Teoria Cinética dos Gases - I Profa. Carolina Brito

Teoria Cinética dos Gases - I

Profa. Carolina Brito

Importante: este material tem fins didáticos.

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Algumas figuras desta aula foram feitas por Leonardo Beltrão Duarte e algumas foram retiradas da Wikipedia.

Área 2 - Física IIIc

1. Propriedades de Gases I

2. Teoria Cinética dos Gases I

3. Teoria Cinética dos Gases II

4. Propriedades de Gases II & Teoria Cinética dos Gases III 5. Segunda Lei da Termodinâmica

6. Teorema e Ciclo de Carnot 7. Entropia I

8. Entropia II

Profa. Carolina Brito

Mecânica vs Termodinâmica

● Descrição macroscópica do sistema

● No equilíbrio é possível descrever o sistema com 3 variáveis:

● Pressão, Volume, Temperatura

● (a redução de 6x10²³ a apenas 3!)

● Historicamente, a termodinâmica se

desenvolveu experimentalmente → empírica

● Mais tarde, a Teoria Cinética dos Gases e depois a Mecânica Estatística foram

desenvolvidas baseadas nas propriedades microscópicas do sistema e justificam porque a termodinâmica funciona

Discussão feita na primeira aula...

→ Como seria um modelo microscópico para entender as propriedades dos gases?

→ O que são a pressão P ou a temperatura T de um gás do ponto de vista microscópico?

Vamos considerar um gás homogêneo, de uma substância pura, contido num recipiente.

● o gás é constituído de um número extremamente grande de moléculas idênticas (N~10²³) ;

● o tamanho de uma molécula de gás é desprezível em comparação com a distância média entre as moléculas (ex: moléculas de vapor d'água ocupam 1/1000 do volume do gás) ;

● as moléculas estão em movimento constante em todas as direções;

● as forças de interação entre as moléculas são de curto alcance, atuando somente durante as colisões;

● as colisões entre as moléculas e entre elas e as paredes são perfeitamente elásticas (o que ocorreria com a energia das partículas se não fossem?)

Hipóteses Básicas da Teoria Cinética

Origem física da pressão cinética

● Qual é a origem da pressão num modelo com estas hipóteses ?

Simulação:

phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/ → Gases: Introdução

Origem física da pressão cinética

● Qual é a origem da pressão num modelo com estas hipóteses ?

colisões elásticas entre as moléculas e as paredes do recipiente

Cálculo da pressão cinética

● Colisões entre as paredes do recipiente e as moléculas

● Para calcular a pressão cinética, são necessários 3 conceitos:

1) Troca de momentum linear com as paredes do recipiente, ∆ p 2) Segunda lei de Newton: F= ∆ p/ ∆ t

3) Definição de Pressão: P = <F>/A

m

Cálculo da pressão cinética

1) Troca de momentum linear com as paredes do recipiente, ∆ p

● Colisão com a parede é elástica → a componente da velocidade perpendicular à parede é invertida:

● O momento linear transmitido à parede pela molécula durante a colisão

Cálculo da pressão cinética

2) Segunda Lei de Newton, F= ∆ p/ ∆ t

taxa com a qual o momentum é transmitido à parede é a força atuando sobre esta.

● Intervalo de tempo Δt entre as colisões:

é o tempo que a molécula leva para ir até a parede oposta e voltar (distância = 2L). Como velocidade é v_x=distância/t, a partícula choca-se com um lado específico da parede uma vez em cada

● a taxa com que o momento é transmitido (força) à parede por esta única molécula é

Cálculo da pressão cinética

3) Definição de Pressão: P =<F>/A

● É preciso levar em conta a contribuição das i=1, 2, .., N partículas

valor médio do quadrado das velocidades em x

Cálculo da pressão cinética

3) Definição de Pressão: P =<F>/A

● É preciso levar em conta a contribuição das i=1, 2, .., N partículas

Cálculo da pressão cinética

3) Definição de Pressão: P = <F>/A

● Força média das partículas nas paredes:

● Sendo Área da parede A=L² , a pressão é dada por:

Cálculo da pressão cinética

3) Definição de Pressão: P = <F>/A

● Força média das partículas nas paredes:

● Sendo Área da parede A=L² , a pressão é dada por:

Pressão cinética dos gases

Relação entre uma variável macroscópica, a Pressão P

● Note que <v²> tem dimensão de velocidade ao quadrado. Para obter uma estimativa das velocidades “típicas” das partículas, definimos a velocidade quadrática média (root mean square):

e uma variável microscópica, que é a velocidade das partículas

Qual a velocidade quadrática média do O₂ a T = 273K e P = 1atm, sabendo que ρ_O2 = 1.43 kg/m³?

