Viagens no Espa¸co-tempo e Paradoxo dos G´ emeos

(1)

Viagens no Espa¸

co-tempo e

Paradoxo dos G´

emeos

Paulo Crawford

Centro de Astronomia e Astrof´ısica da Universidade de Lisboa

Campo Grande, Ed. C8; 1749-016 Lisboa – Portugal

11 de Mar¸co de 2007

Diagramas do Espa¸

co-tempo

Nos últimos anos têm surgido na literatura da especialidade muitos trabalhos sobre as “Máquinas do Tempo”, isto é, constru¸cões geométricas de espa¸co-tempo, solu¸cões das equa¸cões de Einstein da Gravita¸cão, que admitem curvas temporais fechadas: qualquer observador que seguisse ao longo dessas linhas do Universo poderia re-visitar o seu passado. Na sequência dessa discussão voltaram a aparecer artigos sobre o chamado paradoxo dos gémeos e sua resolu¸cão no âmbito da teoria da relatividade (restrita).

Para abordar esta quest˜ao, vamos come¸car por introduzir diagramas no espa¸co-tempo da Relatividade Restrita (RR), vulgarmente conhecidos por

diagramas de Minkowski, os quais desempenham um papel pedag´ogico

re-levante na assimila¸cão dos efeitos cinemáticos da RR (dilata¸cão do tempo e contraçcão do espa¸co) e na compreensão da estrutura causal do espa¸co-tempo plano. Estes diagramas são, aliás, um bom ponto de partida para introduzir os conceitos fundamentais da RR. Mas poderão ter uma fun¸cão complementar da discussão algébrica habitual.

Comecemos por usar os diagramas do espa¸co-tempo para evidenciar o

carácter relativo da simultaneidade entre acontecimentos distantes no espa¸co, isto é, o facto da simultaneidade entre acontecimentos distantes não ser universal para observadores inerciais com velocidades relativas muito grandes (próximas da velocidade da luz no vácuo). Observemos as figuras (1) e (2), onde se observam os pares de acontecimentos (O, A) e (O, A′_).

(2)

simultanei-O

x x' t _t'

A

simultaneidade em S

A'

Figura 1: Os acontecimentos simultâneos em S estão sobre linhas paralelas ao eixo do x. Por exemplo, os acontecimentos (O, A) são simultâneos em S.

dade em cada um dos referenciais, S e S′_{, s˜ao paralelas aos eixos} _x _e _x′_,

respectivamente.

De modo que o que é simultâneo em S (ou seja, para os observadores em repouso no referencial inercial S) nâo é simultâneo em S′ _{e vice versa.}

Dilata¸

c˜

ao do tempo

Dizemos que dois acontecimentos formam um par no tempo ou são tem-porais, se há um referencial onde eles ocorrem no mesmo ponto do espa¸co, o chamado referencial próprio, como é o caso de um viajante, sentado num banco de um comboio, que come¸ca a leitura do jornal e acaba ao fim de uma hora. O in´ıcio e o fim da leitura definem dois acontecimentos que ocorrem no mesmo ponto do espa¸co (do comboio) em instantes diferentes. Em qualquer outro referencial, como é o referencial Terra, o intervalo de tempo entre esses mesmos dois acontecimentos é maior do que o intervalo de tempo próprio. E por essa razão se fala em dilata¸cão do tempo. Este facto, muito conhe-cido, e fácil de verificar em termos algébricos, torna-se muito evidente com o aux´ılio do diagrama de espa¸co-tempo que se segue Fig. (3).

Recordemos que, devido à constância da velocidade da luz e à isotropia da sua propaga¸cão no espa¸co vazio, uma vez emitido um sinal luminoso num dado ponto do espa¸co e num dado instante, tomados respectivamente como origens espacial e temporal dos referenciais S e S′_{, deve verificar-se}

x2

+y2

+z2 −c2

t2

=x′2

+y′2

+z′2 −c2

t′2

(3)

O

x x' t _t'

simultaneidade em S'

A' A

Figura 2: Os acontecimentos simultˆaneos em S′ _{est˜ao sobre linhas paralelas}

ao eixo x′_{. Por exemplo, os acontecimentos (}_{O, A}′_{) s˜ao simultˆaneos em} _S′ _: t′

A′ =t′O = 0. Mas claramente,tA′ > tO = 0. Note que a plica emt′A′ refere-se

ao tempo t′ _{no referencial} _S′_.

ou seja, os pontos do espa¸co que num dado instante de cada referencial se encontram na mesma fase de vibra¸cão formam uma onda esférica que está centrada na origem do referencial respectivo. Essa onda esférica tem o raio

ct em S e o raioct′ _em _S′_.

