RUBEM P. MONDAINI Ressonância gigante de dipolo pela teoria de muitos npiveis. Tese de Mestrado, 1977

teoria de muitos npiveis •

Tese de Mestrado, 1977

RESSONÂNCIA GIGANTE DE DIPOLO PELA TEORIA DE MUITOS NÍVEIS

TESE DE MESTRADO

CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FÍSICAS

Rio de Janeiro, janeiro de 1977.

fir

Desejo agradecer a muitas pessoas que ajudaram jdireta-

•• ~ * mente na confecção deste trabalho :

Ao Prof. T.Kodana, pela paciência demonstrada para com o "candidato, pelas discussões sobre o tema, e pela grande ajuda

em cálculo numérico.

Ao Prof. L.Tauhata, com quem forara mantidas úteis dis cussões, sobre este e outros assuntos, sempre que possível. A gradeço ainda sua ajuda na confecção das figuras.

A Maria Perpétua N.Mondaini, pela ajuda dedicada no trabalho de datilografia.

Ao Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas» pela acolhi da em seu ambiente científico.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, pela bolsa de estudos concedida .durante os anos .de 197«» e 1975. y ''•'' Ao pessoal da Divisão de Processamento de dados do C.B.P.F., pela colaboração prestada*.

Neste trabalho, intentamos aplicar a teoria de muitos ní

* • " ""*

veis de M. Yaraada, K,. Takahashi e S. Koyama no efeito fotonucle ar, particularmente na ressonância gigante de dipolo.

No 1? capítulo fazemos una revisão de absorção fotonuclear de dipolo, fazendo a comparação com o caso atômico. Era segui- da, apresentamos, ã dedução das regras de soma, e a modificação das mesmas pela introdução dos conceitos de cargas e massas efe tivas, É feita uma apresentação do teorema de Siegert, com o propósito de servir de apoio para a aproximação de não levar em conta as forças nucleares no tratamento aqui exposto.

No 29 capítulo, é feita uma exposição elementar da referida teoria de muitos níveis, onde se discutem ainda, os principais * conceitos introduzidos.

No 3? e último capítulo, escrevemos algumas regras de soca de maior utilização no formalismo da teoria usada. Discutem-se os resultados obtidos e são apresentadas tabelas, e algumas fi guras, que comparam as distribuições experimentais com os resul tados obtidos por ajustamento de curvas, assim como mostras a variação dos parâmetros introduzidos na teoria com o número de massa (A).

sua mercadoria a venda, como os mascates, que nostraa pri neiro o que tem de pior. Diz-se que ninguéra é mais manhoso do que o diabo, mas acho que ele é deixado para trás, quart do comparado a esses tipos astuciosos."

B.de Espinos*

(Correspondência)

1. RrSGCrJlNCIA G I G A H T E D E DIPOLO

1.1 INTRODUÇÃO .* 1 1.2 REVIS&O D E FOTOÀBSORÇAO NO CASO A T Ô M I C O 5 A) SECÇAO DE CKOQUE'DE ABSORÇÃO *. 5 B) REGRAS DE SOMA 8 1.3 CASO KUCLEAR 13 A) CARGAS EFETIVAS 1*

B) MASSAS EFETIVAS 20 l.U TEOREMA DE SIEGERT 2«»

2. FUNDAMENTOS DE UMA TEORIA ESTATÍSTICA PARA PROCESSOS NU- CLEARES

2.1 INTRODUÇÃO ....'. 30 2.2 CONCEITOS INICIAIS : 30 2.3 ANALISE DOS CONCEITOS INTRODUZIDOS 32 2.4 DETERMINAÇÃO DOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO E DA DENSIDADE

DE NÍVEIS 38 2.5 DISCUSSÃO DA NORMALIZAÇÃO A SER USADA t»0 3. APLICAÇÃO DO FORMALISMO'USADO NA RESSONÂNCIA GIGANTE DE 3.1 TRADUÇÃO D A S REGRAS D E SOMA , i»3 3.2 "POSIÇÃO" D O S PICOS D A S DISTRIBUIÇÕES %6 3.3 ESCOLHA E NORMALIZAÇÃO D A S D I S T R I B U I Ç Õ E S D ° ( E i e ) » 9 3.H EXPRESSÃO DA SECÇAO D E C H O Q U E 52 3.5 DISCUSSÃO D O S RESULTADOS O B T I D O S E S U G E S T Õ E S PARA

HUAÇAO DO TRABALHO

MENTO 55 C) DISCUSSÃO SOBRE A APROXIMAÇÃO DO OSCILADOR 56 D) DISCUSSÃO SOBRE A NORMALIZAÇÃO E A PARAMETRIZAÇÃO

USADAS EM D(E,e) 57 E ) SUGESTÕES PARA MELHORIA DO MÉTODO EMPREGADO 58 F) UNIDADES E CONSTANTES ' 59 FIGURAS .... , 61 TABELAS 68 REFERÊNCIAS 70

CAPÍTULO 1

RESSOMAMCIA GIGANTE DE DIPOLO 1.1. INTRODUÇÃO

Costumamos denominar de ressonância gigante ao pico de lar gura considerável que aparece na secção de choque de absorção de raios gama por núcleos. A energia do pico de ressonância coss • tuna ficar entre lá i. «J t»«iv, aproximadamente, sendo una função nonÔtona do numero de massa; a largura do pico fica entre 3 e 10 Mev; para núcleos não esféricos, a largura é maior, e nenor pa-

• ra núcleos de camada fechada. Tais'dados conjuntamente com o fa to de que a absorção na região de ressonância gigante é bastan- te pronunciada, parecem indicar que a ressonância observada é causada por um efeito de caracter coletivo de grande intensida- de no núcleo. Vários modelos nucleares foram usados na explica- ção do fenômeno de ressonância gigante, do que foi exposto, po- deríamos inferir que o modelo coletivo seria o nais conveniente,

Q , £ ) , no entanto, bons resultados têm sido obtidos na aplica-

#

çao de outros nodelps; o modelo de canadas foi aplicado, com o ••- sustento da interação partícula-buraco, fornecendo resultados

razoáveis (3). 0 estudo das características intrínsecas do fe nomeno conduz a descobrir as possíveis conexões entre os modelos nucleares.

