O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicações

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

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Teles Ara´

ujo Fernandes

Salvador-Bahia Fevereiro de 2010

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

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oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Salvador-Bahia Fevereiro de 2010

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Fernandes, Teles Ara´ujo.

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplica¸c˜oes / Teles Ara´ujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010.

35 f.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matemática). 3. Variedades riemannianas. I. Costa, Ézio de Araújo. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 05 de fevereiro de 2010.

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

Prof. Dr. Vicente Francisco de Sousa Neto UNICAP

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A minha m˜ae Madalena Ara´ujo e minha noiva Manu-ela Silva.

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Agradecimentos

Agrade¸co a todos que, de forma direta ou indireta, me deu apoio na elabora¸cão deste trabalho. Em particular, ao meu orientador Ézio Costa que me transferiu um pouco da sua sabedoria, ao professor José Nelson Bastos que me deu grande apoio no que envolveu a geometria riemanniana geral, a minha noiva Manuela Souza e minha mãe Madalena Araújo. Agrade¸co ao meu presidente Luiz Inácio Lula da Silva pois sem o seu incentivo a educa¸cão superior não poderia me demitir, da empresa onde trabalhei, para estudar matemática.

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Existe apenas um bem, o sa-ber, e apenas um mal, a ig-norˆancia.

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Resumo

Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplica¸c˜oes desse teorema, provamos uma generaliza¸c˜ao de Efimov: N˜_{ao existe hipersuperf´ıcie f : M}3 _−→

R4 completa e orientável com Ric ≤ −c tal que c > 0. De forma original, também provamos que, esse resultado é verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.

Al´em disso, ainda como consequˆencia deste teorema provamos que, para n ≥ 4 n˜_{ao existe hipersuperf´ıcie f : M}n _{−→ R}n+1 _{completa e orient´}_{avel com Ric ≤ −c tal que}

c > 0 e com as curvaturas seccionais n˜ao assumindo todos os valores reais.

Palavras-chave: Hipersuperf´ıcies do Rn+1; imersão Isométrica; curvatura de Ricci; cur-vatura seccional; curcur-vatura Gauss-Kronecker; curcur-vatura média; variedade riemanniana completa.

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Abstract

We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely: The Principal Curvature Theorem. Among applications of this theorem, we prove a generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfaces f : M3 _−→

R4 with Ric ≤ −c such that c > 0. In original form, also proved that this result is true when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar.

Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n ≥ 4, there are no complete and orientable hypersurfaces f : Mn_{−→ R}n+1 _{with Ric ≤ −c such that}

c > 0 and the sectional curvatures not taking all real values.

Keywords: Hipersurface in Rn+1; isometric immersions; Ricci curvature; sectional curva-ture; Gauss-Kronecker curvacurva-ture; mean curvacurva-ture; completeness Riemannian manifolds.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

1.1 Fatos B´asicos da Geometria Riemanniana . . . 2 1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . 4 1.3 _{Hipersuperf´ıcies de R}n+1 . . . 6 2 _{Hipersuperf´ıcies Convexas de R}n+1 12 2.1 Propriedade da Envolt´_{oria Convexa da Hipersuperf´ıcie de R}n+1 . . . 12 3 O Teorema das Curvaturas Principais 21

4 Aplica¸c˜oes 27

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Introdu¸

c˜

ao

´

E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade Riemanniana Mn_pode

ser imersa isometricamente em algum espa¸co euclidiano Rm_{. Entretanto, se m = n+1 pode}

existir obstru¸cão á existência de tais imersões (hipersuperf´ıcies). Por exemplo, o clássico Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperbólico não pode ser imerso isometricamente no espa¸co euclidiano R3. Em 1968, Efimov [4] foi mais além e mostrou que uma superf´ıcie completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa não pode ser imersa isometricamente em R3_{. Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa}

tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ent˜ao essa variedade n˜_{ao pode ser imersa isometricamente no R}n+1_{. Smyth e Xavier [11] mostraram que este}

resultado é verdadeiro para n = 3 e para n ≥ 4 com a hipótese adicional das curvaturas seccionais não asumirem todos os valores reais.

A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas Principais que é nosso principal resultado. Em seguida damos aplica¸cões do referido teo-rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier é válido em dimensão n = 3 e também quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela curvatura de Gauss-Kronecker.

Assim, o objetivo deste trabalho é demonstrar, com detalhes, o resultado em [11] e acrescentar que esses resultados também são válidos para as curvaturas de Guass-Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo as no¸cões básicas da geometria Riemanniana que estão relacionada com o proposto. No segundo cap´ıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperf´ıcies convexas de Rn+1_{e da propriedade}

da envolt´oria convexa das variedades. No terceiro cap´ıtulo, demonstramos o Teorema das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o cap´ıtulo quatro apresenta as aplica¸c˜oes desse teorema.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é familiarizar o leitor com a linguagem básica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Come¸camos com conceitos básicos: variedades diferenciáveis, métrica Riemanniana, conexão Riemanniana e curvatura. Em seguida é apresentada a segunda se¸cão, onde definimos uma distância em uma variedade, as curvas geodésicas e a completude de variedades. Na terceira se¸cão, abordamos o con-ceito e as principais equa¸c˜_{oes das hipersuperf´ıcies de R}n+1_.

1.1 Fatos B´

asicos da Geometria Riemanniana

Uma variedade diferenciável de classe C∞ e de dimens˜_{ao n, denotada por M}n, é um conjunto conexo M e uma fam´ılia de aplica¸cões biun´ıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de

abertos Uα de Rn em M tais que:

(i) [

α

xα(Uα) = M.

(ii) Para todo par α, β, com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W ) e x −1 β (W )

s˜_{ao abertos em R}n _{e as aplica¸c˜}_{oes x}−1

β ◦ xα s˜ao diferenci´aveis.

(iii) A fam´ılia {(Uα, xα)} é máxima relativamente às condi¸cões (i) e (ii).

De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferenc´_{avel por M,} esta-remos considerando que sua dimensão é n, salvo men¸cão em contrário.

Dada uma variedade diferenci´_{avel M definimos uma m´etrica Riemanniana como} uma fun¸c˜_{ao que associa cada p ∈ M um produto interno h, i}p : TpM × TpM −→ R

satisfazendo a seguinte propriedade: Se U ´_{e um aberto em M e X, Y são campos de} vetores diferenciáveis em U , então a fun¸c˜_{ao hX, Y i : U −→ R dada por}

hX, Y i(p) = hX|p, Y|pip

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3

´e diferenci´avel em U .

Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana.

Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e C(M) o anel das fun¸cões reais de classe C∞ _{definidas em M. Uma conexão afim ∇ em uma variedade} diferenci´_{avel M é uma aplica¸cão}

∇ : χ(M) × χ(M) −→ χ(M) (X, Y ) 7−→ ∇XY

que satisfaz as propriedades:

(i) ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇yZ,

(ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

(iii) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y,

onde X, Y, Z ∈ χ(M) e f, g ∈ C(M).

Defini¸c˜_{ao 1.1.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma} métrica Riemanniana h, i. A conexão é dita compat´ıvel com a métrica h, i se

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, X, Y, Z ∈ χ(M).

Sejam X, Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade diferenci´_{avel M.} ´

E poss´ıvel provar que existe um ´_{unico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ C(M),} Zf = (XY − Y X)f . O campo vetorial Z ´e chamado o colchete de X e Y e denotamos [X, Y ] = XY − Y X.

Defini¸cão 1.1.2. Uma conexão afim em uma variedade diferenci´_{avel M é dita simétrica} quando

∇XY − ∇YX = [X, Y ] para todo X, Y ∈ χ(M).

Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conex˜_{ao afim ∇ em M tal que ∇ é simétrica e compat´ıvel com a métrica} Riemanniana. Dizemos que essa conexão é a conex˜_{ao Riemanniana de M.}

A curvatura R de uma variedade Riemanniana M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ χ(M ) uma aplica¸c˜_{ao R(X, Y ) : χ(M) −→ χ(M) dada por}

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4

onde ∇ ´e conex˜_{ao Riemanniana de M.}

Intimamente relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional que definimos,

Defini¸c˜_{ao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p ∈ M}n e um subespa¸co bi-dimensional σ ⊂ TpMn o n´umero real Kp(u, v) = Kp(σ) =

hR(u, v)u, vi

|u ∧ v|2 onde u, v ´e uma

base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p.

Existem combina¸c˜oes importantes das curvatura seccionais, a saber:

Seja x = zn um vetor unit´ario em TpM, tomemos uma base ortonormal {z1, ..., zn = x}

do hiperplano de TpM ortogonal a x = zn.

