FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores ANÁLISE MATEMÁTICA 1

(1)

PORTO

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´

ecnica e de

Computadores

AN ´

ALISE MATEM ´

ATICA 1

APONTAMENTOS DAS AULAS TE ´

ORICAS

PARTE II

Maria do Ros´ario de Pinho e Maria Margarida Ferreira Setembro 2007

(2)

1 Integrais Indefinidos 5

1.1 Integrais Indefinidos-No¸c˜oes B´asicas . . . 5

1.2 M´etodo da Substitui¸c˜ao . . . 12

1.3 Integra¸c˜ao por Partes . . . 15

1.4 Outras T´ecnicas de Integra¸c˜ao . . . 20

2 Integral Definido 39 2.1 Defini¸c˜ao . . . 39

2.2 C´alculo de ´Areas . . . 51

2.3 Teorema Fundamental do C´alculo . . . 54

2.4 Extens˜ao da No¸c˜ao de Integral Definido . . . 62

3 Equa¸c˜oes Diferenciais 66 3.1 Introdu¸c˜ao. . . 66

3.2 Equa¸cões Diferenciais de variáveis separáveis . . . 70

3.3 Equa¸c˜oes diferenciais lineares (EDL) de primeira ordem . . . 75

3.3.1 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao . . . 75

3.3.2 Resolu¸c˜ao de EDL de Primeira Ordem . . . 76

3.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares de Ordem Superior a Um . . . 78

3.4.1 Existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao . . . 78

3.4.2 EDL Homog´eneas de Coeficientes Constantes. . . 80

3.4.3 Resolu¸c˜ao de EDL homog´eneas de coeficientes constantes de ordem 2. . . 81

3.4.4 Resolu¸c˜ao de EDL homog´eneas de coeficientes constantes de ordem n . . 85

3.4.5 EDL de Coeficientes Constantes, de ordem 2, N˜ao Homog´eneas. . . 89

3.4.6 Eq. Dif. Lineares N˜ao Homog´eneas, de Coeficientes Constantes. . . 93 2

(3)

4 Transformada de Laplace 97

4.1 Introdu¸c˜ao. . . 97

4.2 Defini¸c˜ao . . . 97

4.3 Existˆencia da transformada de Laplace . . . 100

4.4 Propriedades da transformada de Laplace . . . 102

4.5 Deslocamentos na vari´avel t e na vari´avel s . . . 106

4.6 Fun¸c˜ao Impulso . . . 112

4.7 Integral de Convolu¸c˜ao . . . 116

5 Sucessões e Séries Numéricas 118 5.1 Indu¸cão Finita . . . 118

5.2 Sucess˜oes . . . 122

5.3 Convergˆencia de Sucess˜oes . . . 124

5.4 S´eries Num´ericas . . . 126

5.4.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema 5.4.5. . . 134

5.4.2 Testes de Convergˆencia de S´eries . . . 136

5.4.3 Testes de Convergência de Séries de Termos Não Negativos. . . 137

5.5 Demonstra¸c˜ao de Resultados Anteriores . . . 142

5.5.1 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.10. . . 142 5.5.2 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.13. . . 142 5.5.3 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.16. . . 143 5.5.4 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.18. . . 143 5.5.5 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.20. . . 144 5.5.6 Demonstra¸cão do Teorema 5.4.22. . . 144 5.6 Séries Alternadas . . . 145

5.7 Convergˆencia Absoluta e Condicional. . . 146

5.8 Quadro Resumo. . . 149

6 Séries de Potências e Aproxima¸cão Polinomial 150 6.1 Séries de Potências . . . 150

6.2 S´eries de Taylor . . . 155

6.3 Fun¸c˜oes Polinomiais de Taylor . . . 157

(4)

6.5 Resto de Taylor . . . 162

6.6 Resto de Taylor e S´erie de Taylor . . . 164

(5)

Integrais Indefinidos

Dada uma fun¸cão, sabemos já determinar uma nova fun¸cão que se obtém da inicial através da deriva¸cão. A questão que se levanta agora é a seguinte:

Dada uma fun¸c˜ao f ,

ser´a poss´ıvel determinar uma outra fun¸c˜ao F tal que F0(x) = f (x)?

Uma fun¸cão F nestas condi¸cões, caso exista, designa-se por integral ou primitiva de f . Podemos determinar a derivada de uma qualquer fun¸cão utilizando as regras de deriva¸cão. Gostariamos também de ter ao nosso dispor um conjunto de regras que nos permita integrar uma fun¸cão. Infelizmente, a integra¸cão é geralmente mais dif´ıcil.

Neste cap´ıtulo estudaremos e desenvolveremos algumas das t´ecnicas de integra¸c˜ao.

1.1 Integrais Indefinidos-No¸

c˜

oes B´

asicas

Sendo f uma fun¸cão derivável, a sua derivada é uma nova fun¸cão g tal que g(x) = f0(x). O problema que queremos resolver agora é

Dada uma fun¸cão f será poss´ıvel determinar uma fun¸cão F tal que F0(x) = f (x)?

Vamos analisar alguns casos.

1. Seja f (x) = ex_{. Queremos determinar uma fun¸}_c˜_{ao F tal que F}0_{(x) = e}x_.

Se F (x) = ex, ent˜ao F0(x) = f (x).

Será que esta fun¸cão é única? Não. De facto, se G(x) = ex+ C, onde C é uma constante, temos

G0(x) = ex= f (x). 5

(6)

Logo, neste caso, não temos uma única fun¸cão F cuja derivada F0 seja igual a f . O que temos é uma fam´ılia de fun¸cões da forma

ex+ C

onde C é uma qualquer constante. Este facto não é surpreendente. Basta lembrar que duas fun¸cões que diferem de uma constante têm a mesma derivada.

2. Seja agora f (x) = x. Qual a fun¸cão (ou fun¸cões) F tal que F0(x) = x? Este problema é fácil. Realmente para qualquer fun¸cão da forma F (x) = x

2

2 + C, C constante, temos F0(x) = x.

3. Consideremos a fun¸cão f do exemplo anterior definida em R. Será que há alguma fun¸cão G tal que G0(x) = x que não possa ser escrita na forma x

2

2 + C? Seja ent˜ao G0(x) = x e considere H(x) = G(x) −x

2

2 − C. Vem H0(x) = G0(x) − x = 0.

Logo H é uma fun¸cão constante, ou seja, existe um K ∈ R tal que H(x) = K para todo o x ∈ R. Deduz-se então que

G(x) − x 2 2 − C = K, ou seja, G(x) = x 2 2 + K + C.

Ora a soma de duas constantes, K e C, ´e ainda uma constante. Seja ˆK = K + C. Temos G(x) = x

2

2 + ˆK. Quer isto dizer que qualquer fun¸c˜ao G tal que G

0_{(x) = x ´}_{e da forma}

x2 2 + ˆK.

Exerc´ıcios 1.1.1 Determine F tal que F0(x) = f (x) onde f ´e: 1. f (x) = x. 2. f (x) = x + 1. 3. f (x) = x2_. 4. f (x) = x2+ x. 5. f (x) = x2+ x + 1. 6. f (x) = ax2+ bx + c, a, b e c constantes. 7. f (x) = − sin(x). 8. f (x) = sin(x). 9. f (x) = cos(x). 10. f (x) = − sin(x)+cos(x). 11. f (x) = 2xex2. 12. f (x) = xex2. 13. f (x) = −2 sin(2x). 14. f (x) = − sin(2x). 15. f (x) = − 1 x2. 16. f (x) = 1 x. 17. f (x) = sec2(x). 18. f (x) = sec2(2x).

(7)

Defini¸c˜ao 1.1.2 O interior de Df, ◦

Df, ´e formado por todos os pontos x ∈ Df para os quais

existe um δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ⊂ Df.

Defini¸cão 1.1.3 Uma fun¸cão F diz-se uma primitiva ou integral da fun¸cão f se F0(x) = f (x)

para todo o x no interior de Df.

Já vimos que que a rela¸cão entre f e F não é un´ıvoca. Assim, não existe um integral ou primitiva de f , mas sim uma fam´ılia de primitivas. Se F é tal que F0(x) = f (x) e G(x) = F (x) + C, então

G0(x) = F0(x) = f (x)

ou seja, se F é uma primitiva de f qualquer outra fun¸cão da forma F (x) + C, onde C é uma constante, é ainda uma primitiva de f .

Seja F uma primitiva de uma fun¸cão qualquer f cujo dom´ınio é um intervalo I. Será que existe mais alguma fun¸cão L que seja uma primitiva de f que não se possa escrever na forma F (x) + C? Suponhamos que L e F são primitivas diferentes de f definidas no interior do intervalo I. Isto significa que L e F são duas fun¸cões com a mesma derivada. Logo diferem de uma constante, i.e., L(x) = F (x) + C.

Sendo F uma primitiva de f , então G(x) = F (x) + C designa-se por primitiva geral de f . A integra¸cão ou primitiva¸cão pode ser vista como a resolu¸cão da equa¸cão diferencial:

dy

dx = f (x) (1.1)

Uma solu¸cão desta equa¸cão é uma fun¸cão F cuja derivada F0(x) satisfaz a equa¸cão para todo o x ∈ D onde D representa o interior do dom´ınio de f . Como já vimos, uma fun¸cão nessas condi¸cões designa-se por integral ou primitiva de f .

A opera¸cão que nos permite calcular todas as solu¸cões desta equa¸cão (a primitiva geral de f ) designa-se por integra¸cão.

Se associarmos o s´ımbolo Z

`

a integra¸c˜ao, podemos escrever F (x) = Z f (x)dx. Escreve-se Z f (x)dx = F (x) + C quando F0(x) = f (x)

Por defini¸c˜ao de integral ou primitiva, vem Z

f (x)dx = Z

(8)

Esta igualdade permite concluir que a integra¸cão é a opera¸cão inversa da deriva¸cão a menos de uma constante. Assim, partindo de uma fun¸cão f , derivando-a e integrando a fun¸cão derivada não obtemos apenas a fun¸cão donde partimos, mas sim uma fam´ılia de fun¸cões à qual f pertence. E qualquer outra fun¸cão desta fam´ılia é igual a f mais uma constante.

Por outro lado, partindo de uma fun¸cão f e come¸cando por integrar esta fun¸cão obtém-se uma fam´ılia de fun¸cões cujas derivadas são sempre f . Ou seja, a deriva¸cão é a opera¸cão inversa da integra¸cão.

