Prof. Leandro C. Fernandes Árvores

(1)

Dados

Árvores

Prof. Leandro C. Fernandes

Estruturas de Dados

(2)

SCE0286 –Estruturas de Dados

Antes ...

 Em aulas anteriores estudou-se a

organização dos dados de uma maneira linear, onde a propriedade básica era a relação seqüencial mantida entre os

elementos.

 Agora, estudaremos uma outra forma de

organizar os dados chamada, a princípio

como "não-linear".

(3)

Estruturas de Dados

Introdução

 São estruturas de dados não lineares, tendo sua origem na Teoria dos Grafos, que as

define como:

 um grafo acíclico, conexo e dirigido

 Esse modo de representação permite que outros tipos de relações entre os dados possam ser representadas, tais como:

hierarquia e composição, por exemplo.

(4)

Exemplos de árvores

(5)

Estruturas de Dados

Definição

 Uma árvore é um conjunto finito de um ou mais nós (ou vértices) tais que:



Existe um nó especial, denominado raiz



Os demais nós encontram-se desdobrados em n ≥ 0

conjuntos disjuntos T

₁

, ..., T

_n

sendo que cada conjunto se constitui numa árvore



T

₁

, ..., T

_n

são denominadas subárvores da raiz

 Note a característica inerentemente recursiva que é

dada a estrutura em definição.

(6)

Representações

 Uma árvore é um grafo sem ciclos

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(7)

Estruturas de Dados

Representações

 Grafo ^ Conjuntos aninhados

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

A

B E K

F

C G

D H I

J

L

(8)

Representações

 Grafo ^ Parênteses aninhados

(A)

(A(B C D))

(A(B(E F) C(G) D(H I J))) ...

(A(B(E(K)F)C(G)D(H(L)I J)))

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(9)

Estruturas de Dados

Representações



Grafo

^

Paragrafação

A

··B

····E

···K

····F

··C

····G

··D

····H

···L

····I

····J

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(10)

Nós (Vértices)

 Esta árvore possui 12 nós (ou vértices)

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

nós

(11)

Estruturas de Dados

Arestas (Arcos)

 Uma aresta (arco) liga um nó a outro

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

aresta

(12)

Raiz

 Normalmente as árvores são desenhadas de forma invertida, com a raiz em cima

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

raiz

(13)

Estruturas de Dados

Subárvores

 No exemplo, o nó A possui três subárvores (ramos) cujas raízes são B, C e D

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(14)

Subárvores

 No exemplo, o nó B possui duas subárvores (ramos) cujas raízes são E e F

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(15)

Estruturas de Dados

Folha

 Um nó sem descendentes (sem filhos ou

sem sucessores) é denominado terminal ou folha

A

B

E F

C

G

D

H I J

(16)

Não – Folha

 Um nó com descendentes (com filhos ou com sucessores) é denominado não–

terminal ou não–folha ou interior

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(17)

Estruturas de Dados

Floresta

 Uma floresta é um conjunto de zero ou mais árvores

 No exemplo, temos 3 árvores que compõem uma floresta

B

E F

C

G

D

H I J

(18)

Grau de um Nó

 O número de descendentes (imediatos) de um nó é denominado grau deste nó

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

Nó Grau

A 3

B 2

C 1

D 3

E 1

... ...

H 1

I 0

J 0

... ...

(19)

Estruturas de Dados

Grau de uma Árvore

 O grau máximo atingido pelos nós de uma árvore é denominado grau desta árvore

 No exemplo, o grau da árvore é 3

A

B

E F

C

G

D

H I J

(20)

Árvore Completa

 Uma árvore de grau d é uma árvore completa (cheia) se:



Todos os nós tem exatamente d filhos, exceto as folhas e



Todas as folhas estão na mesma altura

 No exemplo, a árvore de grau d=3 é completa

A

B

E F G

C

H I J

D

K L M

(21)

Estruturas de Dados

Pai

 As raízes das subárvores de um nó X são os filhos de X; X é o pai dos filhos

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

Nó pai Nós filhos

A B, C, D

B E, F

C G

D H, I, J

E K

... ...

