23 49 94

VESTIBULAR: 2016 PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA II

CÔNICAS II: ELIPSE, HIPÉRBOLE e PARÁBOLA - GABARITO EXERCÍCIOS GERAIS.

1. (AFA) A equação reduzida 1

k 4

y 9

x

^{2 2}



  , onde k  –4 é um número real representa uma:

a) parábola, se 0 < k < 4 b) hipérbole, se k < –4 c) circunferência, se k = 4 d) elipse, se k > 0 Solução. Analisando a equação, temos:

i) Se (4 + k) for positivo, temos:

^{4k0k4Elipse}

. ii) Se (4 + k) for negativo, temos:

^{4k 0k 4Hipérbole}

.

iii) Se (4 + k) = 9, temos: ^{4  k  9  k  5  x}

²

^{ y}

²

^{ 9  circunferê ncia} . 2. (AFA) A equação da elipse de centro C = (–2, 1), de excentricidade

5

3 e de eixo maior horizontal com comprimento 20 é:

a) 1

64 1) – (y 100

2)

(x 

²



²

 b) 1

64 1) – (y 100

2) –

(x

²



²

 c) 1

64 1) (y 100

2) –

(x

²

 

²

 d)

64 1 1) (y 100

2)

(x 

²

 

²



Solução. Identificando os elementos, temos:

64 1 )1 ( 100

)2 : (

8 64 36 100 )

5 6 )10 ).(3(

5 : 3 )

10 20 2)

2 2

2 2 2 2

 

 



 



 



































y Equação x

b b c b a iii

a c dade c Excentrici ii

a a i

.

3. (AFA) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere P

1

a circunferência de equação expressa por 2x

²

+ 2y

²

– 11x + 6y – 8 = 0. Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P

1

, é dada por:

a) x + 2

3 x

²

+ y – 4 11 y

²

=

9

4 b) x + 11

4 x

²

+ y – 2y

²

= 3 2 c) x –

4

11 x

²

+ y + 2 3 y

²

=

4

9 d) 2x

²

+ 2y

²

– 11x + 6y +

8

121 = 0

Solução. Considerando C a circunferência dada e C’, a procurada, temos:

 

 

 

 

 



 

 

 

 















































 



 



 

 

 

  

 



 

  



 



 

 



 

  

 

 

  



 



 

  

 



 

  







 



 

  

 



 

  



































8 6 121 11 2 2

2 0 16 3

121 2

11 4

9 4 3 9 16

121 2

11

2 3 2 3 4

: 11 )

2 (tan : 3

2 , 3 4 : 11 :'

)

2 , 3 4 : 11 16

285 2

3 4

8 11 4 9 16 121 2

3 4

11

0 4 8 9 4 3 9 16

121 16 121 2

0 11 8 6 11 2 2 : )

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

y x y x

y y x

x y

y x

x

y x

Equação OX

gente Raio

Centro C

ii

Centro y

x y

x

y y x

x y

x y x C i

.

4. (AFA) A distância focal da elipse x

²

+ 16y

²

= 4 é:

a) 1 b) 3 c)

15

d)

20

Solução. Identificando os elementos, temos:

 

 

 



 

 

 





 





 

 

















 



 







































2 15 .2 15 2 : )

2 15 4 15 4 4 1 4

4 1 2 1 4 1

2 4 )

1 1 4 1 4

1 4 4 4 4 4 16 4 4

16 )

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

c Focal Distância iii

c c c

b a b a ii

y x y

x y

y x x i

.

5. (AFA) O valor numérico do raio da circunferência que intersecciona a parábola x

²

– 2x – 4y – 1 = 0 no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é:

a) 1 b) 2

3 c) 2 d)

2

5

Solução. Identificando os elementos, temos:

   

 

   

 



 

















 



 

  









 

 







 





 



 























 

 





 

 



 



 

 



 

 

 



  

 



 



  









 

 

  



 



 

  





































2 3 4 9 4 2 1 4 2 1 2 0

2 1 1 1 ) , ( :

2 ,1 1 : :

)

0 ,2 1

0 ,2 1 2

1 2

1

2 1 2

1 4

2 4

)1 0 (

4 2 4

)1 : ( sec

)

2 ,1 1 2 1

,1 1 2 2 ,1 1 : 2

4 2

2 ,1 1 :

2 .4 1 )1 ( 2 4 )1 ( 0 1 4 1 1 2 0

1 4 2 )

2 2 2

2 2

1 2 1

2

2 2

2 2

P F d Raio Centro ncia

Circunferê iii

Q P x

x

x x x

OX x ção Inter ii

Foco p p

p Vértice

y x

y x

y x

x y

x x i

.

6. (AFA) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os pontos A (–3, 5) e B (3, 5), determina triângulos com perímetro 2p = 16 cm é uma:

a) elipse b) parábola c) hipérbole d) circunferência Solução. A distância entre os pontos A e B é 6. Logo, estamos procurando o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias até A e B seja constante e igual a 10. Esta é a definição da elipse. Os focos são justamente os pontos A e B.

O caso mais simples que não forma um triângulo são os pontos C (5, 5) e D ( – 5, 5) e. O eixo maior seria 10.

