Uma Introdução à Análise de Estabilidade dos Coeficientes

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Estabilidade dos Coeficientes

Artur Silva Lopes

Versão 1.01, 4 de Março de 2019

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Seja qual for a finalidade de um modelo, ele não deve ser empregue se os dados indi-carem que alguma das suas hipóteses não é satisfeita. A análise de especificação consiste precisamente em verificar essa conformidade e, desde os anos 80/90, é parte integral da análise de regressão linear, chegando mesmo David F. Hendry a proclamar que há “três regras de ouro” na Econometria, que são “Testar! Testar! Testar! ”.

Apesar de ser, de facto, uma hipótese básica do modelo de regressão linear, a hipótese de estabilidade dos coeficientes ou de estabilidade ou permanência de estrutura não ganhou ainda o correspondente estatuto, sobretudo nas abordagens dos manuais ou livros de texto gerais. Isto talvez seja devido à ausência de um quadro suficientemente geral de análise de violação da hipótese, com implicações bem claras e com remédios prontos a servir. E no entanto, muitos investigadores empíricos sabem, por exemplo, que em muitos casos em que há instabilidade devida a mudança de regime as estimativas são misturas ou médias ponderadas dos valores dos coeficientes de cada um dos regimes. E que o remédio é bem simples. A questão é que esse é apenas um dos casos possíveis, talvez o mais simples, com o de parâmetros variáveis no tempo a constituir um outro caso, mais extremo e complexo de não satisfação da hipótese. Para alguns será mesmo um caso herético, mas tem vindo a ser cada vez mais adoptado em associação com a generalização das técnicas Bayesianas. A variedade e complexidade de situações de instabilidade tem obstado a uma abor-dagem sistemática, típica dos livros de texto. Por exemplo, no excelente e ainda actual livro de Hamilton (1994), o tema não merece grande atenção, não lhe sendo dedicado mais que um pequeno capítulo, o último, e não se encontrando no índice de assuntos tópicos como break, structural change, Chow (test), coefficient (in)stability, etc. .

Na literatura econométrica predomina, portanto, a visão fragmentada, com uma mul-tiplicidade de testes e de abordagens. É portanto apenas uma pequena amostra, intro-dutória, dessa literatura que aqui se apresenta. Procura-se facilitar o estudo aos alunos que se iniciam neste tema, esperando que possam ser eles a desenvolver a “teoria de tudo sobre a estabilidade paramétrica”.

Como esta é a primeira versão deste texto, escrita para apoiar a leccionação de Macro-econometria I (do 1o_{ano do mestrado em Econometria Aplicada e Previsão, do ISEG), no}

ano lectivo de 2018/19, agradeço a todos aqueles que formularem críticas e sugestões e que indicarem erros, imprecisões, incorrecções e gralhas. Obviamente, assumo a responsabi-lidade por todos os problemas que possam subsistir.

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1 Introdução

Em geral, chama-se análise de especificação à análise da verificação das hipóteses de um modelo; neste caso, trata-se do modelo de regressão linear e, em particular, da sua versão aplicada a dados macroeconómicos. Cabem assim, neste domínio, por exemplo, o estudo dos testes de heteroscedasticidade ou o do teste RESET, de forma funcional.

Nos modelos macroeconométricos de séries temporais há duas hipóteses que po-dem ser consideradas como especialmente sensíveis:

a) a hipótese implícita de constância ou de estabilidade dos parâmetros e, em particular, dos coeficientes;

b) a hipótese de ausência de autocorrelação dos erros.

2 Testes Básicos

Embora quase sempre apenas implícita, a hipótese de estabilidade dos coefi-cientes ou de estabilidade de estrutura é uma hipótese fundamental do modelo de regressão. Trata-se de levar a sério a formalização

yt= x ′

tβ+ ut, t = 1, 2, . . . , T,

onde a hipótese aparece de forma implícita: como não têm qualquer índice e a equação é considerada a mesma, válida para todas as observações, os coeficientes deverão ser invariantes ao longo do tempo.

Por outro lado, recorde-se que a hipótese fundamental do modelo com regres-sores pré-determinados requer que o processo estocástico conjunto {(yt, xt)} seja

estacionário. É então claramente necessário que os coeficientes que ligam a variável y às de x sejam constantes, invariantes com o tempo, para que o processo seja es-tável ao longo do tempo. Aliás, a este respeito, note-se ainda que só consideraremos testes estatísticos que pressupõem a estacionaridade das séries envolvidas. Esta é uma limitação com alguma importância mas a sua remoção excederia bastante os objectivos deste texto.

De forma especializada, tratar-se-á também do problema da previsão. De qual-quer forma, note-se desde já que um modelo com coeficientes não constantes no tempo não é útil para fazer simulação de políticas nem para efectuar previsão. É

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evidente que não se pode confiar num modelo com coeficientes não estáveis para nenhuma dessas finalidades. Se um modelo já apresentou problemas de instabili-dade dos coeficientes na amostra, que confiança se poderá ter nas suas previsões? Que garantia ele dá de não “sofrer” do mesmo “mal” no período de previsão?

A instabilidade paramétrica está, também, no centro da conhecida “crítica de Lucas” a muitos modelos macroeconómicos. Segundo este autor, esses modelos não seriam devidamente fundamentados no comportamento racional, optimizador, dos agentes microeconómicos, pelo que não seriam adequados para fazer simulação de políticas. Devido a essa deficiência, os parâmetros desses modelos não seriam verdadeiramente estruturais, pelo que mudariam em caso de alteração de política. Desta forma, esses modelos forneceriam previsões erróneas das consequências dessas alterações.

Note-se também que um modelo incorrectamente especificado – por exemplo, com regressores omitidos ou com uma forma funcional incorrecta – pode apresen-tar sintomas de instabilidade dos coeficientes. Por exemplo, supondo que a relação adequada entre duas séries é uma relação não-linear, convexa, por exemplo, o ajusta-mento de um modelo de regressão linear fará aparecer sintomas desse tipo apesar de o verdadeiro problema não ser esse. Desta forma, os testes que veremos também po-dem ser vistos como testes gerais para erros de especificação ou de má especificação (misspecification tests).

