O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicações

46 

Texto

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

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Teles Ara´

ujo Fernandes

Salvador-Bahia Fevereiro de 2010

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

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oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Salvador-Bahia Fevereiro de 2010

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Fernandes, Teles Ara´ujo.

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplica¸c˜oes / Teles Ara´ujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010.

35 f.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matem´atica). 3. Variedades riemannianas. I. Costa, ´Ezio de Ara´ujo. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 05 de fevereiro de 2010.

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

Prof. Dr. Vicente Francisco de Sousa Neto UNICAP

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A minha m˜ae Madalena Ara´ujo e minha noiva Manu-ela Silva.

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Agradecimentos

Agrade¸co a todos que, de forma direta ou indireta, me deu apoio na elabora¸c˜ao deste trabalho. Em particular, ao meu orientador ´Ezio Costa que me transferiu um pouco da sua sabedoria, ao professor Jos´e Nelson Bastos que me deu grande apoio no que envolveu a geometria riemanniana geral, a minha noiva Manuela Souza e minha m˜ae Madalena Ara´ujo. Agrade¸co ao meu presidente Luiz In´acio Lula da Silva pois sem o seu incentivo a educa¸c˜ao superior n˜ao poderia me demitir, da empresa onde trabalhei, para estudar matem´atica.

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Existe apenas um bem, o sa-ber, e apenas um mal, a ig-norˆancia.

(8)

Resumo

Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplica¸c˜oes desse teorema, provamos uma generaliza¸c˜ao de Efimov: N˜ao existe hipersuperf´ıcie f : M3 −→

R4 completa e orient´avel com Ric ≤ −c tal que c > 0. De forma original, tamb´em provamos que, esse resultado ´e verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.

Al´em disso, ainda como consequˆencia deste teorema provamos que, para n ≥ 4 n˜ao existe hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1 completa e orient´avel com Ric ≤ −c tal que

c > 0 e com as curvaturas seccionais n˜ao assumindo todos os valores reais.

Palavras-chave: Hipersuperf´ıcies do Rn+1; imers˜ao Isom´etrica; curvatura de Ricci; cur-vatura seccional; curcur-vatura Gauss-Kronecker; curcur-vatura m´edia; variedade riemanniana completa.

(9)

Abstract

We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely: The Principal Curvature Theorem. Among applications of this theorem, we prove a generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfaces f : M3 −→

R4 with Ric ≤ −c such that c > 0. In original form, also proved that this result is true when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar.

Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n ≥ 4, there are no complete and orientable hypersurfaces f : Mn−→ Rn+1 with Ric ≤ −c such that

c > 0 and the sectional curvatures not taking all real values.

Keywords: Hipersurface in Rn+1; isometric immersions; Ricci curvature; sectional curva-ture; Gauss-Kronecker curvacurva-ture; mean curvacurva-ture; completeness Riemannian manifolds.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

1.1 Fatos B´asicos da Geometria Riemanniana . . . 2 1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . 4 1.3 Hipersuperf´ıcies de Rn+1 . . . 6 2 Hipersuperf´ıcies Convexas de Rn+1 12 2.1 Propriedade da Envolt´oria Convexa da Hipersuperf´ıcie de Rn+1 . . . 12 3 O Teorema das Curvaturas Principais 21

4 Aplica¸c˜oes 27

(11)

Introdu¸

ao

´

E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade Riemanniana Mnpode

ser imersa isometricamente em algum espa¸co euclidiano Rm. Entretanto, se m = n+1 pode

existir obstru¸c˜ao ´a existˆencia de tais imers˜oes (hipersuperf´ıcies). Por exemplo, o cl´assico Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperb´olico n˜ao pode ser imerso isometricamente no espa¸co euclidiano R3. Em 1968, Efimov [4] foi mais al´em e mostrou que uma superf´ıcie completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa n˜ao pode ser imersa isometricamente em R3. Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa

tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ent˜ao essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no Rn+1. Smyth e Xavier [11] mostraram que este

resultado ´e verdadeiro para n = 3 e para n ≥ 4 com a hip´otese adicional das curvaturas seccionais n˜ao asumirem todos os valores reais.

A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas Principais que ´e nosso principal resultado. Em seguida damos aplica¸c˜oes do referido teo-rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier ´e v´alido em dimens˜ao n = 3 e tamb´em quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela curvatura de Gauss-Kronecker.

Assim, o objetivo deste trabalho ´e demonstrar, com detalhes, o resultado em [11] e acrescentar que esses resultados tamb´em s˜ao v´alidos para as curvaturas de Guass-Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo as no¸c˜oes b´asicas da geometria Riemanniana que est˜ao relacionada com o proposto. No segundo cap´ıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperf´ıcies convexas de Rn+1e da propriedade

da envolt´oria convexa das variedades. No terceiro cap´ıtulo, demonstramos o Teorema das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o cap´ıtulo quatro apresenta as aplica¸c˜oes desse teorema.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´e familiarizar o leitor com a linguagem b´asica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Come¸camos com conceitos b´asicos: variedades diferenci´aveis, m´etrica Riemanniana, conex˜ao Riemanniana e curvatura. Em seguida ´e apresentada a segunda se¸c˜ao, onde definimos uma distˆancia em uma variedade, as curvas geod´esicas e a completude de variedades. Na terceira se¸c˜ao, abordamos o con-ceito e as principais equa¸c˜oes das hipersuperf´ıcies de Rn+1.

1.1

Fatos B´

asicos da Geometria Riemanniana

Uma variedade diferenci´avel de classe C∞ e de dimens˜ao n, denotada por Mn, ´e um conjunto conexo M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de

abertos Uα de Rn em M tais que:

(i) [

α

xα(Uα) = M.

(ii) Para todo par α, β, com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W ) e x −1 β (W )

ao abertos em Rn e as aplica¸c˜oes x−1

β ◦ xα s˜ao diferenci´aveis.

(iii) A fam´ılia {(Uα, xα)} ´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (i) e (ii).

De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferenc´avel por M, esta-remos considerando que sua dimens˜ao ´e n, salvo men¸c˜ao em contr´ario.

Dada uma variedade diferenci´avel M definimos uma m´etrica Riemanniana como uma fun¸c˜ao que associa cada p ∈ M um produto interno h, ip : TpM × TpM −→ R

satisfazendo a seguinte propriedade: Se U ´e um aberto em M e X, Y s˜ao campos de vetores diferenci´aveis em U , ent˜ao a fun¸c˜ao hX, Y i : U −→ R dada por

hX, Y i(p) = hX|p, Y|pip

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´e diferenci´avel em U .

Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica Riemanniana.

Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e C(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C∞ definidas em M. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao

∇ : χ(M) × χ(M) −→ χ(M) (X, Y ) 7−→ ∇XY

que satisfaz as propriedades:

(i) ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇yZ,

(ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

(iii) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y,

onde X, Y, Z ∈ χ(M) e f, g ∈ C(M).

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇ e uma m´etrica Riemanniana h, i. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h, i se

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, X, Y, Z ∈ χ(M).

Sejam X, Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade diferenci´avel M. ´

E poss´ıvel provar que existe um ´unico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ C(M), Zf = (XY − Y X)f . O campo vetorial Z ´e chamado o colchete de X e Y e denotamos [X, Y ] = XY − Y X.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Uma conex˜ao afim em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica quando

∇XY − ∇YX = [X, Y ] para todo X, Y ∈ χ(M).

Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M, existe uma ´unica conex˜ao afim ∇ em M tal que ∇ ´e sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana. Dizemos que essa conex˜ao ´e a conex˜ao Riemanniana de M.

A curvatura R de uma variedade Riemanniana M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ χ(M ) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : χ(M) −→ χ(M) dada por

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onde ∇ ´e conex˜ao Riemanniana de M.

Intimamente relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional que definimos,

Defini¸c˜ao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p ∈ Mn e um subespa¸co bi-dimensional σ ⊂ TpMn o n´umero real Kp(u, v) = Kp(σ) =

hR(u, v)u, vi

|u ∧ v|2 onde u, v ´e uma

base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p.

Existem combina¸c˜oes importantes das curvatura seccionais, a saber:

Seja x = zn um vetor unit´ario em TpM, tomemos uma base ortonormal {z1, ..., zn = x}

do hiperplano de TpM ortogonal a x = zn.

A curvatura de Ricci, no ponto p, e na dire¸c˜ao x ´e Ricp(x) =

X

i6=n

hR(x, zi)x, zii.

A curvatura escalar, no ponto p ´e a soma das curvaturas de Ricci, i.´e, τ (p) =X i Ricp(zi) = X ij hR(zi, zj)zi, zji, j = 1, ..., n.

1.2

Variedades Riemannianas Completas

Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distˆancia de p a q, denotada por d(p, q), ´e o ´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenci´aveis por partes ligando p a q. Munido da m´etrica d, M ´e um espa¸co m´etrico completo e al´em disso, a topologia induzida por d em M coincide com a topologia inicial de M.

Dada uma curva parametrizada γ : I −→ M, dizemos que γ ´e uma geod´esica se D

dt  dγ

dy 

= 0 para todo t ∈ I onde, D

dt ´e a derivada covariante. Note que, se γ ´e uma geod´esica, ent˜ao

d dth dγ dt, dγ dti = 2h D dt dγ dt, dγ dti = 0. Portanto, o comprimento do vetor tangente dγ

dt ´e constante. O comprimento de arco s de γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t0, ´e dado por

s(t) = Z t

t0

kdγ

dtk dt = c(t − t0).

Se c = 1, dizemos que a geod´esica γ est´a normalizada.

Com o intuito de definir aplica¸c˜ao exponencial e vizinhan¸ca totalmente normal, seguem duas proposi¸c˜oes e suas demostra¸c˜oes podem ser encontradas em [3].

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5

Proposi¸c˜ao 1.2.1. Dado p ∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um n´umero real ε > 0 e uma aplica¸c˜ao C∞, γ(−a, a) × U −→ M tal que t 7−→ γ(t, q, w) ´e a ´unica geod´esica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q ∈ V e cada w ∈ TqM. Onde U = {(q, w) ∈ T M; q ∈ V, w ∈ TqM, kwk < ε}.

Seja p ∈ U ⊂ T M como acima. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por exp(q, v) = γ  kvk, q, v kvk  ´

e chamada aplica¸c˜ao exponencial em U . Dizemos que M ´e geodesicamente completa se para todo p ∈ M, a aplica¸c˜ao exponencial expp, est´a definida

para todo v ∈ TpM, i.´e, se as geod´esicas que partem de p est˜ao definidas para todos os

valores de t ∈ R.

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Para cada p ∈ M existem uma vizinhan¸ca W de p e um n´umero δ > 0, tais que, para cada q ∈ W, expq´e um difeomorfismo em Bδ(0) ⊂ TqM e expq(Bδ(0)) ⊃ W .

Dizemos que (W, δ) ´e uma vizinhan¸ca totalmente normal de p.

Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na sequˆencia, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao de variedade completa.

Defini¸c˜ao 1.2.3. (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M ´e uma variedade riemanniana completa se M ´e geodesicamente completa.

Defini¸c˜ao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0, +∞) −→ M ´e divergente em M se para cada compacto K ⊂ M, ∃t0 ∈ [0, +∞) tal que α(t) 6∈ K, para

todo t > t0. O comprimento de uma curva divergente ´e dado por l(α) = lim s→∞

Z s 0

|α0(t)| dt. Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em [3] p´ag. 163. Este teorema possui um corol´ario seguinte que caracteriza as variedades completas em fun¸c˜ao das curvas divergentes.

Teorema 1.2.5. Seja M uma variedade Riemmaniana e seja p ∈ M. As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(i) expp est´a definida em todo o TpM.

(ii) Os limitados e fechados de M s˜ao compactos. (iii) M ´e completa como espa¸co m´etrico.

(iv) M ´e geodesicamente completa.

(v) Existe uma sucess˜ao de compactos Kn⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e

[

n

Kn= M, tais que

se qn∈ K/ n ent˜ao d(p, qn) −−−→ n→∞ ∞.

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Al´em disso, cada uma das afirma¸c˜oes acima implica que

(vi) Para todo q ∈ M existe uma geod´esica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q).

Corol´ario 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M ´e completa se, e somente se, o com-primento de qualquer curva divergente ´e ilimitado.

Prova: Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma sucess˜ao de compactos Kn ⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e

[

n

Kn = M, tais que se qn ∈ K/ n ent˜ao

d(p, qn) −−−→

n→∞ ∞, para todo p ∈ M. Seja α : [0, ∞) −→ M uma curva divergente tal que

α(tn) = qn. Da defini¸c˜ao de distˆancia d em M seque que d(p, qn) ≤

Z s 0 |α0(t)| dt. Al´em disso, d(p, qn) −−−→ n→∞ ∞ logo Z s 0 |α0(t)| dt −−−→

s→∞ ∞. Portanto o comprmento de uma curva

divergente qualquer α ´e ilimitado.

Reciprocamente, se M ´e uma variedade Riemanniana n˜ao completa ent˜ao existe uma geod´esica normalizada, γ, que n˜ao est´a definida para todo t ∈ R, i.´e, γ n˜ao se estende. Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s0) −→ M com γ(0) = p.

J´a que l(γ) = s0, ´e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.

Com efeito, pois caso contr´ario ter´ıamos um compacto K tal que, para todo t0 e

algum t > t0, γ(t) ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequˆencia {sn}n∈N convergindo a s0

com sn< s0 e γ(sn) ∈ K. Portanto existe subsequˆencia {γ(sk)}k∈N0

⊂N de {γ(sn)} tal que

γ(sk) → q0 ∈ K.

Seja (W, δ) uma vizinhan¸ca totalmente normal de q0. Da convergˆencia de {sn}n∈N

podemos escolher um ´ındice n0tal que, se n, m > n0ent˜ao ksn−smk < δ com γ(sn), γ(sm) ∈

W . Da proposi¸c˜ao 1.2.1, existe uma ´unica geod´esica η de comprimento menor que δ li-gando s(tn) a s(tm). Portanto γ coincide com η onde γ est´a definida. Como expγ(sn)´e um

difeomorfismo em Bδ(0) e expγ(sn)(Bδ(0)) ⊃ W , η estende γ al´em de q0. Isso mostra que

γ se estende o que ´e um absurdo pois estamos supondo que γ n˜ao se estende. Portanto

M ´e completa. 

1.3

Hipersuperf´ıcies de R

n+1

Iniciamos esta se¸c˜ao com alguns fatos gerais das imers˜oes isom´etricas. Em seguida exibimos os principais conceitos das hipersuperf´ıcies de Rn+1.

Sejam Mn e Mm variedades Riemannianas. Dizemos que f : Mn−→ Mm ´e uma

imers˜ao se a diferencial dfx : TxM −→ TxM ´e injetiva para todo x ∈ M. O n´umero p = m − n ´e chamado codimens˜ao de f . Uma imers˜ao f : Mn −→ Mn+p entre duas

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variedades Riemannianas com m´etricas h; iM e h; iM, respectivamente, ´e chamada uma imers˜ao isom´etrica se:

hX; Y iM = hdfxX; dfxY iM

para todo x ∈ M e todo X, Y ∈ TxM.

Seja f : Mn −→ Mn+p uma imers˜ao isom´etrica. Em cada x ∈ M existe uma

vizinhan¸ca U ⊂ M tal que a restri¸c˜ao de f a U ´e um mergulho em f (U ). Portanto podemos identificar U com sua imagem por f , isto ´e, f ´e localmente uma inclus˜ao.

Dessa forma, podemos considerar o espa¸co tangente de M em x como um su-bespa¸co do espa¸co tangente a M em x, e escrever

TxM = TxM ⊕ TxM⊥,

onde TxM⊥´e o complemento ortogonal de TxM em TxM. Com esta decomposi¸c˜ao obtemos

um fibrado de vetores T M⊥ =S

x∈MTxM ⊥

, chamado fibrado normal a M. Dessa maneira, os vetores

T M|f (M) = {X ∈ T M : π(X) ∈ f (M), onde π : T M −→ M ´e a proje¸c˜ao}

´e uma soma direta do fibrado tangente T M com T M⊥, isto ´e, T M|f (M) = T M ⊕W T M⊥.

Com respeito a estas decomposi¸c˜oes temos as proje¸c˜oes ()T : T M|f (M) −→ T M

()⊥: T M|f (M) −→ T M⊥,

as quais s˜ao chamadas tangente e normal respectivamente.

Seja Mn+p uma variedade Riemanniana com a conex˜ao de Levi-Civita ∇, e seja f : Mn −→ Mn+p uma imers˜ao isom´etrica. Dados campos de vetores X, Y ∈ T M, temos

que

∇XY = (∇XY )T + (∇XY )⊥.

Com a unicidade da conex˜ao de Levi-Civita temos que ∇T ´e a conex˜ao de Levi-Civita de M, e ser´a denotada por ∇.

