TE-281 Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica Aula AGO 2018

• RESUMO:

• Miscelânea

• Revisão Geral

• Equações de Maxwell

• Onda Plana em Meio Dielétrico

• Propriedades gerais em Interfaces Dielétricas

• Fórmulas de Fresnel

• Reflexão interna total

• Guias de ondas dielétricos

• Guia Slab Simétrico: abordagem por Óptica Geométrica

• Leitura sugerida:

• Fundamentals of Optoelectronics, C. R. Pollock, Capítulos 1 e 2

TE-281

Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 02 – 06 AGO 2018

Miscelânea

 Aula01 – Motivação: “Simulações e Experimentos”

MOTIVAÇÃO: Dispositivos Integrados Ópticos

Simulações e Experimentos

• Acoplamento fibra óptica para guia de onda integrado

• Cavidade em anel em ressonância

• Cavidade em anel em outra ressonância

• Cavidade em anel em dupla ressonância

• Cavidade em anel reduzida em ressonância

• Cavidade em anel com pulso de luz

• Refletor Integrado

• Junção em Y tradicional

• Junção em Y otimizada

• Cavidade em anel – varredura em comprimento de onda

Espectro Eletromagnético

(http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_spectrum)

THz

Revisão Geral

IR, Visible & UV

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Ch. 2, Wiley (2^nd Ed. 2007)

Revisão Geral

Revisão Geral

Equações de Maxwell

Óptica Eletromagnética

J =  E

Fonte: Wikipedia

 ^{r ,}  ^{. .}

, ,

;

r k

,

e e c c

E t

E

z y x t i

E E

t j j

i i

i i







 

 





 



 



0 2 2

2

0

 

   

 

H 0 H

E 0 E

0 E

zˆ yˆ

xˆ E

E E

E

E E H

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

te, Similarmen

homogêneo e

escalar

 

 



 

 















































 

 







 







 















t t

E E

E

t t

z y

x

 

 













 













Equação de Onda

 







 











 







 



































t t H D

E B B D

J

 

 





 0

0

0

0 0





Onda plana em meio dielétrico

(homogêneo e isotrópico)

 

 

 



 





 

 





 

 





 

 











 

 







 

 



x y

y x

i i

z z

i i

H E

H E

t t

y x t i

E z

E H E

y x

z y x t i

E E

e

e

e

; 0 0

0

: direção na

se - Propagando Plana

Onda

0

2 2 2

2 2

2 2

E B H D

, ,

,

;

 

 









z

   

 

^{ }

   

     

     

  1   ; Impedância intrínseca do meio 1

2

e

e

e

; 0 0

0

: direção na

se - Propagando Plana

Onda

0

0 0

0 0

0

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

0 0



















 





 



 

 



 

 







 



 

 



 

 













 

 











 

 

 



 





 

 





 

 





 

 











 

 







 

 















 

 









 





























yˆ , ,

H

yˆ , yˆ

, B ,

E

, ˆ , ˆ

D , H

cos ,

. . ,

xˆ , ,

E

E B H D

, ,

,

;

, ,

, ,

,

,

t z E t

r

k c t

z k E

t z H t

r t H

x t z k H

x t z E t

r t E

t z k E

t z E e

E E

c c E e

t z E

t z E t

r

H E

H E

t t

y x t i

E z

E H E

y x

z y x t i

E E

x

t E E

z x

z y

y z x

E z

x x

j x x

t z k x j

x

x

x y

y x

i i

z z

i i

x x

x Ex

z



 



 





 

 

z

Onda Plana em Meio Dielétrico

Vetor de Poynting



^













H E

Re S

H E

S













2 1

Índice de Refração

Adotando-se este caso...



0

  



_r

n

Onda TEM

(Transversal Elétrico e Magnético)

Interfaces Dielétricas

Condições de contorno para interfaces dielétricas

2 1

2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

0 0

t t

t t

n n

n n

H t H

E t E

H H

E E



 

 







 

 



























H D E B B D

 

 













Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 6, Wiley (2007)

E

Interfaces Dielétricas

Lei de Snell: n

₁

sin( 

₁

) = n

₂

sin( 

₂

) Ângulo crítico: 

_C

= sin

^-1

(n

₂

/n

₁

)

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 6, Wiley (2007)

“A Óptica Geométrica representa adequadamente o comportamento de Ondas Planas (larga frente de fase planar) em dispositivos de dimensões muito maiores que o comprimento de onda.” (“Vilsun Tzu”)

Equações de Fresnel

Wikipedia

(Ptolomeu vs Ibn Sahl vs Snellius vs Descartes vs Fermat)



₁=



₃

TM

TE

Reflexão TE

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 6, Wiley (2007)

Reflexão TM

Ângulo de Brewster:



_B

≡ 

_1,B

= tan

^-1

(n

₂

/n

₁

) sin( 

_B

) = n

₂

 (n

₁²

+n

₂²

)

^½

cos( 

_B

) = n

₁

 (n

₁²

+n

₂²

)

^½



_1,B

=   2 ‒ 

_2,B

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 6, Wiley (2007)

Reflexão e Transmissão (TE & TM)

https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_equations

Reflectance(%)

Transmitância Refletância

Coeficientes de Transmissão (t) e de Reflexão (r) do campo elétrico

n₁= 1; n₂= 1.5 n₁= 1.5; n₂= 1

Guias de Onda Dielétricos

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007) Wikipedia

Guia de Onda Slab Simétrico

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

d/2

d/2

Slab Canal Fibra Óptica Fibra Óptica Comercial

Geometrias:

Materiais:

Guias de Onda Dielétricos

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 10, Wiley (2002)

Guias de Onda Dielétricos

Coffee Break

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

   

...

, , cos

2 1 0

2 2

2

2 2 2

1 1

0 1 1

0 1

1













m

m d

k

n k n

r



















Condição de

Ressonância Transversal

₁

TM

TE

Condição de Ressonância Transversal

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Goos-Hänchen Shift-Effect

Fontes: Integrated Optics, 2^ndEd, T. Tamir, Cap. 2, Springer-Verlag (1979).

http://pages.uoregon.edu/noeckel/gooshanchen/

O Goos-Hänchen Shift-

Effect é um artifício

geométrico/matemático que

tenta incorporar a resposta

da fase óptica na transição

de uma interface dielétrica.

Adaptado de http://pages.uoregon.edu/noeckel/gooshanchen/

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Goos-Hänchen Shift-Effect

Specular

Adaptado de http://pages.uoregon.edu/noeckel/gooshanchen/

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Goos-Hänchen Shift-Effect

   

   

 

   

 

₁

2 1

2 2

2 1

1 2 1

2 1

1

0 1 1

2 2

2 1 0

2 2

2 2





 



















cos

sin tan sin

cos

sin tan sin

...

, , cos

, ,

c TM

r

c TE

r

r

n n m

m d

k

n k



 



 

 

 



 



 

 



 

















Condição de Ressonância

Transversal

     

   

     

   

 



 























 

 



 

 

 



 























 







...

, ,

cos

sin tan sin

cos

...

, ,

cos

sin tan sin

cos

2 1 0

2 4

2 TM

2 1 0

2 4

2 TE

1 2 1

2 2

2 1 1

1 1

1 2 1

2 1

1 1

m

n m d n

k m

m d

k

c c

 



 

 



 

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 7, Wiley (1991)

   

 

   

 

0 1 1

1

2 2 2

2 1 1

2 2 1

1

2 2

...

2 , 1 , 0

; sin 1

sin sin 2

tan 2 TM

...

2 , 1 , 0

; sin 1

sin sin 2

tan 2 TE

2 2













 





 

 



 



n k

n m m n

d k

m d m

k

c c

c c





 

 





 





 

 

 

 



 

 

 







 



 



 

 



 













1

Modo TE _m ou TM _m

LHS: Left-Hand Side RHS: Right-Hand Side

Equações

Características

Número Total de Modos (M)

TE & TM

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

   

 

     

d NA n

d n n

dn n n dn

d d

n d

M ^{c c c c}

0 0

2 2 2 1 0

2 1 2 1

0 2 1

1 1 0

0 1

2 2 2 1

2 1 2

2 2

2

   

















 

 

 



 



 sin sin cos sin



 

²

2 2

1 1 0

: Numérica Abertura

próximo ;

mais

superior Inteiro

#

; 2

2

n n

NA d NA

d

M

^c

  





 

 



  

 

 sin

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 7, Wiley (1991)

M  1

¹

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

 

   

2 2 0

1 1 0

2 2

0 1 1

0 1 1

1

;

...

2 , 1 , 0

; 2 2

sin 2

cos

n c c

n c c

m c m

d n

m d

k c k n

k k

r r z











 







































 













Velocidade de Fase: v

_f

=  / 

Índice Efetivo: n

_eff

= c

₀

/v

_f

=  /k

₀

= n

₁

cos(  ) n

_eff

= n

₁

n

_eff

= n

₂

Velocidade de Grupo: v

_g

=   /  Índice de Grupo: n

_g

= c

₀

/v

_g

β: constante de propagação do modo

Diagrama de Dispersão

“tradicional” (  vs β)

₁

Modo TE

 Óptica Geométrica:

 Apresenta dedução intuitiva da solução de modos em guias slabs

 Porém, NÃO descreve as propriedades dos campos evanescentes, ou seja aqueles que se estendem além da interface dielétrica

Guia Slab Simétrico - Óptica Geométrica

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

Perfil esquemático do Campo Elétrico de modos do Guia Slab Simétrico

Avisos Finais

• Próxima Aula (13 AGO 2018):

• Guia Slab Simétrico: abordagem por Óptica Eletromagnética

• Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

• Visão Pictorial do Guiamento

• Velocidade de Fase (v _p ) versus Velocidade de Grupo (v _g )

• Propriedades dos Modos: Geral e Slab Simétrico

• Confinamento Óptico