Um ´ Indice de Somabilidade para Pares de Espa¸ cos de Banach

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Um ´ Indice de Somabilidade para Pares de Espa¸ cos de Banach

Lucas de Carvalho Nascimento

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2017

Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica

Mestrado em Matem´ atica

Um ´ Indice de Somabilidade para Pares de Espa¸ cos de Banach

por

Lucas de Carvalho Nascimento

sob a orienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Jamilson Ramos Campos

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2017

Banach / Lucas de Carvalho Nascimento.- Jo˜ao Pessoa, 2017.

85 f.

Orientador: Jamilson Ramos Campos.

Disserta¸c˜ao (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1.Matem´atica. 2.Polinˆomios absolutamente somantes 3.Operadores multilineares absolutamente somantes.

4.Espa¸co de Banach. 5.´Indice de somabilidade. I. T´ıtulo.

UFPB/BC CDU: 51(043)

Agradecimentos

Primeiramente, agrade¸co a Deus, fonte de toda a sabedoria, por todas as ben¸c˜ aos derramadas sobre mim.

A minha fam´ılia, em especial, a minha m˜ ` ae, Verˆ onica Maria de Carvalho Nasci- mento; ao meu pai, Luciano Ferreira do Nascimento; a minha tia, Raimunda Cristina de Carvalho e a minha irm˜ a, Vanessa de Carvalho Nascimento; pelo incetivo, zelo, con- fian¸ca, dedica¸c˜ ao e pelo o apoio em todas as minhas decis˜ oes. Est´ a conquista tamb´ em

´ e de vocˆ es.

A minha namorada Vanicleise dos Santos Silva, pelo companheirismo, paciˆ ` encia e constante apoio. Sem d´ uvida, seu carinho incondicional foi muito importante para eu conseguir superar todas minhas dificuldades.

Ao meu orientador Jamilson Ramos Campos, por toda disponibilidade, paciˆ encia e boa vontade em tirar minhas d´ uvidas sempre que precisei; sendo desta forma um dos grandes respons´ aveis por esta conquista.

Aos professores da UPE, institui¸c˜ ao onde tive o prazer de fazer a licenciatura em matem´ atica. Especialmente a Esdras Jafet, a Ernani Martins, a Gutemberg Alves e a Islanita Cec´ılia, com os quais tive o prazer de compartilhar v´ arios momentos agrad´ aveis.

Aos professores da p´ os-gradua¸c˜ ao. Especialmente a Jamilson Ramos Campos, a Adriano Alves de Medeiros, a Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque, a Napoleon Caro Tuesta, a Antˆ onio de Andrade e Silva e a Manass´ es Xavier de Souza que muito con- tribu´ıram para a minha forma¸c˜ ao no mestrado.

Aos professores Gustavo da Silva e Joedson Santos, membros da Banca Examina- dora, por aceitarem nosso convite e por suas valorosas contribui¸c˜ oes ao trabalho.

Aos meus amigos e colegas da gradua¸c˜ ao e da p´ os-gradua¸c˜ ao. Em especial, a Ricardo Dias, pelos in´ umeros dias de estudos e pela convivˆ encia, a Adailton Souza, por todos momentos agrad´ aveis de estudo, a Eriverton Jos´ e, por todos os conselhos, incentivos e ajuda, e a Djair Paulino, por toda ajuda que me deu desde o ver˜ ao em Algebra Linear. ´

A todos os meus amigos que de forma direta ou indireta me ajudaram para a realiza¸c˜ ao deste trabalho. Em especial, a Salatiel Dias pelos incentivos, conselhos e por toda ajuda que me deu, em particular, a minha vinda a Jo˜ ao Pessoa.

Aos meus amigos e colegas da SOCONTEL, por me apoiarem e pelos incentivos

para buscar aquilo que almejo. Em especial, agrade¸co a Alberto guerra e a Bil Mendes

Resumo

Neste trabalho, estudamos a no¸c˜ ao de ´ındice de somabilidade para pares de espa¸cos de Banach. Esse ´ındice desempenha o papel de um tipo de “medida” de como o espa¸co dos polinˆ omios m-homogˆ eneos de E em F (ou o espa¸co dos operadores multilineares de E

× · · · × E

em F ) est´ a longe de coincidir com o espa¸co dos polinˆ omios m- homogˆ eneos absolutamente somantes (ou com o espa¸co dos operadores multilineares m´ ultiplo somantes). Em alguns casos o ´ındice ´ otimo de somabilidade ´ e apresentado.

Palavras-chave: Polinˆ omios absolutamente somantes, operadores multilineares abso-

lutamente somantes, espa¸cos de Banach, ´ındice de somabilidade.

In this work, we study the notion of index of summability for pairs of Banach spaces.

This index plays the role of a kind of “measure” of how the space of m-homogeneous polynomials from E to F (or the space of multilinear operators of E

× · · · × E

to F ) are far from being the space of absolutely summing m-homogeneous polynomials (or with the space of multiple summing multilinear operators). In some cases the optimal index of summability is presented.

Keywords: Absolutely summing polynomials, absolutely summing multilinear opera-

tors, Banach spaces, index of summability.

Sum´ ario

Introdu¸ c˜ ao xiv

1 Preliminares 1

1.1 Resultados Cl´ assicos de An´ alise Funcional . . . . 1

1.2 S´ eries em Espa¸cos de Banach . . . . 9

1.3 Espa¸cos de Sequˆ encias a Valores Vetoriais . . . . 12

1.4 Cotipo e Fatora¸c˜ ao Formal . . . . 20

2 O ideal dos Operadores Absolutamente Somantes 23 2.1 Operadores Multilineares . . . . 23

2.2 Polinˆ omios Homogˆ eneos . . . . 29

2.3 Ideais de Operadores Multilineares . . . . 33

2.4 Ideais de Polinˆ omios . . . . 37

2.5 Operadores Absolutamente Somantes . . . . 40

3 Um ´ Indice de Somabilidade para Pares de Espa¸ cos de Banach 51 3.1 Preliminares . . . . 51

3.2 O ´Indice de Somabilidade . . . . 53

3.2.1 Estimativas Superiores . . . . 54

3.2.2 Estimativas Inferiores . . . . 61

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 70

A seguir, listamos algumas nota¸c˜ oes utilizadas neste trabalho.

