DETERMINAÇÃO DOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO E DA DEMSI3ADE DE NÍVEIS

No documento RUBEM P. MONDAINI Ressonância gigante de dipolo pela teoria de muitos npiveis. Tese de Mestrado, 1977 (páginas 45-59)

A ) - CARGAS EFETIVAS (21)

B. MASSAS EFETIVAS

2.4. DETERMINAÇÃO DOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO E DA DEMSI3ADE DE NÍVEIS

Deve-se notar tjue as formas .específicas de dn/de,£ , e , e mesmo D(E,e), não foram dadas ao longo da exposição até aqui feita; já mencionamos que as D(E,e) devem ser escolhidas entre distribuições convenientemente parametrizadas e normalizadas,de acordo com as considerações de teorias estatísticas de muitos níveis como sumarizadas por F.J.Dyson(_27) ; de acordo com isto, escolhemos a forma gaussiana como ponto de partida. 0 processo de normalização das distribuições D(E,e) depende da fenomenolo-gia de cada efeito, no qual estejamos usando as mesmas. Para o efeito fotonuclear, que nos interessa, uma discussão de nornali zação será iniciada no próximo parágrafo e continuada xvo eapítu Io seguinte, onde serão apresentadas as possíveis normalizações ainda existentes para as D(E,e), mssmo que o efeito de interesse já tenha sido especificado.

Para determinar dn/de,e, em a x» podemos usar um modelo esta tístico para o núcleo, e, por simplicidade usamos o modelo do gás de Fermi. Sem entrar erí considerações que supomos ser per-.

feitamente conhecidas neste modelo elementar, teremos:

de " h

onde V é o volur.e de normalização V _ — » r A; n é a nassa e

t °

fetiva de nucleon,já interpretada no capítulo 1; aqui nao faze-mos distinção ainda entre protons e neutrons.

Escrevendo drs/de, naís diretamente relacionado a nosso ca*

so, onde existe um lir.ite inferior de energias e • , tenos

(2.=,.!) de C2» H)

onde E .„ fica determinado através de eP - e . - e . - sendo : -^ nun r max oxn

er - X KF /2m* 2 — I 3TT -£-) (2.H.2)

F F 2m* \ "2m* V / n é o número de nucleons .é ú

Desta forma, a função intensidade, resulta : e

V 3 I / 2 E

(2TT i

e

,2 oV 3 I / 2 f EiaX 1 .2

M(E) ^ - 3 «nr(2n* ) ' D ( E , E ) ( E - e - ) ' de

(2TT K) i£ ? n x n

o u :

(2TT M )3

0 limite inferior pode ser escolhido de acordo a (2.3.14).

No entanto, da própria forma da integral na equação (2.H.3),.ve mos que do fato que as partes não-cinéticas das energias de nu cleon são constantes, poderemos fazer a integração unicamente sobre as energias cinétiças, e assim, os limites de integração 'Serão expressos por :

a) e - Max | ev , tv -El ; b)-E) } b) e - E - zv - e

/

Sendo a ) , o limite i n f e r i o r , deduzido através das identidades ,

O limite superior b ) , utiliza as messnas identidades e

*

Eü ~ emax CF

2

Com isto podemos escrever a função intensidade |M(E)|, como:

M(E) - -LJLÜI (2m*

s

) ' e / DCE.e,.) fl ^ - | d

(2ir li)8 F ^e K I €F / (2ir n )J * J£ ' * I cF / eK

(2.H.5) 2.5. DISCUSSÃO DA NORMALIZAÇÃO A SER USADA

A parte nuclear do operador de interação, 0, no caso da rea ção fotonuclear, deve ser escrita : * ' .

0 = q z . (2.5.1)

sendo q, a carga efetiva de nucleon em consideração, em unidades de e, a carga do electron; z, a variável de posição do nucleon.

Como pode se concluir da definição dada a D(E,e), temos que D(E,e) dE , represen-ta genericamente a probabilidade que a energia nuclear aumente de uma quantidade E , a partir de um va lor fundamental E . A energia final fica em uma faixa de lar*

gura dE. Assim, podenos escrever :

D(E,e) dE - l | <í» (E^)|0| i> (EQ) >|2dE (2.5.2)

onde ; EQ - dE < E. < EQ + dE

Da hipótese de sir.etria de carga, sabeoos que a única dife-rença explícita entre os elementos de matriz de proton e neutron reside na carga efetiva.