A curvatura de Ricci, no ponto p, e na dire¸c˜ao x ´e Ricp(x) =

X

i6=n

hR(x, zi)x, zii.

A curvatura escalar, no ponto p ´e a soma das curvaturas de Ricci, i.´e, τ (p) =X i Ricp(zi) = X ij hR(zi, zj)zi, zji, j = 1, ..., n.

1.2 Variedades Riemannianas Completas

Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distância de p a q, denotada por d(p, q), é o ´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes ligando p a q. Munido da m´_{etrica d, M é um espa¸co métrico completo e além disso, a topologia} induzida por d em M coincide com a topologia inicial de M.

Dada uma curva parametrizada γ : I −→ M, dizemos que γ ´e uma geod´esica se D

dt dγ

dy

= 0 para todo t ∈ I onde, D

dt é a derivada covariante. Note que, se γ é uma geodésica, então

d dth dγ dt, dγ dti = 2h D dt dγ dt, dγ dti = 0. Portanto, o comprimento do vetor tangente dγ

dt ´e constante. O comprimento de arco s de γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t0, ´e dado por

s(t) = Z t

t0

kdγ

dtk dt = c(t − t0).

Se c = 1, dizemos que a geod´esica γ est´a normalizada.

Com o intuito de definir aplica¸cão exponencial e vizinhan¸ca totalmente normal, seguem duas proposi¸cões e suas demostra¸cões podem ser encontradas em [3].

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Proposi¸c˜_{ao 1.2.1. Dado p ∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um número} real ε > 0 e uma aplica¸cão C∞_{, γ(−a, a) × U −→ M tal que t 7−→ γ(t, q, w) é a única} geod´_{esica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q ∈ V e} cada w ∈ TqM. Onde U = {(q, w) ∈ T M; q ∈ V, w ∈ TqM, kwk < ε}.

Seja p ∈ U ⊂ T M como acima. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por exp(q, v) = γ kvk, q, v kvk ´

e chamada aplica¸c˜_{ao exponencial em U . Dizemos que M é} geodesicamente completa se para todo p ∈ M, a aplica¸cão exponencial expp, está definida

para todo v ∈ TpM, i.é, se as geodésicas que partem de p estão definidas para todos os

valores de t ∈ R.

Proposi¸c˜_{ao 1.2.2. Para cada p ∈ M existem uma vizinhan¸ca W de p e um n´umero δ > 0,} tais que, para cada q ∈ W, expq´e um difeomorfismo em Bδ(0) ⊂ TqM e expq(Bδ(0)) ⊃ W .

Dizemos que (W, δ) ´e uma vizinhan¸ca totalmente normal de p.

Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na sequˆencia, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao de variedade completa.

Defini¸c˜_{ao 1.2.3. (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M ´e uma variedade} riemanniana completa se M ´e geodesicamente completa.

Defini¸c˜_{ao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0, +∞) −→ M ´e} divergente em M se para cada compacto K ⊂ M, ∃t0 ∈ [0, +∞) tal que α(t) 6∈ K, para

todo t > t0. O comprimento de uma curva divergente ´e dado por l(α) = lim s→∞

Z s 0

|α0(t)| dt. Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em [3] pág. 163. Este teorema possui um corolário seguinte que caracteriza as variedades completas em fun¸cão das curvas divergentes.

Teorema 1.2.5. Seja M uma variedade Riemmaniana e seja p ∈ M. As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(i) expp est´a definida em todo o TpM.

(ii) Os limitados e fechados de M são compactos. (iii) M é completa como espa¸co métrico.

(iv) M ´e geodesicamente completa.

(v) Existe uma sucess˜ao de compactos Kn⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e

[

n

Kn= M, tais que

se qn∈ K/ n ent˜ao d(p, qn) −−−→ n→∞ ∞.

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Al´em disso, cada uma das afirma¸c˜oes acima implica que

(vi) Para todo q ∈ M existe uma geod´esica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q).

Corol´_{ario 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M ´e completa se, e somente se, o} com-primento de qualquer curva divergente ´e ilimitado.

Prova: _{Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma} sucess˜ao de compactos Kn ⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e

[

n

Kn = M, tais que se qn ∈ K/ n ent˜ao

d(p, qn) −−−→

n→∞ ∞, para todo p ∈ M. Seja α : [0, ∞) −→ M uma curva divergente tal que

α(tn) = qn. Da defini¸c˜ao de distˆancia d em M seque que d(p, qn) ≤

Z s 0 |α0(t)| dt. Al´em disso, d(p, qn) −−−→ n→∞ ∞ logo Z s 0 |α0(t)| dt −−−→

s→∞ ∞. Portanto o comprmento de uma curva

divergente qualquer α ´e ilimitado.

Reciprocamente, se M é uma variedade Riemanniana não completa então existe uma geodésica normalizada, γ, que não est´_{a definida para todo t ∈ R, i.é, γ não se estende.} Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s0) −→ M com γ(0) = p.

J´a que l(γ) = s0, ´e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.

Com efeito, pois caso contr´ario ter´ıamos um compacto K tal que, para todo t0 e

algum t > t0, γ(t) ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequˆencia {sn}_n∈N convergindo a s0

com sn< s0 e γ(sn) ∈ K. Portanto existe subsequˆencia {γ(sk)}_k∈N0

⊂N de {γ(sn)} tal que

γ(sk) → q0 ∈ K.

Seja (W, δ) uma vizinhan¸ca totalmente normal de q0. Da convergˆencia de {sn}_n∈N

podemos escolher um ´ındice n0tal que, se n, m > n0ent˜ao ksn−smk < δ com γ(sn), γ(sm) ∈

W . Da proposi¸cão 1.2.1, existe uma única geodésica η de comprimento menor que δ li-gando s(tn) a s(tm). Portanto γ coincide com η onde γ está definida. Como expγ(sn)é um

difeomorfismo em Bδ(0) e expγ(sn)(Bδ(0)) ⊃ W , η estende γ al´em de q0. Isso mostra que

γ se estende o que ´e um absurdo pois estamos supondo que γ n˜ao se estende. Portanto

M ´e completa.

1.3 _{Hipersuperf´ıcies de R}

n+1

Iniciamos esta se¸cão com alguns fatos gerais das imersões isométricas. Em seguida exibimos os principais conceitos das hipersuperf´ıcies de Rn+1_.

Sejam Mn _{e M}m _{variedades Riemannianas. Dizemos que f : M}n_{−→ M}m _´_{e uma}

imersão se a diferencial dfx : TxM −→ TxM é injetiva para todo x ∈ M. O número p = m − n é chamado codimensão de f . Uma imers˜_{ao f : M}n _{−→ M}n+p entre duas

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variedades Riemannianas com métricas h; i_M e h; i_M, respectivamente, é chamada uma imersão isométrica se:

hX; Y i_M = hdfxX; dfxY i_M

para todo x ∈ M e todo X, Y ∈ TxM.

Seja f : Mn _{−→ M}n+p _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica. Em cada x ∈ M existe uma}

vizinhan¸ca U ⊂ M tal que a restri¸cão de f a U é um mergulho em f (U ). Portanto podemos identificar U com sua imagem por f , isto é, f é localmente uma inclusão.

Dessa forma, podemos considerar o espa¸co tangente de M em x como um su-bespa¸co do espa¸co tangente a M em x, e escrever

TxM = TxM ⊕ TxM⊥,

onde TxM⊥´e o complemento ortogonal de TxM em TxM. Com esta decomposi¸c˜ao obtemos

um fibrado de vetores T M⊥ =S

x∈MTxM ⊥

, chamado fibrado normal a M. Dessa maneira, os vetores

T M|_{f (M)} = {X ∈ T M : π(X) ∈ f (M), onde π : T M −→ M ´e a proje¸c˜ao}

´_{e uma soma direta do fibrado tangente T M com T M}⊥, isto ´e, T M|_{f (M)} = T M ⊕W T M⊥.

Com respeito a estas decomposi¸c˜oes temos as proje¸c˜oes ()T _{: T M}|_{f (M)} −→ T M

()⊥_{: T M}|_{f (M)} −→ T M⊥,

as quais s˜ao chamadas tangente e normal respectivamente.

Seja Mn+p uma variedade Riemanniana com a conex˜ao de Levi-Civita ∇, e seja f : Mn _{−→ M}n+p _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica. Dados campos de vetores X, Y ∈ T M, temos}

que

∇XY = (∇XY )T + (∇XY )⊥.

Com a unicidade da conexão de Levi-Civita temos que ∇T é a conexão de Levi-Civita de M, e será denotada por ∇.

