FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores ANÁLISE MATEMÁTICA 1

(1)

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO

PORTO

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´

ecnica e de

Computadores

AN ´

ALISE MATEM ´

ATICA 1

(2)

I

Conceitos de L´

ogica

1. Sejam P e Q duas proposi¸c˜oes. Complete a tabela com F para falso e V para verdadeiro.

P Q P ∧ Q P ∨ Q P =⇒ Q P ⇐⇒ Q V V

V F F V F F

2. Considere o operador l´ogico ∧. Pronuncie-se sobre o valor l´ogico da frase x > 13 ∧ x < 27 em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36. (b) x = 27. (c) x = 20. (d) x = 0.

3. Considere o operador l´ogico ∨. Pronuncie-se sobre o valor l´ogico da frase x > 13 ∨ x < 27 em cada um dos casos seguintes.

(a) x = 36. (b) x = 27. (c) x = 20. (d) x = 0.

4. Sabendo que A =⇒ B é uma afirma¸cão ver-dadeira e que B é uma afirma¸cão falsa, in-dique o valor lógico de A.

5. Sabendo que A =⇒ B é uma afirma¸cão ver-dadeira e que B é uma afirma¸cão verdadeira, indique o valor lógico de A.

6. Sabendo que A ⇐⇒ B é uma afirma¸cão ver-dadeira e que B é uma afirma¸cão falsa, in-dique o valor lógico de A.

7. Sabendo que A ⇐⇒ B é uma afirma¸cão ver-dadeira e que B é uma afirma¸cão verdadeira, indique o valor lógico de A.

8. Mostre que não existe um número natural maior que todos os outros números naturais. 9. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q são

números pares, então pq também é par.

10. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p e q são números ´ımpares, então pq também é ´ımpar. 11. Sejam p, q ∈ N. Mostre que se p é par, então

pq tamb´em ´e par.

12. Mostre que se p ∈ N e p2 é divis´ıvel por 5, então p é divis´ıvel por 5.

13. Mostre que n˜ao existe qualquer n´umero racional r ∈ Q tal que r2 _{= 5.}

14. Sendo a e b dois n´umeros racionais tais que b > a, mostre que existe pelo menos um racional r tal que a < r < b.

15. Negue as seguintes proposi¸c˜oes: (a) A =⇒ B.

(b) A ∧ B.

(c) ∀ > 0 ∃x ∈ A : x < a + .

16. 1 Num determinado planeta o clima segue a seguinte regra: se chove um dia, tamb´em chove no dia seguinte.

(a) No dia em que o Zé chegou a esse plan-eta não choveu. Quais das seguintes conclusões pode fazer?

i. Nunca choveu nesse planeta. ii. Nunca mais choverá no planeta. iii. No dia anterior à chegada do Zé

n˜ao choveu.

iv. Vai chover no dia seguinte `a chegada do Z´e.

(b) Choveu no dia em que o Z´e chegou a esse planeta. Quais das seguintes con-clus˜oes pode fazer?

i. No planeta chove todos os dias. ii. Choveu no dia anterior `a chegada

do Z´e.

iii. Vai chover no dia seguinte `a chegada do Z´e.

iv. Nesse planeta ir´a chover em todos os dias depois da chegada do Z´e.

1

(3)

II

Revis˜

ao 1

1. Calcule (a) sin(π₂). (b) sin(π₃). (c) sin(π₆). (d) sin(3π +π₃). (e) cos(π₃). (f) cos(π₆). (g) cos(4π +π₃). (h) cos(5π +π₆). (i) sec(π₃). (j) csc(2π₃ +π₃). (k) tan(0). (l) sin(π₄). (m) cos(π₄). (n) tan(π₄). (o) sin(120π₂ ). (p) cos(−20π₂ ). (q) cot(−20π₂ ).

2. Sejam a, b ∈ R e k ∈ Z. Complete de forma a obter express˜oes verdadeiras:

(a) cos(a − π) =. (b) cos(a + 2kπ) =. (c) sin(a − π) =. (d) sin(a + 2kπ) =. (e) sin(a + b) =. (f) cos(a + b) =. (g) sin(a − b) =. (h) cos(a − b) =. 3. Mostre que:

(a) sec2(x) = tan2(x) + 1. (b) cot2(x) = csc2(x) − 1.

(d) sin2(x) = 1 − cos(2x)

2 .

4. Sejam a, b ∈ R. Mostre que: (a) |a + b| ≤ |a| + |b|. (b) |a| − |b| ≤ |a − b|. (c) | |a| − |b| | ≤ |a − b|. 5. Calcule (a) 1 3 − 3 15 + −2 5 = (b) −2 + 1 31 + 39 93 = (c) 5 × 102+ 2 × 10 + 3 × 100+ 5 × 10−1+ 4 × 10−2 =

6. Complete as seguintes afirma¸c˜oes usando os s´ımbolos ⊂, ⊃, ∈, /∈, ∀. (a) N . . . Z. (b) 0 . . . N. (c) . . . r ∈ Q, r ∈ R. (d) Q . . . Z 7. Considere o conjuntoA = n −√3, π, −e,√12,1₃,√100, −π₂,√−2o.

(a) Determine o conjunto A ∩ R. (b) Determine o conjunto A ∩ Q. (c) Determine o conjunto A ∩ N.

(d) Determine o conjunto {x ∈ A : x /∈ R}. 8. Considere o conjunto P = {a ∈ R : a > 0}. Complete as seguintes frases de forma a obter afirma¸c˜oes verdadeiras.

(a) Se a e b s˜ao reais tais que b − a ∈ P , ent˜ao . . ..

(b) Se a e b s˜ao reais tais que ab ∈ P , ent˜ao . . ..

(c) Se a, b e c s˜ao reais tais que b − c ∈ P e c − a ∈ P , ent˜ao . . ..

(4)

III

Revis˜

ao 2

1. Calcule (a) A = 4 32 × 7 5 × 5 8, (b) A = 5 × (4 + 3), B = _3×415 , C = ₅₊₅15 . (c) A = 1₂+1₃, B =2₃ ×3 5, (d) A = 3 4 5 6 , B = −√336_. (e) A = 52_{+ (−3)}3_{, B = 4}−1_{+ (−2)}−3_×50_. (f) A = 22+3, B = 323 . (g) A = (2 + 3)−2, B = 15 45 −2 . (h) A = 9 7 3, B = 4 7 8 . (i) A =p(−4)2_{, B =}p3 42_{+ (−2)}3_. (j) A =√9−1_{, B =} r 4 9−1. (k) A =√32_{+ 4}2_{, B =}_p(−3)3 6_. (l) A = 813, B = (−8) 1 3, C = 4 3 2. (m) A = 8−13 , B = (−8) −1 3 , C = 4 −3 2 . (n) A = 0!, B = 3!, C = 5!. (o) A = 20!_18!, B = 10₈, C = 10₂. (p) B =e_e5xx ln e

2. Determine as ra´ızes reais das seguintes equa¸c˜oes (x ∈ R): (a) x + 4 x = x + 9 x + 3. (b) 1 x2_{+ 9}= 1 x2_{+ 7x + 2}. (c) 2 x + 2+ 4 x2_{+ 4} = 1 x + 2.