Vamos introduzir agora uma forma de D(E,e) que se relacio-ne indistintamente a relacio-neutrons e protons, ou seja, separamos os efeitos coletivos associados ao conceito de cargas efetivas, das

o

distribuições D(E,e). Seja D (E,e) a nova distribuição por nu cleon; assim, a exemplo de (2.5.2), teremos :

o, — •

-D°(E,e) dE - l |< ifrCE^ |z| ií»(EQ)> | dE (2.5.3) J

Através (2.5.1), a separação desejada será então :

D(E,e) - q2 D°(E,e) (2.5.*)

Da completeza dos estados, resulta :

+ « o • •

D(E,e) dE - < i|i(E«) |0 Oi *(E ) > (2.5.5)

D°(E,

e)dE - < »{»(Eo) |z | *(E ) > - - (2.5.6)2

Para calcular o membro direito de (2.5.6), e assim conse-guir uma primeira condição de normalização às distribuições•

D°(E,e), podemos considerar o auto-estado |ip(E )> cono o estado fundamental Jt{» > de um sistema de partículas de carga q, distri-buidas com densidade uniforme p , em una região esférica de raio R, ou :

p — p , r < R ; p — 0 , r > R

Con» i s t o , terenos :

0

3 V

o

- °

uma v e z que : q 1>*Q $Q — pQ

A normalização das distribuições D°(E,e) fica então dada -por :

(2.5.7)

[ D°(E,e) dE - —

J-co S

APLICAÇÃO DO rORMALISMO USADO NA RESSONÂNCIA 6IGANTE DE DIPOLO 3.1. TRADUÇÃO DAS REGRAS DE SOMA

~ Utilizando a aproximação essencial da "teoria de muitos nx veis, esquematizada no capítulo anterior, vamos escrever as re gras de soma já deduzidas no primeiro capitulo, e referentes ao caso nuclear£12)

Com a normalização adotada das distribuições D(E,e) e a in terpretação dada a D°(E,c)dE, a primeira regra de soma escrever -se-á por :

•t .

2 C E - E0) f - - j

* i n

ou seja :

- 2m f+ no ,

-u = — D (E,i

1 a 2 J —

1 . . r 2m f "no ,P ,._ __ 2m 3R2

!vo> = -r J D (E,c)dE -•—• —

(3.1.1)

5H

Onde utilizamos

dE

p(E) - J D°(E,e) dZ

Para a regra seguinte, temos

%-!*..-U

OU S I r n

fc -D BI

(3.1.2)

usando as considerações anteriores, e a aproximação E-- E = E . Para a outra regra de soma, já considerada no capítulo 1 e cue possui interesse no desenvolvimento subsequente, tezos :

= ^? [ E2 D°(Z,e) dE - Ü£ < .f |T| * > (3.1.3)

Kz ^— 3m* ° °

ou : m

3ra

Sendo T,a energia cinética efetiva de ura único nucleon, ou : T - p2 / 2m*.

Com esta nova forma de expressão das regras de soma, vamos conceituar agora, o valor esperado de energia, o desvio médio quadra tico, etc, una vez que consideramos D°(E,e)como uma distrjL buição sobre E.

Para valor esperado de energia, podeir.os escrever : I E D°(E,i dE

f ° e ) dE f *D°ÍE,

o que resulta, utilizando (3,1.1) e (3.1.2)

SM2 (3.1.U)

0 desvio quadrático nédio, aqui se expressa por :

onde A2 é o segundo momento da distribuição de energia , ou :

[ E

2

D°(E,c) dE

ã

2

- —

f+" D°(E, c) dE

3m*

Com isto, o desvio médio para as distribuições D(E,e) escre ver-se-á" por :

õ2 - Ã ( | T - Ã ) (3.1.6)

Notemos, que do fato de õ*2 £.0, teremos :

T - J 4 . (3.1.7)

0 que nos conduz a considerar na teoria, uma energia ciné- -•

tica mínima de nucleon, ou seja :

T . - £ J . (3.1.8)

min |.