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Portanto, obtemos a f´ormula de Gauss:

∇XY = ∇XY + α(X, Y ). (1.1)

A qual define uma fun¸c˜_{ao α : T M × T M −→ T M}⊥ chamada segunda forma fundamental de f . Pode-se concluir, com as propriedades das coneçcões de Levi-Civita ∇ e ∇, que α é simétrica e bilinear sobre o anel C∞_{(M) das fun¸cões diferenciáveis em M.}

Em particular, para algum ponto x ∈ M e campos de vetores X, Y ∈ T M, a fun¸c˜ao αx : TxM × TxM −→ TxM⊥

(X, Y ) 7−→ αx(X, Y ) = α(X, Y )(x)

depende apenas dos valores de X e de Y em x.

Seja X campos de vetores em T M e ξ de T M⊥, denote por AξX a componente

tangencial de −∇ξX, i.´e.,

AξX = −(∇Xξ)T.

Portanto para cada Y ∈ T M temos

0 = Xhξ, Y i = h∇Xξ, Y i + hξ, ∇XY i,

Da f´ormula de Gauss segue que

hAξX, Y i = hα(X, Y ), ξi.

Em particular, a fun¸c˜ao

A : T M × T M⊥ −→ T M

(X, ξ) 7−→ A(X, ξ) = AξX

é bilinear sobre C∞_{(M). Portanto, a fun¸cão A}ξ : T M −→ T M é linear sobre C∞(M) e

simétrica, isto é, hAξX, Y i = hX, AξY i para todo X, Y ∈ T M. Por abuso de nota¸cão

chamaremos a fun¸c˜ao Aξ de segunda forma fundamental na dire¸c˜ao normal ξ.

A componente normal de ∇Xξ, denotada por ∇⊥Xξ, define uma conex˜ao

com-pat´ıvel no conjunto normal T M⊥. Dizemos que ∇⊥ é a conexão normal de f , e obtemos a fórmula de Weingarten ∇Xξ = −AξX + ∇⊥Xξ. (1.2) Sejam X, Y, Z ∈ T M, então ∇X∇YZ = ∇X∇YZ + ∇Xα(Y, Z) = ∇X∇YZ + α(X, ∇YZ) − Aα(Y,Z)X + ∇⊥Xα(Y, Z), (1.3)

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9

onde a primeira equa¸cão é dada por 1.1 e a última equa¸cão segue de 1.1 e 1.2. De maneira similar,

∇Y∇XZ = ∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ) − Aα(X,Z)Y + ∇⊥Yα(X, Z). (1.4)

Seguindo de 1.1 temos

∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z). (1.5)

Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aqua¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i,

onde R e R s˜_{ao os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se} K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi e K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi são as curvaturas seccionais do plano gerado pelos vetores ortogonais X, Y ∈ TxM, a equa¸cão de Gauss é

K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2. (1.6) Dado uma imersão isom´_{etrica f : M}n _{−→ M}m dizemos que f é uma hipersu-perf´ıcie se a codimensão de f é igual a um.

Seja p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Como Aξ : TpM −→ TpM ´e sim´etrica, existe

uma base ortonormal de autovetores {e1, ..., en} de TpM com autovalores reais λ1, ..., λn,

i.é, Aξ(ei) = λiei, 1 ≤ i ≥ n. Se escolhemos uma orienta¸cão para M e M, então o vetor ξ

fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo {e1, ..., en} uma base na orienta¸c˜ao

de M, {e1, ..., en, ξ} seja uma base na orienta¸c˜ao de M m

. Neste caso, denominamos os ei

dire¸c˜oes principais e os λi curvaturas principais de f . Dizemos que Gp = λ1(p) · · · λn(p)

´e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que Hp =

1

n(λ1(p) + ... + λn(p)) ´e a curvatura m´edia de f .

Agora, seja f : Mn_{−→ M}m _{uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica e x ∈ M. Podemos}

conside-rar, localmente, um campo diferenciável de vetores normal e unitário, i.é, um campo de vetores diferenci´_{avel ξ em T M}⊥ definido num aberto U de x tal que hξy, ξyi = 1 para todo

y ∈ U . Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha para ξ. Dado X ∈ TxM

e Y ∈ T M é fácil ver da fórrmula de Gauss que

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10

Por outro lado, já que ξ é um campo de vetor normal unitário, temos h∇Xξ, ξi = 0,

consequentemente ∇⊥_X_{ξ = 0 para todo X ∈ T M. Portanto, da f´ormula de Weingarten} temos

∇Xξ = −AξX. (1.8)

Quando Mm = Rn+1_{, A}

ξ tem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante. Para

ver isto, definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Seja uma hipersuperf´ıcie orient´_{avel f : M −→ R}n+1_{, seja ξ um campo normal}

global unit´_{ario de vetores em T M}⊥. A aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e definida por φ : M −→ Sn

x 7−→ ξx

Onde Sn _{⊂ R}n+1 ´e a esfera e ξx ∈ Sn denota a trasla¸c˜ao paralela do vetor ξx ∈ TxM⊥

para a origem do Rn+1_.

Proposi¸c˜_{ao 1.3.1. Seja f : M}n _{−→ R}n+1 uma hipersuperf´ıcie orient´avel com aplica¸c˜ao de Gauss φ : M −→ Sn_{. Ent˜}_{ao, para cada x ∈ M temos}

dφx = −Aξx.

Prova: Dado X ∈ TxM, seja γ : (−ε, +ε) −→ M uma curva diferenci´avel tal que γ(0) = x e γ0(0) = X. Ent˜ao

dφx(X) =

d

dt(φ ◦ γ)(t)|t=0 = ∇Xξ = −AξxX.

onde a última igualdade é dada por 1.8. Portanto −Aξ é a derivada da aplica¸cão normal

de Gauss.

A curvatura seccional das hipersuperf´ıcies admite uma express˜ao mais simples do que aquela apresentada em 1.1.3.

De fato, sejam f : Mn _{−→ M}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie, p ∈ M e ξ ∈ (T} pM)⊥,

|ξ| = 1. Considere uma base ortonormal {e1, ..., en} de TpM que diagonaliza Aξ. Se

λ1, ..., λn s˜ao os autovalores de Aξ ent˜ao, de 1.1 e de 1.7 obtemos,

hα(ei, ei), α(ej, ej)i = λiλj

Portanto a equa¸c˜ao 1.6 reduz-se a

(21)

11

Se Mm = Rn+1 _ent˜_{ao K(X, Y ) = λ}

iλj. Consequentemente, a curvatura de Ricci

e a curvatura escalar s˜ao respectivamente, Ricp(x) = X i6=n λiλj τ (p) =X i X i6=n λiλj

Defini¸cão 1.3.2. Dada uma fun¸c˜_{ao f : M −→ R diferenciável, dizemos que p ∈ M é um} ponto cr´ıtico se dfp não é sobrejetiva. A imagem de um ponto cr´ıtico é um valor cr´ıtico.

Se a imagem de um ponto p não é um valor cr´ıtico, dizemos que é um valor regular e em particular, segue do teorema da fun¸cão impl´ıcita que a imagem inversa de um valor regular ´_{e uma hipersuperf´ıcie de M.}

Se f : M −→ R é uma fun¸cao diferenciável, é poss´ıvel provar que o conjunto dos valores cr´ıticos de f tem medida nula em R. Esse resultado é devido a Sard e sua prova pode ser encontrada em [7].

(22)

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies Convexas de R

n+1

Aqui, apresentaremos sem demonstra¸cões, o teorema de H. Wu [12] e o teorema de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperf´ıcie convexa e homeomorfa ao Rn é o gráfico de uma fun¸cão convexa não negativa. O segundo mostra basicamente que uma hipersuperf´ıcie completa de Rn+1, com curvatura seccional não negativa e não identicamente nula, é convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos o conceito da envoltória convexa e o teorema de Robert Osserman.

2.1 Propriedade da Envolt´

oria Convexa da

Hipersu-perf´ıcie de R

n+1

Nesta se¸cão definiremos a propriedade da envoltória convexa da hipersuperf´ıcie de Rn+1e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema é uma caracteriza¸cão das variedades com tal propriedade e tem grande relevância na demonstra¸cão do teorema das curvaturas principais.

Defini¸cão 2.1.1. (Envolt´_{oria convexa) Dado E ⊂ R}n, a envoltória convexa de E, que será denotada por Env(E), é a interseçcão de todos os subespa¸cos convexos que contém E.

Defini¸c˜_{ao 2.1.2. Dada uma hipersuperf´ıcie f : M}n _{−→ R}n+1, dizemos que f tem a propriedade da envolt´_{oria convexa se, para todo dom´ınio D em M, com f (D) limitado em} Rn+1, tivermos f (D) ⊂ Env(∂f (D)).