Exerc´ıcios 1.1.4 Classifique, justificando, as seguintes afirma¸c˜oes em Verdadeiras ou Falsas:

1. x 4 4 + 3 x2 2 + 3x + C = Z (x3+ 3x + 1) dx. 2. x ln(x) − x + C = Z ln(x) dx. 3. − cos4(x) + C = Z 4 sin(x) cos3(x) dx. 4. arctan2(x) + C = Z _{2 arctan(x)} 1 + x2 dx. 5. arctan(x2+ 1) + C = Z 2x 1 + (x2_{+ 1)}2dx. 6. ln4(x) + C = Z _{4 ln}3_(x) x dx. 7. ln(x4+ 5x) + C = Z _4x3_{+ 5} x4_{+ 5x}dx.

A rela¸cão de opera¸cão inversa entre deriva¸cão e integra¸cão permite obter directamente primitivas ou integrais de várias fun¸cões a partir das tabelas de deriva¸cão. Por exemplo:

(9)

Fórmula de Deriva¸cão Fórmula de Integra¸cão d dx(C) = 0 Z 0dx = C d dx(Kx) = K Z Kdx = Kx + C d dx(x n_{) = nx}n−1 Z xndx = x n+1 n + 1 + C para n 6= −1 d dx(ln(x)) = 1 x Z dx x = ln | x | +C d dx(sin(x)) = cos(x) Z cos(x)dx = sin(x) + C d dx(cos(x)) = − sin(x) Z sin(x)dx = − cos(x) + C d dxe x _{= e}x Z exdx = ex+ C d dxarctan(x) = 1 1 + x2 Z _dx 1 + x2 = arctan(x) + C d dxarcsin(x) = 1 √ 1 − x2 Z _dx √ 1 − x2 = arcsin(x) + C

Tal como a deriva¸cão também a integra¸cão é uma opera¸cão linear. De facto, sendo α uma qualquer constante e f e g duas fun¸cões definidas num intervalo aberto D, temos

Z αf (x)dx = α Z f (x)dx pois α Z f (x)dx + C 0 = αf (x) e Z (f (x) + g(x)) dx = Z f (x)dx + Z g(x)dx dado que Z f (x)dx + Z g(x)dx 0 = Z f (x)dx 0 + Z g(x)dx 0 = f (x) + g(x)

(10)

Exemplo 1.1.5 Vamos agora aproveitar tudo o que aprendemos sobre integra¸cão para calcular alguns integrais. Observe-se que a técnica utilizada nesse cálculo é a de reescrever a fun¸cão cujo integral se pretende calcular em soma de fun¸cões mais simples e de integra¸cão imediata, ou seja, fun¸cões cujos integrais podem ser calculados utilizando a tabela anterior.

1. Z x3+ 2x dx = Z x3dx + Z 2xdx = x 4 4 + C1+ Z 2xdx = x 4 4 + C1+ x 2_{+ C} 2 = x 4 4 + x 2_{+ C}

Note-se que a soma de constantes C1 e C2 ´e ainda uma constante que ´e aqui representada

por C. 2. Z _{x + 1} √ x dx = Z _x √ xdx + Z _dx √ x = Z x1/2dx + Z x−1/2dx = x 3/2 3 2 +x 1/2 1 2 + C = 2 3x 3/2_{+ 2x}1/2_{+ C} 3. Z 3x2− 2 x2 dx = Z 3x2 x2 − 2 x2 dx = Z 3 − 2x−2 dx = Z 3dx − 2 Z x−2dx = 3x − 2 x −1 −1 + C = 3x + 2 x+ C 4. Z _dx x2 = − 1 x + C

(11)

Consideremos x > 0 . Os gr´aficos de trˆes primitivas diferentes de f (x) = 1

x2 s˜ao

apresen-tados na figura seguinte. Observe-se que os gr´aficos tra¸cados correspondem a fun¸c˜oes da forma −1

x + C, para valores de C iguais a 1, 0 e −1.

Suponhamos que uma part´ıcula tem movimento rectil´ıneo e que em cada instante t a sua posi¸cão é dada por x(t). Se x(t) é a posi¸cão da part´ıcula em cada instante, então a velocidade é v(t) = x0(t) e a acelera¸cão é a(t) = x00(t). O próximo exemplo ilustra uma aplica¸cão da integra¸cão neste tipo de problemas.

Exemplo 1.1.6 A 80 metros de altura, lan¸ca-se um objecto de massa unitária na vertical e com velocidade inicial de 64m/s. Calcule a posi¸cão do móvel em cada instante e o instante em que este atinge o solo.

Resolu¸cão: Seja x(t) a posi¸cão do móvel em cada instante. Sabemos que no instante inicial, t = 0, temos x(0) = 80 e x0(0) = 64. Sendo g a acelera¸cão da gravidade, o movimento do sólido satisfaz a equa¸cão x00(t) = −g. Por integra¸cão podemos obter a fun¸cão velocidade do móvel:

v(t) = x0(t) = Z

x00(t)dt = −gt + C

Sabemos então que a fun¸cão velocidade terá que ser um elemento da fam´ılia de fun¸cões dada por −gt + C. Para identificar totalmente a fun¸cão velocidade do móvel, precisamos de seleccionar uma fun¸cão de entre todas estas. Tal é poss´ıvel pois sabemos que o valor inicial da velocidade deverá ser v(0) = 64. Assim v(0) = 64 =⇒ −g · 0 + C = 64 =⇒ C = 64. A fun¸cão velocidade é v(t) = −gt + 64. A integra¸cão de v conduz-nos agora à fun¸cão posi¸cão.

x(t) = Z v(t)dt = Z (−gt + 64)dt = −g 2t 2_{+ 64t + C} 0

A constante C0 ´e calculada usando a condi¸c˜ao inicial x(0) = 80. Obtemos C0 = 80. Logo

x(t) = −g 2t

(12)

Obtida a fun¸cão posi¸cão estamos em condi¸cões de resolver a segunda parte do exerc´ıcio: deter-minar o instante t em que o móvel atinge o solo, i.e., o instante t tal que x(t) = 0. Consideremos g = 9.8. Resolvendo então a equa¸cão −4.9t2+ 64t + 80 = 0 obtemos dois valores para t, um dos quais é negativo (logo não tem interesse) e o outro é aproximadamente 1.15. Este é o valor pretendido.

1.2 M´

etodo da Substitui¸

c˜

ao

Vimos já como calcular integrais de fun¸cões simples a partir da tabela da deriva¸cão. Passemos agora a fun¸cões mais ”complicadas”.

Seja f (x) = ekx onde k ´e uma constante qualquer diferente de 0. Queremos calcular o integral desta fun¸c˜ao, I1(x) =

Z

ekxdx. Seja F (u) = eu e u = g(x) = kx. Ent˜ao f (x) = F ◦ g(x) = ekx e f0(x) = F0(g(x))g0(x) = kekx Se em vez de I1(x) = Z ekxdx tivessemos I2(x) = Z

kekxdx, ent˜ao o problema era simples, pois, como vimos, kekx ´e a derivada de ekx. Como I2(x) = kI1(x), obtemos

I1(x) = 1 kI2(x) = 1 ke kx_{+ C}

Observe-se como a regra da derivada da fun¸c˜ao composta foi um grande aux´ılio no c´alculo deste integral.

Argumentos an´alogos aos utilizados anteriormente permitem calcular o integral de f (x) = 2xex2−1. Sendo g(x) = x2− 1, vem

I = Z

2xex2−1dx = Z

g0(x)eg(x)dx Defina-se u = g(x) e F (u) = eu_{. Ent˜}_ao

I = Z

F0(g(x))g0(x)dx == Z

[F (g(x))]0dx = F (g(x)) + C = ex2−1+ C

O que fizemos foi reconhecer que a fun¸c˜ao a integrar f (x) = 2xex2−1 _{podia ser escrita como}

a derivada de uma fun¸cão composta. Para tal foi essencial associar g(x) = x2 − 1 com a sua derivada g0(x) = 2x, associa¸cão essa feita através da introdu¸cão de uma nova variável. Esta técnica pode ser generalizada de forma a abranger uma grande classe de fun¸cões. Suponhamos que queremos calcular

Z

F (x)dx e que F pode ser escrita como

(13)

O integral a calcular ´e ent˜ao Z

F (x)dx = Z

f (g(x))g0(x)dx (2.1)

O c´alculo deste integral ´e feito da seguinte forma:

1. Consideramos a substitui¸c˜ao ou mudan¸ca de vari´avel: u = g(x) du dx = g 0_(x) Escreve-se du = g0(x)dx. 2. Substituindo em (2.1) temos Z F (x)dx = Z f (u)du (2.2)

3. Calculamos (2.2) obtendo uma primitiva expressa em u. Seja ela G(u), i.e., G(u) = Z

f (u)du.

4. Como o nosso objectivo ´e a determina¸c˜ao de uma primitiva de F (x), substituimos por fim u por g(x) e temos:

Z

F (x)dx = G(g(x)) + C

Este método de cálculo de integrais designa-se por Método de Substitui¸cão. Convém salientar que este método deve ser utilizado sempre que o cálculo do integral

Z

f (u)du for mais simples e directo do que o de

Z

F (x)dx.

Note-se ainda que a express˜ao (2.2) deve ser lida como Z f (u)du = Z f (u)du dxdx Z

f (u)du é uma fun¸cão, a primitiva de f , em termos da variável u. Por outro lado, Z

f (g(x))g0(x)dx representa uma primitiva de (f ◦ g(x)) · g0(x) em termos de x. Na verdade estamos na presen¸ca de duas primitivas de fun¸c˜oes diferentes. Quando, por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemos

Z

f (g(x))g0(x)dx = Z

f (u)du

devemos ter sempre presente que estamos a utilizar um simbolismo que nos facilita a escrita. Para indicarmos que temos uma igualdade de fun¸c˜oes dever´ıamos escrever

Z f (g(x))g0(x)dx = Z f (u)du _u=g(x)

(14)

Exemplo 1.2.1 Vejamos agora outros exemplos de integrais cujo cálculo pode ser feito uti-lizando o método da substitui¸cão.