0 desenvolvimento acima já evidencia a grande utilidade das regras de soma. A arbitrariedade inicial, na ..escolha das distri buições D<E,E), fica un tanto restrita já que as mesr^as devem sa

tisfazer às fornas escritas das regras, como também obedecer aos princípios esquenatizados no fim do parágrafo 2.2.

- 3.2. "POSIÇÃO" DOS PICOS DAS DISTRIBUIÇÕES

Cono já foi dito D(E,e) é a probabilidade que um nucleon fa ça a transição causada pela absorção do foton ; D(E,e) deve ter um pico associado a essa absorção ressonante de partícula única.

Por outro lado, da electrodinânica quântica sabenos que dois ti^

pos de gráficos de Feynman contribuem para os elementos de ma-.

triz deste tipo de processo fundamental, sendo que um fornece ressonância en +Ku, e o outro em -Mu.

Através da exposição da teoria, utilizamos o potencial do oscilador harmônico clássico, fazendo em seguida una avaliação de quanto esta aproximação é boa. En núcleos leves, sabenos que o potencial do oscilador fornece bons resultados. Adiante serão apresentados os resultados obtidos com os núcleos usados neste trabalho,, utilizando a aproximação do oscllador, comparados con os conseguidos por ajustamento de curvas.

Precisamos então saber qual será a abscissa do pico da di£

tribuição D°(E,e). K.Takahashi, utilizou Inicialmente una distri buiçao com pico em E=0, e os resultados obtidos não foram sati£

fatorios. Para sanar esta dificuldade, considerera-se distribui ções D°(E,e) e D°(E,e), as quais possuem'picos en respectiva-mente Yua e -Ita; utilizaremos uma distriboição- D°(E,e), que s£

ja uma combinação destas duas, ou seja :

D°(E,c) - a Dj(E,c) + b D°(E,c) (3.2.1)

Chamemos A o valor absoluto da abscissa do pico das distri buições, ou seja :

f. E D° (E,e) dE f D° ( E,e) â£

E D° (E,

/ — eo

( + »

- ,c) dE

) — oo

A

-f (E,e) dE

e , utilizando para normalização de D' (E,c) a mesma que foi usei da para D° ( E , c ) , o u :

[ dE D? (E,e) - - S

obteremos : a = (A + A ) /2A ; b = (A - Ã") / 2A (3.2.2)

Se escrevermos a =1/(1 + x^teremos b 5 x / d * x)

onde : % - (L - I )/(A * I) (3.2.3)

0 desvio quadrático para estas distribuições, se expressa por :

2 (3.2.4)

com o que, teremos :

o2 - õ2 + (i) - (A)

A - I (1 + x ) / C l - X>

do que r e s u l t a :

o2 - 4 ( } T " 4 ) + (Ã") - (Ã"> f1 * Xl - Ã" [ - T - í — Í - ^ 1 Ã"

v* ~ X * •*• ~ X )

(3.2.S)

De o2 £.0, notamos , que precisamos modificar, face ao uso das distribuições ~D° (E,e) o valor da energia cinética mínima de nucleon, ou :

Já havíamos mencionado, no capítulo 2, a incerteza que ha-via no valor mínimo de nucleon no fundo do "vaso nuclear1*, is-to fica evidenciado através da desigualdade que conduz a (3.2.5).

Para que tenhamos uma visualização da ordem de grandeza de A - Mw ,podemos comparar a energia do último nucleon ligado em um potencial de oscilador harmônico, com a expressão geral do po tencial, que fornece a constância do espaçamento entre as cana-das (28). Podemos também comparar o valor de : <tfr !r I * >,

uti-— *. r o ' o

lizando autofunções do oscilador harmônico, com o valor aproxi-mado para este elenento de matriz deduzido no capítulo 2, ou se

3 2 2/3 "*

3 a "T r ° A

Utilize do a nassa efetiva nos potenciais escritos, e ex-pressando os resultados no sistema (Mev, fm*seg) ,terer.os :

A .*-Jtli2L- -EL (3.2.7)

1/3

Sabenos que para núcleos leves, a variação da energia de ressonância com A(2^,^2), e mais acentuada que A , podenos então, corrigir a formula acima, fazendo :

A i 42,08 -ü- ( - J L - + _ L _ \ (3.2.8) n* \ A1/3 A*/3 '

o que pode ser esperado valer para qualquer A.