Observa¸cão 2.1.3. Se, na defini¸cão acima, D é relativamente compacto então os valores de fronteira de f (D) conincidem com a imagem da fronteira, i.é, ∂f (D) = f (∂D).

A seguir, provamos o teorema de Osserman, este d´a uma estimativa para as curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que segue.

(23)

13

Lema 2.1.4. Seja f : M −→ Rn+1 _{uma hipersuperf´ıcie com segunda forma fundamental}

A na dire¸c˜ao ξ. Denote os autovalores de A por λ1 ≥ ... ≥ λn. Para cada R > 0 seja

BR(cR) a bola de raio R e centro em c = f (p) + Rξ.

(i) Se Vp ´e uma vizinhan¸ca de p em M e f (Vp) ⊂ BR(c) ent˜ao λn ≥

1 R. (ii) Se λn>

1

R ent˜ao existe vizinhan¸ca de p em M tal que f (Vp) ⊂ BR(c).

Prova: _{Inicialmente vamos provar (i). Seja x : U ⊂ R}n _{−→ M uma parametriza¸c˜ao em} p, com x(p) = 0. Em TpM, seja { ∂ ∂u1 (p), ..., ∂ ∂un

(p)} uma base ortonormal que diagonaliza Ap.

Defina a aplica¸c˜ao

g : U ⊂ Rn _{−→ R}

u 7−→ ||f ◦ x(u) − c||2

Aplicando a f´ormula de Taylor a g, obtemos: g(u) = g(0) + dg(0)u +1

2d

2_g(0)u2_{+ ||u||}2_ρ(u) _(2.1)

Com lim

u→0ρ(u) = 0. Note que,

dg(0) = 2h ∂ ∂ui f ◦ x(u)|0; f ◦ x(u)i = 2h ∂ ∂ui (p); −Rξ0i = 0 d2g(0) = ∂ ∂uj {2h ∂ ∂ui f ◦ x(u)|0; f ◦ x(u)i}|0 = 2h ∂ 2 ∂ui∂uj f ◦ x(u); −Rξ0i|0 + 2h ∂ ∂ui f ◦ x(u); ∂ ∂uj f ◦ x(u)i|0 = −2Rλjδij + 2δij = 2δij(1 − Rλj) Portanto, da equa¸c˜ao 2.1

(24)

14 g(u) = g(0) + 1 2 n X i,j=1 ∂2_g(0) ∂uiuj uiuj + ||u||2ρ(u) = R2+ n X i,j=1 δij(1 − Rλj)uiuj+ ||u||2ρ(u) = R2+ n X j=1 (1 − Rλj)ujuj + ||u||2ρ(u) = R2+ n X j=1 {1 − Rλj+ ρ(u)}u2j (2.2)

Suponha que existe vizinhan¸ca Vp de p em M tal que f (Vp) ⊂ BR(c). Ent˜ao para

todo u ∈ U segue de 2.2 0 ≥ g(u) − R2 = n X j=1 {1 − Rλj+ ρ(u)}u2j (2.3)

Em particular para u = (0, ..., t) obtemos,

0 ≥ g(0, ..., t) − R2 = (1 − Rλn+ ρ(0, ..., t))t2

Como lim

u→0ρ(u) = 0 temos que λn ≥

1 R.

Para provar (ii) suponha que existe ε0 ≥ 0 tal que

λ1 ≥ ... ≥ λn= 1 R + ε0 R Donde temos

−ε0 + ρ(u) = 1 − Rλn+ ρ(u) ≥ ... ≥ 1 − Rλ1+ ρ(u)

E da equa¸c˜ao 2.3 g(u) − R2 ≤ n X j=1 {−ε0+ ρ(u)}u2j J´a que lim

u→0ρ(u) = 0, dado ε = ε0 existe δ ≥ 0 tal que ||u|| ≤ δ temos ρ(u) ≤ ||ρ(u)|| < ε.

Portanto, para todo u tal que ||u|| ≤ δ temos g(u) − R2 ≤

n

X

j=1

(25)

15

logo,

||f ◦ x(u) − c||2_{− R}2 _{≤ 0}

Isso mostra que existe vizinhan¸ca Vp = x(U ) tal que f (Vp) ⊂ BR(c) concluindo a prova

de (ii).

Teorema 2.1.5. (Robert Osserman) Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie, f tem a propriedade da envolt´_{oria convexa se, e somente se, para todo ponto de M, n˜ao existe} dire¸c˜ao normal ξ tal que a segunda forma fundamental de f , Aξ tem todos os autovalores

positivos.

Prova: _{Inicialmente, suponha que existe p ∈ M e um vetor normal unit´ario ξ}0 em M,

no ponto p, tal que todas as curvaturas principais s˜ao positivas, ou equivalentemente, como no lema anterior, λn > 0. Escolha R > 0 tal que λn > _R1. Por 2.1.4 (ii), existe Vp

vizinhan¸ca de p em M, tal que f (Vp) ⊂ BR(c). Sendo f uma imers˜ao, podemos restringir

Vp (se necess´ario) a uma vizinhan¸ca V

0 p tal que f : V 0 p −→ f (V 0 p) seja bijetora.

Note que, sendo V_p0 uma vizinhan¸ca de p ent˜ao p /∈ ∂V_p0 e como f|

Vp0

´

e bijetora obtemos que f (p) /∈ f (∂V_p0).

Da continuidade de f e da compacidade de ∂V_p0 vem que E = f (∂V0p) ´e compacto

em BR− f (p).

Defina a fun¸c˜ao

h : ∂V_p0 _{−→ R}

x 7−→ hf (x) − f (p); ξ0i

Note que h ´e n˜ao negativa pois,

h(x) = hf (x) − f (p); ξ0i

= hf (x) − c + Rξ0; ξ0i

= hf (x) − c; ξ0i + R

= ||f (x) − c|| cos{f (x) − c; ξ0} + R

≥ −||f (x) − c|| + R

(26)

16

Al´em disso, h(x) 6= 0 caso contr´ario existiria x ∈ ∂V_p0 tal que hf (x)−f (p); ξ0i = 0.

Reescrevendo esta igualdede temos,

hf (x) − c; ξ0i = hf (p) − c; ξ0i = −R

Portanto,

hf (x) − c; ξ0i = ||f (x) − c||||ξ0||cos{f (x) − c; ξ0} = −R.

Obtemos ent˜ao cos{f (x) − c; ξ0} = −1 e ||f (x) − c|| = R e temos f (x) − c = ±Rξ0. Se

f (x)−c = −Rξ0ent˜ao f (x)−c = f (p)−c e temos f (x) = f (p). Como f|

V_p0 ´e bijetora, x = p

o que ´e um absurdo pois p /∈ ∂V_p0. Se f (x) − c = Rξ0 ent˜ao f (x) − c = −(f (p) − c) o que

implica f (x) − f (p) = −2{f (p) − c} = −2Rξ0. Portanto hf (x) − f (p); ξ0i = h−2Rξ0; ξ0i =

−2R 6= 0 que ´e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h n˜ao se anula.

Da continuidade de h e da compacidade da ∂V_p0 vem que h possui um m´ınimo positivo em E, digamos ω. Portanto f (∂V_p0_{) ⊂ S = {x ∈ R}n+1_{: hx − f (p); ξ}

0i ≥ ω > 0} e

temos claramente que f (p) /∈ S. Logo existe um subespa¸co convexo S que contém f (∂V_p0) mas não contém f (V_p0). Segue que f (V_p0) 6⊂ Env(f (∂V_p0)). Como V_p0 é relativamente compacto, da observa¸cão 2.1.3 temos que f (V_p0) 6⊂ Env(∂f (V_p0)). Isto mostra que f não tem a propriedade da envoltória convexa.

Reciprocamente, suponha que f n˜ao tem a propriedade da envolt´ooria convexa. Ent˜_{ao existe um dom´ınio D ∈ M, com f (D) limitado mas f (D) 6⊂ Env(∂f (D)). Portanto,} existe um subespa¸co convexo S = {x ∈ Rn+1 _{: hx, vi ≤ a, kvk = 1} com ∂f (D) ⊂ S e}

f (D) 6⊂ S. Logo existe p0 ∈ D tal que hf (p0), vi = b > a.

Afirma¸c˜ao 2.1.6. Existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com cR= f (p)+Rξ)

tal que f (D) ⊂ BR(cR).

