3.2F ORMAS - Recent site activity - Younes Nikdelan

(1)

lim ( x b

f ((x) – g(x) = lim ( x b

f (x) –

lim (

x b g(x)

lim ( x b

k . f ((x) = k. lim ( x b

f (x) em que k é uma constante

lim ( x b

( f (x) . g(x)) = lim ( x b

f (x) . _{lim (} x b

g(x)

lim ( ) ( )

lim ( )

x b

f x g x

f x

g x

desde que lim ( x b

g(x) 0

Assim, por exemplo, podemos calcular lim( 2 4 )

3 x x

x da seguinte forma:

2 2 2

3 3 3

3 3

lim ( 4 ) lim lim 4 lim 4lim 9 4(3) 21

x x x

x x

x x x x x x

PROBLEMAS

1.

_{Para cada função abaixo}_f₍_x_{) e para cada}_a,_{calcule (quando existir):}

lim

x a f x

f (x), lim

x a f x

f (x), e lim

x a f xf

(x).

a) f (x) = x3_,_a_{= 2} _b)_f₍_x_{) = 2}_x_{+ 1,}_a_{= 3}

c) f (x) =

x

,

a

5

3

0

d) f (x)

x

,

5

3

a = 2

e) f (x) = x se x

se x

, ,

2 1 3

8 3 f) f (x) =

x se x x se x

, , 2

0

0, a = 0

g) f (x) = x se x

se x a

,

, ,

2 2

7 2 2 h) f (x) =

3 x

4 ,

a

7

i) f (x) =

2 ,

a

2 x

x

j) f (x) = 2

2

1 x

x

,

a

2

k) f (x) = log (1 + x), a = 0

3.2 F

ORMAS

INDETERMINADAS

Consideremos a função f (x) = x

x

2 4

(2)

PROBLEMAS

2.

_{Obtenha os limites}

a) 2 3 9 lim 3 x x x b) 2 7 49 lim 7 x x x c) 2 5 5 lim 25 x x x

d) _lim x x x x x 0 2 2 3

e) 3

2 0 lim 2 x x x x

f) 2

1 4 3 lim 1 x x x x

g) 2

4 7 12 lim 4 x x x x h) 2 1 1 lim 3 2 x x x x

i) 2

1 2 1 lim 1 x x x x j) 2 2 2 lim 4 x x x

k) _lim x x x 2 3 8 2 l) 3 2 3 27 lim 5 6 x x x x m) 2 3 1 4 3 lim 1 x x x

x n) 1 2

1 lim 3 2 x x x x

3.3 L

IMITES

INFINITOS

Consideremos a função f (x) =

x

5

3 definida para todos os números reais diferentes de 3. Vejamos o que acontece com f (x) na vizinhança de 3.

Calculemos o limite de f (x) quando x tende a 3 pela direita: vamos atribuir a x os valores de uma sucessão que convirja para 3 pela direita, por exemplo:

(3,1; 3,01; 3, 001; 3, 0001; ....)

As correspondentes imagens são:

f ( , )

,

3 1 5

0 1 50;

f( , )

,

3 01 5

0 01 500;

5

(3, 001) 500

0,001

(3)

f( , ) ,

3 0001 5

0 0001 50.000

Observamos que as imagens vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Dizemos, neste caso, que o limite de f (x), quando x tende a 3 pela direita, é infinito e escrevemos:

3 3

5 lim ( ) lim

3

x f x x x

Analogamente, para calcularmos o limite de f (x) pela esquerda, vamos atribuir a x por exemplo,os valores:

(2,9; 2,99; 2, 999; 2,9999; ....)

f ( , )

,

2 9 5

0 1 50

f ( , )

,

2 99 5

0 01 500

f ( , )

,

2 999 5

0 001 –5.000

f ( , )

,

2 9999 5

0 0001 –50.000

Observamos que as imagens vão diminuindo cada vez mais, ficando abaixo de qualquer valor fixado. Dizemos que o limite de f (x) é menos infinito, quando x tende a 3 pela esquerda, e escrevemos:

3 ₃

5 lim ( ) lim

3

x f x _x x

De um modo geral, o limite de uma função é infinito, quando os valores de f (x) vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dize-mos que o limite de uma função é menos infinito, quando os valores de f (x) vão ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado.

PROBLEMAS

3.

_{Para cada função}_f₍_x_{) abaixo, calcule}

_lim

x a

f (x) e

lim

x a

f (x), quando existirem:

a) f (x) = , 6 6

4

a

x b) f (x) = 1 , 1

3

a x

c) f (x) = , 5 5

2

a

x d) f (x) = , 0

5

(4)

e) f (x) = , 2

2 x a

x

f) f ( ) = , 1 1

2 a x

x

g) ( ) 1, a 0 x

x

f _h) f x

x a

( ) 12 , 0

i) ( ) 1₂ , a 0 x

x

f j) ( ) 1₃, a 0

x x f

k) f x( ) 2x 1₂ , a 0

x l)