• N denota o conjunto {1, 2, 3, . . .};

• N

denota o conjunto {0, 1, 2, . . . , n};

• R denota o conjunto dos n´ umeros reais;

• C denota o conjunto dos n´ umeros complexos;

• K denota o corpo R ou C ;

• E, F, G, H, E

, G

denotam espa¸cos vetoriais ou espa¸cos normados ou espa¸cos de Banach sobre o corpo K ;

• BAN denota a classe de todos os espa¸cos de Banach;

• L(E; F ) denota o espa¸co de todos os operadores lineares e cont´ınuos de E em F ;

• B

denota a bola unit´ aria fechada no espa¸co E;

• E

denota o dual topol´ ogico do espa¸co E ;

• e

denota a sequˆ encia escalar (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) cujos termos s˜ ao todos nulos com exce¸c˜ ao do n-´ esimo;

• id

denota o operador identidade em E;

• span {x

, . . . , x

} denota o espa¸co vetorial gerado pelos vetores x

, . . . , x

;

• p

denota o conjugado de p, isto ´ e, 1 = 1/p + 1/p

;

• C(K) denota o espa¸co de Banach formado por todas as fun¸c˜ oes f : K −→ R cont´ınuas, onde K ´ e um espa¸co de Hausdorff compacto;

• J

denota o mergulho canˆ onico de E em E

;

• E , →

F denota E ⊆ F com kxk

≤ kxk

para todo x ∈ E;

• L(E

, . . . , E

; F ) denota o espa¸co de todos os operadores multilineares cont´ınuos de E

× · · · × E

em F ;

• P(

E; F ) denota o espa¸co de todos os polinˆ omios m-homogˆ eneos cont´ınuos de E em F ;

• X ou X(·) denota uma classe de sequˆ encias;

• Q

(p,q)

denota a classe dos operadores multilineares absolutamente (p, q)-somantes;

• P

denota a classe dos polinˆ omios homogˆ eneos absolutamente (p, q)-somantes;

• Q

(p,q)

denota a classe dos operadores m´ ultiplo (p, q)-somantes;

Em 1950, A. Dvoretzky e C. A. Rogers [12] apresentaram uma solu¸c˜ ao para o seguinte problema: existe em qualquer espa¸co de Banach de dimens˜ ao infinita um s´ erie incondicionalmente convergente que n˜ ao ´ e absolutamente convergente? Tal problema foi proposto por S. Banach em [11]. A resposta afirmativa, conhecida atualmente como Teorema de Dvoretzky-Rogers, s´ o veio d´ ecadas depois com o c´ elebre trabalho [12].

Este fato despertou o interesse de A. Grothendieck que mediante dois trabalhos importantes, [20] e [21], apresenta uma demonstra¸c˜ ao diferente para o Teorema de Dvoretzky-Rogers e introduz o que hoje ´ e visto como a base da teoria dos operadores absolutamente somantes. Por´ em, somente na d´ ecada de 60, com os trabalhos de A.

Pietsch [14], J. Lindenstrauss e A. Pelczy´ nski [16] e B. Mitjagin e A. Pelczy´ nski [15], as ideias de Grothendieck come¸caram a ser melhor compreendidas e reescritas de forma mais acess´ıvel.

Os dois trabalhos de A. Grothendieck citados acima s˜ ao considerados o ponto de partida da teoria de ideais de operadores. No livro [18], A. Pietsch sistematiza a teoria de ideais de operadores lineares, no qual exibe o conceito, desenvolve a teoria geral, investiga alguns casos particulares e exibe v´ arias aplica¸c˜ oes. Posteriormente, o pr´ oprio A. Pietsch, em seu artigo [19], apresenta o conceito de ideal para operadores m-lineares, tamb´ em conhecido como multi-ideal, cuja adapta¸c˜ ao para polinˆ omios ´ e imediata (veja [8, 13, 17]).

Em 2003, D. P´ erez-Garc´ıa [24] e M. C. Matos [25], de maneira independente, de- finem os operadores m´ ultiplo somantes, que constituem uma classe que mant´ em, sob certo sentido, a essˆ encia da teoria linear. Desde ent˜ ao, os operadores m´ ultiplo somantes tem sido estudado por diversos autores (veja [26, 27]).

Neste trabalho estudamos a no¸c˜ ao de ´ındice de somabilidade para pares de espa¸cos de Banach. Esse ´ındice desempenha o papel de uma esp´ ecie de “medida” que estima a qual distˆ ancia o espa¸co L(E

, . . . , E

; F ) (respectivamente P (

E; F )) est´ a de coincidir com o espa¸co Q

(p,q)

(E

, . . . , E

; F ) (respectivamente P

(

E ; F )).

Para isso, dividimos nosso trabalho em trˆ es cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo intro-

duzimos algumas defini¸c˜ oes, nota¸c˜ oes e resultados da teoria b´ asica da an´ alise funcional

No segundo cap´ıtulo, estudamos os ideais de operadores multilineares, os ideais de polinˆ omios e os conceitos relativos a estes, alguns resultados b´ asicos e uma ca- racteriza¸c˜ ao dos operadores multilineares absolutamente somantes, bem como dos po- linˆ omios absolutamente somantes. Para obter certas caracteriza¸c˜ oes fazemos uso do ambiente abstrato criado por G. Botelho e J. R. Campos em [22]. Al´ em disso, mos- traremos que a classe Q

(p;q)

dos operadores multilineares absolutamente somantes ´ e um ideal de Banach, bem como que a classe P

dos polinˆ omios homogˆ eneos ab- solutamente somantes ´ e um ideal de Banach de polinˆ omios. Para isso, faremos uso novamente do mesmo ambiente abstrato j´ a citado. Por fim, apresentamos o conceito e alguns resultados importantes sobre a classe dos operadores m´ ultiplo somantes.

No terceiro cap´ıtulo, estudamos a no¸c˜ ao do ´ındice de somabilidade para pares de espa¸cos de Banach. Este tipo de ´ındice foi recentemente proposto no artigo [28] por M. Maia, D. Pellegrino e J. Santos tendo por base a tese de doutorado do primeiro.

Veremos que sempre existe estimativas superiores pare este ´ındice. Terminamos nosso trabalho, apresentado estimativas inferiores, em alguns casos, para o ´ındice de soma- bilidade entre os espa¸cos P (

E; F ) e P

(

E; F ). A principal referˆ encia para este

´

ultimo cap´ıtulo ´ e, obviamente, o trabalho [28] mas tamb´ em foi consultado o trabalho

de tese [9].

Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduzimos algumas defini¸c˜ oes, nota¸c˜ oes e resultados que ser˜ ao necess´ arios para o desenvolvimento deste trabalho. Para a primeira se¸c˜ ao, temos como objetivo apresentar alguns resultados cl´ assicos de An´ alise Funcional; na segunda se¸c˜ ao, apresentamos alguns resultados envolvendo s´ eries em espa¸cos de Banach; na terceira, apresentamos alguns espa¸cos de sequˆ encias a valores vetoriais e na quarta se¸c˜ ao, apre- sentamos os conceitos de cotipo e o de fatora¸c˜ ao formal. As principais referˆ encias para a elabora¸c˜ ao deste cap´ıtulo foram [2, 4, 8]. Alguns dos resultados aqui citados encontram-se, pelo car´ ater breve do texto, n˜ ao demonstrados. Para estes, buscamos citar as devidas referˆ encias para as respectivas demonstra¸c˜ oes.

1.1 Resultados Cl´ assicos de An´ alise Funcional

Durante todo este texto, K denotar´ a o corpo R dos n´ umeros reais ou o corpo C dos n´ umeros complexos e os espa¸cos vetoriais sempre ser˜ ao considerados sobre K = R ou C . Come¸camos esta se¸c˜ ao relembrando a defini¸c˜ ao de norma.

Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma norma em um espa¸co vetorial E ´ e uma aplica¸c˜ ao k · k

: E −→ R que satisfaz:

N1) kxk

≥ 0 para todo x ∈ E e kxk

= 0 se, e somente se, x = 0, N2) kλxk

= |λ| · kxk

, para todo x ∈ E e qualquer λ ∈ K ,

N3) kx + yk

≤ kxk

+ kyk

, para todos x, y ∈ E.

Neste caso, o par (E, k·k

) ´ e chamado de espa¸ co vetorial normado, ou simplesmente

espa¸ co normado. Quando n˜ ao houver perigo de ambiguidade, escreveremos k·k ao inv´ es

de k·k

. Por sua vez, um espa¸co normado ´ e um espa¸co m´ etrico com a m´ etrica induzida pela norma, ou seja, a m´ etrica d : E × E −→ R dada por

d(x, y) = kx − yk com x, y ∈ E.

Como espa¸cos m´ etricos s˜ ao espa¸cos de Hausdorff, com maior raz˜ ao espa¸cos nor- mados tamb´ em o s˜ ao e, consequentemente, satisfazem propriedades importantes que usaremos de forma direta ao longo do texto. Para maiores detalhes sobre os espa¸cos de Hausdorff veja [3, Cap´ıtulo 3].

Dizemos que um espa¸co normado E ´ e um espa¸ co de Banach ou um espa¸ co completo quando E for completo na m´ etrica induzida pela norma, e denotamos por BAN a classe de todos os espa¸cos de Banach. O resultado abaixo destaca a importˆ ancia dos subespa¸cos fechados de um espa¸co de Banach, no qual sua demonstra¸c˜ ao pode ser encontrada em [2, Proposi¸c˜ ao 1.1.1].

Proposi¸ c˜ ao 1.1. Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co de E. Ent˜ ao F ´ e um espa¸co de Banach se, e somente se, F ´ e fechado em E.

Sejam E e F espa¸cos normados, ambos sobre o mesmo corpo K . Um operador T : E −→ F ´ e dito linear se T (x + λy) = T (x) + λT (y) para todos x, y ∈ E e todo λ ∈ K . Quando para qualquer x

∈ E e ε > 0 existe δ > 0 tal que

kT (x) − T (x

)k < ε sempre que x ∈ E e kx − x

k < δ,

ent˜ ao T ´ e, por defini¸c˜ ao, um operador cont´ınuo. N˜ ao faremos distin¸c˜ ao entre os termos

“aplica¸c˜ ao”, “fun¸c˜ ao” ou “operador”.

O conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos de E em F ser´ a denotado por L(E, F ), o qual ´ e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜ oes usuais de fun¸c˜ oes. Quando F = K , denotamos L(E, K ) = E

e chamamos esse espa¸co de dual topol´ ogico de E, ou simplesmente dual de E, e seus elementos s˜ ao chamados de funcionais lineares.

Dizemos que os espa¸cos normados E e F s˜ ao topologicamente isomorfos, ou sim- plesmente isomorfos, se existir um operador linear cont´ınuo bijetor T : E −→ F cujo operador inverso T

: F −→ E, que ´ e sempre linear, tamb´ em ´ e continuo. Neste caso, dizemos que T ´ e um isomorfismo. Por fim, dizemos que um operador linear T : E −→ F ´ e uma isometria linear se kT (x)k = kxk para todo x ∈ E; caso T seja sobrejetor dizemos que T ´ e um isomorfismo isom´ etrico.

O pr´ oximo resultado nos diz que podemos substituir a defini¸c˜ ao de operador linear

cont´ınuo por umas das equivalˆ encias abaixo. Usaremos B

para denotar a bola unit´ aria

fechada no espa¸co normado E, mais explicitamente B := {x ∈ E : kxk ≤ 1}.

Teorema 1.2. Seja T : E −→ F um operador linear entre espa¸ cos normados. Ent˜ ao as seguintes condi¸ c˜ oes s˜ ao equivalentes:

(a) T ´ e lipschitziano.

(b) T ´ e uniformemente cont´ınuo.

(c) T ´ e cont´ınuo.

(d) T ´ e cont´ınuo em algum ponto de E.

(e) T ´ e cont´ınuo na origem.

(f ) sup {kT (x)k : x ∈ E e kxk ≤ 1} = sup

x∈BE

kT (x)k < ∞.

(g) Existe uma constante C ≥ 0 tal que kT (x)k ≤ C kxk para todo x ∈ E Demonstra¸ c˜ ao. Veja [2, Teorema 2.1.1.]

A express˜ ao kT k = sup

x∈B_E

kT (x)k define uma norma no espa¸co L(E, F ) e n˜ ao ´ e dif´ıcil verificar que kT (x)k ≤ kT k kxk para todos T ∈ L(E, F ) e x ∈ E. Mais ainda, se F ∈ BAN , ent˜ ao (L(E, F ) , k·k) ´ e um espa¸co de Banach (ver [2, Proposi¸c˜ ao 2.1.4.]).

Em particular, E

´ e sempre um espa¸co de Banach, uma vez que K ∈ BAN . Al´ em disso, Se T ∈ L(E; F ) e R ∈ L(F ; G), onde E , F e G s˜ ao espa¸cos normados, ent˜ ao R ◦ T ∈ L(E, G) e kR ◦ T k ≤ kRk kT k .

Exibiremos agora uma lista de alguns, j´ a bem conhecidos, espa¸cos formados por sequˆ encias de escalares, os quais ser˜ ao generalizados mais adiante. Por c

denotamos o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias de escalares que convergem para zero, ou seja,

c

= {(a

)

: a

∈ K para todo n ∈ N e a

→ 0} .