O centro seria o ponto médio de AB (0, 5). Identificando essa elipse, temos:

16 1 )5 ( : 25 4

16 9 5 25

10 2:

3 6

2: ^{2 2}

 







 

 







 x y

Equação a b

a maior Eixo

c c Focal Distância

.

OBS: Essa equação da elipse pode ser encontrada através do cálculo tradicional. A soma das distâncias de um ponto genérico (x, y) aos pontos A e B deve ser 10.

   

   

  ¹

16 ) 5 ( 400 25

) 5 .(

25 16 0 400 25 10 .

25 16

0 225 625 625 250 25

16 0 3600 4000

400 256

10000 4000

400 3600 2400

400 10000 2400

144

) 5 ( ) 3 ( . 20 100

12 )

5 ( ) 3 ( . 20 100 12

25 10 9

6 )

5 ( ) 3 ( ).

10 .(

2 100 25 10 9

6

) 5 ( ) 3 ( 10 )

5 ( ) 3 ( 10 ) 5 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 3 (

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

 









































































































































































y y x

x y

y x

y y

x y

y x

y y

x x

x x

y x

x y

x x

y y x x y

x y

y x x

y x

y x

y x

y x

.

7. (AFA) A equação reduzida da cônica representada no gráfico é:

a) 1

16 3) – (y 9

4) –

(x

²



²

 b) 1

16 1) (y 9

5) –

(x

²

 

²

 c) 1

9 5) – (y 16

1)

(x 

²



²

 d)

16 1 5) – (y 9

1)

(x 

²



²



Solução. De acordo com a figura, o centro da elipse é (–1, 5). O eixo menor mede 2b = 2.[2 – (–1)] = 6 e o eixo maior mede 2a = 9 – 1 = 8.

A equação será: 1

16 ) 5 ( 9

) 1 1 (

4 ) 5 ( 3

) 1

(

^{2 2}

2 2 2

2

       

 y x y

x .

8. (AFA) O valor da excentricidade da cônica 9 1

2) – (y 4

5) –

(x

²



²

 é:

^x

y 9

1 -1 2

a)

2

b) 2

13 c) 2

5 d)

3

Solução. A cônica é uma hipérbole. Identificando os elementos, temos:

2 : 13 13

9 3 4

2      

 







a dade c Excentrici b c

a

.

9. (AFA) O parâmetro da parábola que passa pelo ponto P (6, 2) e cujo vértice V (3, 0) é o seu ponto de tangência com o eixo das abcissas, é:

a) 5

9 b) 4

9 c) 3 d) 2 9 Solução. A parábola possui concavidade para cima. Identificando os elementos, temos:

 

   

4 4 9

9 ) 2 .(

. 2 3 6 : 2

, 6 )

. . 2 3 2 :

, 1 1 : )

2

2



















 



 

  

p p p

Parábola P

ii

y p x

Equação Vértice

i

.

10. (AFA) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos A (3, 2) e B (1, 4) é:

a) 3

2 b) 3

3 c) 2

2 d) 2

3 Solução. Os pontos A e B satisfazem à equação da elipse. Há dois casos a analisar.

I)

el incompatív a

a a ba cii

b a b a b ba a

ba ba b a b a ai b



















 

 







 

 



 







2 0 2 ) 3

2 2 3 30 8 16 12

9 4 16 1 1

4 1 9 )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 2

22 2 2

2 2

2 2

.

II)

3 3 3 3 3 :

3 3 3 3 ) 2

3 3 2 2 0 12 16 8

4 9 1 1 16

9 1 4 )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 2

22 2 2

2 2

2 2



























 

 









 

 



 











a a a dade c Excentrici a

a c a a a b a cii

b a b a b ba a

b a

ba b a b a ai b

.

11. (AFA) A área do polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior e menor da elipse de equação 4x

²

+ y

²

– 24x – 6y + 41 = 0, é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução. O polígono será um losango. A área será a metade do produto das diagonais que corresponde à metade do produto dos eixos da elipse.

2 4 )2 ).(

: 4(

2 )1 .(

2 2 :

4 )2 .(

2 2 : :

)

4 1 )3 ( 1

)3 4 (

)3 ( )3 .(

4

0 41 9 9 6 36

36 24 4

)

2 2

2 2

2 2



 

 









 

 

































b Área Menor

a Maior Eixos

ii

y y x

x

y y x

x i

.

12. (EN) Determine a excentricidade da elipse de equação 4x

²

+ 9y

²

= 2.

a) 3

5 b) 4

5 c) 6

5 d) 9

5 e) 18

5

Solução. Identificando os elementos, temos:

3 5 1 . 2 23 5 1 2 5 23 : )

23 5 18

5 9 2 2 1 2 9 1 2 1 2 9 1 2 2 1 9 1 2 2 9

4) 2

2 2 2 2 2 2 2















 

 





 

















a dade c Excentrici ii

b c y a x y y x

xi

.

13. (EN) Um dos focos da elipse 9x

²

+ 4y

²

= 36 é o ponto:

a) (0,

2

) b) (

13

, 0) c) (0,

13

) d) (

5

,0) e) (0,

5

) Solução. Identificando os elementos, temos:

   



 







 

 





 









5, 0:

5,0 :cos : )

5 4 49

1 9 9 36 4 4 9)

2 1

2 2 2 2 2

2

F Foii F

b c y a y x

xi

.