Matemática Discreta ADS Grafos e arvores

(1)

ESCOLA DE ENGENHARIA

C++

(2)

Instalação Elétrica

L

Q

u

ad

ro

Tom A

Int

Tom B

Pontos,

conduítes

(3)

C++ - Grafos e Árvores

C++ - Grafos e Árvores Prof. Lincoln Cesar ZamboniProf. Lincoln Cesar Zamboni

3/33

América do Sul

Fronteir

as entre

(4)

Herança

Relacioname

nto de

especializaçã

Marinho

Animal

Mamífero

Leão

Homem

Inseto

Mosca

Barata

Peixe

(5)

5/33

x--;

if(x>0) x+= 2;

for(int k= 1; k<=x; k++){

y+= 3;

w--;

if(w<0) y--;

else y++;

}

y= sqr(x);

Linguagem C++

Indentaçã

o das

linhas do

programa.

1

1.1

1.2

1.3

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.4

(6)

Fluxograma ISO 5807

u

_i+1

|L(u

_i+1

)= mín({L(v)| v



D})

início

M = {u

₀

}

L(u

₀

) = 0

L(v) =





v



D

i = 0

L(v) = mín(L(v), L(u

_i

)+W(u

_i

, v))



v



D

F

L(v) é a distância

mínima de u

₀

até v,



v



M

V

M = M



{u

_i+1

}

i = i + 1

fim

D =



1

1 Processo

s e

(7)

7/33

Lista

Cabe

ça

Remove do

começo

Insere no

começo

Insere no

começo

Remove do

meio

Insere no fim

(8)

Pilha

_Cabe

ça

Empilh

a

Empilh

a

Desempil

ha

Desempil

ha

(9)

9/33

Fila

_Cabe

ça

Enfileira

Desenfile

ira

Desenfile

ira

Desenfile

ira

Enfileira

(10)

Grafos e Dígrafos (Graph, Digraph)

• V

_V



Ø

• V

_V



E = Ø

• Ψ : E

_{Ψ : E}



{ {

{

v, w}

v, w

}

| v, w



V} (Grafo)

• _{Ψ : E}

_{Ψ : E}



_

{ (

{

(

v, w)

v, w

)

| v, w



V} (Dígrafo)

G = (V, E,

Ψ)

Vértice

s

_Arestas

ou

Arcos

Função

de

Incidênc

ia

(11)

11/33

Exemplo de Grafo

Lula = (Bar, Bu,

Do)



Do(A) = {a,

b}



Do(B) = {b,

c}



Do(C) = {c, c} =

{c}



Do(D) = {c, d}



Do(E) = {b,

d}



Do(F) = {d, e}



Do(G) = {b,

e}



Do(H) = {b,

e}

A

B

C

D

F

G

H

E

c

b

e

d

_a

Do

(12)

A

B

C

D

F

G

H

E

Outra Geometria do exemplo

c

b

e

d

a

mude a posição dos

arcos

mude a posição dos

vértices

Os

arcos

podem

(13)

13/33

Exemplo de Dígrafo

Pico = (Lé, DeChu, Chu)



Chu(A) = (a, b)



Chu(B) = (b, c)



Chu(C) = (c, c)



Chu(D) = (c, d)



Chu(E) = (b, d)



Chu(F) = (d, e)



Chu(G) = (b, e)



Chu(H) = (b, e)

G

H

E

c

b

e

d

_a

Chu

Lé = {a, b, c, d, e}

DeChu = {A, B, C, D,

E, F, G, H}

A

B

C

D

(14)

Grafo Simples

Não possui laços (loops)

Não possui arestas múltiplas

X

(15)

15/33

Vértices Adjacentes

Grafo:



o vértice a é adjacente ao vértice b;



o vértice b é adjacente ao vértice a.

b

_A

a

Dígrafo:



o vértice a não

o vértice a

não

é adjacente ao vértice b;



o vértice b é adjacente ao vértice a.

(16)

Grafo e Matriz de Adjacência

a

b

c

d

e

a

0

1

0

0 b

b

1

0

1

2

2 c

c

0

1

0

0 d

d

0

1

0

1

1 e

e

0

2

0

1

0

0 c

b

e

d

_A

_a

B

C

D

F

G

H

E

simétrica

i



j



cada elemento da matriz é a quantidade de

arestas que vão do vértice

arestas que vão do vértice i

i

ao vértice j

ao vértice

j

e vice-

e

vice-versa (são adjacentes).

versa (são adjacentes).

(17)

17/33

a

b

c

d

e

a

0

1

0

0 b

b

0

1

2

2 c

c

0

1

0

0 d

d

0

1

1 e

e

0

0 Dígrafo e Matriz de Adjacência

Dígrafo e Matriz de Adjacência

c

b

e

d

_A

_a

B

C

D

F

G

H

E

cada elemento da matriz é a quantidade de

arestas que vão do vértice

arestas que vão do vértice i

i

ao vértice j

ao vértice

j

(o j é

adjacente ao i).

do

i



(18)

Rede ou Grafo Ponderado

R = (V, E,

Ψ, ω)

Vértic

es

Arestas

ou

Arcos

Função

de

Incidên

cia

Função

de

Pesos

ω : E

(19)

19/33

Lu = (Isa, He,

Le, Na)

Exemplo de Rede

6

5

8

7

4

3

6 Isa = {a, b, c, d, e}

Isa = {a, b, c, d, e}

He = {A, B, C, D, E,

F, G, H}

Le, Na



Le(B)={b, c}, Na(B)=5



Le(A)={a, b}, Na(A)=6



Le(C)={c}, Na(C)=8



Le(D)={c, d}, Na(D)=7



Le(E) = {b, d}, Na(E)=6



Le(F) = {d, e}, Na(F)=7



Le(G) = {b, e}, Na(G)=4



Le(H) = {b, e}, Na(H)=3

c

b

e

(20)

1 ₂

3

4

8

12

7

11

9

10

5

6

13

15

14 a

b

g

h

e

d

c

f

i

j

k

n

q

s

t

r

p

o

m

l

u

v

cucaracha

Passeio (Walk)

Seqüência não nula, finita e

alternada de vértices adjacentes

e arestas incidentes.

W = v

₀

e

₁

v

₁

e

₂

v

₂

e

₃

... e

_k

v

_k

onde:

•

1 

k



n (n



N*

)

• 

(e

_k

) = {v

_k-1

, v

_k

}

• Cabeça = 3c4e6f5d3 (fechado)

Exemplos:

• Antenas = 1a3c4b2

• W

₁

=

14t17r14n12n14m10

• W

₂

= 5f6v10h8h10m14

• W

₃

= 5i15o13l9u5 (fechado)

(21)

21/33

1 ₂

3

4

8

12

7

11

9

10

5

6

13

15

14

17

16 a

b

g

h

e

d

c

f

i

j

k

n

q

s

t

r

p

o

m

l

u

v

cucaracha

Passeio onde as arestas não se repetem.

Exemplos:

• Antenas = 1a3c4b2

Trajeto (Trail)

• Cabeça = 3c4e6f5d3

(fechado)

• Patinha Direita Central

= 12n14

• T

₁

= 2b4e6j15p14t17

• T

₂

= 2b4e6j15p14r17

(22)

1

2

3

4

8

12

7

11

9

10

5

6

13

15

14

17 a

b

g

h

e

d

c

f

i

j

k

n

q

s

t

r

p

o

m

l

u

v

cucaracha

Passeio onde os vértices não se repetem.

Exemplos:

• Antenas = 1a3c4b2

Caminho (Path)

• Patinha Direita Central

= 12n14

• P

₁

=

11k13o15j6v10m14t17

• P

₂

= 2b4e6j15p14t17

• P

₃

= 2b4e6j15p14r17

• P

₄

= 8h10m14

(23)

23/33

1 ₂

3

4

8

12

7

11

9

10

5

6

13

15

14

17

16 a

b

g

h

e

d

c

f

i

j

k

n

q

s

t

r

p

o

m

l

u

v

cucaracha

Ciclo (Cycle)

Trajeto fechado (v

₀

=v

_k

).

Exemplos:

• Cabeça = 3c4e6f5d3 (fechado)

• Asa Esquerda = 5i15o13l9u5

(fechado)

_•

_{Patona Direita =}

14t17r14 (fechado)

• C

₁

=

6v10m14t17r14p15j6

(fechado)

• _(fechado)

C

2 = 5f6v10m14p15o13l9u5

(24)

DAG (Directed Acyclic Graph)

Redes PERT (Program Evaluation and Review Technique):

DAG ponderado onde os arcos representam atividades, os

vértices representam o início e o fim das atividade e os

5

3

6

9

4

8

5

3

5

0

2

3

1

7

8

7

2

(25)

25/33

Árvore (Tree)

(26)

Grafos e Listas de Adjacência

A

B

C

E

A

B

C

D

0 E

0

1

3

1

3

0

2

0

1 A lista de adjacência

está em ordem

crescente de vértices

(do A até o E) de forma

(27)

27/33

Dígrafos e Listas de Adjacência

A

B

C

D

E

A

B

C

D

0 E

0

1

2

3

1

3

1 Lista dos Vértices

Lista de Adjacência

do vértice A

Lista de

Adjacência

do vértice B

Lista de

Adjacência

do vértice C

Lista de

Adjacência

do vértice D

(28)

Árvore

nível 0

nível 1

nível 2

nível 3

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

(29)

29/33

Árvore: Nó de uma Árvore

in

fo

rm

a

çã

o

p

a

i

p

ri

m

o

g

ê

n

it

o

p

ró

x

im

o

i

rm

ã

o

class

TArvore

{

private

:

TAlgumTipo inf; // informação

TArvore *pai; // pai

TArvore *prim; // primogênito

TArvore *prox // próximo irmão

// ...

public

:

// ...

// operações em uma árvore.

// ...

};

Não é imprescindível, mas pode ajudar

na implementação dos métodos.

(30)

Árvore: ligações

F

K

L

M

R

S

L

F

₀

K

M

0 0

R

0 S

0 0

vem de E

vai para A

vem de Q

(31)

31/33

Árvore: busca em largura e busca

em profundidade

nível 0

nível 1

nível 2

nível 3

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

Largura

P

ro

fu

n

d

id

a

d

(32)

Árvore: Busca em Largura

Fila

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 ALGORITMO

:

enfileire o nó raiz da árvore;

enquanto existirem nós enfileirados:

desenfileire e marque o nó;

A

B

C

D

E

F

G

H

(33)

33/33

Busca em Profundidade

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 ALGORITMO

:

empilhe o nó raiz da árvore;

enquanto existirem nós empilhados:

desempilhe e marque o nó;

para todos os nós filhos deste nó marcado:

empilhe o nó filho;

Pilha

A

F

E

D

C

B

G

I