1. Pretende-se calcular Z

axdx onde a ´e uma constante qualquer positiva . Como ax = ex ln(a), vem

Z

axdx = Z

ex ln(a)dx

Seja u = x ln(a). Então du = ln(a)dx. Pelo método da substitui¸cão vem Z exlog(a)dx = Z _eu ln(a)du = 1 ln(a) Z eudu = e u ln(a)+ C = ex ln(a) ln(a) + C = ax ln(a) + C 2. Seja f uma qualquer fun¸cão diferenciável. Deseja-se calcular

Z

fn(x)f0(x)dx

onde fn representa o produto da fun¸c˜ao f , n vezes. Seja u = f (x). Logo du = f0(x)dx. Susbtituindo no integral dado vem

Z fn(x)f0(x)dx = Z undu = u n+1 n + 1+ C = fn+1(x) n + 1 + C

3. Seja agora f uma qualquer fun¸c˜ao diferenci´avel tal que f (x) 6= 0 para todo o x. Queremos calcular

Z f0(x)

f (x)dx Fazendo u = f (x), obtemos du = f0(x)dx. Assim

Z _f0_(x) f (x)dx = Z _du u = ln | u | +C = ln | f (x) | +C 4. Pretende-se calcular Z 1 + ex 1 − exdx

Multiplicando e dividindo a fun¸c˜ao a integrar por ex, obtemos Z 1 + ex 1 − ex 1 ex e x _dx

Se u = ex, então du = exdx. Substituindo na última expressão do integral a calcular vem Z _{1 + u} 1 − u· 1 udu Como 1 + u 1 − u· 1 u = 2 1 − u+ 1 u

(15)

temos Z _{1 + u} u(1 − u)du = Z ₂ 1 − udu + Z ₁ udu O integral Z ₁ udu ´e de c´alculo imediato: Z ₁

udu = ln | u | +C1. Resta-nos assim o c´alculo de

Z ₂

1 − udu. Neste caso, podemos, mais uma vez, utilizar o método da substitui¸cão considerando agora v = 1 − u. Então dv = −du e vem

Z ₂ 1 − udu = −2 Z _dv v = −2 ln | v | +C2= −2 ln | 1 − u | +C2 Assim Z ₂ 1 − udu + Z ₁ udu = ln | u | +C1− 2 ln | 1 − u | +C2 Concluimos que Z _{1 + e}x 1 − exdx = ln | e x_{| +C} 1− 2 ln | 1 − ex| +C2 = ln(ex) − 2 ln | 1 − ex| +C = x + ln 1 (1 − ex₎2 + C

1.3 Integra¸

c˜

ao por Partes

Na seçcão anterior a deriva¸cão da fun¸cão composta foi determinante para o cálculo de integrais ou primitivas de algumas fun¸cões. Uma outra regra de deriva¸cão, útil na integra¸cão, é a da derivada do produto. Lembremos que se f e g são fun¸cões diferenciáveis, então a fun¸cão produto f · g é também diferenciável e

(f · g)0(x) = f0(x)g(x) + f (x)g0(x) (3.1) Suponhamos que queremos calcular o integral de uma fun¸cão F e que esta fun¸cão pode ser decomposta num produto de fun¸cões, h e g. Suponhamos ainda que h é reconhecidamente a derivada de uma outra fun¸cão f . Assim,

Z F (x)dx = Z h(x)g(x)dx = Z f0(x)g(x)dx Da igualdade (3.1) vem Z f0(x)g(x)dx = Z (f · g)0 (x) − f (x)g0(x) dx = Z (f · g)0(x)dx − Z f (x)g0(x)dx = (f · g)(x) − Z f (x)g0(x)dx (3.2)

(16)

ou seja, o c´alculo de Z

f0(x)g(x)dx fica reduzido ao de Z

f (x)g0(x)dx. É evidente que este processo, denominado integra¸cão por partes, é vantajoso quando o cálculo de

Z

f (x)g0(x)dx ´

e mais simples do que o de Z

f0(x)g(x)dx.

Em (3.2) transformamos a integra¸cão de uma fun¸cão na soma de dois integrais. Como vimos atrás, cada integra¸cão produz uma constante. Como a soma de constantes é ainda uma constante ´

e usual escrever a constante s´o no passo final da integra¸c˜ao.

Ilustremos a aplica¸cão da integra¸cão por partes com um exemplo. O integral que queremos calcular é

Z

xexdx. A fun¸c˜ao xex pode ser escrita como o produto de duas outras fun¸c˜oes, g(x) = x e f (x) = ex. Como f0(x) = f (x), podemos escrever:

Z

xexdx = Z

f0(x)g(x)dx Atendendo a que g0(x) = 1, a integra¸c˜ao por partes conduz a

Z xexdx = xex− Z 1 · exdx Logo Z xexdx = xex− ex_{+ C}

Exemplo 1.3.1 A aplica¸cão da integra¸cão por partes nem sempre é directa. Algumas vezes é necessário ”dar uma ajuda”, como veremos de seguida.

1. Consideremos Z

ln(x)dx. À primeira vista, a integra¸cão por partes em nada nos poderá ajudar: parece que não estamos perante um produto de fun¸cões. Todavia, pode sempre escrever-se

ln(x) = 1 · ln(x) A constata¸c˜ao deste simples facto permite definir

f0(x) = 1 e g(x) = ln(x) A aplica¸cão da integra¸cão por partes é agora poss´ıvel e conduz a:

Z ln(x)dx = x ln(x) − Z x · 1 xdx = x ln(x) − Z 1dx = x ln(x) − x + C 2. Calculemos Z (ln(x))2dx. Seja f (x) = ln(x) e g0(x) = ln(x) Ent˜ao f0(x) = 1 x e g(x) = x(ln(x) − 1)

(17)

Integrando por partes, obtemos Z (ln(x))2dx = ln(x) [x ln(x) − x] − Z ₁ x[x(ln(x) − 1)] dx = ln(x) [x ln(x) − x] − Z ln(x)dx + Z 1dx = x (ln(x))2− x ln(x) − x(ln(x) − 1) + x + C = ln(x) (x ln(x) − 2x) + 2x + C 3. Queremos calcular Z ln(x) x dx. Seja f0(x) = 1 x e g(x) = ln(x) Ent˜ao, f (x) = ln(x), g0(x) = 1 x e Z ln(x) x dx = ln(x) ln(x) − Z 1 xln(x) dx (3.3)

Numa primeira análise, somos levados a concluir que a integra¸cão por partes foi perfeita-mente inútil. Afinal, o integral a calcular é o inicial. Uma observa¸cão mais atenta de (3.3) depressa nos convence que estamos perante uma igualdade de fun¸cões. Assim, podemos somar a ambos os membros da igualdade

Z ₁ xln(x)dx. Obtemos 2 Z 1 xln(x)dx = ln(x) ln(x) ou seja, Z ₁ xln(x)dx = (ln(x))2 2 + C

4. No cálculo de alguns integrais, a integra¸cão por partes poderá ter que ser utilizada mais do que uma vez. Vejamos um exemplo. Considere-se

Z

exsin(x)dx e seja f (x) = ex e g0(x) = sin(x). Assim f0(x) = ex e g(x) = − cos(x). Logo

Z

exsin(x)dx = −excos(x) − Z

ex(− cos(x))dx = −excos(x) + Z

excos(x)dx (3.4)

O grau de dificuldade do c´alculo de Z

excos(x)dx ´e o mesmo do c´alculo de Z

exsin(x)dx. Se definirmos u(x) = ex _{e v}0_{(x) = cos(x), podemos aplicar a integra¸}_c˜_{ao por partes mais}

uma vez. Assim _Z

excos(x)dx = exsin(x) − Z

exsin(x)dx Substituindo em (3.4) vem

Z

exsin(x)dx = −excos(x) + exsin(x) − Z

(18)

Mais uma vez, obtivemos uma igualdade de fun¸c˜oes e a mesma fun¸c˜ao Z

exsin(x)dx, aparece em ambos os membros da igualdade. Deduz-se ent˜ao que

Z

exsin(x)dx = e

x

2 (sin(x) − cos(x)) + C

A utiliza¸cão consecutiva da integra¸cão por partes deve ser feita com cuidado. No exemplo anterior, se a segunda integra¸cão por partes tivesse sido feita considerando u(x) = cos(x) e v0(x) = ex, ter´ıamos obtido Z excos(x)dx = excos(x) + Z exsin(x)dx Substituindo em (3.4) viria Z

exsin(x)dx = −excos(x) + excos(x) + Z exsin(x)dx ou seja, Z exsin(x)dx = Z exsin(x)dx

Esta escolha de fun¸c˜oes u e v0 ”desfez” a integra¸c˜ao por partes inicial.

Para terminar esta seçcão, vamos agora ilustrar uma aplica¸cão, particularmente útil, da inte-gra¸cão por partes que conduz às designadas Fórmulas de Redu¸cão. Consideremos o integral Z

sinn(x)dx, onde n ´e um qualquer natural maior que 2. Seja f0(x) = sin(x) e g(x) = sinn−1(x). Assim f (x) = − cos(x) e g0(x) = (n − 1) sinn−2(x) cos(x). Atendendo a que cos2_{(x) = 1 − sin}2_(x)

vem Z

sinn(x)dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n − 1) Z cos2(x) sinn−2(x)dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n − 1) Z 1 − sin2(x) sinn−2_(x)dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n − 1) Z sinn−2(x)dx − (n − 1) Z sinn(x)dx Somando (n − 1) Z

sinn(x)dx a ambos os membros desta igualdade obtemos

n Z

sinn(x)dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n − 1) Z sinn−2(x)dx ou seja Z sinn(x)dx = −1 nsin n−1_{(x) cos(x) +}n − 1 n Z sinn−2(x)dx (3.5)

(19)

Esta é a fórmula de redu¸cão de Z

sinn(x)dx e permite calcular este integral por recorrˆencia. Vejamos como. Seja n = 5. Ent˜ao:

Z sin5(x)dx = −1 5sin 4_{(x) cos(x) +}4 5 Z sin3(x)dx Resta-nos calcular Z

sin3(x)dx. Aplicando mais uma vez (3.5) vem Z sin3(x)dx = −1 3sin 2_{(x) cos(x) +}2 3 Z sin1(x)dx Como Z

sin(x)dx = − cos(x), concluimos que Z sin5(x)dx = −1 5sin 4_{(x) cos(x) −} 4 15sin 2_{(x) cos(x) −} 8 15cos(x) + C Seja agora n = 4. Usando (3.5), deduzimos que

Z sin4(x)dx = −1 4sin 3_{(x) cos(x) +}3 4 Z sin2(x)dx

Falta-nos agora calcular este último integral. Agora n = 2. A fórmula (3.5) pode ainda ser aplicada neste caso (verifique!). Vejamos um processo alternativo. A ideia é diminuir a potência de sin(x). Para tal, recorremos às fórmulas trigonométricas. Neste caso, é particularmente útil a igualdade

sin2(x) = 1 − cos(2x) 2 que nos permite concluir

Z sin2(x)dx = 1 2 Z dx − Z _cos(2x) 2 dx = 1 2x − sin(2x) 4 + C1 Assim _Z sin4dx = −1 4sin 3_{(x) cos(x) +}3 8x − 3 16sin(2x) + C Exerc´ıcio 1.3.2 1. Deduza as seguintes f´ormulas de redu¸c˜ao:

(a) Z cosn(x)dx = 1 ncos n−1_{(x) sin(x) +} n − 1 n Z

cosn−2(x)dx para n > 2 (verifique se esta igualdade é ou não válida para n = 2);

(b) Z dx (x2_{+ 1)}n = 1 2n − 2 x (x2_{+ 1)}n−1 + 2n − 3 2n − 2 Z dx (x2_{+ 1)}n−1 para n > 1.