As primeiras experiências que demonstraram a existência da ressonância gigante, foram feitas por Baldwin e Klaiber que es tudaram a secção de choque de reações tipo <y, n) em núcleos C1 2 e C u6 3, en função da energia. Modelos prinitivos da resoo-

lância gigante previam que o fenômeno era devido a absorção de lipolo elétrico ( El) dos raios gama incidentes, e isto ficou evidenciado, após ps cálculos de regras de soma de Levinger e 3ethe(^)A teoria estatística de reações nucleares, foi também aplicada à descrição diste efeito fotonuclear, no entanto, as experiências de Hirzel e Wãffler, os quais trabalharam com uma energia de cerca de 17,6 Mev,mostraram que o valor predito pela teoria estatística para a razão das secções de choque 0(y,p)/o(y,n)' era 10 vezes menor, com isto houve como que uma mudança nos me todos de ataque para a explicação da ressonância gigante,os quais eram até então feitos en torno de mecanismos compostos de rea- ções, ou seja, utilizando-se sempre a hipótese de. Bohr, segundo a qual, uma reação do tipo ( y,a ) , processa-se em dois estágios:

1) é criado ura estado de energia de excitação E= K«, correspon- dente a absorção de um quantum luminoso; 2 ) 0 núcleo composto assim formado pode decair através dè canais diferentes com as respectivas probabilidades. A secção de choque para a reação considerada pode então ser escrita:

a(y,a) - a ( y ) ga (1.1.1)

Cl * - .

• • ' - • . - • « • • - • • 1

Sendo ga a probabilidade de decaimento através da partícula ( a ) do estado composto'intermediário e o (y), a secção de cho

*

que de absorção para uma determinada freqüência; g é determina

a *••

do das expressões da teoria estatística de reações; o processo

•

mais provável costuma ser a emissão de um neutron, a emissão po£

terior de mais partículas, correspondente a reações ( y,2n ) , (y.,3n), (y,np), etc... fica condicionada ao estado de excita- ção do núcleo. A falha do modelo estatístico fez con que se u- tilizassem os métodos das reações diretas, desenvolvidos para

ô efeito fotonuclear por Courant(£,£) . Os métodos diretos de ram resultados razoáveis, como o de Courant, contudo, este últi.

mo fez hipóteses no método usado, que o torna bastante grossei- ro:* 1) o potencial nuclear é" considerado como de poço quadrado;

2) são desprezadas as distorsões das ondas de proton pelos po- tenciais nuclear e coulombiano em. conjunto.

0 modelo de cantadas, quando aplicado ao efeito fotonuclear forneceu maus resultados para as energias dos picos de ressonân cia gigante; Brown retificou estas discrepâncias com cálculos baseados no modelo partícula-buraco(3); os resultados consegui- dos para núcíeos leves de camada fechada são bastante aceita - veis. „ A secção de choque de interesse, ê,' geralmente falando, a soma de todas as secções de choque correspondentes aos processos parciais, ou : .

o(E) = o(Y*n) + a(Y»p) + o(Y»2n) + o(Y,np) + aiy9a") +

+ O ( Y , Y * ) + o(Tf,f) + ... . (1.X.2) onde o(Y»f) corresponde â foto-fisslo. :u . Pelo modelo estatístico, todas as secções de choque parei-"' ais aqui escritas, têm a. mesma conformação característica da res_

sonância gigante. Com exceção da saída de partícula alfa, em núcleos pesados a emissão de partículas carregadas e dificulta- da pelo alto valor da barreira coulombiana; • a não ser que tais núcleos sejam ricos em protons.

Uma das interpretações mais aceitas para a ressonância gi- gante de dipolo foi a de Wilkinson(jj)baseada no modelo de cama- das; de acorâo com esta interpretação, a absorção do fóton conduz a um estado em que um único nucleon é excitado a um estado en um

de energias para absorção do foton ( 15 a 25 Mev ) , o núcleo possiii muitos níveis de núcleo composto por unidade de energia

(Mev). Brink O ) tentou conciliar a descrição coletiva e a do modelo de camadas, notando que en casos especiais, nas transi- ções características de modelo de canadas, certas relações de fase podem conduzir a uma espécie de oscilação coletiva.

Não nos deteremos no exame detalhado das varias aproximações ao efeito de ressonância gigante, procurando nos concentrar a se guir, na analogia possível que o efeito apresenta com o caso a- tônico, e com as diferenças fundamentais entre os dois casos.

Na Ia. parte deste trabalho fazemos uma revisão de fotoabsor ção no caso atômico,e introduzimos a consideração das regras de soma,a seguir,iniciamos o tratamento de um sistema de partículas de massas.aproximadamente iguais,introduzindo cargas e massas e fetivas,e daí modificando as regras de soma jã deduzidas para a plicações a um tal sistema*. Ainda nesta primeira parte, provamos o importantes teorema de Siegert(£,£)» relacionado diretamente *-.

ao caso nuclear, particularmente com a influência das. interações nucleares nas interações electromagnéticas aqui estudadas. 0 ca pítulo seguinte e dedicado ã exposição de uma teoria estatísti- ca de muitos níveis, em suas linhas gerais, aplicável a proces- sos descritos por operadores de um corpo. Expusemos apenas o es_

sencial, com o único intuito da aplicação ao efeito fotonuclear.

Tal método foi exposto originãrianente por Yanada, Takahashi e Koyana(10,ll)e aplicado ao decaimento beta; maio tarde Taka-

hashi, utilizou-o na descrição da fotoabsorção nuclear(12).O 39 c último capitulo, trata deralhadamente a aplicação da teoria es quenatizada no capítulo 2 £O efeito que estudamos, seguindo o trabalho de Takahashi. Estudamos cerca de 22 núcleos coni os r.£

todos introduzidos, para energias de 0 a 30 Mev, e o conportaraen to das curvas de secção de choque em função dos parâmetros, con»

paradas com as distribuições experimentais retiradas do atlas de Herman, de Livermore(13_) .Zn conclusão são apresentados comenta- . rios do trabalho realizado, sugestões para trabalho futuro, \ è

discussões relativas a suporte teórico de algumas considerações utilizadas. .

1.2. REVISÃO DE F0T0A3S0RÇA0 NO CASO ATÔMICO A) SECÇAO DE CHOQUE DE ABSORÇÃO

0 estudos da interação da radiação electromagnêtica cora a matéria é convenientemente tratado pela teoria seni-clãssica da radiação, dentro de tal conceito, os processos de absorção . e emissão induzida possuem descrições satisfatórias. Para tratar .-, o problema da emissão expontânea, necessitamos de uma teoria • •-•

quancica do campo. .Com o objetivo de visualizar as analogias e diferenças existentes entre o caso atômico e o nuclear, faremos a seguir uma revisão do primeiro.

