2008.2DaviCaldas-Monografia

(1)

Davi de Oliveira Caldas

Estima¸

c˜

ao de Pitch Atrav´

es de An´

alise de

Fourier e T´

ecnicas Digitais Para Um

Afinador de Instrumentos El´

etricos de

Corda

Feira de Santana – BA Mar¸co / 2009

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Davi de Oliveira Caldas

Estima¸

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ao de Pitch Atrav´

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Fourier e T´

ecnicas Digitais Para Um

Afinador de Instrumentos El´

etricos de

Corda

Monografia de Conclusão de Curso apresentada à Coordena¸cão do Curso de Engenharia de Computa¸cão da Universidade Estadual de Feira de Santana, para obten¸cão do grau de Bacharel em Engenharia de Computa¸cão.

Orientador:

Prof. Dr. Edgar Silva J´

unior

Co-orientador:

Prof. Dr. Gustavo Henrique Machado de Arruda

Curso de Engenharia de Computac¸˜ao Departamento de Tecnologia

Universidade Estadual de Feira de Santana

Feira de Santana – BA Mar¸co / 2009

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Dedicat´

oria

Dedico esta monografia aos meus pais, Fernando e Noélia; ao meu irmão, Luan; à minha avó, Nadir; e à minha namorada, Nara, por serem minha fam´ılia. Por serem tudo o que sempre irei precisar em toda a minha jornada.

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Agradecimentos

Meus agradecimentos vão para todas as pessoas que me apoiaram durante minha passagem pelo curso de Engenharia de Computa¸cão. Minha fam´ılia, por todo o amor a mim dedicado. À Nara, por sempre me indicar as boas dire¸cões da vida e estar sempre ao meu lado. Aos meus colegas de sala, por todos os momentos divertidos (junto ao conhecimento, levo comigo as boas risadas e as grandes amizades, guardadas). Aos meus orientadores Gustavo e Edgar, por todo o apoio e paciência com que fui orientado nesse projeto. A todos os outros professores que me passaram importantes conhecimentos, durante o curso. Ao funcionário do Labhard, Luciano, pelo suporte durante as horas de testes em laboratório. Aos funcionários da limpeza, que deixam tudo à ordens, e por quem passamos e esquecemos de dar um sorriso que seja. Um obrigado muito grande a todos vocês. Você fizeram parte de minha vida nesse pouco tempo no qual respirei Engenharia de Computa¸cão. E, com certeza, hão de fazer para sempre.

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“Se as coisas são inating´ıveis... ora! Não é motivo para não querê-las... Que tristes os caminhos, se não fora A presen¸ca distante das estrelas!” Mário Quintana

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Resumo

A estima¸cão da frequência de pitch de um sinal é um ramo de pesquisa da área de Processamento Digital de Sinais. Essa estima¸cão pode ser utilizada em diversas aplica¸cões, de softwares de deteçcão e reconhecimento de voz para per´ıcia policial, a aplica¸cões destinadas a usuários comuns, como afinadores eletrônicos para instrumentos musicais. A estima¸cão, em si, pode ocorrer com a utiliza¸cão de diversos métodos computacionais. Um desses métodos é o que utiliza a Transformada Rápida de Fourier. Essa transformada permite uma análise mais profunda do sinal a ser tratado, porque exibe caracter´ısticas dificilmente vis´ıveis na análise no dom´ınio do tempo.

Esse trabalho propõe a utiliza¸cão de um novo algoritmo numérico para a estima¸cão da frequência de pitch de um sinal através de análise de Fourier. Tal algoritmo poderá vir a servir em afinadores eletrônicos que realizem a estima¸cão/extra¸cão da frequência de pitch de um sinal oriundo de um instrumento elétrico de cordas. A aplica¸cão, desenvolvida em linguagem C e em linguagem do ambiente MATLAB, fará a estima¸cão dessa frequência de pitch e apresentará ao usuário o estado de afina¸cão da corda.

As particularidades do algoritmo proposto, bem como o algoritmo de Transformada R´apida de Fourier utilizado, ser˜ao discutidos na presente monografia.

Palavras chave: processamento digital de sinais, técnicas digitais, estima¸cão de pitch, análise de Fourier, FFT.

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Abstract

The signal pitch frequency estimation is a research subject on Digital Signal Processing area. This estimation can be used in several applications, such as voice detection and recognition softwares (e.g., for forensic science specialists) and applications designed for common users, like musical instruments electronic tuner. The estimation itself can occur by using several computational methods. One of this methods uses the Fourier Fast Transform. This transformation allows a deeper signal analysis because some characteristics of the signal are hardly seen on time domain (like DC level and frequencies contributions).

This document proposes a new numeric algorithm that estimates the signal pitch frequency using the Fourier analysis. Such an algorithm can be used in real electronic tuners that estimate/extract the pitch frequency of string electric instruments. The application, developed in C and MATLAB languages, does this pitch frequency estimation and shows to the user the string tunning status.

Both the particularities of the algorithm here proposed, and the Fast Fourier Transform algorithm that was utilized will be discussed.

Keywords: digital signal processing, digital techniques, pitch estimation, Fourier analysis, FFT

(8)

Sum´

ario

Lista de Tabelas

Lista de Algoritmos p. 12

1 Introdu¸c˜ao p. 13

2 Revis˜ao Bibliogr´afica p. 16

2.1 Teoria Musical . . . p. 16 2.2 Métodos de Extra¸cão da Frequência de Pitch . . . p. 21 2.3 Transformada Discreta de Fourier (DFT) e Transformada Rápida de

Fourier (FFT) . . . p. 25

3 Desenvolvimento p. 30

3.1 Projeto de Algoritmo de Estima¸c˜ao de Pitch . . . p. 31 3.1.1 Algoritmo FFT Baseado no M´etodo de Cooley-Tukey . . . p. 31 3.1.2 Algoritmo FFT Implementado Baseado no Lema de

Danielson-Lanczos e no bit reversal . . . p. 33 3.1.3 Algoritmo de Estima¸cão de Pitch pelo Método de Janelamento . p. 36 3.2 Projeto de Hardware para Testes em Protoboard . . . p. 39 3.2.1 Aquisi¸cão do Sinal . . . p. 40 3.2.2 Filtragem Analógica . . . p. 42 3.2.3 Processamento Digital do Sinal . . . p. 44 3.2.4 Indica¸cão da Afina¸cão Através de LEDs . . . p. 50

(9)

5 Conclus˜ao p. 60

Referˆencias p. 63

Apêndice A - Código de estima¸cão de pitch em linguagem MATLAB p. 65

Apêndice B - Código de estima¸cão de pitch em linguagem C p. 67

Apêndice C - Código de estima¸cão de pitch em linguagem C para

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Lista de Figuras

1 Estrutura f´ısica de um viol˜ao. Em destaque, as trˆes principais partes de

sua estrutura: a cabe¸ca, o bra¸co e o corpo. . . p. 17 2 Tarraxas de um violão, em destaque. . . p. 17 3 Modelo de um circuito pré-amplificador de um violão elétrico. Algumas

vezes, tais pr´e-amplificadores tamb´em possuem circuitos equalizadores

de bandas. . . p. 18 4 Espectro da corda “lá” no dom´ınio da frequência, obtido de um violão

el´etrico. . . p. 20 5 Sinal senoidal no dom´ınio do tempo. . . p. 22 6 Sinal com mais de uma componente, no dom´ınio do tempo. Neste

exemplo, uma soma de senoides: 0, 9 sin(x) + 0, 1 sin(20x). . . p. 23 7 Grafo da FFT de decima¸cão no tempo para um caso de 8 amostras. . . p. 29 8 Fluxograma do processo em blocos do circuito. . . p. 40 9 Sinal da corda “lá” do violão, no dom´ınio do tempo, adquirido de um

violão elétrico através da placa de som computador. Um per´ıodo do

sinal, em destaque. . . p. 41 10 N´ıvel DC presente no espectro de frequências da corda “lá” do violão

-pode-se observar tal n´ıvel DC como um impulso de grande magnitude na

frequência de 0 Hz. . . p. 42 11 N´ıvel DC exclu´ıdo do espectro de frequências da corda “lá” do violão

-pode-se observar não há mais impulso na frequência 0 Hz, em t=0. . . . p. 43 12 Filtro DC analógico e circuito limitador de tensão implementados em

protoboard. . . p. 44 13 Fluxograma da l´ogica presente no ATMEGA8. . . p. 46 14 Esquema da ponte H utilizada durante simula¸c˜oes. . . p. 51

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15 Resultado da FFT e da estima¸c˜ao de pitch em MATLAB para a corda

“mi” (1a corda do viol˜ao). . . p. 53 16 Resultado da FFT e da estima¸c˜ao de pitch em MATLAB para a corda

“si” (2a _{corda do viol˜}_{ao). . . .} _{p. 54}

“sol” (3a _{corda do viol˜}_{ao). . . .} _{p. 54}

“r´e” (4a _{corda do viol˜}_{ao). . . .} _{p. 55}

“l´a” (5a _{corda do viol˜}_{ao). . . .} _{p. 55}

“Mi” (6a _{corda do viol˜}_{ao). . . .} _{p. 56}

21 Resultado da estima¸c˜ao de pitch da corda “Si”, atrav´es do programa em

(12)