2. Utilizando o exerc´ıcio anterior calcule Z

cos5(x)dx e Z

cos6(x)dx. (Sugest˜ao: lembre-se que cos2(x) = 1 + cos(2x)

2 ). Calcule ainda Z dx (x2_{+ 1)}5 e Z dx (x2_{+ 1)}4.

(20)

1.4 Outras T´

ecnicas de Integra¸

c˜

ao

Os métodos de integra¸cão por partes e de substitui¸cão são os principais métodos de integra¸cão. Só por si permitem calcular integrais de uma grande classe de fun¸cões. Contudo, o cálculo de integrais de muitas fun¸cões exige a utiliza¸cão de algumas técnicas próprias adicionais. Seguida-mente iremos apresentar uma lista de algumas dessas técnicas.

Integrais de Fun¸c˜oes Trigonom´etricas

Determinamos na seçcão anterior fórmulas de redu¸cão que nos permitem calcular integrais do tipo

Z

sinn(x)dx e Z

cosn(x)dx. Integrais deste tipo podem, alternativamente, ser calculados com a ajuda de certas igualdades de fun¸c˜oes trigonom´etricas.

A.1. Integrais do tipo Z

sinn(x)dx e Z

cosn(x)dx para n par.

Lembremos que sin2(x) + cos2(x) = 1 sin2(x) = 1 − cos(2x) 2 cos2(x) = 1 + cos(2x) 2

Se n ´e par, escreve-se n = 2k. Logo

Z sinn(x)dx = Z sin2(x)kdx = Z _{1 − cos(2x)} 2 k dx

Este novo integral envolve uma soma de termos com potˆencias da fun¸c˜ao cos(x) mais baixas.

(21)

Exemplo 1.4.1 Considere-se Z sin4(x)dx. Vem Z sin4(x)dx = Z _{1 − cos(2x)} 2 2 dx = Z ₁ 4 − 1 2cos(2x) + 1 4cos 2_(2x) dx = 1 4 Z dx − 1 2 Z cos(2x)dx +1 4 Z cos2(2x)dx = 1 4x − 1 4sin(2x) + 1 4 Z cos2(2x)dx = 1 4x − 1 4sin(2x) + 1 4 Z _{1 + cos(4x)} 2 dx = x 4 − sin(2x) 4 + x 8 + sin(4x) 32 + C Exerc´ıcio 1.4.2 Calcule

Z

cos4(x)dx.

A.2. Integrais do tipo Z

sinn(x)dx e Z

cosn(x)dx para n ´ımpar e n ≥ 3. Se n ´e ´ımpar, n = 2k + 1 para algum k. Ent˜ao

Z sinn(x)dx = Z sin(x) sin2k(x)dx = Z sin(x) 1 − cos2(x)k dx Z cosn(x)dx = Z cos(x) cos2k(x)dx = Z cos(x) 1 − sin2(x)kdx

Exemplo 1.4.3 Calculemos agora I1(x) =

Z cos5(x)dx. Temos Z cos5(x)dx = Z cos(x) 1 − sin2(x)2 dx = Z

cos(x) − 2 cos(x) sin2(x) + cos(x) sin4(x) dx = sin(x) −

Z

2 cos(x) sin2(x)dx + Z

cos(x) sin4(x)dx

Ficamos reduzidos ao c´alculo de dois integrais do tipo Z

cos(x) sin2k(x)dx. Observe-se que estes s˜ao integrais da forma

Z

f0(x)fn(x)dx, onde n = 2k e f (x) = sin(x). Como Z

f0(x)fn(x)dx = f

n+1_(x)

(22)

concluimos que Z cos5(x)dx = sin(x) −2 3sin 3_{(x)dx +} 1 5sin 5_{(x) + C} B. Integrais do tipo Z

cosm(x) sinn(x)dx onde m e n s˜ao naturais maiores do que 1. No exemplo anterior tivemos que calcular um integral do tipo

Z

cos(x) sin2k(x)dx

O que acontece quando temos Z

cosm(x) sinn(x)dx, onde n e m s˜ao ambos naturais e maiores do que 1?

Suponhamos que n é ´ımpar. Então n − 1 é par. Seja n − 1 = 2k. Assim Z

cosm(x) sinn(x)dx = Z

cosm(x) sin(x) sin2k(x)dx =

Z

cosm(x) sin(x) 1 − cos2(x)k dx

Desenvolvendo o bin´omio 1 − cos2(x)k

obtemos uma soma de integrais do tipo Z

sin(x) cosp(x)dx

onde p é um natural maior que m. Este tipo de integrais são obviamente fáceis de integrar. Se n é par e m é ´ımpar, consideramos m − 1 = 2k. Assim obtemos

Z

cosm(x) sinn(x)dx = Z

cos(x) cos2k(x) sinn(x)dx =

Z

cos(x) 1 − sin2(x)ksinn(x)dx Estamos na presen¸ca de uma soma de integrais da forma

Z

sinp(x) cos(x)dx

onde p é um natural maior que n, integrais esses que, como anteriormente, são de integra¸cão imediata.

Se m e n s˜ao simultaneamente ´ımpares, podemos optar por escrever o integral como soma de integrais da forma

Z

sinp(x) cos(x)dx ou da forma Z

sin(x) cosp(x)dx. Neste processo a tarefa mais morosa é a do desenvolvimento do binómio. Exactamente por isso, é aconselhável transformar o integral em parcelas da forma

Z

sinp(x) cos(x)dx se m < n e em

Z

(23)

Exemplo 1.4.4 Seja I(x) = Z

sin3(x) cos5(x)dx. Ent˜ao Z

sin3(x) cos5(x)dx = Z

sin(x) sin2(x) cos5(x)dx =

Z

sin(x) 1 − cos2(x) cos5_(x)dx

= Z sin(x) cos5(x)dx − Z sin(x) cos7(x)dx = −1 6cos 6_{(x) +}1 8cos 8_{(x) + C}

Se tivessemos inicialmente optado por escrever Z

sin3(x) cos5(x)dx = Z

cos(x) cos4(x) sin3(x)dx teriamos que considerar

cos4(x) = 1 − sin2(x)2

= 1 − 2 sin2(x) + sin4(x) o que daria origem a 3 integrais em vez de 2.

C. Integrais envolvendo potˆencias tan(x), cot(x), sec(x) e csc(x) .

Antes de aprofundar este assunto, apresentamos mais alguns integrais que podem ser cal-culados a partir de tabelas de deriva¸cão. Fica a cargo do aluno a verifica¸cão da veracidade da seguinte tabela (nota: basta ver que a derivada da primitiva é a fun¸cão a integrar).

Z

sec2(x)dx = tan(x) + C Z

csc2(x)dx = − cot(x) + C Z

sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x) | +C Z csc(x)dx = − ln | csc(x) + cot(x) | +C Falta-nos calcular Z tan(x)dx e Z

cot(x)dx. Por defini¸c˜ao temos Z tan(x)dx = Z sin(x) cos(x)dx e Z cot(x)dx = Z _cos(x) sin(x)dx

(24)

No caso do primeiro integral, fa¸ca-se u = cos(x). Vem du = − sin(x)dx e assim obtemos Z

tan(x)dx = − Z _du

u = − ln | cos(x) | +C No caso do segundo integral, seja v = sin(x). Como dv = cos(x)dx, vem

Z

cot(x)dx = Z _dv

v = ln | sin(x) | +C No que se segue, m representa, como é usual, um número natural. C.1. Integrais de fun¸cões envolvendo tanm(x) ou cotm(x)

Nestes casos, deveremos usar as seguintes igualdades: 1 + tan2(x) = sec2(x) ou

1 + cot2(x) = csc2(x)

Exemplo 1.4.5 Deseja-se calcular Z

Exerc´ıcio 1.4.6 Calcule Z

cot5(x)dx.

C.2. Integrais de fun¸c˜oes envolvendo secm(x) ou cscm(x) H´a dois casos a considerar:

1. Se m ´e impar, seguir os seguintes passos:

(25)

(b) Integrar por partes e usar as rela¸c˜oes

tan2(x) = sec2(x) − 1 ou

cot2(x) = csc2(x) − 1 2. Se m ´e par, fazer os seguinte:

(a) Pˆor em evidˆencia sec2_{(x) ou csc}2_{(x), conforme os casos.}

(b) Escrever os integrais em termos de tan(x) usando 1 + tan2(x) = sec2(x) ou

1 + cot2(x) = csc2(x) Exemplo 1.4.7 1. Queremos calcular

Z

sec3(x)dx

Neste caso m = 3 é ´ımpar. Devemos come¸car por pôr em evidência sec2(x): Z

sec3(x)dx = Z

sec(x) sec2(x)dx

Depois faz-se a integra¸cão por partes. Seja então f0(x) = sec2(x) e g(x) = sec(x). Então f (x) = tan(x) e g0(x) = sec(x) tan(x). Assim,

Z sec3(x)dx = Z sec(x) sec2(x)dx = sec(x) tan(x) − Z sec(x) tan2(x)dx = sec(x) tan(x) − Z sec(x) sec2(x) − 1 dx = sec(x) tan(x) − Z sec3(x)dx + Z sec(x)dx

Como em cada membro da igualdade aparece a mesma fun¸c˜ao Z

sec3(x)dx, con-clu´ımos que

2 Z

sec3(x)dx = sec(x) tan(x) + ln(| sec(x) + tan(x) |) + C1

Logo Z sec3(x)dx = 1 2sec(x) tan(x) + 1 2ln(| sec(x) + tan(x) |) + C

(26)

2. Deseja-se calcular

Z

sec4(x)dx Argumentos similares aos anteriores conduzem-nos a

Z sec4(x)dx = Z 1 + tan2(x) sec2(x)dx = Z sec2(x)dx + Z

sec2(x) tan2(x)dx = tan(x) +tan

3_(x)

3 + C. C.3. Integrais de fun¸c˜oes envolvendo tann(x) secm(x) ou cotn(x)cscm(x)

H´a dois casos a considerar:

1. Se n ´e par, considerar n = 2k. Usando

cot2(x) = csc2(x) − 1 vem, conforme os casos,

Z tann(x) secm(x)dx = Z sec2(x) − 1ksecm(x)dx ou Z cotn(x) cscm(x)dx = Z csc2(x) − 1k cscm(x)dx Desenvolvendo o bin´omio obtemos integrais como em C.2.