A equação de Schroedinger para uma massa Cm) puntiforme de -*•

carga (e), em um campo electronagnetico descrito por A é :

J > ( 5 - J A ) '

v^ (1.2.1)

2n c

tornando para V, o potencial, que pode ser construído da aproxi mação de campo central, mesmo tratando o problema de muitas par tícuias carregadas, no caso atômico.

e² 2 -

Consideremos que —j A - 0 , con o que hamiltoniano de c

perturbação, aqui se explicita por. :

H¹ ( r , t ) = - £ - 2C . p" (1.2.2) me

Estamos considerando um gauge dos potenciais, tal que V.A*0;

• = 0, uma vez que não nos interessa a presença das fontes do cám po electromagnetico, e, assim, o potencial vetor ?T fica unlvoca- mente determinado pelas equações de Maxwell para o vácuo.

Com isto, X"pode ser escrito : /• •

TT = Ko e^{i (} * . F - *t >⁺ c . c - Re (2

(1.2.3) Resultando para os campos : .

S - R e ( i k A ) j H - R e ( i k x A ) , k - J S ( 1 . 2 . * )

c \ . . •. r•i

No limite de baixas energias em que temos interesse, o can po elétrico é aproximadamente constante sobre o átomo. Da ex pansao em multipolos do campo electromagnetico, selecionamos co mo o principal causador da interação, o dipolo elétrico ( El ) , o qual por sua vez, seleciona do campo do fóton, a parte corre£

pondente à paridade ímpar, e momento angular £ — 1 . Logo o sistema atômico muda de paridade e seu monento angular varia de

de acorde com as regras usuais de adição.de momentos angulares.

* 1

Ma aproximação de dipolo El, e * = 1, e assist, para caleu lar*a amplitude de transição, considerando que a perturbação Hf

passa a agir em t=0, temos : . ( t ) - _ i _ \X < * . JH'j

3 ^{i K} Jo 3

a,, ( t ) - _±_ |" <*. IH'J •^#4> e^{i w}o j ^t ' dt« , onde » . Í-I—2L K sendo E. , E as energias dos estados estacionários.

3 o • •• - . 0 elemento de matriz <*: | H ' | *o> ' , resulta, utilizando

A r Re (2A e -i u t' ) : o

o ^ . l H ' l * > m. -e— Re e ~x <<r.|2A . p i * >

3 ° me y -^ O o

ou a i n d a , u t i l i z a n d o a identidade :

<é. I pliii > _ im u • <<{)• | r I* > ( 1 . 2 . 5 ) 3 o 03 3 •

temos: • . :

<•• | H

1 ^ > — e Re e ~

<<r. [€ . r | • >

(1 2.6) onde usamos a primeira e a terceira das relações (1^2.U).

Tomando E na direção do eixo dos z, podemos ainda escrever:

<*• IH1 I ty> — eE^ cosutf<;&* fzl^ > (1.2.7)

' ) 0 O j ' O

Isto feito, temos para a probabilidade de transição : sen'fu^. - t»)t/2

fa; (t)|

- e

Ej J. <,',. |z| V !

(1.2.8)

Onde apenas levamos ea consideração, o processo de absor- ção. 0 numero de transições na unidade de tempo sera determina- do por :

t

N - J L f |a.(t)| do . e E l<*. | z | * >| jr (1.2.9)

-. **2

Para calcular a secção de choque temos :

0 = ( n? de transições por segundo / fluxo de fótons)» N/+

2

Tomando para o fluxo • = ç. E» . sendo E = K» =E. - E , 8w E 3 0 teremos para a secção de choque integrada sobre a linha de absor ção : - .

2 2 . . . . 2 . 2 2 " •

2 — — — —— ] O •'

M c me M

Costuma-se conceituar aqui, a matriz intensidade de oscila dor harmônico, ou :

f^{o j} * 2m(E.- E^Q) |^{< 4}, . |^Z|^V1² (1.2.10)

Cora isto, podemos escrever para a secção de choque total:

0<E)_ ío dE _ ²ir² e²M f . _ ²ir²e% 2mE

^ l z | ^

> I

(1.2.11) me me M

B ) r REGRAS DE SOMA <Í ,12 ,iâ *JLÂ ,2ü >

Apresentaremos alguns resultados, os quais derivam exclusjL

vãmente da completeza dos estados sejam discretos ou contínuos.

A última equação escrita, permite concluir que o elemento de matriz f . , nada ciais é que a intensidade de transição entre os estados ^ e 1>..%

Tomando em consideração esta função intensidade de -transi- ção, podemos conceituar aqui, os momentos estatísticos de ener gia :

pn - l En fo j , E* - CEj - EQ)n . (1.2.12) 3

Se o espectro for contínuo, deveremos ter :

— dE

Onde representamos por df/dE a intensidade de transição por unidade de energia. Geralmente são considerados os seguin- tes valores de n : +2; +1; 0; 3 .

Faremos a seguir, os cálculos explícitos de regras de soma, para os valores de n indicados : -

_ l fn. l* «!, (1.2.13)

Costumamos também escrever p_2 através de :

u_2 _ ma

2 2

e tt

onde a é a polarizabilidade do sistema de partículas, ou seja, a razão entre o momento de dipolo induzido e o campo elétrico; a mesma aqui se expressa evidentemente por :

MigdalQJ» ,15 ,l(S)e sua escola realizaram cálculos explícitos da absorção de dipolo«utilizando o conceito de polarizabilidade nuclear.Em núcleos deformados esta grandeza comporta-se como um tensor,e o calculo com esta consideração,também é feito(16) . se guindo a linha de desenvolvimento em teorxa nuclear de Migdal.

Para o calculo de u_i > temos : * -

' d . 2 . m ) uma vez que z e hermitxano, e o estado <> e isotrõpico.

0 momento u pode ser deduzida usando uma identidade (equa ção 1.2.5). ' • .

~~ ' u •• ^ Y í E • — E ) z * z •• ***

n

'o>

uma vez

que da hérmiticidade de K e z,

Se o hamiltoniano for escrita como: H — E— • VCr), então

* 2 m

H,z| — — p , daí temos:

, ) m .

vo - 1 (1.2.15)

Isto corresponde ã chamada regra de soma TRK.