Prova: Para a provar essa afirma¸c˜ao, considere os lemas que seguem:

Lema 2.1.7. Seja Br(cr) o fecho da bola de raio r e centro cr, onde hcr; vi = a e f (D) ⊂

Br(cr) . Para cada t > r, se Bt(ct) ´e o fecho da bola de raio t e centro ct = cr+ v

√ t2_{− r}2

ent˜ao ∂f (D) ⊂ Bt(ct).

Prova: Para todo valor de fronteira x de f (D), kx − ctk2 = hx − cr+ v √ t2_{− r}2_{; x − c} r+ v √ t2_{− r}2_i = kx − crk2+ 2 √ t2_{− r}2_{hx − c} r, vi + t2− r2 < r2+ 2√t2_{− r}2_{hx − c} r, vi + t2− r2

(27)

17

J´a que f (D) ⊂ Br(cr), hx, vi ≤ a e hcr, vi = a, segue que

r2+ 2√t2_{− r}2_{hx − c}

r, vi + t2− r2 ≤ t2.

Portanto,

kx − ctk2 ≤ t2.

Lema 2.1.8. Se (2b − 2a)√t2_{− r}2 _{> 2r}2 _ent˜_{ao f (p) n˜}_{ao pertence a B}

t(ct). Prova: kf (p) − ctk2 = hf (p) − cr+ v √ t2_{− r}2_{; f (p) − c} r+ v √ t2_{− r}2_i = hf (p) − cr, f (p) − cri + 2hf (p) − cr, v √ t2_{− r}2_{i + t}2_{− r}2 > t2− 2r2_{+ 2hf (p) − c} r, v √ t2_{− r}2_i = t2− 2r2 + 2hf (p) − cr, vi √ t2_{− r}2_{− 2hr, vi}√_t2_{− r}2 = t2− 2r2_{+ (2b − 2a)}√_t2_{− r}2 _{> t}2 Lema 2.1.9. Existe t = R tal que f (D) ⊂ BR(cR) e existe q = f (p) ∈ f (D) tal que

q ∈ ∂BR(cR).

Prova: Considere o conjunto

Θ = {t ≥ r : f (D) ⊂ Bt(ct)}.

Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f (D) ⊂ Bt(ct), ´e suficiente que Θ 6= ∅.

Isso é dado diretamente da defini¸cão de Br(cr), pois f (D) ⊂ Br(cr), consideremos então

t = r = R. Agora mostremos que algum q = f (p) em f (D) est´a na fronteira de BR(cR).

Pela afirma¸c˜ao 2.1.8 Θ ´e limitado superiormente logo existe sup Θ = t0. Seja

(tk)k∈N uma sequˆencia em Θ tal que tk −−−→

k→∞ t0. Para todo k e todo x ∈ f (D) segue da

defini¸c˜ao de Θ que

kx − ctkk ≤ tk

Da continuidade da norma temos kx − ct0k ≤ t0. Isto prova que f (D) ⊂ Bt0(ct0) logo

t0 ∈ Θ.

Agora, suponha que n˜ao existe ponto de f (D) em ∂Bt0(ct0). Ent˜ao, pela

compa-cidade de f (D), existiria t0 > t0 com f (D) ⊂ Bt0(ct0) o que é uma contradi¸cão já que t0 é

(28)

18

Seja (xk)k∈N uma sequˆencia em D tal que f (xk) −−−→

k→∞ y. ´E fato que, (xk)k∈N ´e

convergente pois se não fosse y estaria na fronteira de f (D). Pela afirma¸cão 2.1.7, ter´ıamos y ∈ Bt0(ct0) que é uma contradi¸cão pois y ∈ ∂Bt0(ct0). Portanto (xk)k∈N é convergente,

digamos a x ∈ D. Assim,

y = lim

k→∞f (xk) = f (x) ∈ f (D)

Lema 2.1.10. Existe R > 0 tal que ξ = cR− f (p)

R é uma dire¸cão unitária e normal a f em p.

Prova: Seja α : (−ε, ε) −→ f (D) uma curva diferenci´avel tal que α(0) = f (p).

Como f (p) ∈ ∂BR(cR) (lema 2.1.9) ent˜ao kα(s) − cRk2 assume o m´aximo em

s = 0 pois, α(s) ⊂ f (D) ⊂ f (D) ⊂ BR(cR) e R = kα(s) − cRk = kf (p) − cRk. Logo, d dt(kα(s) − cRk 2₎ |0 = 0 ou seja, hα0(0), α(0) − cRi = 0. Seja agora ξ = α(0) − cR R então hα 0 (0), ξi = 0 e kξk = kα(0) − cRk R = 1. Isto prova que ξ é um vetor unitário e normal a f em p.

Portanto, obtemos que existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com

cR= f (p) + Rξ) tal que f (D) ⊂ BR(cR).

Agora ´e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de Aξ s˜ao

λ1 ≥ ... ≥ λn≥

1

R > 0.

Corol´_{ario 2.1.11. Seja f : M −→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie com segunda forma}

funda-mental A na dire¸cão ξ. Se f possui a propriedade da envoltória convexa ent˜_{ao M não é} compacta.

Prova: Pelo teorema anterior Aξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto

de M. Pela proposi¸c˜ao 1.3 em [2] obtemos o desejado.

Agora, abordaremos o conceito das hipersuperf´ıcies convexas e os teoremas de Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstra¸c˜ao desses resultados podem ser vistas em [12].

Defini¸c˜_{ao 2.1.12. (hipersuperf´ıcie convexa) Uma hipersuperf´ıcie f : M}n _{−→ R}n+1_{, ´}_e

dita convexa se f (M) = ∂C onde C ⊂ Rn+1 _´_{e um conjunto convexo fechado com interior}

(29)

19

Teorema 2.1.13. (Sacksteder-van Heijenoort) Seja f : Mn_{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie}

completa e orientável, A a segunda forma fundamental de f . Se a curvatura seccional de M é não negativa e não identicamente nula, então temos:

(i) f ´e um mergulho e f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa.

(ii) Se r = max{posto de Ap, p ∈ M} (necessariamente 2 ≤ r ≤ n) ent˜ao Rn+1 pode ser

decomposto em soma direta ortogonal Rn+1 = Rr+1⊕ Rn−r _{tal que f (M ) ∼}

= M1 ⊕

Rn−r. Mr1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1 com segunda forma fundamental

de posto r em algum ponto de M1.

Teorema 2.1.14. (H. Wu) Seja f : Mn _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie e A a segunda}

forma fundamental de f com respeito a ξ : Mn _{−→ S}n−1_{. Temos:}

(i) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1_{, ´}_{e n˜}_{ao vazio e M não é compacta então M é}

homeomorfa ao Rn_.

(ii) Se f (com f (M) = ∂C) ´e convexa e M ´e homeomorfa ao Rn _ent˜_{ao as coordenadas}

podem ser escolhidas tal que H0 = {x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1= 0} ´e o

hiper-plano suporte de C na origem.

Al´em disso,

(ii.1) Se Π : Rn+1 _{−→ H}

0 é a proje¸cão ortogonal então M é o gráfico de uma fun¸cão

convexa n˜_{ao negativa h : int Π(C) −→ R.}

(ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que M ∩ Π−1(a) ´e um segmento de reta. (ii.3) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1_{, ´}_{e n˜}_{ao vazio ent˜}_{ao para cada c > 0, f (M)∩H}

c

´

e difeomorfo a Sn, onde Hc= {x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1 = c} .

Corol´_{ario 2.1.15. Seja f : M −→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie convexa homeomorfa a R}n

satisfazendo (ii.1) e (ii.3) do teorema de Wu. Se Πn+1: Rn+1 −→ R é a última proje¸cão

de Rn+1 então Πn+1◦ f (M ) := (Πn+1)|_{f (M)} : f (M) −→ R é uma aplica¸cão própria.

Prova: Inicialmente, notemos que Π : Hc ∩ f (M) −→ Υ = Π(Hc ∩ f (M)) ´e um

difeorfismo. Para todo c > 0, Hc∩ f (M) ´e difeomorfo a Sn logo Υ = Π(Hc∩ f (M)) e Sn

s˜ao difeomorfos.

Como Πn+1 ◦ f (M ) ´e cont´ınua, resta mostrar que (Πn+1◦ f )−1(K) ´e compacto

em f (M) para todo compacto K em R. Note que, se K é compacto em R então K ⊂ [−c, c] para algum c ∈ R. Como f (M) é gráfico de uma fun¸cão não negativa então K ⊂ [0, c]. Portanto é suficiente mostrar que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) é compacto em f (M).

(30)

20

Como (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e fechado, resta mostar que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e limitado em

f (M).