2. Se n ´e ´ımpar, n = 2k + 1, fazer o seguinte:

(a) transformar o produto de forma a obter sec(x) tan(x) ou csc(x) cot(x) (b) Usar as rela¸c˜oes

cot2(x) = csc2(x) − 1

Exemplo 1.4.8 1. Considere-se Z

tan4(x) secm(x)dx, onde m ´e qualquer natural. Ent˜ao: Z tan4(x) secm(x)dx = Z sec2(x) − 12secm(x)dx = Z

sec4(x) − 2sec2(x) + 1 secm_(x)dx

= Z secm+4(x)dx − 2 Z secm+2(x)dx + Z secm(x)dx Cada um destes 3 integrais pode ser calculado como indicado em C.2.

(27)

2. Seja m um qualquer natural maior que 1. Queremos calcular Z tan5(x) secm(x)dx. Z tan5(x) secm(x)dx = Z

tan(x) sec(x) tan4(x) secm−1(x)dx =

Z

tan(x) sec(x) sec2(x) − 12

secm−1(x)dx =

Z

tan(x) sec(x) sec4(x) − 2 sec2(x) + 1 secm−1_(x)dx

= Z

tan(x) sec(x) secm+3−2 secm+1(x) + secm−1(x) dx = Z g0(x)gm+3(x)dx − 2 Z g0(x)gm+1(x)dx + Z g0(x)gm−1(x)dx onde g(x) = sec(x).

Exerc´ıcio 1.4.9 Calcule Z

tan5(x) sec(x)dx.

Integrais de Fun¸c˜oes Racionais

Uma fun¸cão F definida como o quociente de duas fun¸cões polimoniais designa-se por fun¸cão racional. Quando se escreve R(y, z) estamos a referir-nos a uma fun¸cão racional nas variáveis y e z, ou seja, R(y, z) representa uma fraçcão onde o numerador e o denominador são fun¸cões polinomiais nas variáveis y e z.

De seguida, iremos desenvolver várias técnicas de integra¸cão deste tipo de fun¸cões.

D. Integrais de fun¸c˜oes R(x, x) = p(x)

q(x), onde p e q são fun¸cões polinomiais. Iniciamos este estudo considerando as mais simples fun¸cões deste tipo.

1. Z A x − adx, onde A e a s˜ao constantes. Z _A x − adx = A ln | x − a | +C (4.1) 2. Z _A (x − a)ndx. Sendo u = (x − a) vem Z A (x − a)ndx = Z A undu = A u1−n 1 − n+ C = − A n − 1 1 (x − a)n−1 + C (4.2) 3. Z _{M x + N}

(28)

dz = dx

b . Esta mudan¸ca de vari´avel permite-nos calcular o integral da seguinte forma: Z _{M x + N} (x − a)2_{+ b}2dx = b Z _{M bz + M a + N} b2_(z2_{+ 1)} dz = M Z z z2_{+ 1}dz + M a + N b Z dz z2_{+ 1} = M 2 ln | z 2_{+ 1 | +}M a + N b arctan(z) + C = M 2 ln x − a b 2 + 1 +M a + N b arctan x − a b + C

Observe-se que se b = 0, ent˜ao temos Z

M x + N

(x − a)2dx. Este integral é de cálculo fácil:

Z _{M x + N} (x − a)2dx = Z _{M (x − a) + M a} (x − a)2 dx + Z _N (x − a)2dx = M 2 Z 2(x − a) (x − a)2dx + M a Z 1 (x − a)2dx + N Z 1 (x − a)2dx = M 2 ln | (x − a) 2 _{| −}M a + N x − a + C (4.3)

Estes 3 integrais, calculados em 1, 2, e 3, ser˜ao essenciais no que se segue. Consideremos agora o integral

Z p(x) q(x)dx onde p e q s˜ao duas fun¸c˜oes polinomiais.

Se o grau de p for superior ao grau de q, come¸camos por fazer a divis˜ao polinomial: p(x)

q(x) = d(x) + r(x) q(x)

Aqui r é o resto da divisão e d é o quociente. As fun¸cões d e r são ambas fun¸cões polinomiais e o grau de r é menor do que o grau de q.

O c´alculo do integral inicial transforma-se assim no c´alculo de dois integrais, Z d(x)dx e Z _r(x) q(x)dx. O primeiro integral Z

d(x)dx facilmente se calcula, uma vez que d ´e uma fun¸c˜ao polinomial.

O problema que se nos depara é agora o do cálculo de integrais de fun¸cões racionais tais que o grau da fun¸cão em numerador é necessáriamente menor do que o grau da fun¸cão em denominador.

Vejamos como agir nesta situa¸c˜ao.

1. Come¸ca-se por calcular todos os zeros reais e complexos de q(x).

Seja a0 o coeficiente da maior potência de x na expressão da fun¸cão polinomial q(x)

(29)

(a) l zeros reais diferentes a1, . . . , al de multiplicidade respectivamente s1, . . . , sl,

(b) 2µ raizes complexas α1 ± β1i, . . . , αµ± βµi de multiplicidade respectivamente

λ1, . . . , λµ.

Podemos ent˜ao escrever q(x) da seguinte forma: q(x) = a0(x − a1)s1 · . . . · (x − al)sl(x − α1)2+ β21

λ1

· . . . ·(x − α_µ)2+ β2_µλµ 2. Calcular constantes Ai,j, com i = 1, . . . , l e j = 1, . . . , si, Mν,k e Nν,k com ν = 1, . . . , µ

e k = 1, . . . , λν pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados tal que r(x) q(x) = A1,1 (x−a1) + A1,2 (x−a1)2 + . . . + A_1,s1 (x−a1)s1 ←− s1 elementos + A2,1 (x−a2) + A2,2 (x−a2)2 + . . . + A_2,s2 (x−a2)s2 ←− s2 elementos + . . . . + Al,1 (x−al)+ Al,2 (x−al)2 + . . . + A_l,sl (x−al)sl ←− sl elementos + M1,1x+N1,1 [(x−α1)2+β21] + M1,2x+N1,2 [(x−α1)2+β21] 2 + . . . + M_1,λ1x+N_1,λ1 [(x−α1)2+β12] λ1 ←− λ1 elementos + M2,1x+N2,1 [(x−α2)2+β22] + M2,2x+N2,2 [(x−α2)2+β22] 2 + . . . + M_2,λ2x+N_2,λ2 [(x−α2)2+β₂2]λ2 ←− λ2 elementos + . . . . + Mµ,1x+Nµ,1 [(x−αµ)2+β2µ] + Mµ,2x+Nµ,2 [(x−αµ)2+β2µ] 2 + . . . + M_µ,λµx+N_µ,λµ [(x−αµ)2+βµ2] λµ ←− λµ elementos

A veracidade desta igualdade pode ser obviamente confirmada efectuando os c´alculos do segundo membro.

O c´alculo de Z

r(x)

q(x)dx fica assim reduzido ao c´alculo de s1+s2+. . .+sl+λ1+λ2+. . .+λµ integrais, cada um dos quais est´a num dos casos D1, D2, ou D3.

Exemplo 1.4.10 Iremos agora ver alguns exemplos que ilustram a decomposi¸cão em fraçcões simples anterior.

1. Considere-se a fun¸c˜ao:

f (x) = x

5_{− x}4_{+ x}2_{− x + 1}

x3_{− x}

Como o grau do numerador é 5 e do denominador é 3, come¸camos por fazer a divisão polinomial: x5 −x4 _+0x3 _+x2 _{−x +1 | x}3 _−x −x5 _+x3 _x2 _{−x +1} −x4 _+x3 _+x2 _{−x +1} x4 −x2 +x3 −x +1 −x3 _+x +1

(30)

Deduzimos que

x5− x4_{+ x}2_{− x + 1}

x3_{− x} = x

2_{− x + 1 +} 1

x3_{− x}

A decomposi¸c˜ao de q(x) = x3− x em factores simples ´e: q(x) = x(x − 1)(x + 1)

ou seja, q tem 3 ra´ızes reais e diferentes, 0, 1 e −1. Temos agora que calcular constantes A, B e C tal que

1 x3_{− x} = A x + B x − 1+ C x + 1

Escrevendo o segundo membro como uma única fraçcão com o mesmo denominador vem:

1 x3_{− x} =

Ax2− A + Bx2_{+ Bx + Cx}2_{− Cx}

x3_{− x}

Temos agora uma igualdade de duas fraçcões cujo denominador é igual. Elas são iguais se os numeradores forem também iguais. Ambos os numeradores são fun¸cões polinomiais. Logo são iguais se os coeficientes das mesmas potências de x forem iguais. Obtemos    A + B + C = 0 B − C = 0 −A = 1

Resolvendo o sistema vem

A = −1 B = 1 2 C =

1 2 Conclu´ımos assim que

1 x3_{− x} = − 1 x + 1 2(x − 1) + 1 2(x + 1)

Antes de passarmos aos respectivos integrais vale a pena considerar outra vez 1 x3_{− x} = A x + B x − 1+ C x + 1 (4.4)

Pretendemos determinar as constantes A, B e C tais que a igualdade (4.4) ´e ver-dadeira para todo o x diferente de 0, 1 e −1. Observe-se que se multiplicarmos ambos os membros desta igualdade por x vem

1 x2_{− 1} = A + Bx x − 1+ Cx x + 1

Esta igualdade, sendo equivalente à anterior, é verdadeira para todo o x diferente de 0, −1 e 1. Calculando o limite quando x tende para 0 de cada um dos membros da igualdade verifica-se que ela é ainda verdadeira para x = 0. Então,

1 x2_{− 1} x=0 = A + Bx x − 1 x=0 + Cx x + 1 x=0

(31)

ou seja

A = −1

Obtemos de imediato o valor de A. De forma an´aloga podemos determinar B e C. Multiplicando ambos os membros de (4.4) por x − 1 vem

1 x2_{+ x} = A(x − 1) x + B + C(x − 1) x + 1 Para x = 1 vem, 1 x2_{+ x} x=1 = A(x − 1) x x=1 +B + C(x − 1) x + 1 x=1 ou seja, 1 2 = B.

Se multiplicarmos agora ambos os membros de (4.4) por x + 1 vem 1 x2_{− x} = A(x + 1) x + B(x + 1) x − 1 + C e para x = −1 obtemos 1 x2_{− x} x=−1 = A(x + 1) x x=−1 +B(x + 1) x − 1 x=−1 +C donde 1 2 = C

Para determinar cada um destes coeficientes não é necessário efectuar tantos cálculos. Analisando o que fizemos depressa conclu´ımos que cada um dos coeficientes A, B ou C é igual ao valor da fun¸cão F (x) no ponto a, onde a é a raiz do denominador associada ao coeficiente que queremos calcular e F é a fraçcão que se obtém após a simplifica¸cão da fraçcão x − a

x3_{− x}.

Um pouco de reflexão sobre a técnica usada, leva-nos a concluir que este método permite calcular coeficientes associados a ra´ızes de multiplicidade 1.