Lista de Tabelas

1 Valores pré-estabelecidos das frequências de pitch de cada corda do violão. p. 19 2 Valores referentes ao per´ıodo de cada corda do violão. . . p. 21 3 Poss´ıveis estados dos bits que definem a corda escolhida pelo usuário. . p. 49 4 Poss´ıveis estados de um motor DC em uma ponte H. . . p. 52 5 Resultado das simula¸cões em ambiente MATLAB: comparativo entre o

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12

Lista de Algoritmos

1 Algoritmo Recursivo baseado no m´etodo Cooley-Tukey . . . p. 32 2 Primeira parte do algoritmo FFT baseado no lema de Danielson-Lanczos

e no bit reversal . . . p. 34 3 Segunda parte do algoritmo FFT baseado no lema de Danielson-Lanczos

e no bit reversal . . . p. 35 4 Algoritmo de janelamento definido. . . p. 38 5 Algoritmo l´ogico presente no ATMEGA8. . . p. 48

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13

1 Introdu¸

c˜

ao

O uso de sistemas digitais embarcados em instrumentos musicais vem se tornando cada vez mais frequente. Uma vez que os conceitos relacionados a Processamento Digital de Sinais podem ser aplicados aos sinais oriundos de instrumentos musicais, dispositivos como pedais de efeito, pedaleiras, afinadores eletrônicos e metrônomos digitais passaram a ser objetos de estudo e desenvolvimento. Tais dispositivos mostram-se como ferramentas de distinta importância para músicos profissionais e amadores. Dentre esses dispositivos citados, um mostra-se relevante para os músicos: o afinador eletrônico para guitarra, violões elétricos e contrabaixos elétricos.

Afinadores são dispositivos utilizados por músicos profissionais (que desejam possuir o instrumento musical corretamente afinado), por profissionais da área de música (como roadies) e por músicos iniciantes (que ainda não sabem como afinar seu instrumento musical). Um dos primeiros afinadores musicais surgiu em 1960, já protegido por direitos autorais, através de uma patente, nos EUA (PETTERSON, 1960). Afinadores elétricos funcionam estimando a frequência de pitch da corda e, em seguida, indicando se a corda em questão está acima ou abaixo de sua frequência correta. Essa frequência de pitch é a frequência que define o som da corda. Baseado na indica¸cão do estado da afina¸cão pelo afinador, o músico tensiona ou afrouxa a corda manualmente através da tarraxa do instrumento até que o afinador indique que a corda está afinada. Esse processo de afina¸cão pode dar-se de diversas formas e seguindo diversos algoritmos, cada um com suas particularidades (DHALIWAL et al., 2007). Em sistemas embarcados de afinadores elétricos manuais pode-se utilizar um microcontrolador como dispositivo central, já que este possibilita a aquisi¸cão de sinais, bem como seu processamento.

`

A análise de extra¸cão da frequência caracter´ıstica de um sinal dá-se o nome de extra¸cão ou estima¸cão de pitch (ITO; DONALDSON, 1971;SCARR, 1968; LERCH, 2006). Tais técnicas são utilizadas em diversas áreas de pesquisa: acústica, análise de fala humana, afina¸cão de instrumentos musicais (GERHARD, 2003; ITO; DONALDSON, 1971). Essa extra¸cão da frequência de pitch do sinal pode dar-se em diferentes dom´ınios (como, por exemplo,

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1 Introdu¸c˜ao 14

tempo e frequência) e dentro de cada dom´ınio existem diversos métodos que possuem particularidades e são, cada um, direcionados a um ou mais tipos de sistemas ou de sinais. Um desses dom´ınios de atua¸cão de métodos de extra¸cão de pitch é o dom´ınio da frequência. Na área de sinais, essa análise no dom´ınio da frequência está relacionada à transformada discreta de Fourier (DFT), que se mostra como uma importante ferramenta para a análise do sinal a ser considerado, transpondo-o do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da frequência. Nesse dom´ınio da frequência, algumas particularidades do sinal podem ser melhor analisadas e estudadas (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). Ao algoritmo que realiza o cálculo da DFT do sinal dá-se a denomina¸cão de FFT (do inglês Fast Fourier Transform - Transformada Rápida de Fourier). Considerando-se o sinal no dom´ınio da frequência, pode-se ainda utilizar em alguns casos a implementa¸cão de filtros digitais para a exclusão de determinadas frequências que distorcem alguma caracter´ıstica do sinal real, as vezes criando imperfei¸cões no sinal e dificultando a extra¸cão da frequência de pitch do mesmo.

Parte dos afinadores presentes no mercado possui uma análise de sinal no dom´ınio do tempo. Uma conhecida forma de análise de sinal no dom´ınio do tempo e que encontra-se implementada em alguns afinadores existentes no mercado é a de análise de taxa de cruzamento com o eixo x ou eixo zero: o ZCR (do inglês Zero Crossing Rate - taxa de cruzamento com zero). Tal proposta de análise do sinal é utilizada, por exemplo, em reconhecimento de fala (ITO; DONALDSON, 1971; SCARR, 1968), análise de sinais, mecânica dos fluidos etc (KEDEN, 1986). ZCR pode apresentar, em alguns casos, uma solu¸cão efetiva, como em sistemas LTI de sinais randômicos com filtragem (KEDEN, 1986).

A escolha de uma abordagem de análise de sinal no dom´ınio do tempo pode não refletir, por vezes, numa escolha adequada frente à quantidade de ru´ıdos e imperfei¸cões (como baixo ganho, n´ıvel DC presente, sobretensão) existentes no sinal originado do instrumento musical. Tais imperfei¸cões no sinal podem impossibilitar uma análise no dom´ınio do tempo. Dessa forma, pode-se fazer necessária a implementa¸cão de um sistema mais robusto, capaz de efetuar estima¸cões da frequência de pitch com maior precisão, através de uma exclusão da parte ruidosa e imperfeita do sinal a ser considerado.

Neste trabalho de conclusão de curso, implementou-se uma nova técnica de extra¸cão de pitch de um sinal, através da análise discreta de Fourier e, em seguida, efetuou-se testes em ambiente MATLAB, em ambiente de linguagem C e em um protótipo com um microcontrolador, utilizando-se sinais oriundos de uma violão elétrico, a fim de comprovar a eficiência de tal algoritmo. Para esse método de estima¸cão de pitch, algumas técnicas digitais foram utilizadas, uma vez que foi preciso tratar o vetor resultante da Transformada

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1 Introdu¸c˜ao 15

Rápida de Fourier, de forma que fossem analisadas faixas do vetor (e não todas as amostras obtidas). Essa espécie de janelamento do vetor pretendeu otimizar a solu¸cão proposta, pois, analisando-se apenas uma parte desse vetor, reduz-se o gasto em processamento e soluciona-se o problema de analisar todo o espectro de frequência (inclusive as indesejáveis frequências altas, que comumente são ru´ıdos).

Os testes em protoboard foram baseados em um microcontrolador de estrutura RISC: o ATMEGA8, da Atmel. Tal componente foi utilizado na implementa¸cão do algoritmo de extra¸cão de pitch do sinal (através da análise de Fourier do sinal), assim como nos testes com o atuador do sistema, de acordo com a frequência estimada pelo microcontrolador (já que cada corda deve possuir uma frequência padrão). Além do microcontrolador, o sistema possui um circuito de comunica¸cão entre o computador e o microcontrolador (para a programa¸cão e testes) e filtros analógicos resistivos-capacitivos - para reduzir certos tipos de ru´ıdos de um sinal (BOYLESTAD; NASHELSKY, 2006; SEDRA; SMITH, 2004). Para os testes em ambiente MATLAB e em linguagem C, o algoritmo desenvolvido tratou a questão de ru´ıdos e filtragem de n´ıvel DC, exibindo na tela o pitch estimado.

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16

2 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Nesta se¸cão, serão abordados alguns conceitos úteis à implementa¸cão do projeto. Para o desenvolvimento deste trabalho, foram necessários conhecimentos de Processamento Digital de Sinais (Transformadas Discreta e Rápida de Fourier) e de Circuitos Elétricos e Eletrônicos (Microcontroladores e Filtros Analógicos). O presente cap´ıtulo representa, desse modo, o resultado dessa pesquisa.

Na subse¸cão de teoria musical, será vista alguma fundamenta¸cão a respeito de termos e no¸cões musicais (como, por exemplo, o conceito de frequência de pitch e a caracteriza¸cão das frequências de pitch de cada corda); na próxima subse¸cão, serão discutidos os tipos e os dom´ınios dos métodos de extra¸cão da frequência de pitch de um sinal, pesquisados como poss´ıveis solu¸cões do método de estima¸cão que foi desenvolvido. Na última subse¸cão que se segue serão vistos os conceitos da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da Transformada Rápida de Fourier (FFT).

