Hidrologia e Recursos Hídricos
2009 / 2010
Rodrigo Proença de Oliveira
Água na atmosfera
• A atmosfera como reservatório de água:
– Volume modesto (quando comparado com os restantes): apenas 25 mm
em média;
– O volume armazenado (altura de água precipitável) apresenta uma
enorme variação temporal e espacial:
• Norte vs Sul:
Latitude (º)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
• Sobre continentes (23,9 mm); sobre oceanos (27.5 mm)
• Em altitude: 50% até 1500 m (850 mb); 90% até 6000 m (500 mb)
– A água encontra-se predominantemente na fase gasosa (vapor de água),
sendo deprezável a que se encontra na fase liquida ou sólida nas
nuvens;
– Tempo de residência reduzido: ~8 dias.
Formação da precipitação
• Vapor de água existente na atmosfera condensa (passa à fase
líquida):
– Por redução da temperatura do ar;
– Por aumento da tensão do vapor (aumento da quantidade de água na
forma gasosa);
• As gotas de água coalescem em torno de um núcleo com massa
suficiente para se precipitar.
• Tensão de vapor
+
⋅
=
T
T
e
s2
.
237
27
,
12
exp
611
e
s
– Tensão de vapor (Pa)
T – Temperatura do ar (ºC)
Classificação da precipitação
• Precipitação de convecção:
• Precipitação orográfica:
Recordes mundiais de precipitação
Duration Amount(mm) Location Date
1 min 38* Barot Guadeloupe, West Indies 26 Nov 1970 3 min 44 Haughton Grove, Jamaica 30 Sep 1925 5 min 63 Porto Bello, Panama 29 Nov 1911 8 min 126 Fussen, Bavaria, Germany 25 May 1920 15 min 198 Plumb Point, Jamaica 12 May 1916 20 min 206 Curtea-de-Arges, Romania 07 Jul 1889 30 min 280 Sikeshugou Hebei, China 03 Jul 1974 42 min 305 Holt, Missouri, USA 22 Jun 1947 60 min 401* Shangdi Nei Monggol, China 03 Jul 1975 72 min 440 Gaoj Gansu, China 12 Aug 1985
Duration Amount(mm) Location Date
4 day 4870 Cratère Commerson, La Réunion 24-27 Feb 2007 5 day 4980 Cratère Commerson, La Réunion 24-28 Feb 2007 6 day 5070 Cratère Commerson, La Réunion 24 Feb - 01 Mar 2007 7 day 5400 Cratère Commerson, La Réunion 24 Feb - 02 Mar 2007 8 day 5510 Cratère Commerson, La Réunion 24 Feb - 03 Mar 2007 9 day 5692 Cratère Commerson, La Réunion 19-27 Jan 1980 10 day 6028 Cratère Commerson, La Réunion 18-27 Jan 1980 11 day 6299 Cratère Commerson, La Réunion 17-27 Jan 1980 12 day 6401 Cratère Commerson, La Réunion 16-27 Jan 1980 72 min 440 Gaoj Gansu, China 12 Aug 1985
2 hr 489 Yujiawanzi Nei Monggol, China 19 Jul 1975 2.5 hr 550 Bainaobao Hebei, China 25 Jun 1972 2.75 hr 559 D'Hanis, Texas, USA 31 May 1935 3 hr 724* Smethport, Pennsylvania, USA 18 Jul 1942 4.5 hr 782* Smethport, Pennsylvania, USA 18 Jul 1942
6 hr 840* Muduocaidang Nei Monggol, China 01-02 Aug 1977 8 hr 1050* Muduocaidang Nei Monggol, China 01-02 Aug 1977 9 hr 1087 Belouve, La Réunion 28 Feb 1964 10 hr 1400* Muduocaidang Nei Monggol, China 01-02 Aug 1977 18 hr 1589 Foc-Foc, La Réunion 07-08 Jan 1966 18.5 hr 1689 Belouve, La Réunion 28-29 Feb 1964 20 hr 1697 Foc-Foc, La Réunion 07-08 Jan 1966 22 hr 1780 Foc-Foc, La Réunion 07-08 Jan 1966 24 hr 1825 Foc-Foc, La Réunion 07-08 Jan 1966 1870 Cilaos, La Réunion 15-16 Mar 1952 48 hr 2467 Aurère, La Réunion 08-10 Jan 1958 2500 Cilaos, La Réunion 15-17 Mar 1952 72 hr 3930 Cratère Commerson, La Réunion 24-26 Feb 2007