3

( ) 5 , 2

2

f x x a

x

m) ( ) 5 ₂ , 1

( 1)

x

f x a

x n) 2

1

( ) , 1

5 ( 1)

f x a

x x

o) ( ) 4 ₂ , 3

( 3)

x

f x a

x p) 2

1

( ) , 3

4 ( 3)

f x a

x x

3.4 L

IMITES

NOS

EXTREMOS

DO

DOMÍNIO

Quando fizemos o estudo das funções no Capítulo 2, vimos a importância de conhecer o comportamento de uma função quando x era muito grande (tendendo para infinito) ou muito pequeno (tendendo para menos infinito). Na verdade o que queríamos era deter-minar os valores dos limites, chamados limites nos extremos:

lim

x f (x) ou x

lim

f (x)

A maneira de obtermos esses limites consiste em escolher uma sucessão que di-virja para mais infinito, ou simplesmente para infinito ( ), ou menos infinito (– ) e determinarmos o comportamento da nova sucessão gerada por f (x).

E

XEMPLO

3.5

Consideremos a função f (x) =

x

1

e tomemos uma seqüência que

di-virja para infinito, por exemplo, (10; 100; 1000; 10000; ...; 10n_{; ...).}

f (10) = 10) 1 0,1

10 ,

f (100) = 1 , 100 0 01,

f (1000) = 1 , 1000 0 001,

f (10000) = 1 ,

(5)

PROBLEMAS

4.

_{Calcule os seguintes limites}

a) lim 1₂

x _x b) 2

1 lim

x _x

c) lim 4

x x d)

4 lim

x x

e) 5

lim 3

x x

f) 5

lim 3

x x

g)

lim

x

e

h)

lim x

x e

i) 4 3

lim (2 3 6)

x

x x x j) 4 3

lim (2 3 6)

x x x x

k) lim (2 5 3 2 6)

x x x l)

5 2

lim (2 3 6)

x x x

m)

4 2

2

5 3 1 lim

5 2 1

x

x x

x x n)

4 2

2

5 3 1 lim

5 2 1

x

x x

o)

3 2

3 2 5

lim 1 x x x x p) 2 1 lim 3 x x x

q) lim 2 1 3 x x x r) 25 2 lim 16 3 x x x s) 2 2 3 1 lim 2 5 x x x

x x t) 2

1 lim 3 x x x u) 2 3 2 3 1 lim 1 x x x

x x x v) 2

4 1 lim

2 5 1

x x x x w) 2 1 2 lim 3 4 x x x x) 1 2 lim 3 4 x x x

3.5 C

ONTINUIDADE

DE

UMA

FUNÇÃO

Intuitivamente, a idéia de função contínua decorre da análise de seu gráfico. Quando o gráfico de uma função não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua. Se houver algum ponto onde ocorre a interrupção, dizemos que é um ponto de descontinuidade.

A fim de tornarmos mais formal esse conceito, observemos as funções que estão na Figura 3.8.

Temos as seguintes considerações a fazer:

(6)

1 000 1 1 1 000 1 27

2 0 12

. lim . . .

.( , )

x

x e 11 25,

pois a expressão entre colchetes é o limite exponencial fundamental.

De um modo geral, se um capital C é capitalizado continuamente a uma taxa pro-porcional a uma taxa i anual, pelo prazo de n anos, o montante é dado por:

M C ei n . .

PROBLEMAS

5.

_{A função}_f₍_x_{) =} 2x –1, se x 3

3x – 4, se x > 3 é contínua no ponto x = 3?

6.

_{A função}_f₍_x_{) =} x

2_{+ 3, se}_x₂

10, se x = 2 é contínua para x = 2?

7.

_{Verifique se a função}_f₍_x_{) =} x

x x

x ,

,

2

1

1 1

3 1

se

é contínua para x = 1.

8.

_Determine_k_{, de modo que a função}_f₍_x_{) =} 2x + 3, se x 2

k, se x = 2 seja contínua para x = 2.

9.

_{Dada a função}_f₍_x_{) =}

x

1

a) determine a assíntota vertical no ponto x = –1; b) determine as assíntotas horizontais.

10.

_{Dada a função}_f₍_x_{) =}

x

2

1

a) determine a assíntota vertical no ponto x = 1; b) determine as assíntotas horizontais.

11.

_{Dada a função}_f₍_x_{) = log}_x_{, determine a assíntota vertical para}_x_{= 0.}

12.

_{Dada a função}_f₍_x_{) = 2}x_{determine a assíntota horizontal.}

13.

_{Calcule os seguintes limites:}

a) lim

x

x 1 1

2

b) lim

x

(7)

c) lim

x

1 2 d) lim

x

x x

2 3

2

e) 0

ln(1 )

lim x

x x

14.

_{Calcule o montante de uma aplicação de $ 2.000,00 a juros compostos} capitaliza-dos continuamente a uma taxa proporcional a 15% ao ano, durante 4 anos.

15.

_{Calcule o montante de uma aplicação de $ 5.000,00 a juros compostos} capitali-zados continuamente a uma taxa proporcional a 20% ao ano, durante 6 meses.

16.

_{Calcule o montante de uma aplicação de $ 6.000,00 a juros compostos capita-} lizados continuamente a uma taxa proporcional a 22% ao ano, durante 15 meses.