3. Determine as ra´ızes reais das seguintes equa¸c˜oes (x ∈ R): (a) x2+ 1 = 0. (b) x − 1 + (x2− 10)(x − 1) = 0. (c) 4(x − 3) + 6x + 12 = 3x. (d) 6x − 3(3 + 2x) = 5. (e) x2− 3x − 3 = 0 (f) (x − 2)2 = x − 3. (g) x2+ 3 = 0. (h) 3x2+ 9x + 4 = 0. (i) x2−√2x + 4/9 = 0.

4. Determine uma equa¸c˜ao do segundo grau que admite ra´ızes:

(a) 2 e 3.

(b) m e 1/m ( m 6= 0). (c) a e −a.

(d) √8 e √2.

5. Determine uma equa¸c˜ao do segundo grau cu-jas ra´ızes sejam:

(a) sim´etricas das ra´ızes de 3x2+5x−2 = 0. (b) a soma e a diferen¸ca das ra´ızes de

x2− 5x + 6 = 0.

6. Determine a ∈ R tal que a equa¸c˜ao ax2 − (2a + 1)x − 2 + a = 0 tenha

(a) duas ra´ızes reais diferentes. (b) uma raiz real dupla.

(c) duas ra´ızes reais sim´etricas.

7. Determine as ra´ızes reais das seguintes equa¸c˜oes (x ∈ R): (a) x 2 + 2 x = 2. (b) x x + 1+ x + 1 x + 2 = 1.

8. Resolva as seguintes equa¸c˜oes (x ∈ R): (a) x +√x − 1 = 2x − 1.

(b) √8x + 9 − 3x = 1 − x. (c) x −√−x2_{+ 2 = 1.}

(d) 1 +√1 + x = 3 −√x

(e) √x + 2 −√x − 1 =√2x − 3. 9. Resolva as seguintes equa¸c˜oes (x ∈ R):

(a) |x − 2| = 3. (b) |2x + 4| = 5. (c) |5x − 10| = −1. 10. Determine a ∈ R tal que:

(a) x2+ 4x + a > 0, ∀x ∈ R.

(5)

11. Resolva cada uma das seguintes inequa¸c˜oes (x ∈ R): (a) 6x < 4 + 10x. (b) x2− 4x + 3 > 0. (c) x2+ 1 > 3x − 1. (d) x2− 82 > x2− 3x. (e) _3−4xx+1 < 1. (f) x(2x + 1) − 2 > 4x2+3₂(2x − 1). (g) 1 x − 1 < 1 2. (h) 1 x > x + 1 x − 1− 1. (i) 1 x ≥ x + 1 x − 1− 1. (j) x 2_{− x − 2} x2_{+ x + 2} < 0. (k) x 2_{− 5x + 6} x2_{− x + 2} < 0. (l) x 2_{− 5x + 6} x2_{− x + 2} ≥ 0. (m) (x − 1)(x − 2)(x − 3) (x + 1)(x − 5) < 0. (n) _x1 +_1−x1 ≥ 0. (o) 5x 2_{− x} 2 + x < 3x2− 2 3 .

12. Resolva cada uma das seguintes inequa¸c˜oes (x ∈ R):

(a) |x − 1| < 2. (b) |1 − x| > 2. (c) |x2− 2x + 1| < 0.

(d) |(x − 1)(2 − x)| > 0.

13. Simplifique as seguintes express˜oes: (a) 4 X i=2 (axi+ bxi−2) + 3 X i=1

(axi−1+ bxi+1)

(b) 4x − 5 2 + 1 3 1 3x − 1 (c) (x2− 9) : (x − 1)

14. Factorize as seguintes express˜oes: (a) x3+ x2+ x

(b) 3(x − 4) − (x − 4)2 (c) y2− 4y + 4 − 2(y − 2) (d) a4− a2

15. Simplifique as express˜oes: (a) t 2_{+ 3t} t3_{+ 5t} (b) (x + 1) 3_{− 3x(x + 1)}2 (x + 1)6 (c) sin (3π − a) + cos (a − 7π) + tan (a −9π 2 ) + cot (π + a)

16. Calcule a, b, c, d e g, reais tais que a(x−d)2− b(y − g)2− c = 1

2x

2_{− y}2_{− 2x − 2y}

17. Calcule A, B e C tais que (a) 5x 2_{− 2x − 1} (x + 1)(x2_{+ 1)} = A x + 1+ Bx + C x2_{+ 1} (b) 1 x(x − 3)(x + 3) = A x + B x − 3+ C x + 3

(6)

IV

Geometria no plano

1. Determine a equa¸c˜ao da recta r:

(a) que tem declive 1 e passa no ponto (0, 0).

(b) que tem declive 1 e passa no ponto (0, 2).

(c) que tem declive −1 e passa no ponto (0, 0).

(d) tem declive 2 e passa no ponto (1, 2). (e) passa nos pontos (2, 1) e (−1, 3). (f) passa pelos pontos (3, 2) e (6, 1). (g) que tem declive −3 e passa pelo ponto

(0, 1).

(h) tem declive −2 e passa no ponto (1, 2). (i) tem declive 1/2 e passa no ponto (1, 2). (j) que passa pelos pontos (0, 1) e (0, −2). 2. Esboce o gr´afico da recta dada pela equa¸c˜ao:

(a) y = −3x. (b) y = −3x + 1. (c) y + 3x = 0. (d) y + 3x = −1. (e) 2x − 1 = 0. (f) y − 4x = −2. (g) 2x = 3y + 1. (h) y + x = 0. (i) x − y − 7 = 0.

3. Considere a recta r de equa¸c˜ao x + y = 0. (a) Determine a equa¸c˜ao da fam´ılia de

rec-tas perpendiculares `a recta r.

(b) Determine a fam´ılia das rectas parale-las a r.

4. Determine a equa¸c˜ao da recta que ´e paralela `

a recta y + 2x = 1 e passa no ponto (1, 1). 5. Determine a equa¸c˜ao da recta que ´e

perpen-dicular `a recta y + 2x = 1 e passa no ponto (−1, −1).

6. Determine a equa¸c˜ao da recta que ´e paralela `

a recta 3y − 2x = 0 e passa no ponto (5, 1).

7. Determine a equa¸cão da recta que é perpen-dicular à recta y − 7x = 7 e passa no ponto (1, 1).

8. Indique o centro e o raio da circunferência cuja equa¸cão é a seguinte:

(a) x2+ y2− 4x − 2y = 4 (b) x2+ y2+ 2x = 0 (c) x2+ y2− x = 0

(d) 9x2+ 9y2− 6y − 8 = 0

9. Determine uma equa¸c˜ao da circunferˆencia que tem centro em (2, −1/2) e raio

√ 2 2 . 10. Para que valores de a ∈ R, a equa¸c˜ao

x2+ y2− 2x + 6y − a = 0 define uma circun-ferˆencia?

11. Verifique que a circunferˆencia representada pela equa¸c˜ao x2 + y2− 2x + 9y = 0 inter-secta ambos os eixos coordenados e indique em que pontos.

12. Determine os pontos de interseçcão da cir-cunferência (x − 3)2+ (y − 1)2 = 25 com a recta x − 3y + 5 = 0.

13. Represente no plano, o conjunto de pon-tos que satisfaz cada uma das seguintes in-equa¸c˜oes. (a) (x + 3)2+ (y + 2)2 ≥ 4 (b) x +1 3 2 + y +2 3 2 ≤ 1

14. Verifique se o ponto (3, −2) é interior, ex-terior ou está sobre a circunferência de equa¸cão (x + 2)2+ y2= 16

15. Escreva a equa¸c˜ao da fam´ılia de circun-ferˆencias de centro em (1, −2).

16. Determine uma equa¸c˜ao da fam´ılia de cir-cunferˆencias que passa por (−3, 2).

17. Determine para que valores de k a recta de equa¸cão 4y + kx = 0 e a elipse de equa¸cão x2+ 4y2− 2x + 12y + 5 = 0 são:

(7)

(b) tangentes (c) Exteriores

18. Escreva uma equa¸cão da circunferência que passa pelos pontos (1, −3), (4, 6) e (−3, 5). 19. Determinar a equa¸cão da circunferência que

passa pelos pontos (2, −1) e (−2, 0) e cujo centro se situa sobre a recta 2x − y − 1 = 0. 20. Mostre que a recta y = −2

3x+ 22

3 ´e tangente `

a circunferˆencia de centro (3, 1) e raio √13 no ponto (5, 4).

21. Identifique as seguintes elipses, escrevendo-as na forma reduzida, representando-escrevendo-as geo-metricamente e indicando os centros e semi-eixos:

(a) 2x2+ 8x + y2+ 6 = 0 (b) 4x2+ y2+ 4y − 12 = 0 (c) 3x2+ 6x + 2y2+ 4y − 1 = 0 (d) 36x2+ 36x + y2− 2y + 1 = 0

22. Identifique as seguintes hip´erboles e fa¸ca um esbo¸co geom´etrico delas.

(a) 9x2− y2− 18x − 4y − 4 = 0 (b) 9y2− 16x2_{+ 64x + 54y + 161 = 0}

(c) 9x2− 4y2+ 18x − 8y + 23 = 0 (d) 4y2− 9x2− 18x + 8y − 41 = 0

23. Identifiquem as seguintes par´abolas e represente-as geometricamente. (a) x2 = 16y (b) y2 = 16x (c) x2 = −4y (d) y2 = −4x (e) x2 = −5y + 10 (f) y2 = 10x − 5 (g) x2− 2x − y − 2 = 0 (h) y2+ 6y + 2x + 8 = 0

(8)

V

Fun¸

c˜

oes 1

1. Considere uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f : R → R.

(a) Defina em linguagem matem´atica os conjuntos Df, Imf e Graf (dom´ınio,

im-agem ou contra-dom´ınio e gráfico de f ). (b) Que condi¸cão deverá f satisfazer para

ser injectiva?

(c) Que condi¸c˜ao dever´a f satisfazer para ser sobrejectiva?

(d) Que condi¸cão deverá f satisfazer para ser uma fun¸cão monótona não decres-cente?

(e) Que condi¸cão deverá f satisfazer para ser uma fun¸cão monótona não cres-cente?

(f) Que condi¸cão deverá f satisfazer para ser uma fun¸cão periódica?

2. Dê um exemplo de uma fun¸cão real de variável real que satisfaz cada um dos casos seguintes

(a) injectiva (b) bijectiva (c) par (d) ´ımpar (e) peri´odica

(f) monótona não crescente (g) monótona não decrescente

3. Classifique cada uma das fun¸cões dadas f : D ⊂ R → R em injectiva, sobrejectiva, bi-jectiva, par, ´ımpar, periódica, monótona não crescente (mnc) e monótona não decrescente (mnd). (a) f (x) = ex (b) f (x) = x (c) f (x) = ln(x) (d) f (x) = sin(x) (e) f (x) = cos(x) (f) f (x) = x2 (g) f (x) = x3 (h) f (x) = −x3

4. Determine o dom´ınio de f onde (a) f (x) = 3x5− 4(x − 2)2_{+ x + 1.} (b) f (x) = 14x2− 2x + 1. (c) f (x) =√x2_{− 5x + 6.} (d) f (x) =p(x − 1)(x − 3)(x + 2). (e) f (x) = _{p(x − 1)(x − 3)(x + 2).}3 (f) f (x) = ln(x2_{− 1).} (g) f (x) = e−x. (h) f (x) = 1 − x ln(x). (i) f (x) = √x + 1 x2_{− 1}. (j) f (x) = tan 1 x . (k) f (x) = sin(ex). (l) f (x) =p1 +√x2_{− 9.} (m) f (x) = tan(x). (n) f (x) = 1 sin(x).

5. Determine o subconjunto do dom´ınio em que a fun¸c˜ao dada ´e estritamente crescente:

(a) f (x) = ex (b) f (x) = x2 (c) f (x) = x2− 1 (d) f (x) = cos(x)

6. Considere as seguintes fun¸c˜oes reais de vari´avel real

f1(x) = √ 3x2_{− 3} f2(x) = r x2_{+ x − 6} x2_{− 1} f3(x) = ln(x2) √ −2x2_{− 2x + 12}

Indique o dom´ınio de cada uma destas fun¸c˜oes.

(9)

VI

Fun¸

c˜

oes 2

1. Como define uma fun¸c˜ao limitada?

2. Como classifica uma fun¸cão f : R → R que satisfaz à condi¸cão seguinte?

(a) ∀ x, y ∈ Df : x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y).

(b) ∃ M > 0 : | f (x) | < M, ∀ x ∈ Df.

(c) ∃ x, y ∈ Df : x 6= y ∧ f (x) = f (y).

(d) ∀ x, y ∈ Df : x < y =⇒ f (x) < f (y).

(e) ∀ y ∈ R ∃ x ∈ Df : y = f (x).

3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f . (a) f (x) = sin(x). (b) f (x) = cos(x). (c) f (x) = tan(x). (d) f (x) = cot(x). (e) f (x) = sin(x) + 1. (f) f (x) =√x. (g) f (x) = −√x. (h) f (x) = x2− 1. (i) f (x) = x3+ 1. (j) f (x) = 1 x. (k) f (x) = 1 x2. (l) f (x) = −1 x. (m) f (x) = − 1 x2. (n) f (x) = 1 x + 1. (o) f (x) = 1 x − 1. (p) f (x) = ex. (q) f (x) = 1 + ex. (r) f (x) = ln(x). (s) f (x) = e−x. (t) f (x) = ln(−x). (u) f (x) = x2+ 1. (v) f (x) = x2− 5x + 6. (w) f (x) = −x2_{+ 5x + 6.} (x) f (x) = 3x − 1. (y) f (x) = 2 − 3x.

4. Considere a fun¸cão f (x) = sin(cos(x + 1)) e escreva-a como fun¸cão composta de três fun¸cões.

5. Considere as duas fun¸cões que são dadas e verifique em que caso pode definir uma nova fun¸cão usando essas duas fun¸cões e a opera¸cão de composi¸cão. Em caso afirma-tivo, defina a(s) fun¸cão(ões) composta(s).

(a) f (x) = cos(x), g(x) = x2. (b) f (x) = sin(x), g(x) = x3. (c) f (x) = ex, g(x) = −x2+ x − 3. (d) f (x) = ln(x), g(x) = −x2+ x − 3. 6. Sabendo que f tem inversa em todo o seu

dom´ınio, o que poder´a concluir sobre f ? 7. Sendo f uma fun¸c˜ao com dom´ınio R e que

tem inversa, como pode geometricamente relacionar os gr´aficos de f e f−1?

8. Verifique quais as fun¸cões que têm inversa e em caso afirmativo defina a fun¸cão inversa não esquecendo de explicitar o dom´ınio desta nova fun¸cão.

(a) f : [0, +∞) → R e f (x) = x2 (b) f (x) = ln(x).

(c) f (x) = x.

(d) f : [0, π] → R, f (x) = cos(x). (e) f : [−π₂,π₂] → R e f (x) = sin(x).

(10)

VII

Limites

1. Sendo f uma fun¸cão real de variável real. Defina em linguagem matemática:

(a) lim x→¯xf (x) = L. (b) lim x→¯x+f (x) = L. (c) lim x→¯x−f (x) = L.

2. Sabe-se que lim

x→¯xf (x) = L. Que pode

con-cluir sobre os limites laterais de f ? 3. Sabe-se que lim

x→¯x+f (x) = L e que

lim

x→¯x−f (x) = M . Que pode concluir sobre

lim

x→¯xf (x)?

4. Trace o gr´afico de fun¸c˜oes para as quais lim

x→¯x+f (x) e _x→¯lim_x−f (x) existam e lim_x→¯_xf (x)

n˜ao exista.

5. (∗) Demonstre o seguinte resultado: “Se lim

x→¯xf (x) existe, então ele é único”.

6. (∗) Demonstre o seguinte resultado: lim x→¯xf (x) = l ⇐⇒ x→¯limx(f (x) − l) = 0 ⇐⇒ lim x→¯x| f (x) − l |= 0. 7. (∗) Demonstre: (a) lim x→¯xf (x) = l =⇒ limx→¯x| f (x) |=| l |. (b) lim x→¯xf (x) = 0 ⇐⇒ limx→¯x| f (x) |= 0. 8. Considere a fun¸c˜ao f (x) = −1 se x < 0 1 se x ≥ 0 (a) Calcule lim

x→0| f (x) |.

(b) Calcule lim

x→0f (x).

(c) O que pode concluir?

9. Sendo f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real e seja ¯x ∈ R para o qual existe um > 0 tal que (− + ¯x, ¯x + )\{¯x} ⊂ Df. Traduza em

linguagem matem´atica: (a) lim x→¯xf (x) = +∞. (b) lim x→¯xf (x) = −∞. (c) lim x→¯xf (x) = ∞.

10. Esboce o gr´afico e calcule lim

x→af (x) onde (a) f (x) = 1 x, a = 0. (b) f (x) = 1 x2, a = 0. (c) f (x) = 1 x − 1, a = 1. (d) f (x) = 1 x2_{− 1}, a = 1.

11. Escreva uma condi¸c˜ao equivalente `a dada usando limites. (a) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f (x) > M . (b) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒| f (x) |> M . (c) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f (x) < −M . (d) ∀M ∃N > 0 : x < −N =⇒ f (x) > M . (e) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒| f (x) |> M . (f) ∀M ∃N > 0 : x > N =⇒ f (x) < −M .

12. Dê exemplos de duas fun¸cões f e g, tais que os respectivos limites quando x tende para 0 são infinitos mas lim

x→0(f (x) + g(x)) = 0.

13. Dˆe exemplos de duas fun¸c˜oes f e g, tais que lim x→1f (x) = 0, limx→1g(x) = ∞, mas lim x→1f (x)g(x) = 1. 14. Calcule (a) lim x→2 x x2_{− 4}. (b) lim x→+∞ 1 x2. (c) lim x→+∞ 1 − 3x2 x + 5x2. (d) lim x→8 1 2 −√3_x. (e) lim x→0| x − 1 |. (f) lim x→0+ √ x x . (g) lim x→+∞ √ x x . (h) lim x→0+ 3 √ x √ x. (i) lim x→+∞ √ x 3 √ x2.

(11)

(j) lim x→+∞ 1 + x 2x +√x. (k) lim x→+∞ 1 +√x x +√3_x. (l) lim x→+∞ √ x −√2 x − 2 . (m) lim x→0 √ x + 1 − 1 x . (n) lim x→0 p| a | −√2 x − 1 , a ´e uma constante. (o) lim x→0 1 − cos(x) x .

15. Sendo f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real e seja ¯x ∈ R para o qual existe um > 0 tal que (− + ¯x, ¯x + )\{¯x} ⊂ Df. Sabe-se que

para toda a sucess˜ao xn tal que lim n→+∞xn=

¯

x se tem lim

n→+∞yn = ¯y, onde yn = f (xn) e

¯

y ∈ R. Que pode concluir sobre lim

x→¯xf (x)?

16. Sendo f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real e seja ¯x ∈ R para o qual existe um > 0 tal que (− + ¯x, ¯x + )\{¯x} ⊂ Df. Sabe-se que

existe uma sucess˜ao xntal que lim

n→+∞xn= ¯x

e lim

n→+∞f (xn) = l. Que pode concluir sobre

lim

x→¯xf (x)?

17. (∗) Sabe-se que lim

x→cf (x) = l se e s´o

se para qualquer sucess˜ao (xn) tal que

lim

n→+∞xn = c se tem n→+∞lim f (xn) = l.

Utilize este resultado para demonstrar as seguintes proposi¸c˜oes:

(a) Se lim x→cf (x) = l e limx→cg(x) = m, então lim x→c(f (x) + g(x)) = l + m. (b) Se lim x→cf (x) = l e limx→cg(x) = m, então lim x→cf (x)g(x) = l m. (c) Se lim x→cf (x) = l e α ∈ R, então lim x→cαf (x) = α limx→cf (x) = αl. (d) Se lim x→cf (x) = l, limx→cg(x) = m e m 6= 0, então lim x→c f (x) g(x) = l m.

(e) Se f , g e h são três fun¸cões definidas em [a, b], com a < b e c ∈ (a, b), tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo o x ∈ [a, b] e lim

x→cf (x) = l = limx→ch(x),

ent˜ao lim

(12)

VIII

Continuidade

1. Seja f definida num intervalo (c − , c + ), onde > 0. O que quer dizer “A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em c”?

2. Escreva uma condi¸c˜ao equivalente a lim

x→cf (x) = f (c).

3. O que se entende por “a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em todo o intervalo [a, b]”?

4. Complete de forma a obter uma proposi¸cão verdadeira: Se g é cont´ınua em c e f é cont´ınua em . . . ., então f ◦ g é cont´ınua em c.

5. Determine os pontos de continuidade das fun¸cões dadas. Trace também os gráficos destas fun¸cões.

(a) f (x) =| x |. (b) f (x) = 3 + 2 | x − 1 |. (c) f (x) = ₃ 2x + 1 se x 6= 2 3 se x = 2 (d) f (x) = 0 se x ∈ Z x2 se x ∈ R\Z (e) f (x) = 3x2 se x < 3 2x − 1 se x ≥ 3 (f) f (x) = x − C(x) onde C(x) = n se n ≤ x < n + 1 para n ∈ Z. (g) f (x) = ₁ 2x 2 _se _{| x |≤ 2} 7 se | x |> 2 (h) (∗)f (x) = max{| x − 2 |, −x2+ 4x − 3}. (i) (∗) f (x) = min{| x − 2 |, −x2+ 4x − 3}. (j) (∗) f (x) = lim n→+∞ nx 1 + nx. (k) (∗) f (x) = lim n→+∞ n | x | 1 + nx.

6. Mostre que existe um n´umero x ∈ R tal que: (a) sin(x) = x − 1

(b) x179+ 163

1 + x2_{+ sin}2_(x) = 119

7. Determine um intervalo [a, b] ⊂ Df que

con-tenha um ponto c tal que f (c) = 0.

(a) f (x) = sin(x) − cos(x). (b) f (x) = ex_{− ln(x).} (c) f (x) = 1 x − x. (d) f (x) =√x − x. (e) f (x) = x3− x. (f) f (x) = x2− 1 − cos(x). (g) f (x) = e−x+ 1. (h) f (x) =√x2_{+ 7x − 1 − 4.} (i) f (x) = 1 x − 2.

8. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que f = f−1.

(a) Dê uma interpreta¸cão geométrica à condi¸cão f = f−1 e mostre que existe pelo menos um c tal que f (c) = c (c é um ponto fixo de f ).

(b) Dˆe exemplos de fun¸c˜oes cont´ınuas tais que f = f−1 e f (c) = c para exacta-mente um c.

(c) Mostre que se f é uma fun¸cão cont´ınua e crescente tal que f = f−1, então f (x) = x para todo o x.

9. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em c e f (c) > 0. Mostre que existe um intervalo da forma I = (c − δ, c + δ) para algum δ > 0 , tal que f (x) > 0 para todo o x ∈ I.

10. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em c e f (c) < 0. Mostre que existe um intervalo I = (c−δ, c+ δ) com δ > 0, tal que f (x) < 0 para todo o x ∈ I.

11. Suponha que f e g s˜ao duas fun¸c˜oes cont´ınuas em (a, b) para as quais existe um c ∈ (a, b) tal que f (c) > g(c). Mostre que existe um intervalo I = (c − δ, c + δ) com δ > 0 , tal que f (x) > g(x) para todo o x ∈ I.

(13)

IX

Derivada

1. Determine f0(x) em cada um dos seguintes casos. (a) f (x) = 3x5− 4(x − 2)2_{+ x + 1.} (b) f (x) = 4x2− 2x + 1. (c) f (x) = (23 − 3x7)2. (d) f (x) = (2x2− 3x + 1)4_{− x}2_. (e) f (x) =√x5_{− 3x}3_{+ 2x.} (f) f (x) = x2− 3x + 2x1/2 . (g) f (x) = x2− 3x + 2x−1/2 . (h) f (x) = (3x − 1)1/2−√3 x2_{− 1.} (i) f (x) = (3x − 1)1/2×√3 x2_{− 1.} (j) f (x) = x + 1 x − 1− 1. (k) f (x) = x 2_{+ 1} x − 1 − 1. (l) f (x) = x 3_{− 2x} x − 1 . (m) f (x) = (x 2_{− 1)}2_{− 1} x2_{− 3x + 1} . (n) f (x) = x − 2 x2_{− 1} −1 . (o) f (x) = x 2_{− x − 2} x2_{+ x + 2}. (p) f (x) = x 2_{− 1} √ x2_{− x + 2}.

2. Determine f0(x) em cada um dos casos: (a) f (x) = sin(x). (b) f (x) = cos(x). (c) f (x) = sin(x2+ 1). (d) f (x) = cos(x3_{+ 2x).} (e) f (x) = tan(x). (f) f (x) = tan(2x). (g) f (x) = cot(x). (l) f (x) = sec x − 1 x + 1 . (m) f (x) = _sec(x12₎. (n) f (x) = _sin(2x)1 . (o) f (x) = sin(x 2_{) − 3x} 1 − cos(x) . (p) f (x) = tan 2_{(x) − 1} sin(x) + cos(x). (q) f (x) = r sin(x) + 1 x . (r) f (x) =psin2(x3_{) + 1.} (s) f (x) = s sin(x) − 1 cos(x) + 1.

3. Determine f0(x) em cada um dos casos: (a) f (x) = e2x. (b) f (x) = ln(x3). (c) f (x) = ln 1 x . (d) f (x) = ex2+1_. (e) f (x) = e x_{− e}−x 2 . (f) f (x) = ex2+1ln(x). (g) f (x) = tan(e−x). (h) f (x) = cos(2 − ex).