Passemos ao c´alculo do integral Z x5− x4_{+ x}2_{− x + 1} x3_{− x} dx Assim Z _x5_{− x}4_{+ x}2_{− x + 1} x3_{− x} dx = Z (x2− x + 1)dx + Z ₁ x3_{− x}dx = Z x2dx − Z xdx + Z dx − Z _dx x + Z _dx 2(x − 1)+ Z _dx 2(x + 1) = x 3 3 dx − x2 2 + x − ln | x | +1 2ln | x − 1 | + 1 2ln | x + 1 | +C

(32)

2. Consideremos o integral

Z _{2x − 1}

x(x2_{− 2x + 1)}dx. Neste caso não é necessária a divisão

polinomial, pois o grau do polinómio do numerador já é menor do que o do denom-inador. A decomposi¸cão do denominador é simples uma vez que x(x2− 2x + 1) = x(x − 1)2. Este tem uma raiz real 1 de multiplicidade 2 e uma raiz simples 0. Há três constantes a determinar. 2x − 1 x(x − 1)2 = A x + B (x − 1)2 + C x − 1 (4.5)

Como vimos no exemplo anterior, determina-se A da seguinte forma: 2x − 1 (x − 1)2 x=0 = A ⇓ −1 = A

O mesmo m´etodo pode ser utilizado no c´alculo de B. Realmente, multiplicando ambos os membros de (4.5) por (x − 1)2 tem-se

2x − 1 x = A(x − 1)2 x + B + C(x − 1) Quando x = 1, vem 1 = B Ou seja, B ´e igual ao valor que 2x − 1

x toma quando x = 1. Desta análise, é também claro que C não poderá ser calculado desta forma (porquê?). A alternativa parece ser o método dos coeficientes indeterminados que conduz a um sistema de três equa¸cões a três incógnitas, A, B e C, duas das quais já conhecemos. Tal seria fastidioso. Como conhecemos já quais os valores de A e B podemos escrever:

2x − 1 x(x − 1)2 = − 1 x + 1 (x − 1)2 + C x − 1

Esta última igualdade é verdadeira para todo o x diferente de 0 e 1. Em particular, é verdadeira para x = 1/2. Neste caso temos

0 = −2 + 4 − 2C donde

C = 1

Est˜ao agora calculados os 3 coeficientes. Avancemos com o c´alculo do integral. Z 2x − 1 x(x2_{− 2x + 1)} = − Z dx x + Z dx (x − 1)2 + Z dx x − 1 = − ln | x | − 1 x − 1+ ln | x − 1 | +C

(33)

3. Considere-se agora o integral Z

x3− 1

x2_{[(x − 1)}2_{+ 1]}dx

Como o grau do numerador é 3, não se faz a divisão polinomial. O denominador é de grau 4 e está já factorizado. Tem uma raiz real 0 de multiplicidade 2 e duas ra´ızes complexas conjugadas 1 + i e 1 − i. A decomposi¸cão da fun¸cão racional a integrar em fraçcões simples é:

x3− 1 x2_{[(x − 1)}2_{+ 1]} = M x + N (x − 1)2_{+ 1}+ B x2 + C x (4.6)

O cálculo do coeficiente B é imediato e é: B = x 3_{− 1} (x − 1)2_{+ 1} x=0 = −1 2

A dificuldade reside agora no cálculo de M , N e C. Observe-se que multiplicando ambos os membros de (4.6) por (x − 1)2 + 1 e substituindo x por 2 + i ou 2 − i, introduz números complexos, o que queremos evitar. Afinal de contas, queremos determinar estes coeficientes com o m´ınimo de trabalho. Como já conhecemos B, uma forma de calcular estes coeficientes é atribuir valores a x em (4.6). Sempre que tal fizermos vamos obter uma equa¸cão com 3 incógnitas, M , N e C. Precisamos então de três valores distintos de x para obter um sistema. A quantidade de trabalho que esta opera¸cão requer é praticamente equivalente à do método dos coeficientes indeterminados. Optamos por este último. Este método dá origem ao sistema:

       M + C = 1 N + B − 2C = 0 −2B + 2C = 0 2B = −1

Confirma-se mais uma vez que B = −1

2 e obtemos C = B = N e M = 3 2. Voltemos ao integral. Temos

Z x3− 1 x2_{[(x − 1)}2_{+ 1]}dx = 1 2 Z 3x − 1 (x − 1)2_{+ 1}dx − 1 2 Z dx x2 − 1 2 Z dx x = 1 2 Z 3(x − 1) + 2 (x − 1)2_{+ 1}dx + 1 2x− 1 2ln | x | = 3 4 Z du u + 1 | {z } u=(x−1)2 + Z dv v2_{+ 1} | {z } v=x−1 + 1 2x− 1 2ln | x | = 3 4ln | (x − 1) 2_{+ 1 | + arctan(x − 1) +} 1 2x− 1 2ln | x |

(34)

E. Integrais de fun¸c˜oes R(x,√a2_{− b}2_x2_).

A simbologia usada atr´as merece alguns coment´ario. Escreve-se R(x,pa2_{− b}2_x2₎

quando estamos a referir-nos a uma fraçcão de fun¸cões polinomiais nas variáveis y = x e z =√a2_{− b}2_x2 _{para a e b fixos. Sup˜}_{oe-se que b 6= 0.}

Neste tipo de fun¸cões uma das duas mudan¸cas de variável seguintes poderá ser útil: x = a bsin(t) ou x = a bcos(t) Exemplo 1.4.11 Considere-se Z _dx √

1 − x2. Neste caso a = b = 1. Seja

x = sin(t) =⇒ t = arcsin(x) Como dx = cos(t)dt, vem

Z _dx √ 1 − x2 = Z _cos(t)dt p 1 − sin2(t) = Z cos(t) cos(t)dt = Z dt = t + C = arcsin(x) + C F. Integrais de fun¸c˜oes R(x,√a2_{+ b}2_x2_).

As mudan¸cas de vari´avel sugeridas s˜ao agora x = a

btan(t) ou

x = a bcot(t) Exemplo 1.4.12 Pretende-se calcular

Z _dx √

1 + x2

Como a = b = 1, seja x = tan(t). Ent˜ao Z dx √ 1 + x2 = Z sec2(t) p 1 + tan2(t)dt = Z

sec(t)dt = ln | sec(t) + tan(t) | +C

Como t = arctan(x), temos tan(t) = x e sec(t) = p1 + tan2(t) = √1 + x2_{. Podemos}

ent˜ao concluir que

Z _dx √

1 + x2 = ln | x +

p

(35)

G. Integrais de fun¸c˜oes R(x,√b2_x2_{− a}2_).

Neste caso as mudan¸cas de vari´avel s˜ao

x = a b sec(t) ou

x = a b csc(t) Exemplo 1.4.13 Seja I(x) =

Z

dx √

x2_{− 1}. Considere-se x = sec(t). Ent˜ao

cos(t) = 1 x t = arccos 1 x e sin(t) = s 1 − 1 x 2

Al´em disso, dx = tan(t) sec(t)dt. Obtemos assim I(x) = Z tan(t) sec(t)dt psec2_{(t) − 1} = Z sec(t)dt = ln | sec(t) + tan(t) | +C = ln | x +px2_{− 1 | +C}

H. Integrais de fun¸c˜oes R(x,√ax2_{+ bx + c) com a 6= 0.}

No cálculo de integrais de fun¸cões deste tipo a ideia é sempre a de completar um quadrado na expressão ax2+ bx + c. Eis alguns exemplos que ilustram a utilidade deste processo. Exemplo 1.4.14 Nos três casos seguintes, indica-se só o processo de integra¸cão. O aluno deverá terminar todos os cálculos.

1. Seja I(x) = Z

p

x2_{− 2x − 1 dx. Como x}2_{−2x−1 = x}2_{−2x+1−1−1 = (x−1)}2_−2,

fazendo u = x − 1 (donde du = dx) obtemos o integral em u Z

p

u2_{− 2 du}

integral esse do tipo G. 2. Seja I(x) =

Z _dx

√

x2_{− x − 2}. Neste caso vem

I(x) = Z _dx q x −1₂2 − 3 2 2 Fazendo u = x −1

(36)

3. Por ´ultimo seja I(x) =

Z _x

√

x2_{+ x − 2}dx. Neste caso, note-se que tudo seria mais

simples se no numerador estivesse a derivada da fun¸cão x2+x−2 que aparece debaixo do sinal de raiz. Não está lá, mas podemos faze-la aparecer multiplicando e dividindo tudo por 2 e depois somando e subtraindo 1. Assim

I(x) = 1 2 Z _{2x + 1 − 1} √ x2_{+ x − 2}dx = 1 2 Z 2x + 1 √ x2_{+ x − 2}dx − 1 2 Z dx √ x2_{+ x − 2}

Temos assim que calcular dois integrais. O primeiro ´e imediato considerando z = x2_{+ x − 2. Para o segundo deve-se completar o quadrado tal como no exemplo 2.}

I. Integrais de fun¸c˜oes R(sin(x), cos(x))

Consideramos agora fun¸c˜oes racionais em que no denominador e no numerador aparecem termos expressos em cos(x) e/ou sin(x).

Em geral, a mudan¸ca de vari´avel

t = tan x

2

permite transformar os integrais noutros já tratados. Casos há, contudo, em que outras mudan¸cas de variável são de tratamento mais simples. Temos três casos a considerar. I.1. Fun¸cão que satisfaz a R(− sin(x), cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)).

Uma fun¸cão nestas condi¸cões é, por exemplo, f (x) = tan(x) sec(x). Note-se que tan(x) = sin(x)

cos(x) e sec(x) = 1

cos(x). Se em vez de sin(x) tivermos − sin(x), ent˜ao − sin(x)

cos2_(x) = −

sin(x)

cos2_(x) = − tan(x) sec(x) = −f (x).

No caso de fun¸cões racionais com esta propriedade é prefer´ıvel, na maior parte dos casos, considerar a mudan¸ca de variável

t = cos(x)

Exemplo 1.4.15 Seja I(x) = Z

cos(x) + 1

sin(x)(cos(x) − 1)dx. Ora esta ´e uma fun¸c˜ao racional com a propriedade acima indicada. Sendo t = cos(x), vem dt = − sin(x)dx, sin(x) = √ 1 − t2_{. Logo} Z _{cos(x) + 1} sin(x)(cos(x) − 1)dx = − Z _{t + 1} (1 − t2_{)(t − 1)}dt = Z t + 1 (1 − t)(1 + t)(1 − t)dt = Z dt (1 − t)2

Obtivemos um integral que, na variável t é de cálculo imediato. Fica a cargo do aluno a finaliza¸cão dos cálculo. Não esquecer que a solu¸cão final deve estar expressa em x.

