INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS
DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTO LAMINAR
A análise de um escoamento de fluido pode ser feita de duas maneiras. Em um tipo de análise a região de interesse é um volume definido, chamado de volume de controle. Analisando o problema do ponto de vista de um volume de controle macroscópico estamos interessados apenas em como quantidades globais de massa, momentum e energia atravessam a superfície de controle e qual a troca global destas quantidades no material em consideração.
As trocas que ocorrem dentro do volume de controle, por cada elemento diferencial de fluido, não pode ser obtida através deste tipo de análise.
Agora, vamos direcionar nossa atenção para elementos de fluido que se aproximam de tamanhos diferenciais. Iremos estimar e descrever o comportamento de um fluido sob o ponto de vista diferencial. As expressões resultantes deste tipo de análise são equações diferenciais. A solução destas equações diferenciais dará informações de natureza diferente da obtida através a análise macroscópica.
Tais informações podem ser de pouca importância se necessitamos informações globais, mas podem ser de grande importância para o conhecimento do mecanismo de transferência de massa, momentum e energia.
Uma solução exata de uma equação diferencial para escoamento de fluido é possível apenas se o escoamento é laminar, por esta razão apenas situações de escoamento laminar serão analisadas neste capítulo.
BALANÇO DIFERENCIAL DE MOMENTUM: condições de contorno
Meta: calcular os perfis de velocidade laminar para sistemas em escoamento, de geometria simples. Utilizam-se nestes cálculos a definição de viscosidade e o conceito de balanço de momentum.
O que nos interessa realmente: velocidade máxima, velocidade média ou tensão de cisalhamento na superfície.
Observação importante: os métodos e problemas dados neste capítulo se aplicam somente para escoamento estacionário (aquele no qual as condições em cada ponto não mudam com o tempo).
Balanço de momentum para escoamento estacionário:
0 sistema no no atuam que forças das soma sai que momentum de taxa entra que momentum de taxa = + (1)
Forças: - forças de pressão – atuam sobre as superfícies
- força da gravidade – atua sobre o volume como um todo
Mecanismos de transferência de momentum:
1. Transporte viscoso
2. Transporte convectivo (por escoamento ou convecção) – movimento global do fluido
PROCEDIMENTO:
a)balanço de momentum em uma fatia de espessura finita
b)espessura ? zero, obtemos a equação diferencial que descreve a distribuição do fluxo de momentum.
c) expressão (Newtoniana ou não Newtoniana) do fluxo de momentum ? equação diferencial para a distribuição de velocidade.
d)Integração de (b) e (c) ? distribuição de fluxo de momentum e da velocidade
OBS: momentum pode entrar no sistema por transporte viscoso de acordo com a expressão Newtoniana (ou não Newtoniana) para o fluxo de momentum. Momentum pode também entrar em virtude do movimento global do fluido.
CONDIÇÕES DE CONTORNO:
a)Interface sólido-fluido: velocidade do fluido = velocidade com a qual a superfície sólida se move
b)Interface líquido-gás: fluxo de momentum na fase líquida ≅ zero
c) Interface líquido-líquido: fluxo de momentum perpendicular à interface e a velocidade são contínuas através da interface.