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8

Portanto, obtemos a f´ormula de Gauss:

∇XY = ∇XY + α(X, Y ). (1.1)

A qual define uma fun¸c˜ao α : T M × T M −→ T M⊥ chamada segunda forma fundamental de f . Pode-se concluir, com as propriedades das conec¸c˜oes de Levi-Civita ∇ e ∇, que α ´e sim´etrica e bilinear sobre o anel C∞(M) das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M.

Em particular, para algum ponto x ∈ M e campos de vetores X, Y ∈ T M, a fun¸c˜ao αx : TxM × TxM −→ TxM⊥

(X, Y ) 7−→ αx(X, Y ) = α(X, Y )(x)

depende apenas dos valores de X e de Y em x.

Seja X campos de vetores em T M e ξ de T M⊥, denote por AξX a componente

tangencial de −∇ξX, i.´e.,

AξX = −(∇Xξ)T.

Portanto para cada Y ∈ T M temos

0 = Xhξ, Y i = h∇Xξ, Y i + hξ, ∇XY i,

Da f´ormula de Gauss segue que

hAξX, Y i = hα(X, Y ), ξi.

Em particular, a fun¸c˜ao

A : T M × T M⊥ −→ T M

(X, ξ) 7−→ A(X, ξ) = AξX

´e bilinear sobre C∞(M). Portanto, a fun¸c˜ao Aξ : T M −→ T M ´e linear sobre C∞(M) e

sim´etrica, isto ´e, hAξX, Y i = hX, AξY i para todo X, Y ∈ T M. Por abuso de nota¸c˜ao

chamaremos a fun¸c˜ao Aξ de segunda forma fundamental na dire¸c˜ao normal ξ.

A componente normal de ∇Xξ, denotada por ∇⊥Xξ, define uma conex˜ao

com-pat´ıvel no conjunto normal T M⊥. Dizemos que ∇⊥ ´e a conex˜ao normal de f , e obtemos a f´ormula de Weingarten ∇Xξ = −AξX + ∇⊥Xξ. (1.2) Sejam X, Y, Z ∈ T M, ent˜ao ∇X∇YZ = ∇X∇YZ + ∇Xα(Y, Z) = ∇X∇YZ + α(X, ∇YZ) − Aα(Y,Z)X + ∇⊥Xα(Y, Z), (1.3)

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9

onde a primeira equa¸c˜ao ´e dada por 1.1 e a ´ultima equa¸c˜ao segue de 1.1 e 1.2. De maneira similar,

∇Y∇XZ = ∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ) − Aα(X,Z)Y + ∇⊥Yα(X, Z). (1.4)

Seguindo de 1.1 temos

∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z). (1.5)

Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aqua¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i,

onde R e R s˜ao os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi e K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi s˜ao as curvaturas seccionais do plano gerado pelos vetores ortogonais X, Y ∈ TxM, a equa¸c˜ao de Gauss ´e

K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2. (1.6) Dado uma imers˜ao isom´etrica f : Mn −→ Mm dizemos que f ´e uma hipersu-perf´ıcie se a codimens˜ao de f ´e igual a um.

Seja p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Como Aξ : TpM −→ TpM ´e sim´etrica, existe

uma base ortonormal de autovetores {e1, ..., en} de TpM com autovalores reais λ1, ..., λn,

i.´e, Aξ(ei) = λiei, 1 ≤ i ≥ n. Se escolhemos uma orienta¸c˜ao para M e M, ent˜ao o vetor ξ

fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo {e1, ..., en} uma base na orienta¸c˜ao

de M, {e1, ..., en, ξ} seja uma base na orienta¸c˜ao de M m

. Neste caso, denominamos os ei

dire¸c˜oes principais e os λi curvaturas principais de f . Dizemos que Gp = λ1(p) · · · λn(p)

´e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que Hp =

1

n(λ1(p) + ... + λn(p)) ´e a curvatura m´edia de f .

Agora, seja f : Mn−→ Mm uma imers˜ao isom´etrica e x ∈ M. Podemos

conside-rar, localmente, um campo diferenci´avel de vetores normal e unit´ario, i.´e, um campo de vetores diferenci´avel ξ em T M⊥ definido num aberto U de x tal que hξy, ξyi = 1 para todo

y ∈ U . Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha para ξ. Dado X ∈ TxM

e Y ∈ T M ´e f´acil ver da f´orrmula de Gauss que

(20)

10

Por outro lado, j´a que ξ ´e um campo de vetor normal unit´ario, temos h∇Xξ, ξi = 0,

consequentemente ∇⊥Xξ = 0 para todo X ∈ T M. Portanto, da f´ormula de Weingarten temos

∇Xξ = −AξX. (1.8)

Quando Mm = Rn+1, A

ξ tem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante. Para

ver isto, definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Seja uma hipersuperf´ıcie orient´avel f : M −→ Rn+1, seja ξ um campo normal

global unit´ario de vetores em T M⊥. A aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e definida por φ : M −→ Sn

x 7−→ ξx

Onde Sn ⊂ Rn+1 ´e a esfera e ξx ∈ Sn denota a trasla¸c˜ao paralela do vetor ξx ∈ TxM⊥

para a origem do Rn+1.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie orient´avel com aplica¸c˜ao de Gauss φ : M −→ Sn. Ent˜ao, para cada x ∈ M temos

dφx = −Aξx.

Prova: Dado X ∈ TxM, seja γ : (−ε, +ε) −→ M uma curva diferenci´avel tal que γ(0) = x e γ0(0) = X. Ent˜ao

dφx(X) =

d

dt(φ ◦ γ)(t)|t=0 = ∇Xξ = −AξxX.

onde a ´ultima igualdade ´e dada por 1.8. Portanto −Aξ ´e a derivada da aplica¸c˜ao normal

de Gauss. 

A curvatura seccional das hipersuperf´ıcies admite uma express˜ao mais simples do que aquela apresentada em 1.1.3.

De fato, sejam f : Mn −→ Mn+1 uma hipersuperf´ıcie, p ∈ M e ξ ∈ (T pM)⊥,

|ξ| = 1. Considere uma base ortonormal {e1, ..., en} de TpM que diagonaliza Aξ. Se

λ1, ..., λn s˜ao os autovalores de Aξ ent˜ao, de 1.1 e de 1.7 obtemos,

hα(ei, ei), α(ej, ej)i = λiλj

Portanto a equa¸c˜ao 1.6 reduz-se a

(21)

11

Se Mm = Rn+1 ent˜ao K(X, Y ) = λ

iλj. Consequentemente, a curvatura de Ricci

e a curvatura escalar s˜ao respectivamente, Ricp(x) = X i6=n λiλj τ (p) =X i X i6=n λiλj

Defini¸c˜ao 1.3.2. Dada uma fun¸c˜ao f : M −→ R diferenci´avel, dizemos que p ∈ M ´e um ponto cr´ıtico se dfp n˜ao ´e sobrejetiva. A imagem de um ponto cr´ıtico ´e um valor cr´ıtico.

Se a imagem de um ponto p n˜ao ´e um valor cr´ıtico, dizemos que ´e um valor regular e em particular, segue do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que a imagem inversa de um valor regular ´e uma hipersuperf´ıcie de M.

Se f : M −→ R ´e uma fun¸cao diferenci´avel, ´e poss´ıvel provar que o conjunto dos valores cr´ıticos de f tem medida nula em R. Esse resultado ´e devido a Sard e sua prova pode ser encontrada em [7].

(22)

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies Convexas de R

n+1

Aqui, apresentaremos sem demonstra¸c˜oes, o teorema de H. Wu [12] e o teorema de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperf´ıcie convexa e homeomorfa ao Rn ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao convexa n˜ao negativa. O segundo mostra basicamente que uma hipersuperf´ıcie completa de Rn+1, com curvatura seccional n˜ao negativa e n˜ao identicamente nula, ´e convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos o conceito da envolt´oria convexa e o teorema de Robert Osserman.

2.1

Propriedade da Envolt´

oria Convexa da

Hipersu-perf´ıcie de R

n+1

Nesta se¸c˜ao definiremos a propriedade da envolt´oria convexa da hipersuperf´ıcie de Rn+1e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema ´e uma caracteriza¸c˜ao das variedades com tal propriedade e tem grande relevˆancia na demonstra¸c˜ao do teorema das curvaturas principais.

