Prof. Leandro C. Fernandes Ordenação

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Ordenação

Prof. Leandro C. Fernandes

Estruturas de Dados

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Introdução

 Definição (Dic. Aurélio):

– Pôr em ordem; arrumar,

– Organização dos elementos de um conjunto de acordo com uma relação de ordem com a qual se atribui, em geral, a todo elemento, um antecedente e um sucessor.

 Importância da ordenação ou classificação de dados em atividades rotineiras:

– Livros numa biblioteca

– Agenda e catálogos telefônicos

– Dicionários

– Arquivos com cadastro de funcionários, ...

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Princípios da Ordenação

 Considerando 3 elementos a, b, c e < com o significado de precedência, temos:

1) Princípio da triconomia

a < b, a=b, b < a 2) Princípio da transitividade

Se a < b e b < c então a < c

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Ordenação

 Computadores gastam mais tempo ordenando do que fazendo qualquer outra coisa.

 A ordenação aparece em muitos problemas na prática e, portanto, servem de base para a

construção de muitos algoritmos.

 Entendendo a ordenação, tem-se conhecimento para resolver outros problemas.

– Muitas das idéias usadas no projeto de algoritmos

aparecem no contexto de ordenação, tais como divisão e conquista, estruturas de dados e algoritmos

randomizados.

– É um dos problema mais estudado em CC.

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Compromisso

 “A complexidade da ordenação da estrutura de dados não deve exceder a complexidade da

computação a ser feita na estrutura sem o processo de ordenação”

 Ex: Deseja-se realizar uma única pesquisa num vetor

– busca seqüencial ⇒ O(n)

– ordenação ⇒ O(n log n)

● Não vale a pena ordenar!

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Aplicações da Ordenação

 Busca

– Uma busca binária em um dicionário com os dados ordenados leva tempo O(log n).

● Provavelmente esta seja a mais simples e importante aplicação da ordenação.

 Par mais próximo

– Dado um conjunto de n números, como encontrar o par de números cuja diferença entre eles seja a menor

possível?

● Com os números ordenados a solução é simples.

● Solução em tempo O(n log n).

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Aplicações da Ordenação

 Unicidade de elementos

– Dado um conjunto de n elementos, existem elementos duplicados?

● Novamente, a melhor solução possível usa a ordenação.

● É um caso particular do problema do par mais próximo em que a diferença entre vizinhos é zero.

 Distribuição de freqüência

– Dado um conjunto de n elementos, qual

elemento ocorre o maior número de vezes?

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Aplicações da Ordenação

 Seleção

– Qual o k-ésimo maior elemento no conjunto?

● Com os dados ordenados, esta informação é determinada em tempo constante.

● Em particular, a mediana (o n/2-ésimo elemento).

 Casco convexo

– Dado um conjunto de n pontos no plano cartesiano, qual o polígono convexo de menor área que contém todos estes pontos?

● Os pontos são ordenadas pelas abscissas dos pontos.

● A partir do ponto de menor abscissa, o casco é construído inserindo-se os pontos.

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Problema do Casco Convexo

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Tipos de Ordenação

 Ordenação interna:

– A classificação é feita na estrutura como um todo, geralmente num conjunto pequeno de dados.

– O processo é realizado inteiramente (ou quase) na memória principal.

 Ordenação externa:

– A classificação é feita sobre parte de uma grande estrutura.

– É impossível colocar toda a estrutura na memória principal.

– Há necessidade de contar com auxílio de memórias de armazenamento de massa.

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Assumindo que ...

 Os dados estão mantidos em um vetor (Ordenação Interna)

 Um elemento do vetor é:

– um objeto que possui um atributo chave que deve ser mantido ordenado

 Um método troca(x,y) realiza a troca dos elementos presentes nas posições x e y do vetor

 Para fins de exemplo, números inteiros serão utilizados como elementos

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Métodos de Ordenação

 Ordenação por troca

– BubbleSort (método da bolha)

– QuickSort (método da troca e partição)

 Ordenação por inserção

– InsertionSort (método da inserção direta)

– ShellSort (método de incrementos decrescentes)

 Ordenação por seleção

– SelectionSort (método da seleção direta)

– HeapSort (método da seleção em árvore)

 Outros métodos

– MergeSort (método da intercalação)

– BucketSort (método da distribuição de chave)

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Métodos de Ordenação

 Outros métodos

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Ordenação por troca

 BubbleSort é um método simples de troca

– É um algoritmo fácil, mas muito lento.