2.1 Teoria Musical

Um violão é um instrumento musical formado basicamente por um corpo, um bra¸co e uma cabe¸ca. Comumente, é feito de madeira ou de fibra de vidro. Pode ser elétrico (com circuitos pré-amplificadores, equalizadores e captadores) ou puramente acústico (sem nenhum tipo de dispositivos elétrico de amplifica¸cão ou equaliza¸cão do som, intr´ınseco ao instrumento). Pode possuir, a priori, seis ou sete cordas e tais cordas podem ser feitas de a¸co ou de nylon, de acordo com o modelo do violão. Pode-se ver, na Figura 1, um exemplo da estrutura f´ısica de um modelo de violão.

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2.1 Teoria Musical 17

Figura 1: Estrutura f´ısica de um viol˜ao. Em destaque, as trˆes principais partes de sua estrutura: a cabe¸ca, o bra¸co e o corpo.

Geralmente na cabe¸ca do violão encontram-se seis dispositivos denominados tarraxas, os quais prendem a corda do instrumento. Além de prenderem a corda do instrumento, tais tarraxas possibilitam a afina¸cão correta do violão, uma vez que elas permitem que as cordas sejam tensionadas ou afrouxadas. Ou seja, o giro da tarraxa determina a tensão mecânica da corda, tensionando-a ou afrouxando-a. Quando é aplicada a tensão correta `

a corda, essa encontra-se afinada e possui a frequˆencia de pitch correta. Na Figura 2, observa-se as tarraxas do instrumento.

Figura 2: Tarraxas de um viol˜ao, em destaque.

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sonoro gerado pelas cordas, transformando-os em tensão elétrica. O sinal captado segue, passando por um circuito pré-amplificador, que dá um ganho no sinal. Vê-se, na Figura 3, um exemplo de um pré-amplificador e um esquema de seu circuito elétrico correspondente, comumente encontrado em instrumentos elétricos.

Figura 3: Modelo de um circuito pré-amplificador de um violão elétrico. Algumas vezes, tais pré-amplificadores também possuem circuitos equalizadores de bandas.

Geralmente, existem seis cordas em um violão (alguns modelos podem possuir 7 ou até 12 cordas). Cada uma dessas cordas apresenta frequências de pitch próprias (de acordo com uma afina¸cão padrão que é determinada segundo uma frequência base de 440 Hz) (LERCH, 2006). Quando uma corda do violão vibra, ela corda produz uma onda sonora espec´ıfica. Uma onda sonora tem quatro caracter´ısticas básicas: a amplitude, o pitch (que é a frequência correta de vibra¸cão da corda), o timbre (que é a forma do sinal no dom´ınio do tempo) e dura¸cão (que é o tempo que a nota leva para soar) (BENSON, 2006).

Obviamente, tais fatores são mais complexos do que podem mostrar-se à primeira vista. Por exemplo, uma onda sonora é formada por diversas componentes de diversas frequências, inclusive ru´ıdos. Isso significa dizer que um som proveniente de um violão é formado pela sua frequência correta de afina¸cão (pitch), mas também por outras frequências intr´ınsecas, que podem aparecer no processo de capta¸cão do som (ru´ıdos) ou podem estar presentes na própria forma¸cão do som (frequências múltiplas da frequência de pitch). E a tarraxa do instrumento que, ao ser girada, tensiona mecanicamente a´ corda, conferindo-lhe uma afina¸cão espec´ıfica. Dessa forma, um violão possui suas cordas afinadas, quando estas apresentam as frequências de pitch de acordo com certos valores que já estão pré-estabelecidos (DHALIWAL et al., 2007). Tais valores estão dispostos na Tabela 1.

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Tabela 1: Valores pré-estabelecidos das frequências de pitch de cada corda do violão. Corda Frequência de pitch em Hz

1a _{Corda (corda “mi”)} _329,63

2a _{Corda (corda “si”)} _246,94

3a _{Corda (corda “sol”)} _196,00

4a _{Corda (corda “r´}_e”) _146,83

5a Corda (corda “l´a”) 110,00 6a Corda (corda “Mi”) 83,407

O ouvido humano capta e discerne frequˆencias em um intervalo de 20 Hz a 20 KHz, aproximadamente (BENSON, 2006). Dessa forma, infere-se, com a an´alise da tabela

anterior, que o presente trabalho desenvolvido trata de valores em Hertz relativamente baixos, considerando-se toda o intervalo de frequˆencias percept´ıveis ao ouvido humano.

A frequência de pitch é a mais proeminente e é a que define o som da corda. As outras harmônicas presentes na corda são múltiplas dessa frequência de pitch. É importante notar que essa frequência não é necessariamente a frequência fundamental do sinal. A frequência fundamental do sinal é a primeira frequência do espectro (ou f0), como visto na área de

Processamento Digital de Sinais (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999) (a discussão acerca de frequência fundamental será vista na se¸cão 2.3). Em música, fala-se de frequência de pitch do sinal ou, simplesmente, pitch de um sinal. Para melhor discernimento sobre tal fato, tem-se, na Figura 4, o espectro das frequências da corda “lá” (5a corda do violão) obtido de uma simula¸cão em MATLAB.

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Figura 4: Espectro da corda “lá” no dom´ınio da frequência, obtido de um violão elétrico.

Tal corda possui frequência de pitch em 110 Hz. Isso significa dizer, que seu per´ıodo possui 1/110 s, ou, aproximadamente, 9 ms, o que pode ser observado, no destaque da figura anterior. A frequência de pitch está em 110 Hz, enquanto que a fundamental do sinal é o primeiro valor do eixo x, é a f0 do sinal.

O sinal aqui tratado não é puramente periódico, uma vez que é limitado e formado por componentes diversas e ru´ıdos. Porém, será adotada a abordagem na qual o sinal é considerado, idealmente, periódico (tal fato será é discutido com mais profundidade na se¸cão 2.3). O ouvido humano é limitado na percep¸cão de altas frequências (os ru´ıdos de alta frequência muitas vezes são os responsáveis pela não-periodicidade presente no sinal) (BENSON, 2006).

´

E poss´ıvel, ainda, determinar qual o tempo de dura¸cão de um per´ıodo de cada uma das seis cordas que compõem o violão. Assim sendo, a Tabela 2 apresenta os obtidos obtidos para os per´ıodos relativos a cada uma das cordas existentes no violão.

(22)

2.2 Métodos de Extra¸cão da Frequência de Pitch 21

Tabela 2: Valores referentes ao per´ıodo de cada corda do viol˜ao. Corda Per´ıodos em ms 1a _Corda _3,033 2a _Corda _4,05 3a _Corda _5,102 4a _Corda _6,81 5a Corda 9,09 6a Corda 11,99

Conforme disposto na Tabela 2, cada corda tem um per´ıodo espec´ıfico. Dessa forma, tendo a informa¸cão de qual corda está vibrando, e baseado em quanto tempo dura o per´ıodo, é poss´ıvel obter a frequência de pitch (nesse caso, através de uma análise no dom´ınio do tempo). Entretanto, os valores exibidos na Tabela 2 referem-se aos encontrados em instrumentos afinados. O presente projeto trata as cordas que possuem o per´ıodo conforme a Tabela 2 (cordas afinadas) ou com valores diferentes dos encontrados em tal tabela (cordas desafinadas). O tom incorreto representa um pitch de valor acima ou abaixo do correto para a corda em questão, onde o tom é a frequência que define o som da corda.

Nas próximas se¸cões serão utilizados os conceitos de per´ıodo e frequência de pitch abordados nesta se¸cão, para as discussões acerca dos métodos de extra¸cão/estima¸cão de pitch.

2.2 M´

etodos de Extra¸

c˜

ao da Frequˆ

encia de Pitch

Para o cálculo da frequência de pitch de um sinal, existem diversos métodos. Tais métodos diferenciam-se quanto ao dom´ınio de aplica¸cão. Gerhard (2003) descreve uma diversidade de métodos e em diferentes dom´ınios de aplica¸cão. Sinais de fala humana, por exemplo, possuem uma extensa variedade de frequências componentes. Diferentemente, sinais de instrumentos musicais possuem uma periodicidade mais facilmente detectável, se existem poucos ru´ıdos no sinal (e mesmo que haja muito ru´ıdo, filtros podem vir a resolver o problema). Entre os diferentes dom´ınios de métodos de extra¸cão do pitch, pode-se destacar: o dom´ınio do tempo, o dom´ınio da frequência e os métodos não-determin´ısticos (GERHARD, 2003). Cada um desses dom´ınios apresenta diversos tipos de métodos.

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O primeiro tipo de dom´ınio, o de análise em dom´ınio do tempo, mostrou-se como uma solu¸cão figurada entre as primeiras tentativas de medi¸cão do pitch (GERHARD, 2003). Os métodos desse tipo de dom´ınio analisam a onda em sua configura¸cão no tempo e procuram por alguma caracter´ıstica no sinal que possa vir a determinar o pitch. Um conhecido tipo de método é o de deteçcão de eventos no tempo, que basicamente observa certos eventos em um sinal, considerando que o sinal é periódico e vai apresentar eventos que se repetem no tempo. Um primeiro método desse tipo é o que mede a taxa de cruzamento com zero de um sinal (ZCR - do inglês Zero Crossing Rate). A ideia básica desse método é a de que é poss´ıvel determinar quantas vezes o sinal cruzou o eixo x (quando y é zero), seja na “borda” de subida ou de descida, e, a partir de tal fato, medir quanto tempo o sinal levou para realizar tal tarefa. Através da Figura 5, pode-se observar um sinal senoidal obtido em MATLAB.