(i) f (x) = sin sin(x) + 1 cos(x) . (j) f (x) = ln sin(x) + 1 cos(x) . (k) f (x) = cot(esin(x)). (l) f (x) = ln(sin(x)). (m) f (x) = e 2x_{− e}x2 e√x_{+ e}x. (n) f (x) = eln(1/x).

(14)

X

Derivada-Aplica¸

c˜

oes

1. Seja x ∈ [0, +∞). Utilize a regra da derivada da fun¸c˜ao inversa para calcular a derivada de f (x) = √n_{x, onde n ∈ N.}

2. Utilize a regra da derivada da fun¸c˜ao inversa para calcular a derivada da fun¸c˜ao inversa de f (x) = sin(x), considerando x ∈ [−π

2, π 2]. 3. Utilize a regra da derivada da fun¸c˜ao inversa

para calcular a derivada da fun¸c˜ao inversa de f (x) = cos(x), considerando x ∈ [0, π]. 4. Utilize a regra da derivada da fun¸c˜ao inversa

para calcular a derivada da fun¸c˜ao inversa de f (x) = tan(x), considerando x ∈ (−π 2, π 2). 5. Verifique que (a) lim x→+∞ 1 +_x1 3(x + 1) = 0. (b) lim x→+∞(1 + √ x)(1 + x2) = +∞. (c) lim x→+∞ 3 +1_x 1 +√x = 0. (d) lim x→2 x2− 4 x − 2 = 4. (e) lim x→−3 5x + 15 x3_{+ 5x}2_{+ 3x − 9} = ∞. (f) lim x→2 (x − 2)(x + 1) x2_{− 7x + 10} = −1. (g) lim x→3 1 x − 3− 5 (x + 2)(x − 3) = 1 5. 6. Calcule (a) lim x→+∞ ln(x2) x3 . (b) lim x→+∞ x5 ex. (c) lim x→0+x 3x_. (d) lim x→0 sin(x2) x2 . (e) lim x→0+x 2_ln(x). (f) lim x→0csc(x) − 1 x. (g) lim x→π/2 5π 2 − 5x cos(x) . (h) lim x→+∞ 1 −3 x x . (i) lim x→0 1 x2 − cos(3x) x2 . (j) lim x→0 ex− 1 x3 . 7. Calcule dy dx e d2y

dx2 em cada um dos casos:

(a) y = x

2_{w − 3}

w3 , onde w ´e uma constante

real.

(b) y = u2eux+x2, onde u ´e uma constante real..

8. Calcule todas as derivadas da fun¸c˜ao dada no ponto ¯x. Determine, sempre que poss´ıvel, uma express˜ao para f(n)(¯x).

(a) f (x) = ex, ¯x = 0. (b) f (x) = sin(x), ¯x = 0. (c) f (x) = cos(x), ¯x = 0. (d) f (x) = cos(x), ¯x = π 2. (e) f (x) = ln(x), x = 1. 9. Seja u = v sin(v), v = ln(w), w = 2y2₃−1 e y = x2. Calcule (a) du dv. (b) dv dw. (c) dw dy. (d) dy dx. (e) dw dx. (f ) dv dx e du dx.

10. Determine a equa¸cão da recta tangente ao gráfico de f que é paralela à recta r.

(a) f (x) = x2− 1, r: y = 2x. (b) f (x) = e−x, r: y = −ex − 4.

11. Determine a equa¸cão da recta tangente ao gráfico de f que é perpendicular à recta r.

(a) f (x) = x3− 2x, r: y = −2x. (b) f (x) = sin(π + x), r: y = −x + 1. (c) f (x) = ln x, r: y = −ex − 4.

(15)

12. Determine a equa¸c˜ao da recta tangente ao gr´afico de f no ponto x = a. (a) f (x) = x cos(3x), a = π. (b) f (x) = x − 1 x + 1, a = 1. (c) f (x) = e2x−e3x ex4 , a = 0. (d) f (x) = r x2_{− 1} x , a = −1 (e) f (x) = sin(4x2), a =√π. (f) f (x) = x3√_{4 − x}2_{, a = 1.} (g) f (x) = ln(x3), a = 1. (h) f (x) = ln 1 x2 , a =√e. (i) f (x) = ex+1_{, a = −1.}

13. O Teorema de Lagrange não é aplicável às seguintes fun¸cões nos respectivos intervalos; em cada caso indique porquê.

(a) f (x) = |x|, (−1, 3). (b) f (x) = x + 1 x, (−1, 2). (c) f (x) = x 2 x − 1, (0, 2).

14. Defina ponto cr´ıtico e ponto singular de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real.

15. Defina ponto de inflexão de uma fun¸cão real de variável real.

16. O que se entende por fun¸c˜ao com gr´afico con-cavo? E convexo?

17. Qual a condi¸cão necessária e suficiente para que uma fun¸cão f diferenciável no intervalo (a, b) tenha o gráfico concavo em (a, b)? E convexo?

18. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em (a, b). Sabe-se que ¯

x ∈ (a, b) ´e ponto de inflex˜ao de f . O que pode concluir sobre f00(¯x)?

20. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em (a, b). Sabe-se que ¯

x ∈ (a, b) ´e ponto cr´ıtico de f e f00(¯x) < 0. O que pode concluir sobre ¯x?

21. Seja f (x) =          xex se x < 0 x2− x se x ∈ [0, 3] 3x − 1 se x > 3 (a) Estude a continuidade de f . (b) Defina a fun¸c˜ao f0.

22. (a) Determine dois n´umeros positivos cuja soma seja 1000 e tal que a soma dos seus quadrados seja m´ınima.

(b) Pretende-se cercar um peda¸co rectan-gular de terra por um muro e depois dividi-lo ao meio por um muro paralelo a um dos lados. A área do terreno é 1350m2. Quais as dimensões do terreno que requerem menos muro?

(c) Um lavrador tem uma manada de an-imais, cada um pesando 300kg. A manuten¸c˜ao di´aria de cada um custa-lhe 1 euro e o peso deles aumenta `

a razão de 4kg por dia. O pre¸co do animal, por kilo, no mercado, é de 2,5 euros mas está a decrescer 2,5 cêntimos por dia. Quanto tempo deve o lavrador esperar de modo a obter o lucro máximo na venda dos animais? 23. Analise as seguintes fun¸cões e desenhe os

seus gr´aficos: (a) f (x) = x2(3 − x). (b) f (x) = 18 x2_{− 9}. (c) f (x) = 18x x2_{− 9}. (d) f (x) = e x_{+ e}−x 2 . x −x

(16)

18. As fun¸cões estudadas nas três últimas alineas do exerc´ıcio anterior são de particular importância, têm várias aplica¸cões no cálculo e por isso possuem uma designa¸cão própria: fun¸cões hiperbólicas. Mais exactamente define-se,

Defini¸c˜ao Nomenclatura Nome

f (x) = e

x_{+ e}−x

2 cosh(x) cosseno hiperb´olico de x

f (x) = e

x_{− e}−x

2 sinh(x) seno hiperb´olico de x

f (x) = sinh(x) cosh(x) =

ex_{− e}−x

ex_{+ e}−x tanh(x) tangente hiperb´olica de x

f (x) = cosh(x) sinh(x) =

ex+ e−x

ex_{− e}−x, x 6= 0 coth(x) cotangente hiperb´olica de x

f (x) = 1

cosh(x) = 2

ex_{+ e}−x sech(x) secante hiperb´olica de x

f (x) = 1

sinh(x) = 2

ex_{− e}−x, x 6= 0 csch(x) cosecante hiperb´olica de x

Estas fun¸cões satisfazem algumas propriedades que são bastante semelhantes a propriedades satisfeitas pelas correspondentes fun¸cões trigonométricas.