(37)

I.2. Fun¸cão que satisfaz a R(sin(x), − cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)). Para fun¸cões com esta propriedade a mudan¸ca de variável deve ser

t = sin(x) Exerc´ıcio 1.4.16 Calcule

Z _{cos(x) sin}3_(x) sin(x) − 3 dx.

I.3. Fun¸cão que satisfaz a R(− sin(x), − cos(x)) = R(sin(x), cos(x)). A mudan¸ca de variável é agora

t = tan(x) Exerc´ıcio 1.4.17 Calcule

Z _{1 + 2 cos(x)} sin(x)(3 − cos(x))dx.

J. Integrais de fun¸c˜oes da forma R(x, xp1q1_{, x}p2q2_{, . . .) onde p}_i _{e q}_i _s˜_{ao n´}_{umeros inteiros}

n˜ao nulos.

R(x, xp1q1_{, x}p2q2_{, . . .) s˜}_{ao fun¸}_c˜_{oes racionais onde aparecem termos em x com potˆ}_{encias racionais.}

Estas fun¸cões são muitas vezes designadas por fun¸cões irracionais. Mudan¸ca de Variável:

x = tk onde k = m.m.c.{q1, q2, . . .}

Exemplo 1.4.18 Seja I(x) = Z x1/3 x1/4_{+ x}1/2dx. Como = m.m.c.{2, 3, 4} = 12, considere-se x = t12. Ent˜ao dx = 12t11dt. Logo I(x) = 12 Z t15 t3_{+ t}6dt

O aluno deve agora concluir os c´alculos.

K. Integrais de fun¸cões da forma R   x, ax + b cx + d p1 q1 _, ax + b cx + d p2 q2 _{, . . .}    onde pi e qi são números inteiros não nulos.

Mudan¸ca de Vari´avel: ax + b cx + d = t k _{onde k = m.m.c.{q} 1, q2, . . .} L. Integrais da forma Z xm(a + bxn) p

q _{dx onde m e n s˜}_{ao racionais e p e q s˜}_{ao inteiros}

n˜ao nulos. Se p

(38)

Se p

q não é inteiro, considera-se dois casos: a) Se m + 1 n é inteiro, considerar a + bx n_{= t}q_; b) Se m + 1 n + p q é inteiro, considerar a + bx n_{= x}n_tq_;

(39)

Integral Definido

No cap´ıtulo anterior, vimos como podemos determinar todas as fun¸cões com uma mesma derivada. Essa opera¸cão designa-se por integra¸cão. Estudámos já diversas técnicas que nos permitem integrar uma dada fun¸cão.

A deriva¸cão não é só uma coleçcão de regras que permite associar uma fun¸cão com uma outra; a derivada num ponto tem um significado geométrico do maior interesse. Se a derivada tem esse significado, será l´ıcito esperar que o integral ou primitiva de uma fun¸cão, sendo a opera¸cão inversa da deriva¸cão a menos de uma constante, também possa ter significado geométrico. E é realmente esse o caso. Tal interpreta¸cão geométrica será estudada neste cap´ıtulo.

2.1 Defini¸

c˜

ao

O cálculo da área de uma determinada região é um dos problemas importantes com que nos deparamos na vida. Suponhamos que queremos um or¸camento para empedrar o acesso a uma garagem e que somos informados do pre¸co da mão de obra ser de 50 euros o metro quadrado. A nossa primeira preocupa¸cão será a de estimar a área da superf´ıcie a cobrir. Se essa superf´ıcie ´

e poligonal, então não teremos problemas em determinar essa área: sabemos determinar áreas de quadrados, rectângulos, triângulos e até de circunferências. O problema surge quando não é poss´ıvel dividir a região considerada em subregiões poligonais. No que se segue iremos ver como calcular áreas de superf´ıcies planas mais gerais.

Consideremos

f : [a, b] −→ R

uma fun¸c˜ao limitada e n˜ao negativa (ou seja, f (x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a, b]). Consideremos o seguinte conjunto

Ω = {(x, y) ∈ R2: x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}

Ω é o conjunto de pontos do plano limitado simultaneamente pela rectas verticais de equa¸cões x = a e x = b, pelo eixo dos x0s e pelo gráfico de f .

(40)

A primeira questão que se põe é logo a seguinte: será que é poss´ıvel atribuir um valor numérico `

a ´area da regi˜ao Ω?

A área de Ω, se existir, deverá ser um número real não negativo. A questão é saber se existe e, nesse caso, como a calcular. Suponhamos, numa primeira abordagem, que existe um real não negativo A, que podemos associar à área de Ω.

Se não sabemos calcular essa área com precisão podemos, pelo menos, tentar determinar um valor aproximado dessa área. Como a fun¸cão f é limitada, tem supremo e ´ınfimo:

M = sup{f (x): x ∈ [a, b]} e

m = inf{f (x): x ∈ [a, b]}

A área de Ω será um número real que vamos designar doravante por área(Ω). Sabemos que m · (b − a) ≤ área(Ω) ≤ M · (b − a).

Temos dois valores ”aproximados” de área(Ω). Infelizmente qualquer um destes valores poderá ser uma ”aproxima¸cão” muito pobre do valor da área. Por exemplo, se [a, b] = [0, 1] e f (x) = 10x, Ω é um triângulo de área 5. O supremo desta fun¸cão é M = 10 e o ´ınfimo é m = 0. As áreas dos rectângulos de base 1 e alturas respectivamente 0 e 10, m · (1 − 0) = 0 e 10 · (1 − 0) = 10, são aproxima¸cões, no m´ınimo, muito pobres da área do triângulo. Contudo, se a diferen¸ca entre o supremo e o ´ınfimo de uma fun¸cão, limitada e definida num intervalo limitado, for pequena, então faz sentido aproximar a área de Ω pelas áreas dos rectângulos tal como feito em cima. Esta simples observa¸cão dá origem a um processo de cálculo de áreas que passamos a descrever. Consideramos pontos x0, x1, x2, . . . , xn tais que 1. x0 = a 2. xn= b 3. xi < xi+1 para i = 0, . . . , n − 1

(41)

O conjunto de pontos P = {x0, x1, x2, . . . , xn} do intervalo [a, b] que satisfazem as condi¸c˜oes

1-3 designa-se por Parti¸c˜ao do intervalo [a, b]. A parti¸c˜ao P divide o intervalo [a, b] em n subintervalos

[xi, xi+1)

de amplitude ∆xi = xi+1− xi. Estes subintervalos dividem a ´area de Ω em subregi˜oes que

designamos por Ωi. ´ E evidente que ´ area(Ω) = n−1 X i=0 ´ area(Ωi) (1.1)

Para cada i = {0, . . . , n − 1} defina-se

Mi = sup{f (x): x ∈ [xi, xi+1)}

mi = inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)}

Considere-se os rectˆangulos ri e Ri de base ∆xi e altura, respectivamente mi e Mi, tal como

(42)

Ent˜ao

´

area(ri) ≤ ´area(Ωi) ≤ ´area(Ri) (1.2)

Defina-se,

If(P ) = n−1

X

i=0

mi∆xi ← soma inferior de f relativamente `a parti¸c˜ao P

Sf(P ) = n−1

X

i=0

Mi∆xi ← soma superior de f relativamente `a parti¸c˜ao P

De (1.1) e (1.2) deduz-se que

If(P ) ≤ ´area(Ω) ≤ Sf(P ) (1.3)

Lembremos que a parti¸cão P é formada por n + 1 pontos. A partir dessa sucessão vamos agora definir uma nova parti¸cão Q acrescentando pontos a P . (Uma forma poss´ıvel, mas não única, de o fazer, é considerar como elementos da parti¸cão Q todos os pontos da parti¸cão P mais os pontos médios dos subintervalos definidos por P .)

Diz-se ent˜ao que a nova parti¸c˜ao Q de [a, b] satisfaz P ⊂ Q

ou seja, todos os pontos da parti¸cão P são pontos da parti¸cão Q e Q tem mais pontos do que P .

Facilmente se verifica que

If(P ) ≤ If(Q) ≤ ´area(Ω) ≤ Sf(Q) ≤ Sf(P ) (1.4)

Quer isto dizer que quando se acrescenta pontos a uma parti¸c˜ao, a soma inferior If gerada pela

nova parti¸cão não diminui (aumenta ou fica igual à anterior) e a soma superior Sf não aumenta

(diminui ou fica igual à anterior). Note-se que qualquer que seja a parti¸cão Q, If(Q) é um

número sempre menor que área(Ω) e, por outro lado, Sf(Q) é sempre maior que área(Ω).

Consideremos o conjunto

{I_f(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]}

formado pelas somas inferiores geradas por todas as parti¸cões poss´ıveis do intervalo [a, b]. Como qualquer uma destas somas inferiores é sempre menor que área(Ω), concluimos que tal conjunto ´

e limitado superiormente. Os mesmos argumentos permitem deduzir que o conjunto {Sf(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]}

´

(43)

Defina-se

Z b

a

f (x)dx = sup{If(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]}

Z b

a

f (x)dx = inf{Sf(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]}

Z b

a

f (x)dx, designa-se por integral inferior e Z b

a

f (x)dx por integral superior. As conside-ra¸c˜oes anteriores permitem-nos concluir que:

Z b a f (x)dx ≤ ´area(Ω) ≤ Z b a f (x)dx e, sendo P uma parti¸c˜ao qualquer do intervalo [a, b],

If(P ) ≤ Z b a f (x)dx ≤ ´area(Ω) ≤ Z b a f (x)dx ≤ Sf(P ) Quando Z b a f (x)dx = Z b a

f (x)dx = A, a fun¸cão f diz-se integrável em [a, b]. Neste caso, podemos associar a área(Ω) um valor real não negativo, a saber, A.

(44)

Problema

Dada uma fun¸cão f : [a, b] → R, limitada e não negativa, pretende-se calcular área(Ω) onde Ω = {(x, y) ∈ R2: x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}

Processo:

Parti¸c˜ao qualquer de [a, b] P = {x0= a, x1, . . . , xn= b}

   y

[xi, xi+1) com ∆xi = xi+1− xi

. &

mi = inf{f (x) : x ∈ [xi, xi+1)} Mi= sup{f (x) : x ∈ [xi, xi+1)}

   y    y If(P ) = n−1 X i=0 mi∆xi Sf(P ) = n−1 X i=0 Mi∆xi    y    y Z b a f (x)dx = sup{If(P ) : P } Z b a f (x)dx = inf{Sf(P ) : P } se iguais | {z }

f é integrável em [a, b] e área(Ω) = Z b a f (x)dx = Z b a f (x)dx

(45)

Toda esta abordagem foi feita para fun¸cões não negativas. Suponhamos agora que exigimos apenas que a fun¸cão f : [a, b] → R seja limitada.