Figura 5: Sinal senoidal no dom´ınio do tempo.

Como observa-se na figura anterior, é poss´ıvel determinar o per´ıodo do sinal (no caso, uma senoide) apenas observando os tempos em que o sinal corta o eixo x no sentido de subida. Esse tipo de sinal, entretanto, é dif´ıcil de ser encontrado em situa¸cões reais. Sinais reais podem ser ruidosos e cruzar o eixo x diversas vezes (já que possuem diversas frequências componentes), como pode ser visto na Figura 6, a partir do MATLAB.

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Figura 6: Sinal com mais de uma componente, no dom´ınio do tempo. Neste exemplo, uma soma de senoides: 0, 9 sin(x) + 0, 1 sin(20x).

Em um sinal como o da Figura 6, o método de apenas detectar as subidas através do eixo x torna-se ineficiente, uma vez que o sinal corta subindo o eixo x várias vezes antes que se tenha um per´ıodo real do sinal. Dessa forma, tal método pode não apresentar uma solu¸cão interessante para sinais reais, caso não sejam contornados determinados empecilhos (como a presen¸ca de ru´ıdos, por exemplo). Esse método mostra-se como uma das primeiras tentativas de se calcular o pitch e não se moldará ao tipo de sinal que o presente projeto trata: ruidoso e com diversas componentes. Assim, tal método foi descartado como poss´ıvel solu¸cão para o cálculo do pitch, no presente projeto. Outro método dessa classe de métodos também foi descartado: o método de taxa de picos. Ele se assemelha ao método anterior, porém, ao invés de medir-se as taxas de cruzamento com zero, mede-se a taxa de picos no sinal, por segundo (GERHARD, 2003). Também, sem o devido tratamento de ru´ıdos, torna-se inviável uma análise no dom´ınio do tempo de um sinal ruidoso que venha a possuir diversos picos.

A segunda classe de métodos é composta pelos métodos não-determin´ısticos. Tais métodos baseiam-se no fato de que, às vezes, pode-se medir o pitch de um sinal utilizando análise não-determin´ıstica. Um dos métodos pesquisados é o que utiliza redes neurais. Porém, redes neurais apresentam o problema de trabalharem sob forma de “caixa-preta”, já que não podem ser matematicamente modelados (DHALIWAL et al., 2007). Dessa forma, redes neurais acabam por, de alguma forma, resolver o problema, mas não levam ao entendimento de como o problema foi resolvido. Por não se encaixar na linha de pesquisa almejada com o presente trabalho de conclusão de curso, a solu¸cão através de redes neurais

(25)

foi descartada.

A terceira classe é a de métodos no dom´ınio da frequência. O presente trabalho concentra-se na análise através de algum método dessa classe. A análise em frequência representa uma outra abordagem do sinal, uma vez que são analisadas as contribui¸cões de cada frequência, em Hertz, para a forma¸cão do sinal. A partir da um algoritmo que realize a conversão do dom´ınio do tempo para o da frequência, pode-se analisar todo o espectro do sinal em busca do pitch do mesmo. Tal algoritmo baseia-se na análise de Fourier do sinal e recebe o nome de DFT (Transformada Discreta de Fourier, do inglês Discrete Fourier Transform). O algoritmo de FFT (Transformada Rápida de Fourier, do inglês Fast Fourier Transform) é uma implementa¸cão da DFT e vale-se de uma quantidade de dados que seja potência de 2, com o propósito de otimizar o tempo de execu¸cão (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). O algoritmo FFT se baseia em decompor a sequência de amostras x[n] em sequências menores, até que haja apenas dois valores que serão somados de acordo com uma equa¸cão de cálculo da DFT e subtra´ıdos de acordo com outra (OPPENHEIM; SCHAFER,

1999). Como pode ser visto em Tabei e Ueda (1988), por exemplo, foi desenvolvida uma técnica de deteçcão de frequências, com alta precisão, através de técnicas de interpola¸cão e FFT. Dessa forma, após a pesquisa bibliográfica, a solu¸cão adotada para tal trabalho é a de análise por método de transformada de Fourier.

Intimamente ligadas à análise de Fourier de um sinal através do algoritmo FFT, estão as técnicas digitais também no dom´ınio da frequência. Estimar a frequência de pitch de um sinal pode ser dificultada pela presen¸ca ru´ıdo. Ru´ıdos podem surgir do próprio meio de envio do sinal (cabos de cobre), do pré-amplificador do instrumento musical (uma vez que o amplificador utilizado tem um ru´ıdo intr´ınseco) ou até mesmo do circuito de análise do sinal, através de efeitos capacitivos e indutivos. Dessa forma, a exclusão de ru´ıdo ou a otimiza¸cão do algoritmo de estima¸cão, através de alguma técnica digital, mostra-se como uma parte importante no processo de estima¸cão do pitch.

Existem basicamente duas abordagens para a deteçcão e exclusão de ru´ıdos de sistemas: a filtragem analógica e a filtragem digital do sinal (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999;

BOYLESTAD; NASHELSKY, 2006). A filtragem analógica é a responsável pela exclusão dos efeitos capacitivo e indutivo parasitas (que podem aparecer no sistema devido a própria existência de capacitores e indutores no circuito) ou pela exclusão de um n´ıvel DC que possa vir a existir no próprio sinal (BOYLESTAD; NASHELSKY, 2006). Dessa forma, alguns filtros analógicos simples podem ser implementados com resistores, capacitores e amplificadores operacionais para bloquear o n´ıvel DC do sinal de entrada do sistema, ou

(26)

2.3 Transformada Discreta de Fourier (DFT) e Transformada R´apida de Fourier (FFT) 25

faixas espec´ıficas de frequências. Um circuito que foi alvo de estudo, e que também foi implementado durante os testes em protoboard, é o que realiza a conversão da escala de tensão do sinal para a faixa de 0 a 5 Volts e não permite sobre ou sub-tensão excessivas. Esse circuito possui significativa importância, uma vez que ao se trabalhar na faixa de 0 a 5 Volts, não há perigo de sobrecarga no microcontrolador presente no sistema.

A filtragem digital, por sua vez, aproveita o sinal no dom´ınio da frequência para realizar sua opera¸cão sobre determinadas frequências indesejáveis no sistema. Sabe-se que sinais provenientes de instrumentos elétricos de corda (e, em especial, do violão elétrico, uma vez que este será o instrumento utilizado para os testes) apresentam harmônicas muito altas no sinal gerado, dificultando a extra¸cão do pitch do sinal. A filtragem digital, para o caso do presente projeto, consiste em excluir as frequências mais altas do sinal. Entretanto, um filtro digital pode se tornar um gargalo de um projeto, uma vez que ele ocupa espa¸co em memória para ser utilizado, gera espa¸co gasto na memória de dados (já que tal filtro gera dados a serem analisados) e também apresenta um gasto em processamento.

2.3 Transformada

Discreta

de

Fourier

(DFT)

e

Transformada R´

apida de Fourier (FFT)

A Transformada Discreta de Fourier consiste em transpor um conjunto discreto de dados do tempo para o dom´ınio da frequência. Sabe-se que através de séries de Fourier é poss´ıvel determinar um sinal periódico como uma soma de senoides, ou de maneira equivalente, como uma soma de componentes complexos (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). Entretanto, quando se trata de sinais que não são puramente periódicos, fala-se em utilizar a abordagem permitida pela transformada de Fourier. Para o caso da análise de um sinal real é utilizada uma parte do sinal, uma vez que computacionalmente utilizam-se dados finitos (BENSON, 2006). Idealmente, o sinal proveniente do violão é periódico, possui frequências estabelecidas de ressonância e, portanto, uma abordagem matemática é poss´ıvel. Matematicamente, utiliza-se a abordagem a Transformada Cont´ınua de Fourier (comumente definida apenas como Transformada de Fourier). Em termos computacionais, como se trabalha com dados discretos, é utilizada a Transformada Discreta de Fourier (comumente chamada de DFT - Discrete Fourier Transform).

Para o problema envolvido na estima¸cão de pitch de um sinal originado de um violão, sabe-se que os dados obtidos são discretos no tempo. Dessa forma, é preciso utilizar a

(27)

abordagem matem´atica da DFT para analisar o sinal.