Suponha por absurdo que (Πn+1◦ f )−1([0, c]) ´e ilimitado. Como 0 ≤ xn+1 ≤ c

para todo (x1, ..., xn, xn+1) = x ∈ (Πn+1◦f )−1([0, c]) ent˜ao existe x ∈ (Πn+1◦f )−1([0, c]) tal

que Π(x) est´a na componente ilimitada de H0, i.´e, Π(x) ∈ H0\Υ. Como 0, Π(x) ∈ Π(C)

e Π(C) é convexo então existe t0 ∈ (0, 1) tal que t0Π(x) = z ∈ Υ. Além disso, f (M) é

gr´afico sobre int{Π(C)}, logo existe um ´unico (w1, ..., wn+1) = w0 ∈ f (M), com wn+1 = c

tal que w0 = (z, h(z)).

Como 0, x ∈ ∂C e C ´e conexo, ent˜ao w = t0x ∈ int C. Portanto, temos w ∈ int C

e (z, 0) ∈ Rn+1\int C. Logo o segmento que liga w a (z, 0) intersecta ∂C = f (M) em algum ponto, digamos w. Note que_b w = (z,_b w_bn+1) com wbn+1< t0wn+1 < c. Já que f (M) é gráfico de h então w = (z, h(z)) = w_b 0. Portanto, wbn+1 = wn+1= c o que é um absurdo poisw_bn+1< c. Logo (Πn+1◦ f )−1([0, c]) é limitado e Πn+1◦ f (M ) é própria.

(31)

Cap´ıtulo 3

O Teorema das Curvaturas

Principais

Dedicamos este cap´ıtulo a demonstra¸cão do Teorema das Curvaturas Principais. Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperf´ıcies euclidianas completas. A técnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons-tra¸cão desse teorema, foi criar uma perturba¸cão adequada na hipersuperf´ıcie dada (com segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperf´ıcie (com segunda forma funda-mental A) com curvatura seccional não negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder-van Heijenoort garantindo que a hipersuperf´ıcie perturbada é uma hipersuperf´ıcie convexa. Além disso, o conjunto de autovalores de A coincide com o de A. Para concluir a demons-tra¸cão foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperf´ıcie convexa. Interessantes consequências saem do teorema das curvaturas principais, essas consequências são tema do próximo cap´ıtulo.

Inicialmente provamos o lema que segue:

Lema 3.0.16. Sejam f : Mn _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel e A a}

segunda forma fundamental de f com respeito ao compo normal unit´_{ario ξ : M}n−→ Sn−1_.

Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores não nulos de A e Λ± = Λ ∩ R±. Se Λ+, Λ− são ambos não vazios e inf Λ+ _{6= 0 ou sup Λ}+_{6= 0 ent˜}_{ao, para cada ponto de M, A possui}

autovalores positivo e negativo. Em particular f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Prova: _{Primeiro mostremos que, em cada ponto de M, A possui um autovalor positivo.} Equivalentemente, se N = {p ∈ Mn_{: λ}

i(p) > 0 para algum i ∈ (1, ..., n)} ent˜ao Mn = N .

Com efeito, N 6= ∅ j´a que Λ+ 6= ∅, i.´e, existe p1 ∈ Mn e existe i ∈ (1, ...n) tal

que λi(p1) > 0. Dado que uma inclusão é óbvia, provemos que Mn ⊂ N . Suponha que

M 6⊂ N , i.´e, existe p2 ∈ Mn tal que, para todo i ∈ (1, ..., n) temos λi(p2) ≤ 0. Considere

uma curva C que liga p1 a p2.

(32)

22

Da conexidade de M e da continuidade de λi : Mn −→ R, obtemos que λi(C) ´e

um intervalo com extremos em λi(p2) ≤ 0 e λi(p1) > 0. Portanto existe sequˆencia (pk)k∈N

em C com λi(pk) > 0 tal que λi(pk) −−−→

k→∞ 0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo

que inf Λ+ _{> 0. Portanto M}n = N e A possui um autovalor positivo em cada ponto de M.

Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um ponto p0 ∈ Mn

tal que λi(p0) > 0 para todo i. Da hip´otese Λ− 6= ∅ e com os mesmos argumentos de

conexidade de M e continuidade de λi, obtemos sequˆencia (pk)k∈N tal que λi(pk) −−−→ k→∞ 0

contradizendo que inf Λ+ _{6= 0. Portanto para todo ponto p ∈ M}n _{existe i tal que}

λi(p) < 0.

Concluimos ent˜_{ao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e} negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

A prova deste resultado segue de forma an´aloga se supormos que sup Λ+ _{6= 0.}

Teorema 3.0.17. (Curvaturas Principais) Sejam f : Mn _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie}

e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unit´ario global ξ : Mn −→ Sn−1

. Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores não nulos de A e Λ±_{= Λ ∩ R}±. Se Λ+ e Λ− são não vazios então inf Λ+= sup λ− = 0.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha por absurdo que inf Λ+ _{= 2c > 0. Seja t}

0 = 1/c e defina

f = f + toξ : Mn −→ Rn+1

Afirma¸cão 3.0.18. Seja h, i a métrica induzida por f . Então a aplica¸cão f é uma hipersuperf´ıcie com a métrica dada por hu; vi = h(I − t0A)2u; vi.

Prova: _{Para todo ponto p ∈ M, a aplica¸c˜ao df}_p : TpM −→ Tf(p)M ´e injetiva. Caso

contr´_{ario existiria q ∈ M e T}qM 3 v 6= 0 tal que

0 = df_q(v) = dfq(v) + t0dξq(v) = dfq(v) − t0dfq(Aqv) = dfq(v − t0λqv).

Onde a terceira igualdade ´e dada por 1.3.1. Da injetividade de dfq vem que v − t0λpv = 0

donde temos λ(p) = 1_t

0 = c e isto ´e um absurdo pois inf Λ

+ _{= 2c. Portanto v = 0 e df} p ´e injetiva. Al´em disso, hu; vi = h(I − t0A)2u; vi = hu; vi − 2t0hAu; vi + t20hA 2 u, vi.

(33)

23

Por outro lado,

hdf_pu; df_p(v)i = hdfp(u) − t0dfp(Au); dfp(v) − t0dfp(Av)i

= hdfp(u); dfp(v)i − 2t0hλu, vif + t20hλu; λvi

= hdfp(u); dfp(v)i − 2t0hAu, vi + t20hAu; Avi.

Usando que A ´e um opearador auto-adjunto, obtemos

hdf_pu; df_p(v)i = hu; vi − 2t0hAu; vi + t20hA 2_{u, vi.}

Portanto hu; vi = hdf_p(u); df_p(v)i e f ´e uma isometria.

Note que, se bλ são os autovalores do operador I − t0A então bλ é maior ou igual

a unidade em valor absoluto.

De fato, (I − t0A)v = bλv ⇔ v − t0λv = bλv ⇔ 1 − t0λ = bλ. Se supormos que

|bλ| < 1 ent˜ao −2 < −t0λ < 0 e teriamos 0 < λ < 2_t

0 = 2c o que ´e um absurdo pois

inf Λ+ _{= 2c. Portanto |b}_{λ| > 1.}

Afirma¸c˜ao 3.0.19. Munida da m´_{etrica hu; vi, M ´e completa.}

Prova: _{Seja α : [0, +∞) −→ M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) é} o comprimento de α com respeito a mética h; i, basta mostrar que l(α) é ilimitado. Para cada t ∈ [0, +∞), seja {e1(t), ...en(t)} uma base ortonormal de Tα(t)M que diagonaliza o

operador P = I − t0A e tem { bλ1, ..., cλn} como autovalores associados. Podemos escrever

α0(t) = n X i=1 αi(t)ei(t) Assim, teremos |α0 (t)|2 = hα0 (t); α0 (t)i = h(I − t0A)α 0 (t); (I − t0A)α 0 (t)i = hP α0(t); P α0(t)i = h n X i=1 αi(t)P ei(t); n X i=1 αj(t)P ej(t)i = n X i=1 (αi(t))2( bλi)2 ≥ n X i=1 (αi(t))2 (pois | bλi| ≥ 1) = |α0(t)|2

(34)

24 Portanto, l(α) = lim s→∞ Z s 0 |α0 (t)| dt ≥ l(α) = lim s→∞ Z s 0 |α0(t)| dt

Sendo M, com a métrica h; i, uma variedade completa segue que l(α) é ilimitado. Afirma¸cão 3.0.20. A imersão f possui segunda forma fundamental A = (I − t0A)−1A

com respeito ao mesmo campo de vetores normal unitário ξ. Além disso, se K é a cur-vatura seccional de f (M) então K > 0.

Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unitário com respeito a A é ξ, assumiremos que A = (I − t0A)−1A. Esta igualdade será provada em seguida.