12 day 6401 Cratère Commerson, La Réunion 16-27 Jan 1980 13 day 6422 Cratère Commerson, La Réunion 15-27 Jan 1980 14 day 6432 Cratère Commerson, La Réunion 15-28 Jan 1980 15 day 6433 Cratère Commerson, La Réunion 14-28 Jan 1980 31 day 9300 Cherrapunji Assam, India 01-31 Jul 1861 2 mon 12767 Cherrapunji Assam, India Jun - Jul 1861 3 mon 16369 Cherrapunji Assam, India May - Jul 1861 4 mon 18738 Cherrapunji Assam, India Apr - Jul 1861 5 mon 20412 Cherrapunji Assam, India Apr - Aug 1861 6 mon 22454 Cherrapunji Assam, India Apr - Sep 1861 11 mon 22990 Cherrapunji Assam, India Jan - Nov 1861
Recordes mundiais de precipitação
Trabalho 2: Análise da precipitação
• Parte 1: Análise da precipitação média anual:
– Caracterização climática da bacia hidrográfica;
– Avaliação das disponibilidades de água da bacia hidrográfica.
• Parte 2: Análise de valores associados a curtas durações:
2º Trabalho - Parte 1
Conjuntos de dados da Parte 1
• Fictícios:
– 5 postos fictícios a localizar (na aula) junto à bacia;
– Séries de valores de precipitação anual disponíveis em
• http://www.civil.ist.utl.pt/jhscripts/prob2u
– Copiar os dados para o Excel;
• Reais:
Sistema Nacional de Informação sobre Recursos Hídricos
– Aceder a http://snirh.pt
– Aceder a Dados de base >> Rede Meteorológica;
– Recorrer às funções de pesquisa por bacia, concelho e
verificar coordenadas para identificar os postos mais
próximos com mais de 15 valores anuais;
Funções de MS Excel
Descritor
Inglês
Português
Média
AVERAGE
?
Variância
VAR
?
Desvio Padrão
STDEV
?
Coeficiente de assimetria
SKEW
?
• Para distribuir os valor inseridos numa unica coluna por várias
colunas usar
Data > Text to columns
;
• Para resolver problemas com os separadores decimais, investigar
Change and Replace.
Coeficiente de assimetria
SKEW
?
Triangulação de Delaunay
• Conjunto de triângulos baseados num conjunto de pontos que não
incluem qualquer ponto no interior das circunferencias que
circuncrevem cada triângulo (Boris Delaunay, 1934);
Triangulação de Delaunay: Exemplos de
ERROS
Polígonos de Thiesen
• Polígonos de Thiesen – Vão
definir a área de influência de
cada posto;
• Método:
–
Marcar os pontos médios das
arestas de cada triângulo;
arestas de cada triângulo;
–
Os lados de cada polígono cruzam
perpendicularmente os lados de
cada triangulo pelo seu ponto
médio;
Desenho das isoietas
• Isoieta – Linha de igual
precipitação
• Método:
–
Por interpolação, assinalar nas
–
Por interpolação, assinalar nas
arestas dos triângulos de
Delaunay os valores da isoietas a
desenhar;
–
Unir os pontos por rectas
(opcionalmente pode-se adoçar
as linhas tendo em conta a
Cálculo da precipitação ponderada pelo
método das isoietas
2º Trabalho - Parte 2
Curva de possibilidade udométrica
Curva IDF (Intensidade-Duração-Frequência)
• Duas visões da mesma relação:
– Curva de possibilidade udométrica;
– Curva IDF (Intensidade-Duração-Frequência).