Para esta fun¸c˜ao vamos ent˜ao repetir toda a abordagem feita anteriormente. Podemos definir exactamente da mesma maneira as somas inferiores e superiores. Em particular, a soma superior ´

e sempre maior que a soma inferior gerada pela mesma parti¸cão. Se P é uma parti¸cão qualquer de [a, b] e Q uma outra parti¸cão do mesmo intervalo tal que P ⊂ Q, verifica-se que

If(P ) ≤ If(Q) ≤ Sf(Q) ≤ Sf(P )

Assim, qualquer elemento do conjunto

{I_f(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]} ´

e sempre menor ou igual a um qualquer elemento do conjunto {S_f(P ): P parti¸c˜ao de [a, b]} Logo Z b a f (x)dx ≤ Z b a f (x)dx

De notar que, neste caso, o conceito de área não intervém em qualquer um dos passos do processo. Contudo, à semelhan¸ca do que foi feito para fun¸cões não negativas, dizemos que uma fun¸cão qualquer f : [a, b] → R limitada é integrável no intervalo [a, b] se

Z b a f (x)dx = Z b a f (x)dx

Observe-se que nem todas as fun¸cões limitadas são integráveis. Considere-se, por exemplo, a fun¸cão

f (x) = (

1 se x ∈ Q ∩ [0, 1] 0 se x ∈ (R\Q) ∩ [0, 1]

Se tra¸carmos o gr´afico de f , temos, de imediato, muita dificuldade em atribuir um valor a Ω = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ f (x)}

(46)

Quer isto dizer que uma simples observa¸cão geométrica não nos permite inferir da integrabilidade de f . Contudo se f for integrável, então o valor de área(Ω) está bem definido.

Seja P uma parti¸c˜ao qualquer do intervalo [0, 1]. Em qualquer subintervalo [xi, xi+1) existe

sempre um racional e um irracional. Logo

sup{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} = 1 inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} = 0 Assim If(P ) = 0 e Sf(P ) = n−1 X i=0

1.(xi+1−xi) = 1. Como P ´e uma qualquer parti¸c˜ao do intervalo,

concluimos que f não é integrável. Resumindo:

Defini¸c˜ao 2.1.1 (Integral de Riemann) Uma fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R diz-se integr´ a-vel em [a, b] se Z b a f (x)dx = Z b a f (x)dx

Neste caso, o valor comum destas express˜oes designa-se por integral definido de f entre a e b e escreve-se

Z b

a

f (x)dx Se f é uma fun¸cão não negativa, então

´ area(Ω) = Z b a f (x)dx A vari´avel x em Z b a f (x)dx ´e ”muda”, ou seja, Z b a f (x)dx ou Z b a

f (u)du representa exactamente o mesmo valor.

Observa¸cão 2.1.2 Existe uma outra defini¸cão de fun¸cão integrável entre a e b, quando f é limitada em [a, b], e que é equivalente a esta. Apresentamos tal defini¸cão aqui, pois a sua utiliza¸cão pode simplificar outros resultados de interesse que possamos introduzir mais tarde. Seja então f uma fun¸cão limitada em [a, b] e seja P uma qualquer parti¸cão de [a, b]. Define-se amplitude da parti¸cão P como sendo a maior das amplitudes ∆xi dos subintervalos definidos

por P . Em cada subintervalo [xi, xi+1), considere-se um qualquer elemento yi (yi ∈ [xi, xi+1)).

Para cada parti¸c˜ao de [a, b], considere-se

n−1

X

i=0

f (yi)∆xi. Este processo ´e ilustrado na seguinte

(47)

Se, quando a amplitude max ∆xi das parti¸c˜oes de [a, b] tender para zero, as somas respectivas n−1

X

i=0

f (yi)∆xi se aproximarem de um n´umero I, independentemente do n´umero yi escolhido,

ent˜ao f diz-se integr´avel em [a, b] e I diz-se o integral definido de f entre a e b, escrevendo-se I =

Z b

a

f (x)dx. Fica a cargo do aluno verificar que se f é não negativa e limitada, então I definido desta forma é igual a área(Ω).

Exemplo 2.1.3 1. Seja f uma fun¸c˜ao definida em [0, 1] tal que f (x) = α para todo o x. Seja P uma qualquer parti¸c˜ao de [0, 1] com n + 1 pontos x0, x1, . . . , xn onde x0 = 0 e

xn= 1. Observe-se que para todo o i = 0, . . . , n

α = inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} e α = sup{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} Logo If(P ) = Sf(P ) = α n−1 X i=0 ∆xi = α

Concluimos assim que f ´e integr´avel no intervalo [0, 1] e Z 1

0

f (x)dx = α.

2. f é uma fun¸cão definida em [0, 1] tal que f (x) = x para todo o x. Seja P uma qualquer parti¸cão de [0, 1] com n + 1 pontos x0, x1, . . . , xn. Observe-se que para todo o i = 0, . . . , n

xi = inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)}

e

xi+1= sup{f (x): x ∈ [xi, xi+1)}

Note-se que

xi ≤

xi+1+ xi

(48)

Assim If(P ) = n−1 X i=0 xi∆xi ≤ n−1 X i=0 xi+1+ xi 2 ∆xi≤ n−1 X i=0 xi+1∆xi = Sf(P ) Como n−1 X i=0 xi+1+ xi 2 ∆xi = n−1 X i=0 (x2 i+1− x2i) 2 = (x2_n− x2 0) 2 = 1 − 0 2 conclu´ımos que Z 1 0 xdx = Z 1 0 xdx = 1 2 3. Seja f (x) = ( 0 se x ∈ N ∩ [0, 3) x se x ∈ N ∩ [0, 3)/

Queremos saber se esta fun¸cão é integrável em [0, 3). Sendo P uma qualquer parti¸cão de [0, 3],

sup{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} = xi+1

O ´ınfimo de f em cada subintervalo [xi, xi+1) ´e um pouco mais complicado, pois temos que

considerar dois casos. Se [xi, xi+1) contém algum número natural n, então

inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} = 0

Se n˜ao existe qualquer natural em [xi, xi+1), ent˜ao

inf{f (x): x ∈ [xi, xi+1)} = xi

Observe-se que [0, 3) só contém dois número naturais, o 1 e o 2. Em cada parti¸cão P existirão apenas dois subintervalos que contêm números naturais. Sejam k e l os ´ındices associados a esses subintervalos, com k < l, ou seja, 1 ∈ [xk, xk+1) e 2 ∈ [xl, xl+1).

If(P ) = −xk∆xk− xl∆xl+ n−1 X i=0 xi∆xi e Sf(P ) = n−1 X i=0 xi+1∆xi

Podemos repetir o processo do exemplo anterior e deduzir que f ´e integr´avel e Z 3

0

f (x)dx = 9

(49)

As seguintes conven¸c˜oes s˜ao adoptadas:

Defini¸c˜ao 2.1.4 1. Z a

a

f (x)dx = 0 para qualquer fun¸c˜ao f .

2. Se f é integrável em [a, b] com a < b, então Z a b f (x)dx = − Z b a f (x)dx.

Algumas propriedades do integral definido são enunciadas no seguinte teorema. Teorema 2.1.5 Sejam f, g : [a, b] → R duas fun¸cões limitadas e integráveis. Então

1. Para todo o c tal que a < c < b, as restri¸cões de f a [a, c] e [c, b] são integráveis e Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx

2. Seja α um número real. Então a fun¸cão αf é integrável e Z b a αf (x)dx = α Z b a f (x)dx

3. Se, para todo o x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x), ent˜ao Z b a f (x)dx ≤ Z b a g(x)dx Em particular, se f (x) ≥ 0, ent˜ao Z b a f (x)dx ≥ 0

4. A fun¸cão | f (x) | é integrável e Z b a f (x)dx ≤ Z b a | f (x) | dx 5. f · g é integrável.

As propriedades enunciadas neste teorema são consequência imediata da defini¸cão de fun¸cão integrável entre a e b.

Voltemos à defini¸cão de fun¸cão integrável (2.1.1) e consideremos uma fun¸cão f , definida em [a, b] que é cont´ınua. Sendo cont´ınua e definida num intervalo limitado, a fun¸cão é necessariamente limitada. Consideremos uma parti¸cão P0 qualquer do intervalo [a, b]. A partir desta parti¸cão

criemos uma sucessão de parti¸cões {Pn} (note-se que o ´ındice n não está a indicar o número de

pontos da sucess˜ao) tal que

(50)

para todo o n. Seja kno n´umero de pontos da parti¸c˜ao Pn, mi e Mi respectivamente o ´ınfimo e

supremo de f em cada subintervalo [xi, xi+1), para i = 0, . . . , kn−1. Como a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua,

quanto maior é o número de pontos de parti¸cão Pn, mais pequena é a diferen¸ca Mi− mi. Assim,

quando n tende para infinito, a diferen¸ca Sf(Pn) − If(Pn) tende para 0, porque

Sf(Pn) − If(Pn) = kn−1

X

i=0

(Mi− mi)∆xi

Concluimos assim que a fun¸cão f é integrável. Estas observa¸cões validam o resultado seguinte.

Teorema 2.1.6 Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão cont´ınua. Então f é integrável.

Nos exemplos dados anteriormente estudámos a integrabilidade de uma fun¸cão descont´ınua. Mostrámos que a fun¸cão definida no exemplo 2.1.3-(3) é integrável. Antes disso tinha sido verificado que a fun¸cão

f (x) = (

1 se x ∈ Q ∩ [0, 1] 0 se x ∈ (R\Q) ∩ [0, 1]

não é integrável. Qual o grau de ”descontinuidade” que uma fun¸cão integrável poderá ter? Iremos ver em seguida que uma fun¸cão limitada com um número finito de descontinuidades é ainda uma fun¸cão integrável. Comecemos por enunciar o seguinte resultado:

Teorema 2.1.7 Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão limitada. Se f : [a, c] → R é integrável para todo o c ∈ [a, b), então f é integrável em [a, b].

Corolário 2.1.8 Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão limitada. Se f : [c, d] → R é integrável para todo o c e d tal que a < c < d < b, então f é integrável em [a, b].

Exerc´ıcio 2.1.9 Demonstre os resultados anteriores.

Corolário 2.1.10 Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão limitada com um número finito de descon-tinuidades. Então f é integrável em [a, b].

Demonstra¸c˜ao. Sejam ao, a1, . . . , an os pontos de descontinuidade de f . O corol´ario 2.1.8

garante-nos que f ´e integr´avel em [a, a0], em [an, b] e em todos os intervalos da forma [ai, ai+1]

para i = 0, . . . , n − 1. Logo f ´e integr´avel em [a, b] e Z b a f (x)dx = Z a0 a f (x)dx + Z a1 a0 f (x)dx + . . . + Z b an f (x)dx