Este ´ e um espa¸co de Banach com a norma k(a

)

k

= sup {|a

| : n ∈ N } . Denotamos agora por c

o subespa¸co de c

formado pelas sequˆ encias eventualmente nulas, isto ´ e,

c

= {(x

)

∈ c

: existe n

∈ N tal que a

= 0 para todo k ≥ n

} e este ´ e um espa¸co normado incompleto com a norma induzida de c

.

Seja 1 ≤ p < ∞. O espa¸co vetorial das sequˆ encias absolutamente p-som´ aveis ´ e dada por

`

= (

(a

)

: a

∈ K para todo n ∈ N e

∞

X

n=1

|a

|

< ∞ )

,

O espa¸co `

´ e um espa¸co de Banach com a norma

k(a

)

k

=

∞

X

n=1

|a

|

!

.

O espa¸co vetorial das sequˆ encias limitadas ´ e dada por

`

=

(a

)

: a

∈ K para todo n ∈ N e sup

n

|a

| < ∞

e tamb´ em ´ e um espa¸co de Banach com a norma k(a

)

k

= sup

n

|a

|.

Ao longo do texto denotamos por (e

)

a sequˆ encia de vetores canˆ onicos do espa¸co de sequˆ encias escalares K

, com e

= (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) ∈ c

, onde o 1 aparece na n-´ esima coordenada.

Enunciaremos agora os principais resultados desta se¸c˜ ao, a saber, o Teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplica¸c˜ ao Aberta, o Teorema do Gr´ afico Fechado e o Teorema de Hahn-Banach. Entretanto, apenas demonstraremos o Teorema do Gr´ afico Fechado e alguns corol´ arios do Teorema de Hahn-Banach, por se tratarem, dentre estes citados acima, dos resultados mais utilizados neste trabalho.

Um grande n´ umero de resultados em an´ alise est´ a associada a algum tipo de con- trole uniforme a partir de hip´ oteses pontuais. Como por exemplo, o fato de que fun¸c˜ oes cont´ınuas definidas em conjuntos compactos s˜ ao uniformemente cont´ınuas. O pr´ oximo resultado trabalha com tal indaga¸c˜ ao, para uma fam´ılia de operadores lineares cont´ınuos.

Teorema 1.3 (Banach-Steinhaus). Sejam E um espa¸ co de Banach e F um espa¸ co normado. Ent˜ ao qualquer fam´ılia {T

}

de operadores em L(E, F ) que ´ e pontualmente limitada, ser´ a uniformemente limitada; ou seja, se para cada x ∈ E existe 0 < C

< ∞ tal que

sup

i∈I

kT

(x)k < C

, ent˜ ao sup

i∈I

kT

k < ∞.

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [2, Teorema 2.3.2.]

Recordemos que uma aplica¸c˜ ao entre espa¸cos topol´ ogicos ´ e dita aberta se a ima-

gem de todo subconjunto aberto no dom´ınio for tamb´ em um subconjunto aberto no

contradom´ınio. Al´ em disso, nem toda aplica¸c˜ ao cont´ınua invert´ıvel ´ e aberta. A seguir

Exemplo 1.1. O operador linear e bijetor T : c

−→ c

dado por T ((a

)

) = a

,

,

, . . .

´ e cont´ınuo, pois kT ((a

)

)k

=

a

, a

2 , a

3 , . . .

= sup

n∈N

a

n ≤ sup

n∈N

|a

| = k(a

)

k

. Todavia, o operador inverso T

dado por T

((a

)

) = (a

, 2a

, 3a

, . . .) n˜ ao ´ e cont´ınuo. De fato, suponhamos que T

seja cont´ınuo. Neste caso, existe C > 0 tal que kT

((a

)

)k

≤ C k(a

)

k

para todo (a

)

∈ c

. Para cada n ∈ N , tomando e

= (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) ∈ c

, tem-se

n = k(0, . . . , 0, n, 0, 0, . . .)k

=

T

(e

)

≤ C ke

k

= C para todo n ∈ N , e isso configura uma contradi¸c˜ ao, logo T

n˜ ao ´ e cont´ınuo.

O pr´ oximo resultado estabelece condi¸c˜ oes suficientes para que uma aplica¸c˜ ao linear cont´ınua e invert´ıvel entre espa¸cos de Banach tenha inversa cont´ınua, ou seja, que essa aplica¸c˜ ao seja aberta. Sua demonstra¸c˜ ao pode ser encontrada em [2, Teorema 2.4.2.].

Teorema 1.4 (da Aplica¸c˜ ao Aberta). Sejam E e F espa¸ cos de Banach e T : E −→ F linear, cont´ınuo e sobrejetor. Ent˜ ao T ´ e uma aplica¸ c˜ ao aberta. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸ cos de Banach ´ e um isomorfismo.

Sejam E, F espa¸cos normados e T : E −→ F um operador linear. O gr´ afico de T ´ e definido como o conjunto

Graf(T ) = {(x, T (x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.

A linearidade de T garante que Graf(T ) ´ e um subespa¸co vetorial de E × F. Al´ em disso, a fun¸c˜ ao k(·, ·)k

:= k·k

+ k·k

define uma norma em Graf(T ). Vejamos que o gr´ afico de um operador linear T entre espa¸cos de Banach est´ a inteiramente relacionada com a continuidade de T .

Teorema 1.5 (do Gr´ afico Fechado). Sejam E, F espa¸ cos de Banach e T : E −→ F um operador linear. Ent˜ ao T ´ e cont´ınuo se, e somente se, Graf(T ) ´ e fechado em E × F . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que T seja cont´ınuo. Sejam x

→ x em E e T (x

) → y em F. Como x ∈ E e T ´ e cont´ınuo temos que T (x

) → T (x) = y; logo Graf(T ) ´ e fechado em E × F .

Reciprocamente, suponhamos que Graf(T ) seja fechado em E × F . Como E × F ´ e

um espa¸co de Banach com a norma k·k

, uma vez que E e F s˜ ao espa¸cos de Banach,

temos que Graf(T ) tamb´ em ´ e um espa¸co de Banach com a norma k·k

. A aplica¸c˜ ao π : Graf (T ) −→ E , π (x, T (x)) = x,

claramente est´ a bem definida, ´ e linear e bijetora. Al´ em disso, π ´ e cont´ınua pois kπ (x, T (x))k = kxk ≤ kxk + kT (x)k = k(x, T (x))k

.