Com a mesma idèntid- le usada acima, pode-se calcular u\ :

* : ' J )

v

y i- J L - < #0! T |

v a.2.i6)

3

onde T e a energia cinetica da partícula.

Para o cálculo de p2^ilizanos a seguinte identidade :

2

(E«- E ) z "• <•• I lH, | K , Z J |« > - -2— <<»• |~|ifr > ( 1 . 2 . 1 7 )

I O * 0 * i L I . í J O • I ** O

* j ' v s /s m ' 3z- •. •

onde a segunda igualdade provém de :

ÍH,Z]

- -i M 4, e portanto . [li,

- -n*z — — -^X

da proporcionalidade entre a força e a aceleração. ' Desta forma, temos :

- m

7;

• " ^V " ³z ' °

>ut ^v n _ w <*^al9 V |*^o> _ *L_ <*⁰ (V V|<.^o> ( 1 . 2 . 1 6 )

m 3z ^: 3m

Calculando v * utilizamos duas vezes a identidade (1.2.17)

w — -

.(E^#-E >z⁰. . 2*1 Z<»-|íV|»^o><*. |aV|*^o>

i i i m ; Í^Z JZ

J L * ^o | U ^o > (1.2.19)

az ³ m .

A dedução das regras acima, foi feita para um sistema de um único electron; para o caso de um sistema de Z e l e c t r o n s , consjl derados sem interação, tomemos como exemplo a regra para v :

o

I*

. - ^ f I<E.-E

)|<*;li ?

!*

>

z s*endo o deslocamento *ao .longo da direção de polarização do n - ésimo electron ; tem-se :

0 hamiltoniano do sistema, pode ser escrito :

H - l Tn,, + V(r«) com |V<r»),zn] - 0 para quaisquer n,j

' J - l

,Z (1

nde, como já dissemos antes V(r.) corresponds ao potencial da proxiraação de campo central.

Temos também que :

K

T

n"'

nJ'

n'J - "

^—^ -^

^ O ^ O • fiL ai^n *Fn '

*nn

Com o que podemos escrever finalmente:

í *

. - - A

i2L><*

II l Í W n n - l V -

(1.2.21)

]

K m n n

n"

As outras regras podem da mesma forma ser modificadas.

As regras de soma até agora escritas, podem ser utilizadas para obter informação sobre a secção de choque, calculando seus momentos de energia; p;.ra isto basta avaliar o lado direito das mesmas por algum modelo. Isto constitui também um bom teste pa ra os modelos usados. -

1.3. CASO NUCLEAR

Uma profunda quebra de analogia entre os casos atômico e nuclear e a quase equivalência das massas de neutron e proton;

assim como o fato que não podemos considerar sempre que os nu- cleons presentes no núcleo, possuam propriedades de partícula u nica. No caso atômico, consideramos os elétrons como ligados a um núcleo infinitamente pesado, ou seja a massa do elétron é mui to pequena se comparada ã massa nuclear, e desta forma podemos desprezar o movimento do centro de massa do sistena. Ho entan- to, quando tratados un sistena de partículas cujas massas sejam

aproxinadamente iguais, tecos que levar em conta, quando por exemplo da interação com us foton, o efeito de recuo que faz cos»

que o centro de massa das partículas fique inalterável. Se o sistema considerado for o núcleo, surgem ainda outras dificulda des, como por exemplo o fato do potencial nuclear de dois cor - pos não comutar com as coordenadas relativas, o que invalida a aproximação (1.2.20) feita na dedução de (1.2.21), geralmente o comutador do potencial nuclear com as coordenadas relativas tor- na-se difícil de ser calculado, é por esta razão que introduzi"

remos a seguir certas considerações bastante conhecidas no tra tamento deste problema. Desejamos frisar mais uma vez que nos- so trabalho se restringe a baixas energias (1 a 30 Mev) e, des_

ta forma, negligenciamos os efeitos mesônicos. Consideramos tam bem que a interação entre o núcleo e o campo magnético exterior pode ser descrita unicamente em termos das coordenadas nucleôni casí8)

A conclusão a que se chega, é que tornara-se necessárias mo dificaçoes dos valores das cargas, das massas, e dos momentos magnéticos quando tratamos um sistema de partículas de massas i dênticas interagindo con o campo electromagnetico. Introduzam - se então, os "valores efetivos" destas grandezas.

A ) - CARGAS EFETIVAS (21)

0 elemento de matriz do haniltoniano de perturbação H^f, é proporcional a:

dt

Consideramos que as funções $^o ,•• , correspondentes ao estado fundamental e um qualquer dos excitados» dependera apenas das coordenadas relativas com relação ao centro de cassa do siss tema', sem nos referirmos ã coordenada absoluta deste último.

oejam r , R, as coordenadas das partículas e do centro de massa respectivamente, temos:

* - ^{n n}

Com isto as coordenadas relativas podem ser escritas t

pn ⁼

Sejam x , x »Cn » a s projeções de rfl , R , e 7n a» uma reção x arbitrária; com o que temos : • * .

M

QU;"^TO ^ £ "^TQ £ i 1_

ax ⁿ'jF i M

Do que resulta :

o

n m axn n mn 3£ H n

n n n n

n mⁿ i M aç^{n n} mⁿ 3Cⁿ

Desta forma a transformação a coordenadas relativas, conduz

a introduzir de acordo C O D (1.3.1), para carga'aparente das partículas :

eA s en - *n q (1.3.2) M

onde q s T ei é a carga total.

I

Em um sistema CODO O núcleo, esi que as partículas têm apro ximadamente a mesma massa, temos :

M = l «n = Am

n

sendo A o número de massa; temos também :

Do que resulta para (1.3.2), ou seja, a carga efetiva das parti cuias:

e• = e - eZ (1.3.3) n n ——

A Assim, para protons (eR - e ) , tem-se v

• • •« e(l-Z) = e N (1.3.*)

resultando também para neutrons ( eR = 0 ) :

e» s - e Z (1.3.5)

nN

Utilizaremos o que foi exposto para escrever o hamiltonia- no de perturbação, ou :

"•••». I •»;•«. (j! ^ V i ^ J

A expressão aciraa pode ser e s c r i t a :

£^o ( N h - Z [ z • Z J z • Z [ z ⁿ ) ( 1 . 3 . 7 )

* A ⁿp P A ⁿN ^N A ⁿN ^N A ⁿp P ^;

Os índices (p) e (N) significara proton e neutron respecti- vamente .