Defini¸c˜ao 2.1.1. (Envolt´oria convexa) Dado E ⊂ Rn, a envolt´oria convexa de E, que ser´a denotada por Env(E), ´e a intersec¸c˜ao de todos os subespa¸cos convexos que cont´em E.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Dada uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, dizemos que f tem a propriedade da envolt´oria convexa se, para todo dom´ınio D em M, com f (D) limitado em Rn+1, tivermos f (D) ⊂ Env(∂f (D)).

Observa¸c˜ao 2.1.3. Se, na defini¸c˜ao acima, D ´e relativamente compacto ent˜ao os valores de fronteira de f (D) conincidem com a imagem da fronteira, i.´e, ∂f (D) = f (∂D).

A seguir, provamos o teorema de Osserman, este d´a uma estimativa para as curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que segue.

(23)

13

Lema 2.1.4. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma fundamental

A na dire¸c˜ao ξ. Denote os autovalores de A por λ1 ≥ ... ≥ λn. Para cada R > 0 seja

BR(cR) a bola de raio R e centro em c = f (p) + Rξ.

(i) Se Vp ´e uma vizinhan¸ca de p em M e f (Vp) ⊂ BR(c) ent˜ao λn ≥

1 R. (ii) Se λn>

1

R ent˜ao existe vizinhan¸ca de p em M tal que f (Vp) ⊂ BR(c).

Prova: Inicialmente vamos provar (i). Seja x : U ⊂ Rn −→ M uma parametriza¸c˜ao em p, com x(p) = 0. Em TpM, seja { ∂ ∂u1 (p), ..., ∂ ∂un

(p)} uma base ortonormal que diagonaliza Ap.

Defina a aplica¸c˜ao

g : U ⊂ Rn −→ R

u 7−→ ||f ◦ x(u) − c||2

Aplicando a f´ormula de Taylor a g, obtemos: g(u) = g(0) + dg(0)u +1

2d

2g(0)u2+ ||u||2ρ(u) (2.1)

Com lim

u→0ρ(u) = 0. Note que,

dg(0) = 2h ∂ ∂ui f ◦ x(u)|0; f ◦ x(u)i = 2h ∂ ∂ui (p); −Rξ0i = 0 d2g(0) = ∂ ∂uj {2h ∂ ∂ui f ◦ x(u)|0; f ◦ x(u)i}|0 = 2h ∂ 2 ∂ui∂uj f ◦ x(u); −Rξ0i|0 + 2h ∂ ∂ui f ◦ x(u); ∂ ∂uj f ◦ x(u)i|0 = −2Rλjδij + 2δij = 2δij(1 − Rλj) Portanto, da equa¸c˜ao 2.1

(24)

14 g(u) = g(0) + 1 2 n X i,j=1 ∂2g(0) ∂uiuj uiuj + ||u||2ρ(u) = R2+ n X i,j=1 δij(1 − Rλj)uiuj+ ||u||2ρ(u) = R2+ n X j=1 (1 − Rλj)ujuj + ||u||2ρ(u) = R2+ n X j=1 {1 − Rλj+ ρ(u)}u2j (2.2)

Suponha que existe vizinhan¸ca Vp de p em M tal que f (Vp) ⊂ BR(c). Ent˜ao para

todo u ∈ U segue de 2.2 0 ≥ g(u) − R2 = n X j=1 {1 − Rλj+ ρ(u)}u2j (2.3)

Em particular para u = (0, ..., t) obtemos,

0 ≥ g(0, ..., t) − R2 = (1 − Rλn+ ρ(0, ..., t))t2

Como lim

u→0ρ(u) = 0 temos que λn ≥

1 R.

Para provar (ii) suponha que existe ε0 ≥ 0 tal que

λ1 ≥ ... ≥ λn= 1 R + ε0 R Donde temos

−ε0 + ρ(u) = 1 − Rλn+ ρ(u) ≥ ... ≥ 1 − Rλ1+ ρ(u)

E da equa¸c˜ao 2.3 g(u) − R2 ≤ n X j=1 {−ε0+ ρ(u)}u2j J´a que lim

u→0ρ(u) = 0, dado ε = ε0 existe δ ≥ 0 tal que ||u|| ≤ δ temos ρ(u) ≤ ||ρ(u)|| < ε.

Portanto, para todo u tal que ||u|| ≤ δ temos g(u) − R2 ≤

n

X

j=1

(25)

15

logo,

||f ◦ x(u) − c||2− R2 ≤ 0

Isso mostra que existe vizinhan¸ca Vp = x(U ) tal que f (Vp) ⊂ BR(c) concluindo a prova

de (ii). 

Teorema 2.1.5. (Robert Osserman) Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie, f tem a propriedade da envolt´oria convexa se, e somente se, para todo ponto de M, n˜ao existe dire¸c˜ao normal ξ tal que a segunda forma fundamental de f , Aξ tem todos os autovalores

positivos.

Prova: Inicialmente, suponha que existe p ∈ M e um vetor normal unit´ario ξ0 em M,

no ponto p, tal que todas as curvaturas principais s˜ao positivas, ou equivalentemente, como no lema anterior, λn > 0. Escolha R > 0 tal que λn > R1. Por 2.1.4 (ii), existe Vp

vizinhan¸ca de p em M, tal que f (Vp) ⊂ BR(c). Sendo f uma imers˜ao, podemos restringir

Vp (se necess´ario) a uma vizinhan¸ca V

0 p tal que f : V 0 p −→ f (V 0 p) seja bijetora.

Note que, sendo Vp0 uma vizinhan¸ca de p ent˜ao p /∈ ∂Vp0 e como f|

Vp0

´

e bijetora obtemos que f (p) /∈ f (∂Vp0).

Da continuidade de f e da compacidade de ∂Vp0 vem que E = f (∂V0p) ´e compacto

em BR− f (p).

Defina a fun¸c˜ao

h : ∂Vp0 −→ R

x 7−→ hf (x) − f (p); ξ0i

Note que h ´e n˜ao negativa pois,

h(x) = hf (x) − f (p); ξ0i

= hf (x) − c + Rξ0; ξ0i

= hf (x) − c; ξ0i + R

= ||f (x) − c|| cos{f (x) − c; ξ0} + R

≥ −||f (x) − c|| + R

(26)

16

Al´em disso, h(x) 6= 0 caso contr´ario existiria x ∈ ∂Vp0 tal que hf (x)−f (p); ξ0i = 0.

Reescrevendo esta igualdede temos,

hf (x) − c; ξ0i = hf (p) − c; ξ0i = −R

Portanto,

hf (x) − c; ξ0i = ||f (x) − c||||ξ0||cos{f (x) − c; ξ0} = −R.

Obtemos ent˜ao cos{f (x) − c; ξ0} = −1 e ||f (x) − c|| = R e temos f (x) − c = ±Rξ0. Se

f (x)−c = −Rξ0ent˜ao f (x)−c = f (p)−c e temos f (x) = f (p). Como f|

Vp0 ´e bijetora, x = p

o que ´e um absurdo pois p /∈ ∂Vp0. Se f (x) − c = Rξ0 ent˜ao f (x) − c = −(f (p) − c) o que

implica f (x) − f (p) = −2{f (p) − c} = −2Rξ0. Portanto hf (x) − f (p); ξ0i = h−2Rξ0; ξ0i =

−2R 6= 0 que ´e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h n˜ao se anula.

Da continuidade de h e da compacidade da ∂Vp0 vem que h possui um m´ınimo positivo em E, digamos ω. Portanto f (∂Vp0) ⊂ S = {x ∈ Rn+1: hx − f (p); ξ

0i ≥ ω > 0} e

temos claramente que f (p) /∈ S. Logo existe um subespa¸co convexo S que cont´em f (∂Vp0) mas n˜ao cont´em f (Vp0). Segue que f (Vp0) 6⊂ Env(f (∂Vp0)). Como Vp0 ´e relativamente compacto, da observa¸c˜ao 2.1.3 temos que f (Vp0) 6⊂ Env(∂f (Vp0)). Isto mostra que f n˜ao tem a propriedade da envolt´oria convexa.

Reciprocamente, suponha que f n˜ao tem a propriedade da envolt´ooria convexa. Ent˜ao existe um dom´ınio D ∈ M, com f (D) limitado mas f (D) 6⊂ Env(∂f (D)). Portanto, existe um subespa¸co convexo S = {x ∈ Rn+1 : hx, vi ≤ a, kvk = 1} com ∂f (D) ⊂ S e

f (D) 6⊂ S. Logo existe p0 ∈ D tal que hf (p0), vi = b > a.

Afirma¸c˜ao 2.1.6. Existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com cR= f (p)+Rξ)

tal que f (D) ⊂ BR(cR).

