DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Aula 02
Função Distribuição Cumulativa
A função distribuição cumulativa é a probabilidade da variável aleatória ser menor ou igual a x, definida como
F(x) = P{X ≤ x},
Tal que,
• 0 ≤ F(x) ≤ 1;
• se x ≤ y , F(x) ≤ F(y).
F(x) pode ser escrita em termos de p(a): F(a) = Ʃ p(x), para todo x ≤ a, e é descrita como uma função degrau (para o caso de X ser discreta).
O valor de F é cte em intervalos [xi-1, xi), e depois dá um salto de tamanho p(x) em , xi .
Função Distribuição Cumulativa
Ex 1: A função de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por p(i) = c i/i!, i = 0, 1, 2, ...
onde é um valor positivo. Determine:
a) P{X = 0};
b) P{X > 2}.
Ex 2: Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada por p(1) = ¼, p(2) = 1/2, p(3) = 1/8, p(4) = 1/8,
Qual a sua função de distribuição cumulativa?
Valor esperado
Média ponderada dos possíveis valores que X pode receber, com cada valor sendo ponderado pela probabilidade de que X seja igual a esse valor.
Identidade: Se a e b são ctes,
E(aX + b) = aE(X) + b
Esperança de uma função de X
Suponha que conheçamos uma variável aleatória discreta e sua função de probabilidade, e queiramos calcular o valor esperado de alguma função de X, g(X).
g(X) também é uma variável aleatória discreta, ela também tem uma função de probabilidade, então podemos calcular a probabilidade de g(X) e assim obter E[g(X)].
Ex 3: Seja X uma variável aleatória discreta que pode receber os valores -1, 0 e 1, com respectivas probabilidades
P{X = -1} = 0,2;
P{X = 0} = 0,5;
P{X = 1} = 0,3.
Calcule E[X 2].
Importante: E[X 2] (E[X]) 2
Variância
E[X] fornece a média ponderada dos valores possíveis de X, mas não fala sobre variação ou dispersão destes valores.
Ex: Vamos supor que X representa a duração de vida de lâmpadas que estão sendo recebidas de um fabricante, e que E[X] = 1000 horas.
(I) Isto pode significar que a maioria das lâmpadas deve durar um período de tempo compreendido entre 900 horas e 1100 horas.
(II) Poderia significar também que as lâmpadas são formadas por dois tipos muito diferentes: cerca da metade são de muita boa qualidade e durarão aproximadamente 1400 horas, enquanto que a outra metade é de muito má qualidade e durarão aproximadamente 600 horas.
→ Existe uma variação muito maior nos valores possíveis do caso (II) do que nos valores possíveis do caso (I).
→ Esperamos que X assuma valores em torno de sua média E[X].
Esperança de uma função de X
Como g(X) = g(x), sempre que X = x, então E[g(X)] deve ser a média ponderada dos valores de g(x), com g(x) sendo ponderado pela probabilidade de que X seja igual a x,
E[g(X)] = Ʃi g(xi)p(xi).
Variância
Parece razoável que uma maneira de medir a variação de X seja ver, em média, quão distante X está de sua média. Assim, a variância de X, representada por Var (X) ou σ2 , é definida como
Var (X) = σ2 = E[(X – μ) 2], sendo μ = E[X].
Outra forma de definir a variância é
Var (X) = E[X 2] - (E[X]) 2 Identidade: Var (aX + b) = a2 Var (X).
Assim como o valor esperado é análogo ao centro de gravidade, no caso de distribuição de massas, a variância é análoga ao momento de inércia.
Desvio Padrão
Desvio padrão é a variação em relação à média (valor esperado), dado por
Um baixo desvio padrão indica que os valores tendem a estar próximos da média;
um desvio padrão alto indica que os valores estão espalhados.
Ex: O psicólogo de uma empresa ministrou um teste de personalidade para determinar características passivas/agressivas em 150 funcionários. Aos indivíduos foram atribuídos valores de 1 a 5, em que 1 representava o extremo passivo e 5, o extremo agressivo. Um escore de 3 indicava não haver nenhuma característica preponderante. Obtenha:
a) o valor médio;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
Escore, x Frequência, f
1 24
2 33
3 42
4 30
5 21
Distribuições Binomiais e de Bernoulli
Há experimentos para os quais a conclusão é apenas verificar sucesso ou fracasso.
Ex: gol ou não. Estes experimentos são chamados binomiais e obedecem aos seguintes requisitos:
1. O exp. é repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras.
2. Há somente dois resultados para cada tentativa: Sucesso (S) ou Fracasso (F).
3. A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma em cada tentativa.
4. A variável aleatória X conta o número de tentativas com sucesso.
A função de probabilidade de uma variável aleatória binomial é dada por
C
nip
iq
n-ionde n é o número de tentativas, P(S) = p, P(F) = q = 1 – p, i é o valor da variável aleatória, e
E[X] = np Var (X) = npq
Distribuições Binomiais e de Bernoulli
Experimentos com resultado sucesso ou fracasso, no entanto,
X = 1 representa o resultado sucesso, X = 0 representa o resultado fracasso, A função de probabilidade é dada por
p(0) = P{X = 0} = 1 – p p(1) = P{X = 1} = p,
Onde p, 0 ≤ p ≤ 1, é a probabilidade de que a tentativa seja um sucesso.
Seja um experimento com n tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso e fracasso, se X representa o número de sucessos que ocorrem nas n tentativas, diz-se que X é binomial com parâmetros (n,p).
Uma variável aleatória de Bernoulli é uma variável aleatória binomial com parâmetros (1,p). Uma variável aleatória binomial pode ser vista como o número de sucessos em ensaios independentes de Bernoulli e com mesma probabilidade de sucesso.
Distribuições de Poisson
Obedecem aos seguintes requisitos:
1. O experimento consiste na contagem de número de vezes, x, que um evento ocorre em um determinado intervalo.
2. A probabilidade é a mesma para cada intervalo.
3. Número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outros intervalos.
A probabilidade de que haja x ocorrências em um intervalo é
é o número médio de ocorrências por intervalo.
Pode ser usada como aproximação para variável aleatória binomial no caso de n grande e p suficientemente pequeno.
Distribuições Geométricas
Satisfazem às seguintes condições:
1. Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2. As tentativas repetidas são independentes umas das outras.
3. A probabilidade de sucesso p é cte para cada tentativa.
A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorrerá a tentativa número x é