Considere-se uma sequência discreta ˜x[n] periódica e com per´ıodo N. Se é periódica, ˜

x[n] = ˜x[n + rN ] para qualquer valor inteiro r. Semelhantemente a sinais periódicos cont´ınuos no tempo, essa sequência pode ser definida como uma soma de sequências exponenciais complexas (série de Fourier) (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999), ou seja, com frequências que são inteiras e múltiplas da frequência fundamental (2π

N), associadas com

a sequência periódica x[n]. Essas exponenciais complexas ek[n] são da forma:

ek[n] = ej(

2π

N)kn= e

k[n + rN ], (2.1)

onde k é um inteiro e j, o termo complexo. A série de Fourier dessa sequência é:

˜ x[n] = 1 N X k ˜ X[k]ej(2πN)kn (2.2)

Como a s´erie deve conter apenas N exponenciais complexas, referentes a quantidade discreta das amostras:

˜ x[n] = 1 N N −1 X k=0 ˜ X[k]ej(2πN)kn (2.3)

Tal equa¸c˜ao comumente tem a seguinte forma:

˜ x[n] = 1 N N −1 X k=0 ˜ X[k]W_Nkn, (2.4) onde W_Nkn = e−j(2πN)kn (2.5)

Dessa forma, a equa¸cão da Série Discreta de Fourier, ˜X[k], é definida por:

˜

X[k] =Xx[n]e˜ −j(2πN)kn (2.6)

A partir da equa¸cão de Série Discreta de Fourier é poss´ıvel determinar a DFT, definida por X[k], como sendo uma sequência de dura¸cão finita correspondente a um per´ıodo de

˜

(28)

2.3 Transformada Discreta de Fourier (DFT) e Transformada R´apida de Fourier (FFT) 27 X[k] = N −1 X n=0 x[n]W_Nkn (2.7)

Computacionalmente, pode-se realizar tanto a DFT quanto a FFT (uma vez que manipula-se dados discretizados). De fato, o algoritmo FFT é desenvolvido tendo o algoritmo DFT como base. O cálculo do algoritmo de FFT possui grande eficiência quando se decompõe a computa¸cão em DFT’s menores (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). Para tanto, são exploradas duas propriedades da exponencial complexa Wkn

N = ej(

2π N)kn:

simetria e periodicidade. Os algoritmos que se baseiam em decompor a sequência de amostras x[n] em sequências menores são chamados algoritmos de decima¸cão no tempo. A particularidade do algoritmo FFT é que este realiza a transformada discreta de Fourier para uma quantidade de amostras que seja potência de 2, possuindo um menor tempo de execu¸cão, justamente devido às propriedades de simetria e periodicidade (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). Para o projeto em questão, foi utilizado o algoritmo FFT como solu¸cão final. Para efeitos de testes e compara¸cões, também foi utilizado o algoritmo DFT durante simula¸cões.

O algoritmo funciona da seguinte forma: para computar X[k], separa-se x[n] em dois termos. O primeiro termo trata dos valores de ´ındice par da sequˆencia discreta x[n], enquanto que o outro termo trata dos valores de ´ındice ´ımpar da sequˆencia. Dessa forma:

X[k] = X

n−pares

x[n]W_Nkn+ X

n−impares

x[n]W_Nkn (2.8)

Fazendo n = 2r para n-pares e n = 2r + 1 para n-´ımpares:

X[k] = N 2−1 X r=0 x[2r]W_N2rk + N 2−1 X r=0 x[2r + 1]W_N(2r+1)k (2.9) X[k] = N 2−1 X r=0 x[2r](W_N2)rk+ W_Nk N 2−1 X r=0 x[2r + 1](W_N2)rk (2.10)

O que pode ser observado, acima, ´e que cada somat´orio trata dos termos pares e ´ımpares relacionados a x[n]. O termo W2

N, da equa¸c˜ao acima, ainda pode ser desenvolvido.

Assim sendo:

(29)

2.3 Transformada Discreta de Fourier (DFT) e Transformada R´apida de Fourier (FFT) 28 WN2 2 = e−2j( 2π N 2 ) = e−2j(2πN) (2.12) Logo, W_N2 = WN2 2 (2.13) Substituindo em (2.10): X[k] = N 2−1 X r=0 x[2r]WNrk 2 + W_Nk N 2−1 X r=0 x[2r + 1]WrkN 2 (2.14)

A equa¸c˜ao (2.14) pode ainda, para efeitos did´aticos, ser escrita de uma forma mais reduzida:

X[k] = G[k] + W_NkH[k] (2.15)

Dessa forma, é poss´ıvel calcular G[k] e H[k], separadamente, e somá-los, para cada termo k, para os N₂ pontos. Uma análise gráfica do que a equa¸cão (2.15) representa é definida, na literatura, em um grafo conhecido como diagrama borboleta. Na Figura 7, é poss´ıvel visualizar um diagrama borboleta para um caso hipotético de um per´ıodo de onda discretizado em 8 amostras.

(30)

Figura 7: Grafo da FFT de decima¸c˜ao no tempo para um caso de 8 amostras.

A partir da an´alise do grafo da Figura 7, percebe-se, por exemplo, que o termo X[0] ´e composto por G[0] somado com o produto entre H[0] e W0

N.

Segundo o grafo da Figura 7 e a equa¸cão (2.14), é preciso a computa¸cão de dois DFT para N₂ pontos para x[n] . Ou seja, aproximadamente, 2(N₂)2 _{multiplica¸c˜}_{oes complexas}

e 2(N₂)2 _adi¸c˜_{oes complexas. Se os termos G[k] e H[k] forem decompostos mais uma vez}

para transforma¸cões N₄, teremos N + N + 4(N₄)2 multiplica¸cões e adi¸cões complexas. Se N = 2v, ou seja, se trabalhamos com potência de 2, os cálculos são feitos em em aproximadamente log₂N vezes. Dessa forma, temos um algoritmo FFT de complexidade log₂N (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999).

Um outra abordagem matemática trata a transformada rápida de Fourier como sendo uma opera¸cão algébrica entre vetores. Pela defini¸cão, é poss´ıvel tratar a equa¸cão (2.7) como sendo uma opera¸cão entre vetores. Na verdade, o que se tem é um tratamento vetorial para o que foi exibido na Figura 7. Uma abordagem vetorial pode ser vislumbrada em Bracewell (2000).

No próximo cap´ıtulo será vista a metodologia adotada na execu¸cão do projeto. Serão discutidos os projetos de software e hardware desenvolvidos. Alguns esquemas, fluxogramas e pseudocódigos também serão exibidos, para melhor entendimento dos algoritmos e das ideias envolvidas no projeto.

(31)

30

3 Desenvolvimento

Segundo Gerhard (2003), o método de cálculo do pitch a ser utilizado está ligado ao tipo de sinal analisado; portanto, será utilizada, no presente trabalho de conclusão de curso, uma solu¸cão não unificada e direcionada à resolu¸cão do problema de medir-se o pitch de um sinal, originado de um instrumento musical de cordas.

O projeto do presente trabalho foi desenvolvido com base em simula¸cões e testes em dois ambientes: a simula¸cão em software (através do ambiente MATLAB e de um compilador C) e o protótipo em hardware (baseado em microcontrolador). O projeto de hardware foi montado em protoboard, contando com dispositivos eletrônicos (tais como resistores e capacitores), enquanto que a parte lógica (o algoritmo de estima¸cão de pitch e da FFT) ficou localizada no microcontrolador ATMEGA8.

A decisão de projeto foi optar pela seguinte solu¸cão: desenvolver uma técnica digital de janelamento do espectro de frequências, onde o algoritmo procure pela frequência de pitch em um intervalo espec´ıfico, com a menor quantidade poss´ıvel de valores a serem analisados. Tal escolha se reflete em uma otimiza¸cão do processo de análise do sinal, visto que resolve o problema de excluir as frequências altas (inúteis à análise da frequência de pitch do sinal), sem o gasto computacional de um filtro digital, como o IIR, por exemplo. Outra decisão de projeto foi a escolha do microcontrolador a ser utilizado nos testes em protoboard. Para o caso do presente projeto, foi utilizado o microcontrolador ATMEGA8 (ATMEL, 2008), que se encontra dispon´ıvel no laboratório utilizado.

A metodologia utilizada seguiu os seguintes passos: primeiro foi feito um estudo acerca dos métodos FFT existentes e, após isso, foi definida uma solu¸cão da estima¸cão do pitch. Após tais algoritmos ficarem prontos, testes em ambiente MATLAB foram executados para confirmar a eficiência dos mesmos. Foram utilizados diversos arquivos .wav que foram extra´ıdos diretamente de um violão elétrico, conectado à placa de som do computador. Na sequência do trabalho, foi tratado o algoritmo em linguagem C, com testes em um compilador C, com o objetivo de confirmar e garantir que o código

(32)

3.1 Projeto de Algoritmo de Estima¸c˜ao de Pitch 31

em C estivesse funcional, para poss´ıvel aplica¸cão em um sistema real microcontrolado de afina¸cão. Por último, foi tratado o código em linguagem C, direcionado à arquitetura dos microcontroladores Atmel (ATMEL, 2008). Nessa fase, foi projetado o hardware para testes em protoboard.

Na próxima se¸cão, será vista a metodologia utilizada para defini¸cão dos algoritmos de FFT e de estima¸cão de pitch. Haverá uma análise de tais algoritmos. Na se¸cão 3.2, será discutida a metodologia utilizada na estrutura¸cão do hardware desenvolvido para os testes em protoboard.

3.1 Projeto de Algoritmo de Estima¸

c˜

ao de Pitch

O objetivo principal do presente projeto foi definir um algoritmo novo que estime a frequência de pitch do sinal. Além disso, algum método de transformada de Fourier deveria ser utilizado antes que o algoritmo de estima¸cão capture a frequência de pitch do sinal. Ou seja, o primeiro ponto de estudo e desenvolvimento estão os algoritmos FFT existentes. O presente cap´ıtulo tratará das questões envolvidas no algoritmo FFT escolhido, bem como do próprio algoritmo de estima¸cão de pitch desenvolvido. As questões espec´ıficas de cada um dos dois temas serão abordadas com aux´ılio de pseudocódigos.