Por outras palavras, a invariância da velocidade da luz no vácuo, c, im-plica a invariância da expressão quadrática

s2

=−c2 t2

+x2

+y2

+z2

=−c2

+t′2

+x′2

+y′2

+z′2

, (1)

conhecida por intervalo do Universo. Esta forma quadr´atica caracteriza um espa¸co 4-dimensional a que chamamos espa¸co-tempo de Minkowski, M4

0, em

honra de Hermann Minkowski que o propôs em Setembro de 1908 como o espa¸co adequado à descri¸cão da teoria da RR de Einstein.

No que se segue vamos restringir a nossa discussão a uma dimensão es-pacial, isto é, escrevemos (1) como

x2 −c2

t2

=x′2 −c2

t′2

. (2)

(4)

x=t C B A

O

–1 0 1 2 3 4

t

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

Figura 3: O ramo de hipérbole que passa pelos pontos A e B define o lugar geométrico dos pontos do espa¸co-tempo (acontecimentos) que estãoà mesma

distˆancia da origem do sistema de coordenadas, no sentido da f´ormula (4).

Logo, tA=t′B e comot′C < tB′ etA =tC vem t′C < tC. Tenha em aten¸c˜ao que

estamos a admitir que o eixo do tempo do referencial S passa pelos pontos

O e A e que o eixo do referencial S′ _{passa pelos pontos} _{O, C} _e_B_.

pr´oximos, escreve-se

ds2

=dx2 −c2

dt2

. (3)

Este invariante pode ser entendido como uma generaliza¸cão da defini¸cão habitual de distância a um espa¸co-tempo (a duas dimensões). Quando traba-lhamos com três dimensões de espa¸co e uma de tempo este espa¸co é conhecido por espa¸co-tempo de Minkowski1

, e o invariante por intervalo do Universo

entre o acontecimento origem (0,0,0,0) e o acontecimento de coordenadas (cdt, dx, dy, dz). Na verdade, tal como a f´ormula euclidiana

∆x2

+ ∆y2

+ ∆z2

= ∆r2

caracter´ıstica do espa¸co ordinário 3-dimensional, representa o quadrado da distância entre dois pontos cujas coordenadas diferem (∆x,∆y,∆z), também a fórmula

∆x2 −c2

∆t2

= constante (4)

é caracter´ıstica deste espa¸co-tempo de Minkowski (a duas dimensões), e re-presenta o quadrado da distância entre dois acontecimento cujas coorde-nadas diferem (c∆t,∆x), neste espa¸co-tempo a duas dimensões. Note que

1_{Hermann Minkowski afirmou em 1908 que: “daqui em diante o espa¸co s´}_{o por si e o}

(5)

que Eq. (4) define uma hip´erbole neste espa¸co-tempo de Minkowski (a duas dimens˜oes).

Voltando ao nosso exemplo acima e fazendo c = 1, temos para o par temporal (O, C) da Fig. (3)

∆s2

OC =−t

2

C+x

2

C =−t′

2

C ⇒t

2

C =x

2

C+t′

2

C (5)

conclu´ımos quet′

C < tC; note que os acontecimentos O, C eB ocorrem todos

na origem espacial de S.

