MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA DE LABORATÓRIO 7

(1)

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 17 de Outubro 2013

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

AULA DE LABORATÓRIO 7

2

TEORIA DE FILAS

Torno

µµµµ

1

= 20

peças/minuto

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Peças

prontas

65% Taxa r1 = 8

Projeto 2: Em uma fábrica

o sistema de produção é

tal como dado na figura

ao lado, isto é, as peças

passam por um torno e

65% ficam adequadas

(prontas) ao passo que 35%

devem ser refeitas. Se a

taxa de chegada segue

exponencial com média

de 8 peças por minuto e a

taxa de atendimento é de

20 peças por minuto, então,

construir o modelo

correspondente.

(2)

3

Lógica de Operação

Chegada de peças exp(1/8)

Torno processa peça com taxa exp(1/20)

Peça adequada?

Peça pronta é entregue

Não

Sim

MODELO NO PROMODEL

65% 35%

4

PROMODEL

(3)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 1: Construir os locais

Locais

6

PROMODEL

(4)

7

PROMODEL

Passo 1: Construir os locais

Local

Capacidade

Chegada_Pecas INF

Torno 1

8

PROMODEL

Local

Capacidade

(5)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 1: Construir os locais – Estoque_Pecas

10

PROMODEL

1

(6)

11

PROMODEL

Local

Capacidade

Torno 1

12

PROMODEL

Passo 1: Construir os locais - Esteira_Pecas

1

(7)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 2: Construir as entidades

Entidades

14

PROMODEL

Passo 2: Construir as entidades

(8)

15

PROMODEL

Passo 2: Construir as entidades

1

2

3

16

PROMODEL

Passo 3: Chegadas

(9)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 3: Chegadas

1

2

3

18

Lógica de Operação

Não

Sim

MODELO NO PROMODEL

(10)

19

Lógica de Operação

Não

Sim

MODELO NO PROMODEL

65% 35%

Intervalo de tempo entre as chegadas

Tempo médio de processamento

20

PROMODEL

1

Clique com botão direito

2

(11)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 3: Chegadas

1

22

PROMODEL

1

2

E(1/8)

(12)

23

PROMODEL

1

E(1/8)

1/8

24

PROMODEL

(13)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 4: Processamento

Processamento

26

PROMODEL

Passo 4: Processamento

1

3

(14)

27

PROMODEL

1

2

3

28

Lógica de Operação

Não

Sim

MODELO NO PROMODEL

(15)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 4: Processamento

1

2

3

30

PROMODEL

1

2

3

(16)

31

PROMODEL

32

PROMODEL

1

2

(17)

Lógica de Operação

Não

Sim

65% 35%

34

Lógica de Operação

Não

Sim

MODELO NO PROMODEL

(18)

35

PROMODEL

1

2

3

4

36

PROMODEL

(19)

Lógica de Operação

Não

Sim

65% 35%

38

1

2

3

4

(20)

39

PROMODEL

40

PROMODEL

Passo 6: Opções de Simulação

(21)

© UNESP 6 Agosto 2008 Passo 7: Execução da Simulação

Executar

42

(22)

43

PROMODEL

44

TEORIA DE FILAS

Mini-Projeto 2:

Somar todos os dígitos dos RA de

todos os integrantes do grupo. Por exemplo: 950219

+ 97001 = 9 + 5 + 2 + 1 + 9 + 9 + 7 + 1 = 43. Se o

último dígito do número obtido for par, então, o

grupo deverá empregar o exercício 1 da lista 2. Caso

contrário, o grupo deverá empregar o exercício 5 da

lista 2. O Mini-projeto 2 consiste em:

(1)Resolver o exercício considerando rejeição:

●Se o último dígito for par: 15%, 25% e 35%.

●Se o último dígito for ímpar: 10%, 20% e 30%.

(23)

© UNESP 6 Agosto 2008 Redes de Filas Abertas:

As redes de filas abertas são uma generalização do

sistema de filas em série com k estágios. Agora o

estágio j considera as chegadas de outros estágios e uma taxa de chegada r_j de fora do sistema de filas.

Estágio 1 Estágio 2

•••

Estágio k Chegadas outros estágios Chegadas outros estágios

S₁ servidores Taxa µµµµ1

S2 servidores

Taxa µµµµ2

Sk servidores

Taxa µµµµk

Taxa r1 Taxa r2 Taxa rk 46

Redes de Filas Abertas:

Assim, em redes de filas abertas uma vez completado o serviço em um estágio i, o cliente entra na fila do

estágio j com probabilidade p_ij e completa o serviço com probabilidade:

TEORIA DE FILAS

∑

=

−

K j ij

p

1

Definindo λλλλ_j como a taxa de chegada de clientes no

estágio j (somando o que vem de fora do sistema e de outros estágios), então, λλλλ₁, λλλλ₂,...,λλλλ_k podem ser encontrados através da solução do seguinte sistema linear:

(j=1,2,...,K)

∑

+

=

r

K

p

λ

(24)

47

Redes de Filas Abertas:

Para encontrar L, ou seja, o número esperado de clientes no sistema basta somar o número esperado de clientes presentes em cada estágio. Para encontrar W, o tempo médio que um cliente gasta no sistema, basta empregar a fórmula L = λλλλW para todo o sistema e usar λλλλ = r₁ + r₂ + ... + r_K. A justificativa para este procedimento é que dessa forma λλλλ representa o número médio de clientes por unidade de tempo que chegam ao sistema.