• Variáveis em causa:
– Precipitação (acumulada ou intensidade de precipitação);
– Precipitação (acumulada ou intensidade de precipitação);
– Duração da precipitação;
– Frequência da precipitação (i.e. probabilidade de ocorrência ou
período de retorno);
• Curva de possibilidade udométrica:
Relaciona a precipitação
acumulada com a duração e com a frequencia;
Curva de possibilidade udométrica
Curva IDF (Intensidade-Duração-Frequência)
• Curva de possibilidade udomética
1
0
)
(
<
<
⋅
=
a
D
mm
b
P
b
↑
↑⇒ P
D
• Curva IDF (intensidade-duração-frequência)
Parte 2a: Dados fictícios
• Séries de valores de precipitação máxima anual
associada a diferentes durações: 3, 6, 12, 24 e 48 h.
• Ficheiro disponível em:
– http://www.civil.ist.utl.pt/jhscripts/prob3ump
• Formato do ficheiro
• Formato do ficheiro
–
Ano
3h
6h
12h
24h
48h
–
1
x
x
x
x
x
–
2
x
x
x
x
x
–
3
x
x
x
x
x
–
..
–
n
x
x
x
x
x
Valor acumulado máximo
ocorrido em 24 h consecutivas
no ano 2
Análise estatística
• Questão fundamental: Tendo em conta um registo de
observações de uma dada variável, qual é o valor dessa
variável associado a uma determinada probabilidade?
• Conceitos e simbologia:
– X – Variável aleatória;
– x – Valor assumido por uma variável aleatória;
– x – Valor assumido por uma variável aleatória;
• F(x) – Função de probablidade acumulada;
• F(x) = Prob (X ≤ x) = Prob. de a variável X ser igual ou inferior a um valor x
• x >> p=F(x) ; p: 0-1
– F
-1
(x) – Inversa da função de probabilidade acumulada;
– p >> x=F
-1
(p), p: 0-1
– f(x) – Função de densidade de probabilidade:
dx
x
dF
x
Conceito de periodo de retorno
Prob. de excedência anual, p = Prob(X>x) = 1 - F(x)
Prob. de não excedência anual, q = Prob(X<=x) = F(x) = 1-p
Período de retorno, T = 1 / p = 1 / (1- q)
Tipo de obra ou estudo
Período de
p=1- F(x)
T (anos)
0,5
2
0,1
10
0.01
100
0.001
1000
Período de retorno do caudal a considerar no dimensionamento de obras hidráulicas (Tonini, 1966)
Tipo de obra ou estudo
Período de
retorno (ano)
Drenagem de zonas urbanas
10 a 20
Obras de enxugo
20 a 50
Obras ongitudinais de defesa contra cheias em rios , consoante a importância das zonas e dos
centros urbanos existentes
20 ou 50 a 100
Obras de defesa do mar
50 a 100
Descarregadores de cheias de barragens de betão, de modesta dimensão, em zonas pouco
habitadas
100 a 250
Descarregadores de cheias de barragens de betão, de grande dimensão, em zonas muito habitadas
500 a 1000
Descarregadores de cheias de barragens de aterro, de modesta dimensão, em zonas pouco
habitadas
1000 a 5000
Algumas leis estatísticas / Funções de distribuição
aplicadas em hidrologia
Lei estatística
Função de distribuição
Domínio # params
Params
Coef.
assim.