Os primeiros dois termos em (1.3.7) correspondem ao movi - nento relativo, respondem pela absorção fotonica dentro do nú- cleo, ou seja, o hamiltoniano efetivo de interação pode se escre ver :

H' * e € ( K l zn - Z I z ) (1.3.8)

» 5 n p A nM N *

Os outros dois termos correspondem ã parte do hamiltoniano responsável pela interação do núcleo inteiro com o campo electro magnético, esta parte é a que descreve o espalhamento de Thom-

son; podemos escrevi-la como :

(IV L%)

- e E Z z , onde z = ^ | [ zⁿ +

Vamos reescrever, como uma aplicação, a regra de soma (1.2.

21) no formalÍSZJO das cargas efetivas :

Seja H_[_, o hamiltoniano de interação e <fo>0. e *f n*o* a S

Lntensidades de transição para proton e neutron respectivanente, temos :

< y

: -25!| l«H*p!VÍ

5

n>o. - *

li J No caso que tratamos temos :

• ; l

I V - *

IZ

k

•*;l^l*

— 5 . •;!!

A p AN

A intensidade de transição para todo o sistema pode escrever se : •

fo - - ( fp>o. + (fn>o.

l i i

(1.3.9) Temos então :

Semelhantenente ao que foi feito na dedução de (1.2.21),te- mos ainda :

^ N

O hamiltoniano do sistema escrever-se-a

» p p » N «

Utilizando as seguintes identidades :

n" » ^z n J

fí ^T n"' ² nj» v ] - -»Y ^T ""

Esta relação pode ser ainda escrita :

n»' ^z nj» ^z n'J - ^

Considerando em primeira aproximação ,que V comuta com os z P

e 2« » poderemos escrever, se utilizarmos as identidades acima:

nN . . .

f V 4» ¹ £ ^P í

ou : I fo. /H%2 Z • V Z ) 2 N . EiZ (1.3.11)

A regra de soma (1.2.21) permanecera imodifiçada, se incluí mos a parte H1 do hamiltoniano no tratamento feito acima. Esta parte, correspondente a espalhar.ento elástico, tin para intensi- dade de transição (Z2/A), o que se for cciabinado ao resultado

(1.3.10) reproduzira (1.2.21). Sendo puro cálculo, e sem mui- ta utilidade nó objetivo deste trabalho, não apresentaremos as modificações nas outras regras de soma, na aproximação de car- gas efetivas.

B. MASSAS EFETIVAS

A introdução do conceito de massa efetiva torna-se necessá rio no estudo do movimento de nucleons da matéria nuclear(22 )A presentareraos a seguir, algumas justificativas para a introdu - ção deste conceito.

Vamos supor a matéria nuclear uniforme. A energia poten - ciai de uma partícula que ai se esteja movendo, é uma função de seu momentum, e desta maneira, a energia da partícula pode e£

crever-se : .

E(p) = pi. + V(p) (1.3.12) 2m

Ou seja, deve existir uma lei.de dispersão, relacionando E e p para a matéria nuclear. Quando utilizamos o modelo de ca- madas, ao menos em suas hipóteses iniciais» considera-se que o potencial seja independerfte do estado da partícula; geralmente, esta consideração não é valida. 0 conceito de energia potencial surge na interação da partícula em questão com as que lhe estão mais próximas no neio nuclear, daí o fato áé atribuirmos a esta

energia uma dependência genérica em. relação ao momentum.

Se considerarmos que a interação entre nucleons não depen- de da energia dos nesr.os, a energia de partícula única no neio nuclear, será escrita cor^o a sora da enercüa cir.etica con a

energia de ligação dos nucleons, sendo esta última constante.

Entretanto, quando a velocidade relativa entre os nucleons au- menta , a força entre eles torna-se repulsiva; assim, a energia de ligação do nucleon na matéria nuclear diminui com o aumento de momentum, e a relação de dispersão ai existente, pode ser es_

crita como (1.3.12), onde V(p) é" uma função crescente de p. Pre cisamos saber qual a forma mais conveniente da expressão analí- tica da dependência em p .

Uma sugestão de Wheeler permite simplificar ura pouco este tratamento : suponhamos que se deseje avaliar a energia poten- *~

ciai da partícula proximo a p=0 ; então, uma expansão da forma abaixo, torna-se possível, uma vez que V(p) deve ser um escalar:

V(p) = Vo+ a p2 • ... ... (1.3.13) Em alguns casos de mais interesse, só necessitamos consid£

rar estes dois termos. V(0), o tirmo dominante da expansão, de ve ser negativo e a "correção quadratica" a p deve ser positi- va em geral. Desta forma (1.3.11) resulta :

E(o) = *t>2 + V(o) + a p2 s p2 • V(o)

2 n ' 2m*

conceituando aqui o que usualmente se chama de massa efetiva , por :

m* = n (1.3.1»») 1 + 2a m

Vemos então, que fazendo a transformação ir. •»nft,escrevemos o hamiltoniano genérico do sister.a, como ser»pre é feito, ou ain

da, podemos supor o poreneial nuclear constante,* se modificar D O S a massa do nucleon.

t Uma melhor caracterização da massa efetiva seria :

H i " (1.3.15) a p m*

A exemplo do que fizemos, no caso das cargas efetivas, a- presentaremos aqui as modificações a serem introduzidas em ai gumas regras de soma :

A regra TRK , pode agora ser escrita :

*

. - 3 <*

l lí

»

J»

JÍV _5L-^ K

<^

ífLHlV - 2 -

; > K* ^{k k} ' ^J n² a^P* «*

(1.3.16) Fica claro que sempre temos em conta, a não comutatividade do operador z, e de H, o hamiltoniano nuclear, uma vez que z não comuta com a parte referente a forças de troca, e também com a parte de energia cinetica. 0 formalismo da massa efetiva, permite contornar esta dificuldade; cono estamos admitindo qu«

o potencial de interação*para uma única partícula dependa quadra ticamente do momentum, como em (1.3.12), podemos incluir a parte não comutãvel do hamiltoniano na aproximação de massa efetiva pa ra o nucleon.Cl.3.15) é portanto a modificação da regra TRK, su- pondo válida a forraa admitida do potencial de interação.