2.1 Aspectos preliminares

Em econometria fala-se em “quebra” (break) quando a função de regressão muda no decorrer da amostra. A quebra pode ser nos coeficientes, na variância dos er-ros (heteer-roscedasticidade) ou em ambos. Só será abordado o primeiro problema, mais clássico, mas o segundo também é importante; em particular, existe uma li-teratura abundante sobre a chamada “Grande Moderação”, um período de cerca de 25 anos, iniciado em 1982-3, caracterizado por menor variabilidade das flutuações macroeconómicas e, em particular, por recessões menos frequentes e mais suaves que o habitual. O caso dos EUA é aquele em que esta quiescência se encontra mel-hor documentada, mas também a Europa, pelo menos, terá apresentado flutuacões macroeconómicas menos voláteis que o usual 1

.

1

Embalados por esta dormência, talvez até confortavelmente (comfortably numb), também os econometristas só a reconheceram no final dos anos 90/início do século XXI, quando surgiram os

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Mesmo considerando apenas os coeficientes, há dois grandes tipos de quebras (ou de formas de quebra):

a) alterações discretas ou abruptas ou saltos nos coeficientes da regressão, dando origem a, pelo menos, dois regimes distintos na amostra;

b) alterações ou mudanças graduais dos coeficientes no decurso da amostra, muito frequentemente formalizadas através de passeios aleatórios:

βj,t = βj,t−1+ ǫj,t, j = 1, 2, . . . , k, t = 1, 2, . . . , T.

Embora desenhados ou formulados sobretudo para detectar os primeiros tipos de quebras, os métodos que veremos neste capítulo também são úteis para detectar os segundos; ou seja, os testes estatísticos formulados no quadro do primeiro tipo também têm potência contra as alternativas em que as quebras são do segundo tipo (e vice-versa). Naturalmente, está a assumir-se que a hipótese nula é a de estabilidade ou constância dos coeficientes no período amostral.

A principal motivação para a realização de testes de estabilidade ocorre, regra geral, associada ao primeiro tipo de quebras: tem-se o conhecimento que ocorreu alguma grande alteração, por exemplo, de tipo político-institucional, e pretende-se investigar se as relações económicas se alteraram de forma significativa, através de mudanças nos coeficientes da regressão. A economia portuguesa é particularmente fértil neste tipo de acontecimentos: para além de ter sido afectada pelos grandes “choques” internacionais – por exemplo, os petrolíferos ou o da recente “Grande Crise Financeira” –, nos últimos 45 anos ocorreram a Revolução de Abril (de 1974), as intervenções do FMI e, mais recentemente a da Troika, a adesão à CEE (actual-mente UE) e a adesão ao sistema monetário europeu.

2.2 Testes de Chow: data de quebra conhecida

O primeiro teste de Chow (1960) (“Chow breakpoint test”) situa-se precisamente no contexto acabado de referir: existem razões para supor que a amostra pode ser partida em duas sub-amostras, que correspondem a contextos diferentes; por exemplo, regimes distintos de taxa de câmbio ou de política económica. Crucial é o facto de se supor que o ponto ou data de quebra (breakdate) é conhecido(a).

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Trata-se, assim, do caso mais simples de todos: a amostra é partida em duas sub-amostras ou dois sub-períodos. Existem críticas a este aspecto dos testes de Chow mas são irrelevantes pois eles podem ser facilmente generalizados a mais pontos de quebra, isto é, a partições com mais que dois sub-períodos.

A limitação realmente importante é a de se assumir que existe informação a priori, exógena aos dados, sobre a data da alteração ou quebra de estrutura, rep-resentada tipicamente com Tb (“time of break”). Ou seja, a análise é iniciada de

forma “pura”, sem a “contaminação” que possa ter resultado de algum estudo prévio (próprio ou alheio), baseado nos dados, mesmo que se trate de uma simples análise gráfica. Se uma tal contaminação tiver ocorrido, a dimensão real do teste será su-perior à nominal, isto é, poder-se-á conseguir aumentar a potência do teste mas à custa de um empolamento ou “inflação” da dimensão real que convém evitar.

Assim, considere-se a amostra partida em duas yt= x′ tβ1+ ut, t = 1, 2, . . . , Tb, ou t≤ Tb, x′ tβ2+ ut, t = Tb+1, Tb+2, . . . , T, ou t > Tb,

com T1 e T2 a representarem os números de observações de cada sub-período (T1+

T2 = T ) e β₁ e β₂ os vectores de k coeficientes para os respectivos sub-períodos

(e não sub-vectores do vector β.) Usa-se a convenção de chamar data da quebra à última observação do primeiro sub-período mas, infelizmente, esta convenção não é universal; alguns autores reservam essa designação para a primeira observação do novo regime. E repare-se que, de facto, este modelo pode ser visto como um de mudança de regime (regime switching) em Tb, ou como um modelo de limiar

(threshold) em que a variável de limiar é simplesmente o tempo e o seu limiar é Tb:

com t ≤ Tb vigora o regime 1 e com t > Tb vigora o regime 2.

Ou seja, em notação matricial: y₁ y2 = X₁ 0 0 X2 β₁ β₂ + u₁ u2 . É ainda necessário assumir que E(uu′

|X) = Var(u|X) = σ2_{I, isto é que, além}

de não autocorrelacionados, os erros são homoscedásticos. Admite-se que apenas os coeficientes podem variar, não as variâncias.

O objectivo consiste então em testar

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ou seja, trata-se de efectuar um teste de igualdade dos vectores de coeficientes dos dois sub-períodos condicional na igualdade das variâncias.

2.2.1 Primeiro teste de Chow: T1 > k e T2 > k

O teste de igualdade dos coeficientes é um teste vulgar de restrições lineares que, portanto, se pode basear na estatística F sob a forma que envolve somas de quadrados dos resíduos:

(SSRR− SSRU R)/J

SSRU R/(T − k)

,

com uma distribuição exacta ou assintótica F(J,T −k) quando H0 é verdadeira, e onde

as SSRs têm o significado usual e J representa o número de restrições lineares em teste 2

. Ou seja, como é usual, a estatística baseia-se na avaliação da deterioração do ajustamento – medido pela SSR – resultante da imposição de restrições.

