostra-se mais vantajoso com o aumento o tamanho do problema, pois reduz o tempo de CPU em relação ao uso do Multigrid. Para confirmar tal melhora, foi calculado o speed-up da metodologia MG em relação à metodologia com extrapolador. O speed-up (S
p) é definido como a razão entre os tempos de CPU de dois algoritmos, no caso, o Multigrid puro e o com extrapolador [4]. Os resultados aparecem na Tabela 3.
N 33x33 65x65 129x129 257x257 513x513 1025x1025 2049x2049 4097x4097 8193x8193 SP 0,966 0,929 0,908 0,930 0,938 1,013 1,011 1,011 1,011
Tabela 3: Speed-up de MG em relação ao MG + Épsilon topológico para ε = 10
-20Com base na Tabela 3, percebe-se que a partir de N = 1025x1025, o valor do speed-up passa a ser maior que 1, indicando que o uso do extrapolador passa a ser mais rápido do que o Multigrid puro.
Foi feito ainda um ajuste de curvas por mínimos quadrados para t
CPU(N) = cN
p, onde p descreve o grau de complexidade do algoritmo. Estes resultados são apresentados na Tabela 4.
Metodologia c p
MG 0,0755 1,03258
MG + Épsilon topológico 0,08506 1,02957 Tabela 4: Valores de p e c para os algoritmos das metodologias em estudo
De acordo com os dados da Tabela 4, pode-se afirmar que as duas metodologias são praticamente equivalentes, sendo que o uso do extrapolador Épsilon topológico acelera o método Multigrid com o aumento do número de incógnitas do problema.
Pode-se perceber pela Figura 1 que os valores de memória aumentam com o uso dos extrapoladores, mas o aumento percentual tem caráter assintótico, o que é um bom sinal, pois se busca resolver problemas em malhas bem refinadas.
Figura 1 – Aumento percentual da memória em função do número de variáveis do problema
4. Conclusão
Com base nos resultados obtidos neste trabalho, verificou-se que:
1) O uso dos extrapoladores ao final do Multigrid, para o problema estudado, fez o tempo de CPU aumentar em relação a um ciclo adicional do Multigrid.
2) A memória de armazenamento é maior quando se usa um extrapolador.
102 103 104 105 106 107 108
10-1 100 101 102 103
Aumento percentual da Memória
N
