Potência. Potência Instantânea

Potência Potência

n Potência é a taxa de transferência de energia entre duas regiões do espaço. Essa transferência pode ser feita de várias maneiras. Como exemplos podem ser citados a troca de calor, conjugado mecânico acelerador, etc.

n Se a troca de energia for feita através de um circuito elétrico tém-se a potência elétrica, cuja medição será estudada.

Potência Instantânea Potência Instantânea

n Considere-se, então, duas regiões A e B, interconectadas por um par de fios.

A ^v(t) B

I(t)

n A potência elétrica transmitida neste caso é : p(t) = v(t) * i(t)

onde, v(t) é a tensão entre os fios e, i(t) é a corrente que circula nos fios.

n Como p(t) fornece a potência em cada instante ela é

denominada potência instantânea.

FORMAS DE ONDA FORMAS DE ONDA

n Se v(t) e i(t) forem periódicos e de mesma frequência, então, p(t) é também periódico. Porém de

períodicidade diferente dos sinais de tensão e corrente.

n p(t) pode ser obtido por simples manipulação de identidades trigonômetricas:

{

v Vm sen t

i t sen t

p t v t i t Vm sen t sen t

p t Vm

t

t

( )

* ( )

( ) Im* ( )

( ) ( ) * ( ) * Im* ( ) * ( )

( ) * Im

cos cos( )

=

= −

= = −

∴ = − −





 

 

 





 

 

  ω

ω θ

ω ω θ

θ ω θ

ω

2 2

componente

constante componente de frequencia 2

1 2 4 4 3

n Nesse caso, foram obtidos uma componente de frequência ω=0 e outra de frequência 2 ω .

n Para sinais não senoidais, o produto v*i, também resulta num sinal com frequência diferente das dos sinais originais de tensão e corrente. (Isso pode ser verificado desenvolvendo os sinais em séries de Fourier).

n Na equação de p(t) acima observa-se que a potência varia com o tempo, podendo inclusive trocar de sinal em cada ciclo;

n A energia ora está fluindo em um sentido ora em outro, oscilando entre as regiões A e B.

n Se a região A é, por exemplo, um motor elétrico ou uma antena transmissora e o sistema B sua fonte de alimentação. O trabalho realizado pelo motor ou o alcance da informação transmitida pela antena são proporcionais à energia efetivamente transmitida de A para B, isto é, à componente constante de p(t), que flui e não reflui.

n As componentes oscilatórias (energia transmitida ao motor e posteriormente devolvida à fonte de

alimentação) não realizam trabalho util .

n É, portanto, de interesse medir o valor médio da potência. Isto é, da componente constante que corresponde precisamente à parte “utilizavel” da energia que flui entre os sistemas A e B;

n Define-se, então, a potência ativa como sendo igual ao valor médio da potência instântanea.

Potência Ativa Potência Ativa

P p

T ^T p d

= ^{( ) τ} = ¹ ∫ 0 ^{( ) τ τ} n Essa definição não é restrita à sinais senoidais.

Potência Aparente, Potência Reativa e Fator de Potência

Potência Aparente, Potência Reativa e Fator de Potência

n Enquanto as duas regiões estiverem interconectadas uma parte da energia vai de A para B e, posteriormente, retorna integralmente executando um movimento

cíclico.

n Reescrevendo as equações para tensão e corrente senoidais, obtem-se:

( )

p t ( ) = V * * cos I ϕ * 1 − cos 2 ω t − V * * I sen ϕ * sen 2 ω t

Potência Aparente Potência Aparente

n O produto dos valores eficazes da tensão e da corrente é comum nos dois termos da equação acima.

n Esse produto é denominado de potência aparente e é dado por:

S=V*I

Potência Reativa Potência Reativa

n O segundo termo da equação da potência instantânea acima, tem valor médio igual a zero, visto seguir uma variação senoidal. O valor máximo desse termo é denominado de potência reativa (Q), que é, portanto, dada por:

Q=V*I*sen φ

n Essa definição se aplica apenas a sinais senoidais.