3.1.1 Algoritmo FFT Baseado no M´

etodo de Cooley-Tukey

Existem diversos algoritmos FFT desenvolvidos. Inicialmente, foi implementado um algoritmo recursivo baseado no algoritmo FFT Cooley-Tukey, que é um conhecido algoritmo de cálculo da FFT (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). A estrutura do algoritmo utilizado é dada na listagem Algoritmo 1.

(33)

3.1 Projeto de Algoritmo de Estima¸cão de Pitch 32 Fun¸cão FFT(vetor[x]) 1 begin 2 X ←− amostrasObitdas 3 N ←− tamanho(X) 4 se N = 1 então 5 return Y[ ] 6 fim 7 se N = 2n então 8

para j ←− 0 at´e j <= N₂ − 1 fa¸ca

9 parteP ar[j + 1] ←− Y [(2j) + 1] 10 parteImpar[j + 1] ←− Y [(2j) + 2] 11 j + + 12 fim 13 f f tP ar ←− F F T (parteP ar) 14 f f tImpar ←− F F T (parteImpar) 15

para k ←− 0 at´e k ←− N₂ − 1 fa¸ca

16 W nk ←− e(−2πikN ) 17 Y [k + 1] ←− f f tP ar[k + 1] + W nk ∗ f f tImpar[k + 1] 18 Y [k + 1 + N/2] ←− f f tP ar[k + 1] − W nk ∗ f f tImpar[k + 1] 19 fim 20 fim 21 end 22

Algoritmo 1: Algoritmo Recursivo baseado no m´etodo Cooley-Tukey

A ideia do Algoritmo 1 é computar, recursivamente, o array de amostras como outros dois arrays de amostras, através do método de Cooley-Tukey. Tem-se, inicialmente o array de entrada Y, na linha 3 do Algoritmo 1. Esse array é dividido em outros dois arrays: um de ´ındices par e outro de ´ındices ´ımpares, exatamente como na equa¸cão (2.8). Também, como visto na dedu¸cão matemática da se¸cão 2.3 desta monografia, deve-se trabalhar com uma quantidade de amostras que seja potência de 2. O passo seguinte é chamar a própria fun¸cão FFT()recursivamente, para que cada um dos vetores seja novamente divididos, até que se tenha dois únicos valores que devem ser operados de acordo com as linhas 18 e 19. Após toda a execu¸cão do algoritmo, tem-se um vetor final com valores transformados para o dom´ınio da frequência. O algoritmo, portanto, recursivamente executa a transforma¸cão

(34)

matem´atica exposta na equa¸c˜ao (2.15).

Entretanto, essa solu¸cão mostrou-se inconveniente como poss´ıvel solu¸cão para o caso das simula¸cões posteriores, em linguagem C. Isso porque trabalhar recursivamente, com vetores de tamanho dinâmico mostra-se como uma tarefa árdua para dispositivos de pouca memória e capacidade de processamento como microcontroladores. Acaba-se por não ter um bom aproveitamento de estruturas dinâmicas, como ocorre em ambiente MATLAB. Sendo assim, foi preciso utilizar uma outra solu¸cão FFT - uma solu¸cão que fosse unificada, independente de ambientes de simula¸cão. A solu¸cão implementada também é baseada no método de Cooley-Tukey, porém, também utiliza uma varia¸cão do conceito do método Cooley-Tukey de decima¸cão no tempo: o lema de Danielson-Lanczos e bit reversal (PRESS et al., 1992). Esse lema propõe utilizar uma reversão de bits antes da execu¸cão da transformada em si, e fazer com que a transformada seja realizada com vetores estáticos. Na próxima subse¸cão, será discutido o algoritmo implementado, baseado no lema de Danielson-Lanczos.

3.1.2 Algoritmo FFT Implementado Baseado no Lema de

Danielson-Lanczos e no bit reversal

O Lema de Danielson-Lanczos também determina que a transformada de um vetor de amostras pode ser feita através da quebra desse vetor em outros dois vetores. Semelhantemente ao método de Cooley-Tukey utilizado em simula¸cões no MATLAB e abordado na subse¸cão anterior, o lema determina que deverá ser utilizada uma varia¸cão do método de Cooley-Tukey, através da utiliza¸cão da fórmula de Danielson-Lanczos, algo que será visto no algoritmo implementado.

Outra caracter´ıstica é que são aproveitadas as similaridades entre transformadas e utiliza-se de um recurso conhecido como bit reversal. O uso de tal recurso permite também uma melhoria no tempo gasto para a computa¸cão da transformada. (PRESS et al., 1992). O lema de Danielson-Lanczos diz que a transformada de Fourier de tamanho N pode ser reescrita como sendo a soma de duas outras transformadas de Fourier, com tamanho de N/2, exatamente como é dito para o algoritmo de Cooley-Tukey, porém sem a utiliza¸cão de recursão. Além disso, o lema propõe a utiliza¸cão de bit reversal e da identidade de Euler para calcular os termos complexos. Tem-se no Algoritmo 2, a primeira parte do algoritmo FFT baseado no lema de Danielson-Lanczos.

(35)

3.1 Projeto de Algoritmo de Estima¸c˜ao de Pitch 34 data ←− vetorAmostras 1 N ←− tamanho(data) 2 j ←− 1 3

para i ←− 1 at´e i < n fa¸ca

4 se j > i ent˜ao 5 SW AP (data[j], data[i]) 6 SW AP (data[j + 1], data[i + 1]) 7 fim 8 m ←− 1 9 enquanto m >= 2 e j > m fa¸ca 10 j ←− j − m 11 m >>= 1 12 fim 13 j ←− j + m 14 i ←− i + 2 15 fim 16 mmax ←− 2 17

Algoritmo 2: Primeira parte do algoritmo FFT baseado no lema de Danielson-Lanczos e no bit reversal

O Algoritmo 2 realiza o bit reversal, que nada mais é do que uma reordena¸cão do vetor de dados. O lema de Danielson-Lanczos propõe que essa reordena¸cão do vetor reduzirá a Transformada de Fourier a simples somas entre posi¸cões adjacentes do vetor: os valores de cada posi¸cão do vetor são transformadas de um ponto; a soma de pares adjacentes resultará em uma transformada de dois pontos; a soma de dois pares de pares adjacentes resultará em uma transformada de quatro pontos; e assim por diante. Após a execu¸cão sucessiva, tem-se o vetor final de transformadas. Assim sendo, é feita uma reordena¸cão, com troca de valores entre as posi¸cões do vetor, através das linhas 4 a 15 do Algoritmo 2, para a posterior transformada que ocorrerá a seguir. Após essa reordena¸cão, tem-se o algoritmo proposto por Danielson-Lanczos (PRESS et al., 1992). Dessa forma, o Algoritmo 3 apresenta a continua¸cão do Algoritmo 2.

(36)

enquanto n > mmax fa¸ca

18

istep ←− mmax << 1;

19

theta ←− isign ∗ (6.28318530717959/mmax);

20

wtemp ←− sin(0.5 ∗ theta);

21 wpr ←− −2 ∗ wtemp ∗ wtemp; 22 wpi ←− sin(theta); 23 wr ←− 1; 24 wi ←− 0; 25

para m ←− 1 at´e m < mmax fa¸ca

26

para i ←− m at´e i <= n fa¸ca

27

j ←− i + mmax;

28

tempr ←− r ∗ data[j] − wi ∗ data[j + 1];

29

tempi ←− wr ∗ data[j + 1] + wi ∗ data[j];

30

data[j] ←− data[i] − tempr;

31

data[j + 1] ←− data[i + 1] − tempi;

32

data[i] ←− data[i] + tempr;

33

data[i + 1] ←− data[i + 1] + tempi;

34 i ←− i + istep; 35 fim 36 wr ←− (wtemp ←− wr) ∗ wpr − wi ∗ wpi + wr; 37

wi ←− wi ∗ wpr + wtemp ∗ wpi + wi;

38 m ←− m + 2; 39 fim 40 mmax ←− istep; 41 fim 42

Algoritmo 3: Segunda parte do algoritmo FFT baseado no lema de Danielson-Lanczos e no bit reversal

O que se faz da linha 18 em diante é calcular, semelhantemente à equa¸cão (2.14), os valores das transformadas, como somas e subtra¸cões, valendo-se ainda da identidade trigonométrica de Euler. Tal fato resumirá a transformada como somas e produtos entre valores reais e senos e cossenos. Comparativamente, o que ocorre da linha 37 e 38, no Algoritmo 3, é análogo ao que ocorre nas linhas 18 e 19 no método de Cooley-Tukey, no Algoritmo 1. Dessa forma, no Algoritmo 3 o termo Wnk é reescrito através do uso da

(37)

Um detalhe dessa implementa¸cão, é que o vetor conterá o dobro de tamanho do array de amostras. Após a realiza¸cão da transformada, o valor final é complexo. Dessa forma, a parte real de uma transformada é armazenada em uma posi¸cão do array de transformadas e sua parte imaginária correspondente, na posi¸cão seguinte do array (linhas 31 a 34). Assim sendo, o vetor de transformadas possuirá tamanho igual ao dobro do vetor de amostras. Em seguida, é calculada a magnitude do vetor de transformadas (para que sejam obtidos valores reais), fazendo que o vetor de magnitudes tenha o tamanho do vetor de amostras (linha 116, do Apêndice B).