– ordena através de sucessivas trocas entre pares de elementos do vetor

 Características

– realiza varreduras no vetor, trocando pares adjacentes de elementos sempre que o próximo elemento for menor

que o anterior

– após uma varredura, o maior elemento está corretamente posicionado no vetor e não precisa mais ser comparado

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Algoritmo BubbleSort

 Em cada passo, cada elemento é comparado com o próximo;

 Se o elemento estiver fora de ordem, a troca é realizada;

 Realizam-se tantos passos quantos forem necessários até que não ocorram mais

trocas.

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Implementação: BubbleSort

public static void sort(int[] dados) { int n = dados.length;

for(int i = 0; i < n-1; i++)

for(int j = i+1; j <= n-1; j++) if (dados[i] < dados[j]) {

int temp = dados[i];

dados[i] = dados[j];

dados[j] = temp;

} }

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Análise de Desempenho

 Caso mais favorável é aquele no qual as chaves já se encontram na ordem desejada.

– Na primeira e única varredura o algoritmo faz n - 1 comparações.

 Caso mais desfavorável é aquele no qual as chaves estão em ordem inversa da desejada.

– O total de comparações será a soma da progressão

aritmética cujo primeiro termo é 1 e o último n - 1. Isto é, (n2 - n) / 2 comparações.

 A estimativa do número médio de comparações é (n2 + n - 2) / 4

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Ordenação por Troca

 QuickSort é um método de troca elaborado.

– Proposto por Hoare em 1962.

– É um dos mais rápidos métodos de ordenação.

 Características:

– Adota o princípio “dividir para conquistar”.

– É mais rápido classificar dois vetores com n/2 elementos do que n elementos.

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Algoritmo QuickSort

 Um elemento do vetor, geralmente o primeiro ou do meio, é escolhido de forma arbitrária. O elemento é colocado numa variável auxiliar.

 O vetor é varrido a partir da esquerda até que se encontre um elemento maior ou igual à variável auxiliar.

 O vetor é varrido a partir da direita até que encontre um elemento menor ou igual à variável auxiliar.

 É efetuada a troca dos elementos.

 O processo é repetido até que os ponteiros se cruzem em algum ponto do vetor.

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Implementação: QuickSort

public static void sort(int[] dados, int left, int right){

int i = left; int j = right;

int x = dados[(left+right)/2]; //Elemento "pivot"

do {

while ((dados[i] < x) && (i < right)) i++;

while ((dados[j] > x) && (j > left)) j--;

if (i <= j) {

swap(dados,i,j); i++; j--;

}

} while (i <= j);

if (left < j) sort(dados,left,j);

if (i < right) sort(dados,i,right);

}

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Análise de Desempenho

 Em comparação com os demais métodos é o que apresenta, em média, menor tempo de classificação.

 Apesar de efetuar uma quantidade de iterações na ordem de n log2 n, é mais rápido por apresentar menor número de operação elementares por iteração.

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Métodos de Ordenação

 Outros métodos

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Ordenação por Inserção

 InsertionSort é um método simples de inserção

– considera dois segmentos (sub-vetores) dentro do próprio vetor: ordenado (aumenta) e

não-ordenado (diminui)

– ordena através da inserção de um elemento por vez (primeiro elemento) do segmento

não-ordenado no segmento ordenado, na sua posição correta

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Algoritmo InsertionSort

 O primeiro elemento do vetor é considerado ordenado e os seguintes desordenados;

 Busca-se os elementos do bloco dos desordenados e compara-se com os do bloco de desordenados.

 Faz-se a inserção na posição correta.

 Repete-se o processo até que os elementos do bloco de desordenados tenham passado para o bloco de ordenados.

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Implementação: InsertionSort

public static void sort(int[] dados) {

for(int i = 1; i < dados.length; i++) { int pos = i;

int temp = dados[i];

while((pos > 0) && (temp < dados[pos-1])){

dados[pos] = dados[pos-1];

pos--;

}

dados[pos] = temp;

} }

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Ordenação por Inserção

 ShellSort ou Incrementos Decrescentes: é uma extensão do algoritmo de inserção direta

– Diferencia-se por dividir o vetor usado no processo de classificação em vários segmentos (blocos).

– Algoritmo proposto por Ronald L. Shell (1959)

– O vetor é dividido em i segmentos, de tal forma que cada segmento possua n/i chaves que é classificado

separadamente.

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Algoritmo ShellSort

 Considerando o vetor V[1..n], o mesmo é dividido em i segmentos;

 A cada passo, o valor de i é diminuído pela metade do valor anterior dando origem a novos segmentos (a metade do número anterior).

 É aplicado método da ordenação por inserção direta em cada passo e em cada segmento originado.