Fator de potência Fator de potência

n Em face das definições acima, existe uma relação matemática entre as potências aparente, ativa e reativa.

Essa relação pode ser visualizada pelo triângulo das potências :

Q S

P

S ² =P ² +Q ²

φ

n O cosseno do ângulo φ no triângulo das potências ( defasagem entre V(t) e I(t) ) é denominado fator de potência.

FP=cos φ

SINAIS NÃO-SENOIDAIS SINAIS NÃO-SENOIDAIS

n O aumento do número de equipamentos eletrônicos na indústria, edifícios comerciais e mesmo nas residências tem provocado um aumento crescente dos problemas nas redes elétricas devido à inserção de cargas não- lineares no sistema;

n Em razão disso constata-se a geração de tensões não- senoidais, transitórios e outros disturbios.

n Sinais elétricos não-senoidais podem ser decompostos em componentes harmônicos;

n A figura no próximo slide mostra um gráfico de um

sinal de corrente com forte distorção harmônica.

FORMA DE ONDA DE CORRENTE FORMA DE ONDA DE CORRENTE

n

O terceiro, quinto e sétimo harmônicos estão todos em sincronismo em 90° e 270° e se somam para formar a onda completa.

POTÊNCIA ATIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS

POTÊNCIA ATIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS

n Potência ativa só é gerada por tensões e correntes de mesmas freqüências;

n Assim, para sinais periódicos, a potência ativa total é a soma da potência ativa gerada pelas harmônicas:

∑ ^∞

=

ϕ +

=

1 k

k k o

o U U I cos

I P

n Os instrumentos utilizados nessas medições são apenas

aqueles capazes de medir esse somatório

POTÊNCIA REATIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS

POTÊNCIA REATIVA DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS

n O cálculo e mesmo a própria definição da potência reativa harmônica é controversa.

n Uma das expressões utilizadas para calcular essa grandeza é:

∑ ^∞

=

ϕ

=

1 k

k

k I sen

U Q

POTÊNCIA APARENTE DE SINAIS NÃO-SENOIDAIS POTÊNCIA APARENTE DE

SINAIS NÃO-SENOIDAIS

n A potência aparente é dada por:

∑ ∑ ^∞

=

∞

=

=

=

0

k k 0

2 k 2

k U

U UI

S

n Com base nas definições dadas até aqui, pode se concluir que a potência aparente para sinais com harmônicos pode ser calculada por:

2 2

2 Q D

P UI

S = = + +

POTÊNCIA DE AUDIO POTÊNCIA DE AUDIO

n O valor da potência de saída de amplificadores de audio tem, muitas vezes, sido expresso de maneira ambígua

n Dentre as unidades para expressar essa gradeza são usadas:

u

Watts rms com 1% de DHT

u

Watts rms com 5% de DHT

u

Watts de pico (máximo)

u

Watts de pico-a-pico

u

Potência musical

n A capacidade do amplificador de mover o cone do autofalante, rigorosamente, pode ser expressa somente pelos Watts-rms

u

considere um amplificador conectado a uma carga de 8W que com uma DHT de 1% ele apresenta uma tensão de saída de 14V ac

4Watts rms a 1% é P=(E

)

/R=24,5 W

4Watts de pico-a-pico P=(2* √ 2* E

)

/R=196 W

Instrumentos para Medição Instrumentos para Medição

n Instrumentos Eletromecânicos;

n Instrumentos eletrônicos

u Wattímetro com multiplicador analógico;

u Wattímetro com multiplicador de divisão de tempo;

u Wattímetro digital

n Wattímetro com dispositivo de efeito Hall;

n Wattímetro a termopar

Instrumentos Eletromecânicos Instrumentos Eletromecânicos

n Inst. eletrodinâmico sem núcleo de ferro ( maior exatidão );

n Inst. eletrodinâmico com núcleo de ferro ( para paineis );

R

I

I

I

R

U

U Z

B ₁ 2 A

1 - bobina de campo fixa (corrente);

2 - bobina móvel (de potencial);

Ri - Resistência da bobina de corrente;

Rv - Resistência da bobina de tensão;

I - corrente na bobina de corrente;

I

- corrente na bobina de tensão. I

=U/R

;

θ

T

k T I I

d t

= ∗

¹ ∫

∗ ∗ ⇒ ^θ

^{= ∗ k 2 U e f ∗ ∗ I e f cos ϕ}

Nota: O erro da medição varia com a tangente do ângulo φ.

MEDIDORES ELETRÔNICOS MEDIDORES ELETRÔNICOS

n Nos medidores eletrônicos o produto da tensão pela corrente e o valor médio são obtidos através de meios eletrônicos;

n Existem trés tipos de multiplicadores:

u Analógico;

u Híbrido;

u Digital;

Instrumento com Múltiplicador Analógico

Instrumento com Múltiplicador Analógico

n Os sinais são multiplicados em formato analógico (por meio de um circuito baseado ou em amplificadores logarítimicos ou de transcondutância );

n No esquema abaixo o multiplicador analógico ( x K) faz o produto da tensão U x (t), através da impedância Z, pela tensão U y (t)=R * i(t), obtendo a tensão u

(t):

u t

( ) = ∗ k U t

( ) ∗ U t

( ) = ∗ ∗ k R U t

( ) ∗ i t ( )

n A tensão u

(t) é aplicada na entrada do filtro PB, resultando:

U K R

T U t i t dt cP

s x

T

= ∗ ∗ ∗ ¹ ∫

^{( )} ∗ ^{( )} ∗ =

Circuitos - Wattímetro com multiplicador analógico Circuitos - Wattímetro com

multiplicador analógico

i(t) U

(t)

U

(t)

x y

K

Z

R

V

U

=cP

U

Instrumento com multiplicador por divisão de tempo

Instrumento com multiplicador por divisão de tempo

n Esse é um outro tipo de multiplicador analógico. O

multiplicador é implementado através do multiplicador por divisão de tempo, mostrado na figura seguinte;

n Nesse método, uma onda quadrada de período constante T _g =t ₁ +t ₂ e amplitude e ciclo de trabalho determinado pelas tensões de entrada u _x (t) e u _y (t);

n A tensão u _g (t) do gerador de sinais tem forma triangular;

n Se T _g é muito menor do que o período do sinal a ser medido, as tensões u _x (t) e u _y (t) podem ser consideradas constantes durante o tempo T _g .

Diagrama do Instrumento Diagrama do Instrumento

C

Gerador u

(t) u

(t)

u

(t) u

(t)

-1 R

R

u

(t)

u

u

(t)

u

(t) t

t u

u

(t)

t

t

Faixa de frequência de operação:

200 Hz - 20 kHz

Equações do Wattímetro Equações do Wattímetro

u t U

T t

g

go g

( ) = 4

para 0 t T 4

≤ ≤

Nesse caso t T u T

U

g y g

go

2

2

4 4

= ∗  −

 



Consequentemente t t T

U ^g u

go y 1 − = 2

( ) ^{( )}

U

T u t dt k u t dt u t d t k u t t

g x x x

t t t t

x

T

= ∗ = ∗  ∗ + − ∗

  

  = ∗ ∗ −

∫ ∫ ∫

1

0

1 2 1

1 0

1 2

( ) ( ) ( )

U ^s = ∗ ∗ k u ^x u ^y

A tensão de saída é:

Instrumento Digital Instrumento Digital

n Nesse tipo de instrumento os sinais de tensão e corrente são amostrados a uma freqüência f ^s ;

n O valor médio é obtido pela soma ponto a ponto do produto das duas grandezas de acordo com a equação abaixo:

P N u

i

k N

= ∗

∑

1 PLL

ADC

ADC

µP Display

u(t)

i(t)