Ora neste caso, as restrições de H0 consistem em impôr o mesmo vector de

coeficientes a ambos os sub-períodos (β1= β2= β). Assim, a SSRR pode ser

repre-sentada com SSR0 ou, mais vulgarmente, com e′∗e∗.

Por outro lado, a estimação livre, sem a imposição de restrições, consiste na aplicação separada do OLS a cada sub-período, deixando que os dados escolham as estimativas que melhor se ajustam a cada um deles. Assim, intuitivamente, a SSRU R será a soma das SSRs obtidas separadamente para cada sub-período.

A álgebra confirma esta intuição: β = β₁ β₂ = (X′ X)−₁ X′ y = X′ 1X1 0 0 X′ 2X2 −₁ X′ 1y1 X′ 2y2 = (X′ 1X1) −₁ 0 0 (X′ 2X2) −₁ X′ 1y1 X′ 2y2 = (X′ 1X1) −₁ X′ 1y1 (X′ 2X2) −₁ X′ 2y2 ,

isto é, as estimativas sem restrições resultam de facto da aplicação separada do OLS a cada uma das sub-amostras, razão pela qual a SSR sem restrições é igual à soma

2

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das SSRs dos dois sub-períodos: SSRU R= e ′ 1e1+e ′ 2e2.

Por conseguinte, a estatística de Chow não é mais que a particularização da F para este caso: FCHOW = (e′ ∗e∗−e ′ 1e1−e′2e2)/k (e′ 1e1+e′2e2)/(T − 2k) ∼ F(k,T −2k) sob H0,

no caso do modelo clássico. O calculo da estatística envolve, assim, correr 3 re-gressões: com toda a amostra e com cada uma das sub-amostras.

Aspecto muito importante em termos práticos é o da equivalência algébrica e-xacta da estatística de Chow com as estatísticas F para testar a significância con-junta dos coeficientes das dummies que permitem que os coeficientes das variáveis do modelo original possam mudar no segundo sub-período. Por exemplo, supondo que o modelo em análise é

yt= β1+ β2xt+ β3zt+ β4wt+ ut,

defina-se a dummy vulgar Dt=

0, t = 1, 2, . . . , Tb,

1, t = Tb+1, Tb+2, . . . , T,

e com ela reespecifique-se o modelo:

yt= β1+ δ1Dt+ β2xt+ δ2 × xt+ β3zt+ δ3Dt× zt+ β4wt+ δ4Dt× wt+ vt.

Pode mostrar-se que, de forma completamente lógica, a estatística de Chow é numericamente idêntica à estatística-F para testar as restrições

H0 : δ1 = δ2 = δ3 = δ4 = 0 vs. H1 :∃δj = 0, j = 1, . . . , 4,

isto é, as restrições que impõem a igualdade dos coeficientes do modelo original nos dois sub-períodos.

A estimação do modelo reespecificado pode, no entanto, ser mais informativa sobre a eventual instabilidade que o simples cálculo da estatística de Chow (ou F equivalente), pois permite avaliar a variabilidade individual das estimativas dos coeficientes.

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2.2.2 Segundo teste de Chow: T1 ≤ k ou T2 ≤ k

As hipóteses nula e alternativa continuam, naturalmente, a ser as mesmas. Um aspecto diferente importante é que a hipótese de normalidade dos erros desempenha agora um papel crucial e não pode deixar de ser assumida mesmo assintoticamente. Caso ela não seja satisfeita é melhor ver o teste que se vai apresentar apenas como um teste-diagnóstico do que como um teste formal.

Repare-se que, se numa das sub-amostras se tiver um número de observações menor ou igual ao número de coeficientes a estimar, a respectiva SSR anula-se. Por exemplo, se se tiver apenas uma observação para estimar uma recta, existe uma infinidade de soluções OLS, que minimizam a SSR, igualando-a a zero, pois existe uma infinidade de rectas que passam pelo ponto e que, portanto, anulam o resíduo para essa observação. Mas também algo de semelhante ocorre quando se têm 2 observações e se pretende estimar uma recta: agora essa recta é única, mas como ela passa pelos 2 pontos – na realidade, é a recta definida por esses 2 pontos – a SSR também é nula (pois cada resíduo é zero). E se se tiverem apenas 2 observações para estimar um modelo com k = 3 coeficientes, voltamos a ter uma infinidade de soluções que minimizam a SSR anulando-a: todos os planos que passam pelos 2 pontos anulam os resíduos das duas observações. E também se tem SSR = 0 quando T = 3 e k = 3 pois o plano definido pelos 3 pontos anula os resíduos das 3 observações, etc. .

Sem perda de generalidade, suponha-se que o problema da insuficiência do número de observações ocorre no segundo sub-período, como é mais frequente: T2 ≤ k.

En-tão, intuitivamente, a estatística vem dada por FCHOW = (e′ ∗e∗−e ′ 1e1)/T2 e′ 1e1/(T1− k) ∼ F(T2 ,T1−_k) sob H₀, pois e′

2e2 = 0, e os números de graus de liberdade também têm que ser ajustados

em conformidade. Assim, só são agora estimadas 2 regressões: a regressão com toda a amostra e a regressão apenas com os dados do primeiro sub-período.

Aspecto relevante não surpreendente é que este teste tem, em geral, menos potên-cia que o primeiro teste de Chow.

Casos particulares destes testes são aqueles em que está em causa a estabilidade de apenas um subconjunto de coeficientes; por exemplo, apenas os coeficientes de declive ou apenas os termos independentes. Estes casos não colocam problemas especiais à abordagem de Chow, mas a abordagem através das dummies parece passar a ser claramente mais vantajosa.

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2.2.3 O teste de previsão

Na realidade trata-de apenas de um teste de previsão, clássico, também chamado de “teste de previsão pós-amostral” ou de teste de “falhanço” ou fracasso preditivo (predictive failure).