Prova: Para a provar essa afirma¸c˜ao, considere os lemas que seguem:

Lema 2.1.7. Seja Br(cr) o fecho da bola de raio r e centro cr, onde hcr; vi = a e f (D) ⊂

Br(cr) . Para cada t > r, se Bt(ct) ´e o fecho da bola de raio t e centro ct = cr+ v

√ t2− r2

ent˜ao ∂f (D) ⊂ Bt(ct).

Prova: Para todo valor de fronteira x de f (D), kx − ctk2 = hx − cr+ v √ t2− r2; x − c r+ v √ t2− r2i = kx − crk2+ 2 √ t2− r2hx − c r, vi + t2− r2 < r2+ 2√t2− r2hx − c r, vi + t2− r2

(27)

17

J´a que f (D) ⊂ Br(cr), hx, vi ≤ a e hcr, vi = a, segue que

r2+ 2√t2− r2hx − c

r, vi + t2− r2 ≤ t2.

Portanto,

kx − ctk2 ≤ t2.

 Lema 2.1.8. Se (2b − 2a)√t2− r2 > 2r2 ent˜ao f (p) n˜ao pertence a B

t(ct). Prova: kf (p) − ctk2 = hf (p) − cr+ v √ t2− r2; f (p) − c r+ v √ t2− r2i = hf (p) − cr, f (p) − cri + 2hf (p) − cr, v √ t2− r2i + t2− r2 > t2− 2r2+ 2hf (p) − c r, v √ t2− r2i = t2− 2r2 + 2hf (p) − cr, vi √ t2− r2− 2hr, vit2− r2 = t2− 2r2+ (2b − 2a)t2− r2 > t2  Lema 2.1.9. Existe t = R tal que f (D) ⊂ BR(cR) e existe q = f (p) ∈ f (D) tal que

q ∈ ∂BR(cR).

Prova: Considere o conjunto

Θ = {t ≥ r : f (D) ⊂ Bt(ct)}.

Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f (D) ⊂ Bt(ct), ´e suficiente que Θ 6= ∅.

Isso ´e dado diretamente da defini¸c˜ao de Br(cr), pois f (D) ⊂ Br(cr), consideremos ent˜ao

t = r = R. Agora mostremos que algum q = f (p) em f (D) est´a na fronteira de BR(cR).

Pela afirma¸c˜ao 2.1.8 Θ ´e limitado superiormente logo existe sup Θ = t0. Seja

(tk)k∈N uma sequˆencia em Θ tal que tk −−−→

k→∞ t0. Para todo k e todo x ∈ f (D) segue da

defini¸c˜ao de Θ que

kx − ctkk ≤ tk

Da continuidade da norma temos kx − ct0k ≤ t0. Isto prova que f (D) ⊂ Bt0(ct0) logo

t0 ∈ Θ.

Agora, suponha que n˜ao existe ponto de f (D) em ∂Bt0(ct0). Ent˜ao, pela

compa-cidade de f (D), existiria t0 > t0 com f (D) ⊂ Bt0(ct0) o que ´e uma contradi¸c˜ao j´a que t0 ´e

(28)

18

Seja (xk)k∈N uma sequˆencia em D tal que f (xk) −−−→

k→∞ y. ´E fato que, (xk)k∈N ´e

convergente pois se n˜ao fosse y estaria na fronteira de f (D). Pela afirma¸c˜ao 2.1.7, ter´ıamos y ∈ Bt0(ct0) que ´e uma contradi¸c˜ao pois y ∈ ∂Bt0(ct0). Portanto (xk)k∈N ´e convergente,

digamos a x ∈ D. Assim,

y = lim

k→∞f (xk) = f (x) ∈ f (D)

 Lema 2.1.10. Existe R > 0 tal que ξ = cR− f (p)

R ´e uma dire¸c˜ao unit´aria e normal a f em p.

Prova: Seja α : (−ε, ε) −→ f (D) uma curva diferenci´avel tal que α(0) = f (p).

Como f (p) ∈ ∂BR(cR) (lema 2.1.9) ent˜ao kα(s) − cRk2 assume o m´aximo em

s = 0 pois, α(s) ⊂ f (D) ⊂ f (D) ⊂ BR(cR) e R = kα(s) − cRk = kf (p) − cRk. Logo, d dt(kα(s) − cRk 2) |0 = 0 ou seja, hα0(0), α(0) − cRi = 0. Seja agora ξ = α(0) − cR R ent˜ao hα 0 (0), ξi = 0 e kξk = kα(0) − cRk R = 1. Isto prova que ξ ´e um vetor unit´ario e normal a f em p. 

Portanto, obtemos que existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com

cR= f (p) + Rξ) tal que f (D) ⊂ BR(cR). 

Agora ´e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de Aξ s˜ao

λ1 ≥ ... ≥ λn≥

1

R > 0. 

Corol´ario 2.1.11. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma

funda-mental A na dire¸c˜ao ξ. Se f possui a propriedade da envolt´oria convexa ent˜ao M n˜ao ´e compacta.

Prova: Pelo teorema anterior Aξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto

de M. Pela proposi¸c˜ao 1.3 em [2] obtemos o desejado. 

Agora, abordaremos o conceito das hipersuperf´ıcies convexas e os teoremas de Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstra¸c˜ao desses resultados podem ser vistas em [12].

Defini¸c˜ao 2.1.12. (hipersuperf´ıcie convexa) Uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, ´e

dita convexa se f (M) = ∂C onde C ⊂ Rn+1 ´e um conjunto convexo fechado com interior

(29)

19

Teorema 2.1.13. (Sacksteder-van Heijenoort) Seja f : Mn−→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie

completa e orient´avel, A a segunda forma fundamental de f . Se a curvatura seccional de M ´e n˜ao negativa e n˜ao identicamente nula, ent˜ao temos:

(i) f ´e um mergulho e f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa.

(ii) Se r = max{posto de Ap, p ∈ M} (necessariamente 2 ≤ r ≤ n) ent˜ao Rn+1 pode ser

decomposto em soma direta ortogonal Rn+1 = Rr+1⊕ Rn−r tal que f (M ) ∼

= M1 ⊕

Rn−r. Mr1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1 com segunda forma fundamental

de posto r em algum ponto de M1.

Teorema 2.1.14. (H. Wu) Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie e A a segunda

forma fundamental de f com respeito a ξ : Mn −→ Sn−1. Temos:

(i) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1, ´e n˜ao vazio e M n˜ao ´e compacta ent˜ao M ´e

homeomorfa ao Rn.

(ii) Se f (com f (M) = ∂C) ´e convexa e M ´e homeomorfa ao Rn ent˜ao as coordenadas

podem ser escolhidas tal que H0 = {x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1= 0} ´e o

hiper-plano suporte de C na origem.

Al´em disso,

(ii.1) Se Π : Rn+1 −→ H

0 ´e a proje¸c˜ao ortogonal ent˜ao M ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao

convexa n˜ao negativa h : int Π(C) −→ R.

(ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que M ∩ Π−1(a) ´e um segmento de reta. (ii.3) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1, ´e n˜ao vazio ent˜ao para cada c > 0, f (M)∩H

c

´

e difeomorfo a Sn, onde Hc= {x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1 = c} .

Corol´ario 2.1.15. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie convexa homeomorfa a Rn

satisfazendo (ii.1) e (ii.3) do teorema de Wu. Se Πn+1: Rn+1 −→ R ´e a ´ultima proje¸c˜ao

de Rn+1 ent˜ao Πn+1◦ f (M ) := (Πn+1)|f (M) : f (M) −→ R ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria.

Prova: Inicialmente, notemos que Π : Hc ∩ f (M) −→ Υ = Π(Hc ∩ f (M)) ´e um

difeorfismo. Para todo c > 0, Hc∩ f (M) ´e difeomorfo a Sn logo Υ = Π(Hc∩ f (M)) e Sn

s˜ao difeomorfos.

Como Πn+1 ◦ f (M ) ´e cont´ınua, resta mostrar que (Πn+1◦ f )−1(K) ´e compacto

em f (M) para todo compacto K em R. Note que, se K ´e compacto em R ent˜ao K ⊂ [−c, c] para algum c ∈ R. Como f (M) ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao n˜ao negativa ent˜ao K ⊂ [0, c]. Portanto ´e suficiente mostrar que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e compacto em f (M).

(30)

20

Como (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e fechado, resta mostar que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e limitado em

f (M).