Do Teorema da Aplica¸c˜ ao Aberta temos que π ´ e um isomorfismo, logo π

´ e linear, cont´ınua e bijetora. Assim, existe C > 0 tal que kπ

(x)k

= k(x, T (x))k

≤ C kxk, para todo x ∈ E. Desta forma, temos

kT (x)k ≤ kT (x)k + kxk = k(x, T (x))k

≤ C kxk , para todo x ∈ E.

Portanto, pelo Teorema 1.2 temos que T ´ e um operador cont´ınuo.

O pr´ oximo resultado, conhecido como Teorema de Hahn-Banach, lida com extens˜ oes de funcionais lineares definidos em subespa¸cos a todo espa¸co vetorial. A vers˜ ao desse teorema, enunciada a seguir, ´ e v´ alida para espa¸cos vetoriais sobre K = R ou C .

Teorema 1.6 (Hahn-Banach). Sejam E um espa¸ co vetorial e p : E −→ R uma fun¸ c˜ ao que satisfaz

p(λx) = |λ|p(x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E e p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.

Se G ⊆ E ´ e um subespa¸ co vetorial e ϕ : G −→ K ´ e um funcional linear tal que

|ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ G, ent˜ ao existe um funcional linear ϕ e : E −→ K que estende ϕ a E e que satisfaz | ϕ(x)| ≤ e p(x) para todo x ∈ E.

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [2, Teorema 3.1.2.]

Apresentamos a seguir trˆ es corol´ arios importantes do teorema acima. Mesmo sendo corol´ arios, estes resultados tamb´ em s˜ ao conhecidos como Teoremas de Hahn-Banach e, juntamente com o teorema, ser˜ ao usados indistintamente ao longo do texto.

Corol´ ario 1.7. Sejam G um subespa¸co de um espa¸co normado E e ϕ: G −→ K um funcional linear cont´ınuo. Ent˜ ao existe um funcional linear cont´ınuo ϕ: e E −→ K cuja a restri¸c˜ ao a G coincide com ϕ e k ϕk e = kϕk.

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos a fun¸c˜ ao p : E −→ R dada por p(x) = kϕk · kxk. Note

que, |ϕ(x)| ≤ kϕk · kxk = p(x), para todo x ∈ G, e que para todo λ ∈ K e quaisquer

x, y ∈ E, temos

p(λx) = kϕk · kλxk = |λ| · kϕk · kxk = |λ| · p(x) e

p(x + y) = kϕk · kx + yk ≤ kϕk (kxk + kyk) = kϕk · kxk + kϕk · kyk = p(x) + p(y).

Assim, pelo Teorema de Hahn-Banach, existe um funcional linear ϕ: e E −→ K cuja restri¸c˜ ao a G coincide com ϕ e que satisfaz | ϕ(x)| ≤ e p(x) = kϕk · kxk para todo x ∈ E.

Logo, ϕ e ´ e cont´ınuo e k ϕk ≤ kϕk. Por outro lado, e kϕk = sup

x∈B_G

|ϕ(x)| = sup

x∈B_G

| ϕ(x)| ≤ e sup

x∈B_E

| ϕ(x)| e = k ϕk e . Portanto, k ϕk e = kϕk.

Corol´ ario 1.8. Seja E um espa¸co normado. Para todo x

∈ E, x

6= 0, existe ϕ ∈ E

tal que kϕk = 1 e ϕ(x

) = kx

k.

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos G = span {x

} e o funcional linear cont´ınuo ϕ: G −→

K dado por ϕ(λx

) = λ kx

k. Ent˜ ao, pelo Corol´ ario 1.7 existe um funcional linear cont´ınuo ϕ e : E −→ K cuja a restri¸c˜ ao a G coincide com ϕ e k ϕk e = kϕk . Portanto, ϕ(x e

) = ϕ(x

) = kx

k e

k ϕk e = kϕk = sup

λx0∈B_G

|ϕ(λx

)| = sup

λx0∈B_G

|λ| · kx

k = sup

λx0∈B_G

kλx

k = 1.

Corol´ ario 1.9. Sejam E um espa¸co normado, E 6= {0} e x ∈ E. Ent˜ ao kxk = sup

ϕ∈B_E0

|ϕ(x)| = max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E

e kϕk = 1} .

Demonstra¸ c˜ ao. Se x = 0 o resultado ´ e claro. Suponhamos que x 6= 0; pelo Corol´ ario 1.8 existe ψ ∈ E

tal que kψk = 1 e ψ(x) = kxk. Logo,

kxk = ψ(x) ≤ sup

ϕ∈B_E0

|ϕ(x)| ≤ sup

ϕ∈B_E0

kϕk · kxk = kxk .

Dessa forma, temos a primeira igualdade. O funcional ψ garante a segunda igualdade, pois kxk = ψ(x), isto ´ e, o sup ´ e atingido em ψ.

Vejamos agora que ´ e poss´ıvel descrever todos os funcionais lineares cont´ınuos do

espa¸co (`

)

com 1 ≤ p < ∞ por sequˆ encias de escalares que pertencem a `

. Por

p

denotamos o (´ unico) n´ umero maior que 1 tal que

+

= 1. Dizemos que p

´ e o

conjugado de p e vice-versa.

Proposi¸ c˜ ao 1.10. Dado 1 ≤ p < ∞. Os espa¸cos `

e (`

)

s˜ ao isomorfos isometrica- mente por meio da rela¸c˜ ao de dualidade

b = (b

)

∈ `

7→ ϕ

∈ (`

)

, ϕ

((a

)

) =

∞

X

j=1

a

b

para toda (a

)

∈ `

.

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [2, Proposi¸c˜ ao 4.2.1.].

Para finalizar esta se¸c˜ ao vamos definir espa¸co de Hilbert. Para isso, come¸caremos definindo produto interno.

Defini¸ c˜ ao 1.2. Seja E um espa¸co vetorial sobre o corpo K = R ou C . Um produto interno em E ´ e uma aplica¸c˜ ao

h·, ·i : E × E −→ K , (x, y) 7→ hx, yi , tal que para quaisquer x, x

, x

, y ∈ E e λ ∈ K :

(a) hx

+ x

, yi = hx

, yi + hx

, yi , (b) hλx, yi = λ hx, yi ,

(c) hx, yi = hy, xi,

(d) Para todo x 6= 0, hx, xi ´ e um n´ umero real estritamente positivo.

A fun¸c˜ ao k·k : E −→ R , kxk = p

hx, xi ´ e uma norma, no qual dizemos que ´ e a norma induzida pelo produto interno h·, ·i.