(a) Verifique que:

i. cosh2(x) − sinh2(x) = 1. ii. 1 − tanh2(x) = sech2(x). iii. coth2(x) − 1 = csch2(x).

iv. sinh(−x) = − sinh(x) e cosh(−x) = cosh(x). v. sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y). vi. cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y). (b) Calcule as derivadas das fun¸c˜oes seguintes:

i. f (x) = cosh(x). ii. f (x) = sinh(x). iii. f (x) = tanh(x). iv. f (x) = coth(x). v. f (x) = sech(x). vi. f (x) = csch(x).

(17)

XI

Fun¸

c˜

oes 3

1. Considere os esbo¸cos da figura seguinte.

(a) Indique aqueles que não podem ser gráficos de fun¸cões reais de variável real, justificando. (b) De entre as fun¸cões representadas determine os respectivos dom´ınios, contradom´ınios e

pronuncie-se sobre a continuidade e derivabilidade.

(c) Complete o seguinte quadro, usando o s´ımbolo X para relacionar o gráfico com a respectiva fun¸cão, ou indicar que não é fun¸cão, e O para relacionar a fun¸cão com a respectiva inversa, caso esta esteja também representada e esteja definida em todo o dom´ınio da fun¸cão.

fig/func 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sin(x) ex 1 x cos(x) ex x tan(x) x |x| ln(x) não é fun¸cão.

(18)

(19)

2. A figura 13 representa o gráfico de uma fun¸cão f : R → R. Qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de |f |? E o de g(x) = ( _{|f (x)|} se f (x) ≥ 0 0 se f (x) < 0

?

E o de h(x) = ( _{|f (x)|} _{se f (x) ≤ 0} 0 se f (x) > 0

?

(20)

3. As figuras 18 e 19 representam gráficos de fun¸cões f, g : R → R. Qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico da fun¸cão g ◦ f ?

(21)

4. Seja f : R → R tal que f (a) = lim

n→∞

a2n− 1

a2n_{+ 1}. Qual dos seguintes esbo¸cos poder´a ser o gr´afico de

f ?

5. Seja f (x) = 2 sin(2x) cot(x) .

(a) Determine o dom´ınio, D, de f e os seus zeros. (b) Mostre que para todo o x ∈ D, f (x) = 4 sin2(x).

(c) Seja g(x) = 4 sin2(x). Determine o dom´ınio de g e diga porque é que f e g não são a mesma fun¸cão.

6. Seja f (x) = |x| e g(x) = 1 + cos(x). (a) Caracterize g ◦ f e f ◦ g.

(b) Esboce o gr´afico de g ◦ f a partir dos gr´aficosde f e de g.

7. Quais as condi¸cões que têm de satisfazer m e n para que os gráficos de f (x) = mx + b e g(x) = nx + c sejam:

(a) paralelos; (b) perpendiculares;

(22)

XII

Sucess˜

oes

1. (a) O que é uma sucessão de números reais?

(b) Qual é o termo geral de uma sucessão aritmética? (c) Qual é o termo geral de uma sucessão geométrica? (d) Como se define uma sucessão por recorrência?

(e) Como pode definir uma sucessão aritmética por recorrência? (f) Como pode definir uma sucessão geométrica por recorrência? (g) Quando é que uma sucessão se diz monótona?

(h) Quando é que uma sucessão é não decrescente? (i) O que quer dizer que uma sucessão (an) é limitada?

(j) Em linguagem matem´atica o que significa lim

n→+∞an= a ?

(k) Quando é que se diz que uma sucessão é um infinitésimo?

(l) Quando é que uma sucessão (an) é um infinitamente grande negativo?

(m) Quando é que uma sucessão (an) é um infinitamente grande?

2. Apresentam-se os primeiros termos de sucessões. Em cada caso determine o termo seguinte e defina cada uma das sucessões por recorrência.

(a) 6, 10, 14, 18. (b) 2, 6, 18, 54. (c) 3, 4, 7, 11, 18, 29.

3. (a) Dê um exemplo de uma sucessão geométrica.

(b) Dê um exemplo de uma sucessão cujo contradom´ınio é {1, −1}. (c) Dê um exemplo de uma sucessão limitada.

(d) Dˆe um exemplo de uma sucess˜ao crescente.

(e) Dê um exemplo de uma sucessão cujo limite é −5. (f) Dê um exemplo de uma sucessão cujo limite é e.

(g) Dê um exemplo de uma sucessão que é um infinitésimo.

(h) Dê um exemplo de uma sucessão que é um infinitamente grande. 4. Complete

(a) Se an= (n+1)n₂ , o termo de ordem 5 ´e . . ..

(b) Se bn= 2 + 3n, b10= . . ..

(c) Se c1= 3 e cn=

q 5 + c2

n−1, com n > 1, ent˜ao o termo de ordem 4 ´e . . ..

(d) Se d1 = 9, d2= 4 e dn=pdn−1+ dn, com n > 2, ent˜ao d5 = . . .. (e) Se un= 1 n e Sn= n X k=1 u2_n, ent˜ao S3 = . . ..

5. Indique qual(is) a(s) resposta(s) certa(s) `as seguintes perguntas, se existir(em):

(a) Considere a sucess˜ao de termo geral an = _n1. O termo geral da subsucess˜ao de termos

´ımpares de (an) ´e

(23)

ii. an+1 iii. _2n+11 iv. _2n1 . (b) A sucessão un= n 2₊₁ n3 é i. um infinitésimo.

ii. infinitamente grande positivo. iii. convergente para 1.

iv. um infinitamente grande negativo.

(c) Considere a sucess˜ao bn= (−2)n. Esta sucess˜ao

i. ´e limitada.

ii. tem uma subsucessão convergente para 2 e outra convergente para 0. iii. tem uma subsucessão convergente para 2 e outra convergente para −2. iv. é convergente.

6. Considere as sucessões dadas. Classifique-as em sucessões monótonas não crescentes ou sucessões monótonas não decrescentes.

(a) an= _n1. (b) bn= −1₂ 2n+1 . (c) cn= 1₂ n . (d) dn= 2n+1_n+1. (e) en= en.

7. Classifique as afirma¸c˜oes seguintes como verdadeiras (V) ou falsas (F). (a) Se lim

n→+∞an= a, a ∈ R, e bn= an− a, ent˜ao n→+∞lim bn= 0.

(b) Se lim

n→+∞an = a, com a 6= 0, ent˜ao existe um p ∈ N tal que | an |> |a|

2 para todo o n ∈ N

maior que p.

(c) Se existem p ∈ N e a ∈ R\{0} tal que | an |> |a|

2 para todo o n ∈ N maior que p, ent˜ao

lim

n→+∞an= a.

(d) Se lim

n→+∞(anbn) = r, r ∈ R, ent˜ao os limn→+∞an en→+∞lim bn existem (s˜ao finitos).

(e) Se an≤ bn≤ cn para todo o n ≥ 10 e se lim

n→+∞an=n→+∞lim cn= 5, ent˜ao n→+∞lim bn= 5.

(f) Se an≤ bn≤ cn para todo o n ≥ 10 e se lim

n→+∞bn=n→+∞lim cn= 5, ent˜ao n→+∞lim an= 5.

8. Determine p ∈ N tal que

(a) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 5 − 3n < 2. (b) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, n − 1 2 > 1000. (c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1) n √ < 10−4.

(24)

(c) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, (−1) n √ n < K. (d) ∀n ∈ {n ∈ N : n > p}, 1 −√3_{n < −K.} 10. Seja a ∈ R. Complete

(a) Sabendo que para todo o ∈ (0, 1] existe um p ∈ N tal que para todo n ∈ {n ∈ N : n > p} se tem | an− a |< , ent˜ao lim

n→+∞an. . .

(b) Sabendo que para todo o n ∈ N se tem | an− a |> 0.01, ent˜ao lim

n→+∞an. . .

(c) Sabendo que lim

n→+∞a2n = a en→+∞lim a2n+1 = a, ent˜ao n→+∞lim an. . .

(d) Sabendo que lim

n→+∞a2

n = 2 e lim

n→+∞a3

n = 3, ent˜ao lim

n→+∞an. . .

11. (∗) Considere que a e b s˜ao n´umeros reais. Demonstre os seguintes resultados: (a) Se lim

n→+∞an= a e un= an− a, ent˜aon→+∞lim un= 0.

(b) Se lim

n→+∞an= a e r ∈ R, ent˜ao limn→+∞ran= ra.

(c) Se lim

n→+∞an= a, n→+∞lim bn= b e un= an+ bn, ent˜ao n→+∞lim un= a + b.

(d) Se lim

n→+∞an= 0,n→+∞lim bn= 0 e un= anbn, ent˜ao n→+∞lim un= 0.

(e) Se lim

n→+∞an= a, n→+∞lim bn= b e un= anbn, ent˜ao n→+∞lim un= ab.

(f) Se lim

n→+∞bn= b 6= 0, ent˜ao ∃p ∈ N tal que para todo o n > p se tem | bn|>

| b | 2 . (g) Se lim n→+∞bn= b 6= 0, então n→+∞lim 1 bn = 1 b. (h) Se lim n→+∞an= a, n→+∞lim bn= b 6= 0 e un= an bn , então lim n→+∞un= a b. (i) Se lim n→+∞an= a e p ∈ N, então limn→+∞a p n= ap. (j) Se lim

n→+∞an= a e, para algum k ∈ N, bn= an+k, ent˜ao n→+∞lim bn= a.

12. Pronuncie-se sobre a veracidade das seguintes afirma¸c˜oes.

(a) Seja (an) uma sucess˜ao limitada. Ent˜ao o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} tem supremo.

(b) Seja (an) uma sucess˜ao n˜ao decrescente e tal que o conjunto {a1, a2, . . . , an, . . .} tem

supremo S. Ent˜ao ∀ > 0 ∃p ∈ N : n > p =⇒ an− S > −.

(c) Seja (an) uma sucessão limitada e não decrescente. Então (an) é convergente.

13. Demonstre todas as afirma¸c˜oes verdadeiras apresentadas no exerc´ıcio anterior. 14. Calcule (a) lim n→∞ n n + 1 (b) lim n→∞ n + 3 n3_{+ 4} (c) lim n→+∞ 2n3 5 + 2n3 (d) lim n→+∞ r 2 − 8n 1 − 2n (e) lim n→+∞ 1 − n2 n2_{+ 1}

(25)

(f) lim n→+∞( √ n + 1 −√n) (g) lim n→+∞ 3n_{+ 4}n 5n_{+ 6}2n (h) lim n→∞ n! nn. (i) lim n→+∞ 1 + 3 n n (j) lim n→+∞ 1 + a n n , com a > 0. (k) lim n→+∞ 1 + a n − a n , com a > 0. (l) (∗) lim n→+∞ 1 − 4 n n (m) lim n→+∞ 1 − 4 n + 1 n (n) lim n→+∞ 1 − 4 n + 1 n+2 (o) lim n→+∞ 1 − 1 n2 n

15. Seja (an) uma sucess˜ao n˜ao convergente tal que | an|≤ M para algum M > 0.

(a) Seja ainda (bn) uma sucess˜ao tal que lim

n→+∞bn= 0. Mostre que n→+∞lim (anbn) = 0.

(b) Calcule lim n→+∞ 1 n + 1 + cos(n) n + 1 16. (∗)

Sejam a, b ∈ R e considere a sucess˜ao an= a 1 +√5 2 !n + b 1 − √ 5 2 !n .

(a) Verifique que esta sucess˜ao pode ser definida recursivamente por an = an−2+ an−1 para

todo o n ≥ 2.

(b) Determine a e b tal que a0 = a1 = 1.

17. Considere a sucess˜ao de Fibonacci a0 = 1, a1 = 1 e an = an−2+ an−1 para todo o n ≥ 2. Seja

b1= 1 e bn= 1 +

1 bn−1

(26)

BIBLIOGRAFIA

1. Acesso ao Ensino Superior - Matem´atica, Maria Augusta F. Neves e Maria Teresa C. Vieira, 1994.

2. Mergulhar em AM1, Maria do Ros´ario de Pinho, FEUP, LEEC, 2005.

3. Caderno de Exerc´ıcios de AM1, Maria do Ros´ario de Pinho e Maria Margarida Ferreira, FEUP, LEEC, 2005.

4. Calculus, Michael Spivak.

5. Compêndio de Matemática, Tomo 2, 7◦ ano, J. Sebastião e Silva e J. D. da Silva Paulo, 1973.