Normal
2
µ, σ
0
Log-normal (Galton)
X > 0
2
µ, σ
+
Log-normal de 3 parâmetros
3
µ, σ, ε
+
∞
<
<
∞
−
X
ε
>
X
Log-normal de 3 parâmetros
3
µ, σ, ε
+
Gumbel (GEV tipo I)
2
α, u
1.1396
Goodrich (GEV tipo III)
3
α, k, ε
-Gener.de extremos (GEV)
3
α, k, ε
Pearson III (Gamma)
3
α, β, ε
Log Pearson III
3
α, β, ε
Algumas leis estatísticas / Funções de distribuição
aplicadas em hidrologia
Lei estatística
Função de distribuição
Exemplos de algumas aplicações mais
usuais
Normal
Precipitação anual, escoamento anual
Log-normal (Galton)
Precipitação anual, precipitação diária máxima, escoamento
anual
Log-normal de 3 parâmetros
Precipitação anual, precipitação diária máxima, escoamento
anual
Log-normal de 3 parâmetros
anual
Gumbel (GEV tipo I)
Precipitação diária, precipitação diária máxima anual,
escoamento diário
Weibull (GEV tipo III)
Escoamento diário mínimo
Goodrich (GEV tipo III)
Caudal máximo
Gener.de extremos (GEV)
Escoamento diário máximo anual, caudal máximo
Pearson III
Precipitação diária máxima
Normal
• Domínio:
• Parâmetros:
– Localização:
– Escala:
∞
<
<
∞
−
X
σ
µ
−
−
=
2
2
2
1
exp
2
1
)
(
σ
µ
πσ
x
x
f
– Escala:
• Coeficiente de assimetria: 0
• Estimadores:
• Função inversa:
n
X
X
n i i X∑
==
=
1ˆ
µ
σ
(
)
1
ˆ
1
2
2
−
−
=
=
=
∑
=
n
X
X
S
S
n
i
i
X
X
X
σ
p
X
z
S
X
X
=
+
⋅
Log-normal
• Domínio:
• Parâmetros:
– Localização:
– Escala:
0
>
X
( )
(
exp
21
)
2 2=
µ
σ
−
σ
+
=
2
exp
2 Y Y Xσ
µ
µ
−
−
=
2
2
ln
2
1
exp
2
1
)
(
Y
Y
x
x
f
σ
µ
πσ
X
Y
=
ln
– Escala:
• Coeficiente de assimetria:
• Estimadores:
• Função inversa:
n
X
X
n i i X∑
==
=
1ˆ
µ
( )
(
exp
−
1
)
=
Y Xµ
Xσ
σ
(
)
1
ˆ
1
2
2
−
−
=
=
=
∑
=
n
X
X
S
S
n
i
i
X
X
X
σ
(
Y
p
)
p
Y
S
z
X
= exp
+
⋅
( )
p
Inversa
Normal
duzi
da
Goodrich (EV tipo III)
• Se X ~ Goodrich >> -X~Weibull
• Domínio:
• Parâmetros:
– Localização: Escala: Forma:
ε
α
−
−
−
=
κ
α
ε
x
x
F
(
)
1
exp
0
,
;
>
+
>
α
κ
κ
α
ε
X
κ
−
−
−
=
−
κ
α
ε
α
ε
α
κ
x
x
x
f
k
exp
)
(
1
– Localização: Escala: Forma:
• Coeficiente de assimetria:
• Estimadores:
(
1
ˆ
1
)
ˆ
ˆ
=
=
−
α
⋅
Γ
κ
+
ε
u
X
α
ε
(
)
[
]
κ
α
ˆ
⋅
−
−
1
+
=
κ
goalseek
N
~
ˆ
1
=
κ
(
) (
)
12 2 21
ˆ
1
1
ˆ
2
ˆ
1
Γ
+
−
Γ
+
=
=
XS
A
Nκ
κ
α
)
( x
GEV - Generalizada de extremos
• Domínio:
• Parâmetros:
Localização: Escala: Forma:
• Estimadores
α
(
)
−
−
−
=
κ
α
ε
κ
1
1
exp
)
(
x
x
F
+∞
<
<
+
X
k
α
ε
κ
ε
(
)
( )
k
ˆ
2
1
(
0
)
ˆ
=
β
−
β
α
k
X
k
III
GEV
Weibull
k
X
k
II
GEV
Frechet
X
k
I
GEV
Gumbel
α
ε
α
ε
+
<
>
+
>
<
+∞
<
<
∞
−
=
0
)
_
(
0
)
_
(
0
)
_
(
( )
[
]
ˆ
α
• Função inversa:
( )
[
]
(
κ
)
κ
α
ˆ
ln
1
ˆ
ˆ
p
u
x
p
=
+
⋅
−
−
2
9554
.