Vamos escrever ainda mais uma regra dentro deste conceito, a regra ui :

I H , Z | |I|»O> e com H _ t>_ +, V ( o ) » 2 m <ij

n 2 ~ ' 2n*

teraos : Pi . Z2 n

e portanto :

2 ,f 3D 2 12, , 2 Wi — ~^m - A <ii 11 yz |í > ^ 2m <^ |p

3p m*

tenos entao :

_ 2m <* |p |4> > (1.3.17) 3m*2

Podemos já notar o resultado evidente, que exteriormente ao núcleo, onde ra*=m , estas regras de soma reduzem-se às deduzidas na analogia atômica. No capitulo 3, tornaremos a apresentar e£

tas expressões para as regras de soma, dentro do formalism© de- senvolvido no capítulo 2.»

0 capítulo presente poderia ser continuado,comentando os tra tamentos diversos do fenômeno de ressonância.gigante,especialmen- te,uma descrição detalhada das duas principais linhas de trata- mento: a microscópica,baseada na interação partícula-buraco,e na teoria de dispersão do efeito fotonuclear(J3,2jO;e a macroscópica ou hidrodinijr.ica(2j5,2£) .i.'ossa preocupação agora é a exposição do teorema.de Siegert, constituindo na prova do mesr.o e na introdu-

ção de alguns comentários.

l.«t TEOREMA DE SIEGERT

Seja H o hamiltoniano do núcleo; consideremos que o mesmo sõ contém variáveis nucleônicas, tais como o deslocamento r. de um nucleon, relativo ao centro de cassa, momentum do nucleon,etc.

Isto têm claramente como resultado,que a coordenada do centro de massa comuta com todas as variáveis de nucleon presentes am H.

Na presença de um potencial vetor oriundo de fontes externas , denotaremos tal hamiltoniano por H{A}, onde com tal notação que remos dizer que H é uma funcional de ACr). A origem das coord£

nadas, em vista da comutação mencionada acima deve ser o próprio centro de massa.

Consideremos que a interação dó núcleo com o campo electro magnético pode ser descrita em ternos das coordenadas de posi - ção e spin dos nucleons somente. Assim sendo, efeitos de cor- rentes de mésons, são negligenciados, o que parece ser una apro ximação bastante grosseira para altas energias do fõton, onde e xiste uma produção considerável dr píons. Mo limite de baixas energias , consideramos que'os efeitos mesõnicos, se existirem, são adiablticos, ou seja, que o movimento dos mésons é tão'rãpj^

do comparado ao dos nucleons que podemos tomar uma média de tais movimentos(8)Uma vez que a interação com o campo electromagnet^

co é pouco intensa. (e2/ttc = 1/137), teresios a expansão de H {A} :

H {A} -H + HÔ >{A) + 1 iP ÍAÍ + 1 :r{/\> • (l.H.l)

0

7 5

O termo genérico K {Aí depende da potência ri-esima de A, i deve satisfazer a certas restrições, provenientes do fato de iue as correntes existentes dentro do núcleo devem obedecer a una equação de continuidade. Na análise destas restrições, con sideraremos a invariância do hamiltoniano por uma transformaçãr ie "gauge". Ou seja, como é sabido, após uma transformação de gauge dos potenciais, existe uma transformação unitária, a qual restabelece a forma do hamiltoniano; ou :

H {A + V6> - en c H {A} en c (1.4.2) sendo 6, arbitrária, e D - [ e. 6(r.) (1.4.3)

3 . onde e. é a carga do j-ésimo núcleon.

.A transformação unitária (1.4.2) não e simples, em razão de H estar relacionado com os momenta dos nucleons.

Cabe aqui uma observação, a de que a condição de invariância aqui estudada, é aquela para uma partícula que carrega uma carga puntiforme; isto já está implícito na forma da expressão (1.4.3)' acima e foi utilizado por Sachs e Austern en sua prova do teore ma de' Siegert. Torna-se *dif.ícil examinar a invariância de gau- ge de uma teoria, que descreva partículas com as quais está as- sociada uma distribuição de carga. Foldy contorna esta dificul- dade na prova do teorena, referindo-se explicitamente â equação de continuidade e ao princípio de superseleção para a carga ele tricaCjO.ho entanto,no exame preliminar de uma teoria como a d«s sejada utilizando a invariância de gauge, podemos substituir

(1.4.3) por :

= í p(x) G(x,t) dx

sendo p(x) o operador de densidade de carga para o sistema . p(x) não e função apenas das variáveis de posição dos nucleons, podendo abranger ainda outas, cono por exeaplo as de spin(8).

"Desenvolvendo o lado direito do (1.4.2), temos :

• •

-H • £ í D,H] + \ l^UÁ D,

H {A> e ^ - H • £ í D,H] + \ l^UÁ D,H ]]•....

J K '' (1.4.4) No case particular A = 0, deveremos ter de (1.1.2) :

H {v6

> "

o .• é (

»

o)

\

( ( ) )

onde H - H {0}

o

De (1.4.1) podemos também escrever :

H { V G } - H + H< 1 > <VG) • \ H( 2 ) {76} • (1.4.6)

o * . •

Do que resulta,por simples comparação :

H

{VG> - ^ £>,H

J ; H

{VG} - ( ^ ' [ D . Í D . H I I ;; ..(1.4.7)

0 termo H (A) é o responsável pela absorção ou emissão de um único fõton, sendo portanto, o que nos mais interessa. Sen do linear em relação a seu argumento, podemos escrever :

H

(A • VG) - H

<A> • fc (D,H

} - H

(A) - §

O potencial vetor pode ser escrito por :

onde a normalização é referente a um foton no volume V do canoo quantizado. K é o vetor de propagação, e u , especifica a dire- ção de polarização.

A probabilidade de transição, é proporcional, no caso da a*- bsorção ou ends são de um único foton, a |<£-|H {A. , }|$ >| o que resulta, uma vez que H e linear :

onde 0 = H(1){S e "á'

v Para que possamos obter a expansão em multipolos, o argumen to da funcional H acima, deve ser expandido convenientemente em potências de (K.r). Para fazer isso, introduzamos a identi- dade :

is

Expandindo as exponenciais em (l.f.ll), e fazendo a integra- ção em cada termo obtido, teremos :

2

-i^-? - l^ (-ikY~

(vGt + i (uXJc) X r Wij (1.4.12)

•sendo 61 - ir <S.?> [i ' *) ; Wl ^ ^ ^ y r (jj .rj

0

- l í-ik)*"~

H

{*Gt • i <uXJc> X ? Wt> . U.*.13>

onde a linearidade de rf foi novacente usada..