Considerando que o sinal está transformado para o dom´ınio da frequência, o próximo passo é construir um algoritmo numérico para, digitalmente, estimar o valor do pitch a partir do vetor de transformadas, como será visto na subse¸cão que se segue.

3.1.3 Algoritmo de Estima¸

c˜

ao de Pitch

pelo M´

etodo de

Janelamento

Até agora foi discutido sobre os algoritmos que compõem a parte de análise de Fourier de um sinal. Porém, deve-se ter em mente que, considerando-se que já ocorreu a transformada de Fourier do vetor de amostras, o passo seguinte é determinar qual a frequência de pitch de tal sinal. Para tanto, foi preciso determinar um método numérico de busca em vetor para encontrar a frequência de pitch do sinal.

A ideia do algoritmo é que se fosse poss´ıvel determinar um intervalo de busca (onde seria procurada a frequência de maior magnitude ali contida), seria fact´ıvel estimar a frequência de pitch. Como foi visto na se¸cão sobre teoria musical, a frequência de pitch na música é aquela que define a nota, ou seja, é a primeira frequência caracter´ıstica de maior magnitude encontrada. E importante aqui perceber a singularidade deste fato:´ não basta apenas o sinal possuir grande magnitude de uma frequência qualquer. Para ser a frequência de pitch, ela deve conter a primeira maior magnitude que caracterize o som da corda. Isso acontece porque as próximas grandes magnitudes presentes em um sinal, são múltiplas dessa primeira frequência de grande magnitude. Para analisar sob a visão musical, será tomado como exemplo o caso da nota “lá”. Tal nota deve possuir sua frequência de pitch igual a 110 Hz para estar afinada. Nessa frequência de 110 Hz, deverá haver a primeira maior magnitude de componentes de frequência presentes no sinal. Ou seja, tem-se em 110 Hz uma considerável magnitude e as próximas frequências de grandes magnitudes deverão ser frequências múltiplas inteiras dessa frequência de 110 Hz. Haverá, então, grandes magnitudes em 220 Hz, 330 Hz, 440Hz e assim por diante.

(38)

Essas frequˆencias m´ultiplas recebem o nome de oitavas da nota.

Ou seja, se houver um algoritmo que capture a primeira maior magnitude, tal algoritmo retornará a frequência de pitch do sinal. Para realizar tal cálculo, não basta procurar pela frequência de maior magnitude. Isso seria um erro. Na Figura 4, por exemplo, é exibido o espectro da corda “lá” do violão, que possui sua frequência de pitch igual a 110 Hz. Entretanto, 110 Hz, não é a frequência de maior magnitude. A frequência de 440 Hz, por exemplo, tem uma magnitude maior. Para obter-se a frequência de pitch não se pode, portanto, utilizar a solu¸cão de basicamente procurar no vetor a frequência de maior magnitude.

A solu¸cão definida e implementada durante as simula¸cões foi a de fazer uma espécie de janelamento no vetor e procurar, nessa janela, a maior magnitude ali contida. O algoritmo criado no presente projeto apresenta um novo método de estima¸cão de pitch e foi denominado de método de janelamento. Para o exemplo da Figura 4, deverá ser definido um intervalo que conterá a frequência de 110 Hz. Por exemplo, se fossem analisadas apenas as frequências entre 60 Hz e 160 Hz, não haveria gasto computacional para análise de todas as amostras. Nesse intervalo, a maior magnitude seria o pitch do sinal. Esse intervalo é razoável porque serão identificadas as frequências de pitch em instrumentos que podem ou não estar desafinados. É sensato observar que o limite inferior do intervalo seria facilmente identificado pelo usuário (devido à corda afrouxada), enquanto que o limite superior tem a limita¸cão de não poder adentrar as oitavas. Seria poss´ıvel, por exemplo, tentar identificar a afina¸cão de um instrumento afinado que possui a corda “lá” com 110 Hz de frequência de pitch. O algoritmo de janelamento aqui proposto indicará 110 Hz de frequência de pitch, já que cuidadosamente foi adotada uma janela que cobre intervalos razoáveis e não adentra no janelamento das oitavas dos 110 Hz. Se fosse considerada uma janela muito maior, como 60 a 450 Hz, poderia ser cometido o erro de indicar que o instrumento afinado em 110 Hz está fora da afina¸cão porque a oitava de 440 Hz possui maior magnitude que a frequência de 110 Hz. Por isso, o janelamento, como já dito, não pode adentrar as oitavas da nota.

Foram adotados, nas simula¸cões, intervalos de 50 Hz para mais e para menos, visto que esse limite satisfaz as caracter´ısticas f´ısicas do sistema. Empiricamente, foi observado que abaixo do limite inferior de adotado a corda encontra-se notadamente afrouxada, enquanto acima do limite superior a corda poderia estourar, já que ela possui uma limita¸cão f´ısica. Como a ideia é conseguir realizar a extra¸cão de pitch através de um método FFT, é interessante adotar uma faixa dita aceitável de frequências. O Algoritmo 5 exibe a solu¸cão

(39)

da estima¸c˜ao de pitch desenvolvida, atrav´es do uso da ideia de janelamento.

begin 1 fs ←− taxaAmostragemConversorA/D 2 N ←− length(amostra) 3 tempo total ←− _fN s 4 ff ←− _tempo1 5 K ←− 0 : N − 1 6 Kf ←− ff ∗ K 7 k1 ←− _ffi f 8 k2 ←− _ffs f 9 ... 10 calcula F F T 11 ... 12 temp ←− 0 13

para j ←− k1 at´e j ←− k2 fa¸ca 14

magnitude ←− abs(f f tCorda(j))

15

se magnitude > temp ent˜ao

16

erro ←− abs(fpitch− Kf(j)) 17 temp ←− magnitude 18 pitch estimado ←− Kf(j) 19 fim 20 fim 21 end 22

Algoritmo 4: Algoritmo de janelamento definido.

Primeiramente, obtém-se a frequência de amostragem do conversor A/D utilizado e armazena-se esse valor na variável fs, que é a taxa com que os dados são amostrados.

Após isso, armazena-se na variável N a quantidade de amostras e calcula-se o tempo total do sinal (variável tempo total ). Esse tempo é dado por N_f

s. Obt´em-se, em seguida, a

frequência ff, que é a frequência fundamental de todo o sinal.

Define-se tamb´em um vetor K, de tamanho N, e um vetor Kf que ´e o produto de

cada posi¸cão de amostra com a frequência ff. Essa rela¸cão resulta, para determinada

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3.2 Projeto de Hardware para Testes em Protoboard 39

justamente o vetor em termos de valores de frequência (e não em termos de posi¸cão de amostras), para que cada magnitude calculada esteja relacionada às frequências e não `

as amostras. Dessa forma, as linhas 8 e 9 determinam os limites da janela em termos de frequˆencia. Para exemplifica¸c˜ao, tem-se os limites K1 = 60_f

f (para o limite inferior)

e K2 = 160_f

f (para o limite superior), caso seja considerado o caso da corda “l´a” (com

pitch igual a 110 Hz). Em seguida, após a realiza¸cão da FFT, a variável j do la¸co for, percorrerá o vetor de resultado da FFT em busca das maiores magnitudes no intervalo delimitado pelos limites superior e inferior. Ao final do la¸co, a variável magnitude terá o valor da maior magnitude encontrada e a variável pitch estimado representará o valor de frequência relativo àquela maior magnitude.

Estimado esse valor de pitch, este deverá ser exibido ao usuário. Para o caso dos testes em MATLAB, são exibidos o valor de tal pitch encontrado, além dos gráficos plotados dos espectros do sinal nos dom´ınios do tempo e da frequência. Visualmente, deverá ser confirmado que o cálculo do pitch deu-se corretamente. Já para o protótipo em protoboard, LEDs e mensagens pelo terminal do compilador do microcontrolador confirmarão os resultados da execu¸cão dos algoritmos. Na se¸cão a seguir, será discutido o projeto de hardware desenvolvido para os teste em protoboard.

3.2 Projeto de Hardware para Testes em Protoboard

Para os testes executados em protoboard, foi necessário montar uma estrutura de hardware, em laboratório. Para tanto, foram utilizados dispositivos presentes no laboratório: resistores, capacitores, buffer, motores DC (para testes da atua¸cão na tarraxa do violão), LEDs indicativos etc. Além desses dispositivos intr´ınsecos ao sistema, foram utilizados AMPOPs, com a finalidade de verificar-se se era útil dar um ganho no sinal do instrumento (o que acabou provado que não era necessário, pois o pré-amplificador do instrumento já realizava tal fun¸cão). Além do AMPOP, foi utilizado um circuito MAX232, com finalidade de visualizar os resultados do algoritmo de estima¸cão de pitch em terminal. O projeto de hardware opera basicamente da seguinte forma: gera-se um sinal do violão pelo pré-amplificador do instrumento; utiliza-se uma filtragem analógica para redu¸cão de tipos espec´ıficos de ru´ıdos do sinal; processa-se tal sinal no microcontrolador (utilizando o algoritmo de estima¸cão definido no cap´ıtulo anterior); e indica-se ao usuário, por meio de LEDs, o estado de afina¸cão da corda. O usuário atua na tarraxa, caso necessário, e o sistema é realimentado, dando continuidade ao ciclo.