Suponha por absurdo que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e ilimitado. Como 0 ≤ xn+1 ≤ c

para todo (x1, ..., xn, xn+1) = x ∈ (Πn+1◦f )−1([0, c]) ent˜ao existe x ∈ (Πn+1◦f )−1([0, c]) tal

que Π(x) est´a na componente ilimitada de H0, i.´e, Π(x) ∈ H0\Υ. Como 0, Π(x) ∈ Π(C)

e Π(C) ´e convexo ent˜ao existe t0 ∈ (0, 1) tal que t0Π(x) = z ∈ Υ. Al´em disso, f (M) ´e

gr´afico sobre int{Π(C)}, logo existe um ´unico (w1, ..., wn+1) = w0 ∈ f (M), com wn+1 = c

tal que w0 = (z, h(z)).

Como 0, x ∈ ∂C e C ´e conexo, ent˜ao w = t0x ∈ int C. Portanto, temos w ∈ int C

e (z, 0) ∈ Rn+1\int C. Logo o segmento que liga w a (z, 0) intersecta ∂C = f (M) em algum ponto, digamos w. Note queb w = (z,b wbn+1) com wbn+1< t0wn+1 < c. J´a que f (M) ´e gr´afico de h ent˜ao w = (z, h(z)) = wb 0. Portanto, wbn+1 = wn+1= c o que ´e um absurdo poiswbn+1< c. Logo (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e limitado e Πn+1◦ f (M ) ´e pr´opria. 

(31)

Cap´ıtulo 3

O Teorema das Curvaturas

Principais

Dedicamos este cap´ıtulo a demonstra¸c˜ao do Teorema das Curvaturas Principais. Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperf´ıcies euclidianas completas. A t´ecnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons-tra¸c˜ao desse teorema, foi criar uma perturba¸c˜ao adequada na hipersuperf´ıcie dada (com segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperf´ıcie (com segunda forma funda-mental A) com curvatura seccional n˜ao negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder-van Heijenoort garantindo que a hipersuperf´ıcie perturbada ´e uma hipersuperf´ıcie convexa. Al´em disso, o conjunto de autovalores de A coincide com o de A. Para concluir a demons-tra¸c˜ao foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperf´ıcie convexa. Interessantes consequˆencias saem do teorema das curvaturas principais, essas consequˆencias s˜ao tema do pr´oximo cap´ıtulo.

Inicialmente provamos o lema que segue:

Lema 3.0.16. Sejam f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel e A a

segunda forma fundamental de f com respeito ao compo normal unit´ario ξ : Mn−→ Sn−1.

Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e Λ± = Λ ∩ R±. Se Λ+, Λ− s˜ao ambos n˜ao vazios e inf Λ+ 6= 0 ou sup Λ+6= 0 ent˜ao, para cada ponto de M, A possui

autovalores positivo e negativo. Em particular f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Prova: Primeiro mostremos que, em cada ponto de M, A possui um autovalor positivo. Equivalentemente, se N = {p ∈ Mn: λ

i(p) > 0 para algum i ∈ (1, ..., n)} ent˜ao Mn = N .

Com efeito, N 6= ∅ j´a que Λ+ 6= ∅, i.´e, existe p1 ∈ Mn e existe i ∈ (1, ...n) tal

que λi(p1) > 0. Dado que uma inclus˜ao ´e ´obvia, provemos que Mn ⊂ N . Suponha que

M 6⊂ N , i.´e, existe p2 ∈ Mn tal que, para todo i ∈ (1, ..., n) temos λi(p2) ≤ 0. Considere

uma curva C que liga p1 a p2.

(32)

22

Da conexidade de M e da continuidade de λi : Mn −→ R, obtemos que λi(C) ´e

um intervalo com extremos em λi(p2) ≤ 0 e λi(p1) > 0. Portanto existe sequˆencia (pk)k∈N

em C com λi(pk) > 0 tal que λi(pk) −−−→

k→∞ 0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo

que inf Λ+ > 0. Portanto Mn = N e A possui um autovalor positivo em cada ponto de M.

Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um ponto p0 ∈ Mn

tal que λi(p0) > 0 para todo i. Da hip´otese Λ− 6= ∅ e com os mesmos argumentos de

conexidade de M e continuidade de λi, obtemos sequˆencia (pk)k∈N tal que λi(pk) −−−→ k→∞ 0

contradizendo que inf Λ+ 6= 0. Portanto para todo ponto p ∈ Mn existe i tal que

λi(p) < 0.

Concluimos ent˜ao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

A prova deste resultado segue de forma an´aloga se supormos que sup Λ+ 6= 0. 

Teorema 3.0.17. (Curvaturas Principais) Sejam f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie

e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unit´ario global ξ : Mn −→ Sn−1

. Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e Λ±= Λ ∩ R±. Se Λ+ e Λ− s˜ao n˜ao vazios ent˜ao inf Λ+= sup λ− = 0.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha por absurdo que inf Λ+ = 2c > 0. Seja t

0 = 1/c e defina

f = f + toξ : Mn −→ Rn+1

Afirma¸c˜ao 3.0.18. Seja h, i a m´etrica induzida por f . Ent˜ao a aplica¸c˜ao f ´e uma hipersuperf´ıcie com a m´etrica dada por hu; vi = h(I − t0A)2u; vi.

Prova: Para todo ponto p ∈ M, a aplica¸c˜ao dfp : TpM −→ Tf(p)M ´e injetiva. Caso

contr´ario existiria q ∈ M e TqM 3 v 6= 0 tal que

0 = dfq(v) = dfq(v) + t0dξq(v) = dfq(v) − t0dfq(Aqv) = dfq(v − t0λqv).

Onde a terceira igualdade ´e dada por 1.3.1. Da injetividade de dfq vem que v − t0λpv = 0

donde temos λ(p) = 1t

0 = c e isto ´e um absurdo pois inf Λ

+ = 2c. Portanto v = 0 e df p ´e injetiva. Al´em disso, hu; vi = h(I − t0A)2u; vi = hu; vi − 2t0hAu; vi + t20hA 2 u, vi.

(33)

23

Por outro lado,

hdfpu; dfp(v)i = hdfp(u) − t0dfp(Au); dfp(v) − t0dfp(Av)i

= hdfp(u); dfp(v)i − 2t0hλu, vif + t20hλu; λvi

= hdfp(u); dfp(v)i − 2t0hAu, vi + t20hAu; Avi.

Usando que A ´e um opearador auto-adjunto, obtemos

hdfpu; dfp(v)i = hu; vi − 2t0hAu; vi + t20hA 2u, vi.

Portanto hu; vi = hdfp(u); dfp(v)i e f ´e uma isometria. 

Note que, se bλ s˜ao os autovalores do operador I − t0A ent˜ao bλ ´e maior ou igual

a unidade em valor absoluto.

De fato, (I − t0A)v = bλv ⇔ v − t0λv = bλv ⇔ 1 − t0λ = bλ. Se supormos que

|bλ| < 1 ent˜ao −2 < −t0λ < 0 e teriamos 0 < λ < 2t

0 = 2c o que ´e um absurdo pois

inf Λ+ = 2c. Portanto |bλ| > 1.

Afirma¸c˜ao 3.0.19. Munida da m´etrica hu; vi, M ´e completa.

Prova: Seja α : [0, +∞) −→ M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) ´e o comprimento de α com respeito a m´etica h; i, basta mostrar que l(α) ´e ilimitado. Para cada t ∈ [0, +∞), seja {e1(t), ...en(t)} uma base ortonormal de Tα(t)M que diagonaliza o

operador P = I − t0A e tem { bλ1, ..., cλn} como autovalores associados. Podemos escrever

α0(t) = n X i=1 αi(t)ei(t) Assim, teremos |α0 (t)|2 = hα0 (t); α0 (t)i = h(I − t0A)α 0 (t); (I − t0A)α 0 (t)i = hP α0(t); P α0(t)i = h n X i=1 αi(t)P ei(t); n X i=1 αj(t)P ej(t)i = n X i=1 (αi(t))2( bλi)2 ≥ n X i=1 (αi(t))2 (pois | bλi| ≥ 1) = |α0(t)|2

(34)

24 Portanto, l(α) = lim s→∞ Z s 0 |α0 (t)| dt ≥ l(α) = lim s→∞ Z s 0 |α0(t)| dt

Sendo M, com a m´etrica h; i, uma variedade completa segue que l(α) ´e ilimitado.  Afirma¸c˜ao 3.0.20. A imers˜ao f possui segunda forma fundamental A = (I − t0A)−1A

com respeito ao mesmo campo de vetores normal unit´ario ξ. Al´em disso, se K ´e a cur-vatura seccional de f (M) ent˜ao K > 0.

Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ´e ξ, assumiremos que A = (I − t0A)−1A. Esta igualdade ser´a provada em seguida.

Se N ´e o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ent˜ao, dN = −df (A) = −(df + t0dξ)A = −df (A) + t0df (AA) = −df (A − t0AA) = −df ((I − t0A)A) = −df (A) = dξ portanto ξ = N.

Ademais, como a derivada covariante do Rn+1, com respeito ao campo de vetores

X ´e ´unica, vem que

−df (AX) = DXξ = −df (AX)

= −(df (AX) − t0df (AAX))

= −df (AX − t0AAX)

= −df ((I − t0A)AX)

Sendo f uma imers˜ao, (I − t0A)AX = AX e portanto AX = (I − t0A)−1AX.

Provemos que K > 0. Se λ ´e um autovalor de A ent˜ao podemos escrever λ = λ

1 − t0λ

= λc c − λ.

(35)

25

inf Λ+ = 2c segue que c−λ < 0 logo λ ≤ 0. Portanto a curvatura seccional K = λ

iλj ≥ 0.

Do lema 3.0.16, A possui posto r ≥ 2 e como A tem o mesmo posto de A conclu´ı-se que K n˜ao ´e identicamente nula. 

Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f . Assim, f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rn+1 e podemos decompor M e f (veja [5] p´ag. 1) como segue:

M = Mr1× R

n−r e f = f 1× f2

Tal que,

f1 : Mr1 −→ Rr+1 e f2 : Rn−r −→ Rn−r

Onde f2 ´e a aplica¸c˜ao identidade e f1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1. A segunda

forma fundamental A1 com respeito a f2 tem posto r em algum ponto de Mr1. Portanto

podemos escrever A = A1 × A0 em que A0 ´e a segunda forma fundamental com respeito

a f2. Segue que A0 = 0 e como o posto de A ´e igual ao posto de A, podemos supor que

r = n.

Afirma¸c˜ao 3.0.21. A imagem da aplica¸c˜ao de Gauss ξ : Mn −→ Sn com rela¸ao a

imers˜ao f , tem interior n˜ao vazio.

Prova: Do par´agrafo anterior, existe p ∈ M tal que Ap possui posto n, i.´e, λi(p) 6= 0

para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λi, existe vizinhan¸ca de p, Vi ⊂ M, tal que

λi(p) 6= 0 ∀q ∈ Vi.

Se U =

n

\

i=1

Vi ent˜ao a aplica¸c˜ao de Gauss ξ : U −→ Sn ´e um difeomorfismo sobre

sua imagem.

De fato, dξp = dfp(−Ap) logo, se v ∈ TpM e dξp(v) = dfp(−Ap(v)) = 0 ent˜ao,

da injetividade de dfp temos que −Ap(v) = 0. Como o posto de A|U ´e igual a n, obtemos

que v = 0. Portanto dξp ´e injetiva e do teorema da fun¸c˜ao inversa ξ|U ´e um difeomorfismo

sobre sua imagem. J´a que um difeomorfismo ´e uma aplica¸c˜ao aberta, ξ(M) tem interior

n˜ao vazio. 

Do corol´ario 2.1.11 e do teorema 2.1.14, M ´e homeomorfa ao Rn. Podemos ent˜ao aplicar o corol´ario 2.1.15 a hipersuperf´ıcie f e concluir que Πn+1◦ f (M) ´e pr´opria.

Afirma¸c˜ao 3.0.22. Πn+1◦ f := (Πn+1)|f (|M ) : f (M) −→ R ´e pr´opria.

Prova: Como Πn+1◦ f ´e cont´ınua, ´e suficiente mostrar que (Πn+1◦ f )−1(K) ´e compacto

em f (M), para qualquer compacto K ∈ R. J´a que (Πn+1◦ f )−1(K) est´a contido em Rn+1,

(36)

26

Seja (xn)n∈N sequˆencia em (Πn+1◦ f )−1(K). Sabemos que, para ξ = (ξ1, ...ξn+1)

Πn+1◦ f (xn) = Πn+1◦ f (xn) + t0ξn+1(xn).

Como Πn+1◦ f (xn) ∈ K e kξn+1k ≤ 1 segue que Πn+1◦ f (xn) pertence a um compacto

K0. Sendo assim, existe subsequˆencia (xnk) de (xn)n∈Ntal que Πn+1◦ f (xnk) converge. Se

Πn+1◦ f ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria ent˜ao (xnk) tamb´em ´e convergente, digamos a x.

Ademais, da continuidade de Πn+1 ◦ f obtemos que Πn+1 ◦ f (xnk) converge a

Πn+1◦ f (x). Como Πn+1◦ f (xnk) ∈ K temos Πn+1◦ f (x) ∈ K logo x ∈ (Πn+1◦ f )

−1(K)

provando que (Πn+1◦ f )−1(K) ´e sequencialmente compacto. 

Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que, para quase todo valor regular a > 0 de Πn+1 ◦ f : M −→ R, temos que (Πn+1 ◦ f )−1(a) ´e uma

hipersuperf´ıcie de M. Seja ent˜ao a > 0 um valor regular de Πn+1 ◦ f e seja M1 =

(Πn+1◦ f )−1(a). J´a que Πn+1◦ f ´e pr´opria, ent˜ao M1 ´e uma hipersuperf´ıcie compacta de

Mn que podemos assumir que ´e conexa (caso contr´ario, consideramos uma componente conexa de M1).

Considere agora o homeomorfismo h : Mn −→ Rn

e note que h(M1) ´e uma

hipersuperf´ıcie (topol´ogica) compacta de Rn. Uma generaliza¸c˜ao do teorema de Jordan nos permite afirmar que h(M1) decomp˜oe o Rn em dois abertos L1 e Rn\ L1, onde L1 ´e

relativamente compacto e Rn\ L

1 ´e ilimitado.

Seja ent˜ao Ω = h−1(L1). Observe que Ω ´e um aberto relativamente compacto em

Mn e que,

h(M1) = ∂L1 = ∂h(Ω) = h(∂Ω).

Portanto,

∂Ω = M1 = (Πn+1◦ f )−1(a) = f−1(Π−1n+1(a)).

Assim, f (∂Ω) = Π−1n+1(a) = Ha. Em particular Envf (∂Ω) = Env(Ha) = Ha. Pelo

lema 3.0.16 f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Segue que f (Ω) ⊂ Env(f (∂Ω)). Portanto f (Ω) ⊂ Ha (hiperplano) e f possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto

´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo que inf Λ+ 6= 0.

Para provar que sup Λ− = 0, basta supor por absurdo que sup Λ− = −2c < 0 e proceder de forma an´aloga ao acima.

(37)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

oes

Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e Mn ´e uma variedade completa e orient´avel com curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ent˜ao, essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no R4. E para n ≥ 4, isso tamb´em ´e v´alido se, a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M ´e uma variedade completa e orient´avel, de dimens˜ao trˆes, com curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao, a curvatura de Ricci est´a pr´oxima de zero quanto se queira, i.´e, o ´ınfimo da curvatura de Ricci ´e igual a zero. E, se a dimens˜ao ´e maior ou igual a quatro, isso tamb´em ´e v´alido se a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais.

Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso ´e tamb´em v´alido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar.

Para demonstrar o proposto em dimens˜ao trˆes, necessitamos do pr´oximo teorema. Teorema 4.0.23. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva e A a segunda forma fundamental de f . Suponha que A possui assinatura, i.´e, A tem um autovalor positivo e n − 1 autovalores negativos, ou vice versa, para todo p ∈ M. Ent˜ao

inf

p∈MkApk := inf kAk = 0

inf

p∈M v∈TpM

kRicp(v)k := inf kRick = 0

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p), ..., λn(p) os autovalores de Ap, escolhamos uma orienta¸c˜ao

para M tal que Appossua um autovalor positivo e n−1 autovalores negativos. Da hip´otese

sobre a curvatura de Ricci temos

Ricp(v) ≤ 0 ⇔

X

i6=j

Kp(ei, ej) ≤ 0.

(38)

28

Segue da equa¸c˜ao de Gauss que

Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p),

donde temos que

X i6=j Kp(ei, ej) ≤ 0 ⇒ X i6=j λi(p)λj(p) ≤ 0 ⇒ λi(p) X i6=j λj(p) ≤ 0

Assim, obtemos que

λi(p) n

X

j=1

(λj(p) − λi(p)) ≤ 0.