Se N é o campo global, normal e unitário com respeito a A então, dN = −df (A) = −(df + t0dξ)A = −df (A) + t0df (AA) = −df (A − t0AA) = −df ((I − t0A)A) = −df (A) = dξ portanto ξ = N.

Ademais, como a derivada covariante do Rn+1_{, com respeito ao campo de vetores}

X ´e ´unica, vem que

−df (AX) = DXξ = −df (AX)

= −(df (AX) − t0df (AAX))

= −df (AX − t0AAX)

= −df ((I − t0A)AX)

Sendo f uma imers˜ao, (I − t0A)AX = AX e portanto AX = (I − t0A)−1AX.

Provemos que K > 0. Se λ ´e um autovalor de A ent˜ao podemos escrever λ = λ

1 − t0λ

= λc c − λ.

(35)

25

inf Λ+ _{= 2c segue que c−λ < 0 logo λ ≤ 0. Portanto a curvatura seccional K = λ}

iλj ≥ 0.

Do lema 3.0.16, A possui posto r ≥ 2 e como A tem o mesmo posto de A conclu´ı-se que K n˜ao ´e identicamente nula.

Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f . Assim, f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rn+1 _{e podemos decompor M e f (veja [5] p´ag. 1) como segue:}

M = Mr1× R

n−r _e _{f = f} 1× f2

Tal que,

f₁ _{: M}r₁ _{−→ R}r+1 e f₂ _{: R}n−r _{−→ R}n−r

Onde f₂ ´e a aplica¸c˜ao identidade e f₁ ´_{e uma hipersuperf´ıcie convexa em R}r+1_{. A segunda}

forma fundamental A1 com respeito a f2 tem posto r em algum ponto de Mr1. Portanto

podemos escrever A = A1 × A0 em que A0 ´e a segunda forma fundamental com respeito

a f₂. Segue que A0 = 0 e como o posto de A ´e igual ao posto de A, podemos supor que

r = n.

Afirma¸c˜ao 3.0.21. A imagem da aplica¸c˜_{ao de Gauss ξ : M}n _{−→ S}n _{com rela¸}_c˜_{ao a}

imers˜ao f , tem interior n˜ao vazio.

Prova: Do par´_{agrafo anterior, existe p ∈ M tal que A}p possui posto n, i.´e, λi(p) 6= 0

para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λi, existe vizinhan¸ca de p, Vi ⊂ M, tal que

λi(p) 6= 0 ∀q ∈ Vi.

Se U =

n

\

i=1

Vi então a aplica¸cão de Gauss ξ : U −→ Sn é um difeomorfismo sobre

sua imagem.

De fato, dξp = dfp(−Ap) logo, se v ∈ TpM e dξp(v) = dfp(−Ap(v)) = 0 ent˜ao,

da injetividade de df_p temos que −Ap(v) = 0. Como o posto de A|U ´e igual a n, obtemos

que v = 0. Portanto dξp é injetiva e do teorema da fun¸cão inversa ξ|U é um difeomorfismo

sobre sua imagem. J´a que um difeomorfismo ´e uma aplica¸c˜_{ao aberta, ξ(M) tem interior}

n˜ao vazio.

Do corol´_{ario 2.1.11 e do teorema 2.1.14, M é homeomorfa ao R}n. Podemos então aplicar o corolário 2.1.15 a hipersuperf´ıcie f e concluir que Πn+1◦ f (M) é própria.

Afirma¸cão 3.0.22. Πn+1◦ f := (Πn+1)|f (|M ) : f (M) −→ R é própria.

Prova: Como Πn+1◦ f é cont´ınua, é suficiente mostrar que (Πn+1◦ f )−1(K) é compacto

em f (M), para qualquer compacto K ∈ R. J´a que (Πn+1◦ f )−1(K) est´a contido em Rn+1,

(36)

26

Seja (xn)n∈N sequˆencia em (Πn+1◦ f )−1(K). Sabemos que, para ξ = (ξ1, ...ξn+1)

Πn+1◦ f (xn) = Πn+1◦ f (xn) + t0ξn+1(xn).

Como Πn+1◦ f (xn) ∈ K e kξn+1k ≤ 1 segue que Πn+1◦ f (xn) pertence a um compacto

K0. Sendo assim, existe subsequˆencia (xnk) de (xn)n∈Ntal que Πn+1◦ f (xnk) converge. Se

Πn+1◦ f é uma aplica¸cão própria então (xnk) também é convergente, digamos a x.

Ademais, da continuidade de Πn+1 ◦ f obtemos que Πn+1 ◦ f (xnk) converge a

Πn+1◦ f (x). Como Πn+1◦ f (xnk) ∈ K temos Πn+1◦ f (x) ∈ K logo x ∈ (Πn+1◦ f )

−1_(K)

provando que (Πn+1◦ f )−1(K) ´e sequencialmente compacto.

Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que, para quase todo valor regular a > 0 de Πn+1 ◦ f : M −→ R, temos que (Πn+1 ◦ f )−1(a) ´e uma

hipersuperf´ıcie de M. Seja ent˜ao a > 0 um valor regular de Πn+1 ◦ f e seja M1 =

(Πn+1◦ f )−1(a). Já que Πn+1◦ f é própria, então M1 é uma hipersuperf´ıcie compacta de

Mn que podemos assumir que ´e conexa (caso contr´ario, consideramos uma componente conexa de M1).

Considere agora o homeomorfismo h : Mn −→ Rn

e note que h(M1) ´e uma

hipersuperf´ıcie (topol´_{ogica) compacta de R}n. Uma generaliza¸cão do teorema de Jordan nos permite afirmar que h(M1) decompõe o Rn em dois abertos L1 e Rn\ L1, onde L1 é

relativamente compacto e Rn_{\ L}

1 ´e ilimitado.

Seja ent˜ao Ω = h−1(L1). Observe que Ω ´e um aberto relativamente compacto em

Mn e que,

h(M1) = ∂L1 = ∂h(Ω) = h(∂Ω).

Portanto,

∂Ω = M1 = (Πn+1◦ f )−1(a) = f−1(Π−1n+1(a)).

Assim, f (∂Ω) = Π−1_n+1(a) = Ha. Em particular Envf (∂Ω) = Env(Ha) = Ha. Pelo

lema 3.0.16 f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Segue que f (Ω) ⊂ Env(f (∂Ω)). Portanto f (Ω) ⊂ Ha (hiperplano) e f possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto

´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo que inf Λ+ _{6= 0.}

Para provar que sup Λ− = 0, basta supor por absurdo que sup Λ− = −2c < 0 e proceder de forma an´aloga ao acima.

(37)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

c˜

oes

Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e Mn é uma variedade completa e orientável com curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa então, essa variedade n˜_{ao pode ser imersa isometricamente no R}4. E para n ≥ 4, isso também é válido se, a curvatura seccional não assume todos os valores reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M é uma variedade completa e orientável, de dimensão três, com curvatura de Ricci não positiva então, a curvatura de Ricci está próxima de zero quanto se queira, i.é, o ´ınfimo da curvatura de Ricci é igual a zero. E, se a dimensão é maior ou igual a quatro, isso também é válido se a curvatura seccional não assume todos os valores reais.

Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso é também válido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar.

Para demonstrar o proposto em dimensão três, necessitamos do próximo teorema. Teorema 4.0.23. Seja f : Mn _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel com}

curvatura de Ricci não positiva e A a segunda forma fundamental de f . Suponha que A possui assinatura, i.é, A tem um autovalor positivo e n − 1 autovalores negativos, ou vice versa, para todo p ∈ M. Então

inf

p∈MkApk := inf kAk = 0

inf

p∈M v∈TpM

kRicp(v)k := inf kRick = 0

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p), ..., λn(p) os autovalores de Ap, escolhamos uma orienta¸c˜ao

para M tal que Appossua um autovalor positivo e n−1 autovalores negativos. Da hip´otese

sobre a curvatura de Ricci temos

Ricp(v) ≤ 0 ⇔

X

i6=j

Kp(ei, ej) ≤ 0.

(38)

28

Segue da equa¸c˜ao de Gauss que

Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p),

donde temos que

X i6=j Kp(ei, ej) ≤ 0 ⇒ X i6=j λi(p)λj(p) ≤ 0 ⇒ λi(p) X i6=j λj(p) ≤ 0

Assim, obtemos que

λi(p) n

X

j=1

(λj(p) − λi(p)) ≤ 0.

Note que, para i = 2, λ2(p) n X j=1 (λj(p) − λ2(p)) ≤ 0 ⇒ λ2(p)λ1(p) + λ2(p) n X j=3 λj(p) ≤ 0 ⇒ λ1(p) ≥ − n X j=3 λj(p) = n X j=3 kλj(p)k. Portanto, λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j 6= 2.