Utilizando agora a equação (1.H.8), teremos

5 " ) C m .1»)

ande Dl ^

-{ríe.(S.?;)[| ' T; )

i r . i j v k j;

B o operador de momento elétrico de 2 - polo.

Usando a relação <$*|Dl|tfi > — iu<$*[Di|$ >, uma vez que E.- Eo — M M , teremos :

0 - l -ik) (Dt +M£) (l.i». 15)

*-»

jnde Ml - - £ H

{fu x E) x ? (S . r]

"

} é" o operador (l + D ! V

J l

i

Se momento magnético de 2 - polo.

Dl e Mi. são elementos de tensores de t-ésina ordem, possuía 3o no entanto, paridades opostas, respectivamente (-1) e(-l)

Da expressão para Ht, vemos que o mesmo depende diretamente 3a forma de H ( A ) , o mesmo não se dando para DA, o qual ê inde-

>endente, ou seja, os operadores de noc.ento de nultipolo e l é t H

-co, são independentes da forma de K ( A ) , O que significa dizer, que não seriar, afetados pela interação nuclear. Esta conclu - são e conto que uni teste para hipótese feita de que o hamiltoni- ano de movimento interno não envolveria explicitamente as coor- denadas dos mésons. * Uma interpretação do teoreiaa poderia ser dada, observando que a distribuição de carga, à qual deternina os momentos elétricos de raultipolo, ê por sua vez determinada (

2

por |t| , sendo <» a função de onda escolhida. Então, as possí- veis relações existentes entre a função de onda e a distribui r ção de carga nada têm a ver com as interações. Entretanto, os momentos de multipolo magnéticos dependem também das distribui- ções de corrente, que devera obedecer ã equação de continuidade,*

e esta última deve ser uma conseqüência da invariãncia da equa- ção de Schroedinger sob a transformação de gauge; estando por- tanto diretamente relacionada com as interações. Assict, as in- terações nucleares, sobre as quais pouco ainda conhecemos, in- fluem nas relações entre a função de onda e a distribuição de correntes. Na medida em que procuramos trabalhar com uma fun - ção de onda aproximada, sem levar em conta as interações n u d e a res explicitamente, o teorema é valido'. Desta forma, podeoos u sã-lo para testar as funções de onda supridas, comparando ta xas de transição, ou os próprios momentos de multipolo elétrico calculados e observados.

CAPÍTULO 2

1KIDAMEKTOS DE UMA TEORIA ESTATÍSTICA PARA PROCESSOS NUCLEARES.

2.1. INTRODUÇÃO

O método que apresentados a seguir, foi desenvolvido origi- nar iamente para o decainento beta, por H. Yamada, K.Takahashi,*

S.Kòyaaa(ll),no entanto,pode ser aplicado a vários processos, . jue em sua descrição usem operadores de um corpo apenas, ou so- na de operadores de um corpo. Ho capítulo seguinte, será feita a aplicação do método ao efeito fotonucleax», o que K.Takahashi jã havia começado a fazer(12_). Neste capítulo, pretendemos ex~

por as partes formais e a explicação sunaria dos conceitos, e, desejamos acentuar aqui, que uma melhor apresentação seria cons_

truir a teoria na forma de segunda quantização; todavia, não o fizemos, uma vez que isto não influi no trabalho que realizamos, e preferimos apenas expor o essencial.

2.2. CONCEITOS INICIAIS

Suporemos de início, a-grande quantidade de níveis, assim sendo, quando calculando uma soma discreta sobre níveis finais, podemos substituí-la por uma integração. Um outro aspecto do tratamento, é que não nos concentramos na analise, como é geral ciente feito, de cada elemento da matriz de transição em separa*

do, trabalhando, ao contrario, com a média do quadrado do valor absoluto dos elementos de natriz rultipliçados pela densidade dos níveis finais. Chamaremos a esta grandeza, função d« inten

-sidade, e a denotaremos por |M(E)| , sendo E, ã diferença de enereia entre os estados inicial e final (na absorção fotonucle ar, E, será a energia do fóton), tenos então, sicbõlicanente :

(2.2.1)

""•- 0 que descrevenos, foi a hipótese essencial do método ado- tado. Precisamos definir agora, que processo de cedia é feito na relação acima, onde $• e * , são os estados final e inicial do núcleo, e 0 é o operador responsável pela transição. No pro cesso de media que nos interessa, precisamos somar sobre todos os estados finais do núcleo, ou seja, dado um estado final de e nergia E. e estados finais E. em torno do aesmo, podemos tomar uma banda de largura 2 AE na distribuição das energias dos esta dos ^inais, e representar, a media (2.2.1), através de :

(2.2.2) onde E. - AE < E. < E. • AE

Usando a hipótese fundamental do método, devemos substituir a soma acima por uma integração. Introduziremos alguns concei-"

tos, na tentativa de fazer esta aproximação. As energias de nu cleon serão denotadas por e, para sereia diferenciadas das ener- gias de núcleo E. Chamaremos D(E,e), a probabilidade de transjL ção de cada nucleon no nível e, transição esta, efetuada através de um operador de um corpo, ou uma soma de operadores de um cor po.

Desta forma podenos escrever :

|H(E)|

- p D(E,e) || de (2.2.3)

tendo r é a densidade de nucleons no nível e. Os limites de Integração e. e c serão discutidos depois.

Temos então, que a função de intensidade |M(E)| fica escri ta como uma integral* sobre e, da distribuição de probabilidade D(E,e) multiplicada pela densidade de níveis de nucleon com pos sibilidade de fazer a transição.

A consideração necessária do principio de exclusão faz-se introduzindo-o no limite inferior do domínio de integração» ao invés de fazer isto no integrando, como é geralmente feito (por exemplo através dó uso de uma distribuição 0, (e - e«) onde Cp é a energia do nível de Fermi). Consideramos que a função de in- tensidade para o núcleo, é a soma das funções de intensidade pa ra protons e para neutrons. Assim como foi feito no capitulo 1, desprezamos então, fenômenos quãnticos de interferência.

As distribuições D(E,e), devem obedecer a certas condições, derivadas das regras de soma, e são escolhidas a partir de dis- tribuições padrão, de conformação não muito distanciada das cur vas obtidas de dados experimentais. Na escolha destas distribui ções, devemos guiar-nos também pela simplicidade. 0 trabalho de Dyson, citado nas referências, contém outras considerações a res_

peito. Uma vez escolhidas as formas de distribuições mais con venientes, fazemos com que dependam de um ou mais parâmetros con venientemente definidos. No capítulo 3, serão discutidas as reis trições a serem impostas às D(E,e).