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Objetivando uma melhor compreens˜ao do que foi dito anteriormente, pode-se analisar o comportamento geral do fluxo do processo observando a Figura 8.

Figura 8: Fluxograma do processo em blocos do circuito.

Como visto na figura anterior, o sistema possui blocos representativos das etapas da afina¸cão. Inicialmente, a parte em hardware realiza uma aquisi¸cão de sinal; conseguintemente, processa no microcontrolador tal sinal através dos algoritmos de FFT e de estima¸cão (bloco de processamento digital do sinal) e , baseado em tal processamento, é tomada uma decisão de qual LED acender para indicar o estado de afina¸cão da corda, e o usuário possa apertar ou afrouxar a corda, caso necessário (bloco de atua¸cão na tarraxa). Após o giro, tal corda possui uma nova frequência de pitch e, portanto, um novo sinal é gerado, para posterior análise no microcontrolador (bloco que representa o sinal do violão).

3.2.1 Aquisi¸

c˜

ao do Sinal

O processo de estima¸cão do pitch do instrumento é iniciado com a aquisi¸cão do sinal analógico do instrumento musical. Na Figura 8, o bloco representado pelo sinal originado do violão é o que indica o in´ıcio do processo. O sinal do violão é originado do pr´ e-amplificador do mesmo.

O sinal chega diretamente ao microcontrolador através do conversor A/D. Para efeito de compreensão, foi obtido, de simula¸cões em MATLAB, um sinal analógico proveniente da corda “lá” (5a corda do violão). Tal simula¸cão foi baseada em um arquivo .wav

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amostrado a 44,1 kHz (taxa de amostragem da placa de som utilizada). Apesar da diferen¸ca entre as taxas do conversor da placa de som do computador e do conversor A/D do microcontrolador, a ideia é a mesma: obter um sinal analógico através de um conversor A/D. A corda “lá” obtida tem a configura¸cão no dom´ınio do tempo representada na Figura 9.

Figura 9: Sinal da corda “lá” do violão, no dom´ınio do tempo, adquirido de um violão elétrico através da placa de som computador. Um per´ıodo do sinal, em destaque.

No microcontrolador, a onda sonora analógica foi convertida para digital (para posterior processamento digital) através do conversor A/D do próprio microcontrolador. Tal conversor trabalha sobre uma taxa de padrão de 10 kHz (taxa configurável). Ou seja, 10.000 amostras por segundo, o que é suficiente para amostrar todas as frequências relativamente baixas de cada uma das notas do violão (frequências estas discutidas na se¸cão de teoria musical). Cumpre-se, aqui, o Teorema de Nyquist pois conforme visto em simula¸cões, as máximas frequências encontradas eram da ordem de 2 kHz (ru´ıdos de altas frequências) e bem menores que a frequência de amostragem (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999). Como a frequência de opera¸cão do conversor A/D é maior ou igual ao dobro da maior frequência obtida do sinal, o teorema é garantido e é descartado o problema de aliasing no presente projeto.

Uma vez adquirido o sinal de entrada do sistema, é preciso, agora, realizar a filtragem analógica antes de amostrá-lo no microcontrolador, já que o n´ıvel DC e ru´ıdos podem dificultar a estima¸cão do pitch. Para tanto, serão vistos as configura¸cões e o funcionamento

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de tal filtro na pr´oxima subse¸c˜ao.

3.2.2 Filtragem Anal´

ogica

O ganho do sinal em fun¸cão do pré-amplificador presente no violão pode acrescentar, por vezes, um ganho nos ru´ıdos do sinal (BOYLESTAD; NASHELSKY, 2006). Esses ru´ıdos podem ser intr´ınsecos aos próprios captadores do instrumento, originados de um tratamento falho do aterramento do instrumento, ou até mesmo devido a perturba¸cões externas ao instrumento. Ru´ıdos podem dificultar a análise do sinal por parte do algoritmo desenvolvido e, portanto, foi adicionado um bloco de filtro analógico antes do sinal ser adquirido pelo microcontrolador. Tal filtragem é formada, basicamente, de dois processos: filtragem do n´ıvel DC do sinal e limita¸cão de tensão.

O bloco que representa o filtro DC na Figura 8 é responsável por excluir o n´ıvel DC presente no sinal. O n´ıvel DC de um sinal é um ru´ıdo que é apresentado, no dom´ınio da frequência, como uma grande magnitude na frequência igual a 0 Hz (BOYLESTAD; NASHELSKY, 2006). Tal ru´ıdo dificultou, nas simula¸cões, a estima¸cão da frequência de um determinado sinal, uma vez que o algoritmo desenvolvido para obten¸cão dessa frequência de pitch do sinal baseia-se, dentre outros fatores, na amplitude de determinada frequência. O n´ıvel DC pode ser visto na Figura 10.

Figura 10: N´ıvel DC presente no espectro de frequências da corda “lá” do violão - pode-se observar tal n´ıvel DC como um impulso de grande magnitude na frequência de 0 Hz.

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Uma vez que o sinal passou pelo bloco de filtragem de n´ıvel DC, ele passa a ter a configura¸cão exibida na Figura 11, onde é poss´ıvel verificar que a frequência de 0 Hz encontra-se sem valor de magnitude.

Figura 11: N´ıvel DC exclu´ıdo do espectro de frequências da corda “lá” do violão - pode-se observar não há mais impulso na frequência 0 Hz, em t=0.

Como já dito, essa exclusão durante as simula¸cões em MATLAB foi realizada via software, com aux´ılio de programas profissionais de edi¸cão de áudio e através do próprio programa desenvolvido. No projeto em protoboard, um circuito resistivo-capacitivo como visto em Dhaliwal (2007), realiza essa tarefa.

Após a exclusão do n´ıvel DC, o sinal segue em dire¸cão ao bloco limitador de tensão. Tal bloco é responsável por fazer com que os n´ıveis de tensão do sinal esteja entre 0 e 5 Volts. Isso se deve ao fato de que o microcontrolador trabalha nessa faixa de opera¸cão e pode danificar-se com valores fora desse intervalo. Portanto, tal circuito (composto por um resistor e por dois diodos) protege o microcontrolador de quaisquer eventuais sobretensões existentes no sinal de entrada do sistema (DHALIWAL et al., 2007). Na Figura 12 pode ser o filtro DC analógico e o circuito limitador de tensão implementados.

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Figura 12: Filtro DC anal´ogico e circuito limitador de tens˜ao implementados em protoboard.

Após tal tratamento analógico, o sinal seguirá para o conversor AD do microcontrolador para ser processado digitalmente.

3.2.3 Processamento Digital do Sinal

Continuando a descri¸cão da Figura 8, o bloco seguinte (“Microcontrolador”) é o que representa o microcontrolador e sua estrutura adjacente. Considerando que o sinal encontra-se filtrado analogicamente e limitado em uma faixa de tensão, o microcontrolador deverá utilizar o algoritmo de estima¸cão já definido. Uma vez estimada a frequência de pitch, LEDs indicarão a situa¸cão de determinada corda do instrumento musical. O microcontrolador utilizado foi um ATMEGA8, de arquitetura RISC de 8-bits, da empresa Atmel. Tal escolha se deveu ao fato da disponibilidade imediata em laboratório do microcontrolador, além de atender as necessidades de projeto, devido `

a considerável velocidade na execu¸cão de comandos (uma vez que instru¸cões RISC são rápidas e compactas) (TANENBAUM, 1990). Quanto à estrutura adjacente a este microcontrolador, foram utilizados alguns resistores que eliminam o fator flutua¸cão das portas do microcontrolador. Ou seja, tais resistores funcionam como um pull-down para algumas portas do microcontrolador (ATMEL, 2008). Esse pull-down ocorreu para evitar

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que os LEDs de exibi¸c˜ao fiquem com valores flutuantes e acendam de maneira incorreta. Ou seja, os resistores aterram determinadas portas do microcontrolador.

O algoritmo presente no ATMEGA8 possui sua estrutura lógica baseada em um loop infinito, o qual verifica se um sinal está sendo obtido pelo microcontrolador. Caso afirmativo, é obtido um vetor de amostras e calculada a FFT de tal vetor e extra´ıdo o pitch do sinal. Em seguida o violão deve ser afinado pelo usuário.

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Figura 13: Fluxograma da l´ogica presente no ATMEGA8.

Observa-se, na figura anterior, o que ocorre no sistema de forma sucinta. Enquanto não houver sinal de entrada, fica-se em loop, até que haja tal sinal. Uma vez presente o sinal, é verificada a escolha do usuário em rela¸cão a que corda está sendo afinada.