APLICAÇÕES:
1 - ESCOAMENTO DE UMA PELÍCULA: escoamento de uma película viscosa isotérmica sob a ação da gravidade
Suposições:
a) Escoamento laminar estacionário
b) Fluido com viscosidade e densidade constantes c) vz não depende de Z
Balanço de z-momentum para um sistema de largura ∆ x, limitado pelos planos L
z e 0
z = = , se estendendo a uma distância W na direção y. Taxa de z-momentum que entra na superfície em x:
( )
L
w
( )
τ
x z x (2)Taxa de z-momentum que sai da superfície em x + ∆ x:
( )
( )
x x z xw
L
∆ +τ
(3) Taxa de z-momentum que entra na superfície em z = 0:(
w
∆
x
) (
ρ
v
zv
z)
z= 0(4) Taxa de z-momentum que sai da superfície em z = L:
(
w
∆
x
) (
ρ
v
zv
z)
z =L(5) Força da gravidade atuando sobre o fluido:
(
L
w
∆
x
) (
ρ
g
cos
β
)
(6) x z L ∆x δ βmomentum que entra por escoamento
momentum que sai por escoamento
momentum que entra por transporte viscoso
momentum que sai por transporte viscoso x z L ∆x δ β
momentum que entra por escoamento
momentum que sai por escoamento
momentum que entra por transporte viscoso
momentum que sai por transporte viscoso
Substituindo (2) – (6) em (1):
( )
( )
( )
( )
(
)(
)
(
w x)(
v v)
(
L w x)(
g cos)
0 -v v x w w L -w L L z z z 0 z z z x x z x x z x = β ρ ∆ + ρ ∆ ρ ∆ + τ τ = = ∆ + (7)os termos foram cancelados pois
L z z 0 z z v
v = = = , ou seja, vz não depende de z ÷ (7) por
L
w
∆
x
e lim ? x ? 0 β ρ = ∆ τ τ +∆ → ∆ x gcos -lim xz x x xz x 0 xβ
ρ
=
τ
cos
g
x
d
d
x z (8) Integrando: 1 z x=
ρ
g
cos
β
x
+
C
τ
(9)Condição de contorno: interface líq uido-gás
0
C
0
0
x
=
τ
x z=
→
1=
(10) Substituindo (10) em (9):cos
x
g
z
x
=
ρ
β
τ
(11)(11) - Distribuição de Fluxo de Momentum
Se o fluido é Newtoniano:
x
d
v
d
z x y
=
µ
τ
(12) Substituindo (12) em (11): x cos g x d v d z = ρ β µ − x cos g x d v d z µ β ρ = (13) Integrando: 2 2 z x C 2 cos g -v + µ β ρ = (14)Condição de contorno: interface sólido fluido
0
v
x
=
δ
z=
(15) Substituindo (15) em (14): 2 2 C 2 cos g 0 δ + µ β ρ = 2 2 2 cos g C δ µ β ρ = 2 2 z 2 cos g x 2 cos g v δ µ β ρ + µ β ρ =
δ
µ
β
δ
ρ
=
2 2 zx
1
2
cos
g
v
(16)(16) – Distribuição parabólica de velocidade
VELOCIDADE MÁXIMA: 0 x uando q v z ,max = µ β δ ρ = 2 cos g v 2 max , z (17) VELOCIDADE MÉDIA ∫ δ = δ ∫ = ∫ ∫ ∫ ∫ = δ δ δ δ 0 z 0 z w 0 0 w 0 0 z z v dx 1 w x d v w y d x d y d x d v v (18) δ δ δ µ β δ ρ δ = ∫ δ µ β δ ρ δ = δ 2 3 2 0 2 2 z 3 2 cos g 1 dx x 1 2 cos g 1 v
δ
µ
β
δ
ρ
=
δ
δ
µ
β
δ
ρ
=
3
2
2
cos
g
3
2
cos
g
v
z3
cos
g
v
2
z
µ
β
δ
ρ
=
(19) VAZÃO VOLUMÉTRICA: z w 0 0 z dx dy w v v Q = ∫ ∫δ = δµ
β
δ
ρ
=
3
cos
w
g
Q
3 (20) ESPESSURA DA PELÍCULAδ
: Em termos de β ρ µ = δ ⇒ cos g v 3 vz z (21) Em termos de cos w g Q 3 Q 3 β ρ µ = δ ⇒ (22)Em termos da vazão mássica por espessura unitária de parede
( )
Γz
v
=
ρ
δ
Γ
3 2cos
g
3
β
ρ
Γ
µ
=
Γ
(23)COMPONENTE “z” DA FORÇA “F” DO FLUIDO SOBRE A SUPERFÍCIE:
