SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

Ministério da Educação

Universidade Federal do Rio Grande

Universidade Aberta do Brasil

Administração – Bacharelado

Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I

Rodrigo Barbosa Soares

5. Funções – Parte1:

5.1. Introdução:

Muitas vezes, deparamo-nos com situações que envolvem uma relação entre grandezas. Assim, o tempo de viagem entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no trajeto; o preço de um produto depende da sua demanda e oferta; a temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) e o rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco.

Na própria Matemática, abundam exemplos de grandezas que dependem de outras, como a área de um círculo de raio r, que é dada por A=π r2_{. Então, dizemos} que a área de um círculo depende do raio e em cada caso, o valor de uma variável depende do valor da outra. O ponto de ebulição da água, e, depende da altitude, a; os juros, j, dependem da taxa de juros, t. Dizemos que “e” e “j” são variáveis dependentes, porque são determinadas pelos valores das variáveis “a” e “t” que são as variáveis independentes.

Podemos utilizar tabelas, gráficos e linguagem matemática por meio de fórmulas, para representar as relações de dependência entre duas ou mais grandezas. E dentro do universo das relações entre grandezas, as funções são as melhores ferramentas para descrever o mundo real, em termos matemáticos.

Uma regra ou relação que associa a cada elemento de um conjunto em um único elemento de outro conjunto é chamada de função. Uma função é uma máquina que associa um único produto (f(x)) a cada matéria-prima (x) disponível. A matéria-prima forma o domínio da função e os produtos formam a imagem.

A

B

C

1

2

3

Matéria-prima

5.2. Definições:

5.2.1.

5.2.2.

5.2.3.

3

Dados dois conjuntos não vazios A e B
, denomina-se produto cartesiano (indica-se por A x B
) o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) do plano cartesiano, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B
.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B
, dá-se o nome de relação de A em B
a qualquer subconjunto de A x B
.

Relação

Uma relação f de A em B
é uma função se, e somente se:

•Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B
definido pela relação , chamado de imagem de x.

•A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B
por meio de f, ou seja, a cada elemento do conjunto A está associado um e apenas um elemento do conjunto B
.

(lê-se: função de A em B
)

Função real de uma variável real

Domínio da função ou campo de definição da função é o conjunto

A

, de todos os valores dados para a variável independente

x

.

Exemplo 1:

Seja a função dada pela sentença

f (x )=2x

. O domínio da função são todos os valores possíveis de x, que tornam a sentença verdadeira. No caso, o domínio é o conjunto dos números reais,

ℜ

, ou o intervalo

(−∞

,+ ∞)

. O gráfico da função, já sabemos, é uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 2 e linear 0. A imagem da função é o conjunto

ℜ

. Assim:

f (1 )=2, f (2)=4

são os valores da função quando

x=1, x=2

que formam os pares ordenados

(

1,2);(2,4 )

. O gráfico da função definida pela sentença

f (x )=2x

é formado por todos os pontos que pertencem à reta da figura abaixo. Cada elemento

x

tem um correspondente

y

no contradomínio. O conjunto de todos os valores de

y

correspondentes aos valores de

x

é chamado de

Imagem da função.

estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

y

x

x

2

)

x

(

f

=

Exemplo 2: Dado o conjunto

A=

{

1,2,3,4,5,6

}

e

B=

{

1,3,5,7,9, 11 ,13 , 15

}

, determine o domínio, o contradomínio e a imagem da função

_{f (x )=2x+1}

. e o Como o domínio da função é o conjunto

A

,

D

_f

=A

e o contradomínio é o conjunto

B

,

CD

f

=B

,

construindo uma tabela de valores temos que a imagem da função é

I

_m

=

{

3,5,7,9 ,11 , 13

}

. O diagrama da relação

y=f ( x )=2x +1

é mostrado abaixo:

Para cada valor da variável independente

x∈ A

, temos um único valor correspondente para a variável dependente

y ∈B

.

Para identificar graficamente se uma relação é ou não uma função, traçam-se retas paralelas ao eixo y. Se a reta intercepta (corta) o gráfico em mais de um ponto, não é função. Na função para cada x do domínio, deve existir em correspondência um único y no contradomínio. Graficamente, o domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x), e a imagem pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

Por exemplo: o gráfico ao lado não representa uma função, pois, para cada x, temos dois y (y1 e y2).

Já os gráficos abaixo representam funções, pois traçando retas paralelas ao eixo y, interceptam o gráfico da função uma única vez. Então, verificamos que para cada x obtemos um único y.

5

1

2

3

4

5

6

1

3

5

7

9

11

13

15

1

3

7

9

11

13

Exemplo 3:

Construir no plano cartesiano o gráfico da função

f : ℜ→ℜ

definida por

f (x )=

{

x,se x≥2

2, se x< 2

}

.

Nesse caso, temos uma função definida por duas sentenças. Para a construção do gráfico, vamos observar as tabelas:

x F(x)=x (x,y) 2 2 (2,2) 3 3 (3,3) 4 4 (4,4) x f(x)=2 (x,y) 1 2 (1,2) 0 2 (0,2) -1 2 (-1,2)

y

x

Exemplo 4:

Dada a função

f (x )=7x−3

, com

D= ℜ

, obtenha:

a)

f (2)

, assim

f (2)=7 (2)−3=11

b)

f (−1 )

, assim

f (−1 )=7(−1)−3=−10

c)

f (x

₀

+h )

, assim

f (x

₀

+h )=7( x

₀

+h )−3=7x

₀

+

7h−3

d)

f (x

₀

+h )−f ( x

₀

)

, assim

f (x

₀

+h )−f ( x

₀

)=(

7 (x

₀

+h )−3 )−(7x

₀

−3 )=7x

₀

+7h−3−7x

₀

+3=7h

. Exemplo 5:

Uma livraria vende uma revista por R$ 15,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida.

a) Obtenha a função receita R(x). b) Calcule R(40). c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 750,00?

a) R(x)=15x

b) R(40)=15(40)=600 a receita é de R$ 600,00 quando são vendidas 40 revistas. c) 750=15x x= 750/15 = 50 revistas devem ser vendidas para que a receita seja de R$ 750,00.

Exemplo 6:

O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função

C( x )=100+2x

_{. a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Qual o custo de}

fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades? a)

C(10 )=100+2(10 )=120

b)

C( 9)=100+2(9)=118

,

o custo de fabricação da décima unidade, depois de nove unidades já terem sido fabricadas, é dado por

C(10 )−C (9 )=120−118=2

reais.

Exemplo 7:

Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até R$ 900,00. Para rendas acima de R$ 900,00, o imposto de renda é igual a R$ 90,00 (10% de R$ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede R$ 900,00. a) Qual o imposto de renda para uma renda de R$ 600,00? b) Qual o imposto de renda para uma renda de R$ 1200,00? c) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x.

Solução: Primeiramente, vamos resolver a letra C para obtermos a expressão matemática do imposto como função da renda. Observe que

a) f(600)=0,1(600)=60,00 reais.

b) f(1200)=90+0,2(1200-900)=90+0,2(300)=90+60=150 reais.

Algumas vezes, o domínio da função não é mencionado. Convenciona-se que ele seja formado por todos os valores reais de x para os quais exista a imagem y. Dessa forma, não fará parte do domínio da função:

a)

O valor de x que torna o denominador igual a zero, por exemplo: se

f (x )=

x+ 1

x −5

, x=5 não faz parte do domínio da função, o

D=ℜ−

{

5

}

;

b) o valor de x que torna o radicando de uma raiz quadrada negativo, por exemplo: se

_{f (x )=}

_√

_x+3

, assim

x+3≥0

e

x≥−3

, o domínio de f são todos os valores de

x≥−3

, ou seja,

D=

{

x∈ℜ/x≥3

}

5.3. Função Par e Função Ímpar:

Uma função

y=f ( x )

é uma Função par de x se

f (−x )=f ( x )

, e uma

Função ímpar de x se

f (−x )=−f ( x )

, para qualquer x que pertença ao domínio da função.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Uma vez que

f (−x )=f ( x )

, um ponto

(

x,y )

estará no gráfico se, e somente se, o ponto

(−

x,y )

estiver no gráfico (figura A). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Uma vez que

f (−x )=−f ( x )

, um ponto

(

x,y )

estará no gráfico se, e somente se, o ponto

(−

x,− y )

estiver no gráfico (figura B
). De maneira equivalente, um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação de 180º, em relação à origem, não alterar o gráfico.

Figura A Figura B

Por exemplo: Sendo

_{f (x )=y=x}

2 para

x=2→ y= 4

e para

x=−2→ y= 4

, logo,

_y=x

2 é uma função par. Sendo

_{f (x )=y=x}

3 , para

x=2→ y= 8

e para

x=−2→ y=−8

, logo,

_y=x

3 é uma função ímpar.

Os nomes par e ímpar vêm das potências de x. Se y é uma potência par de x, como

_y=x

2 , então, é uma função par de x (pois

₍₋

_{x )}

2

_=x

2 ). Se y é uma potência ímpar de x, como

_y=x

3 ou

y=x

, então, é uma função ímpar de x (pois

(−

x )

3

=−

x

3 ).

Uma função

y=f ( x )

é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer

x

₁ e

x

₂ pertencentes ao conjunto A, com

x

₁

<

x

₂ , tivermos

f (x

₁

)

<f ( x

₂

)

_{. Ou seja, à medida que x cresce, a imagem y também crescerá.} Analogamente, uma função é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer

x

₁ e

x

₂ pertencentes ao conjunto A,

x

₁

<

x

₂ , tivermos

f (x

₁

)

>f ( x

₂

)

. Assim, uma função é decrescente se à medida que aumenta o valor de x, as imagens correspondentes vão diminuindo.

Exemplo 8:

Seja a função real dada por

f (x )=2x+1

. Para analisar se essa função é crescente ou não, atribuímos alguns valores a x e substituímos na fórmula dada, obtendo suas respectivas imagens. À medida que x aumenta, a imagem y aumenta, então, a função é crescente.

x=−2 ⇒ f (−2 )=2(−2)+1=−3

x=−1⇒ f (−1 )=2(−1)+1=−1

x=0 ⇒ f (0 )=2(0 )+1=1

x=1 ⇒ f (1)=2(1 )+1=3

Exemplo 9:

Vamos estudar o comportamento da função

g( x )=−x

2

+9

, para

x≥0

, quanto ao crescimento e decrescimento.

Atribuindo valores para x, obtemos:

x=0 ⇒ f (0 )=−(0 )

2

₊

₉₌₉

x=1 ⇒ f (1)=−(1 )

2

₊

₉₌₈

x=2 ⇒ f (2)=−(2)

2

+

9=7

x=3 ⇒ f (3 )=−(3 )

2

+

9=0

À medida que x cresce, a imagem y decresce, então, a função é decrescente para

x≥0

.

x

X aumenta

-2 -1

1

y

3

y aumenta

5.6. Função Composta e Função Inversa:

5.6.1. Função Composta:

Uma fábrica que produz cartuchos para impressoras calcula o seu lucro por meio da equação

L=0,2 P

, onde L é o lucro e P o preço de venda desse cartucho para o comércio. Por sua vez, o preço de venda é calculado, fazendo-se

P=20+2M

, onde M é o valor gasto com matéria-prima para a fabricação desse cartucho. Vemos que o lucro é dado em função do preço, e este, em função do gasto em matéria-prima M. Então,

L=0,2 P

P=20+2M

()

L= 0,2(20+2M )=4+0,4 M

A função H(M) chama-se função composta de L com P, que é indicada por

H ( M )=f ∘ g=f (g (M ))

.

Exemplo 10:

Sendo dados

_{f (x )=x}

2

₊₂

e

g( x )=3x

, calcular

g(f (x ))

e

f (g (x ))

.

Solução:

g(f (x ))=g∘ f=3 ( x

2

+2)=3x

2

+

6

, no lugar do x da função g colocamos a função f.

f (g (x ))=f ∘ g=(3x )

2

+2=9x

2

+

2

, no lugar do x da função f colocamos a função g.

5.6.2. Função Inversa:

Primeiramente, vamos definir uma função injetora: Uma função f(x) é injetora no domínio D se f(a)≠f(b) sempre que a≠b. O gráfico de uma função injetora y=f(x) só pode cruzar cada reta horizontal no máximo uma vez. Se isso ocorre mais de uma vez, então, ela assume o mesmo valor de y mais de uma vez, portanto, não é injetora.

Uma função injetora pode ser invertida. A função definida pela inversão de uma função injetora f é a inversa de f , que é indicada por f -1 _(f -1_{(x)) não significa} 1/f(x)).

Uma maneira de constatar se f e g são inversas é compor as funções f°g e g°f. Se

f (g (x ))=x

e

g(f (x ))=x

, então, f e g são inversas uma da outra; caso contrário não são.

Compor uma função com sua inversa (em qualquer sentido) devolve cada ponto da imagem ao ponto do domínio onde se originou. O resultado de compor uma função com sua inversa, em qualquer sentido, é a função identidade (que veremos a seguir).

Determinando a função inversa:

Exemplo 11:

Determine a inversa da função

y=

1

2

x+ 1

, expressando-a em função de x.

Solução:

Passo 1: Determine x em função de y.

y=

1

2

x+ 1⇒ 2y =x+2

x=2y−2

Passo 2: Troque x por y na equação

x=2y−2

,

Ficando

y=2x−2

, a função inversa de

f (x )=

1

2

x+1

é a função

f

−1

(

x )=2x−2

Teste: As funções

f (x )

e

g( x )

são inversas uma da outra se, e somente se,

f (g (x ))=x

e

g(f (x ))=x

. Neste caso,

_g=f

−1 e

_f=g

−1 .

Conferindo:

f

−1

₍

_{f ( x ))=2}

(

1

2

x+ 1

)

−2=x+2−2=x

f (f

−1

₍

_{x ))=}

1

2

(2x+−2)+1 =x−1+1=x

Exemplo 12:

Determine a função inversa de cada função dada:

a)

y=x−3

solução:

_{x=y+3 ⇒trocando x por y ⇒ y=x+3 =f}

−1

₍

_{x )}

b)

y=

3x−2

4x−3

(

x≠

3

4

)

solução:

y=

3x−2

4x−3

⇒

isolando y

, vem

4 xy −3y=3x−2

colocando x em evidência

x (4y−3 )=3y−2 ⇒ x=

3y−2

4y−3

, trocando x por y

y=

3x−2

4x−3

, neste caso

f (x )=f

−1

(

x )

. c)

f (x )=

2x−1

x−3

(

x≠3 )

solução:

y=

2x−1

x−3

⇒

isolando y

, vem

xy−3y=2x−1

colocando x em evidência

x ( y−2)=3y−1⇒ x=

3y−1

y−2

, trocando x por y

y=

3x−1

x−2

(

x ≠2)

, neste caso

f

−1

₍

_{x )=}

3x−1

x−2

(

x≠2 )

.

5.7. Função Polinomial do 1° grau:

Função polinomial do 1º grau é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio do 1º grau.

5.7.1. Definição:

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função

f

de

ℜ

dada por uma lei da forma

f (x )=ax+b

, onde a e b são números reais dados e, a≠0. Como vimos anteriormente, na unidade 4 (geometria analítica),

1

1

-2

-2

1

x

2

1

y

=

+

x

y

y

=

2

x

−

2

y

No caso de a = 0, a sentença

y=k

é chamada de função constante. O gráfico dessa função é uma reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada k, (0,k).

Quando b = 0, a sentença

y=ax

recebe o nome especial de função linear.

Se ainda a = 1, a função

y=x

recebe o nome de

função identidade. O gráfico é uma reta que divide o primeiro e o terceiro quadrante em duas partes iguais.

5.7.2. Determinação da função conhecendo o gráfico:

Exemplo 13:

Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é representado ao lado:

Solução: Os pontos de intersecção com os eixos coordenados são (1/3,0) e (0,-1). Vamos ver todas as maneiras possíveis de determinar a reta do gráfico ao lado, que passa pelos dois pontos.

1°) A função, representada pela reta que passa por

dois pontos, pode ser obtida resolvendo o determinante

∣

x

y

1

1/3

0

1

0

−1 1

∣=0

(condição de alinhamento),

2°) Ou, determinando o coeficiente angular

a=m=

y

2

−

y

1

x

₂

−

x

₁

=

Δy

Δx

=

−1−0

0−1/3

=3

e calculando a reta que tem coeficiente angular igual a 3 e passa pelo ponto (0,-1)

y− y

₁

=a( x−x

₁

)

y−(−1 )=3( x−0)⇒ y= 3x−1

,

3º) Ou a reta que passa por (1/3,0) e tem coeficiente angular 3

y− y

₂

=a( x−x

₂

)

y−0=3( x−1 /3 )

⇒

y= 3x−1

,

4º) Ou, sabendo que a equação segmentária da reta é dada por

y

q

+

x

p

=1

e

conhecendo os pontos (0.-1)=(0,q) e (1/3,0)=(p,0), a equação fica

y

−1

+

x

1 /3

=1 ⇒− y+3x=1

⇒

y= 3x−1

,

5º) Ou, substituindo os pontos conhecidos na equação

y=ax+b

:

(

0,−1 )⇒−1 =a(0 )+b

(

1/3,0)⇒0 =a

(

1

3

)

+b

então, resolvendo o sistema linear determinamos a e b:

{

b=−1

a

3

+b=0

}

⇒

b=−1 e a=3

Exemplo 14:

Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B
(2,3);

Sendo

f (x )=ax+b

, então, substituindo os pontos A e B
na equação, obtemos

2=a(1 )+b

3 =a(2)+b

, que corresponde ao sistema linear

{

a+b=2

2a +b=3

}

. Multiplicando a primeira equação do sistema por (-1) e somando com a segunda, obtemos:

a=1 e b=1

, logo, a função que é representada pela reta que passa pelos pontos A e B
é

y=x+1 ou f ( x )=x+1

.

5.7.3. Zero da função do 1° grau:

O zero ou raiz da função do 1º grau é o ponto onde a reta intercepta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja, é o ponto de ordenada nula (y=0). Sendo

f (x )=ax+b

e

y=f ( x )=0

determinamos o zero ou a raiz da equação do 1º grau:

ax+b=0 ⇒ x=−

b

a

.

Exemplo 15:

Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa calcula o faturamento que terá com ele, usando a lei

f (x )=8x−640

, em que

f (x )

é o faturamento líquido de x unidades vendidas. Qual a quantidade mínima que essa empresa terá de vender para obter lucro?

Solução: o zero da função é dado por

8x=640

,

x=80

. Assim, podemos fazer o seguinte

esboço, sabendo que a função é crescente (a>0):

Fazendo o estudo do sinal temos:

f (x )=0 ⇒ x= 80

f (x )>0⇒ x>80

f (x )<0⇒ x<80

f (x )=ax+b

Zero da função

:

ax+b=0 ⇒ x=−

b

a

0

)

x

(

f

>

a

b

x

=

−

a

b

x

=

−

0

)

x

(

f

<

0

)

x

(

f

>

a

b

x

0

)

x

(

f

a

b

x

0

)

x

(

f

a

b

x

0

)

x

(

f

−

<

⇒

<

−

>

⇒

>

−

=

⇒

=

a

b

x

0

)

x

(

f

a

b

x

0

)

x

(

f

a

b

x

0

)

x

(

f

−

>

⇒

<

−

<

⇒

>

−

=

⇒

=

0

)

x

(

f

<

80

+

_

X=-b/a

+

_

+

X=-b/a

-A quantidade mínima que a empresa deve vender para ter lucro é x= 81 unidades.

5.8. Função Custo, Receita e Lucro do 1° grau:

5.8.1. Função Custo:

1

f

C

Quantidade (x)

A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia em função da quantidade produzida (x) desse bem.

No custo de produção, existem duas parcelas, a saber: uma fixa, chamada de custo fixo, que não depende da quantidade produzida e outra variável, chamada de custo variável, que depende da quantidade produzida.

O custo fixo corresponde a gastos fixos que não dependem da quantidade

produzida, tais como a instalação ou manutenção do prédio, aluguel, seguro e outros. Ele pode ser considerado como uma função Constante (Função Custo Fixo), e seu gráfico é paralelo ao eixo horizontal.

O custo variável é função da quantidade produzida. Os gastos de produção crescem à medida que a produção cresce, caracterizando assim uma função crescente. Quando nada se produz, não há gasto de produção, portanto, seu gráfico inicia na origem.

A função Custo Total, em qualquer nível de produção, é a soma das funções Custo Fixo e Custo Variável, ou seja,

C

(

x

)

=

C

_f

+

C

_v.

Normalmente, o custo variável é igual a uma constante multiplicada pela quantidade q ou x. Assim, sendo c o custo variável unitário de produção de determinado bem e q ou x a quantidade produzida, o custo variável é dado por

C

_v

=cx

ou

C

_v

=cq

.

Dessa forma, o custo total

(

C (x )

)

é dado, então, pela equação

C( x )=C

_f

+cx

, onde c é o custo variável unitário de produção do bem e Cf é o custo fixo. Nesse caso, o custo total é uma função do 1º grau da quantidade produzida, cujo gráfico é uma reta crescente, com coeficiente angular positivo dado por c e coeficiente linear dado pelo custo fixo.

Quantidade (x)

C(x)

x

C

(

x

)

=

C

f

+

C

v

Quantidade

(x)

cx

C

_v

=

Quantidade (x)

f

C

v

C

C

Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 1.000,00, e o custo variável por unidade de produção é R$ 5,00. Então, a função custo total é dada por

C( x )=1000+5x

5.8.2. Função Receita:

É uma função crescente as taxas constantes e seu gráfico é uma semirreta, passando pela origem (trata-se de uma função do 1º grau com coeficiente linear igual a zero). Por exemplo: Um produto é vendido a R$ 30,00 a unidade, a função receita é, então, dada por

R( x )=30 x

.

5.8.3. Função Lucro:

1

A função receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade variável (x) de um produto. Ou seja, chamamos de receita ao produto de x, pelo preço de venda, e a indicamos por R. Se o preço P do produto for fixo, qualquer que seja a quantidade vendida x ou q, a receita pode ser determinada, multiplicando-se o preço unitário fixo P pela quantidade x ou q.

Quantidade (x)

R(x)

Quantidade

(x)

O lucro, L, é obtido como a diferença entre a função receita, R,

e a função custo, C. Assim, a função Lucro Total, ou simplesmente função Lucro é expressa pela diferença entre as a funções

L( x )=R( x )−C (x )

.

num ponto N. Nesse ponto, a receita e o custo são iguais e consequentemente o Lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.

Se:

Exemplo 16:

Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce o gráfico da função receita,

R( x )=

1

2

x

, e custo,

C( x )=20+

1

4

x

. Obtenha a função lucro e faça o estudo do sinal.

Solução: O ponto de nivelamento ocorre quando a receita é igual ao custo:

1

2

x=20+

1

4

x

, N Lucro prejuízo R(x) x_c x C(x)

x>x

_c , então,

R( x )>C( x )

e, portanto,

L( x )>0

(Lucro positivo).

x<x

_c , então,

R( x )<C( x )

e, portanto,

L( x )<0

(Lucro negativo é PREJUÍZO).

Então,

1

2

x−

1

4

x=20

, tirando o m.m.c.(2,4)=4,

2x−x

4

=20 ⇒ x= 80 ⇒( 80 , 40)

.

A função Lucro é dada por

L( x )=R( x )−C (x )

, então,

L( x )=

1

2

x−(20+

1

4

x )

L( x )=

1

2

x−(20+

1

4

x )=

2x−80−x

4

=

x−80

4

=

x

4

−20

.

Analisando o gráfico abaixo, verificamos que: O lucro é positivo para valores de x maiores do que 80, é negativo (prejuízo) para valores de x menores que 80 e é zero para x igual a 80.

2

4 0

L

80

R

C

N

Por exemplo:

P=10−0,002 x

, representa a função demanda do número de refrigerantes (x), demandados por semana, numa lanchonete.

Demanda ou procura é a quantidade (q ou x) de produto que os consumidores querem e podem comprar. A demanda cresce com a queda no preço, é uma função decrescente. A demanda de um bem é a função de muitas variáveis. Supondo-se que somente o preço unitário (P) do produto varie, verifica-se que o preço P relaciona-se com a quantidade demandada (q ou x). Chama-se função de demanda a relação entre P e x, .

A Procura de determinado produto é determinada pelas várias quantidades que os consumidores estão dispostos e aptos a adquirir, em função de vários níveis possíveis de preço, em dado período de tempo. Então, as quantidades procuradas dependem inversamente dos preços (Introdução à Economia, José Paschoal Rossetti, 2002).

Oferta e Demanda são as forças que movimentam as economias de mercado. Mercado designa um grupo de compradores e de vendedores de um dado bem ou serviço

.

Oferta e Demanda se referem ao comportamento de compradores e vendedores, quando interagem no mercado. Oferta é definida pelos vendedores e

Demanda pelos compradores.

A relação de dependência, entre quantidades procuradas ou demandadas e preços, descreve uma função linear de coeficiente angular negativo. Assim, se dispusermos as quantidades demandadas ou procuradas no eixo horizontal de um diagrama cartesiano, representando os preços no eixo vertical, teremos, para a função demanda ou procura, uma reta descendente, resultante do princípio definido: quanto mais altos os preços, menores as quantidades procuradas correspondentes.

Por exemplo: A função oferta de refrigerantes na lanchonete é dada por: se o preço do refrigerante for R$ 2,10, a quantidade ofertada será de 350 por semana, e, se o preço do refrigerante for R$ 2,40, a quantidade ofertada será 1400. Assim, o coeficiente angular da reta é:

m=

Δy

Δx

=

2,4−2,1

1400−350

=

0,3

1050

=

1

3500

, a equação da reta de oferta é:

P−2,1=

1

3500

(

x−350 )⇒ P=

1

3500

x+ 2

.

Em todas as estruturas de mercado, as posições dos produtores e dos

consumidores, em relação a uma dada escala de preços, podem estar em conflito. Expostos a preços considerados baixos, os produtores dispõem-se a produzir menos, comparativamente às situações em que os preços se consideram satisfatórios. Já os consumidores estão em posição oposta: os preços baixos é que estimulam a adquirir maiores quantidades. Essas posições conflituosas resultam dos próprios conceitos e das conformações básicas da procura e da oferta. Há, porém, uma posição de equilíbrio possível, dada pela intersecção das curvas de oferta e demanda. No ponto de intersecção, define-se o ponto de equilíbrio, que é o preço que harmoniza os interesses conflitantes dos produtores e dos consumidores (Introdução à Economia, ROSSETTI, José, P., 2002).

2

A Oferta de determinado produto é determinada pela várias quantidades que os produtores estão dispostos e aptos a oferecer no mercado, em função de vários níveis possíveis de preços, em dado período de tempo (Introdução à Economia, ROSSETTI, José P., 2002).

As quantidades ofertadas dependem diretamente dos preços. A relação de dependência entre quantidades ofertadas e preços descreve uma função linear de coeficiente angular positivo. Consequentemente, a representação gráfica da curva de oferta é oposta à de procura. Colocando as quantidades ofertadas no eixo horizontal e os preços no vertical, teremos uma reta ascendente da esquerda para a direita.

Ponto de equilíbrio é a situação onde o preço atinge um valor, onde a demanda e a oferta se igualam. É o ponto de intersecção da reta de oferta com a de demanda.

A relação entre quantidade demandada e preço de uma mercadoria é representada pela reta P no gráfico acima. Esta descreve o comportamento do consumidor, que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço sobe. Essa variação inversa entre preço e quantidade demandada, que se observa na reta descendente (coeficiente angular negativo), é chamada curva de demanda.