Defini¸ c˜ ao 1.3. Um espa¸co com produto interno que ´ e completo na norma induzida pelo produto interno ´ e chamado de espa¸ co de Hilbert. Em particular, um espa¸co de Hilbert ´ e um espa¸co de Banach com a norma induzida pelo produto interno.

Dadas as sequˆ encias num´ ericas x = (x

)

, y = (y

)

∈ `

, a express˜ ao hx, y i =

∞

X

j=1

x

y

define um produto interno em `

. Al´ em disso, a norma induzida obviamente coincide

com a norma original k·k

de `

. O fato de `

ser um espa¸co de Hilbert ser´ a utilizado

no Cap´ıtulo 3.

1.2 S´ eries em Espa¸ cos de Banach

Conhecemos da An´ alise Real que para trabalhar com s´ eries de n´ umeros reais, basta saber fazer somas finitas e entender sobre processos de limites de sequˆ encias. Em espa¸cos normados podemos proceder de forma similar.

Seja (x

)

uma sequˆ encia de vetores em um espa¸co normado E. A partir dela, formamos uma nova sequˆ encia (s

)

cujos elementos s˜ ao as somas

s

= x

, s

= x

+ x

, . . . , s

= x

+ x

+ · · · + x

, . . . a qual chamamos de sequˆ encia das somas parciais da s´ erie

∞

P

n=1

x

. Se existir x ∈ E tal que

x = lim

n→∞

s

= lim

n→∞

(x

+ x

+ · · · + x

) diremos que a s´ erie

∞

P

n=1

x

´ e convergente. Todavia, se a sequˆ encia das somas parciais n˜ ao convergir diremos que a s´ erie

∞

P

n=1

x

´ e divergente.

Al´ em disso, vale o crit´ erio de Cauchy, an´ alogo ao de R , para s´ eries em um espa¸co de Banach. Mais precisamente, uma s´ erie

∞

P

n=1

x

´ e convergente se, e somente se, para todo ε > 0, existe n

∈ N tal que

m

X

j=n

x

< ε, sempre que m > n ≥ n

.

Sejam E um espa¸co vetorial normado e (x

)

uma sequˆ encia em E. Dizemos que (x

)

´ e absolutamente som´ avel quando a s´ erie P

n=1

kx

k ´ e convergente. Quando para qualquer permuta¸c˜ ao σ : N −→ N , a s´ erie P

n=1

x

´ e convergente, dizemos que a sequˆ encia (x

)

´ e incondicionalmente som´ avel e no caso em que σ seja a fun¸c˜ ao identidade diremos apenas que a sequˆ encia (x

)

´ e som´ avel.

De acordo com a defini¸c˜ ao de sequˆ encia incondicionalmente som´ avel est´ a aberta a possibilidade da s´ erie

∞

P

n=1

x

convergir para limites distintos considerando per- muta¸c˜ oes diferentes. O pr´ oximo resultado afirma que isto n˜ ao ´ e poss´ıvel, no qual sua demonstra¸c˜ ao pode ser encontrada em [2, Proposi¸c˜ ao 5.3.8.].

Proposi¸ c˜ ao 1.11. Seja (x

)

uma sequˆ encia incondicionalmente som´ avel em um espa¸co normado E. Se σ

, σ

: N −→ N s˜ ao permuta¸c˜ oes quaisquer, ent˜ ao

∞

X

n=1

x

=

∞

X

n=1

x

.

O pr´ oximo resultado nos d´ a um n´ umero de caracteriza¸c˜ oes ´ uteis para sequˆ encias

incondicionalmente som´ aveis em espa¸cos de Banach.

Teorema 1.12. Seja (x

)

uma sequˆ encia em um espa¸ co de Banach E. S˜ ao equi- valentes:

(a) (x

)

´ e uma sequˆ encia incondicionalmente som´ avel.

(b) Para todo ε > 0 existe um m

∈ N tal que, quando M ´ e um subconjunto finito de N com min M > m

, temos

P

n∈M

x

< ε.

(c) (x

)

´ e subs´ erie som´ avel, isto ´ e, para qualquer sequˆ encia estritamente crescente (k

)

de inteiros positivos, a s´ erie

∞

P

n=1

x

´ e convergente.

(d) (x

)

´ e sinal som´ avel, ou seja, a s´ erie

∞

P

n=1

ε

x

´ e convergente para qualquer escolha de sinais ε

∈ {−1, 1}, n ∈ N .

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [8, Teorema 1.1.2]

Na reta, uma sequˆ encia ´ e incondicionalmente som´ avel se, e somente se, ´ e absolu- tamente som´ avel; este resultado foi demonstrado pelo matem´ atico alem˜ ao Dirichlet em 1837. Usando a convergˆ encia coordenada a coordenada, estende-se esse resultado para espa¸cos de dimens˜ ao finita. Para uma referˆ encia mais espec´ıfica da demonstra¸c˜ ao desse resultado observemos que a pr´ oxima proposi¸c˜ ao garante uma implica¸c˜ ao dessa equivalˆ encia, uma vez que todo espa¸co normado de dimens˜ ao finita ´ e Banach, e para a outra implica¸c˜ ao, veja [5, Teorema 1.25.]. Vejamos um exemplo que essa equivalˆ encia n˜ ao ´ e verdadeira para qualquer espa¸co normado.

Exemplo 1.2. Sejam (a

)

∈ `

− `

e (e

)

a sequˆ encia de vetores unit´ arios canˆ onicos. Em `

, a sequˆ encia (a

e

)

= (0, . . . , 0, a

, 0, 0, . . .)

´ e incondicional- mente som´ avel pois

∞

X

n=1

a

e

= a

n=1

∈ `

, para qualquer permuta¸c˜ ao σ : N −→ N ,

mas n˜ ao ´ e absolutamente som´ avel. Em contrapartida, se consideramos a sequˆ encia e

n

n=1

de elementos no espa¸co c

´ e f´ acil ver que ela ´ e absolutamente som´ avel, mas n˜ ao ´ e som´ avel, uma vez que

∞

X

n=1

e

n

=

1 n

∈ / c

.

Com isso, surgem perguntas esperadas. Essa equivalˆ encia ´ e exclusiva de espa¸cos com dimens˜ ao finita? Se n˜ ao, em quais casos essa equivalˆ encia ´ e v´ alida em dimens˜ ao infinita?

O matem´ atico Stefan Banach, em sua tese [10] de 1922, respondeu, em parte, tais perguntas. Ele percebeu que a implica¸c˜ ao, “toda sequˆ encia absolutamente som´ avel

´ e incondicionalmente som´ avel”, n˜ ao s´ o ´ e preservada quando o espa¸co em quest˜ ao ´ e completo, como tamb´ em ´ e suficiente para caracterizar um espa¸co completo. A pr´ oxima proposi¸c˜ ao trata precisamente disso.