 O processo é repetido até que i = 1. Quando aplicada a ordenação com i =1, o vetor estará classificado.

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Funcionamento do ShellSort

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Funcionamento do ShellSort

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Funcionamento do ShellSort

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Implementação: ShellSort

public static void sort(int[] dados) { int gap = 1;

do

gap = 3*gap + 1;

while (gap < dados.length);

do {

gap = gap / 3;

for(int i = gap; i < dados.length; i++) { int value = dados[i];

int j = i - gap;

while ((j >= 0) && (value < dados[j])) { dados [j + gap] = dados[j];

j -= gap;

}

dados [j + gap] = value;

}

} while(gap > 1);

}

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Análise de Desempenho

 É complexa. Alguns problemas matemáticos relacionados não foram resolvidos, como por

exemplo, determinar o efeito da ordenação de um passo produz nos passos subseqüentes.

 Ainda não se conhece exatamente a melhor

seqüência de incrementos para produzir melhores resultados.

 É recomendável que o valor inicial do incremento seja um valor que divida o vetor de chaves no maior número possível de segmentos de mais de um

elemento.

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Análise de Desempenho

 O desempenho do método é quadrático, isto é, o

desempenho esperado na classificação de cada um dos segmentos é de (n/i)2, onde n/i é o número de chaves em i segmentos.

 O desempenho da classificação dos i segmentos é em torno de i * (n/i)2, ou seja, n2/i.

 É recomendável que o valor inicial do incremento seja um valor que divida o vetor de chaves no maior número possível de segmentos de mais de um

elemento.

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Métodos de Ordenação

 Outros métodos

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Ordenação por Seleção

 SelectionSort é um método simples de seleção

 Característica:

– ordena através de sucessivas seleções do elemento de menor valor em um segmento

não-ordenado e seu posicionamento no final de um segmento ordenado

– realiza uma busca seqüencial pelo menor valor no segmento não-ordenado a cada iteração

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Algoritmo SelectionSort

 Procurar o menor elemento do vetor

 Trocar com o elemento armazenado na primeira posição do vetor

 Reduz o tamanho do vetor em uma unidade, delimitando seu limite inferior em +1

 Repetir o passos anteriores até que o vetor alcance tamanho igual a um.

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Implementação: SelectionSort

public static void sort(int[] dados) {

for(int i = 0; i < dados.length-1; i++) { int posMenor = i;

for(int j = i+1; j < dados.length; j++) if (dados[j] < dados[posMenor])

posMenor = j;

if (posMenor != i) { int temp = dados[i];

dados[i] = dados[posMenor];

dados[posMenor] = temp;

} }

}

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Análise de Desempenho

 Caso mais favorável é aquele no qual as chaves já se encontram na ordem desejada.

– Na primeira e única varredura o algoritmo faz n - 1 comparações.

 Caso mais desfavorável é aquele no qual as chaves estão em ordem inversa da desejada.

– O total de comparações será a soma da progressão

aritmética cujo primeiro termo é 1 e o último n - 1. Isto é, (n2 - n) / 2 comparações.

 A estimativa do número médio de comparações é (n2 + n - 2) / 4

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Métodos de Ordenação

 Outros métodos

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MergeSort

 MergeSort é um algoritmo intercalação

– Fundamenta-se na ordenação por mistura de seqüências já ordenadas.

– Adota o princípio “dividir para conquistar”.

– Sua idéia básica é que é muito fácil criar uma seqüência ordenada a partir de duas outras também ordenadas.

– Para isso, ele divide a sequência original em pares de dados, ordena-as; depois as agrupa em sequências de quatro elementos, e assim por diante, até ter toda a sequência dividida em apenas duas partes.

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Algortimo MergeSort

 Dividir os dados em subseqüências pequenas;

 Classificar as duas metades recursivamente aplicando o MergeSort;

 Juntar as duas metades em um único conjunto já classificado.

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Implementação: MergeSort

void MergeSort(int *A, int e, int d){

int q;

if (e < d) {

q = floor((e+d)/2);

MergeSort(A,e,q);

MergeSort(A,q+1,d);

Merge(A,e,q,d);

} }

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Links

 Mais sobre o assunto:

– http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/ordena.html

– http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/mrgsrt.html

– http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/hpsrt.html

– http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/quick.html

 Não deixe de visitar:

– http://www.cs.ubc.ca/spider/harrison/Java/sorting-demo.html

– http://math.hws.edu/TMCM/java/xSortLab/

– http://www.cs.oswego.edu/~mohammad/classes/csc241/samples/

sort/Sort2-E.html