2
8590
.
7
ˆ
c
c
k
=
+
( )
(
k
)
k
ˆ
0
1
2
1
ˆ
1
ˆ
−
−
⋅
+
Γ
=
α
( )
( )
3
ln
2
ln
3
2
0
2
0
1
−
−
−
=
β
β
β
β
c
( )
∑
− =
+
−
+
=
n r j j rr
n
X
r
j
n
r
11
1
1
ˆ
β
)
( x
Γ
- Função Gama (não confundir com fdp Gama)
Função Gama e
Função de distribuição da probabilidade Gama
Função
Expressão
Função Excel
Função Gama
EXP(GAMMALN(x))
Função de distribuição da
probabilidade Gama
GAMMADIST(x,α,β,0)
( )
x
=
e
u⋅
u
x⋅
du
Γ
∞ − −∫
1 0( )
α ββ
α
xe
x
x
f
− −=
1
1)
,
,
(
probabilidade Gama
GAMMADIST(x,α,β,0)
Função de distribuição da
probabilidade acumulada Gama
GAMMADIST(x,α,β,1)
Inversa da função de
distribuição da probabilidade
acumulada Gama
GAMMAINV(p,α,β)
Distribuição de probabilidade
Gama reduzida (padronizada)
(cum = 0 dens.; cum = 1 – acum.).
Relações entre funções de distribuição
Função geral
Função particular
Condição
Log-normal 3 param
Log-normal
GEV
Gumbel (EV tipo I)
GEV
Weibull (EV tipo III)
Pearson3
Gama
Pearson3
Normal
0
=
ε
0
=
κ
0
;
0
=
>
ε
β
0
;
→
∞
→
γ
α
0
>
κ
Pearson3
Normal
fdp de Y
fdp de X
Relação
Log-normal
Normal
Y = ln(X)
Log Pearson3
Pearson3
Y = ln(X)
Weibull
Goodrich
Y=-X
0
;
→
∞
Cálculo dos valores da função de distribuição
• x(i) – Valores de precipitação ordenados por ordem crescente;
• F(x): Probabilidade de não excedência de acordo com Weibull.
F(x)
Z
Ano
P (mm)
Y = Ln P
Ordem
P (mm)
i/(n+1)
Norm.Red.
Normal
LNorm
Gumbel
Pearson III
1
x1
y1
1
x(1)
1/(n+1)
z1
x
x
x
x
2
x2
y2
2
x(2)
2/(n+1)
z2
x
x
x
x
3
x3
y3
3
x(3)
3/(n+1)
z3
x
x
x
x
…
…
…
..
…
…
..
…
…
…
…
n
xn
yn
n
x(n)
n/(n+1)
zn
x
x
x
x
X (mm)
Apresentação dos valores em quadro
Normal
Log-Normal
Gumbel
Pearson III
10
x
x
x
x
100
x
x
x
x
1000
x
x
x
x
Normal
Log-Normal
Gumbel
Pearson III
Precipitação máxima anual com duração de 3 h (mm)
T (anos)
T (anos)
Precipitação máxima anual com duração de 6 horas (mm)
Normal
Log-Normal
Gumbel
Pearson III
10
x
x
x
x
100
x
x
x
x
1000
x
x
x
x
---Normal
Log-Normal
Gumbel
Pearson III
10
x
x
x
x
100
x
x
x
x
1000
x
x
x
x
T (anos)
Precipitação máxima anual com duração de 48 horas (mm)
Linha de possibilidade udométrica
T(anos)
1000
fdp
Par1 Par2 Par3
F(x)
D (h)
P(mm)
“Grafico duplamente logaritmico”
• Distinguir:
– Gráfico de X vs Y com os dois eixos em escala logaritmica;
– Gráfico de Log10(X) vs Log10(Y) com os eixos em escala linear.
•
Nota: Quando se pede a trendline, o MSExcel utiliza os dados originais do
gráfico, mesmo que as escalas estejam definidas como logaritmicas.
3.00 1000