Proposi¸ c˜ ao 1.13. Um espa¸co vetorial normado E ´ e Banach se, e somente se, toda sequˆ encia absolutamente som´ avel ´ e incondicionalmente som´ avel.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que E seja um espa¸co de Banach. Sejam (x

)

uma sequˆ encia absolutamente som´ avel em E e σ: N −→ N uma permuta¸c˜ ao. Se consideramos y

= kx

k para todo n ∈ N , ent˜ ao a sequˆ encia de n´ umeros reais (y

)

´ e absolutamente som´ avel, logo incondicionalmente som´ avel. Dessa forma, a s´ erie

∞

P

n=1

x

=

∞

P

n=1

y

´ e convergente. Assim, dado ε > 0 existe n

= n

(ε) ∈ N tal que

n

X

k=1

x

−

m

X

k=1

x

=

n

X

k=m+1

x

≤

n

X

k=m+1

x

≤

∞

X

k=m+1

x

< ε,

para todos n ≥ m > n

. A convergˆ encia da s´ erie

∞

P

n=1

x

segue do crit´ erio de Cauchy.

Portanto, provamos que (x

)

´ e incondicionalmente som´ avel.

Reciprocamente, seja (x

)

uma sequˆ encia de Cauchy em E. Dado k ∈ N , po- demos tomar n

(k) ∈ N tal que kx

− x

k < 2

, sempre que n, m ≥ n

(k). Logo, podemos construir um sequˆ encia de ´ındices n

< n

< n

< · · · tais que

x

− x

< 2

, para todo k ∈ N . Assim,

∞

X

k=1

x

− x

≤

∞

X

k=1

2

= 1.

Dessa forma, a sequˆ encia x

− x

k=1

´ e absolutamente som´ avel e, por hip´ otese, ´ e incondicionalmente som´ avel e, em particular, som´ avel, ou seja, a s´ erie

∞

P

k=1

x

− x

´ e convergente. Como

x

= x

+

k

X

j=1

x

− x

, para todo k ∈ N ,

fazendo k → ∞, segue que a sequˆ encia x

k=1

´ e convergente, ou seja, (x

)

´ e uma sequˆ encia de Cauchy que possui uma subsequˆ encia convergente. Portanto, E ´ e um espa¸co de Banach.

Uma resposta completa para as perguntas feita acima permanecia ainda sem solu¸c˜ ao.

O problema de saber se sequˆ encias incondicionalmente som´ aveis s˜ ao absolutamente som´ aveis em espa¸cos de Banach de dimens˜ ao infinita foi proposto por Stefan Banach em seu livro [11, p´ agina 240] em 1932.

Esse problema permaneceu aberto at´ e o ano de 1950, quando os matem´ aticos Aryeh Dvoretzky e Claude Ambrose Rogers em seu c´ elebre trabalho [12] mostraram que, em um espa¸co de Banach, toda sequˆ encia incondicionalmente som´ avel ´ e absolutamente som´ avel se, e somente se, o espa¸co tem dimens˜ ao finita.

Dessa forma, a equivalˆ encia entre sequˆ encias absolutamente e incondicionalmente som´ aveis em espa¸cos de Banach caracteriza os espa¸cos de Banach de dimens˜ ao finita.

Vejamos a seguir, o conhecido Teorema de Dvoretzky-Rogers, cuja sua demonstra¸c˜ ao pode ser encontrada em [8, Teorema 1.2.2].

Teorema 1.14 (Dvoretzky-Rogers). Seja E um espa¸ co de Banach de dimens˜ ao infi- nita. Ent˜ ao para qualquer sequˆ encia (λ

)

∈ `

, existe uma sequˆ encia incondicio- nalmente som´ avel (x

)

em E com kx

k = |λ

| para todo n ∈ N . Em particular, se (λ

)

∈ `

− `

, obtemos uma sequˆ encia incondicionalmente som´ avel que n˜ ao ´ e absolutamente som´ avel.

1.3 Espa¸ cos de Sequˆ encias a Valores Vetoriais

J´ a conhecemos os espa¸cos de sequˆ encias c

, c

e `

com 1 ≤ p ≤ ∞, bem como suas propriedades. Esta se¸c˜ ao ´ e dedicada ao estudo dos espa¸cos de sequˆ encias a valores vetoriais. Mais precisamente, dado um espa¸co de Banach E, consideramos sequˆ encias formadas por elementos de E que satisfazem uma determinada condi¸c˜ ao. Estamos inte- ressados nas boas propriedades desses espa¸cos, como por exemplo, na sua completude.

Al´ em disso, veremos uma outra vers˜ ao do Teorema de Dvoretzky-Rogers visto na se¸c˜ ao anterior, s´ o que agora inserida nesse novo contexto. Come¸camos definindo um desses espa¸cos.

Defini¸ c˜ ao 1.4. Sejam 1 ≤ p < ∞ e E um espa¸co de Banach. Uma sequˆ encia (x

)

em E ´ e dita fortemente p-som´ avel se

∞

P

n=1

kx

k

< ∞.

Denotamos por `

(E) o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias fortemente p-som´ aveis

em E. Al´ em disso, n˜ ao ´ e dif´ıcil verificar que a fun¸c˜ ao k·k

p(E)

: `

(E) −→ R , dada por k(x

)

k

p(E)

:=

∞

X

n=1

kx

k

!

, (1.1)

define uma norma em `

(E). Quando n˜ ao houver perigo de ambiguidade entre os espa¸cos `

e `

(E), denotamos a norma (1.1) simplesmente por k(x

)

k

. O pr´ oximo resultado mostra que `

(E) ´ e um espa¸co de Banach com a norma k · k

.

Proposi¸ c˜ ao 1.15. Se 1 ≤ p < ∞ e E ´ e um espa¸co de Banach, ent˜ ao

`

(E), k·k

´ e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x

k=1

uma sequˆ encia de Cauchy em `

(E); logo para cada k ∈ N temos que x

= x

, x

, x

, . . .

∈ `

(E). Assim, para todo ε > 0 existe n

= n

(ε) ∈ N tal que

k, k

≥ n

⇒

x

− x

≤

∞

X

j=1

x

− x

p

!