Exemplo 1

● A velocidade quadrática média depende do tipo de gás e de sua temperatura

●

Mais sobre a velocidade típica dos gases

M: massa molar do gás

● A velocidade quadrática média depende do tipo de gás e de sua temperatura

●

Mais sobre a velocidade típica dos gases

● Para uma molécula, a energia cinética translacional média é

● Usando , obtemos

Energia cinética de translação

● Para uma molécula, a energia cinética translacional média é

● Usando , obtemos

Energia cinética de translação

é a Constante de Boltzmann .

R: Constante universal dos gases ideias

N_A: número de Avogadro

● Para uma molécula, a energia cinética translacional média é

● Usando , obtemos

Energia cinética de translação

Ou seja, a uma dada temperatura T, independentemente da massa, todas as

moléculas de um gás ideal têm a mesma energia cinética média.

https://www.tec-science.com/thermodynamics/kinetic-theory-of-gases/determination-of-t he-velocity-distribution-in-a-gas/

Determinação experimental das velocidades das moléculas do gás

(vídeo)

https://www.tec-science.com/thermodynamics/kinetic-theory-of-gases/determination-of-t he-velocity-distribution-in-a-gas/

Determinação experimental das velocidades das moléculas do gás

● Para um gás em equilíbrio, a distribuição (do módulo) das velocidades é conhecida

● A área sob as curvas é normalizada a 1, isto é

● A função que descreve as curvas acima é conhecida como Distribuição de Maxwell (1852)*

M é a massa molar (M=mN_A).

Distribuição de velocidades das moléculas do gás

velocidade v (m/s)

Probabilidade P(v)

● Interpretação:

: probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade entre

Distribuição de velocidades das moléculas do gás

velocidade v (m/s)

Probabilidade P(v)

: probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade entre

● Além de v_qm, há outras velocidades típicas que podemos definir a partir da distribuição de Maxwell:

a velocidade mais provável, v_P e a velocidade média, v_med, v_avg, <v>

Outras velocidades típicas das moléculas do gás

velocidade mais provável, v_P (derivada da curva = 0)

velocidade média, <v>

(primeiro momento da distribuição)

valor médio do quadrado da velocidade, <v²>

(segundo momento da distribuição)

velocidade v (m/s)

Probabilidade P(v)

Outras medidas de velocidades típicas das moléculas do gás

● A velocidade média é o primeiro momento da distribuição:

● Valor médio do quadrado da velocidade o segundo momento da distribuição e a velocidade quadrática média:

●

V

Exemplo 2

Um recipiente é preenchido com O₂ à temperatura ambiente e a figura abaixo mostra a distribuição de velocidades das moléculas neste recipiente. Que fração de moléculas tem velocidades no intervalo 599-601 m/s?

velocidade v (m/s) Probabilidade P(v) (10-3 s/m)

● Probabilidade de encontrar moléculas entre v₁=599m/s e v₂=601m/s → fração de moléculas com velocidades neste intervalo:

● O intervalo dv = 2 m/s é pequeno. Assim, P(v) é praticamente constante em todo o intervalo

Exemplo 2

Um recipiente é preenchido com O₂ à temperatura ambiente e a figura abaixo mostra a distribuição de velocidades das moléculas neste recipiente. Que fração de moléculas tem velocidades no intervalo 599-601 m/s?

velocidade v (m/s) Probabilidade P(v) (10-3 s/m)

● Probabilidade de encontrar moléculas entre v₁=599m/s e v₂=601m/s → fração de moléculas com velocidades neste intervalo:

1,3