Suponha-se que passou já algum tempo sobre o período que forneceu as obser-vações para a estimação e que se tornaram disponíveis novas obserobser-vações, em número de g, e que estamos interessados em analisar a qualidade do modelo para efectuar a previsão dessas novas observações, comparando os valores observados com os previs-tos pelo modelo. Representem-se as novas matriz e vector de observações com Xf e

yf, respectivamente.

Naturalmente, a previsão é condicional em Xf. Os valores previstos são

repre-sentados apenas com yf e são dados por

yf =yf| X_f = Xfβ.

Trata-se de comparar yf com yf através de um teste. É fácil compreender que se

trata de um teste crucial para a validação do modelo: o sucesso de previsão é, para esse efeito, muito mais convincente que um bom ajustamento na amostra, pois as observações são “frescas”, não foram usadas previamente para especificar o modelo e para a busca do melhor ajustamento, isto é, não entraram num eventual processo de data mining mais ou menos intenso.

Na realidade, a suposição anterior só raramente se observa e, no lugar de se es-perar alguns anos, por exemplo, para que novas observações fiquem disponíveis, a recomendação prática consiste em, desde o início, reservar algumas observações do final da amostra para efectuar este teste. Assim, uma fracção da amostra é, desde o início, colocada no “frigorífico”, para que as suas observações estejam suficiente-mente “frescas” para a validação do modelo em termos de previsão. Desta forma, a partição T = T1+ T2 representa agora a partição em observações para especificação

e estimação (T1), por um lado, e para análise da previsão (T2 = g), por outro.

Seguindo Stewart (1991) ou Stewart e Gill (1998), as restrições a testar são agora do tipo estocástico:

H0 : yf= Xfβ+ uf vs. H1 : n˜ao H0,

onde não é possível ir mais longe na (im)precisão de H1. Esta formalização evidencia

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da mesma forma que as observações da amostra, designadamente com o mesmo vector de coeficientes. Todavia, todas as hipóteses usuais são também (pelo menos implicitamente) assumidas e estão contidas em H0: em particular, Var(uf|X_f) =

σ2_I

f, uf|X ∼ N , etc. Ou seja, o teste é sensível a qualquer afastamento das hipóteses

básicas do modelo de regressão; por exemplo, um eventual aumento da variabilidade no período de previsão não pode constituir alibi suficiente para desculpar previsões desastradas, muito afastadas da realidade.

Represente-se com f o vector dos erros de previsão: f = yf−yf= yf−Xfβ = Xfβ+ uf−Xfβ =−Xf(β−β) + uf =_−Xf(X ′ X)−1 X′ u+ uf

onde já se empregou H0, e que permite verificar que os erros de previsão têm dois

componentes: a) o do erro de estimação de β, que é intrínseco e b) o dos próprios erros do modelo no período de previsão, que também é inevitável.

Como os erros de previsão podem ser positivos ou negativos e como podem ser grandes devido ao facto de a sua variabilidade poder ser grande, a estatística de teste deve ser uma forma quadrática nesses erros e eles devem ser ponderados pelos inversos das suas variâncias e covariâncias:

f′

[Var(f )]−₁

f.

E para obter Var(f) a hipótese de ausência de correlação entre u e uf, isto é, a

extensão da hipótese de ausência de autocorrelação ao período de previsão é crucial. (Naturalmente, também se assume ausência de autocorrelação dentro de uf.) É com

essa extensão, bem como sob a hipótese de normalidade, que se pode mostrar que F = f ′ [I_g+Xf(X ′ X)−1 X′ f] −1 f/g e′ 1e1/(T1− k) ∼ F(g,T1 −_k) sob H0,

onde já se particularizou o denominador para a situação em que a estimação se baseia apenas nas primeiras T1 observações. Todavia, pode ainda mostrar-se que a

forma quadrática do numerador não é mais que a diferença entre as SSRs para toda a amostra e apenas para a primeira sub-amostra, que se pode representar como

SSRT1+g − SSRT1 = e

′ ∗e∗−e

′ 1e1.

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Ou seja, a estatística de teste é exactamente a mesma do segundo teste de Chow (recorde-se que T2 = g), diferindo apenas na forma como o segundo sub-período

amostral é agora interpretado, como período reservado à avaliação das previsões. Assim, tal como para essa estatística, basta obter as SSRs de duas regressões.

Note-se, contudo, que ao contrário do teste de Chow, mesmo que T2 = g > k a

estatística de teste continua a calcular-se da mesma forma, não se transformando na do primeiro teste. Por outras palavras, se T2 = g > k, poderemos calcular duas

estatísticas distintas – a do primeiro teste de Chow e a de previsão –, cada uma delas com a sua interpretação (se bem que a do teste de previsão tenha também uma interpretação em termos de estabilidade). Pelo contrário, se T2 = g < k só

poderemos proceder ao cálculo de uma estatística que, no entanto, tem duas inter-pretações distintas: uma exclusivamente de estabilidade dos coeficientes e a outra de avaliação das previsões do modelo.

Este teste pode, ainda, ser apresentado de uma forma bastante diferente. Comece-se por definir, para cada obComece-servação do (pComece-seudo) período de previsão uma variável dummy de impulso, isto é, com o valor 1 apenas para essa observação; por exemplo:

DT1+1 =

1, t = T1+ 1,

0, t= T1+ 1,

e faça-se o mesmo para as observações seguintes, até ao final da amostra. Juntando de novo todas as observações, pode escrever-se, matricialmente

y yf = X 0 Xf Ig β γ + u uf . Pode então mostrar-se que:

a) as estimativas de β deste modelo são exactamente iguais às estimativas do modelo que são obtidas só com os (T1) dados amostrais (y = Xβ + u), o que

é um resultados bem conhecido dos analistas de outliers3_;

b) a estimativa OLS do vector γ, γ, é exactamente igual aos erros de previsão que se obtêm quando o modelo é estimado com a primeira sub-amostra (as primeiras T1 observações): γ= f;

3

Ou seja, este resultado pode ser enunciado como segue: incluir no modelo de regressão linear variáveis dummy de impulso para certas observações é equivalente a remover essas observações do processo de estimação.

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c) a estatística para testar H0 : γ = 0 vs. H1 : γ = 0 é a estatística de teste

anterior. Ora, como admitindo a exogeneidade estrita dos regressores, se tem E(f| Xf) = E(Xfβ+ γ + uf−Xfβ|Xf) = γ,

igualdade que se pode considerar como verificando-se aproximadamente no caso de regressores pré-determinados, conclui-se, então, que se trata de testar que, em média, os erros de previsão são nulos, isto é, que as previsões são centradas ou não enviesadas [veja-se, também Pesaran et al. (1985), p. 287].

2.3 O teste QLR

A grande limitação dos testes de estabilidade de Chow é, como se disse, a exigên-cia do conhecimento da data de quebra, Tb. Ora, na ausência deste conhecimento:

a) por um lado, a escolha de Tb de forma arbitrária – por exemplo, o meio da

amostra – conduz a testes com pouca potência, ou seja, mesmo que exista instabilidade ela dificilmente é detectada; a detecção requer alguma sorte. b) Por outro, a análise prévia dos dados para escolher Tb distorce a inferência

uma vez que a dimensão efectiva dos testes acaba por ser superior à nominal. Este procedimento é semelhante à realização de vários testes em busca daquele que conduza a uma rejeição da hipótese de estabilidade – a chamada “caça à quebra” –, caso em que a dimensão global ou conjunta também é superior à nominal de um teste individual4_{. Em ambos os casos diz-se que a escolha de}

Tb é feita de forma endógena aos dados e em ambos tem-se como consequência

que αR > αN (“R” representa real e “N” nominal).

Note-se contudo que, se existe informação prévia, exógena aos dados, da possi-bilidade de uma quebra em certa data, por exemplo devido a uma alteração insti-tucional, essa informação pode e deve ser usada sem qualquer restrição. Desde que ela seja exógena, não exerce qualquer distorção sobre as propriedades de dimensão e é susceptível de produzir um teste com boa potência. Pode, no entanto, acon-tecer que os dados indiquem uma data um pouco diferente, até porque os maiores ajustamentos ou alterações podem não ser simultâneos com a data da alteração institucional5_.

4

E pode mesmo ser muito superior se o número de testes efectuados for elevado.

5

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No caso contrário, a endogeneização referida tem que ser acomodada na teoria de distribuição, o que não é fácil. Repare-se também que neste caso Tb tem que ser

visto como um parâmetro adicional que tem que ser estimado.

A ideia de endogeneizar explicitamente a estimação de Tb deve-se a Richard

Quandt e já tem quase 60 anos: Quandt sugeriu estimar 2 regimes distintos con-siderando todos os possíveis pontos da amostra e reter aquele que maximizasse a função de verosimilhança sob a hipótese alternativa (de instabilidade). Ou seja, usar-se-ia o rácio de verosimilhanças:

QLR = max(L|H0) max(L|H1)

,

que se procuraria minimizar. A maximização do denominador seria, num certo sentido, dupla: maximimizar a verosimilhança sobre todos os valores para os co-eficientes e a variância mas também sobre todos os possíveis pontos de quebra. Todavia, Quandt deparou-se com o problema da dedução da distribuição da estatís-tica de teste, para o qual parecia não existir solução na época; só ficou claro que a usual aproximação (da estatística logaritmizada e multiplicada por −2) pela qui-quadrado seria muito pobre. Só muito mais recentemente Andrews (1993) resolveu o problema, e num contexto muito geral, o da estimação GMM.

Represente-se Tb através da fracção da amostra em que ela ocorre, com π:

Tb = [π T ], com [.] a representar o inteiro mais próximo, ou π = Tb/T ; por

ex-emplo, se a quebra ocorre exactamente no meio da amostra, tem-se π = 0.5; ainda por exemplo, se π = 0.2 significa que o primeiro regime abrange as primeiras 20% das observações e o segundo as últimas 80%, etc. Considere-se ainda o subcon-junto Π do segmento [0, 1], Π ⊂ [0, 1], de todas as possíveis fracções de quebra a considerar e note-se que, de facto, a amostra tem que ser aparada (trimmed) para que a aproximação assintótica funcione bem. O subconjunto mais popular é Π = (π0; 1− π0) = (0.15; 0.85), isto é, π0 = 0.15, e foi inicialmente sugerido por

Andrews (1993).

Andrews foi bastante longe e derivou a distribuição assintótica da trindade de estatísticas sup π∈Π W (π), sup π∈Π LM(π), e sup π∈Π LR(π),

e, em particular, para o modelo de regressão com erros esféricos, a estatística sup π∈Π W = max π∈Π T e′ ∗e∗−e ′ 1e1−e′2e2 e′ 1e1+e′2e2 ,

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é frequentemente conhecida como estatística QLR ou como estatística sup −W ald. Repare-se também que, como

sup W _{∝ max Chow,}

onde se deixou cair o argumento para simplificar a escrita, a estatística também é popularmente conhecida como max Chow (mas não coincide com ela).

A distribuição assintótica da estatística (sob H0) envolve processos de Wiener e

requer a tabelação por simulação de Monte Carlo. Tabelas corrigidas estão disponíveis em Andrews (2003) e os valores críticos dependem, para além de α:

a) do número de parâmetros em teste, p;

b) de π0, o parâmetro de “aparamento” (trimming);

c) de um parâmetro, λ, de assimetria do intervalo Π.

Por exemplo, quando π0 = 0.15 e o intervalo é simétrico, têm-se os valores críticos

8.68, 11.72, 14.13 e 16.36, com α = 0.05, para p = 1, 2, 3 e 4, respectivamente [Stock e Watson (2015), p. 611 apresentam os valores críticos para o caso π0 = 0.15 para a

estatística max Chow]. Note-se aliás que o caso de Tb conhecida e situada no meio

da amostra também se encontra contemplado nestas tabelas: trata-se de π0 = 0.5,

Π ={0.5} e a distribuição é, neste caso e obviamente, a qui-quadrado.

Como sub-produto importante, o procedimento também fornece um estimador de Tb. Com efeito, tem todo o sentido escolher

Tb = arg max QLR⇔ Tb = arg min(e ′ 1e1+e

′ 2e2),

pois a expressão dentro dos parêntesis aparece no numerador, a subtrair a e′

∗e∗, e no

denominador. Verifica-se asim que este estimador também é, claramente, de míni-mos quadrados. Acresce que, além de natural ou lógico e de se basear no princípio dos mínimos quadrados, ele é consistente; mais precisamente, o que se pode provar que é consistente é o estimador de π assim obtido (π→ π).p

Como pequeno exemplo de aplicação, gerou-se uma amostra do PGD dado por yt =

1 + 2xt+ ut, t = 1, 2, . . . , 40,

(16)

com u ∼ iidN (0, 1) e xt ∼ iidN (0, 1) também. Tem-se assim uma pequena (dado

que é da mesma magnitude do desvio-padrão e da variância dos erros) quebra em Tb = 40. Para detectar a quebra varreu-se a amostra em todos os pontos de

Π = (0.15; 0.85) tendo-se obtido, por exemplo (o TSP requer programação pois não permite calcular a estatística automaticamente):

Tb 16 17 . . . 38 39 40 41 . . . 83 84

W 3.92 3.76 . . . 26.11 28.40 26.98 23.89 . . . 7.55 7.36

Tem-se, então, QLR = sup W = 28.40 e como, com α = 0.05 (assintoticamente) a região crítica é RC = {QLR : QLR > 11.72}, rejeita-se claramente a hipótese, tendo o teste detectado correctamente a quebra, se bem que não exactamente a sua data, com Tb = 39; ainda assim, a estimativa é muito boa.

No EViews, após a estimação do modelo, pode obter-se a estatística automati-camente com as opções

View => Stability Tests => Quandt-Andrews breakpoint test.

Por omissão, o aparamento da amostra é feito com π0 = 0.15 mas é possível escolher

outros valores. A versão da estatística que o EViews produz é a versão max F (ou max Chow) e é possível fazer um teste de estabilidade parcial, isto é, testar apenas a constância de alguns dos coeficientes dos regressores.

Para analisar o comportamento do teste em termos de dimensão fez-se um estudo muito modesto, com apenas 5000 réplicas em cada caso, e com o PGD dado por yt = 1 + 1xt+ ut, com xt e ut ambas iid com distribuição N (0, 1). Os resultados

obtidos para as diferentes amostras, para testes com dimensão nominal de 5% são os seguintes:

Estimativas de dimensão real do teste QLR, em %(αN = 0.05)

T 30 50 100 200 400 800

α 5.86 4.96 3.76 3.80 3.96 4.04

Como seria de esperar dado que é assintótico, o teste apresenta aparente distorção de dimensão quando T = 30. Todavia, essa distorção ou sobre-rejeição é muito ligeira; tão ligeira, na realidade, que poderá dever-se apenas ao erro de amostragem. Quando T = 50 o teste exibe um comportamento excelente e, curiosamente, para amostras com T = 100 e superior o teste apresenta-se como conservador, com per-centagens de rejeição da verdadeira H0 inferiores aos 5% nominais, aproximando-se

(17)

da dimensão nominal quando T → ∞ por baixo. Não se pense, contudo, que este é um bónus ou um prémio gratuito. Se é assim, então devem existir situações em que a potência do teste também é inferior à que poderia ser, ou seja, casos em que o teste deveria rejeitar uma hipótese nula falsa e não o faz, ou não o faz com tanta frequência quanto deveria; é o preço a pagar pelo “desconto” na dimensão. De qual-quer forma, e em resumo, pode considerar-se que, para este PGD, pelo menos, o desempenho do teste em termos de dimensão é muitíssimo bom, sobretudo tendo em atenção que o teste é assintótico.

3 Outros Procedimentos

Existem muitos outros testes estatísticos, bem como procedimentos mais infor-mais de análise de estabilidade dos coeficientes. Como exemplo interessante dos primeiros, refira-se o teste de Nyblom-Hansen, que permite analisar tanto a estabi-lidade conjunta como a individual ou parcial de cada coeficiente. Uma apresentação breve pode ver-se em Johnston e DiNardo (1997). Exemplos bem conhecidos dos segundos são os resíduos recursivos e as estatísticas CUSUM (cumulative sum) e CUSUMSQ (cumulative sum of squares), que são construídas com base neles, e que dificilmente podem ser vistas como procedimentos formais de teste.

As estimativas OLS recursivas são um conjunto de estimativas que podem ser calculadas para várias dimensões de amostra, começando com as primeiras k obser-vações, e que podem ser actualizadas com base em fórmulas recursivas. Por si sós, estas estimativas podem ser objecto de análise gráfica, informal, podendo sugerir aspectos interessantes de evolução dos coeficientes na amostra. A apresentação que segue baseia-se fortemente em Harvey (1990).

As estimativas OLS baseadas apenas nas primeiras t observações, com t = k, k + 1, ..., T são dadas por

βt = (X ′ tXt) −₁ X′ ty ∗ t, com Xt= (x₁, x2, . . . , xt) ′ e y∗

t = (y1, y2, . . . , yt). Ora βt também pode ser obtido

com base em β_t−1, desde que t − 1 ≥ k: β_t= β_t−1+ (X′ t−1Xt−1) −₁ xt(yt−x ′ tβt−1)/mt, com mt = 1 + x ′ t(X ′ t−1Xt−1) −₁

(18)

como βt= βt−1+ (X ′ t−1Xt−1) −₁ xt˜vt/mt, onde ˜vt= yt−x ′

tβt−1é o erro de previsão a um passo, com as estimativas obtidas com

as t − 1 observações anteriores, e esta expressão pode, portanto, ser vista como uma fórmula recursiva de actualização das estimativas, que pode ser aplicada com cada nova observação (como na previsão real, à medida que o tempo decorre). Também por si sós estas estimativas podem ser objecto de uma análise gráfica informal, com grandes oscilações a sugerirem a presença de problemas de instabilidade.

Por outro lado, desde que os erros do modelo sejam esféricos, pode mostrar-se que os erros de previsão, ˜vt, são não autocorrelacionados, traduzindo mais fielmente

as propriedades dos erros que os resíduos OLS. Com eles podem construir-se os resíduos recursivos

vt = ˜vt/√mt, t = k + 1, . . . , T,

que são erros de previsão estandardizados, não autocorrelacionados e com variância constante, σ2_{, também com distribuição normal no caso dos erros do modelo a terem.}

As estatísticas CUSUM de resíduos recursivos acumulados são dadas por Wt = t j=k+1 ˆ vj/σ, t = k + 1, . . . , T, com σ2 = SSR/(T − k) = e′

e/(T − k) o estimador baseado na amostra completa. Ora, quando existe uma quebra, um número anormal de resíduos recursivos tende a apresentar o mesmo sinal, acumulando-se num valor anormalmente positivo ou negativo, ultrapassando as linhas rectas de valores críticos.

Já as estatísticas CUSUMSQ são dadas por W Wt= t j=k+1 ˆ vj2/ T t=k+1 v2t, t = k + 1, . . . , T,

que também podem ser representadas graficamente, sendo agora as linhas de valores críticos oblíquas mas paralelas entre si e à linha da sua média (E(W Wt) = (t−

k)//T − k), que começa em 0 para t = k e cresce até 1 para t = T ) . Tal como no teste CUSUM, a hipótese de estabilidade é rejeitada se o gráfico da estatística cruza alguma dessas linhas.

Na página seguinte apresentam-se, como exemplos, gráficos dos resíduos recur-sivos (feitos em EVIews) e das estatísticas CUSUM e CUSUM (obtidas com o TSP)

(19)

para o seguinte modelo (em primeiras diferenças) explicativo das despesas em con-sumo das famílias portuguesas:

∆ LCt = 0.018 +0.331 ∆LRt +0.376 ∆LSt +0.0029 ∆IN Ft,

(0.005) (0.100) (0.086) (0.0009)

estimado com dados do período 1965-1995 e onde LCt representa o logaritmo desse

consumo, LRto logaritmo do rendimento disponível, LStum índice de salários reais

e INFta taxa de inflação. Os gráficos são unânimes em sugerir alguma instabilidade

no final dos anos 70. Todavia, só o resíduo recursivo de 1978 cai ligeiramente fora do intervalo de confiança aproximado a 95%; no mesmo período, a estatística CUSUM aproxima-se da região crítica e corteja-a durante algum tempo mas nunca chega a ultrapassar a linha inferior dos valores críticos. Desta forma, a instabilidade parece ser irrelevante.

Refira-se, por fim, que um procedimento ainda mais informal e menos sofisti-cado que estes mas muito popular consiste em obter e representar graficamente as estimativas dos coeficientes obtidas com amostras rolantes, por vezes com uma di-mensão de amostra que vai aumentando com a adição de cada observação adicional, outras com amostras de dimensão fixa e que, portanto, vão desprezando um número crescente de observações do início da amostra.

4 Leituras Adicionais

Além de introdutório, o texto anterior está muito longe de esgotar o tema. Sugerem-se, por isso, as leituras que se seguem.

• A nível básico/introdutório: Stock e Watson (2015), pp. 607-19, Hansen (2001) e Maddala e Kim (1998), pp. 390-8 (aperitivo para abrir o apetite para outras leituras mais substanciais).

• A um nível mais avançado: Perron (2007), El-Shagi e Giesen (2013) e Casini e Perron (2018).

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- . 0 8 - . 0 6 - . 0 4 - . 0 2 . 0 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 7 0 7 2 7 4 7 6 7 8 8 0 8 2 8 4 8 6 8 8 9 0 9 2 9 4 R e c u r s i v e R e s i d u a l s ± 2 S . E .

Resíduos recursivos do modelo em primeiras diferenças do consumo das famílias portuguesas 70 75 80 85 90 95 −10 0 10 CUSUM 95% Upper Bound 95% Lower Bound 70 75 80 85 90 95 0.25 0.50 0.75 1.00 CUSUMSQ 95% Lower Bound Mean 95% Upper Bound

Estatísticas CUSUM e CUSUMSQ do modelo em primeiras diferenças do consumo das famílias portuguesas

(21)

Bibliografia

Andrews, D. W. K. (1993), Tests for parameter instability and structural change with unknown change point, Econometrica, 61, pp. 821-56.

Andrews, D. W. K. (2003), Tests for parameter instability and structural change with unknown change point: a corrigendum, Econometrica, 71, pp. 395-7. Casini, A. e Perron, P. (2018), Structural breaks in time series, mimeo.

Chow, G. C. (1960), Tests of equality between sets of coefficients in two linear regressions, Econometrica, 52, 211-22.

El-Shagi, M. e Giesen, S. (2013), Testing for structural breaks at unknown time: a steeplechase, Computational Economics, 41, pp. 101-23.

Godfrey, L. G. (1988), Misspecification tests in Econometrics, Cambridge Univer-sity Press.

Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, Prince-ton.

Hansen, B. (2001), The new econometrics of structural change: dating breaks in U.S. labor productivity, The Journal of Economic Perspectives, 15, 117-28. Harvey, A. (1990), The Econometric Analysis of Time Series, Philip Allan. Johnston, J. e DiNardo, J. (1997), Econometric Methods, McGraw-Hill.

Maddala, G. S. e Kim, I.-M. (1998), Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge University Press.

Perron, P. (2007), Dealing with structural breaks, in Mills, T. C. e Patterson, K. (eds.), Palgrave Handbook of Econometrics, vol I: Econometric Theory, pp. 278-352.

Pesaran, M. H., Smith, R. P. e Yeo, J. S. (1985), Testing for structural stability and predictive failure: a review, The Manchester School, 280-95.

(22)

Stewart, J. e Gil, L. (1998), Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall.