Note que, para i = 2, λ2(p) n X j=1 (λj(p) − λ2(p)) ≤ 0 ⇒ λ2(p)λ1(p) + λ2(p) n X j=3 λj(p) ≤ 0 ⇒ λ1(p) ≥ − n X j=3 λj(p) = n X j=3 kλj(p)k. Portanto, λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j 6= 2.

De forma an´aloga, para i = 3,

λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j 6= 3.

Segue que

(39)

29

Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ+ = inf

p∈Mλ1(p) = 0. Logo existe uma

sequˆencia (pk)k∈N em M, tal que λ1(pk) −−−→

k→∞ 0. Como λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j ent˜ao,

ao longo dessa mesma sequˆencia λj(pk) −−−→ k→∞ 0.

Ademais, para todo p ∈ M,

kApk2 = n X j=1 (λj(p))2. Em particular para pk, kApkk 2 = n X j=1 (λj(pk))2 −−−→ k→∞ 0. Portanto, inf kAk = 0. Al´em disso, se vk ´e uma sequˆencia em TpkM obtemos

Ricpk(vk) = X ik6=jk Kpk(eik, ejk) = X ik6=jk λik(pk)λjk(pk) −−−→ k→∞ 0. Portanto, inf kRick = 0. 

Com esse teorema vimos que, as hipersuperf´ıcies completas e orient´aveis com curvatura de Ricci n˜ao positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura, tem ´ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condi¸c˜oes, as hipersuperf´ıcies de uma variedade de dimens˜ao trˆes tem automaticamente segunda forma fundamental com assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.

Lema 4.0.24. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperf´ıcie com curvatura de Ricci negativa

e A a segunda forma fundamental de f . Ent˜ao A possui assinatura.

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p) e λ3(p) os autovalores de Ap. Da hip´otese sobre a curvatura

de Ricci temos, Ricp(v) < 0 ⇒ λi(p) X i6=j λj(p) < 0 . Para i = 1, λ1(p) X i6=j λj(p) < 0 e supondo λ1(p) > 0 teremos λ2(p) + λ3(p) < 0 o que nos d´a λ2(p) < 0 ou λ3(p) < 0.

Se λ2(p) < 0 e λ3(p) < 0 nada a fazer. Caso λ2(p) < 0 e λ3(p) > 0 mudamos a

(40)

30

Se λ1(p) < 0 o resultado ´e an´alogo. Portanto Ap possue um autovalor positivo e

n − 1 autovalores negativos. 

Com esse lema podemos provar a generaliza¸c˜ao de Efimov [4] em dimens˜ao trˆes, a saber,

Teorema 4.0.25. Se f : M3 −→ R4 ´e uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci negativa ent˜ao inf kRick = 0.

Prova: Seja f : M3 −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie e A a segunda forma fundamental de

f . Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 inf kRick = 0. 

N´os adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este ´ultimo resultado tamb´em ´e v´alido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver nos dois pr´oximos teoremas.

Teorema 4.0.26. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|Gp| = 0. Em particular se Gp = cte para todo

p ∈ M3, teremos G ≡ 0.

Prova: Pela afirma¸c˜ao 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega-tivos ou vice-versa. Da demonstra¸c˜ao de 4.0.23 existe sequˆencia em M, (pk)k∈N, tal que

λi(pk) −−−→ k→∞ 0 para todo i ∈ {1, 2, 3}. Portanto, lim k→∞G(pk) = limk→∞ 3 Y i=1 λi(pk) = 0. Logo, inf p∈M|Gp| = 0. 

(41)

31

Teorema 4.0.27. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|τ (p)| = 0. Em particular se τ (p) = cte para

todo p ∈ M3, teremos τ ≡ 0.

Prova: Do teorema 4.0.23, Ricpk(vk) −−−→

k→∞ 0. Ent˜ao ao longo desta mesma sequˆencia,

τ (pk) = 3 X j Ricpk(vj) −−−→ k→∞ 0. Logo, inf p∈M|τ (p)| = 0. 

Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie com-pleta e orient´avel, com curvatura de Ricci n˜ao positiva, pode ser um cilindro. Al´em disso, mostra uma rela¸c˜ao entre a curvatura m´edia e a curvatura de Ricci. Esta rela¸c˜ao ser´a usada para mostrar uma generaliza¸c˜ao de Efimov para n ≥ 4.

Teorema 4.0.28. Seja f : M3 −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva e H a curvatura m´edia de M. (i) Ou inf

p∈M|Hp| = inf kHk := 0 ou f (M) ´e um cilindro sobre uma curva plana em R n+1.

(ii) Se inf H 6= −∞ ou sup H 6= +∞ ent˜ao inf kRick = 0. Em particular, se H = constante 6= 0 ent˜ao f (M)´e um cilindro.

Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ+ ou Λ´e vazio. Se Λ+ =

Λ−= ∅ ent˜ao M´e um hiperplano e H ≡ 0.

Caso Λ+ = ∅ e Λ6= ∅, da hip´otese sobre a curvatura de Ricci sabemos que

λi(p) X i6=j λj(p) ≤ 0. ent˜ao X i6=j

λj(p) ≥ 0 o que nos d´a λj(p) = 0 para todo j 6= i.

Dessa forma, Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p) = 0 para todo p ∈ M. Por

Hartman-Niremberg [2] pag. 72, f (M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

Supondo que nem Λ+ nem Λao vazios, assuma por absurdo que inf

p∈M|Hp| 6= 0.

Se Hp ≥ ε > 0, da condi¸c˜ao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nHp − λ(p)) ≤ 0 para todo

λ(p) ∈ Λ o que nos d´a n · Hp ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+. Do teorema das curvaturas

principais inf

p∈Mn · Hp ≤ inf Λ +

= 0. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo inf

(42)

32

Caso Hp ≤ −ε < 0, teremos que n · Hp ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ−.

Analoga-mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradi¸c˜ao. Portanto inf H = 0 e isto conclui a prova de (i).

Para provar (ii) suponha que existe c ∈ R tal que Ricp(v) ≤ −c2,

equivalente-mente, λ(p)(nHp− λ(p)) ≤ −c2 para todo λ(p) ∈ Λ. Disto segue que nHp ≤ −c 2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+.

Como inf Λ+ = 0 existe uma sequˆencia (pk)k∈N em M tal que λ(pk) −−−→ k→∞ 0.

Portanto lim

k→∞(

−c2

λ(pk)

+ λ(pk)) = −∞ e ao longo dessa mesma sequˆencia H −−−→ k→∞ −∞.

Analogamente, usando que nHp ≥ −c 2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ

e que

sup Λ− = 0, obtemos que sup H = +∞. 

Teorema 4.0.29. Seja f : Mn −→ Rn+1 (n ≥ 4) uma hipersuperf´ıcie completa e

ori-ent´avel com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional de M n˜ao assume todos os valores reais ent˜ao inf

p∈MkRicpk = 0.

Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, sup K 6= +∞. Com efeito, suponha que inf K = −∞. Da continuidade da fun¸c˜ao curvatura seccional e da hip´otese sobre sua imagem temos que sup K 6= +∞.

Caso inf K 6= −∞ suponha por absurdo que sup K = +∞. Ent˜ao, existem sequˆencias (pk)k∈N e (vk, uk)k∈N em M e TpkM respectivamente, onde lim

k→∞Kpk(eik, ejk) = +∞. Al´em

disso, existe c > 0 tal que inf K ≥ −c.

Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci, X ik6=jk Kpk(eik, ejk) < 0 ⇒ X K>0 Kpk(eik, ejk) + X K<0 Kpk(eik, ejk) < 0. E portanto, X K>0 Kpk(eik,ejk) < − X K<0 Kpk(eik,ejk) ≤ c.

Isto ´e um absurdo pois estamos supondo que sup K = +∞.

Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor positivo e n − 1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23.

Caso contr´ario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores negativos. Como λ(p)(nHp− λp) < 0 para todo λ ∈ Λ ent˜ao nHp < λ(p) para λ(p) > 0.

(43)

33

Ent˜ao, para Hp > 0

( nHp < λi1(p) nHp < λi2(p). Portanto, λi1(p) · λi2(p) ≥ n 2 (Hp)2 ⇒ Kp(ei1, ei2) ≥ n 2 (Hp)2. Logo,

+∞ 6= sup K ≥ sup Kp(ei1, ei2) ≥ sup H.

Do teorema 4.0.28 (ii),

inf

p∈MkRicpk = 0.

(44)

Referˆ

encias

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(46)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

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Referências

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