De forma an´aloga, para i = 3,

λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j 6= 3.

Segue que

(39)

29

Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ+ _{= inf}

p∈Mλ1(p) = 0. Logo existe uma

sequˆencia (pk)k∈N em M, tal que λ1(pk) −−−→

k→∞ 0. Como λ1(p) ≥ kλj(p)k para todo j ent˜ao,

ao longo dessa mesma sequˆencia λj(pk) −−−→ k→∞ 0.

Ademais, para todo p ∈ M,

kApk2 = n X j=1 (λj(p))2. Em particular para pk, kApkk 2 ₌ n X j=1 (λj(pk))2 −−−→ k→∞ 0. Portanto, inf kAk = 0. Além disso, se vk é uma sequência em TpkM obtemos

Ricpk(vk) = X ik6=jk Kpk(eik, ejk) = X ik6=jk λik(pk)λjk(pk) −−−→ k→∞ 0. Portanto, inf kRick = 0.

Com esse teorema vimos que, as hipersuperf´ıcies completas e orientáveis com curvatura de Ricci não positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura, tem ´ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condi¸cões, as hipersuperf´ıcies de uma variedade de dimensão três tem automaticamente segunda forma fundamental com assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.

Lema 4.0.24. Seja f : M3 −→ R4 _{uma hipersuperf´ıcie com curvatura de Ricci negativa}

e A a segunda forma fundamental de f . Ent˜ao A possui assinatura.

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p) e λ3(p) os autovalores de Ap. Da hip´otese sobre a curvatura

de Ricci temos, Ricp(v) < 0 ⇒ λi(p) X i6=j λj(p) < 0 . Para i = 1, λ1(p) X i6=j λj(p) < 0 e supondo λ1(p) > 0 teremos λ2(p) + λ3(p) < 0 o que nos d´a λ2(p) < 0 ou λ3(p) < 0.

Se λ2(p) < 0 e λ3(p) < 0 nada a fazer. Caso λ2(p) < 0 e λ3(p) > 0 mudamos a

(40)

30

Se λ1(p) < 0 o resultado ´e an´alogo. Portanto Ap possue um autovalor positivo e

n − 1 autovalores negativos.

Com esse lema podemos provar a generaliza¸cão de Efimov [4] em dimensão três, a saber,

Teorema 4.0.25. Se f : M3 _{−→ R}4 _´_{e uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel com}

curvatura de Ricci negativa ent˜ao inf kRick = 0.

Prova: _{Seja f : M}3 _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie e A a segunda forma fundamental de}

f . Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 inf kRick = 0.

Nós adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este último resultado também é válido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver nos dois próximos teoremas.

Teorema 4.0.26. Seja f : M3 _{−→ R}4 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel com}

curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|Gp| = 0. Em particular se Gp = cte para todo

p ∈ M3, teremos G ≡ 0.

Prova: Pela afirma¸c˜ao 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega-tivos ou vice-versa. Da demonstra¸c˜ao de 4.0.23 existe sequˆ_{encia em M, (p}k)k∈N, tal que

λi(pk) −−−→ k→∞ 0 para todo i ∈ {1, 2, 3}. Portanto, lim k→∞G(pk) = limk→∞ 3 Y i=1 λi(pk) = 0. Logo, inf p∈M|Gp| = 0.

(41)

31

Teorema 4.0.27. Seja f : M3 _{−→ R}4 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel com}

curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|τ (p)| = 0. Em particular se τ (p) = cte para

todo p ∈ M3_{, teremos τ ≡ 0.}

Prova: Do teorema 4.0.23, Ricpk(vk) −−−→

k→∞ 0. Ent˜ao ao longo desta mesma sequˆencia,

τ (pk) = 3 X j Ricpk(vj) −−−→ k→∞ 0. Logo, inf p∈M|τ (p)| = 0.

Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie com-pleta e orientável, com curvatura de Ricci não positiva, pode ser um cilindro. Além disso, mostra uma rela¸cão entre a curvatura média e a curvatura de Ricci. Esta rela¸cão será usada para mostrar uma generaliza¸cão de Efimov para n ≥ 4.

Teorema 4.0.28. Seja f : M3 _{−→ R}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa e orient´}_{avel com}

curvatura de Ricci n˜ao positiva e H a curvatura m´_{edia de M.} (i) Ou inf

p∈M|Hp| = inf kHk := 0 ou f (M) ´e um cilindro sobre uma curva plana em R n+1_.

(ii) Se inf H 6= −∞ ou sup H 6= +∞ ent˜ao inf kRick = 0. Em particular, se H = constante 6= 0 ent˜_{ao f (M)´e um cilindro.}

Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ+ _{ou Λ}−_´_{e vazio. Se Λ}+ ₌

Λ−= ∅ ent˜_{ao M´e um hiperplano e H ≡ 0.}

Caso Λ+ _{= ∅ e Λ}− _{6= ∅, da hip´}_{otese sobre a curvatura de Ricci sabemos que}

λi(p) X i6=j λj(p) ≤ 0. ent˜ao X i6=j

λj(p) ≥ 0 o que nos d´a λj(p) = 0 para todo j 6= i.

Dessa forma, Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p) = 0 para todo p ∈ M. Por

Hartman-Niremberg [2] pag. 72, f (M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

Supondo que nem Λ+ _{nem Λ}− _s˜_{ao vazios, assuma por absurdo que inf}

p∈M|Hp| 6= 0.

Se Hp ≥ ε > 0, da condi¸c˜ao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nHp − λ(p)) ≤ 0 para todo

λ(p) ∈ Λ o que nos d´a n · Hp ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+. Do teorema das curvaturas

principais inf

p∈Mn · Hp ≤ inf Λ +

= 0. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo inf

(42)

32

Caso Hp ≤ −ε < 0, teremos que n · Hp ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ−.

Analoga-mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradi¸c˜ao. Portanto inf H = 0 e isto conclui a prova de (i).

Para provar (ii) suponha que existe c ∈ R tal que Ricp(v) ≤ −c2,

equivalente-mente, λ(p)(nHp− λ(p)) ≤ −c2 para todo λ(p) ∈ Λ. Disto segue que nHp ≤ −c 2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+_.

Como inf Λ+ = 0 existe uma sequˆencia (pk)k∈N em M tal que λ(pk) −−−→ k→∞ 0.

Portanto lim

k→∞(

−c2

λ(pk)

+ λ(pk)) = −∞ e ao longo dessa mesma sequˆencia H −−−→ k→∞ −∞.

Analogamente, usando que nHp ≥ −c 2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ

− _{e que}

sup Λ− = 0, obtemos que sup H = +∞.

Teorema 4.0.29. Seja f : Mn _{−→ R}n+1 _{(n ≥ 4) uma hipersuperf´ıcie completa e}

ori-ent´_{avel com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional de M n˜ao assume todos} os valores reais ent˜ao inf

p∈MkRicpk = 0.

Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, sup K 6= +∞. Com efeito, suponha que inf K = −∞. Da continuidade da fun¸c˜ao curvatura seccional e da hip´otese sobre sua imagem temos que sup K 6= +∞.

Caso inf K 6= −∞ suponha por absurdo que sup K = +∞. Ent˜ao, existem sequˆencias (pk)k∈N e (vk, uk)k∈N em M e TpkM respectivamente, onde lim

k→∞Kpk(eik, ejk) = +∞. Al´em

disso, existe c > 0 tal que inf K ≥ −c.

Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci, X ik6=jk Kpk(eik, ejk) < 0 ⇒ X K>0 Kpk(eik, ejk) + X K<0 Kpk(eik, ejk) < 0. E portanto, X K>0 Kpk(e_ik,e_jk) < − X K<0 Kpk(e_ik,e_jk) ≤ c.

Isto ´e um absurdo pois estamos supondo que sup K = +∞.

Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor positivo e n − 1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23.

Caso contr´ario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores negativos. Como λ(p)(nHp− λp) < 0 para todo λ ∈ Λ ent˜ao nHp < λ(p) para λ(p) > 0.

(43)

33

Ent˜ao, para Hp > 0

( nHp < λi1(p) nHp < λi2(p). Portanto, λi1(p) · λi2(p) ≥ n 2 (Hp)2 ⇒ Kp(ei1, ei2) ≥ n 2 (Hp)2. Logo,

+∞ 6= sup K ≥ sup Kp(ei1, ei2) ≥ sup H.

Do teorema 4.0.28 (ii),

inf

p∈MkRicpk = 0.

(44)

Referˆ

encias

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