2.3. ANÁLISE DOS CONCEITOS INTRODUZIDOS

Como já foi mencionado, o operador descrevente do efeito têm que ser um operador de um corpo, ou ainda, uma soma de ope- radores de um corpo.Consideraremos a energia e, de nucleon cons tituída basicamente de dois termos, ou e - e^ + e.. ,onde cK - e nergia cinética de nucleon. £y - energia potencial do nucleon considerado em relação a todos os restantes. Com a consideração dos operadores de um corpo, a energia £ de núcleo pode ser tona da como a diferença de energia de um único nucleon depois e an tes da interação, considerando a transição de um único nucleon.

Existem efeitos quânticos de interferência, con relação ao fa- to do operador responsável pela transição, não ser em realidade um operador de um corpo, mas sim uma soma de operadores desta forma; no que segue tais efeitos de interferência são despreza- dos.

' Com estas considerações, o modelo de casadas é bastante con veniente na determinação das energias de nucleon e. Deve-se no entanto fazer com que a teoria não fique restrita ao uso de um único modelo.

A visualização que usualmente fazemos da distribuição de nu "?4. cleonsjou melhor, da distribuição das energias e dos nucleons , é como se os tivéssemos todos dentro de um vaso, e fizéssemos aí as considerações sobre os níveis de energia dos mesmos.0 vaso é deformãvel de acordo com os valores das energias e. Consideramos a contagem (ordenação) das energias do fundo para a "boca do va so", a qual coincide com as superfícies de Fermi para proton e neutron(jL2); o fundo do vaso pode mudar cora o tempo, sendo uma superposição de estados diferentes de nucleons, o que po- de ser visto do efeito de minircização da energia total dentro do

neutron bem determinados, "o caso real, a interação entre nu cleons, torna difusa, as superfícies de Ferrai. Em relação ã vi sualizaçEo dada, o número de nucleons dentro do vaso pode ser dado através de :

- I

A energia do núcleo, pode então ser dada por : enax

de - . (2.3.2)

(

chanando de e • , a energia de um único nucleon no fundo do va min — so, e e__ . a maxima energia correspondente aos níveis preenchi dos de nucleon único; desta forma dn/de, corresponde ã densida- de de níveis de nucleon que tenham possibilidade de fazer a tran sição, ou seja, que não sAjam inibidos pelo princípio de exclu- são. Pela interação, a energia do núcleo muda a partir do esta do fundamental E . . .

Ê de se notar que ao longo da exposição, fizemos a hipóte- se que qualquer nucleon, com qualquer energia, podia sofrer a interação, e nem ao menos conjecturamos, se'considerações ener- géticas simples ou mesmo o princípio de exclusão não proibiam ou dificultavam a transição deste nucleon. A adoção desta conjectu ra e mais uma característica do método adotado, tornando-o bas- tante diferente de tratar.entos microscópicos.

Seja como sempre E , a energia nuclear e ç , a energia de um nucleon, antes da interação. Então, após a interação, a energia de un nucleon será (e + E ) e esta energia deve superar a energia máxima de um nucleon no vaso anteriormente considerado (e ) pa

max c—•

ra que haja transição de ao nenos um nucleon. Assim sendo, nu d e o n s que possuam energias tais que e<E -E não participarão

na transição.

Podemos modificar um pouco a equação (2.2.3), levando em conta a difusão possível das superfícies de Fermi de neutron e proton. Para fazer isto, acrescentamos um fator no integrando , ou seja, uma função f(E,e), sendo 0 £ f(E,e) £ 1, denominada ge nericamente "função peso", a qual traduzirá a disponibilidade dos estados finais em serem preenchidos,' estando portanto inti- mamente conectada ao princípio de exclusão. Consideremos nova mente, as superfícies de Fermi bem definidas, o princípio de ex clusão é aplicado estritamente e f(E,e), comporta-se como a fun ção degrau 0, ou :

f(E,e) - 9(E + e 'tma^ (2.3.3)

No caso geral, teremos então : ':

|M(E)|2 - [ D(E,e) f(E,e) -^2- de (2.3.«f)

'£

Se houver boa definição das superfícies, podemos usar (2.3.

3 ) , e assim (2.3.4) reduzir-se-á a (2.2.3). Então, o princípio de exclusão poderá ser representado inteiramente .pelo U n i t e in ferior da integral (2.2.3), e a energia nínina de um nucleon de

ve ser í6,,^"1^» a <lual d e v e ser comparada a effiin , a energia de nucleons no fundo do vaso. Rigorosamente falando, o limite infe rior de energias fica mais seguramente expresso por :

( Emin' emax " E )

0 estado final do núcleo |$ >, após a transição, pode ser dado por :

I* > - 0 |i[»o > (2.3.6)

0 mesmo pode ainda ser escrito como uma combinação linear dos au to-estados |i|>*> do hamiltoniano, ou :

I* > - I C. !*• > . (2.3.7)

onde o coeficiente C. é dado de forma aproximada por :

|C.| - D(E,e) -22- de (2.3.8)

-¹ ' de •

< * ! * > - Il

i|

" \ dE f D(E,e) - ^ 2 - de (2.3.9)

0 quadrado da norma do estado |$ > será então

dE f D(E,e) -^2

' J de )

. «u

Para uma melhor caracterização do estado nuclear |<> > pode_

mos conceituar como acima, o quadrado d,a norma e alguns momentos da distribuição de energia, assim sendo, tenos :

a) quadrado da norma :

J í

0|«í»

> -

b) valor esperado de energia :

^ ^ ! ^ (2.3.11) c) segundo momento da distribuição de energia :

O|0+OJI{»O> (2.3.12) De forma genérica, podemos escrever :

(H-E

)

I*

A 1»

. V J 3 ° J J

> l (2.3.13)

Dentro das hipóteses do método, temos E.-E - E , e assim , poder-se-â escrever a expressão acima como : •

f

| ) || |%( j

| ( ) |

(2.3.1»»)

onde fizemos a aproximação essencial de substituir a soma sobre níveis finais por uma integração para todas as energias.

Com isto, os momentos de energia definidos em (2.3.11) e (2.3.12), resultam :

E|M(E)| dE E | ( ) |

J-« c) /-• (2.3.15) b)

E|M(E)|²dE f E²|M(E)|*dE

o , C ) *-«»

, + CO j » * + » ,

| M ( E ) | dE |M(E) | dE