H L

I -

J -

(22)

Irmão

 Os filhos (descendentes) de um mesmo nó pai (antecessor) são denominados irmãos

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

Irmãos

B, C, D E, F H, I, J

(23)

Estruturas de Dados

Caminho



Uma seqüência de nós distintos v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

tal que sempre existe a relação:

“v

_i

é filho de v

_i+1

” ou “v

_i

é pai de v

_i+1

”, 1 ≤ i < k é denominada um caminho entre v

₁

e v

_k



Diz-se que v

₁

alcança v

_k

ou que v

_k

é alcançado por v

₁



Um caminho de k vértices v

₁

, v

₂

, ..., v

_k

é formado pela seqüência de k-1 pares de nós (v

₁

,v

₂

), (v

₂

,v

₃

), ..., (v

_k-2

,v

_k-1

), (v

_k-1

,v

_k

)



k-1 é o comprimento do caminho



Cada par (v

_i

, v

_i+1

) é uma aresta ou arco, 1 ≤ i < k

(24)

Caminho



No Exemplo:



A, D, H, L é um caminho entre A e L, formando pela seqüência de arestas (A,D), (D,H), (H,L)



O comprimento do caminho entre A e L é 3

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(25)

Estruturas de Dados

Ancestrais

 Os ancestrais (antepassados) de um nó são todos os nós no caminho entre a raiz e o respectivo nó

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

Nó Ancestrais

A -

B A

C A

D A

E B, A

... ...

H D, A

... ...

K E, B, A

(26)

Nível

 O nível (ou profundidade) de um nó é o

número de nós no caminho desde a raiz até o respectivo nó

 Em geral, admite-se a raiz como estando no nível zero

 Estando um nó no nível i, seus filhos estarão

no nível i+1

(27)

Estruturas de Dados

Nível

 No exemplo, os nós:



B, C e D estão no nível 1



K e L estão no nível 3

A

B

E F

C

G

D

H I J

0

1

2

(28)

Altura de um Nó

 A altura de um nó é o número de nós no maior caminho desde o nó até um de seus descendentes

 Portanto, as folhas têm altura zero

(29)

Estruturas de Dados

Altura de um Nó

 No exemplo, os nós:



K, F, G, L, I, J têm altura 0



E, C e H têm altura 1



B e D têm altura 2



A tem altura 3 ^A

B

E F

C

G

D

H I J

(30)

Altura de uma Árvore

 A altura (ou profundidade) de uma árvore é o nível máximo entre todos os nós da árvore ou, equivalentemente, é a altura da raiz

 No exemplo, a árvore possui altura 3

A

B

E

K

F

C

G

D

H I J

L

(31)

Estruturas de Dados

Número Máximo de Nós

 O número máximo de nós n(h,d) em uma árvore de altura h é atingido quando todos os nós possuírem d subárvores, exceto os de nível h, que não

possuem subárvores.

 Para uma árvore de grau d



Nível 0 contém d

⁰

(um) nó (raiz)



Nível 1 contém d

¹

descendentes da raiz



Nível 2 contém d

²

descendentes



...



Nível i contém d

ⁱ

descendentes

(32)

Número Máximo de Nós

 Assumindo d=3

 Nível 0: 1 nó (raiz) – Nível 1: 3 nós

 Nível 2: 3 ² = 9 nós – Nível 3: 3 ³ = 27 nós

... 1+3+9+27 = 40 nós

(33)

Estruturas de Dados

Número Máximo de Nós

 Portanto, o número máximo de nós n=n(h,d) é soma do número de nós em cada nível, ou seja:

 





 ^h

i

h

i d d d d

d h

n n

0 2 1

0 ...

) ,

(

 

 



 

h

i

h

i d

d d d

0

1 1 1 ,

1

(34)

Árvores Balanceadas

 Uma árvore é balanceada se, para cada nó, a altura de suas subárvores diferem, no

máximo, de uma unidade

 Uma árvore é perfeitamente balanceada se, para cada nó, os números de nós em suas subárvores diferem, no máximo, de uma

unidade

(35)

Estruturas de Dados

Árvores Perfeitamente Balanceadas de Grau 2

n=7 n=6

n=5

n=4 n=2 n=3

n=1

(36)

Implementação de Árvores

 Árvores podem ser implementadas utilizando listas encadeadas

 Cada nó possui um campo de informação e uma série de campos de ligação, de acordo como

número de filhos daquele nó

4  

Campo de ligação para a segunda subárvore

Campo de ligação para a primeira subárvore

Campo de ligação

para a próxima subárvore

dado

(37)

Estruturas de Dados

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