Stock, J. H. e Watson, M. W. (2015), Introduction to Econometrics, 3rd ed., Pear-son AddiPear-son-Wesley.

Exercícios

1. (Questão que saíu num exame antigo.) Considere as equações estimadas do Anexo.

a) Assumindo que as hipóteses necessárias são satisfeitas, formalize, efectue e retire a conclusão apropriada do teste estatístico que pode ser efectuado com as 3 primeiras equações.

Atenção: as alíneas que se seguem só deverão ser feitas após o estudo dos problemas de autocorrelação.

b) Sabendo que, na equação 4, et representa a série dos resíduos OLS da

equação 1, explique o objectivo dessa equação e retire a conclusão ade-quada.

c) Considerando o resultado que obteve em b), acha necessário reavaliar a conclusão que obteve em a)? Justifique devidamente.

2. “História” muito resumida: em 1983 os EUA acusaram a China de estar a fazer dumping das suas exportações de cloreto de bário [produto químico em-pregue na produção de gasolina (“gas”) e de outros produtos químicos]. O ITC (organização de comércio com sede nos EUA) decidiu a favor dos EUA em Outubro de 1984. Para mais detalhes ver Wooldridge (2006), exemplo 10.5, pp. 360-1, também na 4th ed., pp. 357—8, etc.

Com base no ficheiro de dados BARIUM.RAW (formato ASCII), onde as va-riáveis têm o seguinte significado:

chnimp – volume de importações de cloreto de bário dos EUA provenientes da China;

chempi — índice de produção da indústria química dos EUA; gas – volume de produção de gasolina dos EUA;

rtwex – índice de taxa de câmbio do USD, considerando que o modelo é

(23)

e assumindo que as séries são estacionárias e ergódicas (I(0)), responda às seguintes questões:

a) Obtenha “manualmente” a estatística de Chow, considerando 1984:9 como data de quebra.

b) Efectue o teste de previsão, considerando que o período de previsão se inicia em 1984:10 e vai até ao final da amostra (Nota: todavia, reconheça-se que não faz reconheça-sentido um período de previsão tão extenso).

c) Analise a qualidade das previsões com base em algumas estatísticas sim-ples e compare essa avaliação com os resultados das alíneas anteriores. Comente cuidadosamente a comparação.

Notas: use apenas algumas das estatísticas de análise das previsões, as mais simples e comuns, como o RMSE e o MAE. Em particular, deve confrontar o resultado do teste de previsão com a análise das previsões e encontrar uma justificação para o resultado do primeiro.

d) Efectue o teste QLR e, caso encontre provas estatísticas de instabilidade, obtenha como subproduto a estimativa da data de quebra.

3. Indique, de forma justificada, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

a) A formalização βjt = βj,t−1 + ǫjt, ǫjt ∼ iid(0, σ2), j = 1, 2, . . . , k, na

hipótese alternativa dos testes de estabilidade dos coeficientes, permite considerar quebras de estrutura abruptas.

b) Os testes de Chow usuais são testes baseados no princípio dos multipli-cadores de Lagrange pois todas as magnitudes das estatísticas de teste são obtidas supondo que H1 é verdadeira.

c) Se a partição da amostra é tal que T2 ou g, número de observações do

segundo sub-período, é maior que k, T2 = g > k, podemos calcular 2

estatísticas (de Chow) distintas, uma de estabilidade dos coeficientes e a outra do teste de previsão.

(24)

ANEXO

Equation 1

============

Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: Y

Current sample: 1990:1 to 2010:4 Number of observations: 84

Mean of dep. var. = .729210 LM het. test = .647792 [.421] Std. dev. of dep. var. = 2.04080 Durbin-Watson = .710947 [.000,.000] Sum of squared residuals = 161.700 Jarque-Bera test = 3.11905 [.210]

Variance of residuals = 1.99629 Ramsey’s RESET2 = .059383 [.808] Std. error of regression = 1.41290 F (zero slopes) = 46.0811 [.000]

R-squared = .532231 Schwarz B.I.C. = 153.344 Adjusted R-squared = .520681 Log likelihood = -146.698

Estimated Standard

Variable Coefficient Error t-statistic P-value

C 1.93731 .598185 3.23864 [.002] X -.603893 .073503 -8.21594 [.000] Z .414225 .083556 4.95745 [.000] Current sample: 1990:1 to 2002:4 Equation 2 ============

Mean of dep. var. = .993739 LM het. test = .803982 [.370] Std. dev. of dep. var. = 1.97859 Durbin-Watson = .879732 [.000,.000] Sum of squared residuals = 67.5145 Jarque-Bera test = .059490 [.971]

Estimated Standard

C 1.49781 .679157 2.20540 [.032]

X -.592049 .086126 -6.87421 [.000]

(25)

Current sample: 2003:1 to 2010:4

Equation 3

============

Mean of dep. var. = .299350 LM het. test = .697181E-02 [.933] Std. dev. of dep. var. = 2.09820 Durbin-Watson = .558885 [.000,.000] Sum of squared residuals = 73.6514 Jarque-Bera test = 1.51674 [.468]

Estimated Standard

C 2.52564 1.02281 2.46931 [.020] X -.586563 .118786 -4.93799 [.000] Z .186260 .160796 1.15836 [.256] Current sample: 1990:1 to 2010:4 Equation 4 ============

Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: E

Sum of squared residuals = 87.9403 Variance of residuals = 1.20466 R-squared = .428121 Adjusted R-squared = .381117 LM het. test = 1.19887 [.274] Durbin-Watson = 2.00614 [.238,.779] Durbin’s h alt. = -1.52434 [.127] Jarque-Bera test = 2.78833 [.248] F (zero slopes) = 9.10821 [.000] Estimated Standard

C -.260601 .482271 -.540362 [.591] X .011181 .059885 .186706 [.852] Z .045314 .067768 .668672 [.506] E(-1) .534047 .117528 4.54400 [.000] E(-2) .121795 .132931 .916224 [.363] E(-3) .035606 .133739 .266234 [.791] E(-4) .017044 .118174 .144225 [.886]