Condições de Operação Condições de Operação

n Pode ser mostrado que um mínimo de 3 amostras de cada uma das grandezas é necessário para que o valor calculado da potência represente adequadamente o sinal de saída;

n Para esse tipo de instrumento o componente mais

importante são os conversores A/D, especialmente o do sinal de corrente

u a tensão proporcional à corrente a ser medida é de baixa amplitude, requerendo assim um conversor A/D de elevado número de bits

CONVERSOR A/D ∆−Σ CONVERSOR A/D ∆−Σ

n

A figura ao lado mostra um exemplo de um conversor A/D de dois canais usado em instrumentos digitais para medição de potência e grandezas associadas em circuitos trifásicos

n

É preciso notar que

estes conversores são

precedidos de

dispositivos

condicionadores de

sinais.

Instrumento com dispositivo de efeito Hall

Instrumento com dispositivo de efeito Hall

n O dispositivo Hall é constituido de uma fina pastilha semicondutora;

n A tensão de saída no dispositivo u

(t) é proporcional ao produto de duas grandezas variaveis no tempo:

U

( ) t = C

∗ i t ( ) ∗ B t ( )

CH - coeficiente de Hall;

B - indução magnética;

i(t) - corrente através do elemento;

B(t) I U

R

Z B

U

Dispositivo Hall

i(t)

i

(t)

n A deflexão do instrumento é proporcional à potência criada pela fonte de tensão U x (t)=a * i(t) e pela corrente i x (t) =b * B(t), onde a e b são fatores de proporcionalidade:

∫

∫ ^{∗ ∗ = ∗ ∗ ∗}

=

T

0 T

0

dt ) t ( B ) t ( T i b 1 a dt ) t ( i ) t ( T u

P 1

P a b C U

H

= ∗ H

n

Substituindo o produto i(t)*B(t) pelo valor dado na primeira equação em função de u

(t), na equação acima, obtém-se:

u

onde U

é o valor médio de u

(t)

Instrumento a Termopar Instrumento a Termopar

n Toda vez que a energia elétrica é dissipada em uma resistência, ocorre a geração de calor.

u

Isso pode ser usado para a construção de um instrumento para med ição de potência a partir da determinação da elevação de temperatura.

n A potência dissipada é proporcional ao valor eficaz da tensão aplicada de acordo com a seguinte equação:

u(t)

V

iA(t) iB(t)

i(t) R

Z R

ai(t)

bu(t) bu(t)

UA UB

V=UA-UB

A B

Instrumento a Termopar Instrumento a Termopar

n

As correntes do termopar são dadas por

(

)

2 A T

2 B T

2

A

I I

ab 4 dt 1 ) t ( i dt ) t ( T i 1 ab 4

P 1  = −



 



 −

∗

= ∫ ∫

n

Na figura A e B são dois termopares com características identicas: U=kI

n

i

e i

são as correntes instantâneas pelo termopar e i(t) e u(t), respectivamente a corrente e a tensão na carga

n

A potência ativa é o valor médio da potência instantânea. Assim,

∫

=

⇒

=

T

0 ) t ( )

t ( ) t ( ) t

(

p

T P 1 i u p

) t ( bu ) t ( ai ) t ( i e ) t ( bu ) t ( ai ) t (

i

= +

= −

n

Conseqüêntemente, a corrente e tensão na carga será:

b 2

i u i

e a 2

i

i

= i

+

=

n

Substituindo o resultado na primeira equação acima, tem-se:

n I A e I B na equação acima são respectivamente o valor eficaz da corrente que passa pelo termopar A e pelo termopar B.

n Devido às correntes I

e I B , aparece na outra extremidade dos termopares as tensões contínuas U

e U B.

n Considerando as propriedades dos termopares:

( ^U

^U

)

ab 4

P = 1 −

2 B B 2

A

kI

e U kI

U = =

Instrumento a Termopar Instrumento a Termopar

n Substituindo este resultado na equação anterior, resulta:

n As perdas nas resistências R v e R s produzem um efeito sistemático que pode ser corrigido.

n Esses instrumentos podem ser usados em freqüências na faixa dos

MHz e com incertezas de 1%.