Este diagrama representa a seguinte situa¸c˜ao f´ısica: um rel´ogio de S′

desloca-se em rela¸c˜ao a S com velocidade v = xC/tC, e no seu percurso

cruza-se com dois rel´ogios (previamente sincronizados) e em repouso em S, colocados nos pontos de coordenadas espaciais x= 0 e x=xC. Atendendo `a

figura, vemos que o relógio de S′ _{é acertado pelo relógio de} _S_{, e colocado na}

origem espacial, de modo que ambos come¸cam a marcar os instantes t = 0 e t′ _{= 0 no mesmo acontecimento} _O_{. Quando o rel´ogio de} _S′ _{se cruza com}

o outro rel´ogio de S que est´a a marcar tC, marca o tempo t′C < tC, e por

isso se diz que o rel´ogio de S′ _{se atrasa em rela¸c˜}_{ao aos dois rel´}_{ogios de} _S_{. O}

valor exacto do atraso é fácil de determinar a partir da equa¸cão (5),

t2

C −x

2

C =t′

2

C ⇒t′C =tC

q

1−x2

C/t

2

C (6)

Fixemos assim esta ideia simples: na dilata¸c˜ao do tempo compara-se o inter-valo de tempo entre dois acontecimentos, medido por um mesmo rel´ogio

(tempo pr´oprio), com o intervalo correspondente medido por dois outros

(6)

Contrac¸

c˜

ao de Comprimentos

Pelo que vimos anteriormente, há uma perfeita simetria entre os diferen-tes referenciais inerciais. A dilata¸cão do tempo ocorre porque se faz uma compara¸cão entre um relógio de um referencial e dois relógios espacialmente separados de outro referencial. E embora possa sincronizar quantos relógios quiser de um mesmo referencial, não posso sincronizar vários relógios de re-ferenciais diferentes. Isto é uma consequência do carácter relativo da simul-taneidade entre acontecimentos espacialmente separados, que naturalmente decorre do valor finito da velocidade da luz (no vácuo). De igual modo, os comprimentos na direçcão do movimento serão sempre maiores no referen-cial próprio e serão observados contra´ıdos em todos os outros referencias em rela¸cão aos quais os objectos se movem.

Na realidade, a dilata¸cão do tempo e a contraçcão dos comprimentos não são efeitos independentes, na mesma medida em que o tempo e o espa¸co não são coordenadas independentes. Para medir o comprimento de uma barra que se desloca longitudinalmente, devo observar simultaneamente as suas extremidades e assim determinar as suas coordenadas. Recordemos a afirma¸cão de Minkowski a propósito da constru¸cão do espa¸co-tempo.

Na Fig. (4) vemos que as extremidades da barra, que est´a em repouso em S′_{, descrevem duas linhas do Universo paralelas; a primeira passa pela}

origem O, e coincide com o eixo t′_{, e a segunda passa pelos acontecimentos} A eB. Claramente, o comprimento da barra em S′ _{´e dado por}_x′

B, visto que

x′

O = 0, e o comprimento em S ´e xA= 1 unidade da escala, e sabemos pela

observa¸c˜ao da hip´erbole que xA < x′B. Note que se verificam as seguintes

rela¸c˜oes:

x2

A = x′

2

A−t′

2

A=x′

2

B

³

1₋v2´

(7)

xA = x′B

√

1₋v2

= 1, (8)

pois a hip´erbolex′2₋_t′2 _{= 1 intercepta a recta}_t′ _{= 0 num ponto}_x′ _{= 1} _{< x}′

B.

Resolu¸

c˜

ao do Paradoxo dos G´

emeos

O paradoxo dos g´emeos (tamb´em conhecido por paradoxo de Langevin2

) é uma “experiência de pensamento”, esquematizada na figura (5), onde dois gémeos se separam num dado instante, iniciando um deles uma viagem numa

2_{O “paradoxo dos g´}_{emeos”foi proposto por Paul Langevin e discutido pela primeira}

(7)

A

B

x=t

x’ t’

0 1 2 3 4

t

1 2 3 4

x

Figura 4: O ramo de hipérbole que passa pelo ponto A define o lu-gar geométrico dos pontos do espa¸co-tempo (acontecimentos) que estão à distância de uma unidade da origem do sistema de coordenadas. Ora, os acontecimentos O e B são simultâneos em S′ _{e, por isso permitem medir}

o comprimento pr´oprio da barra em S′_{, o qual ´e claramente maior que o}

comprimento medido a partir de S a partir dos acontecimentos O e A, si-multˆaneos emS. Note que o ramo de hip´erbole intersecta a barra num ponto com x′ _{< x}′

B.

nave que se desloca a uma velocidade próxima da velocidade da luz (v _≈ 1) até uma estrela distante, e regressa logo em seguida à Terra. Ao encontrar-se com o seu gémeo que ficou na Terra verifica que este está muito mais velho, significando isto que o tempo anda mais lentamente para o gémeo viajante.

(8)

expli-O _x

A x

A

t

A

t

B B

t

10 6

6 10

Figura 5: Dois gémeos separam-se no instante O, em que acertam os seus relógios um pelo outro, ficando um deles em repouso no referencial do labo-ratório (Terra), com coordenadas (t,0) enquanto o outro viaja, com veloci-dade v = 0.8 (c = 1), até uma estrela a 8 anos-luz da Terra, e no instante em que lá chega (acontecimentoA) regressa de imediato ao mesmo ponto do espa¸co onde tinha ficado o primeiro gémeo (acontecimento B).

cado como uma consequência do movimento relativo entre os dois gémeos. Ora, na verdade não há simetria entre os dois gémeos pois um deles poderá ser considerado inercial (o que ficou na Terra) mas o viajante, que vai e volta, sofre algures no seu trajecto uma acelera¸cão para poder inverter o sentido da viagem e voltar à Terra. Só assim os dois gémeos se poderão voltar a cruzar depois de se terem separado.

Retomando o nosso exemplo dos gémeos, vamos então concretizá-lo para poder analisá-lo em pormenor (ver Fig.5). Sejam as nossas gémeas Patty e Selma Bouvier, as irmãs mais velhas de Marge Simpson. Admitamos que Patty fica cá na Terra enquanto Selma se desloca numa nave espacial, até um planeta distante (à procura do terceiro marido), com uma velocidade

v = 0.8(c= 1), em rela¸cão a Patty. Se Selma se afasta da Terra durante 6 anos do seu tempo próprio, τ, então do ponto de vista de Patty, a viagem de ida ocorre num tempo dilatado e demora

t = √ τ

1−v2 =

6

√

1−0.82 = 10 anos.

(9)

do espa¸co-tempo para o par de acontecimentos (O,B),

τ2

=t2 −x2

→62

= 102 −82

,

que exprime a invariância da velocidade da luz (no vácuo). Note-se igual-mente que, para a gémea viajante, o espa¸co percorrido é uma contraçcão do espa¸co medido por Patty, isto é,

x′ ₌_x√₁ −v2

= 8_×0.6 = 4.8 anos-luz.

O que está em concordância com o tempo medido pelo relógio de Selma, onde só tinha passado τ =x′_/v _{= 4}_.₈_/₀_._{8 = 6 anos.}

t

t'

T

O xB x

A C D

t

B B

x'

Figura 6: As duas g´emeos separam-se no instante O, quando t =t′ _{= 0; no}

instante tA = 1 (ano) sai um sinal luminoso de Patty que chega a Selma no

acontecimento B (t′

B = 6 anos). Este mesmo acontecimento ´e visto por Patty

no instante tC =K×6 = 18 anos.

Admitindo que esta regressa de imediato à Terra com a mesma veloci-dade v = 0.8 (em módulo), as duas gémeas voltam a encontrar-se passados 20(=16/0.8) anos, no referencial de Patty, após a partida de Selma, mas sim-plesmente 2_×4.8/0.8 = 12 anos no relógio de Selma. Em resumo as duas “gémeas”fazem agora uma diferen¸ca de 8 anos de idade, sendo Patty a mais velha. Este é sempre um resultado surpreendente, por muita familiaridade que tenhamos com a teoria da relatividade.

(10)

pulso uma da outra, para procurarem compreender em que medida o tempo é relativo. Assim, Selma vai observando o relógio de Patty ao longo da viagem e regista o valor observado no momento em que atinge o afastamento máximo da Terra e inicia o seu regresso (acontecimento B, no diagrama da Fig.6). Atendendo ao efeito de Doppler, Selma vê o relógio de Patty marcar tA = 2

anos, quando o seu rel´ogio marca t′

B = 6 anos, pois

t′ ₌_Kt₌ s

1 +v

1₋vt= 3×t,

e t′ _{= 6 anos, vem} _t _{= 2 anos. Por outro lado, Patty vˆe Selma atingir}

o acontecimento B, e a iniciar o regresso, quando o seu relógio marca 18 anos, pois para Patty, a sua gémea viajante leva 10 anos a atingir o planeta distante e a luz, com a imagem de Selma a chegar ao planeta, leva mais 8 anos a regressar à Terra. Assim para Patty o relógio de Selma, que marca 6 anos, parece estar a trabalhar a um ter¸co (6/18) da velocidade do seu relógio. Exactamente como acontece com Selma que vê o relógio de Patty trabalhar a um ter¸co (2/6) da velocidade do seu.

Patty

Selma C'

O

A' B'

O' C

A B D

=10 anos t

B'

Figura 7: Nesta figura, Selma (a gémea viajante) observa Patty pelo seu telescópio, nos instantes próprios desta tA = 1, tB = 2 (anos), quando no

rel´ogio de Selma s˜ao t′

(11)

Isto mostra que se as duas gémeas mantivessem uma velocidade relativa constante, afastando-se uma da outra indefinidamente, cada uma veria pelo telescópio o relógio da outra a atrasar-se a uma razão de 1 para 3. Neste caso haveria uma perfeita simetria entre as duas gémeas, bem como nas suas observa¸cões mútuas.

Patty

Selma

=10 anos

t_B'

C'

O 6K

A' B'

O' C

A B

D' D

6(K+K -1)

Figura 8: Nesta figura, Patty observa Selma pelo seu telescópio, nos seus instantes próprios tC = 18, tD = 20 (anos), quando no relógio de Selma são

t′

C′ = 6, t′D = 12 (anos), respectivamente.

Uma situa¸cão semelhante também ocorreria se as gémeas se aproximassem a uma velocidade constante, observando agora cada uma delas que o relógio da outra se adiantava a uma razão de 3 para 1. Efectivamente, na viagem de regresso, Patty vê o relógio de Selma passar de 6 anos para 12 anos em dois anos do seu relógio: intervalo de tempotD−tC do relógio de Patty (Fig.(??).

(12)

marido no planeta distante. A diferen¸ca de idades deve ser entendida como uma consequência da assimetria entre as duas gémeas: Patty ficou sempre no mesmo referencial (inercial) Terra, enquanto Selma teve que mudar de referencial e, por isso, o seu referencial próprio sofreu uma acelera¸cão, logo Selma não é uma observadora inercial.

O

_x

A

x x_B

A

C

t

_A=

t

_B B

t

5

4

3

Figura 9: Nesta figura est˜ao indicados dois caminhos poss´ıveis para o g´emeo viajante, conformev = 0.6 ouv = 0.8. No primeirotA= 10 anos masτA = 8

anos, e no segundo temos tamb´em tB = 10 anos, mas τB = 6 anos, como no

exemplo de Patty e Selma.

Note-se ainda que Patty e Selma concordam na leitura do rel´ogio de Selma quando esta chega ao planeta distante, mas essas leituras correspondem a dois acontecimentos distintos com tempos diferentes no rel´ogio de Patty.

Note-se ainda que se a velocidade relativa entre os dois gémeos fosse me-nor, a diferen¸ca de idades no momento do re-encontro também seria menor. Por outras palavras, o gémeo viajante pode teoricamente ir a uma velocidade tão próxima de c= 1 quanto se queira e assim reduzir o seu tempo próprio tanto quanto se queira, fazendo assim aumentar a diferen¸ca de idades. No limite, se o gémeo pudesse viajar como um fotão, ao re-encontrar o seu irmão teria a mesma idade com que partiu.

Na Fig. (9) vemos dois exemplos do que ficou dito atr´as, para v = 0.6 e

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afasta-se 4 anos-luz num tempo pr´oprio de 3 anos.

Fica assim resolvido, no âmbito da teoria da relatividade restrita, o cha-mado “paradoxo”dos gémeos. De caminho foi poss´ıvel apreciar a interliga¸cão entre dilata¸cão do tempo e contraçcão do espa¸co, e o efeito de Doppler entre dois observadores em movimento relativo.

c