A relação entre preço e quantidade oferecida de uma mercadoria descreve o comportamento do produtor e é representada pela reta O no gráfico acima. A reta é ascendente (coeficiente angular positivo), pois quando o preço sobe, significa que existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, no entanto, quando o preço cai, a oferta diminui. A reta ascendente é chamada de curva de oferta.

O Preço de Equilíbrio, E, é o preço correspondente a iguais quantidades de

demanda e oferta, isto é, ocorre em um dado preço no qual a quantidade procurada é igual à quantidade oferecida. No gráfico acima, o ponto de equilíbrio é representado pelo ponto de intersecção das duas retas. Abaixo desse ponto de encontro, as quantidades procuradas ou demandadas serão superiores às ofertadas. Por outro lado, acima do ponto de encontro das duas retas, os excedentes das quantidades ofertadas em relação às procuradas conduzirão a uma competição entre os produtores, provocando um natural rebaixamento do preço.

Exemplo 17:

Num certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são dadas por: Oferta:

x=60+5p

; demanda:

x=500−13 p

.

Preço de equilíbri o (QO) Quantidades (x)

Qual a quantidade transacionada quando o mercado estiver em equilíbrio?

Para que o mercado esteja em equilíbrio, a oferta = demanda. Então, igualando

60+5p=500−13 p⇒ 5p+13 p= 500−60 ⇒ 18 p= 440 ⇒ p=

440

18

=

220

9

X= quantidade transacionada=

x=60+5

(

220

9

)

=

540+1100

9

=

1640

9

=182,2

5.10. Função Depreciação Linear:

Exemplo 18:

O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$ 200,00. Admitindo a depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? Hoje, consideraremos como tempo zero, então, R$ 2.000,00 é o coeficiente linear da reta. Como o preço decresce, a reta será decrescente e o coeficiente angular negativo. O coeficiente angular é calculado como sendo

m=

2000−200

0−9

=

1800

−9

=−200

, portanto, o valor é dado por

V=2000−200 x

. Logo, o valor do equipamento daqui a 3 anos (x) será:

V=2000−200(3)=1400

reais.

b) Qual o valor de sua depreciação daqui a 3 anos?

A depreciação é dada por

D=Valorhoje−V

, ou seja,

D=2000−(2000−200 x )

. Assim, daqui a 3 anos, a depreciação será:

D=2000−2000+200 (3)=600

c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? O valor da máquina será nulo quando

0=2000−200 x ⇒−200 x=−2000⇒ x=

−2000

−200

=10

anos

2

O valor de um bem diminui com o tempo, devido ao desgaste, à falta de

manutenção, etc. A essa perda de valor do bem em função do tempo chamamos de depreciação. O gráfico do valor em função do tempo é uma reta

Quando o Consumo é igual ao Rendimento Disponível, não existe

Poupança. O ponto de intersecção das duas retas, que representam as funções, é chamado de ponto limiar. O ponto limiar é, portanto, o nível de Rendimento Disponível em que todo o Rendimento é gasto em Consumo, e onde não existe Poupança.

Exemplo 19:

Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha: a) a função consumo; b) a função poupança

a) O consumo autônomo é o coeficiente linear da reta e a propensão marginal a consumir o coeficiente angular, logo

C=800+0,8 Y

b) a função poupança é dada por

S=Y −C=−C

₀

+(

1−m )Y

. Então,

S=Y −800−0. 8Y

que colocando o Y em evidência vem

S=Y (1−0,8)−800=(1−m)Y −C

₀

A Função Consumo é uma função matemática que relaciona o Consumo (C)

com Rendimento Disponível (Y), ou seja, o consumo varia em função da renda familiar disponível. Podemos escrever a função consumo da seguinte forma:

C=C

₀

+mY

.

A componente

C

₀ é chamada de consumo autônomo, que representa o gasto fixo, e o coeficiente angular m da função consumo é chamado de propensão

marginal a consumir.

A diferença entre renda disponível (Y) e o consumo é chamada de função poupança. E é indicada por

S=Y −C=−C

₀

+(

1−m )Y

. O coeficiente angular da função poupança é chamado de propensão marginal a poupar.