=

x

− x

< ε,

para cada n ∈ N . Logo, para cada natural n fixado, (x

)

´ e uma sequˆ encia de Cauchy em E e, portanto, existe lim

k→∞

x

= x

∈ E. Definindo x := (x

)

, o objetivo agora ´ e mostrar que x ∈ `

(E) e que x

→ x na norma k·k

. Para cada m ∈ N , temos

k, k

≥ n

⇒

m

X

n=1

x

− x

p

!

< ε.

Fazendo k

→ ∞, obtemos

k ≥ n

⇒

m

X

n=1

x

− x

p

!

< ε.

Fazendo agora m → ∞, temos

x

− x

< ε, (1.2)

para todo k ≥ n

. Logo x

− x = (x

− x

)

∈ `

(E). Como x

∈ `

(E), segue que

x = x

− (x

− x) = (x

)

− (x

− x

)

∈ `

(E).

Note que acabamos de usar o fato de que `

(E) ´ e um espa¸co vetorial. Al´ em disso, da desigualdade (1.2) temos lim

k→∞

x

= x. Portanto, `

(E) ´ e um espa¸co de Banach.

Defini¸ c˜ ao 1.5. Seja E um espa¸co de Banach. Uma sequˆ encia (x

)

em E ´ e dita

fortemente limitada se existe uma constante M ≥ 0 tal que sup

n

kx

k ≤ M.

Denotamos por `

(E) o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias fortemente limitadas em E. Al´ em disso, n˜ ao ´ e dif´ıcil verificar que a fun¸c˜ ao k·k

∞(E)

: `

(E) −→ R , dada por

k(x

)

k

∞(E)

:= sup

n

kx

k (1.3)

define uma norma em `

(E). Quando n˜ ao houver perigo de ambiguidade entre os espa¸cos `

e `

(E), denotamos a norma (1.3) por k(x

)

k

. O pr´ oximo resultado mostra que `

(E) ´ e um espa¸co de Banach com a norma k · k

. Como a demons- tra¸c˜ ao desse resultado segue um caminho similar ao da Proposi¸c˜ ao 1.15, omitiremos sua demonstra¸c˜ ao.

Proposi¸ c˜ ao 1.16. Se E ´ e um espa¸co de Banach, ent˜ ao (`

(E), k·k

) ´ e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [6, Proposi¸c˜ ao 2.1.4]

Observemos que `

(E) ⊆ `

(E) para qualquer espa¸co de Banach E. De fato, se (x

)

∈ `

(E), ent˜ ao

∞

P

n=1

kx

k

< ∞, logo lim

n→∞

kx

k = 0 e assim a sequˆ encia (kx

k)

´ e limitada, ou seja, sup

n

kx

k < ∞. Al´ em disso, quando E = K temos que

`

( K ) = `

e `

( K ) = `

. A seguir, continuamos definindo os espa¸cos de interesse para nosso estudo.

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja E um espa¸co de Banach. Uma sequˆ encia (x

)

em E ´ e dita eventualmente nula se existe n

∈ N tal que kx

k = 0 sempre que n ≥ n

. Denotamos por c

(E) o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias eventualmente nulas.

Defini¸ c˜ ao 1.7. Seja E um espa¸co de Banach. Uma sequˆ encia (x

)

em E ´ e dita nula em norma se lim

n→∞

kx

k = 0. Denotamos por c

(E) o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias nulas em norma.

Note que c

(E) ⊆ c

(E) ⊆ `

(E ), pois se (x

)

∈ c

(E), ent˜ ao existe n

∈ N tal que kx

k = 0, sempre que n ≥ n

. Logo lim

n→∞

kx

k = 0; e se (x

)

∈ c

(E), ent˜ ao lim

n→∞

kx

k = 0 e assim a sequˆ encia (kx

k)

´ e limitada, ou seja, sup

n

kx

k < ∞.

E imediato verificar que ´ c

(E) ´ e um subespa¸co vetorial de c

(E) e que c

(E) ´ e um

subespa¸co vetorial de `

(E). Podemos tamb´ em observar que quando E = K temos

que c

( K ) = c

e c

( K ) = c

. A partir de agora, consideramos nos espa¸cos c

(E) e

c

(E) a norma induzida pela norma de `

(E). Vejamos agora que c

(E) ´ e um espa¸co

de Banach com essa norma.

Proposi¸ c˜ ao 1.17. Seja E um espa¸co de Banach. Ent˜ ao c

(E) ´ e um subespa¸co fechado de `

(E).

Demonstra¸ c˜ ao. Seja (x

)

uma sequˆ encia em c

(E) que converge para x = (x

)

∈

`

(E). O objetivo ´ e mostrar que x ∈ c

(E). Para qualquer ε > 0 existe k

= k

(ε) ∈ N tal que

k ≥ k

⇒ sup

n

x

− x

=

x

− x

< ε

2 . Ent˜ ao, para cada k ≥ k

e cada n ∈ N , temos

x

− x

< ε

2 .

Por outro lado, como para cada k ∈ N x

= (x

)

∈ c

(E), existe ent˜ ao n

= n

(ε) ∈ N tal que

x

< ε

2 para todo n ≥ n

. Dessa forma, n ≥ n

⇒ kx

k =

x

− x

+ x

≤

x

− x

+

x

< ε

2 + ε 2 = ε.

Logo lim

n→∞

kx

k = 0 e assim x ∈ c

(E ).

N˜ ao ´ e dif´ıcil verificar que c

(E) n˜ ao ´ e fechado em c

(E) e consequentemente n˜ ao ´ e um espa¸co de Banach. Por outro lado, podemos observar que c

(E) ´ e denso em `

(E) para qualquer 1 ≤ p < ∞. De fato, dados ε > 0 e x = (x

)

∈ `

(E), ent˜ ao existe n

∈ N tal que

∞

X

n=n0+1

kx

k

!

< ε.

Agora, tomando y = (x

, x

, . . . , x

, 0, 0, . . .) ∈ c

(E), temos que

kx − yk

=

∞

X

n=n0+1

kx

k

!

< ε.

Defini¸ c˜ ao 1.8. Sejam 1 ≤ p < ∞ e E um espa¸co de Banach. Uma sequˆ encia (x

)

em E ´ e dita fracamente p-som´ avel se

∞

P

n=1

|ϕ(x

)|

< ∞, para todo ϕ ∈ E

.

Denotamos por `

(E), o espa¸co vetorial de todas as sequˆ encias fracamente p- som´ aveis. No pr´ oximo resultado definimos uma norma para o espa¸co `

(E).

Proposi¸ c˜ ao 1.18. A fun¸c˜ ao k·k

: `

(E) −→ R dada por

k(x

)

k

:= sup

ϕ∈B_E0

∞

X

n=1

|ϕ(x

)|

!

,