TEORIA DE FILAS

48

Exemplo 1: Considere dois servidores. Em média

8 clientes por hora chegam de fora

para o servidor 1 e, em média, 17

clientes por hora chegam de fora

para o servidor 2. O servidor 1

pode atender com taxa exponencial 20 clientes

por hora e o servidor 2 atende 30 clientes por

hora. Após terminar o serviço no servidor 1

metade dos clientes vai embora do sistema e a

outra metade vai para o servidor 2. Após terminar

o serviço no servidor 2, ¾ dos clientes completa o

serviço e ¼ retorna ao servidor 1. Encontrar:

(25)

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Peças

esperam

serviço

em 2

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Peças

prontas

Peças

prontas

1/4 3/4 1/2 1/2 Taxa r1 = 8

Taxa r₂ = 17

50

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1

Peças

esperam

serviço

em 1

Peças

esperam

serviço

em 2

Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

(26)

51

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

1

= 20

cli/hora

Estágio 1 Estágio 2

Servidor 2

µµµµ

2

= 30

cli/hora

Taxa

λλλλ

Taxa r₁ = 8

Taxa r₂ = 17

Dado L, para se achar W, usa-se:

λ = r₁ + ... + r_K pois isto é a taxa de chegada no sistema

52

TEORIA DE FILAS

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com

r1 = 8 clientes por hora e r2 = 17 clientes por hora. Além

disso, p12= 0,5 p21 = 0,25, p11 = p22= 0. Para encontrar

λλλλ1 e λλλλ2 basta resolver o seguinte sistema:

(A) Qual fração do tempo o servidor 1 está ocioso.

(j=1,2,...,K)

∑

≠ =

+

=

K j i i i ij j

j

r

p

, 1

(27)

Primeiro observa-se que tem-se uma rede de filas abertas com

r1 = 8 clientes por hora e r2 = 17 clientes por hora. Além

disso, p12= 0,5 p21 = 0,25, p11 = p22= 0. Para encontrar

λλλλ1 e λλλλ2 basta resolver o seguinte sistema:

Isto é:

(j=1,2,...,K)

2 21 1

1

λ

=

r

+

p

1 12 2

2

λ

=

r

+

p

∑

≠ =

+

=

K j i i i ij j

j

r

p

, 1

λ

2

1

8

0 ,

25 λ

λ

=

+

1

2

17

0 ,

5 λ

λ

=

+

14

1

=

λ

cli/h

24

2

=

λ

cli/h

54

Agora o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞ com λλλλ₁ = 14 clientes por hora e µµµµ= 20 clientes por hora. Se ρρρρ = λλλλ1/µµµµ= 14/20 = 7/10 = 0,7, então:

(28)

55

Agora o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

ππππ

0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 - 0,7) = 0,3

Ou seja, 30% do tempo o servidor 1 estará ocioso.

56

TEORIA DE FILAS

(B) Achar o número esperado de clientes no sistema.

(B.1) Achar o número esperado de clientes no servidor 1.

Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

)

1 (

1

ρ

−

=

(29)

Se o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo

3

7 )

7 ,

0

1 (

7 ,

0 )

1 (

1

=

−

=

−

=

ρ

L

58

TEORIA DE FILAS

Para o segundo servidor pode-se usar o modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞

com λλλλ2 = 24 clientes por hora e µµµµ= 30 clientes

por hora. Se ρρρρ = λλλλ2/µµµµ = 24/30 = 0,8, então:

)

1 (

2

ρ

−

=

L

(30)

59

TEORIA DE FILAS

Para o segundo servidor pode-se usar o modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞

com λλλλ2 = 24 clientes por hora e µµµµ= 30 clientes

por hora. Se ρρρρ = λλλλ2/µµµµ = 24/30 = 0,8, então:

4

2 ,

0

8 ,

0 )

8 ,

0

1 (

8 ,

0 )

1 (

2

=

−

=

−

=

ρ

L

O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada servidor, isto é:

7/3 + 4 = 19/3 clientes em média estarão presentes no sistema.

60

(C) Encontrar o tempo médio que um cliente gasta no sistema.

TEORIA DE FILAS

Servidor 1

µµµµ

Servidor 2

µµµµ

Taxa λλλλ Taxa r₁ = 8

(31)

Para calcular o tempo médio gasto no sistema com L = 19/3 e:

λλλλ

= r

₁

+ r

₂

+ ... + r

_K

= 8 + 17 = 25 clientes/hora

horas

λ

L

W

=

62

TEORIA DE FILAS

λλλλ

= r

₁

+ r

₂

+ ... + r

_K

= 8 + 17 = 25 clientes/hora

horas = 15,2 minutos

75

19

25 )

3 /

19 (

=

λ

L

W

(32)

63

TEORIA DE FILAS

(D) Use (A) e (B): O que ocorre se o servidor 2 só atender 20 c/h

24

2

=

λ

cli/h

Do item (A) tem-se que:

64

TEORIA DE FILAS

(D) Use (A) e (B): O que ocorre se o servidor 2 só atender 20 c/h

24

2

=

λ

cli/h

Do item (A) tem-se que:

Do modelo M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞sabe-se que só existe estado estacionário se λλλλ < s_jµµµµ_j, mas neste caso: λλλλ = 24 > 1*20 e

(33)