3.3 ESCOLHA E NORMALIZAÇÃO DAS DISTRI3UIÇ0ES D°(E,e) :

Na escolha.da forma das distribuições D ° ( E , E ) , seguimos as considerações do trabalho de Dyson, e como*também jã dissemos, o uso das regras de sona, limita um pouco a possibilidade de e£

colha, pois é de todo desejável que possamos fazer as integrais que as definem. Da forma destas integrais, tomando em conside ração os limites (-«• a +«° ) , podemos tentar realizar a integra-ção por resíduos, e assim as distribuições D°(E,e) devem ser a nalíticas em um domínio fechado (o servi-plano superior) exceto em um certo número de singularidades aí existentes. As formas . de D°(E,e) que escolhemos são a gaussiana(12,27X5 a lorentziana modificada, ou :

2

/2 . Do

(3.3.1) onde g, X j , X2 são funções de e, a energia de nucleon, e parâ-metros na integração feita com as distribuições (3.3.1),a scren

determinados depois.

Vamos nos concentrar inicialmente na normalização de foiv?.a lorentziana modificada, uma vez que a da gaussiana e trivial.

Os polos na integral J D? (E,e) dE, são evidentemente

• / —CD

iX}, e ix2 » e os resíduos respectivos :

<r ) - - . <r )

-(3.3.2) Com o que :

(E,c) dE - -2» " T7) -2XÍCX2-X!)'

(3.3.3)

x i - x2< x2

A distribuição D, (E,e) pode ser escrita então em sua for-ma norfor-malizada :

R

DO /F f\ ü _

L 5

+x2)

* • I(E-A) + XjJICE-A) +X5J

(3.3.U) Para a integral associada ao segundo momento de energia,te

remos :

2 - /

E Df(E,e> d E - ir I-,

x

2

( 3 . 3 . 5 ) Com i s t o , o d e s v i o q u a . i r á t i c o , d e t e m i n a d o a t r a v é s ( 3 . 2 . M ) ,

resulta :

2

° " X l X 2 (3.3.5) Assim, devemos escrever :

*1 - o "n/Y , X2 - an Y ou Xi - a ~nY , X2 - on/ Y

(3.3.7) onde n é qualquer n? real eyáuiD parâmetro adicional.

As duas escolhas para Xj eX2s!o equivalentes, uma vez que Xi e X2 aparecem simetricanente em (3.3.4), fornecendo para o valor da secção de choque, em E-= A, uma vez que a mesma e pro porcional a (2.4.5) :

F £V2 (cg - B)"~*+Y2 de (3.3.8)

c C ( at- 0 )n /

onde : o - - I , P - ( 1 + x) Ã"2 por (3.2.5)

3 l 1 - x'

temos também : o e _ - p — 0 (3.3.9) uma vez que podemos considerar e, como a energia cinética míni-ma de nucleon.

Em virtude de (3.3.9), a integral acima somente converge para 0 < n < 2.

Escolhendo n = 1, poderenos escrever (3.3.4), como : 2

5, '* (^

(y • l) i i 2-TT7 ; T T <

+ ti 1(^5 • c%7[

3- 3 -1 0 )

Para a gaussiana, terenos :

D° (E,e) - R _L_ e"*( E+A ) / 2° (3.3.11)

G ± ' 5/2ÍT o

A forma escolhida de Dg(E,e), corresponde ã"lei de distri-buição normal" (2^9)em teoria da probabilidade;a normalização de (3.3.11) é imediata, em razão das integrais envolvidas serem pa dronizadas.

No documento RUBEM P. MONDAINI Ressonância gigante de dipolo pela teoria de muitos npiveis. Tese de Mestrado, 1977 (páginas 45-59)